werkstoffe der elektrotechnik
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WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann WERKSTOFFE DER ELEKTROTECHNIK Lösung zur Zentralübung 14 Aufgabe 1: a) Die Suszeptibilität setzt sich aus Diamagnetismus und Paramagnetismus von Atomrümpfen und Leitungselektronen zusammen. b) Gesamtsuszeptibilität: Hundsche Regel für Chrom: I. Berechnung der Diamagnetischen Suszeptibilität (Z* = effektive Kernladungszahl; hier gleich 5, da nur die 3d5 Elektronen als äußerste Elektronen zum Diamagnetismus beitragen) N Crdia Z * e 2 r 2 0 6m0 2 2 8.28 1022 106 m 3 5 1.6 1019 C 127 1012 m 4 10 7 NA 2 31 6 9.11 10 kg mit der Teilchendichte N M rel N A 8.28 1022 cm 3 dia 5 Cr 3.9 10 II. Berechnung der paramagnetischen Suszeptibilität Crpara mit g = 1 + mit B N 0 g 2 J ( J 1) B2 3k BT J ( J 1) S ( S 1) L( L 1) = 2 (L = 0 im Gitter) 2 J ( J 1) e 9.27 10 24 Am2 2m0 WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Crpara 0.076 III. Berechnung des Beitrags der Leitungselektronen: 2/3 2 3 2 n 6.94 eV (n = N da nur das 4s1 2m0 Elektron pro Chrom-Atom abgegeben wird) Berechnung der Fermienergie: EF Berechnung der Fermitemperatur: TF EF 6.94eV 8.04 104 K 5 k B 8.62 10 eV / K elm Berechnung der Gesamtsuszeptibilität: m ges Crdia Crpara el 0.076 N B2 0 8.0 10 6 k BTF WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Aufgabe 2: a) Ferromagnetismus: spontane, parallele Ausrichtung der elementaren atomaren Dipole durch gegenseitige Wechselwirkung im Kristallgitter; da die Wechselwirkung sehr kurzreichweitig ist, tritt Ferromagnetismus nur in Kristallen auf und unterhalb der sog. Curie-Temperatur. ----Mögliche Austauschwechselwirkungen sind der sog. direkte Austausch Oder auch die sog. RKKY-Wechselwirkung. Hier werden über die Leitungselektronen die atomaren Momente gekoppelt. ----Ist der interatomare Abstand sehr gering tritt eine negative Wechselwirkung zwischen den atomaren Dipolen auf, was im Antiferromagnetismus resultiert. Hier liegt eine antiparallele Ordnung vor, was eine verschwindende Gesamtpolarisierung bewirkt. Die kritische Temperatur unterhalb der sich diese Ordnung einstellt wird NeeleTemperatur TN genannt. Die Bethe-Slater–Kurve zeigt den schematischen Verlauf der Austauschwechselwirkung: WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Durch das Einlegieren von Atomen mit einem größeren Atomradius kann das Vorzeichen der Austauschwechselwirkung von beispielsweise Mangan verändert werden. Neben der direkten WW kann eine antiferromagnetische Ordnung auch durch indirekten Austausch oder Superaustausch verursacht werden. Ein Beispiel dafür ist MnO: Die letzte Klasse der dem Ferromagnetismus verwandten Arten des Magnetismus ist der Ferrimagnetismus: Hier liegt wie beim Antiferromagnetismus eine antiparalle Orientierung vor. Da jedoch Materialien die in der sog. Spinell-Kristallstruktur geordnet sind (wie z.B. Magnetit: FeOFe2O3), atomare Dipolmomente auf unterschiedlichen Untergitterplätzen verteilen, welche nicht dieselbe Wertigkeit und Teilchendichte aufweisen, entsteht ein Nettodipolmoment. Daher zeigen ferrimagnetische Stoffe ein ähnliches verhalten wie ferromagnetische Materialien. Das Temperaturverhalten wird ebenfalls mittels der Curie-Temperatur TC charakterisiert. Ferrimagnete besitzen den großen Vorteil, dass sie eine schlechte elektrische Leitfähigkeit aufweisen und somit als Transformatoren und Nf-/Hf-Übertrager eine wichtige Rolle spielen. WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Zusammenfassend kann also gesagt werden, dass die wesentlichen Abhängigkeiten zum einen (neben dem Vorhandensein atomarer magnetischer Momente) der atomare Abstand der magnetischen Dipolmomente, als auch die Temperatur sind. Insbesondere die Temperaturabhängigkeit lässt sich mittels dem Curie-Weiss-Gesetz gut beschreiben: C T Mit der paramagnetischen Curie-Temperatur (siehe S.167). Neben dem Ferromagnetismus treten allgemein der Paramagnetismus (atomare Dipole und Leitungselektronen im Falle von Metallen) als auch der Diamagnetismus (tritt immer auf; im Falle von Metallen muss zusätzlich der Diamagnetismus der Leitungselektronen berücksichtigt werden). m b) Magnetische Suszeptibilität von Gadolinium bei T = 300K T > TC somit muss nur der paramagnetische Einfluss auf die Suszeptibilität berücksichtigt werden (diamagnetische und Beiträge der Leitungselektronen können laut Angabe vernachlässigt werden)! Paramagnetische Suszeptibilität (in diesem Fall gilt das Curie-Weiss-Gesetz, da Gd ein Ferromagnet ist!): m para N0 g 2 J J 1 2B 3k B T TC (siehe 8.30) Gesucht sind zunächst also der Gesamtdrehimpuls J und das gyromagnetische Verhältnis g von Gd im Kristall: Elektronenkonfiguration von elementarem Gd: [Xe] 4f7 5d1 6s2 Im Kristall werden die Elektronen der beiden höchsten teilbesetzten Orbitale abgegeben: [Xe] 4f7 Die Elektronenkonfiguration lautet somit: n=4 (N-Schale) WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Halbvolle Schale J=S=7/2; L=0g=2 (siehe Seite 158) Zur Berechnung der para. Suszeptibilität muss nun nur noch die Teilchendichte N (Atome pro Volumeneinheit) bestimmt werden: c a Anzahl Z der Gd-Atome pro Elementarzelle: 1 1 Z 1/ 2 6 1/ 2 6 3 6 6 Obere - Untere-Ebene Fläche eines der sechs Dreiecke: ADreieck a2 3 1 1 a 3 ha a 2 2 2 4 Somit folgt für die Fläche des Sechsecks: ASech sec k 6 ADreieck 3 a2 3 2 Und schließlich für das Volumen: VHexagon ASech sec k c 3 a 2c 3 2 WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Damit erhält man für die Teilchendichte N von Gd schließlich: N Z VHexagon 3 1,52 10 22 cm 3 1,98 10 22 cm³ Für die paramagnetische Suszeptibilität erhält man somit: m para N0 g 2 J J 1 2B 3k B T TC 0,22 c) Temperaturverlauf der mag. Suszeptibilität von Gadolinium: Realer Verlauf Verlauf nach Curie-Weiss-Gesetz Bild (a) zeigt den Temperaturverlauf der Suszeptibilität eines paramagnetischen Stoffes (hier nicht gefragt), während die gestrichelte Linie in Bild (b) die gesuchte Abhängigkeit skizziert. Die Durchgezogene Linie in (b) veranschaulicht, dass nahe der Curie-Temperatur Abweichungen vom Curie-Weiss-Gesetz auftreten (nicht gefragt). WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann Zu Beachten ist, dass die Sättigungsmagnetisierung Ms ebenfalls temperaturabhängig ist (siehe S.167 Bild 8.8). D.h. nahe der Curie-Temperatur nimmt sie stark ab. Für einen Magneten ist daher eine möglichst hohe Curie-Temperatur entscheidend: d) Skizze der Magnetisierungkurve eine magnetisch weichen und harten Materials: hart weich remanente Magnetisierung Koerzitivfeld Dauermagnet Transformatorkern WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lehrstuhl für Halbleitertechnologie Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann e) Zur Bildung von Domänen in einem Ferromagneten sind zwei Energie-Beiträge zu beachten: a. Austauschenergie (in (a) minimal) b. Streufeldenergie (in (d) minimal) Die Domänenstruktur hängt somit vom Energieminimum beider Beiträge ab. Je nach Kristallstruktur treten für die Richtung der Domänen Anisotropien auf, was in einer Abhängigkeit von der Kristallstruktur resultiert. In Kobalt (hexagonale Kristallstruktur) bilden sich beispielsweise Domänen leichter entlang der c-Achse.
