x - Walter Schottky Institut

WALTER SCHOTTKY INSTITUT
Lehrstuhl für Halbleitertechnologie
Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann
Lösung zur Zentralübung 3
Aufgabe 1:
a) Klassische Betrachtung
(i) E = 1 eV und V0 = 2 eV
=> vollständige Reflexion
R=1
(ii) E = 4 eV und V0 = 2 eV
=> Transmission über die Stufe
hinweg, R = 0
Aber: im Experiment beobachtet man auch im zweiten Fall reflektierte Teilchen. 
Erklärung?
b) Quantenmechanische Betrachtung
Die Potentialstufe kann wie folgt dargestellt werden:
V für x  0
V x    0
 0 für x  0
Skizze:
Bereich I: V  x   0
 Schrödinger-Gleichung

2m E
2 2
2

(
x
)

E

(
x
)

 ( x)   20  ( x)
2
2
2m0 x
x

 Allgemeiner Lösungsansatz:
  x   Ae jkx  Be  jkx
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 Bestimmung des Wellenvektors
Einsetzen in die Schrödingergleichung ergibt:
2
2
  x   2 Ae jkx  Be  jkx  k 2 Ae jkx  Be  jkx  k 2 x 
2
x
x




Für den Wellenvektor k folgt:
 k2  
2m0 E
2
bzw. k  
2m0 E
2
(mit E  0 )
 Bestimmung der Wellenfunktion:
  x   Ae jkx  Be jkx  R  e jkx  1  e jkx
(für x  0 )
Deutung:
- Einfallender Teilchenstrom von links  Amplitude von e  jkx ist 1
- A bestimmt die Reflexionswahrscheinlichkeit an der Potentialstufe
 Amplitude von e jkx ist R
Bereich II: V  x   V0
 Schrödinger-Gleichung

 2 2
2m E  V 
2
 
 ( x)   0 2 0  ( x)
 V0  ( x)  E ( x) 
2
2
x


 2m0 x
 Allgemeiner Lösungsansatz:
 x   Ce jqx  De  jqx
 Bestimmung des Wellenvektors
Einsetzen in die Schrödingergleichung ergibt:
2
2
  x   2 Ce jqx  De  jqx  q 2 Ce jqx  De  jqx  q 2  x 
2
x
x




Für den Wellenvektor folgt:
2m E  V 
2m0 E  V0 
 q 2   0 2 0 bzw. q  
2

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Fallunterscheidung:
E  V0 
q 
2m0 E  V0
2
E  V0 
q
 2m0 V0  E
2m0 V0  E
j
  j
2

2
 Bestimmung der Wellenfunktion:
E  V0 
E  V0 
 x   Ce jqx  De  jqx
  x   Ce x  De x
 C0
da kein einfallender Teilchenstrom von
rechts vorhanden
 D T
da T die Transmissionswahrscheinlichkeit bestimmt (reines Umbenennen!)
 D0
da die Wellenfunktion für x   und
D≠0 divergieren würde und damit nicht
normierbar wäre.
 C T
da T die Transmissionswahrscheinlichkeit
bestimmt (reines Umbenennen!)
  x   Te jqx
  x   Te x
(oszillatorisches Verhalten)
(gedämpftes Verhalten)
Mit den beiden obigen Funktionen ist die Lösung der Differentialgleichung für die
beiden Bereiche x  0 und x  0 gegeben.
WICHTIG: Die tatsächliche Lösung   x  muss aber auch bei x  0 lösen!
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Anschluss- und Stetigkeitsbedingungen
Allgemein:
 I  x  0   II  x  0
Stetigkeit der Wellenfunktion
 'I  x  0    'II  x  0 
Stetigkeit der Ableitung der Wellenfunktion
Stetigkeit der Wellenfunktion  I  x  0    II  x  0  :
E  V0 
E  V0 
R  e jk 0  1  e jk 0  Te jq 0
R  e jk 0  1  e jk 0  Te 0
1 R  T
1 R  T
Stetigkeit der Ableitung der Wellenfunktion  ' I  x  0    'II  x  0  :
E  V0 
E  V0 
R  jke jk 0  jke  jk 0   jqTe  jq 0
Rjke jk 0  jke jk 0  Te  0
jk 1  R   jqT
jk R 1  T
einsetzen von T  1  R (siehe oben)
einsetzen von T  1  R (siehe oben)
jk 1  R   jq 1  R 
k q
 R
kq
jk R  1   1  R 
jk  
 R
jk  
k  j
 R
k  j
T 1 R 
2k
k q
T  1 R 
2k
k  j
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Berechnung der Teilchenstromdichten für die Bereiche I und II:
Klassische Definition: j  n  v
 n = Teilchendichte und v = Geschwindigkeit
Quantenmechanische Definition: j   *     v
  *     Wahrscheinlichkeitsdichte und v  vT  vGruppe 
k
= Gruppengeschwindigkeit
m0
Quantenmechanische Betrachtung:
a) Einlaufende Teilchenstromdichte j0 :
j0 
k 2 k 2 k
B 
1 
m0
m0
m0
c) Reflektierte Teilchenstromdichte jR :
jR 
k 2
A  j0  R
m0
2
d) Transmittierte Teilchenstromdichte jT :
E  V0 
jT 
E  V0 
q 2 q
2
T  j0 T
m0
k
jT  Te x
2
q
 Te  x
m0
2
q
 0 für x   0; 
j0  
k
  0 für x  
Berechnung der Verhältnisse zwischen reflektierter und einfallender
Teilchenstromdichte:
E  V0 
E  V0 
2
k q
jR
2
 2.9%
 R 
kq
j0
jR
k  j
2
 R 
j0
k  j
2
 100%
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Berechnung der Verhältnisse zwischen transmittierter und einfallender
Teilchenstromdichte:
E  V0 
E  V0 
jT q 2
4kq
 T 
 97.1%
j0 k
k  q 2
jT
 0 für x  
j0
Obwohl im Fall E  V0  die Energie höher ist als die Potentialstufe, wird ein Teil reflektiert.
Dieses Phänomen ist eines der Besonderheiten in der Quantenmechanik.
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Aufgabe 2:
a) Krypton ist ein Edelgas mit 36 Elektronen:
Hauptquantenzahl n = 4  4 Schalen (K, L, M u. N) stehen für Verteilung der
Elektronen zur Verfügung. Nur Übergänge zwischen Schalen können angeregt
werden! (Spektralanalyse)
Nebenquantenzahl l = n-l = 3, d.h. es stehen s-, p-, d- und f-Orbitale zur Verfügung.
Die Gestalt dieser Orbitale, ob Kugel oder Kegel etc., wird durch l definiert. Wichtig
für gerichtete Atombindungen wie kovalente Bindungen.
Magnetische Quantenzahl m = -l,..,l definiert Orientierung der Orbitale.
Für die Elektronenkonfiguration von Krypton gilt nun (siehe Bild 1.5 im Skript):
36Kr
= 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6
K, L, M Schale abgesättigt, s und p Orbital in N-Schale besetzt  Stabile
Elektronenkonfiguration (Oktett-Regel)  Krypton ist ein reaktionsträges, inertes
Gas, wie alle Edelgase.
Die Spinquantenzahl s schließlich, durch die die Quantenzahlen eines jeden Elektrons
eindeutig definiert sind (Pauli-Prinzip), ist mit der Richtung des magnetischen (Spin-)
Moments eines Elektrons verknüpft. Zusammenfassen erhält man also:
Elektronenkonfiguration Krypton:
Durch die Besetzung der s- und p-Orbitale in der äußerten (4) Schale erhält Krypton
eine besonders stabile Elektronenkonfiguration (Oktett-Regel). Daher ist Krypton ein
inertes, reaktionsträges Edelgas.
(K, L, M, N bezeichnen die jeweiligen Schalen)
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Zur Erinnerung:
Im Falle von nicht ganz gefüllten Schalen wird die Besetzung der Orbitale durch die
Hundschen Regeln festgelegt.
Wiederholung Hundsche Regeln (Skript S.22-25):
Wendet man diese Regeln auf die Übergangsmetalle Vanadium, Mangan und Cobalt
an, erhält man folgende Elektronenkonfigurationen:
Insbesondere die 3. Hundsche
Regel
regelt
also
die
Orientierung der Spins und die
Besetzung auf die einzelnen
Orbitale. Hier sollte immer auf
den
Gesamtspin
und
Gesamtbahndreh-implus
geachtet werden.
Hinweis: Statt halbvoller
Elektronenschale sollte man
von halbvollen Orbitalen in
Regel 3 sprechen!
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b) Elektronenkonfiguration der Gruppe-IV-Elemente:
6C
= [He] 2s22p2
14Si
= [Ne] 3s23p2
32Ge
= [Ar] 3d104s24p2
50Sn
= [Kr] 4d105s25p2
Jedes dieser Elemente kann 4 Elektronen aufnehmen, damit das jeweilige p-Orbital
vollgefüllt ist und eine stabile Edelgaskonfiguration erreicht ist. Im Falle von reinen
Elementen ist aus Symmetriegründen nur eine kovalente Bindung möglich, die durch
eine sog. sp3 Hybridisierung (siehe S. 92 im Skript) erreicht wird. Bei Mischkristallen
wie SiGe oder NaCl gibt die Differenz der Elektronegativität nach Pauling einen
Anhaltspunkt über die Bindungsart, sprich ob ionisch oder kovalent (neben dieser Skala
gibt es noch weitere, z.B. hat Milikan aus Ionisierungsenergie und Elektronenaffinität
die Elektronegativitäten von Elementen abgeleitet):
Beispiel:
Si: E = 1,74
Ge: E = 2,02
 E = 0,28  kovalente Bindung
Na: E = 1,01
Cl: E = 2,83
 E = 1,82  ionische Bindung
Ab einer Differenz der Elektronegativität von ca. >1,7 kann also von einer ionischen
Bindung gesprochen werden. Das Element mit der höheren Elektronegativität ist dabei
stets das Anion.
c)
I) 26Fe = [Ar] 3d6 4s2
Abgeschlossene Schalen bzw. Orbitale liefern keinen Beitrag.
2 Elektronen im 4s-Orbital:
n = 4, l = 0, m = 0, s = 

S 
s
0
1
2
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3d – Orbital nicht voll besetzt:
1. Hundsche Regel: S maximal (parallele Spins)
s


m
-2
-1

0


1
2
n3
l2
2. Hundsche Regel: L maximal
L 
m
2
3. Hundsche Regel:
J 
L  S
 4 (mehr als halb voll)
II) Anmerkung: Betrachtet man das Energieschema auf S. 23 des Skripts, so sieht man,
dass zuerst die 4s und dann die 3d Elektronen besetzt werden (Ausnahmen: Cr u. Cu, da
halb- bzw. vollgefüllte 3d-Schale  besonders stabil). Man würde daher annehmen, dass
zuerst aus der 3d-Schale Elektronen ionisiert werden. Da die 3d Elektronen jedoch stärker
lokalisiert sind (näher am Kern) als die 4s Elektronen, werden zuerst diese ionisiert.
Daraus folg:
Fe2+ = [Ar] 3d6
Nur die 2 Elektronen des 4s-Orbitals fehlen (abgeschlossene Schale).
 Spin-Einstellungen und Drehimpulse sind bei Fe2+ identisch mit Fe.
III) Fe4+ = [Ar] 3d4
3d6  3d4
s


m
-2
-1
S 

0

1
2
4
2
L 2
 J 
L  S
 0 (weniger als halb voll)