Gliederung zur Vorlesung Theorie und Methodik der Statistik

Theorie und Methodik der Statistik
10. Auflage, 2009
Stefan Huschens
ii
Vorbemerkung
Das vorliegende Skript ist aus dem Lehrveranstaltungszyklus Theorie und Methodik
der Statistik hervorgegangen, der seit mehreren Jahren an der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der TU Dresden gehalten wird. Der Lehrveranstaltungszyklus besteht aus fünf
Lehrveranstaltungen zu jeweils 2 Semesterwochenstunden (SWS). Im Teil A (Grundlagen der statistischen Methodenlehre) werden die Kapitel 1 bis 6, soweit sie nicht bereits
aus dem Grund- bzw. Bachelorstudium bekannt sind, behandelt. Im Teil B (Schätzen
und Testen) werden die Kapitel 7 bis 12, im Teil C (Korrelation und Regression) die Kapitel 13 bis 17, im Teil D (Stochastische Prozesse) die Kapitel 18 bis 22 und im Teil E
(Multivariate Verfahren) die Kapitel 23 bis 28 behandelt.
In den Diplomstudiengängen bilden vier der Teile A bis E den Fachkern Statistik
(8 SWS = 12 Leistungspunkte). Der jeweils fünfte Teil kann als ergänzende Lehrveranstaltung gewählt werden. In den Masterstudiengängen bilden die Teile A bis C das
Modul Univariate Statistik und die Teile D und E das Modul Multivariate Statistik. Die
Module Univariate Statistik und Multivariate Statistik bilden gemeinsam den Minor Statistik. Außerdem gibt es weitere Wahlmöglichkeiten für die Mastermodule Ergänzende
Qualifikationsziele und Methodische Grundlagen Wirtschaftswissenschaften. Die Teile A,
B und C werden jeweils im Wintersemester, die Teile D und E jeweils im Sommersemester angeboten. Jeder der Teile A bis E enthält wöchentlich alternierende Vorlesungs- und
Übungsteile und wird mit einer Klausur abgeschlossen.
Viele Kapitel haben einen abschließenden Abschnitt Weiterführendes“ mit zusätz”
lichem und ergänzendem Material, das in der Vorlesung nicht behandelt wird, sowie
zusätzliche Erläuterungen, Beispiele und Anmerkungen. Diese weiterführenden Inhalte
sind nicht Gegenstand der Klausuren, in denen der in der Vorlesung und in den Übungen
behandelte Stoff geprüft wird.
Zur verwendeten Notation und zu mathematischen Grundlagen siehe Anhang A.
Der Anhang B enthält Hinweise zu weiterführender Literatur.
Die vorliegende 10. Auflage ist für die Lehrveranstaltungen im WS 2009/10 und SS
2010 gedacht. Sie wurde, insbesondere bei der Schreibung von ss“ anstatt ß“, der neuen
”
”
deutschen Rechtschreibung angepasst, die seit dem 1. August 2007 für Schulen verbindlich
ist.1
Hinweise auf Fehler bitte an [email protected]
1
Dieser Änderung fielen die folgenden Wörter zum Opfer: angepaßt, aufgefaßt, beeinflußt, daß, erfaßt,
Exzeß, faßt, häßlich, läßt, meßbar, Meßfehler, Meßraum, Mißerfolg, mißverständlich, mißt, müßte, muß,
Prozeß, umfaßt, zusammenfaßt, zusammengefaßt.
iii
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Daten, Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit
1.1 Daten und Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zufallsexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsmodell
2.1 Zufallsvariable und Verteilung . . . . . . . . . .
2.2 Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wahrscheinlichkeitsfunktion . . . . . . . . . . .
2.4 Wahrscheinlichkeitsmodell . . . . . . . . . . . .
2.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Erwartungswert, Varianz und Momente
3.1 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Varianz und Standardabweichung . . . .
3.3 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Symmetrie, Schiefe und Wölbung . . . .
3.5 Lage- und Skalenparameter . . . . . . .
3.6 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Momenterzeugende Funktion . . . . . . .
3.8 Charakteristische Funktion . . . . . . . .
3.9 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . .
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4 Stichprobe und Grundgesamtheit
4.1 Empirische Verteilung . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Stichprobenfunktion und Stichprobenverteilung
4.3 Summen unabhängiger Zufallsvariablen . . . . .
4.4 Transformierte Zufallsvariablen . . . . . . . . .
4.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Konvergenz und Grenzwertsätze
5.1 Konvergenz in Wahrscheinlichkeit . . . .
5.2 Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . .
5.3 Hauptsatz der Mathematischen Statistik
5.4 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . .
5.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
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6 Univariate Verteilungen und Verteilungsfamilien
53
6.1 Univariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Lage- und Skalen-Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7 Endliche Eigenschaften von Schätzern
7.1 Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Unverzerrtheit (Erwartungstreue) . . .
7.3 Effizienz . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Fisher-Information . . . . . . . . . . .
7.5 Suffizienz und Exponentialfamilien . .
7.6 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . .
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8 Asymptotische Eigenschaften von Schätzern
8.1 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Asymptotische Verteilung . . . . . . . . . . .
8.3 Asymptotische Unverzerrtheit . . . . . . . . .
8.4 Asymptotische Effizienz . . . . . . . . . . . .
8.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Schätzmethoden
9.1 Momentenmethode . . . . . . .
9.2 Methode der kleinsten Quadrate
9.3 Maximum-Likelihood-Methode .
9.4 Weiterführendes . . . . . . . . .
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10 Statistische Intervalle
10.1 Konfidenzintervalle
10.2 Prognoseintervalle .
10.3 Toleranzintervalle .
10.4 Weiterführendes . .
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11 Grundlagen statistischer Tests
11.1 Hypothesen und Testfunktion . . . . . . . . . .
11.2 Fehlerwahrscheinlichkeit, Signifikanz und Macht
11.3 Optimaler Test und Neyman-Pearson-Lemma .
11.4 Likelihoodverhältnis-Test . . . . . . . . . . . . .
11.5 Asymptotisch begründete Testverfahren . . . . .
11.6 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Testverfahren
12.1 Gauß-Test, t-Test und Varianztest .
12.2 Kolmogoroff-Smirnoff-Test . . . . .
12.3 Test über eine Wahrscheinlichkeit .
12.4 Tests auf Fehlspezifikation . . . . .
12.5 Lilliefors-Test auf Normalverteilung
12.6 Run-Test auf Zufälligkeit . . . . . .
12.7 Weiterführendes . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
13 Unabhängigkeit und Korrelation
13.1 Gemeinsame Verteilung . . . . .
13.2 Momente und Korrelation . . .
13.3 Unabhängigkeit . . . . . . . . .
13.4 Zufallsvektoren . . . . . . . . .
13.5 Weiterführendes . . . . . . . . .
vii
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14 Bedingtheit
14.1 Bedingte Verteilungen . . . . . .
14.2 Bedingter Erwartungswert . . . .
14.3 Bedingtheit im multivariaten Fall
14.4 Bedingte Unabhängigkeit . . . . .
14.5 Bedingte Korrelation . . . . . . .
14.6 Weiterführendes . . . . . . . . . .
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. 128
. 129
. 130
15 Einfachregression
137
15.1 Lineare Einfachregression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
15.2 Einfachregression mit stochastischem Regressor . . . . . . . . . . . . . . . 139
15.3 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16 Lineare Mehrfachregression
16.1 Nichtstochastische Regressoren .
16.2 Stochastische Regressoren . . .
16.3 Partielle Korrelation . . . . . .
16.4 Weiterführendes . . . . . . . . .
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17 Kategoriale Variablen
153
17.1 Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
17.2 Kategoriale erklärte Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
18 Grundbegriffe stochastischer Prozesse
18.1 Konzept des stochastischen Prozesses .
18.2 Stationarität . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Gaußscher Prozess . . . . . . . . . . .
18.4 Weißes Rauschen . . . . . . . . . . . .
18.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . .
19 Zeitdiskrete stochastische Prozesse
19.1 Random-walk-Prozess . . . . . . . .
19.2 Martingal-Prozesse . . . . . . . . .
19.3 Markoff-Prozesse . . . . . . . . . .
19.4 Ergodische Prozesse . . . . . . . . .
19.5 Lineare Prozesse . . . . . . . . . .
19.6 Weiterführendes . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
viii
20 ARMA-Prozesse
20.1 MA-Prozesse . .
20.2 AR-Prozesse . . .
20.3 ARMA-Prozesse .
20.4 ARIMA-Prozesse
20.5 Weiterführendes .
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21 ARCH-Prozesse
21.1 ARCH(1)-Prozess . .
21.2 GARCH(1,1)-Prozess
21.3 ARCH(q)-Prozess . .
21.4 GARCH(p,q)-Prozess
21.5 Weiterführendes . . .
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22 Zeitstetige stochastische Prozesse
22.1 Poisson-Prozess . . . . . . . . . . .
22.2 Brownsche Bewegung . . . . . . . .
22.3 Geometrische Brownsche Bewegung
22.4 Weiterführendes . . . . . . . . . . .
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23 Algebraische Grundlagen der multivariaten Statistik
23.1 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Positiv semidefinite Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Eigenwerte und -vektoren symmetrischer Matrizen . . . .
23.4 Eigenwerte und -vektoren positiv semidefiniter Matrizen
23.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 Statistische und stochastische Grundlagen
24.1 Deskriptiv-statistische Grundlagen . . . .
24.2 Zufallsvektoren . . . . . . . . . . . . . . .
24.3 Mehrdimensionale Normalverteilung . . . .
24.4 Inferenzstatistische Grundlagen . . . . . .
24.5 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . .
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. 201
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205
. 205
. 206
. 207
. 210
. 213
der multivariaten Statistik 215
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
25 Multivariate Verfahren und Modelle
25.1 Variablentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2 Einteilungen der multivariaten Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3 Multivariate Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
. 229
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. 233
26 Multivariate lineare Modelle
26.1 Multivariate lineare Regression . . .
26.2 Modelle mit simultanen Gleichungen
26.3 Multivariate Varianzanalyse . . . . .
26.4 Weiterführendes . . . . . . . . . . . .
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. 237
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INHALTSVERZEICHNIS
ix
27 Hauptkomponentenanalyse
27.1 Hauptkomponentenanalyse für die Grundgesamtheit . . . . . . . . . . . .
27.2 Hauptkomponentenanalyse für die Stichprobenwerte . . . . . . . . . . . .
27.3 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
. 243
. 246
. 248
28 Faktorenanalyse
28.1 Modell der Faktorenanalyse
28.2 Faktorextraktion . . . . . .
28.3 Faktorrotation . . . . . . . .
28.4 Weiterführendes . . . . . . .
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. 259
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. 267
. 269
A Mathematische Konzepte
A.1 Logik und Mengen . . .
A.2 Reellwertige Matrizen . .
A.3 Funktionen . . . . . . .
A.4 Integral . . . . . . . . .
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B Weiterführende Literatur
271
Literaturverzeichnis
277
Index
286