Formelsammlung Sensorik

Formelsammlung Sensorik
Andreas Pösch, 29. Januar 2006
aktuelle Version unter http://www.mechaos.de/fs sens.php
1
Induktive Sensoren
Jedoch Steuflüsse gerade bei großer Weglänge: Näherung an reale Kennlinie
Induktivität einer Spule mit Joch (mittlere Länge xF e )
und 2 Luftspalten jeweils mit der Länge x (Streuflüsse
vernachlässigt).
!
N 2 µ0 A
A
1
2
= N µ0 µr
L=
2x + xµFre
xF e 1 + 2µr xxF e
L
L0
2
L=
L0 xF e + L∞ x
xF e + x
1
1 + 2µr xxF e
=
Piezosensoren
piezoelektrische Grundgleichung (2.83, 2.84):
~
D
~
S
getrennte Ladung in vereinfachte Form bei elektrisch
neutralem Plättchen in Richtung i
σ~
=
[ε] E + [d]~
σ
E
~
= [d]t E + [s] ~
σ
Q = −D · A
mit A: Fläche senkrecht zu i
in vereinfachter Form (eindimensional Richtung i ) bei
ungeladenem Plättchen
Di
E
3
= εii E + dii σi
dii σi
= −
εii
mechan. Grundlagen
mechan. Spannung:
σ = F/A
4
Lernteil (Wandlerprinzipien)
Bezeichnungen:
ψ gesamter verketteter Fluss
N Anzahl d. Windungen
~ mag. Feldstärke [A/m]
H
γ spezif. elektr. Leitfähigkeit
ϕ
i
J~
mit einer Windung veretteter Fluss
Spulenstrom
Stromdichte
Θ
~
B
ϕ
Durchflutung
mag. Flussdichte
magnet. Fluss
2. Maxwell Gl.:
~ =−
r ot E
4.1
~
∂B
∂t
magnetische Wandler
allgem. Induktionsgesetz:
I
~
s
~ · d~s = uind (t) = −
E
I
~
∂B
~ · d~s
~
· d A + (~
v × B)
A ∂t
~
s
|
{z
} |
{z
}
Z
Ruheinduktion
Bewegungsinduktion
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4.2
Stand: 29. Januar 2006
Seite 2
Wirbelstromsensoren
Messung des Abstandes von Spule und Bedämpfungsfahne (Metall) über Koppelinduktivität M12 : nichtlinear
4.3
Magnetostriktive Wandler (Joule Effekt)
~ und Längenänderung ∆l durch externes magneMagnetostriktion λ: Zusammenhang zwischen Magnetisierung M
tisches Feld (Bedinung: Spannungsfrei (σ = 0).
Ursache: Spin-Bahn-Kopplung; Stärke des Effekts wird von der Bandstruktur des Materials bestimmt. Daher
Abhängig von Struktur (ein-, polykristallin, amorph), Temperatur, mechan. Vorspannung (also E-modul H-abhängig).
Es gilt für die Gesamtdehnung S:
σ
∆l S =λ+
mit λ =
E(H)
l σ=0
Umkehrung (Villari-Effekt) = mangetoeleastischer Effekt:
Hauptsächlich NiFeCo-Legierungen. Beeinflussung der Permeabilität µ durch mechan. Spannung. Bis zu 40% Permiabilitätsänderung bei mech. Spannungen von 100 N/mm2 . Nur näherungsweise linear; spannungsabhängige Hysterese(!).
Wandlerprinzipien:
• Transformatorprinzip: 2 Spulen auf magnetostriktivem Kern. Messung des Kopplungsfaktors.
• Induktionsprinzip: Eine Spule, Messung einer sich ändernden Spannung bei konst. Stromeinspeisung
• Oszillatorprinzip: Eine Spule = Induktivität in einem Schwingkreis: Messung der Frequenzänderung
4.4
Wiegand-Sensoren
Drähte aus ferromagnetischem Material mit hoher Kristallanisotropie. Magnetisierungs-Kennlinie ähnlich eines
Schmitt-Trigers mit Hysterese → verhält sich wie ein binäres Element (Weiß’scher Bezirk), bei dem die Magnetisierung ab einer bestimmten äußeren magnet. Feldstärke umklappt.
Wiegand-Element: Wiegand-Draht mit umgebender Spule. Beim Umklappen der Magnetisierung wird in der Spule eine Spannung induziert, deren Amplitude von der mechanischen Spannung σ des Drahtes abhängig ist. Vicalloy(=FeCrVLegierung)-Draht mit weichmagnet. Kern und hartmagnet. Schale (hier: Magnetisierung eingeprägt). Dadurch
unterschiedlich starke (schnelle) Zünd- und Rücksetzimpulse.
4.5
Elektromagnetische Wandler (Joch und 2 Luftspalte)
(siehe Übungsaufgaben!)
4.6
Hallsensor (galvanomagnetischer Effekt)
Ablenkung der Elektronen aufgrund der Lorentzkraft.
Maximale Hall-Feldstärke EH :
~ = v B~
EH = ~
v ×B
ex
Hallspannung UH :
~
ex : Richtung zw. Hallelektroden
Z
~H d~s = 1 1 IB = RH 1 B
E
d: Plättchendicke
ne0 d
d
Verwendung von Halbleitern, da hier die Ladungsträgerkonzentration n geringer ist → größere Empfindlichkeit
(Vergleiche: n(Si) = 1, 5 · 1010 ; n(Cu) = 8, 7 · 1022 ).
UH =
Hallwinkel zw. äußerem (stromteibenden) Feld EI und EH :
~ EH ΘH = arctan ~I E
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Stand: 29. Januar 2006
Seite 3
Bei kurzen Hallelementen treten die Elektronen mit dem Hallwinkel ΘH aus den Anschlusselektroden aus.
Anwendung der Hall-Sensoren: Wegmessung, Strommessung (bei hohen Strömen)
4.7
4.7.1
Magnetoresistive Sensoren
Feldplatten
Basierend auf galvanomagnetischem Effekt (Hall-Effekt). Der elektr. Widerstand des Strompfades vergrößert sich
durch das äußere Feld (Lorentzkraft)
RB (Bz )
= 1 + K · (µn Bz )2
R0 (Bz = 0)
µn : Ladungsträgerbeweglichkeit
K ist abhänigig von der Plattengeometrie; klein bei langen Plättchen, groß (20) bei Corbino-Scheiben). µn sollte
groß sein → Indiumantimonid (InSb)
4.7.2
Anisotroper Magnetoresistiver Effekt (AMR):
Anisotropie des spezifischen elektr. Widerstandes im Sensormaterial vorausgesetzt (durch Einprägen einer Magnetisierungsrichtung in ferromagnet. Materialien (Permalloy, Nife).
Der nichtlineare (parabelförmige) Effekt kann durch drehen der Widerstandsachse um 45◦ um den Nullpunkt linearisiert werden.
Senkrecht zu den Anschlussplatten sind immer wieder Kurzschlussstreifen, um das E-Feld zurechtzubiegen“.
”
4.7.3
Giant-Magnetoresisitve Sensoren (GMR)
Abhänigkeit des elektr. Widerstandes von der Magnetisierung benachbarter ferromagnet. Schichten (parallel: R
klein, antiparallel: R groß). Sandwichbauweise aus einigen nm (kleine als freie Weglänge der e − ) dünnen Schichten.
Bis 70% Änderung des Widerstandes bei Übereinanderschichtung.
4.8
Thermomagnetische Sensoren
~ durchsetzt ist, ensteht
Fließt ein Wärmestrom Q̇ durch einen Leiter, der senkrecht dazu von einem Mangetfeld H
senkrecht zu beiden eine Potentialdifferenz ∆U. Umgekehrt entsteht durch einen elektr. Strom I senkrecht zu einem
~ ein Temperaturgefälle (Ettinghausen-Effekt):
Mangetfeld H
∆T = AE
IH
d
mit der Konstanten AE und der Leiterdicke d.
4.9
Magnetojunction-Effekt
Veränderung des Widerstandes an einem pn-Übergang durch Ablenkung der Eletronen bzw. Löcher in der Grenzschicht.
4.10
Fluxgate Sensotrn
~
Für hochpräzise B-Feld-Messungen
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5
Stand: 29. Januar 2006
Seite 4
Elektrische Wandler
5.1
Kapazitive Wandler
Bezeichnungen:
% Volumenladungsdichte dQ/dV
~
D
Flächenladungsichte
ε
Permittivität
Allgemene Berechnungsformel der Kapazität:
C=
H
~ · dA
~
D
Q
= RA 2
~ s
U
1 Ed~
Messung der Kapazität über Kapazitäts-Spannungs-Wandlung (Monoflop, Spannungsänderung bei const. Ladung
im Kondensatormitkrophon) oder Kapazitäts-Frequenzwandlung (Schwingkreis, Astabiler Mulitvibrator)
5.2
Piezoelektrische Wandler
Elektrostriktion und Piezoelektrizität sind Erscheinungen von dielektrischen Stoffen, bei denen ein elektrisches Feld
~
mit mechanischen Deformationen verknüpft ist. Pyroelektrizität beschreibt die Erzeugung eines E-Feldes
aufgrund
von Temperaturänderungen.
5.2.1
Elektrostriktion
~
Mechanische Verzerrung aufgrund eines E-Feldes
(Dipolmoment).
2
∆l
~
= k E E
l
Elektrostriktion ist nicht reziprok, keine Vorzeichenabhängigkeit. Sehr geringer Effekt.
5.2.2
Piezoelektrizität
~
Permenentes Dipolmoment durch speziellen Herstellungprozess (oberhalb der Curie-Temperatur TC starkes E-Feld
anlegen, Dipole einfrieren“ durch Abkühlen unterhalb TC bei angelegtem Feld), Effekt vorzeichenabhängig.
”
5.2.3
Pyroelektrizität
Echte“ P: Elektrische Aufladung bestimmter Kristallflächen aufgrund von Temperaturänderungen. Nicht an Ver”
formung gebunden.
Falsche“ P: Piezoelektrizität durch temp.abhängige Ausdehnung
”
5.2.4
Piezoelektrischer Effekt
Ladungstrennung aufgrund mechan. Spannungen.
• Einkristalle: z. B. Quarz (relativ tempunabh.) → k < 10%
• Polykristallin-keramisch: PZT Bleikirkonat-Titanat (PbTiO3 ) oder Bariumtitanat BaTiO3 → k > 40% AKTIVIERUNG!
• Polymere: PVDF, TC = 60..80◦ C, Aktivierung!
• EMF: Elektromagnet. Film, geschäumtes Polypropylen, TC = 60..80◦ C
Reziproker Effekt (Verformung durch Anlegen eines Feldes) möglich.
Aufgrund der geringen Eigenkapazität wird in Messschaltungen oft ein Ladungsverstärker eingesetzt.
Übungsaufgabe!
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5.2.5
5.3
Stand: 29. Januar 2006
Seite 5
Pizeoresistive Sensoren
Dehnungsmessstreifen (DMS)
Meist mäanderförmiger Aufbau zur Messung mechan. Dehnungen. Veränderung des elektr. Widerstandes. Empfindlichkeit k ist definiert als
∆R/R
k=
∆l/l
und bei vielen Metallen kappr ox2. Auswertung vorzugsweise über Wheatstonsche Brückenschaltungen.
6
6.1
Temperatursensoren
Thermoelement (Seebeck-Effekt)
Elektronenaustausch an der Berührungsstelle zweier unterschiedlicher Metalle mit verschiedenen Austrittsarbeiten.
Kontaktspannung U an der Berührungsstelle aufgrund eines elektrischen Feldes
U=
kT
nA
· ln
= kAB T
e0
nB
Es gibt eine Tabelle (Spannungsreihe) mit Thermokoeffizienten kmetall verschiedener Materialien bezogen auf Platin
in [mV / 100K]. Es gibt immer eine Konaktstelle auf Messtemperatur und drei auf Referenztemperatur (z.B. CuFe-CuNi-Fe-Cu). Damit ergibt sich in diesem Fall
uth = kF e−CuNi [Tm − Tr ]
Der Peltier-Effekt ist der reziproke Effekt zum Seebeck-Effekt: Fließt ein Strom über eine Kontaktstelle verschiedener Metalle, so ergibt sich je nach Stromrichtung eine Erwärmung/Abkühlung an den Kontakten.
6.2
Widerstandsthermometer
z.B. PT100 hat bei 0◦ C einen Widerstand von 100Ω. Widerstand steigt nahezu linear mit der Temperatur im
Arbeitsbereich. Nachdem der quatratische Term der Reihenentwicklung des Widerstands negativ ist (Kurve flacht
leicht ab), müssen zum linearisieren aufwendige NIC-Schaltungen [Negative Impedance Converter] oder µC verwendet werden. Billiger und größerer Tempkoeffizient: Ni100, jedoch geringerer Tempbereich.
6.3
Heiß- und Kaltleiter (NTC u PTC)
Höhere Empfindlichkeit, aus Halbleitermaterialien (Si) oder Pulvern (Fe-, Ni-, Co-oxid). Jedoch geringere Genauigkeit als Widerstandsthermometer.
6.3.1
Heißleiter (NTC)
Heißleiter. Zunehmender Ladungsträgeranzahl bei höherer Temperatur: aufgrund höherer Energie können die Elektronen leicher vom Valenz- ins Leitungsband gelangen. Zusammenhang zwischen Widerstand und Temperatur ist
eine reziproke Exponentialfunktion
R(ϑ) = RN · e
B( ϑ1 − ϑ1 )
N
RN : Bezugswiderstand, ϑN : Bezugstemp., B: Materialkonst.
Typische Empfindlichkeiten für NTCs [-3..-6]%/K
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6.3.2
Stand: 29. Januar 2006
Seite 6
Kaltleiter (PTC)
Positiver Temperaturkoeffizient. Abnahme der Leitfähigkeit aufgrund von zunehmenden Gitterschwingungen (→
abnehmende Ladungsträgerbeweglichkeit). Im steilen Bereich Annäherung durch
R2 = R1 · e αP T C (ϑ2 −ϑ1 )
Normierter Temperaturkoeffizient bei Standard PTC ca. 0, 24K − 1.
6.4
PN-Übergang als Temperatursensor
mkT
U=
· ln
e
I
IS K
+ mUg ,
Ug =
Eg ∂U
U − mUg
=
(< 0)
e ∂T
T
m = 1..2: Idealitätsfaktor
7
Optische Wandlerprinzipien
Man unterscheidet generell zwischen äußeren, inneren und Sperrschicht-Photoeffekt.
7.0.1
Äußerer Photoeffekt
Metalle, meist Alkalimetalle, wegen geringer Austrittsarbeit / gutem Absorbtionskoeffizient. Durch elektromagnetische Strahlung werden Ladungsträger aus dem Kristallverband gelöst. Die Energiebedingung
hν ≥ eUA ,
ν: Frequenz des Lichtquants, A: Austrittsarbeit
muss erfüllt sein.
~
Bei Photozellen werden austretende Elektronen durch ein E-Feld
zur Anode beschleunigt. Typ. Empfindlichkeit
10nA/lx, mit Sekundärelektronenvervielfacher bis 10A/lx.
7.0.2
Innerer Photoeffekt
Im Halbleiter werden Elektronen von Valenzband ins Leitunsband gehoben, wenn
hν ≥ ∆E,
∆E: Bandabstand
Dadurch erhöht sich die Zahl der freien Ladungsträger N, was den spezifischen Widerstand gemäß
ς=
1
V
=
,
p |e0 | µ
N |e0 | µ
µ: Ladungsträgerbeweglichkeit
verringert.
Technischer Einsatz bei Photowiderständen, bei denen Lichteinfall eine Widerstandsabnahme bewirkt. Leitfähigkeit
ist dabei direkt proportionel der Beleuchtungssärke EV . Besonders geeinete Materialien: Cadmiumsulfid (CdS),
Indiumantimonid. Empfindlichkeit (CdS): 10µA/lx bei U0 = 10V .
7.0.3
Sperrschicht-Photoeffekt
Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren in der Sperrschicht eines pn-Übergangs → Driftstrom aufgrund des dort
vorhandenen E-Feldes. Bei Absorption außerhalb des pn-Übergangs musen die Ladungsträger erst in die Raumladungszone hineindiffundieren.
Wichtigste Bauteile:
Photoelement: ohne elektrische Vorspannung, daher geringes Eigenrauschen und großes Nachweisvermögen, aber träge (Zeitkonstanten bis 20ms). Anwendung: empfindliche Messung d. Bestrahlungsstärke
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Photodiode: Es verringert sich durch die angelegte Spannung die Sperrschichtkapazität durch Verbreiterung der Raumladungszone, daher Frequenzen bis in den MHz-Bereich. Weitere Steigerung der Grenzfrequenz durch hochohmige intrinsische Schicht (PIN-Dioden) bis in den GHz-Bereich.
Phototransistor: B − C-Strom ICB wird von der Bestrahlungsstärke gesteuert. Für C − E-Strom gilt
ICE = (1 + β)ICB .
Intrinsische Verstärkung. Da aber die Stromverstärkung β von Strom abhängig ist, schlechte Linearität zw.
Bestahlungsstärke und Photostrom. fgr enz ≈ 100kHz.
8
Faseroptische Systeme
LWL: core, cladding, jacket.
Modenzahl M und Strukturkonstante V :
M=
V2
,
2
V =
1πr
λ0
q
1πr
2
2
nKern
− nMantel
=
NA.
λ0
Multimode-Stufenindex-Faser (Stufenprofilfaser):
starke Impulsverbreiterung Verschmieren“ = Modendispersion (unterschiedlich lange Laufwege) schränkt Band”
breite ein.
Multimode-Gradientenindex-Faser (Gradientenfaser):
geringere Impulsverbreiterung durch radial nach außen abnehmenden Brechungsindex (also keine Stufen). Modendispersion um einige Größenordnungen geringer.
Monomode-Faser:
keine Modendispersion. Kann aufgrund des kleineren Kerndurchmessers (≈ 10µm) nur eine Grundmode führen.
Für Strukturkonstante gilt: V ≤ 2, 4 (1. Nullstelle der Besselfkt. 0. Ordnung). Teueres Herstellungsverfahren und
ausschließlich aus Quarzglas im Gegensatz zu Mulitmode-Fasern (Kunststoff).
Monomode Sensoren arbeiten meist nach dem Interferometer-Prinzip mit kohärentem (Laser-)Licht, Mess- und
Referenz-LWL aufgrund der Phasenmodulation. Siehe Skript!
8.1
Integrierte Optik
Monomode-LWL aus Lithiumniobat (LiNbO3 ) - Titandotiert - und Glas für sichtbares, III-V-HL (GaAs) und Si für
Infratotlicht. (Optische Chips)
8.2
Microbending-Sensor
Auskopplung von Licht bei Überschreitung des Akzeptanzwinkels + − ΘA beim Verbiegen der LWL (von außen)
wird mit Photodetektoren überwacht. Allgem. schleichte Genauigkeiten durch parasitäre Einflüsse bei intensitätsmodulierten Sensoren.
8.3
Interferometer
Phasenmodulierte optische Sensoren. Rückwirkungsfreies Messen mit höchster Präzision.
Grundidee:
Monochomatische, kohärente Lichtquelle (Laser) → Strahlteiler →
Strahlteiler → Photodetektor.
Der Photostrom ist
ID = ε(1 + K cos ϕ(t))
Referenzstrahl
Signalstrahl
→ Rekombination im
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ε: Proportionalitätskonstante (abh. von Eingangsleistung). Phasendifferenz
ϕ(t) = 2β |xm (t) − xr ef |
mit β =
2πn
λ0
Quadraturpunkte (größte Wegempfindlichkeit und Linearität) sind bei ϕ = + − (2k + 1) π2 zu finden.
Wichtige Typen:
• Michelson-Interferometer
• Mach-Zehnder-Interferometer
• Fabry-Perot-Interferometer
• Faseroptische Kreiselsysteme
Sagnac-Effekt: Faseroptischer Kreisel. Ein Strahl im Uhrzeigersinn, einer entgegen. Bei einer Drehgeschwindigkeit
Ω des Systems gilt für den Phasenunterschied ∆Φ
8πA
4πL · R
∆Φ =
Ω,
A: umschlossene Fläche, L: Lichtlaufweg, R: Radius
Ω=
λ0 c0
λ0 c0
9
Sensor-Parameter
Betrachtung der Sensoren als Vierpol mit Eingangssignal x und Ausgangssignal y .
9.1
9.1.1
Statische Eigenschaften
Empfindlichkeit
beim linearen Sensor konstant, beim nichtlinearen Sensor abhängig vom Arbeitspunkt.
dx linear 0
dx
S(x1 ) =
→ S =
dy x1
dy
Bei passiven Sensoren hängt wird S 0 in je Volt Speisespannung U0 angegeben, darum gilt hier für die effektive
Empfindlichkeit
S = S 0 · U0
9.1.2
Auflösung
Die maximale relative Auflösung Rmax bezeichnet die kleinste Änderung der Messgröße die im Ausgangssignal noch
detektierbar ist, bezogen auf den Messbereich
Rmax =
∆xmin
100%
xmax − xmin
Die mittlere Auflösung R̄max ist die Mittelung der Einzelauflösungen über den Messbereich
Pn
i=1 ∆xmin
R̄max =
100%
n(xmax − xmin )
9.1.3
Fehlerdefinition
relativer Fehler = Differenz zwischen gemessenem Wert yist und wahrem Wert ysoll bezogen auf Bezugswert (=oft
Messbereichs-Endwert oder Messbereichsumfang)
f =
yist − ysoll
100
Bezugswert
Es gibt Systematische Messfehler (korrigierbar) und zufällige Fehler (durch hohe Anzahl von Messungen verkleinerbar, nicht korrigierbar).
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Seite 9
• Linearitätsfehler: Approximation (Endpunkte verbinden oder Fehlerquadratminimierung)
• Hysterese-Fehler: Umkehrspanne = Hysteresefehler zw. 45% und 55% d. Messbereichs (steigend 6= fallend)
• Querempfindlichkeiten: Ausgangssignal von anderen Umgebungsparametern beeinflusst (Kennlinienfelder).
• Selektivität und Spezifität (für Sensorsysteme): ideale Selektivität = Sensorsystem ohne Querempfindlichkeiten (Diagonale Systemmatrix), ideale Spezifität nur eineinziger von Null verschiedener Eintrag Sii in der
Systemmatrix = Sensor ohne jegliche Umwelteinflüsse und Nebenwirkungen.
9.1.4
Kleinstes detektierbares Signal (MDS=Minimum Detectable Signal)
Das MDS entpricht dem Effektivwert der Rauschspannung aller internen Sensor-Rauschquellen bezogen auf den
Eingang des Sensors. Liegt das MDS an, so gilt ein Signal-Rauschverhältnis von 1
S
= 0dB = 1
N
9.1.5
Zeitliche Konstanz (Drift)
Kurzzeitdrift, Lanzeitdrift; Nullpunktdrift, Übersetzungsdrift
9.1.6
Wiederholgenauigkeit
Repeatability in % bezogen auf ymax
9.2
9.2.1
Dynamische Eigenschaften
Übertragungsfunktion
G(s) =
Y (s)
X(s)
auch: Impulsantwort g(t) (Gewichtsfunktion) und Sprungantwort
9.3
Fehler durch Umgebungseinflüsse
Parasitäre Einflüsse z.B. Temperatur, etc... → Nullpunktfehler und Messbereichsfehler.
9.4
Zuverlässigkeit
MTTF = Mean Time Between Failures
Frühausfälle (Infant mortality), Zufallsausfällt (Random failure), Verschleißausfälle (Wear-Out)
9.5
Signal-Rausch-Verhältnis
S
[dB] = 20 lg
N
Us
Ur
Kleinstes detektierbares Signal bei S/N = 1=0dB
ˆ
=20
ˆ lg
Si Xi
Ur
(Effektivwerte)