Das elektrostatische Feld
Werbung
Das elektrostatische Feld Zahlenbeispiel Welche Plattenfläche ist bei einem Plattenabstand von 1mm erforderlich um die Kapazität 1 F zu realisieren? As ⋅ 1mm Cd 1mm 10 9 V A= m 2 = 113km 2 = = = ε 0 8.854 ⋅ 10 −12 As 8.854 ⋅ 10 −12 1 8.854 Vm m 1 Technische Kapazitätswerte liegen im Bereich mF, μ F oder nF. 1.17.1 Der Kugelkondensator + +Q U − −Q G G bG U ab = ∫ E ⋅ dr = ∫ er b a a G Q b1 Q b− a Q e dr dr ⋅ = = = ∫ 2 r 2 4πε 0 r 4πε 0 a r 4πε 0 ba C Q 1-54 C = 4πε 0 ba b− a Das elektrostatische Feld Sonderfall 1 Kugelkondensator mit b = a + d Plattenabstand d → 0 und sehr kleinem ba 4π a 2 A ≈ ε0 = ε0 K C = 4πε 0 b− a d d Es folgt die Gleichung des Plattenkondensators mit A = AK Sonderfall 2 Kapazität einer Kugel gegen die unendlich ferne Hülle, d.h eines Kugelkondensators mit b → ∞ C = 4πε 0 ba ba ≈ 4πε 0 = 4πε 0 a b− a b Die Kapazität ist dem Kugelradius proportional; z.B. beträgt die Kapazität der Erdkugel (a=6360km) C ≈ 700 μ F . Für die Feldstärke an der Kugeloberfläche folgt E= Q 4πε 0 a 2 → U= Q 4πε 0 a 1-55 → E= U a Feldüberhöhung an scharfen Kanten ! Das elektrostatische Feld Frühe Kondensatoren (von lat.: Condensus: „dichtgedrängt“, bezogen auf die elektrischen Ladungen) Leidener Flasche (1745) Eine weiterentwickelte elektrostatische Batterie um 1795. Benjamin Franklin verband eine Leidener Flasche über eine Metallschnur mit einem Drachen, den er in den Himmel steigen ließ. Es gelang ihm mit diesem gefährlichen Experiment, Ladung von Gewitterwolken auf eine Leidener Flasche zu übertragen. Er prägte den Begriff „electrical condenser“. 1-56 Das elektrostatische Feld Kondensatoren zur Montage auf Printplatten Keramikkondensatoren, gewickelte und geschichtete Folienkondensatoren, Tantal- und Aluminium-Elektrolytkondensator, Doppelschichtkondensator, etc. 1-57 Das elektrostatische Feld 1.18 Einfache Kondensatornetzwerke In der praktischen Schaltungstechnik werden ggf. mehrere Kondensatoren zusammengeschaltet. Grundformen sind die Parallelschaltung und die Reihenschaltung. Es stellt sich die Frage nach der Ersatzkapazität Cges. Parallelschaltung Die Potentialdifferenz U ist für alle Kondensatoren gleich. Teilladungen Gesamtladung Gesamtkapazität Qk = CkU n n n k =1 k =1 k =1 Qges = ∑ Qk = ∑ CkU = U ∑ Ck = UC ges n C ges = ∑ Ck k =1 1-58 Das elektrostatische Feld Reihenschaltung Bringt man auf die beiden äusseren mit den Anschlüssen verbundenen Platten die Ladung ±Q auf, werden auf den inneren Platten jeweils Ladungen ±Q influenziert. Alle Kondensatoren weisen die Ladung ±Q auf. Für die Teilspannungen folgt somit Für den Gesamtkondensator gilt Q Ck Q = C gesU ges Uk = n Gesamtspannung Gesamtkapazität 1-59 1 1 =Q k =1 C C ges k n U ges = ∑ U k = Q ∑ k =1 n 1 1 =∑ C ges k =1 Ck Das elektrostatische Feld ! C ges = Gesamtkapazität von zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren C1 ⋅ C2 C1 + C2 1.19 Praktische Ausführungsformen von Kondensatoren Vielschichtkondensator n =2 Im Gegensatz zu einem Plattenkondensator tragen alle inneren Platten mit beiden Oberflächen zur Kapazität bei. A = ab C ges = (2( n − 1) + 1)C = n =5 = (2 n − 1) C C ges = (2 n − 1) ε ab d Häufig werden Kondensatoren auch aus Metall- und Kunststofffolien gewickelt. 1-60 Das elektrostatische Feld 1.20 Teilkapazitäten Besteht eine Anordnung nicht nur aus zwei sondern aus mehreren leitenden Teilen, endet der von einem Teil ausgehende elektrische Fluss teilweise auf anderen Teilen und teilweise auf der unendlich fernen Hülle. In diesem Fall ist ein Ersatzschaltbild mit mehreren Kapazitäten zu verwenden. Teilkapazitäten einer Freileitung ► Die Teilkapazitäten sind proportional den elektrischen Teilflüssen. ► Die verursachenden Teilladungen werden den Kondensatoren zugeordnet. 1-61 Das elektrostatische Feld 1.21 Der Energieinhalt des Feldes Für die Berechnung der in einem Kondensator C mit Spannung U gespeicherten elektrischen Energie We untersuchen wir die Aufladung eines Kugelkondensators. Anfangszustand: Endzustand: ungeladen ±Q Energiezuwachs durch Transport von dq von der äusseren zur inneren Schale bei ! Zwischenzustand ± q dWe = (ϕ ea − ϕ eb )dq = U ab dq = 1 qdq C Die Integration der elementaren Beiträge zur gesamt gespeicherten Energie ergibt unabhängig von der Bauform des Kondensators: 1Q 1 Q2 We = ∫ qdq = C0 2 C → We = 1-62 1 1 CU 2 = QU 2 2 Das elektrostatische Feld Parallelschaltung von Kondensatoren Ausgangszustand: Kondensator C1 mit Spannung U1 Kondensator C2 mit Spannung U2 We 0 = 1 1 C1U12 + C2U 22 2 2 Wie ändert sich die Gesamtenergie bei Verbindung der positiven und der negativen Klemmen von C1 und C2 ? Gesamtkapazität C ges = C1 + C2 Ladungssumme Qges = Q1 + Q2 = C1U1 + C2U 2 ! 1 Qges 1 ( C1U1 + C2U 2 )2 We = = 2 C ges 2 C1 + C2 2 Energie der Parallelschaltung Die Energiedifferenz infolge des Zusammenschaltens begründet sich durch Verluste des Ausgleichsstromes in den Verbindungsleitungen und steigt mit steigender Differenz (U1-U2). ΔWe = We − We 0 = =− 1-63 1 C1C2 (U1 − U 2 )2 < 0 2 ( C1 + C2 ) Das elektrostatische Feld Parallelschaltung eines geladenen und eines ungeladenen Kondensators gleicher Kapazität C. Beispiel S Q U C S + + − − U=0 1 2 C Ladungssumme Q Spannung U C Energie Q C + − + − 1 2 Q 1 2 U C R R Kapazität U 1 2 We 0 = 1 CU 2 2 Q 1 2U 2C 1 1 We 0 = (2C )( 12 U )2 = CU 2 2 4 ! Bei Parallelschaltung eines geladenen und eines ungeladenen Kondensators gleicher Kapazität geht die Hälfte der ursprünglich gespeicherten Energie verloren! 1-64 Das elektrostatische Feld Berechnung der Energie aus den Feldgrössen Ausser über die integralen Grössen Q und U kann die Energie eines Kondensators auch aus den Feldgrössen berechnet werden. Plattenkondensator mit homogenem Feld: Energiedichte (Energie je Volumseinheit): Energie für allgemeine inhomogene Felder: We = 1εA 1 1 Ad = E DV ( Ed )2 = ε E 2 N 2 d 2 2 V 1 1 G G we = E D = E ⋅ D 2 2 [ we ]= VAs m3 ! 1 G G We = ∫∫∫ we dV = ∫∫∫ E ⋅ DdV 2 V V Die Feldberechnung ist immer dann notwendig, wenn Ersatzschaltbilder abgeleitet werden sollen. Ist die Kapazität C einer Anordnung bereits bekannt, gestaltet sich die Berechnung über die Spannung ungleich einfacher. 1-65 Stationäres elektrisches Strömungsfeld Kapitel 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Das stationäre elektrische Strömungsfeld Der elektrische Strom Die Stromdichte Definition des stationären Strömungsfeldes Ladungsträgerbewegung im Leiter Spezifische Leitfähigkeit Das Ohmsche Gesetz Ausführungsformen von Widerständen Verhalten der Feldgrössen an Grenzflächen Energie und Leistung 1-66 Stationäres elektrisches Strömungsfeld Wir haben bisher Anordnungen mit ruhenden Ladungen betrachtet, nun untersuchen wir den physikalische Vorgang einer im zeitlichen Mittel konstanten Ladungsträgerbewegung. 2.1 Der elektrische Strom Ausgangssituation: Elektroden mit Gesamtladung ± Q Spannung zwischen U12 = ϕ e1 − ϕ e 2 den Elektroden: Eine dünne leitfähige Verbindung der Elektroden führt zu einem Ausgleich der Ladungen (Ladungsträgerbewegung entsprechend der Feldrichtung). Endzustand : Elektroden auf gleichem Potential; Q=0. 1-67 Stationäres elektrisches Strömungsfeld Bewegung von Ladungsträgern Elektrischer Strom; die Stromrichtung ist von der positiven zur negativen Elektrode als positiv definiert. Die Stromrichtung stimmt mit der Richtung der elektrischen Feldstärke im Leiter überein. Konvektionsstrom: Transport von Ladungsträgern G ∂D Verschiebungsstrom: ∂t Ist nicht an einen Ladungsträgertransport gebunden −− Stromstärke ++ ++ −− In Δ t durch die leitende Verbindung fliessende Ladungsmenge Δ Q mit dem Augenblickswert: Δ Q dQ = Δ t→0 Δ t dt I ( t ) = lim 1-68 [ I ]= A (Ampere) Stationäres elektrisches Strömungsfeld 2.2 Die Stromdichte Ist der gesamte Raum zwischen Elektrode 1 und 2 mit leitfähigem Material gefüllt, wird sich der Gesamtstrom I mit einer ortsabhängigen Dichte über den Raum verteilen. Stromdichte: Stromanteil je Flächenelement: Die Bewegung von Ladungsträgern ist eine gerichtete Grösse. 1-69 J= ΔI ΔA [ J] = A m2 Stationäres elektrisches Strömungsfeld Wir betrachten ein elementares Volumselement (Stromröhre) das so gewählt ist, dass die Bewegung von Ladungsträgern parallel zur Mantelfläche erfolgt. x2 Bewegung der Ladungsträger in Δ t : Δ x = vxΔ t In Δ t werden sich alle Ladungsträger in ΔV durch die Kontrollfläche bei x2 bewegen. ΔV = ΔAΔ x Ladungsmenge: ΔQ = ρ ΔV Die Stromdichte in x-Richtung folgt zu: Jx = ΔI ΔQ ΔQ Δx = = = ρ vx Δ A Δ AΔ t Δ V Δ t G G J = ρv Allgemeiner Fall: 1-70 Stationäres elektrisches Strömungsfeld G Das Produkt ρ v ist für beide Ladungsträgerarten gleich ! ρ>0 G G G J = ρ v = ( − ρ )( − v ) ρ<0 G +e + v G J→ G −v G − −e J→ G E Berechnung des Gesamtstromes Strom durch das vektorielle Flächenelement G G G dA = n dA n =1 G G G dI = J ⋅ dA = J dA cos α G G I = ∫∫ J ⋅ dA Gesamtstrom: A 1-71 Stationäres elektrisches Strömungsfeld 2.3 Definition des stationären Strömungsfeldes Soll der Strom (die Stromdichte) zeitunabhängig einen konstanten Wert aufweisen, müssen die von den Elektroden abfliessenden Ladungsträger immer wieder nachgeliefert werden. ► Die innerhalb einer Hüllfläche vorhandene Gesamtladung ist also zeitlich konstant. ► Das Integral der Stromdichte über eine geschlossene Fläche muss also verschwinden: G G I=w ∫∫ J ⋅ dA = 0 A 1-72 Stationäres elektrisches Strömungsfeld 2.4 Ladungsträgerbewegung im Leiter Bei Metallen können sich die Elektronen frei innerhalb des Atomverbandes bewegen. Ein Material mit frei beweglichen Elektronen wird als Leiter bezeichnet. Ohne äusseres Feld: Die Bewegung ist ungeordnet, es ist kein resultierender Konvektionsstrom feststellbar. G ve Mit äusserem Feld: Es tritt eine beschleunigte Bewegung auf, immer wieder unterbrochen durch Zusammenstösse. Im Mittel entsteht eine Bewegung mit Driftgeschwindigkeit: 1-73 G G ve = − μe E Stationäres elektrisches Strömungsfeld Beweglichkeit μ : Proportionalitätsfaktor von Driftgeschwindigkeit und Feldstärke (positive Grösse!) Beispiel Driftgeschwindigkeit der Elektronen in Kupfer Kupferkabel mit Querschnitt Strom A=1mm2 I = 8A 1mm3 Kupfer enthält 8.5.1019 Atome mit jeweils einem freien Elektron; daraus folgt eine Raumladungsdichte: Q 8.5 ⋅ 1019 As −19 = − 13.62 ρ = = −1.602 ⋅ 10 As V mm 3 mm 3 Driftgeschwindigkeit für die angenommene Stromdichte: v = J ρ 8A mm 3 = = 0.59 mm s As mm 3 Wird der Stromkreis geschlossen, setzt die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitende Feldstärke die Elektronen praktisch gleichzeitig in Bewegung. 1mm 2 ⋅ 13.62As 1-74 Stationäres elektrisches Strömungsfeld 2.5 Spezifische Leitfähigkeit / Spezifischer Widerstand Wir können nun einen Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstärke angeben: G G G G G G J = ρ v = ( − en) v e = ( − en)( − μ e E ) = neμ e E = κ E Spezifische Leitfähigkeit κ Anstelle der Leitfähigkeit wird vielfach der spezifische Widerstand zur Charakterisierung eines Materials verwendet Materialkenndaten bei 20°C [ J ] A/m 2 A 1 [κ ] = = = = [ E ] V/m Vm Ω m Kupfer Aluminium Silber Graphit ρR = 1 [ ρ R ] = Ω m; κ κ = 56 m Ω mm 2 35 62,5 0,125 1-75 Ω mm 2 m ρ R = 0.0178 0.0287 0.016 8 Ω mm 2 m Stationäres elektrisches Strömungsfeld Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes ρ R (T ) = ρ R ,20° C ⋅ [1 + α (T − 20°C )] = ρ R ,20° C (1 + α ΔT ) Temperaturkoeffizient α Materialkenndaten bei 20°C Kupfer Aluminium Silber Graphit Metalle [α ] = K −1 α = 0.00039 0.00038 0.00038 -0.00002 1 K ► Bei höherer Temperatur stärkere Schwingung der Gitteratome ► Steigende Wahrscheinlichkeit für Kollisionen mit Elektronen ► Abnehmende freie Weglänge und Beweglichkeit ► Steigender spezifischer Widerstand Halbleiter ► Ebenfalls abnehmende Beweglichkeit der freien Ladungsträger ► Zunahme der Ladungsträgerzahl mit der Temperatur ► Sinkender spezifischer Widerstand (neg. Temperaturkoeffizient) 1-76 Stationäres el. Strömungsfeld 2.6 Das Ohm´sche Gesetz Das Ohm‘sche Gesetz in differentieller Form G G J =κE Im Gegensatz zur Elektrostatik tritt in stromdurchflossenen Leitern mit endlicher Leitfähigkeit eine elektrische Feldstärke auf. Zylinderförmiger Leiter G G J = ex J x G 1 G G E = J = ex Ex I A I Ex = κA Jx = κ U12 l G G I l Il = U12 = ϕ e1 − ϕ e 2 = ∫ e x E x ⋅ e x dx = ∫ E x dx = dx ∫ κ A x=0 κA x=0 x=0 l I = GU12 → U12 = R I Quelle welche die Ladungsträger wieder auf höheres Potential bringt Ohm‘sches Gesetz in integraler Form; Strom und Spannung in gleicher Richtung positiv gezählt 1-77
