SS 2006 Ansprechpartner Vorstellung Prof. Hinrichsen
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ETiT II / VL 1 1 ETiT II / VL 1 3 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Elektrische Netzwerke • Ohm'sches Gesetz • 1. und 2. Kirchhoffsche Gleichungen • Parallel- und Reihenschaltungen • Strom- und Spannungsmessung • Lineare und nicht-lineare Zweipole • Superpositionsprinzip (Helmholtz) • Umlauf- und Knotenanalyse • Operationsverstärkerschaltungen 5 Grundlagen (Ladung, Strom, Spannung, Widerstand, Energie, Leistung, ....) Einheiten und Gleichungen Themen ETiT I Fachgebiet Hochspannungstechnik • seit 1.8.2001: Universitätsprofessor, TUD, FG Hochspannungstechnik • 1992 - Juli 2001: Entwicklungsleiter für Überspannungsableiter, Siemens PTD, Berlin • 1989: Prüffeldingenieur Siemens Schaltwerk Hochspannung, Berlin • Promotion 1990 auf dem Gebiet Überspannungsableiter • Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Hochspannungstechnik und Starkstromanlagen der TU Berlin von 1982 - 1989 Schwerpunkte: Starkstromanlagen (Hauptfach) Hochspannungstechnik (Vertiefungsfach) Elektronik (Hauptfach) Elektrische Messtechnik (Hauptfach) • Geboren im Juli 1954 in Westerland/Sylt • Verheiratet, Tochter (1982), Sohn (1985) • Studium der Elektrotechnik an der TU Berlin Vorstellung Prof. Hinrichsen Fachgebiet Hochspannungstechnik www.hst.tu-darmstadt.de Prof. Dr.-Ing. Volker Hinrichsen Dipl.-Ing. Alexander Rocks SS 2006 Mittelspannungsableiter (24 kV) ETiT II / VL 1 400-kV gasisolierte Hochspannungsableiter ETiT II / VL 1 4 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Maxwell'schen Gleichungen ETiT II / VL 1 6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf Leitungen Zeitlich veränderliche elektromagnetische Felder Zeitlich veränderliche magnetische Felder Stationäre magnetische Felder Stationäre elektrische Strömungsfelder Elektrostatische Felder Themen ETiT II Fachgebiet Hochspannungstechnik Ableiter für die Bahn (15 kV) und die Straßenbahn (750 V) Ersatzschaltbild (Varistor) Überspannungsableiter Fachgebiet Hochspannungstechnik Dipl.-Ing. Alexander Rocks FG Hochspannungstechnik S3|10 308 Tel. 16-2729 E-mail: [email protected] Prof. Dr.-Ing. Volker Hinrichsen FG Hochspannungstechnik S3|10 313 Tel. 16-2529 E-mail: [email protected] Ansprechpartner 800-kVHochspannungsableiter • Die Sprechstunden finden im ET-Lernzentrum statt (erster Termin: 27.4.): Hin Hin Hin Hin Rocks Hin Hin Hin Vortragender Hin Hin Hin Hin Hin Hin Hin Rocks Hin Hin Hin Hin Hin Hin Hin Hin Hin Hin Hin 22 23 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 13a 14 15 16 17 VL-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 7 VL-Inhalt (unverbindlicher Zeitplan) Kapitel (C/W) Seiten (C/W) Inhalt 3.1 / 3.2.1 / 3.2.2 (5 Seiten) 153-157 E-stat. Felder 3.2.3 / 3.3.1 (6 Seiten) 157-163 E-stat. Felder 3.3.2 / 3.4.1 / 3.4.2 / 3.4.3 (6 Seiten) 163-169 E-stat. Felder 3.5 / 3.6.1 / 3.6.2 / 3.6.3.1 (5 Seiten) 169-175 E-stat. Felder 3.6.3.2 / 3.6.3.3 / 3.7.1 bis Bsp. 3.9 (6 Seiten) 175-180 E-stat. Felder 3.7.1 Bsp. 3.9 / 3.7.2 / 3.8.1 (5 Seiten) 180-186 E-stat. Felder 3.8.2 / 3.9 (7 Seiten) 186-192 E-stat. Felder VL fällt aus; stattdessen: große Übung 3.10 (7,5 Seiten) 192-200 E-stat. Felder 4.1 / 4.2 (5,5 Seiten) 201-206 Stat.el.Strömungsfelder 4.3 / 4.4 (4,5 Seiten + Zusatzbsp. HST II) 206-210 Stat.el.Strömungsfelder 5.1 / 5.2 (6,5 Seiten) 211-217 Stationäre Magnetfelder 5.3.1 / 5.3.2 (6 Seiten) 217-223 Stationäre Magnetfelder 5.3.3 / 5.4 / 5.5 / 5.6.1 (5 Seiten) 223-228 Stationäre Magnetfelder Ergänzungen Stationäre Magnetfelder 5.6.2 / 5.6.3 / 5.6.4.1 / 5.6.4.2 / 5.6.4.3 (6,5 Seiten) 228-235 Stationäre Magnetfelder 6.1.1 / 6.1.2 / 6.1.3 / 6.1.4 / 6.1.5 (6 Seiten) 236-241 Zeitl. veränd. magn. Felder 6.2.1 / 6.2.2 / 6.3.1/ 6.3.2 (5,5 Seiten) 242-247 Zeitl. veränd. magn. Felder 6.3.3 / 6.3.4 / 6.4.1 (6,5 Seiten) 247-253 Zeitl. veränd. magn. Felder fällt aus 6.4.2 / 6.5 (3 Seiten) + 9.1 (3,5 Seiten) 254-257 + 202-205 Zeitl. veränd. magn. Felder 9.2 / 9.3 / 9.4 (6,5 Seiten) 205-211 Leitungen 9.5 / 9.6 / 9.7 (6 Seiten) 212-218 Leitungen 9.5 / 9.6 / 9.7 (6 Seiten) 212-218 Leitungen VL fällt aus; stattdessen: große Übung/Repetitorium 10.1 / 10.2 / 10.3 (6 Seiten) 219-225 Maxwellsche Gleichungen 10.4 (6 Seiten) 225-230 Zeitl. veränd. e-magn. Felder Abschlussvorlesung ETiT II / VL 1 ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 [M] Frohne, Löcherer, Müller Moeller Grundlagen der Elektrotechnik Teubner, 19. Auflage, 2002 ISBN 3-519-56400-9 Literatur – Moeller Fachgebiet Hochspannungstechnik 11 Besondere Empfehlung! 9 SS 06: insgesamt 28 VL-Termine; 24 werden benötigt + 1 Termin: Probeklausur Tag Mi. 19.4. Fr. 21.4. Mi. 26.4. Fr. 28.4. Mi. 3.5. Fr. 5.5. Mi. 10.5. Fr. 12.5. Mi. 17.5. Fr. 19.5. Mi. 24.5. Fr. 26.5. Mi. 31.5. Fr. 2.6. Mi. 7.6. Fr. 9.6. Mi. 14.6. Fr. 16.6. Mi. 21.6. Fr. 23.6. Mi. 28.6. Fr. 30.6. Mi. 5.7. Fr. 7.7. Mi. 12.7. Fr. 14.7. Mi. 19.7 Fr. 21.7. Organisatorisches … Fachgebiet Hochspannungstechnik • Das Bestehen der Klausur ohne intensives Rechnen Üben ist praktisch unmöglich!!!! • Die Teilnahme an den Übungen wird dringend (!!!!) empfohlen. Betreuer: Dipl.-Ing. Alexander Rocks ETiT II / VL 1 ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ISBN 3-211-82553-3 (Wien) ISBN 0-387-82553-3 (New York) ETiT II / VL 1 [P1] Prechtl Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1 Springer, 1994 Literatur – Prechtl Fachgebiet Hochspannungstechnik [C1] Clausert, Wiesemann Grundgebiete der Elektrotechnik 1 Oldenbourg, 7. Auflage, 1999 ISBN 3-486-25137-6 Literatur – Clausert/Wiesemann Fachgebiet Hochspannungstechnik 12 [P2] Prechtl Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik, Band 2 Springer, 1995 ISBN 3-211-82685-8 Besondere Empfehlung! 10 [C2] Clausert, Wiesemann Grundgebiete der Elektrotechnik 2 Oldenbourg, 7. Auflage, 2000 ISBN 3-486-25428-6 Vorlage Vorlage für für Vorlesung Vorlesung 8 (Nutzername und Passwort werden weder per E-Mail verschickt noch telefonisch mitgeteilt!) Nutzername: studentetit2 Passwort: etit2ss06 www.hst.tu-darmstadt.de • Die in der Vorlesung von Hand entwickelten Ableitungen oder vorgerechneten Beispiele stehen einen Tag nach der Vorlesung auf der Homepage bereit. • Die erste Übung findet in der zweiten Vorlesungswoche statt (am Fr. 28.04.2006). • Di. 14 – 17 Uhr • Do. 14 – 16 Uhr • Evtl. werden Aktualisierungen der Folien noch bis unmittelbar vor dem jeweiligen Vorlesungstermin vorgenommen. • Die Einteilung in Übungsgruppen erfolgt durch Eintragung in die aushängenden Listen am Fachgebiet Hochspannungstechnik ab dem 19.04.2006 (S3|10-3.Stock). Vorlesungsfolien und Rechenbeispiele Organisatorisches … • Neu: Sämtliche Vorlesungsfolien stehen ab sofort auf der Homepage des FG Hochspannungstechnik zum Herunterladen im pdf-Format bereit. Übungen zur Vorlesung ETiT II Organisatorisches … ETiT II / VL 1 Pre ge iswe ht's rte nic r h t! 14 17 ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik Literatur – Simonyi [S] Simonyi Theoretische Elektrotechnik Joh. Ambrosius Barth, 10. Auflage, 1999 ISBN 3-527-40266-7 Paperback We i spä terfüh tere ren V e d – fü rtie fu n r g [Wu] Wunsch, Schulz Elektromagnetische Felder Verlag Technik, 2. Auflage, 1996 ISBN 3-341-01155-2 Literatur – Wunsch, Schulz ETiT II / VL 1 18 We i spä terfüh tere ren V e d – fü rtie fu n r g 16 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 15 Literatur – Baier Fachgebiet Hochspannungstechnik Fachgebiet Hochspannungstechnik Pre ge iswe ht's rte nic r h t! 13 [H] Hagmann Grundlagen der Elektrotechnik Aula-Verlag, 9. Auflage, 2002 ISBN 3-89104-662-6 [B] Baier Grundlagen der Elektrotechnik II Vorlesungsskript 162 Seiten (Uni Kaiserslautern) Kostenloser Download aus dem Internet: www.eit.uni-kl.de/baier/Teaching/ glet2/script/glet2_skript.pdf ETiT II / VL 1 [F2] Führer, Heidemann, Nerreter Grundgebiete der Elektrotechnik 2 Hanser, 6. Auflage, 1998 ISBN 3-446-19068-6 Literatur – Hagmann [Wa] Waller Grundlagen der Elektrotechnik Teil 2 Vorlesungsskript 90 Seiten (FH Kiel) Kostenloser Download aus dem Internet: www.e-technik.fh-kiel.de/physik/eg2/eg2-1.pdf Literatur – Waller Fachgebiet Hochspannungstechnik [F1] Führer, Heidemann, Nerreter Grundgebiete der Elektrotechnik 1 Hanser, 7. Auflage, 2003 ISBN 3-446-22306-1 Literatur – Führer, Heidemann, Nerreter ETiT II / VL 1 ETiT II / VL 1 21 Preis: EUR 24,- Meine per sönliche Empfehlu ng! 19 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 23 Ein Ein Feld Feld ist ist ein ein Zustand Zustand des des Raumes, Raumes, bei bei dem dem jedem Raumpunkt ein Wert einer jedem Raumpunkt ein Wert einer physikalischen physikalischen Größe, Größe, der der Feldgröße, Feldgröße, zugeordnet zugeordnet werden werden kann. kann. Definition Sind physikalische Größen den Punkten eines Raumes zugeordnet (m.a.W.: ist der Raum von den Wirkungen dieser physikalischen Größe erfüllt), so nennt man diesen Raum ein Feld und die den Raumzustand charakterisierende Größe eine Feldgröße. Felder Fachgebiet Hochspannungstechnik Lothar Papula Mathematische Formelsammlung Broschiert - Vieweg Erscheinungsdatum: September 2001 ISBN: 3528644427 Literatur – Papula Fachgebiet Hochspannungstechnik Preis: EUR 65,50 / Ein Standardwerk! Gut zum Nachschlagen Gebundene Ausgabe - 800 Seiten - Verlag Technik Erscheinungsdatum: Oktober 2000 ISBN: 3341012419 Philippow, E. Grundlagen der Elektrotechnik Literatur – Phillipow ETiT II / VL 1 20 ETiT II / VL 1 22 Fachgebiet Hochspannungstechnik • Temperaturfeld • Druckfeld • elektrisches Potentialfeld Beispiele: Schreibweise: z.B. Temperatur T ETiT II / VL 1 24 T = 273 K Skalare Feldgrößen sind darstellbar durch Maßzahl und Einheit Skalarfeld Skalarfeld Ist die Feldgröße ein Skalar, d.h. eine ungerichtete Größe, spricht man von einem Skalare Felder bzw. Skalarfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Diese Diese Vorlesung Vorlesung folgt folgt der der Gliederung Gliederung von von Clausert/Wiesemann Clausert/Wiesemann [C1] [C1] [C2] [C2] und und verwendet verwendet zusätzlich zusätzlich den den Stoff Stoff und und die die Bilder Bilder aller aller vorab vorab gezeigten gezeigten Literaturstellen Literaturstellen [M] [M] [P1] [P1] [P2] [P2] [F1] [F1] [F2] [F2] [H] [H] [Wa] [Wa] [B] [B] [Wu] [Wu] [S] [S] sowie sowie gelegentlich gelegentlich weiterer weiterer einzelner einzelner Quellen Quellen (u.a. (u.a. Internet). Internet). Quellenhinweis Fachgebiet Hochspannungstechnik Taschenbuch - Springer, Heidelberg Erscheinungsdatum: 2000 ISBN: 3540677941 Preis: EUR 44,95 Ein Standardwerk! Gut zum Nachschlagen Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn Theoretische Elektrotechnik und Elektronik Eine Einführung Literatur –Küpfmüller ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Beispiel: Isokeraunen (Anzahl Gewittertage pro Jahr) Keraunische Keraunische Pegel Pegel weltweit weltweit Skalare Felder bzw. Skalarfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik 29 27 ETiT II / VL 1 26 ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Beispiel: Äquipotentiallinien in einer gasisolierten Schaltanlage (GIS) Skalare Felder bzw. Skalarfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik 30 28 Beispiel: Isobaren und Isothermen (Wetterkarte) ¡ Druckfeld, Temperaturfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Isobaren (Wetterkarte) ¡ Druckfeld 25 Skalare Felder bzw. Skalarfelder ETiT II / VL 1 Beispiel: Geografische Höhenlinien Skalare Felder bzw. Skalarfelder Skalare Felder bzw. Skalarfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Geografische Höhenlinien Darstellung zweidimensional durch Iso-Linien bzw. Niveaulinien .... Skalare Felder bzw. Skalarfelder ETiT II / VL 1 31 x z JG F ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik JG E ij ETiT II / VL 1 Feld- und Äquipotentiallinien eines Toroids Vektorielle Felder bzw. Vektorfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik 35 33 • Kraftfeld • Strömungsfeld (elektrisches Strömungsfeld, Windgeschwindigkeit) • elektrisches Feld Beispiele: JG (häufig auch einfach F) Schreibweise: z.B. Kraft F mit Fx, Fy, Fz (im kartesischen Koordinatensystem) Vektorfeld Vektorfeld y Ist die Feldgröße ein Vektor, d.h. eine gerichtete Größe, spricht man von einem Vektorielle Felder bzw. Vektorfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Äquipotentiallinien an einem Isolierstützer Skalare Felder bzw. Skalarfelder ETiT II / VL 1 32 ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik JG E 34 ETiT II / VL 1 36 Kabelschirm Eingearbeiteter Deflektor aus leitfähigem Silikon Kabelisolierung (VPE) Silikongummikörper Innenleiter Feld- und Äquipotentiallinien eines Feldsteuertrichters (Deflektors) ij Vektorielle Felder bzw. Vektorfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Liniendichte wird proportional dem Betrag der Vektoren gewählt, d.h. je dichter die Feldlinien, desto höher die Feldstärke. die so konstruiert sind, dass die Feldvektoren Tangenten an ihnen sind. Darstellung durch Feldlinien als Raumkurven, Vektorielle Felder bzw. Vektorfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Äquipotentialflächen Darstellung dreidimensional durch Niveauflächen .... Skalare Felder bzw. Skalarfelder ETiT II / VL 1 37 ETiT II / VL 1 38 ETiT II / VL 1 42 Fachgebiet Hochspannungstechnik 41 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Dem Abstand a zwischen zwei Äquipotentiallinien entspricht immer die gleiche Potentialdifferenz ǻU. E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung 40 Die Potentialverteilung wird prozentual angegeben. Bezugspotential Hochspannungspotential E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung ETiT II / VL 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik 39 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Elektrodenoberflächen sind Äquipotentiallinien. E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Feldverlauf an einem Stützisolator Alternative Darstellung durch "Feldkegel" (Größe und ggf. Farbe proportional dem Betrag der Feldstärke) Vektorielle Felder bzw. Vektorfelder Feldlinien und Äquipotentiallinien stehen senkrecht aufeinander. Darstellung aus Küchler: Hochspannungstechnik Springer, Berlin, 1996 ISBN 3-540-62070-2 E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung Fachgebiet Hochspannungstechnik Alternative Darstellung durch Vektoren in Rasterpunkten Vektorielle Felder bzw. Vektorfelder ETiT II / VL 1 43 ETiT II / VL 1 45 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Gleiche Richtung, gleicher Betrag JG E 47 Homogenes Feld: Feldgröße im betrachteten Raum konstant hinsichtlich Betrag und Richtung Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik b/a = 1 Alle vier Seiten der Kästchen müssen einbeschriebene Kreise berühren. E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung Fachgebiet Hochspannungstechnik Dem Abstand b zwischen zwei Feldlinien entspricht immer die gleiche Ladung ǻQ auf den Elektroden. E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung ETiT II / VL 1 44 ETiT II / VL 1 46 Darstellung aus Küchler: Hochspannungstechnik Springer, Berlin, 1996 ISBN 3-540-62070-2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Gleiche Richtung, ungleicher Betrag JG E 48 Inhomogenes Feld: Feldgröße im betrachteten Raum nicht konstant hinsichtlich Betrag und Richtung Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Randfeld eines Plattenkondensators E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung Fachgebiet Hochspannungstechnik Zweckmäßige Wahl: b/a = 1 Gitter von Kästchen mit den Seitenlängen a und b E-Feld: Zeichenregeln für die grafische Feldermittlung wächst ETiT II / VL 1 49 JG E ETiT II / VL 1 ETiT II / VL 1 -U JG E +U ij Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Plattenkondensator ETiT II / VL 1 -U JG E +U ij 53 ... mit Randfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 Beispiel: Plattenkondensator mit Wulst 54 Homogene Homogene Felder Felder stellen stellen die die Ausnahme Ausnahme dar. dar. 52 Homogene Homogene Felder Felder stellen stellen die die Ausnahme Ausnahme dar. dar. Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Plattenkondensator Homogene Homogene Felder Felder stellen stellen die die Ausnahme Ausnahme dar. dar. In In praktischen praktischen Anwendungen Anwendungen sind sind elektrische elektrische Felder Felder in der Regel inhomogen. in der Regel inhomogen. 50 In In praktischen praktischen Anwendungen Anwendungen sind sind elektrische elektrische Felder Felder in der Regel inhomogen. in der Regel inhomogen. 51 ETiT II / VL 1 Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Ungleiche Richtung, ungleicher Betrag JG E Inhomogenes Feld: Feldgröße im betrachteten Raum nicht konstant hinsichtlich Betrag und Richtung Homogenes Feld – Inhomogenes Feld In In praktischen praktischen Anwendungen Anwendungen sind sind elektrische elektrische Felder Felder in der Regel inhomogen. in der Regel inhomogen. Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Ungleiche Richtung, ungleicher Betrag JG E Inhomogenes Feld: Feldgröße im betrachteten Raum nicht konstant hinsichtlich Betrag und Richtung Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Gleiche Richtung, ungleicher Betrag JG E wächst Inhomogenes Feld: Feldgröße im betrachteten Raum nicht konstant hinsichtlich Betrag und Richtung Homogenes Feld – Inhomogenes Feld Senke ETiT II / VL 1 55 ETiT II / VL 1 57 Fachgebiet Hochspannungstechnik -19 C ee == 1,602·10 C 1,602·10-19 ETiT II / VL 1 59 8 Elektronen in der M-Schale (--> voll besetzt) 8 Elektronen in der L-Schale 2 Elektronen in der K-Schale (rot) Argon (Ar) 1 Elektron in der M-Schale (--> angefangen) 8 Elektronen in der L-Schale 2 Elektronen in der K-Schale Natrium (Na) Ein Proton trägt die Ladung +e, ein Elektron trägt die Ladung -e. Normalerweise sind Atome nach außen elektrisch neutral. Elektrische Elektrische Ladung Ladung tritt tritt immer immer in in positivem positivem oder oder negativem negativem Vielfachen Vielfachen der der Elementarladung Elementarladung ee auf. auf. Elektrische Ladung Fachgebiet Hochspannungstechnik In zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern müssen alle Feldgrößen als Zeitfunktionen beschrieben werden. "Stationäre Felder" Das stationäre elektrische Strömungsfeld beschreibt die Wirkungen, die von Ladungsströmungen mit konstanten Geschwindigkeiten (d.h. von Gleichströmen) ausgehen. Das elektrostatische Feld beschreibt die zeitlich konstante Wechselwirkung zwischen ruhenden Ladungen. Zeitabhängigkeit des elektrischen Feldes Fachgebiet Hochspannungstechnik Das Ende kann dabei auch im Unendlichen liegen. Quelle ETiT II / VL 1 ETiT II / VL 1 58 Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Erde ist negativ geladen. Ihre Ladung beträgt etwa -106 C. Die positive Gegenladung ist in den höheren Schichten der Atmosphäre (in der Ionosphäre) verteilt. Bei Gewitter kommt es zu einem partiellen Ladungsaustausch. Die Ladung einer Gewitterwolke beträgt etwa 25 C. Bei einem Blitzschlag wird im Mittel eine Ladung von 10 C zur Erde gebracht. ETiT II / VL 1 Q § -106 C 60 |E| § 130 V/m Q § 25 C Die Die elektrische elektrische Ladung Ladung ist ist eine eine Erhaltungsgröße. Erhaltungsgröße. Zu Zu jeder jeder positiven positiven Elementarladung Elementarladung gehört gehört exakt exakt eine eine negative negative Elementarladung. Elementarladung. Ladungen Ladungen können können zwar zwar voneinander voneinander getrennt getrennt werden, werden, jedoch jedoch kann kann Ladung Ladung weder weder neu neu erzeugt erzeugt noch noch vernichtet vernichtet werden. werden. Elektrische Ladung Fachgebiet Hochspannungstechnik Wir befassen uns zunächst mit elektrostatischen Quellenfeldern. Feldlinien beginnen auf positiven Ladungen und enden auf negativen Ladungen. Elektrostatische Quellenfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Besitzt das Wirbelfeld nur einen einzigen gestreckten Wirbelfaden, spricht man von einem Ringfeld. 56 In einem Wirbelfeld sind alle Feldlinien in sich geschlossen, haben also weder Anfang noch Ende. Die Feldlinien ziehen sich um die Wirbelfäden zusammen, die eine (geschlossene) Raumkurve bilden. In einem Quellenfeld haben alle Feldlinien einen Anfang und ein Ende. Anfang = Quelle; Ende = Senke w ... Wirbelfäden Quellenfeld – Wirbelfeld Quellenfeld – Wirbelfeld Q § 10 C ETiT II / VL 1 61 ETiT II / VL 1 63 E-Feldsonde Fachgebiet Hochspannungstechnik 3-D-Sonden ETiT II / VL 1 65 H-Feldsonde Messung der elektrischen Feldstärke - Feldsonden Fachgebiet Hochspannungstechnik Mensch = gut leitend = Äquipotentialfläche 0 V Polaritätsumkehr! Freie Ladungen durch ionisierende Strahlung Aufbau der Atmosphäre |E| § 130 V/m ...... und warum merken wir nichts davon? Elektrische Ladung Fachgebiet Hochspannungstechnik Elektrische Ladung ETiT II / VL 1 62 ETiT II / VL 1 y 64 x Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 1 66 Elektrische Wirkungen gehen auch von Körpern aus, deren positive und negative Ladungen zwar gleich groß, aber räumlich ungleichmäßig verteilt sind. Elektrische Ladung Fachgebiet Hochspannungstechnik z • Messwertübertragung über LWL • Für jede Richtung im Raum ein Elektrodenpaar • Messung der Ladungsdifferenz zwischen 2 Elektroden 3-D-Sonden Messung der elektrischen Feldstärke - Feldsonden Fachgebiet Hochspannungstechnik 270 V ??? |E| § 130 V/m ...... und warum merken wir nichts davon? Elektrische Ladung - - - + + + - + - + + - 'Q lim 'V o 0 'V Mittlere Ladungsdichte: ǻQ/ǻV Ladung: ǻQ = (ǻn+ - ǻn-)e Anzahl Elektronen: ǻn- Anzahl Protonen: ǻn+ Volumenelement ǻV Raumladungsdichte: U + + dQ dV ETiT II / VL 2 V 2 ³ U dV ³³³ U ( x, y , z) dx dy dz V ETiT II / VL 2 4 lim 'l o 0 'Q 'l dQ dl Fachgebiet Hochspannungstechnik e ETiT II / VL 2 U Qe Ve 5 1,6 1019 C 1,149 1035 mm3 13,9 1015 C/mm3 Radius des Elektrons: Re | 1,4·10-12 mm Volumen Ve = (4ʌRe3)/3 = 1,149·10-35 mm3 Frage: wie groß ist tatsächlich die Raumladungsdichte eines Elektrons, das allgemein als Punktladung mit Qe = -e = -1,6·10-19 C angenommen wird? Anmerkung: Annahme von V = 0 bedingt gleichzeitig Annahme von ȡ Æ f! Q1 Fachgebiet Hochspannungstechnik JG F F K r Q1 Q2 r2 JG F ETiT II / VL 2 Q2 6 Coulombsche Drehwaage (1784) Experimenteller Befund: die Kraftwirkung zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2 ist proportional dem Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihres Abstandes r. Fachgebiet Hochspannungstechnik O Betrachtet man ein geladenes Gebiet mit einem Volumen V, das vernachlässigbar klein gegenüber dem Betrachtungsabstand r ist, so lässt sich dessen Ladung Q in einem Punkt konzentriert annehmen. Die so idealisiert in einem Volumen von Null angenommene Ladung wird als Punktladung QP bezeichnet, die sich mit einer einzigen Ortsangabe bezeichnen lässt. 3 Linienladungsdichte: Das Coulombsche Gesetz ETiT II / VL 2 dQ dA Punktladung Fachgebiet Hochspannungstechnik Flächenladungsdichte: V 'Q lim 'Ao0 'A Betrachtet man einen Leiter aus einem Abstand groß gegenüber dem Durchmesser, so kann man sich die auf ihm befindlichen Ladungen auf einer Linie mit einem infinitesimal kleinen Durchmesser (Durchmesser Æ 0) vorstellen. Fachgebiet Hochspannungstechnik Q Auf leitenden Elektroden befinden sich die Ladungen im allgemeinen gleichmäßig oder ungleichmäßig verteilt auf der Oberfläche mit einer infinitesimal kleinen Schichtdicke (Schichtdicke Æ 0). 1 ȡ ǻV Umgekehrt lässt sich bei bekannter Ortsfunktion ȡ (x, y, z) die in einem Raumgebiet befindliche Ladung durch Integration berechnen: ȡ (x, y, z) in kartesischen Koordinaten G G U (r ) mit r als Ortsvektor Mit der Raumladungsdichte lassen sich beliebige Ladungsverteilungen als Raumfunktion angeben, z.B. Linienladung, Linienladungsdichte ETiT II / VL 2 Idealisierte Vorstellung von gleichmäßig im Volumenelement ǻV verteilten Ladungen + - + Fachgebiet Hochspannungstechnik + + + - Raumladung, Raumladungsdichte Flächenladung, Flächenladungsdichte + - Raumladung, Raumladungsdichte JG F + - + r 4SH 0 1 JG F 7 - 4SH 0 1 Q1 Q2 o0 r r2 (1785) Coulombsches Gesetz JG F o0 Q Q K 1 2 2 r r ? JG F JG F JG F kg m 2 m = kg m3 s-2 s2 kg1 2 m3 2 s-1 N m2 = >Q @ > F @ ª¬r 2 º¼ Q1 Q2 o0 r r2 8 ETiT II / VL 2 10 ª¬r 2 º¼ >Q @ >Q @ V m A s A s As m2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Da K ~ 1/İ0 VAs N= m > F @ >K @ As V m ETiT II / VL 2 >H 0 @ F m 11 Im SI-Einheitensystem liegen die Einheiten für F, Q und r fest: [F] = N [Q] = C = As [r] = m Dann kann aber die Konstante K nicht dimensionslos sein. Problem gelöst bei Einführung des SI-Einheiten-Systems Fachgebiet Hochspannungstechnik 2S ETiT II / VL 2 P0 F l P0 I1 I 2 2S r 1 N A2 F r I1 I 2 l VAs 1 m A2 12 1 1 N A2 Vs Am 4S 107 1 H m 4S 107 ergibt sich durch Einsetzen: Da gilt: Vs Am Das Das Ampere Ampere ist ist die die Stärke Stärke eines eines konstanten konstanten elektrischen elektrischen Stromes, Stromes, der, der, durch durch zwei zwei parallele, parallele, unendlich unendlich lange lange und und im im Vakuum Vakuum im im Abstand Abstand von von einem einem Meter Meter voneinander voneinander angeordnete angeordnete Leiter Leiter von von vernachlässigbar vernachlässigbar kleinem, kleinem, kreisförmigen kreisförmigen Querschnitt Querschnitt fließend, fließend, zwischen zwischen diesen diesen Leitern Leitern je je einem einem Meter Meter Leiterlänge Leiterlänge die die Kraft Kraft -7 2·10 2·10-7 N N hervorrufen hervorrufen würde. würde. magnetische Feldkonstante ergibt sich aus Definition des "Ampere" (Stromstärke): Lichtgeschwindigkeit: c0 = 299 792 458 m/s Lichtgeschwindigkeit c0, magnetische Feldkonstante µ0, elektrische Feldkonstante İ0 Fachgebiet Hochspannungstechnik Problem: es ergaben sich unterschiedliche Einheiten für die Ladung aus dem Coulombschen Gesetz und aus der Definition über Strom und Zeit. = Einheit der Ladung im "elektrostatischen Maßsystem" ª¬Q 2 º¼ Zur Konstanten K: Historisch wurde willkürlich K = 1 gesetzt: JG F Q1 Q2 o0 r r2 r ETiT II / VL 2 K r o0 JG F Zur Konstanten K: 9 JG F Das Coulombsche Gesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik Q1 Q2 Das Coulombsche Gesetz ETiT II / VL 2 (auch: "elektrische Feldkonstante") Darin ist İ0 die Dielektrizitätskonstante des Vakuums. K r JG F ETiT II / VL 2 JG F - + Das Coulombsche Gesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik Q1 o0 Q2 Das Coulombsche Gesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik Q1·Q2 < 0 Q1·Q2 > 0 Q1·Q2 > 0 JG F für die die auf sie wirkende Kraft berechnet werden soll. Einführung eines Richtungsvektors r so, dass er auf diejenige Ladung zuweist, Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. D.h.: Q1·Q2 > 0 Æ Abstoßung Q1·Q2 < 0 Æ Anziehung o0 Das Coulombsche Gesetz Das Coulombsche Gesetz 1 P0c02 8,854 1012 As Vm 8,854 pF m 13 1 Q1 Q2 4SH 0 r2 1 4S 8,854 1012 8,99 109 N r r Q1 JG F1 JJG F1 als Raumzustand aufgefasst o0 º ª Q2 r» Q1 « 2 4 SH r 0 ¬ ¼ Q2 r 4SH 0r 2 o0 JJG E1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 2 17 JG E 1 ist die am Ort 1 wirksame elektrische Feldstärke. JJG F1 Q1 Daher wird die Kraft auf die (Probe)-Ladung bezogen: Die Kraft selbst ist aber zur Definition nicht geeignet, da abhängig von Q1. Die Kraftwirkung soll als an diesem Ort auftretende Feldgröße beschrieben werden. Q2 o0 15 Auf die Ladung Q1 wirkt die Coulombkraft ETiT II / VL 2 Die elektrische Feldstärke Fachgebiet Hochspannungstechnik Eine freie Ladungsmenge von 1 C ist in der Natur offensichtlich selten anzutreffen! 1 N entspricht 100 g 9·109 N entsprechen 900.000 t !!!! F Damit üben zwei Ladungen von jeweils 1 C im Abstand von 1 m aufeinander eine Kraft von 9·109 N aus: H0 As Vm 107 c02 8,854 1012 1 4S 107 c02 4S ETiT II / VL 2 P0c02 4S Das Coulombsche Gesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 4SH 0 1 4S 107 299 792 4582 und für die Konstante K Damit: H 0 H 0 P0 c 2 0 elektrische Feldkonstante ergibt sich aus der Maxwell-Beziehung: magnetische Feldkonstante: µ0 = 4ʌ·10-7 Vs/Am ETiT II / VL 2 Q1Q2 4SH 0G m1m2 1 1 Q1 Q2 4SH 0 r2 G m1 m2 r2 JG F Q 16 JG JG E nn F Fachgebiet Hochspannungstechnik >E @ ETiT II / VL 2 Einheit der elektrischen Feldstärke: >F @ >Q @ 18 N As VAs m As V m Bei negativer Ladung JG JG Elektrische Feldstärke und Kraft haben entgegengesetzte Richtung: E np F Bei positiver Ladung Elektrische Feldstärke und Kraft haben gleiche Richtung: JG E Allgemeine Definition der elektrischen Feldstärke: Die elektrische Feldstärke ETiT II / VL 2 1 kg2 Vm (1,6 1019 C)2 12 11 4S 8,854 10 6,67 10 Nm2 As (9,11 10-31 kg)2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Fel Fm 4,16 1042 (Gravitationskraft wirkt nur als anziehende Kraft!) mit Gravitationskonstante G = 6,670·10-11 Nm2/kg2 Fm 14 Für ein Elektron: Q = -1,6·10-19 C, m = 9,11·10-31 kg Fel Fm Fel Formale Ähnlichkeit: Vergleich Coulomb-Kraft mit Gravitiationskraft Das Coulombsche Gesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik elektrische Feldkonstante: İ0 = 8,854·10-12 As/Vm magnetische Feldkonstante: µ0 = 4ʌ·10-7 Vs/Am Lichtgeschwindigkeit: c0 = 299 792 458 m/s Lichtgeschwindigkeit c0, magnetische Feldkonstante µ0, elektrische Feldkonstante İ0 Lichtgeschwindigkeit c0, magnetische Feldkonstante µ0, elektrische Feldkonstante İ0 Lichtgeschwindigkeit: c0 = 299 792 458 m/s Das Coulombsche Gesetz Das Coulombsche Gesetz JG E2 JG E ETiT II / VL 2 r 20 Q 4SH 0r 2 o0 Q r 4SH 0r 2 JG JG E1 E 2 r2 o0 JG E ETiT II / VL 2 r2 21 r1 o0 JG E1 r1 a/2 JG E2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Q1 0 y a/2 JG E1 Q2 ETiT II / VL 2 x 23 Überlagerung von elektrischen Feldstärken Q JG ¦ k rk 4SH 0 k rk2 1 1 § Q1 G Q2 G · ¨ r1 2 r 2 ¸ 4SH 0 © r12 r2 ¹ Fachgebiet Hochspannungstechnik Allgemein: JG E Q2 Q1 a/2 JG E2 a a/2 JG E1 ETiT II / VL 2 0 y Q2 Q2 22 a/2 JG E2 0 a/2 JG E1 Fachgebiet Hochspannungstechnik Fall a): Q2 = -Q1 = |Q| Q1 y ETiT II / VL 2 Q2 = - Q1 x 24 Überlagerung von elektrischen Feldstärken Fachgebiet Hochspannungstechnik Q1 Q1 x Beispiel: 2 Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand a voneinander Wie ist der Feldstärkeverlauf entlang der Verbindungsgeraden? Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 r2 E JG E Gesamtfeldstärke durch vektorielle Addition 19 Abnahme r Überlagerung von elektrischen Feldstärken ETiT II / VL 2 E Q Feldstärkeverlauf in der Umgebung einer Punkladung Überlagerung von elektrischen Feldstärken Überlagerung von elektrischen Feldstärken Fachgebiet Hochspannungstechnik Ausrichtung von Grieskörnern in Rizinusöl Anschauliche Darstellung der Kraftwirkung des elektrischen Feldes: Die elektrische Feldstärke a/2 JG E2 0 ETiT II / VL 2 Q2 = Q1 x 25 A k ETiT II / VL 2 JJG JJG q ¦ Ek ' sk 27 "A" JG (1) JG JG (2) A JG JG A (2) B A JG JG ³ E d s) (2) B A JG JG ³ E ds B ³E ds q ³E ds B 0 A (1) (2) B "B" A Fachgebiet Hochspannungstechnik U AB B JG JG ³E ds A ETiT II / VL 2 29 Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke ist wegunabhängig. Es kommt nur auf den Anfangs- und Endpunkt an. B JG JG Das Integral ³ E d s entspricht der Spannung zwischen den Punkten A und B: A ³E ds B JG (1) q Wmech Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential Fachgebiet Hochspannungstechnik "Linienintegral" Wmech B JG JG q³ E d s JJG ' sk o 0 JJG JJG JJG JJG q E1 ' s1 q E 2 ' s2 Grenzwert 'Wmech = Skalarprodukt der Vektoren ("F Punkt ǻs") Für Verschiebung von "A" nach "B": 'Wmech JG JG qE ' s Verschiebt man die Probeladung q in beliebiger Richtung, so gilt: JG JG JG JG 'Wmech F 's cos D F ' s cos F , ' s Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential Fachgebiet Hochspannungstechnik JG E1 a/2 Fall b): Q2 = Q1 = |Q| Q1 y Überlagerung von elektrischen Feldstärken F 's q E 's q 'U E 's ETiT II / VL 2 26 q (1) JG JG (2) A A JG L JG JG v³ E d s B JG 0 ³E ds q ³E ds B 0 A (1) (2) ETiT II / VL 2 28 B 0 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 3 1 Eine Funktion ij des Ortes, in kartesischen Koordinaten ij(x, y, z), die für einen gegebenen Bezugspunkt 0 das Potential in jedem Raumpunkt angibt, heißt Potentialfunktion des elektrostatischen Felds. Potential des Bezugspunktes: ij0 = 0 Spannung UȞ0 Æ (elektrostatisches) Potential ijȞ des Punktes Ȟ Q In einem elektrostatischen Feld werde ein Bezugspunkt 0 festgelegt. Die elektrische Spannung UȞ0 zwischen beliebigen Punkten Ȟ des Raumes und dem Bezugspunkt 0 ist dann 0 JG JG Q JG JG MQ UQ 0 ³ Ed s ³ Ed s Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential Fachgebiet Hochspannungstechnik Parallele zum 2. Kirchhoff'schen Gesetz (Maschenregel, Umlaufgleichung)! Feld mit dieser Eigenschaft Æ "wirbelfrei" Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke längs eines beliebigen geschlossenen Weges L (das Umlaufintegral) ist Null. Wmech Würde man auf dem Weg (1) mehr Energie zuführen, als auf (2) zurückgewonnen wird, müsste die Ladung in jedem Umlauf einen Energiezuwachs erfahren Æ nicht möglich! Welchen Einfluss hat der gewählte Weg? Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential Fachgebiet Hochspannungstechnik (Rechnung mit den Beträgen, da alle Vektoren gleiche Richtung aufweisen) 'U Aus der Gleichheit beider Energien folgt: 'Wel Die potentielle Energie der Probeladung nimmt dabei um den gleichen Betrag ab: 'Wmech Verschiebt man eine Probeladung q entlang einer Feldlinie, so muss dafür mechanische Energie ǻWmech aufgebracht werden. Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential ETiT II / VL 3 2 Q r 4SH 0r 2 o0 Q o0 r 4S r 2 JG D >D@ As m2 elektrische Verschiebungsdichte elektrische Flussdichte elektrische Erregung ETiT II / VL 3 4 + + + + + + Fachgebiet Hochspannungstechnik H O -- + H + + + + + + + Gegenfeld Hauptfeld - ETiT II / VL 3 6 Dipolmoment: p = 6·1030 As·m positiver und negativer Ladungsschwerpunkt sind 0,62 nm voneinander entfernt • gewinkelte Anordnung der Atome • Elektronen des Wasserstoffs halten sich bevorzugt in der Nähe des Sauerstoffs auf Beispiel für einen polaren Werkstoff: Wasser H2O Orientierungspolarisation: (polare Werkstoffe) Ausrichtung vorhandener Dipole + Arten der Polarisation Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik D D ist ist durch durch die die Größe Größe und und geometrische geometrische Anordnung Anordnung der der Ladungen Ladungen festgelegt. festgelegt. E E und und damit damit die die Kraft Kraft auf auf eine eine Probeladung Probeladung hängen hängen vom vom İİrr des des Dielektrikums Dielektrikums ab. ab. |E| |E| ist ist umso umso kleiner, kleiner, je je größer größer das das İİrr des des Dielektrikums Dielektrikums ist. ist. JG H0 E JG D Einführung einer am selben Ort wirkenden, jedoch von den Raumeigenschaften unabhängigen Größe zweckmäßig: Die Feldstärke an einem beliebigen Punkt im Raum ist außer von der sie verursachenden Ladung Q auch von den Raumeigenschaften (İ0) abhängig. JG E Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik wM wM wM dx dy dz M ( x dx, y dy , z dz) M ( x, y , z) wx wy wz Dann herrscht im Punkt (x + dx, y + dy, z + dz) das Potential Im Punkt (x, y, z) herrsche das Potential ij(x, y, z). Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und Potential: Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential wM wM wM dx dy dz wx wy wz E xdx E y dy E zdz wM wx Ey wM wy Ez wM wz ETiT II / VL 3 gradM 3 ­ wM wM wM ½ ® , , ¾) ¯ wx wy wz ¿ r r Q o0 r 4S r 2 o0 Q r 4SH 0r 2 JJG D1 ETiT II / VL 3 5 Fachgebiet Hochspannungstechnik Ionenpolarisation: (unpolare Werkstoffe) Vorhandene positive und negative Ionen verschieben sich gegeneinander Elektronenpolarisation: (unpolare Werkstoffe) Elektronenhüllen der Atome verschieben sich asymmetrisch zum Kern Orientierungspolarisation: (polare Werkstoffe) Ausrichtung vorhandener Dipole Arten der Polarisation + + + - ETiT II / VL 3 + + - + + + - + + + 7 + + + + + + + + + + + + - + + + - - - + + + + + + Gegenfeld Hauptfeld - - - Grund: Polarisation des Materials Es baut sich ein dem ursprünglichen Feld entgegenwirkendes Feld auf. JJG JJG E2 | 0,4 E1 JJG D2 JJG E1 Q o0 r 4S r 2 Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Polystyrol Q Vakuum Q JJG D1 Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik JG E Schreibweise mit der Vektoroperation "Gradient" (grad) ( gradM Ex Der Vergleich beider Gleichungen ergibt unmittelbar: JG JG Ed s Die Potentialerhöhung des Punktes (x + dx, y + dy, z + dz) gegenüber dem Punkt (x, y, z) ist andererseits M ( x dx, y dy , z dz) M ( x, y , z) Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential + JG H E JG H0 Hr E o0 Q r 4SH 0H r r 2 8 ETiT II / VL 3 10 Darstellung aus Küchler: Hochspannungstechnik Springer, Berlin, 1996 ISBN 3-540-62070-2 Fachgebiet Hochspannungstechnik İr | 4,5 ETiT II / VL 3 Dielektrikum: Öl-Papier, Polyethylen Hochspannungskabel 12 İr | 2,3 Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Dielektrizitätszahlen (T = 20 °C, p = 1 bar, f <= 1 MHz) Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl ETiT II / VL 3 JG D Elektrische Verschiebungsdichte: o0 Q r 4SH r 2 (gilt nur für isotrope Werkstoffe) JG E Fachgebiet Hochspannungstechnik rr İİ == İİ00·İ ·İ Elektrische Feldstärke: Damit Bilden der Permittivitiät rr İİ Berücksichtigung des Polarisationseffektes durch die Dielektrizitätszahl (auch: relative Dielektrizitätskonstante) Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl 9 nach [F1] ETiT II / VL 3 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 3 Isolation von Leistungstransformatoren İr | 4,5 Æ Öl-Papier! 13 Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Dielektrikum: Tantaloxid (İr = 25) Tantal-Elko Dielektrikum: Aluminiumoxid (İr = 10) Aluminium-Elko Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl ETiT II / VL 3 Dielektrizitätszahlen Fachgebiet Hochspannungstechnik nach [C1] Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl ETiT II / VL 3 14 ETiT II / VL 3 16 Fachgebiet Hochspannungstechnik 10 μm ... 30 μm 15 μm ... 25 μm Teflon-Folie (Elektret) ETiT II / VL 3 Luftspalt Anwendung: Elektret-Mikrofon 18 u EL l EF d 0 Herstellung: Polarisierung im elektrostatischen Feld oberhalb der Curie-Temperatur; anschließende Abkühlung "friert" die ausgerichteten Weiss'schen Bezirke ein. Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Dielektrikum: Polyethylen (PE) İr | 2,3 Polytetrafluorethylen (PTFE) ("Teflon") İr | 2,1 (häufig geschäumt für İr | 1...2) In der HF-Technik: Radome, Kabelisolation Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Dielektrikum: SF6 (Schwefel-Hexafluorid) Gasisolierte Schaltanlage (GIS) İr = 1 Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl ETiT II / VL 3 15 (Freileitungs)-Isolatoren ETiT II / VL 3 17 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 3 19 Elektrische Elektrische Verschiebungsdichte Verschiebungsdichte == Dichte Dichte des des elektrischen elektrischen Flusses Flusses bezogen bezogen auf auf Durchtrittsfläche Durchtrittsfläche D '< 'A Flussröhre [Ȍ] [Ȍ] == [Q] [Q] == As As == C C Als elektrischen Fluss Ȍ bezeichnet man die von einer Ladung Q ausgehende Wirkung. Elektrische Verschiebungsdichte D Æ auch als Flussdichte bezeichnet Elektrischer Fluss, Gauß'scher Satz der Elektrostatik Fachgebiet Hochspannungstechnik Ein Elektret ruft ein dauerndes elektrisches Feld hervor Ferroelektrikum mit starker permanenter Polarisierung Æ Elektret (in Anlehnung an Magnet) İr-Wert temperaturabhängig; oberhalb Curie-Temperatur verschwinden die Kopplungseffekte Æ İr nimmt stark ab Dipole in größeren Bezirken, den Weiss'schen Bezirken, gekoppelt und einheitlich ausgerichtet. Die Weiss'schen Bezirke sind unterschiedlich ausgerichtet; Körper damit elektrisch neutral (Beispiel: Bariumtitanat mit İr = 1000 ... 4000 Æ Dielektrikum für besonders kompakte Kondensatoren) Ferroelektrika Nichtleiter mit besonders hohen Dielektrizitätszahlen bezeichnet man als Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Messwandler Leistungsschalter Dielektrikum: Porzellan İr | 6 Praktisch alle Freiluft-Betriebsmittel der elektrischen Energieversorgung Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl ETiT II / VL 3 20 ETiT II / VL 3 22 < k rP = r rB P dr B JG E 4SH r 2 Q r o0 U AB A JG JG ³E ds B Anwendung der Zusammenhänge: Q1 Q2 Q3 Q4 JG JG B P P ³ E d s ³ E (r )dr B B Q 1 dr 4SH P³ r 2 UPB Q § 1 1· ¨ ¸ 4SH © rP rB ¹ M (P ) M (B) Q 1 const 4SH r Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 3 24 Zu Zu einem einem bestimmten bestimmten elektrischen elektrischen Feld Feld sind sind beliebig beliebig viele viele Potentialfunktionen Potentialfunktionen angebbar, angebbar, die die sich sich durch durch eine eine Konstante Konstante voneinander voneinander unterscheiden. unterscheiden. M (P ) = Potentialdifferenz zwischen einem beliebigen Punkt P ("Aufpunkt") und einem Bezugspunkt B. Ist ein Bezugspunkt nicht festgelegt, so gilt allgemein: UPB Zur Bestimmung der Potentialfunktion Æ Integration längs eines beliebigen Weges zwischen Q und B, im einfachsten Fall entlang einer Feldlinie: Q Die Potentialfunktion einer Punktladung Fachgebiet Hochspannungstechnik JG JG D 'A Gesamtfluss bzw. eingeschlossene Ladung: JG JG JG JG JG JG < Q D1 ' A1 D 2 ' A2 ..... ¦ D k ' Ak '< JG JG JJG JG D ' A cos D, ' A Elektrischer Fluss, Gauß'scher Satz der Elektrostatik Fachgebiet Hochspannungstechnik D 'A Gilt für jedes r, da zwar D mit 1/r2 abnimmt, aber gleichzeitig A mit r2 anwächst. JG JG Gilt nur, wenn D und A gleiche Richtung haben, sonst: '< Elektrischer Fluss, Gauß'scher Satz der Elektrostatik Q JG JG JG JG D1 ' A1 D 2 ' A2 ..... k JG ¦D k JG ' Ak A JG JG D v³ d A A ETiT II / VL 3 21 Q2 4SH r 2 F H E A A H F Q Coulombsches Gesetz! siehe Definition der elektrischen Verschiebungsdichte! Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 3 23 Der Der Gauß'sche Gauß'sche Satz Satz der der Elektrostatik Elektrostatik kann kann immer immer dann dann nutzbringend nutzbringend zur zur Bestimmung Bestimmung von von D D eingesetzt eingesetzt werden, werden, wenn wenn es es sich sich um um symmetrische symmetrische (Kugel-, (Kugel-, Zylinder-) Zylinder-) Anordnungen Anordnungen handelt, handelt, da da sich sich dann dann Hüllflächen Hüllflächen ergeben, ergeben, auf auf denen denen D D konstant konstant ist ist und und vor vor das das Integral Integral gezogen gezogen werden werden kann. kann. Begründung für Faktor 4ʌ: Effekte in der Umgebung einer Punktladung Q 4S r 2 D Q 4S r 2 A rP = r rB P dr B Fachgebiet Hochspannungstechnik M (P ) Q 1 4SH r ij(B) = 0 für rB Æ f ETiT II / VL 3 25 Potentialfunktion der Punktladung const = 0 Ist der Bezugspunkt sehr weit (f) entfernt oder handelt es sich um einen geerdeten Punkt, so geht man von ij(B) = 0 aus. Für das Beispiel: Q Die Potentialfunktion einer Punktladung D Anwendung des Gauß'schen Satzes zur Berechnung der Verschiebungsdichte im Umfeld einer Punktladung: JG JG 2 Q v ³ D d A ³ DdA D(r )³ dA D(r )4S r Elektrischer Fluss, Gauß'scher Satz der Elektrostatik Fachgebiet Hochspannungstechnik "Der Fluss der elektrischen Verschiebungsdichte durch eine beliebige geschlossene Fläche A ist gleich den von der Fläche insgesamt umhüllten Ladungen." JG JG Fluss durch eine beliebige, jedoch nicht geschlossene Fläche: < ³ D d A Gauß'scher Gauß'scher Satz Satz der der Elektrostatik Elektrostatik Q Für ǻAk Æ0 entsteht der Grenzwert der Summe, d.h. das Integral (Hüllflächenintegral): < Elektrischer Fluss, Gauß'scher Satz der Elektrostatik Q 1 4SH 0H r R 2 E (R ) 8 987 700 V/m | 90 kV/cm 89 877 V | 90 kV 107 1 As 4S 8,854 1012 1 0,0001 As m2 Vm 107 1 As 4S 8,854 1012 1 0,01 As m Vm ETiT II / VL 3 26 ETiT II / VL 3 28 5 MV Tandemgenerator (South Dartmouth, Mass./USA,1931) Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 3 30 Brookhaven National Laboratory 2 Van de Graaff Generatoren je 15 MV, 24 m lang Baujahr 1970 Die Potentialfunktion einer Punktladung Fachgebiet Hochspannungstechnik Vorstellung Prototyp 1 MV (ca. 1930) Labors in den Kugeln Van de Graaff mit Prototyp 1 MV (ca. 1930) Die Potentialfunktion einer Punktladung Fachgebiet Hochspannungstechnik (Aber: Durchbruchfeldstärke von Luft nur ca. 30 kV/cm!) Q 1 4SH 0H r R M (R ) Anwendungsbeispiel: Potential und maximale Feldstärke einer geladenen Metallkugel "frei im Raum"; R = 1 cm; Q = 1·10-7 C R Q Vorgehensweise: Annahme von Q als Punktladung Kugel = Äquipotentialfläche im Abstand r = R Die Potentialfunktion einer Punktladung QK 1 4SH 0H r RK ETiT II / VL 3 27 Die Spannungshöhe kann solange gesteigert werden, bis die Durchbruchfeldstärke des Umgebungsmediums an der Kugeloberfläche überschritten wird und die durch Vorentladungen abfließenden Ladungen die neu zugeführte Ladung kompensieren. Die maximale Spannungshöhe wird daher maßgeblich durch den Kugeldurchmesser bestimmt, da von diesem die Feldstärke auf der Kugeloberfläche abhängt. QK ... Gesamtladung auf der Kugeloberfläche RK ... Kugelradius 1 ... Sprühelektrode 2 ... Abnahmeelektrode 3 ... Metallische Hohlkugel 4 ... Isolierrohr 5 ... Isolierstoffband M (RK ) ETiT II / VL 3 p cosmit p 4SH r 2 Q b .... elektrisches Dipolmoment Q b cos 4SH r 2 Lässt man b Æ 0 und Q Æ f streben, so dass das Produkt Q·b endlich bleibt: M (P ) | Potentialfunktion des elektrischen Dipols M (P ) Q r r 4SH rr Für b sehr klein o r | r | r und r r | b cos- Q 1 Q 1 4SH r 4SH r Potential im Aufpunkt P nach Superpositionsprinzip: Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 4 1 Punktladung: Potentialabnahme mit 1/r Dipol: Potentialabnahme mit 1/r2, da sich die Wirkungen der beiden entgegengesetzten Ladungen mit wachsendem Abstand zunehmend gegenseitig aufheben! r r 29 M (P ) Die Potentialfunktion eines Dipols Fachgebiet Hochspannungstechnik Größter luftisolierter Van de Graaff Generator 25 MV Oak Ridge National Laboratory, USA Die Potentialfunktion einer Punktladung Fachgebiet Hochspannungstechnik RK Anwendungsfall: Van-de-Graaff-Generator Die Potentialfunktion einer Punktladung ETiT II / VL 4 M (P ) O 4SH U 2 z s 1 2 ds Arsh x 2 -+ -+ -+ -+ -+ - O P ³ E ( U )d U U UB 2SU P UB 2SH O O 1 2SH U O 1 dU 2SH U³ U E(U ) 2SH O ln 4 Potentialfunktion der Linienladung Dieser Vorgang wird Influenz genannt. ETiT II / VL 4 6 Die Flächenladungsdichte entspricht der Verschiebungsdichte: V dQ dA d< dA D Im Leiter baut sich ein Gegenfeld auf, das das äußere Feld genau kompensiert: das Innere des Leiters ist feldfrei. Der elektrische Fluss Ȍ ist im Bereich des Leiters unterbrochen. Die influenzierte Ladung Q entspricht dem Fluss Ȍ. Fachgebiet Hochspannungstechnik P UB >ln U @U Bringt man in das elektrische Feld z.B. einer geladenen Plattenanordnung (homogenes Feld) einen Leiter, so wandern die Leitungselektronen ("Elektronengas") zu der Seite, die der positiv geladenen Platte zugewandt ist Æ negative Ladung. Auf der anderen Seite entsteht ein gleich großer Elektronenmangel Æ positive Ladung. UB U ȡB darf nicht Æ f gewählt werden! UPB D( U ) ETiT II / VL 4 M(U ) B M Die Ladungstrennung ist beendet, wenn auf den Oberflächen des Leiters die gleiche Flächenladungsdichte ı herrscht wie auf den Platten der Plattenanordnung. Dann endet jede von den Platten ausgehende Feldlinie auf einer negativen influenzierten Gegenladung, und von jeder positiven influenzierten Ladung geht eine Feldlinie aus. + + + + + + + + + + + + Influenz Fachgebiet Hochspannungstechnik P M (Die Stirnflächen liefern keinen Beitrag zum Oberflächenintegral.) A Anwendung des Gauß'schen Satzes JG JG O l v³ D d A ³ D( U )dA D( U ) ³ dA D( U )2SU l Zweiter Lösungsweg (für den häufigen Sonderfall eines langen gestreckten Linienleiters) Zylindersymmetrische Anordnung Q ln x x 2 1 O sz Arsh 4SH U l ... wenig anschaulich! l ³ l l Integration über die Länge der Linienladung –l ... +l: dM (P ) ETiT II / VL 4 M (P ) O 4SH U 2 z s 1 3 -+ -+ -+ -+ -+ - + + + + + + + + + + + + - ETiT II / VL 4 + + + + + 5 Arsh x + + + + + + + + + + + + Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 4 7 - + + + + + Gasisolierte Übertragungsleitung (GIL) - - Koax-Leitung (z.B. RG 58, RG 213 etc.) ln x x 2 1 l O sz Arsh 4SH U l Auch wenn man die Platten aus dem elektrischen Feld entfernt, bleibt der Ladungszustand der Platten erhalten. Versuch mit "Maxwell'schen Platten" zeigt, dass dieser Zustand auch erhalten bleibt, wenn man die Platten im elektrischen Feld trennt. + + + + + + + + + + + + Influenz Fachgebiet Hochspannungstechnik 2 ds ... wenig anschaulich! l ³ l Die Potentialfunktion einer Linienladung Fachgebiet Hochspannungstechnik Kreiszylinderkoordinatensystem O ds 1 4SH r Integration über die Länge der Linienladung –l ... +l: dM (P ) Potentialfunktion für das Linienelement: O ds 1 4SH r dQ = Ȝ ds Betrachtung eines Linienelements ds mit Linienladungsdichte Ȝ: Potentialfunktion für das Linienelement: Erster Lösungsweg Die Potentialfunktion einer Linienladung dQ = Ȝ ds Betrachtung eines Linienelements ds mit Linienladungsdichte Ȝ: Die Potentialfunktion einer Linienladung Fachgebiet Hochspannungstechnik Kreiszylinderkoordinatensystem Erster Lösungsweg Die Potentialfunktion einer Linienladung i fre ld fe ETiT II / VL 4 ! + + + + + 8 - dq dt H 0E dA dt ETiT II / VL 4 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 4 Pistolenförmige Feldmühle zur Messung elektrostatischer Aufladungen Anwendung der Influenz: Feldmühle Influenz Fachgebiet Hochspannungstechnik 12 10 Der Strom i(t) kann relativ problemlos gemessen werden. Sein arithmetischer Gleichrichtmittelwert ist der Feldstärke proportional. i (t ) Periodische Abdeckung der Fläche A so, dass die Fläche zeitproportional zu- und abnimmt Anwendung der Influenz: Feldmühle Influenz Fachgebiet Hochspannungstechnik + + + + + + + + + + + + .... Wirkungsweise des Faraday'schen Käfigs! Influenz ETiT II / VL 4 i (t ) dq dt 0 9 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 4 13 Die Ladungen befinden sich ausschließlich auf den Oberflächen und sind dort gleichmäßig verteilt. Die Oberflächen stellen Äquipotentialflächen dar. Eine Anordnung von zwei beliebigen, durch ein Dielektrikum voneinander getrennten Elektroden, die jeweils gleiche Ladungen unterschiedlicher Polarität (+Q, -Q) tragen, nennt man einen Kondensator. + ++ + + +Q + + +++ - - -- -Q --- ETiT II / VL 4 Kondensator, Kapazität Fachgebiet Hochspannungstechnik Mit der Feldmühle lässt sich z.B. das dauernd vorhandene Gleichfeld in Erdbodennähe (|E| | 130 V/m) messen. Anwendung der Influenz: Feldmühle Influenz Fachgebiet Hochspannungstechnik H 0EA Im Gleichfeld: 0 ³ H EdA ( A) Ladung proportional der Feldstärke, jedoch (praktisch) nicht messbar Ladung der Fläche A: Q Flächenladungsdichte: V = D = H0·E Anwendung der Influenz: Feldmühle Influenz B* - - -B - -Q - -- B D A A ³ Eds ³ H ds B ETiT II / VL 4 +Q -Q +Q -Q 16 C U U2 Q C2 1 1 { Cges C U1 U2 U3 Q C1 Fachgebiet Hochspannungstechnik U1 Q C3 ETiT II / VL 4 1 ¦ C k 1 k n Q Q Q C1 C2 C3 U3 18 1 Cges Q Cges § 1 1 1 · Q¨ ¸ C C C 2 3 ¹ © 1 1 1 1 C1 C2 C3 Q Cges U Wird die Reihenschaltung der Kondensatoren an Spannung gelegt, werden auf jeder Elektrode die gleichen Ladungsbeträge influenziert (durch alle Kondensatoren fließt der gleiche Strom Æ Q ³ idt Æ alle Elektroden tragen gleiche Ladung). -Q Reihenschaltung von Kondensatoren Fachgebiet Hochspannungstechnik +Q 14 Elektrisches Schaltsymbol eines Kondensators + ++ + + +Q + + +++ - - -- -Q --- ETiT II / VL 4 Kondensator, Kapazität Fachgebiet Hochspannungstechnik Da D Q ist, ist offensichtlich auch U AB Q U AB Berechnung der Spannung zwischen den Elektroden durch Berechnung der Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten A und B auf den Oberflächen entlang eines beliebigen Integrationswegs (z.B. A* - B*); zweckmäßig: entlang einer Feldlinie (z.B. A – B): + ++ + + +Q + A + + + +A* Kondensator, Kapazität >Q @ >U @ As V F Proportionalitätsfaktor Proportionalitätsfaktor C C ... ... Kapazität Kapazität des des Kondensators Kondensators - - -B - -Q - -- ETiT II / VL 4 15 Q2 UC2 Q3 UC3 Q UCges Q1 Q2 Q3 ETiT II / VL 4 UC1 UC2 UC3 A DA -Q Q Q oE A HA JG Q ³L Eds Ed H A d Q U JG JG v³ Dd A Fachgebiet Hochspannungstechnik U D Q C +Q A ETiT II / VL 4 C d HA (vernachlässigt) 19 17 k 1 ¦C n C1 C2 C3 Cges { C Cges k U (C1 C2 C3 ) UCges Kapazität des Plattenkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik Q An allen Kondensatoren liegt die gleiche Spannung: Æ Qn = U·Cn Q1 UC1 Parallelschaltung von Kondensatoren Fachgebiet Hochspannungstechnik Kapazitäten betragen üblicherweise nur Bruchteile eines F, daher sind μF, nF, pF übliche Größenordnungen der Kapazität. >C @ Q=CU + ++ + + +Q + A + +++ Kondensator, Kapazität -Q d HA ETiT II / VL 4 8,854 1012 1 S 1 As m2 0,01 Vm m 20 2,78 109 F Beispiel: Plattendurchmesser: 1 m Plattenabstand d = 1 cm Anordnung in Luft C 2,78 nF Fachgebiet Hochspannungstechnik B C2 ETiT II / VL 4 22 U Fachgebiet Hochspannungstechnik C C [C1], Bsp. 3.6 ETiT II / VL 4 24 Wie ändert sich das Potential zwischen den Kondensatoren, wenn einer der beiden Kondensatoren mit einem Dielektrikum İr gefüllt wird? 2 gleich große Kondensatoren mit İ = İ0 sind in Reihe an eine Spannungsquelle angeschlossen. Rechenbeispiel: Reihenschaltung von Kondensatoren A C1 [C1], Bsp. 3.5 Rechenbeispiel: Parallelschaltung von Kondensatoren d H 0H r A Fachgebiet Hochspannungstechnik C +Q A Kapazität des Plattenkondensators d H 0H r A 2 8,854 1012 2 0,05 0,5 As m2 0,0002 Vm m 4,427 109 F 4,427 nF ... Isolator (Dielektrikum) ... Metallfolie ETiT II / VL 4 21 23 H 2 A2 d1 H 2 A2 d1 H1 A1d 2 ETiT II / VL 4 M ges M1 Fachgebiet Hochspannungstechnik [C1], Bsp. 3.6 'U ETiT II / VL 4 U Hr 1 2 Hr 1 25 Rechenbeispiel: Reihenschaltung von Kondensatoren Fachgebiet Hochspannungstechnik [C1], Bsp. 3.5 Rechenbeispiel: Parallelschaltung von Kondensatoren Fachgebiet Hochspannungstechnik Faktor 2, da die Metallfolie durch das Wickeln sowohl auf der Vorderals auch auf der Rückseite geladen ist (mit Ausnahme der äußersten Lage)! C | 2 Beispiel: Wickelkondensator Breite: 5 cm Länge: 50 cm Dielektrikum: Papier 0,2 mm dick; İr = 2 Kapazität des Plattenkondensators +Q ij1 ij3 ij2 4SH Q U12 r1 r1 r2 r2 r1 r1 r2 r2 r1 r 2 ª 1º « r » ¬ ¼ r1 Q 4SH §1 1· ¨ ¸ © r1 r2 ¹ 28 C 4SH 4SH r1 4SH 1 1 r1 r2 r2 Æ f r1 r2 r2 r1 62,3 pF ETiT II / VL 4 4SH r1 C Fachgebiet Hochspannungstechnik 4SH r1 4SH r1 4S 8,854 1012 0,56 UIC | 20 103 1 106 Q ETiT II / VL 4 U ZC I 30 20 000 VA 1 106 2S 50 62,3 1012 19,6 103 A | 20 mA Annahme: U = 1 MV (Effektivwert einer Wechselspannung) C Annahme: r1 = 56 cm 27 Umax = 1,2 MV Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 4 r1 r2 U Q 4SH r 2 4SH Ur1 CU Fachgebiet Hochspannungstechnik r1,min 31 2 1 106 | 56 cm 25 000 ETiT II / VL 4 U Emax Maximale Feldstärke tritt an der Kugel selbst auf, also bei r = r1: Emax E Q E r1 Zur Ermittlung der maximalen Feldstärke: U r1 In Luft darf eine maximale Feldstärke von 25 kV/cm nicht überschritten werden! Annahme: r1 = 56 cm 29 Frage: welcher kapazitive Strom fließt über die Kugel ab? C Umax = 1,8 MV Anwendungsbeispiel: Abschirmkugel eines Hochspannungstransformators Kapazität des Kugelkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik Anwendungsbeispiel: Abschirmkugel eines Hochspannungstransformators ETiT II / VL 4 C Q U12 Sonderfall: Kapazität einer Kugel frei im Raum 26 4SH Q 4SH Anwendungsbeispiel: Abschirmkugel eines Hochspannungstransformators ij1 r Kapazität des Kugelkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik +Q ij3 ij2 A Anwendungsbeispiele: Kapazität des Kugelkondensators Kapazität des Kugelkondensators -Q r2 r1 A Q 2 1 dr 4SH ³r1 r 2 Q 4S r 2 Q 4SH r 2 A 4SH 1 1 r1 r2 ³ Edr r2 E ETiT II / VL 4 C C U12 -Q D Kapazität des Kugelkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik r2 r1 Anwendung des Gauß'schenSatzes: JG JG 2 Q v ³ D d A ³ DdA D(r )³ dA D(r )4S r Kapazität des Kugelkondensators U r ETiT II / VL 5 1 Abschätzung (!) der Größenordnung der möglichen auftretenden Feldstärke: 100 V Emax | 10 kV/cm! 0,01 cm +Q ij1 -Q Für r1 o r2 folgt Emax o f Für r1 o 0 folgt Emax o f Hält man r2 fest und variiert r1: ETiT II / VL 5 3 wEmax wr1 Fachgebiet Hochspannungstechnik Emax, min Krümmungseffekt ETiT II / VL 5 R 0,5 r11//R r2 2==0,5 4U r2 5 Abstandseffekt Emax, min r2 2 r2 2 Rr1//R U r2 r1, opt r2 r1, opt r1, opt Maximalfeldstärke des Kugelkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik U r2 r1 r2 r1 2U 2r2 r2 r2 4U r2 Es muss also im Bereich 0 < r1 < r2 einen Wert für r1 geben, bei dem die maximale Feldstärke ein Minimum hat! ij3 ij2 Minimum ergibt sich durch Nullsetzen der Ableitung r2 r1 Emax Maximalfeldstärke des Kugelkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik U = 100 V r = 0,1 mm Wichtige Beziehung zur groben Abschätzung der Feldstärke an scharfen Kanten oder an kleinen Radien (Oberflächenrauhigkeit, Grate, .....)! Emax Maximalfeldstärke der Kugel "frei im Raum" EEmax /Emax, min max/E max, min +Q ij1 E ij3 ij2 E Emax U r2 r1 r2 r1 U 4SH r1r2 4SH r 2 r2 r1 U r1r2 r12 r2 r1 r1 : Q 4SH r 2 oQ Emax für r -Q U r1r2 r 2 r2 r1 §1 1· ¨ ¸ © r1 r2 ¹ U 4SH rr U 4SH 1 2 r2 r1 §1 1· ¨ ¸ © r1 r2 ¹ Q 4SH ETiT II / VL 5 2 +Q ij1 ij3 ij2 -Q 0 ETiT II / VL 5 4 Auflösen nach r1: r1 r1, opt Fachgebiet Hochspannungstechnik [C1], Bsp. 3.7 r2 2 Anwendung der Produktregel: (uv)' = u'v + uv' u U r U w § r2 · 2 2 ¨ ¸ 0 r1 r2 r1 r1 wr1 © r2 r1 ¹ v § u ·c ucv-uvc Anwendung der Quotientenregel: ¨ ¸ v2 ©v¹ U r2 U r2 2 0 r1 r2 r1 r1 (r2 r1)2 w § U r2 · ¨ ¸ wr1 © r1 r2 r1 ¹ u v 0 ETiT II / VL 5 6 Rechenbeispiel: Kugelkondensator maximaler Kapazität Fachgebiet Hochspannungstechnik r2 r1 wEmax wr1 Maximalfeldstärke des Kugelkondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik Vergleich mit Kugel "frei im Raum" (Emax = U/r1) zeigt, dass die Maximalfeldstärke des Kugelkondensators stets größer ist. r2 r1 U Maximalfeldstärke des Kugelkondensators A Q U 1 U Oz ³ E ( U )d U U ETiT II / VL 5 1 1 Cc ³ dU U U U2 C z 2 Q M M 2SH U ln 2 U1 U bzw. O M M ETiT II / VL 5 Cc 11 U 2S f C 245 103 V As km 2S 50 0,3 106 50 | 667 A s Vkm 3 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 5 13 Æ Daher (u.a.) lässt sich elektrische Energie nicht mit Wechselspannung über lange Kabelstrecken übertragen. I Æ Kapazitiver Strom eines 50 km langen Kabels im Leerlauf (Beispiel Um = 245 kV): Kapazität eines Hochspannungs-Starkstromkabels: C' | 0,3 μF/km Beispiel: Leerlaufstrom eines Starkstromkabels Leerlaufstrom eines koaxialen Starkstromkabels Fachgebiet Hochspannungstechnik C Oz U O ln 2 2SH U1 Q O 1 O U >ln U @U 2SH Die Kapazitätsberechnung ist bei Kenntnis der Potentialfunktion besonders einfach durchzuführen: 9 O 2SH Längenbezogene Kapazität: C U U1U2 U2 O 2SU O 2SHU Kapazität koaxialer Zylinder Fachgebiet Hochspannungstechnik -Ȝ +Ȝ E(U ) D( U ) A a) Berechnung mit dem Gauß'schen Satz JG JG v³ Dd A D( U )v³ dA D( U ) A( U ) D( U ) 2SU z Kapazität koaxialer Zylinder Q U UB U U Oz ETiT II / VL 5 10 U ln 2 U1 2SH 0H r ln C z 2SH O U2 U1 U O UB O U ln B U1 2SH U 2 Dinnen = 7,3 mm 2S 8,854 1012 2,3 As | 111 pF/m 7,3 Vm ln 2,3 PE mit İr =2,3 Cc ln ln U2 U1 2SH ETiT II / VL 5 12 Emax O ln U 2SHU ln 2 U1 U1 ln U2 U1 U 2SH O 2SHU U E(U ) U2 U1 O U U ln 2SHU U2 U1 Für U1 o U 2 folgt Emax o f Für U1 o 0 folgt Emax o f E ( U1 ) E(U ) 2SH Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 5 14 Es muss also auch für die koaxiale Zylinderanordnung im Bereich 0 < ȡ1 < ȡ2 einen Wert für ȡ1 geben, bei dem die maximale Feldstärke ein Minimum hat! Hält man ȡ2 fest und variiert ȡ1: -Ȝ +Ȝ U U1U2 Maximalfeldstärke koaxialer Zylinder Fachgebiet Hochspannungstechnik Kabelkapazität Æ Ursache für niedrige Grenzfrequenz bei langen Leitungen Cc Daußen = 2,3 mm Beispiel: RG 213 O 2SH O § UB U · ln B ¸ ¨ ln 2SH © U1 U2 ¹ M ( U1) M ( U 2 ) ln Längenbezogene Kapazität: C O 2SH Kapazität eines koaxialen Messkabels Fachgebiet Hochspannungstechnik -Ȝ +Ȝ U U1U2 M(U ) b) Berechnung mit der Potentialfunktion einer Linienladung Kapazität koaxialer Zylinder ETiT II / VL 5 ȡ11 = R ȡ22/e R wEmax §U · w¨ 2 ¸ © U1 ¹ 0 15 ȡ11/R /ȡ22 R Ergebnis: U1, opt H1 H2 ȡ1 ȡ2 E1( U 2 ) E2 ( U3 ) O 1 2SH 1 U1 O 1 2SH 2 U 2 E2 ( U2 ) O 1 2SH U E1( U1) E(U ) U2 e O 1 2SH 2 U 3 O 1 2SH 1 U 2 ȡ1 ȡ2 ȡ Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 5 19 Damit lassen sich z.B. durch die Potentialfunktion der Punktladung die beiden rechts gezeigten Anordnungen berechnen. Äquipotentialflächen lassen sich durch ungeladene, leitende Flächen ersetzen, ohne das elektrische Feld zu verändern. Das Prinzip der Materialisierung ETiT II / VL 5 0 17 Die Feldstärke macht am Übergang von Dielektrikum 1 auf Dielektrikum 2 einen Sprung! Im Dielektrikum 2: Im Dielektrikum 1: d.h. E 2 ( U 2 ) > E1( U 2 ) für H 1 > H 2 E2 ( U2 ) E1( U 2 ) Es gilt: 1 İ1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ȡ3 2 İ2 Feldstärke einer Linienladung: b) Feldstärkeverhältnisse der Anordnung Koaxialer Zylinder mit geschichtetem Dielektrikum Fachgebiet Hochspannungstechnik EE 1 max EEmax, opt 1, opt Zweckmäßigste Vorgehensweise: Maximalfeldstärke koaxialer Zylinder E 1 İ1 ȡ1 ȡ2 Cc Uges O H1 1 ln ETiT II / VL 5 Uges 16 2S U 2 1 U3 ln U1 H 2 U 2 O § 1 U 2 1 U3 · ¨ ln ln ¸ 2S © H 1 U1 H 2 U 2 ¹ M ( U1) M ( U 2 ) M ( U 2 ) M ( U3 ) O U O U ln 2 ln 3 2SH 1 U1 2SH 2 U 2 U U1U2 U U2 U3 a) Kapazität der Anordnung Dielektrikum 2: İ2, ȡ2 ... ȡ3 1 İ1 ȡ1 ȡ2 Emax 2 Emax 1 O 1 2SH 1 U1 O 1 2SH 2 U 2 E1( U1) E2 ( U 2 ) Emax 2 Emax 1 ETiT II / VL 5 18 d ȡ+ P ȡ- -Ȝ Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 5 20 • Doppelleitung aus zwei sehr dünnen Leitern mit Radius ȡ0 im Abstand d • Nachbildung durch Feld zweier Linienladungen +Ȝ, -Ȝ Æ Materialisierung zweier Äquipotentialflächen • Potential im Aufpunkt P durch Superposition der Potentialfunktionen +Ȝ ȡ0 "Doppelleitung" Zwei parallele Linienladungen ungleichen Vorzeichens Fachgebiet Hochspannungstechnik Durch Durch den den geometrischen geometrischen Aufbau Aufbau und und die die Auswahl Auswahl geeigneter geeigneter Dielektrika Dielektrika lassen lassen sich sich die die Feldstärkeverhältnisse Feldstärkeverhältnisse koaxialer koaxialer Zylinderanordnungen Zylinderanordnungen optimieren. optimieren. H 1U1 H 2 U2 H 1U1 Das Maximum der Feldstärke tritt jeweils am Innenradius, d.h. am kleinsten Radius des jeweiligen Dielektrikums auf: Sollen z.B. beide Maximalfeldstärken gleich groß sein, muss gelten: H 2 U 2 ȡ3 2 İ2 c) Wie groß sind bei gegebener Spannung U die maximalen Feldstärken in beiden Dielektrika? Koaxialer Zylinder mit geschichtetem Dielektrikum Fachgebiet Hochspannungstechnik ȡ3 2 İ2 Anordnung eines Koaxialkabels mit zwei unterschiedlichen Dielektrika ([C1], Bsp. 3.8) Dielektrikum 1: İ1, ȡ1 ... ȡ2 Koaxialer Zylinder mit geschichtetem Dielektrikum d ȡ- -Ȝ O U O U ln B ln B 2SH U 2SH U M (P ) 2SH O ln U U (ȡB = Abstand eines weit entfernten Punktes, s. ETiT II / VL 04 / Folie 3) M (P ) Superposition der Potentialfunktionen: ETiT II / VL 5 21 d P ȡ- -Ȝ Cc ln U0 d SH E ( U0 ) O 1 2SH U 0 U 2SHU 0 U0 d ETiT II / VL 5 23 2 U 0 ln U U0 d O 2SH ln UB O U ln B U1 2SH U 2 M (P ) O U2 ln B 2SH U1U 2 (ȡB = Abstand eines weit entfernten Punktes, s. ETiT II / VL 04 / Folie 3) M (P ) Fachgebiet Hochspannungstechnik "Cassinische Kurven" ETiT II / VL 5 25 Äquipotentiallinien dadurch charakterisiert, dass das Verhältnis ȡ1·ȡ2 = const. ij+ ij+ ȡ2 +Ȝ P +Ȝ ȡ1 "Bündelleiter" Zwei parallele Linienladungen gleichen Vorzeichens Fachgebiet Hochspannungstechnik (s. Feldstärke einer Linienladung: ETiT II / VL 04 / Folie 3) Emax CcU 1 2SH U 0 ln SH Maximale Feldstärke = Feldstärke an der Leiteroberfläche: +Ȝ ȡ0 ȡ+ Zwei parallele Linienladungen ungleichen Vorzeichens Fachgebiet Hochspannungstechnik Näherungsweise können Äquipotentiallinien als Leiteroberflächen verstanden werden, wenn ȡ0 << d ist. "Apollonische Kreise", deren Mittelpunkte jedoch nicht mit den Mittelpunkten der Linienladungen zusammenfallen Äquipotentiallinien dadurch charakterisiert, dass das Verhältnis ȡ-/ȡ+ = const. +Ȝ ȡ0 ȡ+ P Zwei parallele Linienladungen ungleichen Vorzeichens Fachgebiet Hochspannungstechnik d ȡ- Cc P O 2SH ln d U0 O 2SH ln d U0 M 22 ln U0 d SH (für d >> ȡ0) O U O O d ln ln 0 2SH U 0 2SH d M Bestimmung von ij-: ȡ- = ȡ0 und ȡ+ = d ETiT II / VL 5 O M M -Ȝ M Bestimmung von ij+: ȡ+ = ȡ0 und ȡ- = d Fachgebiet Hochspannungstechnik d P ȡ- ETiT II / VL 5 -Ȝ 24 Emax Cc M (P ) U U0 d ln 2 U 0 ln ln SH 2SH O U0 d U U Zusammenfassung: Fachgebiet Hochspannungstechnik F1 ETiT II / VL 5 F2 26 x Cassinische Kurve = geometrischer Ort aller Punkte M, für die das Produkt der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2, den Fixpunkten, konstant gleich a2 ist: y 2 F1M F2M a M Zwei parallele Linienladungen gleichen Vorzeichens +Ȝ ȡ0 ȡ+ Zwei parallele Linienladungen ungleichen Vorzeichens +Ȝ ȡ0 ȡ+ Zwei parallele Linienladungen ungleichen Vorzeichens ETiT II / VL 5 Ȝ Ȝ ETiT II / VL 5 O 2SH ln U1 U 2 U1 U 2 O 2SH ln a2 r0D 2O M M 2O 2M Fachgebiet Hochspannungstechnik Cc 2O 2M Einsetzen von ij+: Cc 2SH a2 ln r0D ETiT II / VL 5 2O a2 ln 2SH r0D 2O Für die längenbezogene Kapazität gilt: M Doppelleitung aus Zweierbündeln Fachgebiet Hochspannungstechnik Leiterradius: ro Leitermittenabstand: D Bündelmittenabstand: a Ȝ Doppelleitung aus Zweierbündeln Fachgebiet Hochspannungstechnik Ȝ P 31 Ȝ 29 27 Ȝ Ȝ M (P ) Ȝ Ȝ O U2 ln B 2SH U1U 2 Zwei parallele Linienladungen gleichen Vorzeichens Ȝ ETiT II / VL 5 O ln ln U U Ladungen (2) U1 O U ln 2 U1 2SH U 2 Ladungen (1) 2SH O 2SH O ln ETiT II / VL 5 M 2SH a2 r0D ln Ȝ 30 Ȝ E (r0 ) O 1 2SH r0 CcU 2 1 2SH r0 2SH U a2 r0D 4SH r0 ln Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 5 (s. Feldstärke einer Linienladung: ETiT II / VL 04 / Folie 3) Emax mit 2Ȝ = C'U Æ Ȝ = C'U/2 U 32 2r0 ln a2 r0D O a2 ln 2SH r0D (D r0 !) (a D r0 !) Ȝ Maximale Feldstärke = Feldstärke an der Leiteroberfläche: Cc a Ȝ O U U ln 1 2 2SH U1 U 2 U1 U 2 U1 U 2 U1 U 2 U1 r0 U 2 D 2SH Doppelleitung aus Zweierbündeln Fachgebiet Hochspannungstechnik Potential ij+ des positiven Bündels: M (P ) Allgemein: M (P ) a) Ermittlung der längenbezogenen Kapazität 28 Achtfach-Bündelleiter Dreifach-Bündelleiter Doppelleitung aus Zweierbündeln Fachgebiet Hochspannungstechnik Vierfach-Bündelleiter Zweifach-Bündelleiter Doppelleitung aus Zweierbündeln Ȝ Ȝ Ȝ Ȝ 2r0 ln U a2 r0D ETiT II / VL 5 33 Ȝ Ȝ Ȝ E Z , max EE , max Fachgebiet Hochspannungstechnik R0 2 R02 2 2S r02 a ln R0 2 a2 2 ln R0D ETiT II / VL 5 a 2R0 ln R0 a2 2r0 ln r0D 2S r02 S R02 35 E Z , max EE , max 2r0 ln U a R0 a2 r0D 2R0 ln U Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 1 Æ Zu berechnen sind die Linienladungen Ȝ1 und Ȝ2. • Anordnung von 3 sehr langen parallelen Leitern • Die beiden linken Leiter (1) und (2) dienen als Hinleiter, der rechte Leiter (3) dient als Rückleiter. • Leiter (1) und (2) haben das Potential ij0, Leiter (3) hat das Potential Null. Rechenbeispiel: (2+1)-Leitung [C1], Bsp. 3.10 r0 o r02 o S R02 Querschnitt Zweierbündel: AZ Querschnitt Einfachleiter: AE Vergleich: Doppelleitung Einfachleiter vs. Zweierbündel Fachgebiet Hochspannungstechnik Emax Cc 2SH a2 ln r0D Zusammenfassung: Doppelleitung aus Zweierbündeln Ȝ EE , max +Ȝ ij+ U 2R0 ln a ȡ2 a R0 R0 P ij+ -Ȝ Ȝ Ȝ E Z , max U 2r0 ln a2 r0D Ȝ ETiT II / VL 5 34 2 ln a R0 a2 2 R0D ln 2 ln a R0 a2 2 R0D ln 2 10 0,01 | 0,875 100 2 ln 0,01 0,2 ln Ȝ ETiT II / VL 5 36 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 2 Rechenbeispiel: (2+1)-Leitung [C1], Bsp. 3.10 Fachgebiet Hochspannungstechnik Mehrfachbündelleiter werden zur Reduzierung der Randfeldstärke eingesetzt. Die Feldstärke der Doppelleitung mit Zweierbündel beträgt bei gleicher Stromtragfähigkeit nur etwa 87,5 % der Feldstärke einer Doppelleitung mit Einfachleiter. EE , max E Z , max Zahlenbeispiel: R0 = 10 mm, D = 20 cm, a = 10 m EE , max E Z , max Vergleich: Doppelleitung Einfachleiter vs. Zweierbündel Fachgebiet Hochspannungstechnik Gegeben seien a, D und R0 Frage: wie verhalten sich die Maximalfeldstärken beider Anordnungen, wenn r0 des Zweierbündels so bemessen wird, dass sich der gleiche Gesamt-Leiterquerschnitt ergibt für den Einfachleiter mit R0? R0 ȡ1 Vergleich: Doppelleitung Einfachleiter vs. Zweierbündel 2SHM 0 a3 ln 3 2U0 7 2SHM 0 ETiT II / VL 6 O1 a3 ln ln 3 U0 2U0 2a a 2U0 ETiT II / VL 6 8 ETiT II / VL 6 11 ETiT II / VL 6 12 Fachgebiet Hochspannungstechnik ǻQ = D·ǻA = H·E·ǻA = H·E·b·z Fachgebiet Hochspannungstechnik d Dem Abstand b zwischen zwei Feldlinien entspricht immer die gleiche Ladung ǻQ auf den Elektroden. ǻU = d·E 10 Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild ETiT II / VL 6 Dem Abstand d zwischen zwei Äquipotentiallinien entspricht immer die gleiche Potentialdifferenz ǻU. d Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild 9 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 Fachgebiet Hochspannungstechnik Bezugspotential Die Potentialverteilung wird prozentual angegeben. d Hohes Potential Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Feldlinien und Äquipotentiallinien stehen senkrecht aufeinander. d Konstruktionsregeln für Feldbilder Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Elektrodenoberflächen sind Äquipotentiallinien. d Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik O2 ln Rechenbeispiel: (2+1)-Leitung [C1], Bsp. 3.10 ETiT II / VL 6 'C 'Q 'U 13 bzw. 'C c d E 'C z H E bz H b d b H z d const . const . Teilkapazität pro Kästchen mit den Seitenlängen d und b: ǻC' = İ Für b = d (Quadrate!): ETiT II / VL 6 15 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 17 Beispiel: Randfeld eines Plattenkondensators Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik b/d = 1 Alle vier Seiten der Kästchen müssen einbeschriebene Kreise berühren. d Zweckmäßige Wahl: b/d = 1 Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik d Gitter von Kästchen mit den Seitenlängen d und b Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild ETiT II / VL 6 d Hb 14 ETiT II / VL 6 16 H n m 1 (Gilt so nur für zweidimensionale Felder!) n ... Zahl der Feldlinien m ... Zahl der Äquipotentiallinien (incl. Elektrodenoberflächen) Cc bzw. Ȟp ... Zahl parallel angeordneter Kästchen Ȟr... Zahl in Reihe liegender Kästchen Qp Q 'C c H p Qr Qr Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 18 Beispiel: Randfeld eines Plattenkondensators Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik d Cc Gesamtkapazität: Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik 'C c Der gesamte Feldraum kann als Reihen- und Parallelschaltung gleicher (längenbezogener) Teilkapazitäten ǻC' verstanden werden, für die gilt: Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild ETiT II / VL 6 19 H ETiT II / VL 6 21 n 40 As 8,854 1012 m 1 6 Vm Ȝ 59 pF m n ... Zahl der Feldlinien m ... Zahl der Äquipotentiallinien (incl. Elektrodenoberflächen) +Ȝ ȡ0 d U0 SH ln23, 3 SH ln Fachgebiet Hochspannungstechnik Cc 3,148 SH |H pF m ETiT II / VL 6 8,854 Beziehung für C' wurde bereits hergeleitet: Beispiel: Doppelleitung 23 d -Ȝ Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Für dieses Beispiel: Cc Ȝ Beispiel: Kapazität eines Bündelleiters Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Randfeld eines Plattenkondensators Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild ETiT II / VL 6 20 n 7 As pF 8,854 10 12 | 15,5 m 1 4 Vm m n ... Zahl der Feldlinien m ... Zahl der Äquipotentiallinien (incl. Elektrodenoberflächen) n=7 m=5 d) Ermittlung der Kapazität des Randfeldes d a) exakte Berechnung ETiT II / VL 6 22 -Ȝ Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 24 -Ȝ Æ ja! Überprüfung: handelt es sich um "Quadrate"? b) nach Kästchenmethode Durch Auszählen (bitte nachzählen!): d Zahl der Feldlinien: n = 16 Zahl der Äquipotentialflächen (incl. Elektroden): m = 17 +Ȝ ȡ0 Beispiel: Doppelleitung Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Durch Ausmessen (bitte nachmessen!): Verhältnis d/ȡ0 = 23,3 +Ȝ ȡ0 Beispiel: Doppelleitung Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Cc H Beispiel: Randfeld eines Plattenkondensators Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild H n 16 H H m 1 17 1 pF m ETiT II / VL 6 8,854 +Ȝ ȡ0 25 d -Ȝ ETiT II / VL 6 28 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 29 • "Übersprechen" (z.B. bei Signalleitungen); • Potentialverschiebungen (Betriebsmittel der elektrischen Energietechnik) • Einkopplungen, gegenseitige Beeinflussung (Stichwort "elektromagnetische Verträglichkeit" (EMV)" bzw. "electromagnetic compatibility" (EMC) Auswirkungen können sein (u.a.): • je größer die geometrischen Abmessungen der Anordnung sind; • je kleiner die Abstände sind; • je höher die anliegende Spannung ist; • je höher die Frequenz ist. Grundsätzlich sind die Auswirkungen umso eher zu berücksichtigen, Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 6 30 Tritt auf zwischen zwei Stromkreisen, deren Leiter sich auf verschiedenen Potentialen befinden a) Feldmodell: Darstellung über das elektroquasistatische Feld b) Netzwerkmodell: Darstellung über Streukapazitäten Elektrische bzw. kapazitive Kopplung (capacitive coupling) Fachgebiet Hochspannungstechnik Jeder elektrische Leiter weist "Streukapazitäten" (auch: "parasitäre Kapazitäten") gegenüber benachbarten leitenden Gegenständen auf. Für viele Problemstellungen ist der Einfluss der Streukapazitäten auf das Verhalten der Anordnung vernachlässigbar. 27 26 EMV: Kopplungsarten – Elektrische Kopplung (Prinzip) ETiT II / VL 6 ETiT II / VL 6 Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Darstellung der Feldverhältnisse häufig mittels "Streukapazitäten" Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Darstellung der Feldverhältnisse häufig mittels "Streukapazitäten" Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild Fachgebiet Hochspannungstechnik Cc Beispiel: Doppelleitung Abschätzung der Kapazität einer Anordnung aus dem Feldbild 0 ³ u(t )i (t )dt f 0 ³ udQ u(t) i(t) De 0 0 ³ udQ ³ EdAdD Qe 0 De Ad ³ EdD De 0 V ³ EdD ETiT II / VL 7 1 D2 2 H 1 2 HE 2 1 DE 2 ETiT II / VL 7 1 CU 2 2 1 QU 2 1 Q2 2 C Zahlenbeispiel 1 3 1 m2, U Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 7 5 Ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche A = 0,1 dem Plattenabstand d = 1,5 mm und Luft als Dielektrikum wird kurzfristig mit einer Spannungsquelle verbunden und dadurch auf die Spannung U = 300 V aufgeladen. Nach dem Entfernen der Spannungsquelle wird eine d1 = 1 mm starke Isolierstoffplatte mit der gleichen Fläche A und der relativen Dielektrizitätszahl İr = 7 in den Plattenraum eingebracht. Um welchen Betrag ǻW ändert sich dadurch die im Kondensator gespeicherte Energie? We Energie im elektrischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Gilt nicht nur für das homogene Feld, für das die Beziehungen hergeleitet wurden, sondern auch für beliebige inhomogene Felder, da man sich diese aus vielen in Reihe und parallelgeschalteten homogenen Plattenkondensatoren zusammengesetzt vorstellen kann. Diese Vorstellung zeigt auch, dass die Energie im Feld gespeichert ist. we Energie im elektrischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik We Ad = V ist das vom Feld durchsetzte Volumen: We Plattenkondensator mit Plattenabstand d und Fläche A Æ u = E d und dQ = A dD : We Qe Ersetzen von i(t) durch Ladungszuwachs dQ: We Für die dem Kondensator dabei zugeführte Energie gilt: Aufladung eines ungeladenen Kondensators Energie im elektrischen Feld De 0 V ³ EdD u(t) We V 0 ³ EdD De De D 0 0 ³ EdD ³ H dD De 1 D2 2 H 1 2 HE 2 1 DE 2 1 De2 2 H ETiT II / VL 7 2 0 ³ udQ 0 C ³ udU 1 CU 2 2 u(t) i(t) 1 CU 2 2 1 QU 2 1 Q2 2 C ETiT II / VL 7 We 1 QU 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 CU 2 2 1 Q2 2 C ETiT II / VL 7 Zahlenbeispiel 1 Energie im elektrischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik We 6 4 U Auch hier wieder 3 mögliche verschiedene Beziehungen für die im Kondensator gespeicherte Energie (über den Zusammenhang Q = CU): We U Für die in einem Kondensator der Kapazität C = const. gespeicherte Energie lässt sich auch schreiben: Qe i(t) 3 unterschiedliche Ausdrücke für die Energiedichte Energie im elektrischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik we Verallgemeinerung: we Für den (im Allgemeinen zutreffenden) Fall İ = const. wird we Die Energie ist nicht auf den Platten gespeichert, sondern im Volumen! Das elektrische Feld ist ein reversibler Energiespeicher. Die Energie pro Volumen (die Energiedichte) beträgt: We Energie im elektrischen Feld Zahlenbeispiel 2 ... Q1 Q2 2 2 ETiT II / VL 7 Q1 C1 U2 8 Dazu eine Betrachtung der Energiebilanz nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung Berechung der Kraft, die auf die Elektroden eines Kondensators wirkt ETiT II / VL 7 10 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 7 12 Energie tritt als elektrische Feldenergie We auf (im Kondensator gespeichert), als mechanische Energie Wm (potentielle Energie des Gewichts G) sowie als in der Batterie gespeicherte elektrische Energie WB. Die linke Kondensatorplatte werde um ein Stück dx verschoben (reibungsfrei und so langsam, dass die kinetische Energie der Platte dabei vernachlässigt werden kann). Der Kondensator ist mit einer Spannungsquelle (z.B. Batterie) verbunden Æ U = const. Fall b): U = const. Dazu eine Betrachtung der Energiebilanz nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung Berechung der Kraft, die auf die Elektroden eines Kondensators wirkt Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Energie tritt als elektrische Feldenergie We auf (im Kondensator gespeichert) und als mechanische Energie Wm (potentielle Energie des Gewichts G). Die linke Kondensatorplatte werde um ein Stück dx verschoben (reibungsfrei und so langsam, dass die kinetische Energie der Platte dabei vernachlässigt werden kann). Der Kondensator ist nicht mit einer Spannungsquelle verbunden Æ Q = const. Fall a): Q = const. Q2 C2 (Ladung bleibt erhalten!) U1 § C · § C · Q ¨ 1 2 ¸ Q22 ¨ 1 1 ¸ © C1 ¹ © C2 ¹ 2 1 1 Q1 Q2 2 C1 C2 1 Q12 1 Q22 2 C1 2 C2 Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik W2 W1 1 Q1 Q2 2 C1 C2 1 Q12 1 Q22 2 C1 2 C2 2 Nach dem Parallelschalten: W2 Vor dem Parallelschalten: W1 Zwei Kondensatoren C1 und C2 tragen zunächst die Ladungen Q1 und Q2. Anschließend werden sie parallel geschaltet. Wie ist das Verhältnis der gespeicherten Energie nach dem Parallelschalten zu der vor dem Parallelschalten? (s. auch [C1], Bsp. 3.11) Energieverlust bei Parallelschalten zweier Kondnesatoren 2 § C · § C · Q ¨ 1 2 ¸ Q22 ¨ 1 1 ¸ © C1 ¹ © C2 ¹ 2 1 Q1 Q2 100 10 12 6 20 106 (1 1) 400 10 10 10 C2 = 100 nF, U2 = 200 V, Æ Q2 = 20 μC U1 2 12 9 dWe(Q ) dx dWe dWm ETiT II / VL 7 1 Q2 ) 2 C 0 11 §1 · d ¨ CU 2 ¸ ©2 ¹ Fxdx 1 2 U dC 2 Uidt UdQ Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 2 U dC Fxdx U 2dC 2 1 2 Fxdx U dC 2 dWB 0 dWe(U ) dx U 2dC ETiT II / VL 7 Fx Ud (CU ) 0 0,9 13 (Bereits hergeleiteter Zusammenhang We 1 CU 2 ) 2 Die aufzuwendende Kraft entspricht dem Zuwachs der im elektrischen Feld gespeicherten Energie bei Vergrößerung der Kapazität. Zunahme, da C wächst dWe dWm dWB Zunahme d (We Wm WB ) Die Batterie gibt Energie ab, da nach Q = CU der Kondensator mit wachsendem C weiter aufgeladen wird: dWe dWm dWges Wiederum ändert sich dabei die Gesamtenergie des Systems nicht: Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik (Bereits hergeleiteter Zusammenhang We Die aufzuwendende Kraft entspricht der Abnahme der im elektrischen Feld gespeicherten Energie bei Vergrößerung der Kapazität. Fx Darin ist dWm = Fxdx d (We Wm ) Die Gesamtenergie des Systems ändert sich dabei nicht: Kräfte im elektrostatischen Feld ETiT II / VL 7 Q2 C2 900 1012 1000 1012 U2 Bei Bei Umladevorgängen Umladevorgängen zwischen zwischen Kondensatoren Kondensatoren bleibt bleibt zwar zwar die die Ladung Ladung erhalten, erhalten, nicht nicht jedoch jedoch die die Energie! Energie! Fachgebiet Hochspannungstechnik dWges Q1 C1 (1 1) Die Energie hat um 10 % abgenommen (Leitungsverluste)! W2 W1 Zahlenbeispiel 2 C1 = 100 nF, U1 = 100 V, Æ Q1 = 10 μC Zahlenbeispiel: (s. auch [C1], Bsp. 3.11) Energieverlust bei Parallelschalten zweier Kondnesatoren dW dx d § Q (d x) · ¨ ¸ dx © 2H A ¹ 2 Q 2 (d x) 2H A Fachgebiet Hochspannungstechnik (Q ) e 1 Q2 2 C Q 2H A JG Q 2H A Q2 2H A 'Q D 2A = Kraft auf das Flächenelement ǻA = Kraft auf die gesamte Fläche A Q 2H A H E (f ) 2A + + + + + + ETiT II / VL 7 Fx Fachgebiet Hochspannungstechnik mit U U 2H A 2d 2 Fx 2 2 ETiT II / VL 7 H H E Fx mit D 18 D2A 2H Fx D 16 DEA 2 HE E D2A 2H mit D H E 2A H E 2A Ed Fx Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Æ Stimmt mit der auf Folie 14 hergeleiteten Beziehung überein! Q F Q 2H A 'QE (f ) A v³ DdA 'F E (f ) Q DEA 2 ǻA, ǻQ DH EA 2H + + + + JJJG + + JJJG (f ) E (f ) E + + 'QE (f ) = durch das Fremdfeld E(f) ausgeübte Kraft auf das Flächenelement ǻA 14 Fremdfeld der linken Platte aus Gauß'schem Satz: 'F für für Q Q == const. const. Keine Abhängigkeit vom Weg! ETiT II / VL 7 2 Kräfte im elektrostatischen Feld Fx We (Q ) Jetzt: Herleitung der Kraft auf die Platten eines Plattenkondensators HA C ( x) dx Die Herleitung der Kraftbeziehungen gelten bis hierher für beliebige Kondensatoren, da an keiner Stelle Annahmen bzgl. der Elektrodenform getroffen wurden. Kräfte im elektrostatischen Feld Q2 2H A DAQ 2H A r r (Definition der elektrischen Feldstärke) Q2 o0 Q1 JG F1 ETiT II / VL 7 dWe(U ) dx 1 CU 2 2 HA dx u d § U 2H A · ¨ ¸ dx © 2(d x) ¹ U 2H A 2(d x) U 2H A 2(d x)2 für für U U == const. const. 15 für für U U == const. const. Fachgebiet Hochspannungstechnik U 2H A 2d 2 ETiT II / VL 7 2 H E 2A D2A 2H DEA 2 1 D2 2 H 1 DE 2 we 1 D2 2 H 1 2 HE 2 1 DE 2 Vergleich mit der bereits hergeleiteten Energiedichte: Die Kraftdichte stimmt mit der Energiedichte überein! 1 2 HE 2 Fx A 17 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 7 19 Herleitung zwar für Plattenkondensator, jedoch allgemein gültig, da das Feld als Reihen- und Parallelschaltung von Plattenkondensatoren darstellbar V Kraftdichte = Kraft pro Fläche: V Fx Kräfte im elektrostatischen Feld Fx Kraft von Position der linken Platte abhängig; es interessiert der Fall x = 0: v Anwendung der Quotientenregel: (u/v)' = (u'v – uv')/v2 mit u' = 0 und v' = -2 Fx W e(U ) C ( x) Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Mit diesem Ansatz lässt sich die Kraft auf die Platten eines Plattenkondensators auch berechnen: Gilt für Punktladungen, die einem Fremdfeld ausgesetzt sind! Fx 1D 1 Q QE 2H 2 JG JG F JG JG Widerspruch zu E F QE ? Q Q2 2H A mit Q = DA wird daraus: Fx Kräfte im elektrostatischen Feld Ȝ2 O1'l O2 1 2SH d 'F ETiT II / VL 7 s(t ) zurückgelegter Weg: QU 1 mv 2 2 Wkin ³ v (t )dt ³ atdt a 2 t 2 d U JG Q F JG E ETiT II / VL 7 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 2 Praktische Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im elektrischen Feld 22 Die Die kinetische kinetische Energie Energie des des geladenen geladenen Teilchens Teilchens nach nach Durchlaufen Durchlaufen der der Strecke Strecke dd ist ist direkt direkt proportional proportional seiner seiner Ladung Ladung und und der der anliegenden anliegenden Spannung. Spannung. Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik 2QU m 2QEd m QE m 2ad v ma QE a 2d a F a at v 20 (a ... Beschleunigung) Nach Durchlaufen der Strecke s(t) = d gilt für v: at Geschwindigkeit: v (t ) Praktische Anwendung: Lackieranlage Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Fc O1O2 1 2SH d Frage: welche Kraft üben 2 sehr lange Linienladungen Ȝ1, Ȝ2, die den Abstand d voneinander haben, aufeinander aus? O2 1 2SH d Kraft pro Länge: E (f ) (O2 ) O1'lE (f ) (O2 ) d mit 'F Ȝ1 Anwendung der Kraftbeziehung für Q = const. auf Linienladungen: Kräfte im elektrostatischen Feld ETiT II / VL 7 ETiT II / VL 8 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 4 Lösung: Das Elektron beschreibt eine Parabelbahn. Nach Durchlaufen der Strecke A-B ist es um sy(B) = -1,1 mm abgelenkt worden. Die Ablenkung ist der Spannung direkt proportional. Praktische Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im elektrischen Feld Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Ein Elektron trete bei A mit der Geschwindigkeit vz in das Feld eines Plattenkondensators ein. Was für eine Bahnkurve beschreibt das Elektron, und welchen Weg hat es nach Durchlaufen der Strecke A-B in y-Richtung zurückgelegt? U = 10 V vz = 6·106 m/s Plattenabstand dy = 5 mm Strecke A-B = Plattenlänge dz = 15 mm Beispiel aus: Manfred Michel Einführung in die allgemeine Elektrotechnik Band II Walter de Gruyter, Berlin/New York, 1975 ISBN 3-11-005880-4 Praktische Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im elektrischen Feld 21 Quelle: Phoenix Contact März/April 2003 Kräfte im elektrostatischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Praktische Anwendung: Lackieranlage Kräfte im elektrostatischen Feld P3 P2 JG n E1t, D1t E2t, D2t ETiT II / VL 8 JJG JJG E2 , D2 Į1 JJG JJG E1, D1 Į2 5 E2n, D2n E1n, D1n P4 P1 P3 P2 JG n E2t, D2t E1t, D1t JJG JJG E1, D1 L JJG JJG E2 , D2 Į1 Į2 E2n, D2n E1n, D1n P4 P1 L Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes: JG v³ E ds 0 ETiT II / VL 8 7 U1 U2 JJG E1 JJG E2 U d2 d1 d Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 9 JG JG ... dadurch charakterisiert, dass E und D nur Normalkomponenten aufweisen Definition ...... Dielektrikum 2, İr2 > İr1 Dielektrikum 1, İr1 Quer geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik E1t1t = E2t2t Integration der elektrischen Feldstärke längs des Weges P1-P2-P3-P4-P1 JG v³ E ds E1t s E 2t s 0 Dielektrikum 2, İr2 Dielektrikum 1, İr1 Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik Dielektrikum 2, İr2 Dielektrikum 1, İr1 Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) P3 P2 JG n E2t, D2t E1t, D1t JJG JJG E1, D1 A JJG JJG E2 , D2 Į1 Į2 E2n, D2n E1n, D1n P4 P1 A Gauß'scher Satz bei Ladungsfreiheit der Grenzflächen: JG v³ D dA Q 0 ETiT II / VL 8 6 ETiT II / VL 8 8 JJG E2 JJG E1 U2 U1 U d2 d1 d Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 D1 = D1n = İ0·İr1·E1 = D2 = D2n = İ0·İr2·E2 10 E1 E2 Hr 2 Hr1 Normalkomponente der elektrischen Verschiebungsdichte unverändert: Dielektrikum 2, İr2 > İr1 Dielektrikum 1, İr1 Quer geschichtetes Dielektrikum D1 D2 1 Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik kontinuierlich von einem Dielektrikum in das andere über. Normalkomponente der elektrischen Verschiebungsdichte und die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke In geschichteten Dielektrika gehen die Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik D1n 1n = D2n 2n Eintretende gleich austretende elektrische Verschiebungsdichte JG v³ D dA D1n A D2n A Q 0 Dielektrikum 2, İr2 Dielektrikum 1, İr1 Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Hr 2 Hr1 ETiT II / VL 8 11 Dielektrikum 2, İr2 > İr1 Dielektrikum 1, İr1 U1 U2 JJG E1 JJG E2 U d U 1 75 d 1,43 13 0 57 U d U d2 d1 d U d1 Hr1 Hr 2 Hr 2 d2 Hr1 U d1 d 2 Æ Faktor 2,5 E2 E1 Fachgebiet Hochspannungstechnik sind İr >> İr, Luft 15 vermeiden! zu ETiT II / VL 8 unbedingt Luftspalte Enge Für optimale Ausnutzung eines Dielektrikums: Quer geschichtetes Dielektrikum E >> Emittel Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) ETiT II / VL 8 U 0,7 d U 3 5 d1 U 1,4 d1 U d1 2 5 d1 U d1 d1 0,4 Fachgebiet Hochspannungstechnik E2 E1 Fall a): Gleiche Schichtdicken: d1 = d2 = d/2 Silikon mit İr2 = 2,5 Luft mit İr1 = 1 Quer geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik "Feldverdrängung" in das Isoliermedium mit der kleineren relativen Dielektrizitätszahl. Das Dielektrikum mit der kleineren relativen Dielektrizitätszahl wird mit der höheren Feldstärke beansprucht. Die Feldstärkebeträge verhalten sich umgekehrt zueinander wie die relativen Dielektrizitätszahlen. E1 E2 Quer geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) JJG E2 JJG E1 H d1 d2 r 1 Hr 2 U U1 U2 d2 d1 d E1 E2 Hr1 Hr 2 12 H d1 r 2 d 2 Hr1 U E1d1 E1d2 U ETiT II / VL 8 E2 E1d1 E 2d 2 U2 U1 Hr 2 Hr1 Dielektrikum 2, İr2 > İr1 Dielektrikum 1, İr1 JJG E2 JJG E1 U İ d r1 İr 2 U 0,4 d 2,5 U d ETiT II / VL 8 Æ Faktor 2,5 14 U2 U1 d2 d E2 E1 U d1 Hr1 Hr 2 Hr 2 d2 Hr1 U d1 d 2 Aber: Die Silikonschicht wird mit der mittleren Feldstärke beansprucht, die Luft mit einer 2,5 mal höheren Feldstärke! U d1 JJG E1 JJG E2 Dielektrikum 2, İr2 U d Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 16 JG JG ... dadurch charakterisiert, dass E und D nur Tangentialkomponenten aufweisen Definition ...... Dielektrikum 1, İr1 Längs geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik U E2 | d E1 | Fall b): Annahme: d1 o 0 und d2 | d Silikon mit İr2 = 2,5 Luft mit İr1 = 1 Quer geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik E1 U Dielektrikum 2, İr2 > İr1 Dielektrikum 1, İr1 Quer geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) JJG E1 JJG E2 Dielektrikum 2, İr2 U d E1t D1 İ 0İ r 1 D2 İ 0İ r 2 E 2t ETiT II / VL 8 E2 D1 D2 17 İr 1 İr 2 E1 E2 1 P3 P2 JG n E1t, D1t E2t, D2t JJG JJG E 2 , D2 Į1 JJG JJG E1, D1 Į2 E2n, D2n E1n, D1n P4 P1 ETiT II / VL 8 19 İr 1 İr 2 Brechungsgesetz tan Į1 tan Į 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 21 Äquipotentiallinien (ij = const.) werden beim Übergang in ein Dielektrikum mit größerer relativer Dielektrizitätszahl zur Normalen hin, also von der Grenzfläche weg gebrochen. Feldlinien ( E , D ) werden beim Übergang in ein Dielektrikum mit größerer relativer Dielektrizitätszahl von der Normalen weg, also zur Grenzfläche hin gebrochen. JG JG Schräg geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Feldlinien werden gebrochen! JG JG ... dadurch charakterisiert, dass E und D die Grenzflächen schräg schneiden Definition ...... Dielektrikum 2, İr2 Dielektrikum 1, İr1 Schräg geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik E1 Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke unverändert: Dielektrikum 1, İr1 Längs geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) JJG E1 JJG E2 Dielektrikum 2, İr2 U d ETiT II / VL 8 18 tan Į 2 İr 2 E 2t İ 0İ r 2E 2n ETiT II / VL 8 tan Į1 tan Į 2 JG n JJG JJG E 2 , D2 E2t, D2t E1t, D1t JJG JJG E1, D1 Į2 E2n, D2n E1n, D1n 20 Brechungsgesetz P3 P2 Į1 Fachgebiet Hochspannungstechnik JG EE2 2 Dielektrikum 1, İr1 Brechungsgesetz Į1 con s t. E1 JG E1 22 Dielektrikum 2, İr2 | 3·İr1 Į2 ETiT II / VL 8 Į2 Į1 ij= tan Į1 tan Į 2 Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik tan Į1 İr 1 E1t İ 0İ r 1E1n İr 1 İr 2 Dielektrikum 2, İr2 Dielektrikum 1, İr1 Division der beiden Stetigkeitsbedingungen: D1n = İ0İr1E1n = D2n = İ0İr2E2n Normalkomponente der elektrischen Verschiebungsdichte unverändert: E1t = E2t Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke unverändert: Schräg geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik İr 1 İr 2 P4 P1 Die elektrische Feldstärke beiderseits der Grenzschicht ist konstant, die elektrische Verschiebungsdichte macht einen Sprung. Dielektrikum 1, İr1 Längs geschichtetes Dielektrikum Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) ij s on =c t. 9 1 2 2 JJG ) E2 JJG ) D2 ETiT II / VL 8 2,236 5 JJG D2 JJG E2 JJG E2 3 2 23 3 1 1 92 2 2,236 0 ,745 1 3 2 1 2 10 18 1 1 2 0 ,745 1 2 1 JJG E1 1 2 1 2 1 2 JJG D1 İr2 = 3 İr1 = 1 Rechenbeispiel ([C1], Bsp. 3.13) ETiT II / VL 8 25 Fachgebiet Hochspannungstechnik Brechungsgesetz ETiT II / VL 8 27 Rechenbeispiel ([C1], Bsp. 3.13) Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik Gesucht sind D2 und E2. Für obige Anordnung seien bekannt: D1, E1, İ1, İ2, Į1 Brechungsgesetz Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik JJG D2 Brechungsgesetz JG JG Es muss immer gelten: D H E Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) ETiT II / VL 8 24 ETiT II / VL 8 26 Rechenbeispiel ([C1], Bsp. 3.13) Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 28 Annahmen: • Schalter S2 und S6 zunächst offen • Alle Kondensatoren ungeladen • Dann: Schließen von S2 und S6 Gesucht: U1, U3, U4, U5 Gegeben: C1 = 100 μF C3 = 30 μF C4 = 40 μF C5 = 50 μF Uq2 = 20 V Uq6 = 60 V ([C1], Bsp. 3.14) Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Brechungsgesetz Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik Brechungsgesetz Bedingungen an Grenzflächen (geschichtete Dielektrika) Fachgebiet Hochspannungstechnik U3 Q3 C3 U4 U5 ETiT II / VL 8 Q4 C4 Q5 C5 29 C1 C4 U1 C4Uq 2 Q6 ETiT II / VL 8 31 0 D -Q6 Q2 Q6 Uq 2C5 U3 C3 C5 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 U1 C1 C4 C3 C5 Uq 2 C4 C5 Uq 6 C3 C5 33 Uq 2C5 Uq 6 C3 C5 U1 C3 C5 U1 Uq 6 U3 U1 C1 C4 Uq 2C4 U1 C1 C4 Uq 2C4 Q6 a) gesucht: Spannung U1 nach Abschluss der Aufladung ([C1], Bsp. 3.14) C3 + C5 -C5 -C4 0 -C5 -C4 C4 + C5 C1 + C4 U3 B Uq2 A U1 Bezugsknoten: E Knotenanalyse Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Æ ÆGleichung Gleichung für für den den Knoten Knoten A A nach nach den den Regeln Regeln der der Knotenanalyse Knotenanalyse,, wenn wenn man man statt statt der der Leitwerte Leitwerte Kapazitäten Kapazitäten einsetzt einsetzt und und statt statt der der Ströme Ströme deren deren Integral Integral über über die die Zeit, Zeit, die die Ladungen Ladungen.. U1 Uq 2 : C1U1 C4 U1 Uq 2 o Q6 C1U1+C4U4 o Q6 C4U 4 : mit U4 C1U1 und Q4 Q1 Q4 mit Q1 Q6 Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge U1 Q1 C1 Die sich an den Kondensatoren einstellenden Spannungen sind Nach t Æ f liegen auf den Kondensatoren C1, C3, C4 und C5 die Ladungen Q1, Q3, Q4 und Q5. Nach t Æ f sind alle Ströme wieder abgeklungen. In allen Zweigen fließen Ströme, die zur Aufladung aller Kondensatoren nach t Æ f führen. Schließen beider Schalter bei t = 0 Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge 0 ³ idt tE f f f Q1 Q4 0 0 4 ETiT II / VL 8 ETiT II / VL 8 32 U1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 8 Für die Spannungen U3, U4 und U5 gilt: ergibt sich: U1 = 30 V mit C1 = 100 μF C3 = 30 μF C4 = 40 μF C5 = 50 μF Uq2 = 20 V Uq6 = 60 V C1 C4 C3 C5 Uq 2 C4 C5 Uq 6 C3 C5 Knotenanalyse 50 V 30 V Uq 6 U 4 Uq 2 U5 U5 U3 34 10 V U1 Uq 2 U4 Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Knoten A Knoten B Knoten C 30 Q1, Q4, Q6 sind die Ladungen, die bis zum Abklingen der Ströme (bei t Æ f) durch die betreffenden Zweige transportiert wurden. Wiederholung: Knotenanalyse Fachgebiet Hochspannungstechnik Q6 0 ³ i dt ³ i dt ³ i dt 1 i1 i 4 i6 6 Beispiel: für Knoten A Æ Cu Zu jedem Zeitpunkt tE gilt für die Kondensatorladung Zu jedem Zeitpunkt tE müssen die Kirchhoff'schen Gleichungen erfüllt sein. Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge 2 ETiT II / VL 9 4 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 5 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 Welche Spannungen U4, UB, U5 stellen sich nach Abschluss der Umladung ein? Anschließend werde der Schalter in die Stellung 2 umgelegt. Der Schalter S befinde sich zunächst in Stellung 1 Æ die Kondensatoren C4, C2, C5 werden aufgeladen. 6 Kondensatorumladung ([C1], Bsp. 3.17) Fachgebiet Hochspannungstechnik Kondensatorbrückenschaltung ([C1], Bsp. 3.16) 3 Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge ETiT II / VL 9 Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Eine Gleichspannungsquelle lädt 5 Kondensatoren auf. Welche Spannungen U3 und U5 stellen sich ein? Kondensatorbrückenschaltung ([C1], Bsp. 3.16) ETiT II / VL 9 Aufladung von Kondensatoren an einem Spannungsteiler ([C1], Bsp. 3.15) 1 Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge ETiT II / VL 9 Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Fachgebiet Hochspannungstechnik Aufladung von Kondensatoren an einem Spannungsteiler ([C1], Bsp. 3.15) Aufladung von Kondensatoren an einem Spannungsteiler ([C1], Bsp. 3.15) Drei Kondensatoren sind an einen Spannungsteiler angeschlossen. Wie groß sind die Spannungen U2, U4 und U5? Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge Kondensatorschaltungen – Aufladungsvorgänge ETiT II / VL 9 8 C4 hat eine Ladung von 20V·C an C5 abgegeben. Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 10 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 11 Æ Welche Energie WCb ist zum Schluss in den Kondensatoren gespeichert? Æ Welche Energie WCa nehmen die Kondensatoren in Schritt 2 auf? Æ Wieviel Energie Wq musste die Quelle insgesamt abgeben? Æ Wie groß sind anschließend U3b, U5b und U7b? 3) Anschließend wird S2 geöffnet und S4 geschlossen Æ Ladungsausgleich! 2) S2 wird und bleibt so lange geschlossen, bis C3, C5 und C7 aufgeladen sind. Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 12 Schritt 2) Æ S2 geschlossen Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) 1) Beide Schalter S2 und S4 seien zunächst offen und die Kondensatoren ungeladen. 1 UA UD 3 Ladung Ladung von von C C55 hat hat um um 30V·C 30V·C zugenommen, zugenommen, seine seine Spannung Spannung wird wird dadurch dadurch >> U Uqq!! C2 hat eine Ladung von 10V·C an C5 abgegeben. Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) 4 Uq 6 Uq Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge 9 50 V + 40 V = 90 V UB U D 50 V U5 5 Uq 6 10 V - 50 V = -40 V 1§ 1 · Uq 3 ¨© 2 ¸¹ U A UB ETiT II / VL 9 1 Uq 6 45 Uq 56 U4 Uq 4 UTeiler 5 15 Uq 56 1 1 1 4 UA UD Uq §¨ Uq Uq ·¸ 3 3©6 6 ¹ 4R UD 5R 1 UTeiler 5 Nachher... 3CUq 3CUq 3Uq U A UD Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik U R UA 5R B q (s. vorige Folie) U UD UTeiler UA UTeiler An Spannungsteiler (R; 4R) liegt UTeiler = 5Uq/6 Kondensatorumladung ([C1], Bsp. 3.17) Vorher.... Fachgebiet Hochspannungstechnik UB 3UB Kondensatorumladung ([C1], Bsp. 3.17) 7 -C UD CU A 3CUB CUD 3C -C Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge ETiT II / VL 9 B UB UA Knotenanalyse (Bezugspunkt: E) Für Knoten B ergibt sich: Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik • An jedem der Kondensatoren liegt nach Abschluss der Aufladung eine Spannung von 60 V. • Nach dem gewählten Zählpfeilsystem ergibt sich somit: U4 = -60 V; UB = U5 = +60 V • Dem Knoten B ist dabei Q = 3CUq zugeflossen. Anschließend werde der Schalter in die Stellung 2 umgelegt. Kondensatorumladung ([C1], Bsp. 3.17) Kondensatorumladung ([C1], Bsp. 3.17) Der Schalter S befinde sich zunächst in Stellung 1 Æ die Kondensatoren C4, C2, C5 werden aufgeladen. Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge ETiT II / VL 9 1,5 CUq2 15 Fachgebiet Hochspannungstechnik WCb ETiT II / VL 9 0,9 WCa 17 0,45 Wq !!! Æ Welche Energie WCb ist zum Schluss in den Kondensatoren gespeichert? Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Wq ETiT II / VL 9 0,75 CUq2 16 0,5 Wq !!! U Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 18 Æ "GET II_09 Energieverlust.pdf" und "Energie_QuoVadis_03-06-16.pdf" C1 Annahmen: C1 = C2 = C = 1 μF Schalter zunächst geöffnet, C1 auf U = 100 V aufgeladen C2 Dann werde der Schalter geschlossen. Frage: Wie groß ist die gespeicherte Energie vorher und nachher? Energieverlust bei Kondensatorumladung Fachgebiet Hochspannungstechnik WCa Æ Welche Energie WCa nehmen die Kondensatoren in Schritt 2 auf? 14 Æ Wieviel Energie Wq musste die Quelle insgesamt abgeben? ETiT II / VL 9 Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) Fachgebiet Hochspannungstechnik Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) 13 Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge ETiT II / VL 9 Knotenanalyse (Bezugsknoten: B) Knotenanalyse (Bezugsknoten: B) Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik Schritt 3) Æ S2 geöffnet, S4 geschlossen Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) Ladungsausgleich zwischen 4 Kondensatoren ([C1], Bsp. 3.18) Schritt 3) Æ S2 geöffnet, S4 geschlossen Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Kondensatorschaltungen – Umladevorgänge Fachgebiet Hochspannungstechnik C1 C2 ETiT II / VL 9 dq dt RC R dq dt ETiT II / VL 9 t RC · § ¸ U ¨1 e ¹ © t IJ · ¸ ¹ Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 9 mit IJ = RC ... Zeitkonstante; > IJ @ s § u (t ) U ¨ 1 e © t RC t § · q(t ) CU ¨ 1 e RC ¸ © ¹ q(t ) u(t ) C 0 CU Be0 B CU Anfangsbedingung: q(t = 0) = 0 q(t ) CU Be dq dt 19 U i R uR C 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 23 21 1 U i 2 t/tau R uR 3 C Differentialgleichung 1. Ordnung für die Aufladung idt i Aufladung eines Kondensators Fachgebiet Hochspannungstechnik UC q U q C U iR U 0 q 0 C dq q R dt C U uR uC Aufstellen der Maschengleichung: Für die Ladungsänderung gilt: dq Kondensator wird aufgeladen Anlegen einer Spannung U zum Zeitpunkt t0 Kondensator C ungeladen Aufladung eines Kondensators U Energieverlust bei Kondensatorumladung u/U 4 5 uC uC Fachgebiet Hochspannungstechnik Z2 Z1 Z 2 u2 u1 ETiT II / VL 9 1 dt RC 1 tA RC 1 C1 20 C2 1 1 e t RC e Ae t RC t RC ETiT II / VL 9 Be 22 i C2 1 R uR C1 1 u1 C Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 10 1 uC u2 C1 C1 C2 C2 C1 Das stationäre elektrische Strömungsfeld (elektrisches Feld im Leiter) Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 t A RC q(t ) CU Be CU q U C2 Anwenden der Exponentialfunktion auf beiden Seiten: ln CU q 1 ³ CU q dq ³ RC dt Integration auf beiden Seiten der Gleichung: dq CU q RC dq dt Sortieren nach den Variablen q und t: UC q 1 C1 C1 C2 jZC2 1 1 jZC1 jZC2 1 Aufladung eines Kondensators u2 u1 Kapazitiver Spannungsteiler ETiT II / VL 10 2 JG Stromdichte J JG Flächenvektor ǻA JG J Fachgebiet Hochspannungstechnik JǻA JǻA cos Į Jn Į Jt J Strom: 4 A2 2 JJG ³J JJG d A2 A3 3 JJG ³J JJG d A3 0 JG ETiT II / VL 10 A v³ J d A JG 0 6 Damit für die gesamte Hüllfläche A: ARe st Durch den Rest der Hüllfläche tritt kein Strom: JG JG ³ J dA 0 A1 JJG JJG ³ J1 d A1 An Es gilt: I1 + I2 + I3 = 0 JG JG mit In ³ J d A wird daraus: Stromknoten, umgeben von einer Hüllfläche A ǻI JG JG J ǻA Allgemein in vektorieller Schreibweise: Jn · J ¸¹ Jn ǻA § ¨ cos Į © Strom: ǻI Für den Fall ǻA I Strom: ǻI Für den Fall ǻA A I ǻI Stromdichte: J ǻA ETiT II / VL 10 1. Kirchhoffscher Satz Fachgebiet Hochspannungstechnik JG ǻA Fläche ǻA Winkel Į Strom I Fläche ǻA Strom I Zusammenhang zwischen Strom und Stromdichte Fachgebiet Hochspannungstechnik Elektrische Felder in Leitern und allgemein reine Gleichfelder dagegen sind immer stationäre Strömungsfelder, in denen sich Feld- und Potentialverteilungen auf Grund der Leitfähigkeiten ergeben. Strom I 0 ¦U 2. Kirchhoffsches Gesetz: ETiT II / VL 10 Jetzt: Verallgemeinerung ..... 3 k 1 n JG k Fachgebiet Hochspannungstechnik I A A JG JG JG v³ J d A JG ³J dA 5 0 ETiT II / VL 10 7 • Das stationäre Strömungsfeld ist quellenfrei, elektrische Strömungslinien sind im stationären Fall geschlossen. • Die Summe aller Strombeiträge ist Null. • Strömungslinien, die in das von der Hüllfläche umschlossene Volumen eintreten, führen zu negativen Strombeiträgen. • Strömungslinien, die aus dem von der Hüllfläche umschlossenen Volumen austreten, führen zu positiven Strombeiträgen. JG • Das Flächenelement d A auf der Hüllfläche wird nach außen positiv gezählt. ETiT II / VL 10 1. Kirchhoffscher Satz JG ¦ J ǻA Fachgebiet Hochspannungstechnik I Für eine beliebige, gekrümmte Fläche gilt: Zusammenhang zwischen Strom und Stromdichte Fachgebiet Hochspannungstechnik stellen Spezialfälle für das homogene stationäre Strömungsfeld dar. in einer Masche in einem Knoten 0 ¦I 1. Kirchhoffsches Gesetz: I=GU bzw. U = RI Ohmsches Gesetz: Die in GET I hergeleiteten Grundgesetze Leiter Stationäre Strömungen wurden auch in GET I vorausgesetzt: • Strom durch Leitungen, deren Durchmesser konstant und sehr klein gegenüber der Länge ist. • Das Strömungsfeld im Leiter wurde als homogen angenommen, die Verteilung über den Leiterquerschnitt interessierte im übrigen auch nicht. Die bisher betrachteten elektrostatischen Felder sind streng genommen eine theoretische Fiktion, die voraussetzt, dass ein ideales Dielektrikum mit einer Leitfähigkeit Ȗ = 0 vorliegt, in dem das von unbeweglichen Ladungen erzeugte elektrische Quellenfeld keinerlei Leitungsstrom (J = 0) bzw. Ladungs- und Energietransport verursacht. Für langsam veränderliche Felder in Dielektrika, deren Leitfähigkeit Ȗ so gering ist, dass die zeitliche Änderung der elektrischen Verschiebungsdichte groß ist gegenüber dem Leitungsstrom, für die also gilt wD wE İ J ȖE wt wt können jedoch die Gesetzmäßigkeiten des elektrostatischen Feldes mit ausreichender Genauigkeit angewendet werden Æ elektroquasistatische Felder (für Frequenzen von wenigen Hz bis in den kHz-Bereich). Feld- und Potentialverteilungen ergeben sich auf Grund der Dielektrizitätszahlen. Stationäre elektrische Strömungsfelder Stationäre elektrische Strömungsfelder RI ȡl A U R Verallgemeinerung: I ȖE JG ȖE J JG J JG ȡJ JG E U l ȡJ Ȗ E U l I A AȖ I A I ȡ ȖA l GU U l G I I U ȡl A Im homogenen Fall: L JG J JG ȖE JG JG v³ E d s A JG JG v³ J d A 0 0 Elektrisches Strömungsfeld JG JG v³ D d A Q L JG D JG JG İE JG v³ E d s A 0 Elektrostatisches/ elektroquasistatisches Feld 8 ETiT II / VL 10 10 Fachgebiet Hochspannungstechnik JG J Ȗ Zahlenbeispiel: ETiT II / VL 10 12 Eine koaxiale Zylinderanordnung ist zwischen Innen- und Außenelektrode mit einer Flüssigkeit der Leitfähigkeit Ȗ = 2 μS/cm gefüllt. Die Radien der Elektroden betragen ȡ1 = 15 mm und ȡ2 = 50 mm. Die Gesamtlänge der Anordnung beträgt l = 120 mm. Durch die Flüssigkeit fließt ein Gleichstrom von I = 12 mA. Wie hoch sind die maximale und die minimale Leistungsdichte? Wie hoch ist die umgesetzte Leistung? Leistungsdichte im elektrischen Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Die in in der der Elektrostatik/Elektroquasistatik Elektrostatik/Elektroquasistatik einsetzbaren einsetzbaren Lösungsmethoden Lösungsmethoden können können auch auch zur zur Berechnung Berechnung elektrischer elektrischer Strömungsfelder Strömungsfelder angewendet angewendet werden. werden. GU 0 ¦U I 0 ¦I Ausgangsgleichungen Zusammenstellung der Gesetzmäßigkeiten ETiT II / VL 10 Das Das Feldbild Feldbild der der Stromdichte Stromdichte entspricht entspricht dem dem der der elektrischen elektrischen Feldstärke, Feldstärke, sofern sofern das das Strömungsgebiet Strömungsgebiet isotrop isotrop und und sein sein spezifischer spezifischer Widerstand/ Widerstand/ seine seine Leitfähigkeit Leitfähigkeit konstant konstant ist. ist. l JG J JG E ȡ, Ȗ Fachgebiet Hochspannungstechnik I A Ohmsches Gesetz ETiT II / VL 10 JG JG Fachgebiet Hochspannungstechnik JG 9 L v³ E d s 0 ǻI 2 ǻl ȖǻA 2 § ǻ I · ǻl ǻA ¨ ǻA ¸ Ȗ © ¹ J2 ǻl ǻA Ȗ 0 p J2 Ȗ p J2 Ȗ EJ ȖE 2 (wegen J = ȖE) ETiT II / VL 10 11 p ... Leistungsdichte (Leistung pro Volumen) ǻP ǻV Division beider Seiten durch ǻV = ǻl ǻA: ǻP Im allgemeinen Fall: Leistung im homogenen Feld: P = I2 R 0 ¦ ǻU ¦ E ǻs JG 0 bzw. JG Für ǻs Æ0: ¦U ETiT II / VL 10 13 Leistungsdichte im elektrischen Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Für vollständigen Umlauf L gilt: JG Spannungsfall auf dem Weg ǻs : E cos D JGn E ǻU Eǻs cos Į JG JG JG JG JG JG E ǻs cos E , ǻs E ǻs Leistungsdichte im elektrischen Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik 2. Kirchhoffscher Satz ETiT II / VL 10 14 İ Ȗ RC A Relaxationszeitkonstante >İ @ >Ȗ @ S As m Vm 16 U s İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 10 1 s 200 5 ms 18 IJe 2 1 4f 3896 s | 1 h 8,854 1012 4,4 As V m 1014 Vm A İ0İr 2 Ȗ2 İ2 Ȗ2 IJe1 T Vergleich mit Periodendauer: 4 194788 s | 54 h 8,854 1012 2,2 As V m 1016 Vm A İ0İr 1 Ȗ1 İ1 Ȗ1 Ermittlung der Relaxationszeitkonstanten: Betrachtung Betrachtung als als elektro(quasi)elektro(quasi)statisches statisches Feld Feld Jedes Dielektrikum sei in 3 Lagen vorhanden. Die anliegende Spannung sei eine 50-Hz-Wechselspannung. Dielektrikum 2: İr2 = 4,4, Ȗ2 = 10-14 S/m, d2 = 10 μm Dielektrikum 1: İr1 = 2,2, Ȗ1 = 10-16 S/m, d1 = 10 μm V As m Vm A Ein Kondensatordielektrikum bestehe aus einer Schichtung zweier verschiedener Dielektrika mit folgenden Daten: Zahlenbeispiel: Ue-t IJe ETiT II / VL 10 Damit: u JG JG Ed A 1 U ³ JG JG İ vA Ȗ v³ Ed A U A 1 U JG JG Ȗ v³ Ed A Relaxationszeitkonstante > IJe @ Fachgebiet Hochspannungstechnik IJe IJe R Das Gleiche gilt auch im elektrischen Feld: aufgeladene Kapazitäten entladen sich, falls Ȗ z 0 ist. JG JG JG JG Dd A Ed A Q v ³ ³ v A A +Q C İ U U U JG JG JG JG JG JG İ, Ȗ U J, E J d A 1 I v³ A v³ Ed A G Ȗ A R U U U -Q Relaxationszeitkonstante Fachgebiet Hochspannungstechnik Leistungsdichte im elektrischen Strömungsfeld d1 d2 R U0 e 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 ETiT II / VL 10 1 2 15 t/tau 3 4 Ta ... Anstiegszeit transienter Größen ETiT II / VL 10 17 U I A JG JG v³ Jd A a b JG JG A a JG JG Ȗ v³ Ed A ³ Ed s U I ij ij I Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 10 (Vergleich mit Berechnung der Kapazität (GET II_05): C R oder auch (bei Kenntnis der Potentialfunktion): R JG JG ³ Ed s b Q 19 M M Im allgemeinen Fall gilt (bei örtlich konstanter Leitfähigkeit): Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Ta IJe T IJe 4 ) Felder dagegen, deren Änderungszeiten sehr langsam sind im Vergleich zu IJe , können/müssen als Strömungsfelder betrachtet werden. Ta IJe Wenn die für die Feldänderungen maßgeblichen Zeiten wesentlich kleiner sind als IJe , kann von einem elektro(quasi)statischen Feld ausgegangen werden: T IJe T ... Periodendauer periodischer Größen 4 Mit Hilfe der Relaxationszeitkonstanten kann entschieden werden, ob ein langsam veränderliches Feld als elektro(quasi)statisches oder als Strömungsfeld zu betrachten ist. Relaxationszeitkonstante Fachgebiet Hochspannungstechnik IJ = RC ... Zeitkonstante u -t IJ Entladung des vorher auf die Spannung U0 aufgeladenen Kondensators nach einer e-Funktion: U0 C RC-Schaltung aus diskreten Bauelementen Relaxationszeitkonstante u/U 5 R U12 JG JG ȡ2 I 2ʌȡl A JJG JG ȡ2 J A v³ J d A ³ JdA ȡ2 A I J ³ dA ETiT II / VL 10 1 ȡ ln 2 2ʌȖ l ȡ1 U12 I ȡ1 ȡ1 1 ȡ1 20 I 2ʌȖ l J 2ʌȡl ³ Ed s ³ Edȡ ³ Ȗ dȡ ³ Ȗ 2ʌȡl dȡ 2 J I ȡ1 1 ³ ȡ dȡ ȡ2 ȡ I ln 2 2ʌȖ l ȡ1 d/2 J ( x) Ȗ ( ad ) / 2 E xdx 21 Im Aufpunkt P ergibt sich der Strom aus der Überlagerung: JG 0 JG 0 JG 0 JG 0 JG I ȡ1 I ȡ2 I § ȡ1 ȡ 2 · ¨ ¸ J (P ) 2ʌȡ1į 2ʌȡ2į 2ʌį ¨ ȡ1 ȡ2 ¸ © ¹ ȡl A l ȖA G ȖA l Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 11 1 Der Gesamtwiderstand ergibt sich schließlich als Integral über die Teilwiderstände/Teilleitwerte. Dazu zerlegt man den Gesamtwiderstand/Gesamtleitwert in eine Vielzahl von kleinen Teilwiderständen/Teilleitwerten, auf die die obigen Gleichungen angewendet werden können. In vielen Fällen lässt sich der Widerstand bzw. der Leitwert einer geometrisch komplizierteren Anordnung aus der Reihen- oder Parallelschaltung einzelner homogener Teilwiderstände oder Teilleitwerte berechnen. R Für den Spezialfall homogener Strömungen gilt: Ȗ Fachgebiet Hochspannungstechnik JG J ȡ dȡ l ȖA dȡ Ȗ 2ʌȡlZyl R ȡ2 dȡ ȡ1 ETiT II / VL 11 ȡ1 ³ dR ³ Ȗ 2ʌȡl ȡ2 Zyl 1 Ȗ 2ʌ lZyl dȡ ȡ ȡ1 2 ³ ȡ2 (s. GET II_10) 1 ȡ ln 2 Ȗ 2ʌ lZyl ȡ1 Reihenschaltung aller Teilwiderstände zwischen ȡ1 und ȡ2 Æ Integration von dR von ȡ1 bis ȡ2: dR Für den blauen Zylindermantel der Dicke dȡ im Abstand ȡ vom Mittelpunkt gilt: Alle Stromfäden sind gleich lang, aber der Strömungsquerschnitt ändert sich laufend Æ Berechnung mit Reihenschaltung von Teilwiderständen I ȡ1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ȡ dȡ ȡ2 I dG ȖA l Ȗbdȡ ʌȡ ȡ ȡ1 Ȗbdȡ ʌȡ ȡ1 ȡ2 ³ dG ³ ȡ2 ETiT II / VL 11 G ȡ 3 Ȗb 2 dȡ ʌ ȡ³1 ȡ Ȗb ȡ2 ln ʌ ȡ1 Parallelschaltung aller Teilleitwerte zwischen ȡ1 und ȡ2 Æ Integration von dG von ȡ1 bis ȡ2: b dȡ b Für den blauen Halbzylindermantel der Dicke dȡ im Abstand ȡ vom Mittelpunkt gilt: Alle Stromfäden sind unterschiedlich lang, aber der Strömungsquerschnitt ist konstant Æ Berechnung mit Parallelschaltung von Teilleitwerten Beispiel 2: Stromdurchflossener Bügel mit rechteckigem Querschnitt der Breite b: 22 ETiT II / VL 10 į Beispiel: die bereits berechnete koaxiale Zylinderanordnung (GET II_10): ETiT II / VL 10 I § 2a d · ln ʌȖį ¨© d ¸¹ I § 1 1 · ¨ ¸ 2ʌį © a 2 x a 2 x ¹ ȡ2 d In eine Platte der Dicke į und der Leitfähigkeit Ȗ sind 2 Kontaktbolzen der Durchmesser d im Abstand a >> d eingeschweißt. Wie groß ist der Bahnwiderstand der Platte? JJG JG I v³ J d A ³ JdA J ³ dA J 2ʌȡį A A A ȡ I į J ( ȡ) 2ʌȡį Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld P I Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik ( ad ) / 2 JG 0 JG 0 I § ȡ1 ȡ 2 · ¨ ¸ 2ʌį ¨ ȡ1 ȡ2 ¸ © ¹ Speziell auf der direkten Verbindungslinie zwischen den Bolzen gilt: JG J (P ) ( a d ) / 2 § I 1 1 · dx 2ʌȖį ³ (ad ) / 2 ¨© a 2 x a 2 x ¸¹ U 1 § 2a · ln | (wegen d << a) I ʌȖį ¨© d ¸¹ ³ a/2 ȡ2 · I § 1 1 ¨ ¸ 2ʌį © a 2 x a 2 x ¹ a/2 x JG 0 JG 0 I ȡ1 I ȡ2 2ʌȡ1į 2ʌȡ2į Ȗ a >> d Fachgebiet Hochspannungstechnik ȡ1 d Beispiel nach [P1] I Beispiel 2: Berechnung des Widerstandes der folgenden Plattenanordnung: Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld R U Ex J(x) d/2 ȡ1 P Beispiel 2: Berechnung des Widerstandes der folgenden Plattenanordnung: Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik JG J Ȗ Beispiel 1: Berechnung des Widerstandes einer koaxialen Zylinderanordnung Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik a c I b ETiT II / VL 11 4 Wie groß ist der Widerstand dieser Anordnung? a = 60 mm b = 50 mm c = 200 mm Ȗ = 20 S/m JG D JG J İ ȖC U2 U1 2SH l ln ETiT II / VL 11 R C Fachgebiet Hochspannungstechnik 6 1 ȡ ln 2 2ʌȖ l ȡ1 (s. GET II_10) ETiT II / VL 11 Berührungsspannung UB Schrittspannung US 8 Masterder, näherungsweise halbkugelig angenommen ÆVermeidung von Berührungsspannungen (Mast, Erdboden) Æ Vermeidung von Schrittspannungen (Erdboden) İ 2ʌİl Ȗ ȡ ln 2 ȡ1 (s. GET II_05) Für diese Anordnung war folgende Beziehung für die Kapazität hergeleitet worden: Berechnung eines Masterders Fachgebiet Hochspannungstechnik İ Ȗ Beispiel: die bereits betrachtete koaxiale Zylinderanordnung (GET II_10): Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld I Zahlenbeispiel: Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld ETiT II / VL 11 ETiT II / VL 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik 7 5 A ETiT II / VL 11 E (r ) J (r ) Ȗ J (r ) 0 9 I 1 4ʌȖ r 2 I 4ʌr 2 J (r )4ʌr 2 I Strom in die Kugel: -I A Strömung durch eine Hüllkugel mit Radius r : JG JG 2 v³ Jd A J(r )v³ dA J(r )4ʌr Æ radialsymmetrisches Strömungsfeld im Erdreich Zunächst Annahme einer kugelförmigen Elektrode in mäßig leitendem Erdboden; Strom wird über isolierten Draht zugeführt. Berechnung eines Masterders Fachgebiet Hochspannungstechnik Berechnung eines Masterders Fachgebiet Hochspannungstechnik Voraussetzung: İ und Ȗ sind ortsunabhängig, und beide betrachteten Anordnungen weisen die gleichen Feldverteilungen auf. Ist die Kapazität einer Anordnung bereits bekannt, lässt sich der Widerstand auch mit der für die Relaxationszeitkonstanten ermittelten Beziehung ermitteln, wobei an Stelle des nichtleitenden Dielektrikums einfach ein leitfähiges Material gleicher Geometrie angenommen wird: İ IJe RC Ȗ İ R ȖC Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld ³ E (r )dr I 1 const . 4ʌȖ r Q 1 const . 4SH r Denkt man sich die Kugel durch eine isolierende Folie in zwei Halbkugeln geteilt, der jeder der Strom I/2 zugeführt wird, so ändert sich an der Feldverteilung nichts! I 1 dr 4ʌȖ ³ r 2 ETiT II / VL 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 11 II == 1741 1741 A A 14 a) Welcher Strom fließt in den Erdboden, wenn ein Leiterseil den Mast berührt? Berechnung eines Masterders 12 ij(r2 ) ij(r3 ) US Schrittspannung: ETiT II / VL 11 I § 1 1· ¨ ¸ 2ʌȖ © r2 r3 ¹ Fachgebiet Hochspannungstechnik I § 1 1· ¨ ¸ 2ʌȖ © r0 r1 ¹ ij(r0 ) ij(r1) I 1 const . 2ʌȖ r UB ij(r ) 10 Berührungsspannung: Berechnung eines Masterders Fachgebiet Hochspannungstechnik I/2 I/2 Vergleich mit Potentialfunktion einer Punktladung (GET II_03): M (P ) ij(r ) E (r ) J (r ) I 1 4ʌȖ r 2 Ȗ Potentialfunktion durch Integration der Feldstärke längs einer JG JG unbestimmte JG Feldlinie (wegen E d s dij bzw. E gradij ): Berechnung eines Masterders r0 r P ETiT II / VL 11 Für Halbkugel: ȖE ij(r ) 11 I 1 const . 2ʌȖ r ETiT II / VL 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 11 1 Hinweis: wegen US Ȗ erhöht sich die Schrittspannung mit abnehmender Leitfähigkeit (d.h. bei Austrocknung des Bodens)! 15 isolierte Leitung Gegenmaßnahme: z.B. Erder tiefer eingraben: in in 10 10 m m Entfernung: Entfernung: U USS == 205 205 V VÆ Æ zu zu hoch! hoch! in 53 V VÆ Æ in in Ordnung Ordnung in 20 20 m m Entfernung: Entfernung: U USS == 53 (Forderung: (Forderung: U USS << 60 60 V) V) b) Wie groß ist die Schrittspannung in 10 m und in 20 m Entfernung vom Mast (Schrittweite 80 cm)? 13 e) Wie groß ist die Kapazität des Erders? d) Wie groß ist der Erdungswiderstand? c) Wie groß ist die Berührungsspannung? b) Wie groß ist die Schrittspannung in 10 m und in 20 m Entfernung vom Mast (Schrittweite 80 cm)? a) Welcher Strom fließt in den Erdboden, wenn ein Leiterseil den Mast berührt? D=1m Fragen: İrE = 4 r0 = 2 m ȖE = 10-2 S/m (feuchter Erdboden) Um = 24 kV Zahlenbeispiel: Berechnung eines Masterders Fachgebiet Hochspannungstechnik r0 D ij(r ) I 1 const . 4ʌȖ r Für Halbkugel verteilt sich der Strom I auf den halben Raum Æ Für Vollkugel: Berechnung eines Masterders Fachgebiet Hochspannungstechnik JG JG E, J I Berechnung eines Masterders ȖE U I R Zur Abschätzung der Leitfähigkeit eines Materials werden 2 Prüfspitzen mit einem Spitzenradius von r0 = 0,1 mm in einem Abstand L >> r0 voneinander aufgesetzt. Es wird ein Widerstand von 20 kȍ gemessen, unabhängig vom Abstand L (solange L >> r0). Wie groß ist die Leitfähigkeit? 0,159 S/m ETiT II / VL 11 1 A 2ʌ 10 103 0,1 103 Vm Fachgebiet Hochspannungstechnik JJG JJG E2 , J2 E2t, J2t E1t, J1t Į2 E2n, J2n E1n, J1n J1n 1n = J2n 2n P4 P1 ETiT II / VL 11 0 1. Kirchhoffscher Satz: JG JG v³ J d A 0 Į1 JJG JJG E1, J1 JG JGA v³ J d A J1n A J2n A A JG n Fachgebiet Hochspannungstechnik Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Leiter 1, Ȗ1 Bedingungen an Grenzflächen Ȗ 16 P3 P2 JG n JG JG v³ D d A A Į2 Q E1t, D1t E2t, D2t JJG JJG E2 , D2 Į1 JJG JJG E1, D1 0 E2n, D2n E1n, D1n P4 P1 A JG 20 v³ D d A JG D1n = D2n D1n A D2n A Q Eintretende gleich austretende elektrische Verschiebungsdichte Dielektrikum 2, İr2 Dielektrikum 1, İr1 0 Zur Erinnerung: elektro(quasi)statisches Feld (GET II_08): 18 I § 1 1· I (s. Beispiel Masterder) ¨ ¸| 2ʌȖ © r0 rL ¹ 2ʌȖr0 1 Ȗ (R … Widerstand einer Prüfspitze) 2ʌRr0 ETiT II / VL 11 Der gemessene Widerstand von 20 kȍ entspricht 2·R! 1 2ʌȖr0 ij(r0 ) ij(rf ) U Beispiel aus [P1] Leitfähigkeitsmessung Fachgebiet Hochspannungstechnik r0 D U UBB == 00 V, V, da da ein ein Mensch Mensch im im Abstand Abstand einer einer Armlänge Armlänge vom vom Mast Mast immer immer noch noch direkt direkt auf auf dem dem Erder Erder steht! steht! D=1m r0 = 2 m c) Wie groß ist die Berührungsspannung? Berechnung eines Masterders 1 |8 ȍ 2ʌȖr0 ETiT II / VL 11 JG n JJG JJG E2, J2 E2t, J2t E1t, J1t JJG JJG E1, J1 ETiT II / VL 11 Į1 JG n L Į1 L JG v³ E ds JJG JJG E2 , J2 E2t, J2t E1t, J1t JJG JJG E1, J1 Į2 0 E2n, J2n E1n, J1n P4 P1 Į2 E2n, J2n E1n, J1n 19 P4 P1 17 Fachgebiet Hochspannungstechnik E1t1t = E2t2t ETiT II / VL 11 21 Kein Unterschied zum elektro(quasi)statischen Feld Integration der elektrischen Feldstärke längs des Weges P1-P2-P3-P4-P1 JG v³ E ds E1t s E 2t s 0 Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Leiter 1, Ȗ1 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Leiter 1, Ȗ1 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik C C == 445 445 pF pF e) Wie groß ist die Kapazität des Erders? R d) Wie groß ist der Erdungswiderstand? Berechnung eines Masterders ETiT II / VL 11 J1 JG n Ȗ2 Ȗ1 J1n JJG JJG E2, J2 E2t, J2t Į2 ETiT II / VL 11 JG n J2 P4 P1 JJG JJG E2, J2 E2t, J2t E1t, J1t Į2 E2n, J2n E1n, J1n P4 P1 24 E1 E2 Hr 2 Hr1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 11 26 Die Feld- und Strömungslinien werden gebrochen! JG JG ... dadurch charakterisiert, dass E und J die Grenzflächen schräg schneiden Definition ...... Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Į1 JJG JJG E1, J1 Schräg geschichtete Leiter Leiter 1, Ȗ1 J2n E2n, J2n E1n, J1n 22 vgl. elektro(quasi)statisches Feld: Ȗ 2E 2 E1t, J1t JJG JJG E1, J1 Ȗ1E1 Į1 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik E1 E2 Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Leiter 1, Ȗ1 Quer geschichtete Leiter Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik kontinuierlich von einem Leiter in den anderen über. Normalkomponente der Stromdichte und die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke In geschichteten Leitern gehen die Bedingungen an Grenzflächen JG n Į1 JJG JJG E2, J2 E2t, J2t E1t, J1t JJG JJG E1, J1 Į2 E2n, J2n E1n, J1n P4 P1 ETiT II / VL 11 JG n Į1 JJG JJG E2, J2 E2t, J2t E1t, J1t JJG JJG E1, J1 Į2 E2n, J2n E1n, J1n P4 P1 U2 U1 U d2 d1 d E1 E2 Ȗ2 Ȗ1 23 Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke unverändert: tan Į 2 Ȗ2 tan Į1 Ȗ1 Fachgebiet Hochspannungstechnik E 2t Ȗ 2E 2n E1t Ȗ1E1n Į1 JJG JJG E2 , J2 E2t, J2t E1t, J1t JJG JJG E1, J1 25 U Ȗ2 d1 d 2 Ȗ1 Į2 ETiT II / VL 11 E2n, J2n E1n, J1n P4 P1 (vgl. mit elektro(quasi)statischem Feld!) 27 tan Į1 tan Į 2 İr 1 ) İr 2 Ȗ1 Brechungsgesetz des Ȗ 2 elektrischen Strömungsfeldes JG n E2 (Zum Vergleich: elektro(quasi)statisches Feld: tan Į1 tan Į 2 P3 Leiter 2, Ȗ2 Division der beiden Stetigkeitsbedingungen: J1n = Ȗ1E1n = J2n = Ȗ2E2n Normalkomponente der Stromdichte unverändert: P2 Leiter 1, Ȗ1 ETiT II / VL 11 Schräg geschichtete Leiter E1t = E2t U Ȗ d1 d2 1 Ȗ2 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik E1 Für die Feldstärken in Abhängigkeit von der anliegenden Spannung gilt: Ȗ Ȗ U U1 U2 E1d1 E 2d 2 E1d1 E1d 2 1 E 2d2 E 2d1 2 Ȗ2 Ȗ1 Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Leiter 1, Ȗ1 Quer geschichtete Leiter Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik JG JG ... dadurch charakterisiert, dass E und J nur Normalkomponenten aufweisen Definition ...... Leiter 2, Ȗ2 P3 P2 Leiter 1, Ȗ1 Quer geschichtete Leiter Bedingungen an Grenzflächen JG JG Ȗ1 Ȗ2 Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes tan Į1 tan Į 2 ETiT II / VL 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik Material 2 ı Material 1 Ȗ1 Ȗ2 1° 1,6° 3,2° 6,5° 80° 85° 0,6° 45° 70° 0° 0° 60° Į2 Į1 ETiT II / VL 11 ETiT II / VL 11 İ1 Ȗ1 z İ2 Ȗ 2 ıǻA A 32 D2n D 1n ı Es gilt dann: JG JG v³ D d A D1n'A D2n'A ǻQ 'Q Ausbildung einer Flächenladung: 30 Die Feldlinien stehen auf einem guten Leiter nahezu senkrecht. Damit wird die Oberfläche eines guten Leiters näherungsweise zu einer Äquipotentialfläche. tan Į1 tan Į 2 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik "Schlechter Leiter" Ȗ2 "Sehr guter Leiter" Ȗ1 = 100·Ȗ2 Annahme: Ȗ1/Ȗ2 = 100 28 Į1 ij= con s t. J1 E1 JG tan Į1 tan Į 2 Ȗ 2 İ1 Ȗ 1 İ2 Ȗ 2 İ1 Ȗ 1 İ2 1 İ1 İ2 Ȗ1 Ȗ2 ETiT II / VL 11 31 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 11 33 Zwischen zwei vollkommen leitenden, konzentrischen Kugelschalen befinden sich zwei Medien (1) und (2). Über isolierte Drähte sind beide Kugelschalen an eine Spannungsquelle angeschlossen. Gesucht sind der sich einstellende Strom I und die sich ausbildende Flächenladung ı. Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum ([C1], Bsp. 4.4) Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik Sonst .... D1n D2n Ȗ1 Ȗ2 Die Normalkomponenten der Feldstärke sind damit festgelegt. Die Normalkomponenten der Stromdichte sind stetig. Die Normalkomponenten der Verschiebungsdichte sind an der Grenzfläche nur dann stetig, d.h. D1n/D2n = 1, wenn: D1n D2n D Ȗ 2 2n İ2 Ȗ 2E 2n J2n D Ȗ1 1n İ1 Ȗ1E1n J1n Wie verhält sich die Verschiebungsdichte im stationären Strömungsfeld? 29 >r13· Ȗ1 Leiter 2, İȖr22İ| Dielektrikum Į2 ETiT II / VL 11 Į2 Į1 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik JG EJ22 Leiter 1, Ȗ1 Dielektrikum1, İr1 Brechungsgesetz Bedingungen an Grenzflächen t. Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik Äquipotentiallinien (ij = const.) werden beim Übergang in einen Leiter mit größerer Leitfähigkeit zur Normalen hin, also von der Grenzfläche weg gebrochen. Feld- und Strömungslinien ( E , J ) werden beim Übergang in einen Leiter mit größerer Leitfähigkeit von der Normalen weg, also zur Grenzfläche hin gebrochen. Schräg geschichtete Leiter Bedingungen an Grenzflächen ij s on =c ETiT II / VL 11 34 U İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 0! Zahlenbeispiel (Fortsetzung): U İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 2 5 ms U 3d1 Hr 2 3d 2 Hr 2 U | 67 106 V m ETit II / VL 12 3 kV mm kV 33 mm 67 U Zur Erinnerung: 3 103 V | 33 106 m 6 4,4 6 30 10 30 10 2,2 6 2,2 30 10 30 10 4,4 6 3 103 H d1 r 2 d2 Hr1 H 3d1 3d2 r 1 Hr 2 E2 U H d1 d2 r 1 Hr 2 U Fachgebiet Hochspannungstechnik E2 E1 E1 E1 E2 Hr 2 Hr1 Faktor 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 d1 d2 3d1 Ȗ2 3d 2 Ȗ2 U Ȗ 3d1 3d2 1 Ȗ2 U Ȗ d1 d2 1 Ȗ2 U Fachgebiet Hochspannungstechnik E2 E1 E1 3 103 U Ȗ2 d1 d2 Ȗ1 1016 1014 ETit II / VL 12 3 103 14 6 10 30 106 30 10 1016 30 106 30 106 E2 V m 99 kV mm 4 Zur Erinnerung: V kV 0,99 106 |1 m mm | 99 106 U E1 E2 d1 d2 d1 d2 Ȗ2 Ȗ1 Faktor 100 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 İ1, Ȗ1 İ2 , Ȗ 2 Beanspruchung mit Gleichspannung U = 3 kV (Strömungsfeld): 1 s 200 Folgende Beziehungen bereits allgemein hergeleitet: ETit II / VL 12 1 4f Betrachtung Betrachtung als als elektro(quasi)elektro(quasi)statisches statisches Feld Feld Beanspruchung mit Wechselspannung U = 3 kV (elektro(quasi)statisches Feld): Fachgebiet Hochspannungstechnik T 4 3896 s | 1 h 8,854 1012 4,4 As V m 1014 Vm A İ0İr 2 Ȗ2 İ2 Ȗ2 IJe 2 Vergleich mit Periodendauer: 194788 s | 54 h 8,854 1012 2,2 As V m 1016 Vm A İ0İr 1 Ȗ1 İ1 Ȗ1 IJe1 Ermittlung der Relaxationszeitkonstanten (s. GET II_10): Jedes Dielektrikum sei in 3 Lagen vorhanden. Die anliegende 50-Hz-Wechselspannung habe einen Effektivwert von 3 kV. Dielektrikum 2: İr2 = 4,4, Ȗ2 = 10-14 S/m, d2 = 10 μm Dielektrikum 1: İr1 = 2,2, Ȗ1 = 10-16 S/m, d1 = 10 μm Ein Kondensatordielektrikum bestehe aus einer Schichtung zweier verschiedener Dielektrika mit folgenden Daten: Folgende Beziehungen bereits allgemein hergeleitet (GET II_08): 1 35 Ȗ1 ist ı Ȗ2 Kondensator: elektro(quasi)statisches vs. Strömungsfeld ETit II / VL 12 d1 d2 ETiT II / VL 11 İ1 İ bzw. 1 Ȗ1 İ2 İ2 Ȗ2 Kondensator: elektro(quasi)statisches vs. Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Nur wenn I § İ2 İ1 · ¨ ¸ 4ʌr12 © Ȗ 2 Ȗ1 ¹ ı Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum ([C1], Bsp. 4.4) Bedingungen an Grenzflächen Kondensator: elektro(quasi)statisches vs. Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Begründung für die Anordnung: Aufbau eines Hochspannungskondensators Dielektrikum 1 = Kunststofffolie Dielektrikum 2 = ölimprägniertes Papier (zur Vermeidung von Lufteinschlüssen zwischen den Lagen) Jedes Dielektrikum sei in 3 Lagen vorhanden. Die anliegende 50-Hz-Wechselspannung habe einen Effektivwert von 3 kV. Dielektrikum 2: İr2 = 4,4, Ȗ2 = 10-14 S/m, d2 = 10 μm Dielektrikum 1: İr1 = 2,2, Ȗ1 = 10-16 S/m, d1 = 10 μm Ein Kondensatordielektrikum bestehe aus einer Schichtung zweier verschiedener Dielektrika mit folgenden Daten: Zahlenbeispiel (Fortsetzung): Kondensator: elektro(quasi)statisches vs. Strömungsfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik I 4ʌU 1 § 1 1· 1 § 1 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ Ȗ1 © r0 r1 ¹ Ȗ 2 © r1 r2 ¹ Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum ([C1], Bsp. 4.4) Bedingungen an Grenzflächen ETit II / VL 12 5 S N N S ETit II / VL 12 Fachgebiet Hochspannungstechnik nach [F1] N S N 7 S N S ETit II / VL 12 9 vierpoliger Läufermagnet eines Kleinmotors Kernmagnet eines Drehspulmesswerks Zylindermagnet Stabmagnet Bauarten von Permanentmagneten Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik S N Bestimmte Eisenköper (Magnete) üben Kräfte aufeinander aus. Diese Kräfte gehen offenbar nicht von elektrischen Ladungen aus. Feststellung 1: Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Kondensatoren für Wechselspannung sind nicht unbedingt für Gleichspannungsbeanspruchung geeignet! Kondensator: elektro(quasi)statisches vs. Strömungsfeld ETit II / VL 12 6 S N S N S N S N S N S Fachgebiet Hochspannungstechnik Kraft auf Magnete in der Nähe eines stromdurchflossenen Leiters ETit II / VL 12 Ampère 10 "Gleichsinnig parallele Ströme ziehen einander an; gegensinnig parallele Ströme stoßen einander ab; gekreuzte Ströme suchen sich gleichsinnig parallel zu stellen." Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern F Von einem stromdurchflossenen (ungeladenen!) Leiter gehen Kräfte aus. Feststellung 2: 8 Elementarmagnet: magnetischer Dipol; bestehend aus zwei punktförmigen Polen, die voneinander den Abstand l (l Æ 0) haben. Polstärke P Æ Analogon zur elektrischen Ladung Q Magnetisches Dipolmoment: m = P·l ETit II / VL 12 Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik S N N Ein Stabmagnet besitzt zwei magnetische Pole: einen Nordpol und einen Südpol. Die Pole lassen sich nicht voneinander trennen! (Unterschied zur Ladungstrennung!) Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Stationäre Magnetfelder ETit II / VL 12 ETit II / VL 12 13 [P2] 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETit II / VL 12 Info über: "Space Physics Interactive Data Resource" (SPIDR), Boulder, Colorado http://spidr.ngdc.noaa.gov/spidr/index.html Internationale geomagnetische Erdvermessung: an 460 Stationen weltweit im Minutenabstand. 15 Auch heute wandern die Magnetpole. Lage des magnetischen Südpols (Stand 2003:) 81,3 °N, 110,8°W, ca. 1000 km vom geografischen Nordpol entfernt. Wanderung zzt. ca. 40 km/a Lage des magnetischen Nordpols: 64,67 °S, 138,01 °O, ca. 2800 km vom geografischen Südpol entfernt. Wanderung zzt. ca. 4 km/a Das Erdmagnetfeld hat sich in der Erdgeschichte immer wieder umgepolt. In den vergangenen 80 Mio. Jahren erfolgte eine Umpolung etwa alle 500 000 Jahre (Umpolzeit 5000 Jahre). Ursache: Zirkulation des aus flüssigem Metall bestehenden Erdkerns, der Ladungsträger enthält. Ursache für die Zirkulation sind Temperaturunterschiede. Fakten zum Erdmagnetfeld Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Felddarstellung: Magnetfeldbilder eines Stabmagneten und einer Spule (Solenoid), durch Eisenfeilspäne sichtbar gemacht Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik Kompassnadel: S N [H1] Die Die magnetischen magnetischen Feldlinien Feldlinien umschließen umschließen den den Richtungssinn Richtungssinn des des Stromes Stromes im im Rechtsschraubensinn Rechtsschraubensinn.. Die Die magnetischen magnetischen Feldlinien Feldlinien sind sind in in sich sich geschlossen geschlossen Æ Æ Wirbelfeld Wirbelfeld!! Die Die magnetischen magnetischen Feldlinien Feldlinien um um einen einen langen, langen, geraden, geraden, zylindrischen zylindrischen stromdurchflossenen zur Leiterachse Leiterachse konzentrische konzentrische Kreise Kreise.. stromdurchflossenen Leiter Leiter sind sind zur Dieser Raumzustand kann mit Hilfe von Feldlinien anschaulich gemacht werden. Jeder Stromfluss (Leitungsstrom oder im freien Raum bewegte Ladungen) bewirkt ein magnetisches Feld. Die Kraftwirkung geht von bewegten elektrischen Ladungsträgern aus. Schlussfolgerung: Stationäre Magnetfelder Zukünftige Darstellung: ETit II / VL 12 Dauermagnet? ETit II / VL 12 14 K U I1I 2l P I1I 2l 2SU µ ... Permeabilität(skonstante) Fachgebiet Hochspannungstechnik ETit II / VL 12 16 Das Das Ampere Ampere ist ist die die Stärke Stärke eines eines konstanten konstanten elektrischen elektrischen Stromes, Stromes, der, der, durch durch zwei zwei parallele, parallele, unendlich unendlich lange lange und und im im Vakuum Vakuum im im Abstand Abstand von von einem einem Meter Meter voneinander voneinander angeordnete angeordnete Leiter Leiter von von vernachlässigbar vernachlässigbar kleinem, kleinem, kreisförmigen kreisförmigen Querschnitt Querschnitt fließend, fließend, zwischen zwischen diesen diesen Leitern Leitern je je einem einem Meter Meter Leiterlänge Leiterlänge die die Kraft Kraft -7 2·10 2·10-7 N N hervorrufen hervorrufen würde. würde. (s. (s. GET GET II_02) II_02) F Konstante K durch Definition des Ampere festgelegt: I1 = 1 A F = K A2 = 2·10-7 N (1N = 1 VAs/m) I2 = 1 A Vs µ l=1m K 2 107 Am 2ʌ ȡ=1m F Experimenteller Befund: stromdurchflossene Leiter üben aufeinander eine Kraft aus. Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern Fachgebiet Hochspannungstechnik Ursache des Dauermagnetismus sind also auch bewegte Ladungsträger! Beim Magnetismus der Materie wird mit der Polarisation eine Ausrichtung von magnetischen Momenten ("Elementarmagneten") definiert. Diese Momente setzen sich zusammen aus dem Bahnmoment von um die Atomzentren kreisenden Elektronen und dem sogenannten Elektronenspin, einer Eigendrehung der Elektronen. In einem unmagnetischen Material kompensieren sich diese Momente, in einem Dauermagneten nicht. Scheinbarer Widerspruch: Ursache magnetischer Felder = bewegte Ladungsträger 12 • Dichte der Feldlinien proportional der Feldstärke • Aus der Zeichenebene herausfließender Strom: "Punkt" (man "sieht" die Pfeilspitze) • In die Zeichenebene hineinfließender Strom: "Kreuz" (man "sieht" die Pfeilfeder) Stationäre Magnetfelder Fachgebiet Hochspannungstechnik "Rechtsschraubensinn" Stationäre Magnetfelder P I1I 2l 2SU F r 1 Q1 Q2 4S r 2 H 17 Kugelsymmetrisches Problem Q1 Q2 4SH r 2 Q1 P I1 2SU B1 P I1 2SU F B F Il N Am Vs m2 19 B ist eine flächenbezogene Größe, daher der Name Flussdichte! ETit II / VL 12 21 (aus: http://www.amasci.com/tesla/tesla.html) Tesla-Transformator.... Nikola Tesla was born in Croatia (then part of Austria-Hungary) on July 9, 1856, and died January 7, 1943. He was the electrical engineer who invented the AC (alternating current) induction motor, which made the universal transmission and distribution of electricity possible. Tesla began his studies in physics and mathematics at Graz Polytechnic, and then took philosophy at the University of Prague. He worked as an electrical engineer in Budapest, Hungary, and subsequently in France and Germany. In 1888 his discovery that a magnetic field could be made to rotate if two coils at right angles are supplied with AC current 90° out of phase made possible the invention of the AC induction motor. The major advantage of this motor being its brushless operation, which many at the time believed impossible. 1T >F @ > I @> l @ Vs 1 2 m >B @ Fachgebiet Hochspannungstechnik Il B VAs m Am ETit II / VL 12 B ... magnetische Flussdichte (magnetische Induktion) Magnetische Flussdichte Fachgebiet Hochspannungstechnik F I 2l Daher wird die Kraft auf den auf einer Länge l fließenden Strom I2 bezogen: Die Kraftwirkung soll als eine Feldgröße beschrieben werden, die auf den auf einer Länge l fließenden Strom I2 einwirkt. . Die Kraft selbst ist aber zur Definition nicht geeignet, da abhängig von I1. Ähnlich wie für die Definition der elektrischen Feldstärke im elektrostatischen Feld: F Magnetische Flussdichte ETit II / VL 12 1 P I1I 2l 2SU Zylindersymmetrisches Problem P I1I 2l 2SU Fachgebiet Hochspannungstechnik F JG F Q2 JG F Vergleich mit dem Coulomb'schen Gesetz: Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern 18 ȡ = 25 cm l = 0,8 m Ik = 50 kA l P I1I 2l 2SU B1 P I1 2SU IlB ETit II / VL 12 20 (Gilt so nur, wenn das Magnetfeld senkrecht auf dem Leiter steht.) F Durch Einsetzen: Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge l, der einem Magnetfeld der Flussdichte B ausgesetzt ist: F Veraltete Einheit "Gauß" für die magnetische Flussdichte: Ein Ein homogenes homogenes Magnetfeld Magnetfeld besitzt besitzt die die magnetische magnetische Flussdichte Flussdichte 11 T, T, wenn wenn auf auf einen einen senkrecht senkrecht zu zu den den Feldlinien Feldlinien verlaufenden verlaufenden langen langen dünnen dünnen Leiter, Leiter, der der den den Strom Strom 11 A A führt, führt, je je Meter Meter Leiterlänge Leiterlänge die die Kraft Kraft 11 N N ausgeübt ausgeübt wird. wird. Fachgebiet Hochspannungstechnik ETit II / VL 12 22 Zahlenwerte: • Magnetisches Erdfeld in der Größenordnung 0,1 mT • Magnetfelder in elektrischen Maschinen in der Größenordnung 1 T 1 G = 10-4 T = 0,1 mT ȡ Das Feld um den Strom I1 ist zylindersymmetrisch. JG Der Feldvektor B zählt in der Richtung positiv, in der sich ein (fiktiver) freier Nordpol bewegen würde. Diese Richtung entspricht derjenigen, in die auch der Nordpol einer Kompassnadel zeigen würde. Æ Rechtsschraubenregel Magnetische Flussdichte Fachgebiet Hochspannungstechnik Ik ETit II / VL 12 Magnetische Flussdichte Fachgebiet Hochspannungstechnik F F == 1600 1600 N N Welche Umbruchkraft wirkt auf die Stützisolatoren? Zahlenbeispiel: Kurzschlussstromkräfte Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern ETit II / VL 12 23 G JG Il uB G JG Achtung!!: l u B JG F JG G B u l Æ Kreuzprodukt: L JG JG I ³ds u B ETit II / VL 12 25 Kraft auf einen gekrümmten Leiter in inhomogenem Magnetfeld JG F F I 'sB sinD JG F JG JG Qv u B ǻQ JG B ETit II / VL 12 27 Kraft auf punktförmige bewegte Ladung in inhomogenem Magnetfeld 'QvB sinD 'Qv Fachgebiet Hochspannungstechnik und Damit wird 'Q 's I 's 't Eine Ladung ǻQ bewege sich mit der Geschwindigkeit JG v durch ein Magnetfeld. Die Ladungsbewegung durch den dargestellten Querschnitt innerhalb der Zeit ǻt entspricht dem Strom 'Q I 't JG 'F JG v Kraft auf bewegte elektrische Ladung im Magnetfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik JG JG I 's u B Gesamtkraft durch Integration über den Weg: 'F JG Ein beliebig gekrümmter Leiter befinde sich in einem inhomogenen Magnetfeld. Weitere Verallgemeinerung: Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik G Dreht Dreht man l auf auf kürzestem kürzestem Weg Weg in inGRichtung Richtung JG man JG von von B ,, so so zeigt zeigt das das Kreuzprodukt Kreuzprodukt l u B in in Richtung Richtung der der Bewegung Bewegung einer einer rechtsgängigen rechtsgängigen Schraube. Schraube. Der Der Betrag Betrag ist ist lB sinD .. Die Kraftrichtung stehtGdabeiJG B senkrecht auf der von l und G aufgespannten Fläche ( l ist ein Vektor, dessen Betrag der Länge l entspricht und dessen Richtung mit der des Stromes übereinstimmt). Für beliebige Winkel zwischen Strom und Magnetfeld ergibt sich folgender experimenteller Befund: F Il B sinD Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld [H1] ETit II / VL 12 24 JG JG 'V J u B 'VJB sinD Fachgebiet Hochspannungstechnik ETit II / VL 12 Kraft auf elektrische Strömung in inhomogenem Magnetfeld JG = ǻV =I J ' A'sB sinD 'F Il B sinD Fachgebiet Hochspannungstechnik ETit II / VL 12 Reihenresonanzschaltungen F 28 26 Betrachtung eines infinitesimal kleinen Volumenelements mit Querschnittsfläche JG ǻAJGund Länge ǻs. In diesem können B und J näherungsweise als konstant angenommen werden. Kraft auf elektrische Strömung im Magnetfeld Fachgebiet Hochspannungstechnik Magnetische Feldlinien versuchen sich zu verkürzen ("Längszug") und möglichst weit voneinander zu entfernen ("Querdruck"). Auf den stromdurchflossenen Leiter wird daher eine Kraft nach links ausgeübt. Sobald ein Strom durch den Leiter fließt, baut sich um ihn herum ein Magnetfeld auf, dass das Hauptfeld verzerrt, es auf der linken Seite abschwächt und auf der rechten Seite verstärkt. Anschauliche Darstellung der Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter: Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld ETit II / VL 12 30 I JG B ETiT II / VL 13 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 13 NAI B 3 DI M1 Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 13 4 Ein Elektron durchfliegt mit der Geschwindigkeit v ein homogenes Magnetfeld B auf eine Länge l. Um welchen Winkel Į wird das Elektron abgelenkt? B = 4 mT l = 30 mm v = 0,1 · c0 Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im Magnetfeld (aus [H1]) (Lorentzkraft) Fachgebiet Hochspannungstechnik a/2 Anwendung: Drehspulmesswerk ([C1], Bsp. 5.1) 1 a/2 Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele ETiT II / VL 13 JG B I Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele Fachgebiet Hochspannungstechnik Eine vom Strom I durchflossene Spule aus N quadratischen Leiterschleifen, von denen jede die Fläche A = a2 aufweist, ist in einem annähernd homogenen, radialsymmetrischen Magnetfeld der Flussdichte B angeordnet. Welches Drehmoment M1 wirkt auf die Spule? Welcher Winkel Į stellt sich bei Anbringen der Spiralfedern ein? Anwendung: Drehspulmesswerk ([C1], Bsp. 5.1) Fachgebiet Hochspannungstechnik Anwendung: Drehspulmesswerk ([C1], Bsp. 5.1) 29 … aktueller denn je, aber nie realisiert! Drahtlose Energieübertragung Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele ETit II / VL 12 Tesla's große Vision ... Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele Fachgebiet Hochspannungstechnik Reihenresonanzschaltungen 5 ETiT II / VL 13 7 JG E JG v UH I JG B b JG F1 Fachgebiet Hochspannungstechnik JG F2 I IB ened KB0 I B I enebd UH …. Hallspannung KB0 … Leerlaufempfindlichkeit v ETiT II / VL 13 9 Mit Hall-Sonden lassen sich Betrag und Richtung von Magnetfeldern vermessen. Technisch brauchbare Hall-Generatoren durch Aufdampfen dünner, schwach dotierter Halbleiterschichten (z.B. 5 μm dick) auf ein Trägermaterial. Bei InSb (Indium-Antimonid): UH = 1 V @ I = 15 mA, B = 1 T Bei Metallen: ne sehr groß Æ KB0 sehr niedrig UH UH = Eb = vBb Kraftwirkungen im Magnetfeld – Hall-Effekt Fachgebiet Hochspannungstechnik rr == 42,6 42,6 mm mm ĮĮ == 44,8° 44,8° Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im Magnetfeld (aus [H1]) (Lorentzkraft) Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele ETiT II / VL 13 ETiT II / VL 13 6 JG E JG v UH I JG B JG F1 - b I enebd P I1 2SU B1 mit ETiT II / VL 13 I I = A bd JJG F1 Q1 JJG F1 o0 Q2 r 4SH 0r 2 JJG E1 o0 º ª Q2 r» Q1 « 2 4 SH r 0 ¬ ¼ Elektrostatisches Feld 8 v = Elektronengeschwindigkeit in m/s e = Elementarladung in As ne = Elektronendichte in 1/m3 A = Strömungsquerschnitt = b·d in m2 UH = Eb = vBb E = vB • Gleichgewichtszustand F1 = F2 Æ eE = evB • Auf die Elektronen wirkt Kraft nach rechts: F1 evB • Rechte Plattenseite lädt sich negativ auf, die linke Plattenseite positiv. Dadurch von links nach rechts wirkendes elektrisches Feld E. Dieses übt ebenfalls Kraft auf Elektronen aus: F2 eE • Gleichstrom der Höhe I JG B Voraussetzung: isotropes Medium Fachgebiet Hochspannungstechnik JG PH ETiT II / VL 13 10 Einführung einer am selben Ort wirkenden, jedoch von den Raumeigenschaften unabhängigen Größe zweckmäßig: JG JG Q o0 B I >I @ A D H0 E r >H @ U m H 4S r 2 > @ P 2SU elektrische Verschiebungsdichte magnetische Feldstärke magnetische Erregung F I 2l F ª PI º I 2l « 1 » ¬ 2SU ¼ Magnetisches Feld Edwin Herbert Hall 1855 - 1938 • Leiterplättchen der Breite b und der Dicke d • Magnetfeld mit Flussdichte B senkrecht darauf Magnetische Feldstärke Fachgebiet Hochspannungstechnik v • Stromdichte: J = vene = + + + JG+ F2 + I Kraftwirkungen im Magnetfeld – Hall-Effekt Fachgebiet Hochspannungstechnik Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im Magnetfeld (aus [H1]) (Lorentzkraft) Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im Magnetfeld (aus [H1]) (Lorentzkraft) Fachgebiet Hochspannungstechnik Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele K U I1I 2l P0 I1I 2l 2SU Vs Am P0 2ʌ 7 Vs 4S 10 Am 2 107 H 4S 10 m 7 ETiT II / VL 13 µr < a1 11 ETiT II / VL 13 0,999843 0,999984 0,999990 0,999991 0,999999 1,0000004 1,000002 1,000024 1,000067 1,000256 Wismut Blei Kupfer Wasser Stickstoff Luft Sauerstoff Aluminium Wolfram Platin 13 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 13 15 Für alle diese Stoffe kann vereinfachend mit µr = 1 gerechnet werden. µr Stoff Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Diamagnetischer Werkstoff in einem homogenen Magnetfeld [F1] Alle durch Kreisströme und Elektronenspin verursachten Magnetfelder heben sich gegenseitig auf. Bei Einwirkung eines äußeren Magnetfeldes werden jedoch zusätzliche Kreisströme induziert. Diese wirken dem ursprünglichen Feld entgegen. Bei gleicher magnetischer Feldstärke H ergibt sich eine kleinere Flussdichte B als im Vakuum Æ µr ist geringfügig kleiner als Eins. Diamagnetische Diamagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Das Das Ampere Ampere ist ist die die Stärke Stärke eines eines konstanten konstanten elektrischen elektrischen Stromes, Stromes, der, der, durch durch zwei zwei parallele, parallele, unendlich unendlich lange lange und und im im Vakuum Vakuum im im Abstand Abstand von von einem einem Meter Meter voneinander voneinander angeordnete angeordnete Leiter Leiter von von vernachlässigbar vernachlässigbar kleinem, kleinem, kreisförmigen kreisförmigen Querschnitt Querschnitt fließend, fließend, zwischen zwischen diesen diesen Leitern Leitern je je einem einem Meter Meter Leiterlänge Leiterlänge die die Kraft Kraft -7 2·10 2·10-7 N N hervorrufen hervorrufen würde. würde. (s. (s. GET GET II_02) II_02) P0 K Konstante K durch Definition des Ampere festgelegt: F Æ Kraftwirkung zweier stromdurchflossener Leiter im Vakuum: Im Vakuum ist µ = µ0. Permeabilitätskonstante des Vakuums Diamagnetisch Diamagnetisch Paramagnetisch Paramagnetisch Pr P0 µr ... relative Permeabilität(szahl) Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe Magnetisch Magnetisch nichtlinear nichtlinear ETiT II / VL 13 µr > a1 12 ETiT II / VL 13 µr >> 1; stark nichtlinear 14 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 13 16 Zu den ferromagnetischen Stoffen gehören Eisen, Kobald, Nickel und bestimmte Metalllegierungen. Zahlenwerte: µr = 104 ... 106 Die durch Kreisströme und Elektronenspin verursachten Magnetfelder heben sich nicht gegenseitig auf. Die Atome solcher Stoffe stellen kleinste Dauermagnete dar, die in großen Bezirken, den Weiß'schen Bezirken, zusammengefasst sind. Die Weiß'schen Bezirke haben magnetische Vorzugsrichtungen. Durch ihre regellose Anordnung zeigt sich normalerweise nach außen keine magnetische Wirkung. Wird ein äußeres Magnetfeld langsam von Null an gesteigert, nimmt das Volumen derjenigen Weiß'schen Bezirke zu, die mit dem Magnetfeld einen kleinen Winkel bilden. Das Volumen der übrigen Bezirke nimmt ab Æ Vergrößerung der Flussdichte. Bei weiterer Steigerung der Magnetfeldstärke klappen die Magnetisierungsrichtungen ganzer Bezirke schlagartig um Æ erhebliche Vergrößerung der Flussdichte. Schließlich geht der Stoff in die magnetische Sättigung, in der alle Bezirke ausgerichtet sind. Æ µr ist wesentlich größer als Eins und feldstärkeabhängig. Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Paramagnetischer Werkstoff in einem homogenen Magnetfeld [F1] Die durch Kreisströme und Elektronenspin verursachten Magnetfelder heben sich nicht gegenseitig auf. Die Atome solcher Stoffe stellen kleinste Dauermagnete dar (Elementarmagnete), die jedoch normalerweise regellos angeordnet sind, so dass sich nach außen keine magnetische Wirkung zeigt. Durch ein äußeres Magnetfeld werden die Elementarmagnete ausgerichtet und verstärken das Feld. Bei gleicher magnetischer Feldstärke H ergibt sich eine größere Flussdichte B als im Vakuum Æ µr ist geringfügig größer als Eins. Paramagnetische Paramagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Verantwortlich für magnetische Eigenschaften: Magnetfelder durch Kreisströme auf Grund der Elektronenbewegung und durch den Elektronenspin. Diamagnetische Paramagnetische Stoffe Stoffe Diamagnetische Stoffe Stoffe Paramagnetische Magnetisch Magnetisch linear linear Im Gegensatz zur relativen Dielektrizitätszahl ist die relative Permeabilitätszahl häufig keine Konstante! P In Analogie zum elektrostatischen Feld (relative Dielektrizitätszahl İr): Relative Permeabilitätszahl µr >> 1; stark nichtlinear ETiT II / VL 13 ETiT II / VL 13 Fachgebiet Hochspannungstechnik z.B. hier: Pr P 0H B ETiT II / VL 13 0,5 Vs Am m 4S 107 100 m2 Vs A Magnetisierungskennlinie Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik 21 19 3979 2) Hartmagnetischer Werkstoff (ca. HK > 0,5 kA/m) Anwendung: Dauermagnete Moderne Werkstoffe erreichen BR > 1 T bei HK bis zu Werten von BR/µ0 (also z.B. BR = 1 T und HK = 796 A/m) P B ETiT II / VL 13 20 [F1] Für weichmagnetische Werkstoffe wird meistens mit der Magnetisierungskennlinie (auch: Kommutierungskurve) gearbeitet Æ Kurve durch die Kommutierungspunkte; fast identisch mit der Neukurve 18 Hystereseschleife Hystereseschleife Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 13 22 "Das Produkt aus der magnetischen Feldstärke H auf einer Feldlinie vom Radius ȡ und der Länge dieser Feldlinie L = 2ʌȡ ist gleich dem Strom I, der von dieser Feldlinie umfasst wird." 2SU H ( U ) I I 2SU umformen H Koerzitivfeldstärke Koerzitivfeldstärke Neukurve Neukurve Sättigung Sättigung Remanenzflussdichte Remanenzflussdichte Bereits hergeleitet für die magnetische Feldstärke: Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik Magnetisierungskennlinie (Kommutierungskurve) Hystereseschleife 1) Weichmagnetischer Werkstoff (ca. HK < 0,1 kA/m) Anwendung: Transformatoren, Maschinen ETiT II / VL 13 Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe 17 Sättigung Sättigung Koerzitivfeldstärke Koerzitivfeldstärke Remanenzflussdichte Remanenzflussdichte Hystereseschleife Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl Fachgebiet Hochspannungstechnik nach [F1] -L -C : L und M ziehen sich an S geschlossen -L ! -C : L wird paramagnetisch S öffnet Funktionsweise: L ... Lötspitze; H ... Heizwicklung; M ... Dauermagnet; F ... Feder; S ... Schaltkontakt Ausnutzung dieses Effektes z.B. beim magnetisch geregelten Lötkolben: Beispiele für Curie-Temperaturen: • Eisen: -C = 770 °C • Nickel: -C = 358 °C • Kobalt: -C = 1120 °C Oberhalb der Curie-Temperatur verschwindet der Ferromagnetismus restlos, der Stoff wird paramagnetisch. Diese Eigenschaftsänderung ist jedoch reversibel. Ferromagnetische Ferromagnetische Stoffe Stoffe Relative Permeabilitätszahl I I DU1 I D 2S D I 2S ETiT II / VL 13 23 JG JG JG I JG k k JG 4 Ĭ ... Durchflutung JG JG Fachgebiet Hochspannungstechnik A 3 gleichwertige Darstellungen! ETiT II / VL 13 25 JG H1 JG H2 l1 N I I1 I 2 I 3 I 4 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 1 Integration in homogenem Feld entlang einer Feldlinie! Zylinderspule, Länge l1 >> Durchmesser, eng bewickelt mit N Windungen Draht, Stromfluss I: Feld H1 im Inneren praktisch homogen, äußeres Feld H2 vernachlässigbar klein gegenüber H1 Æ H2 | 0 (empirischer Befund) JG JG NI Anwendung des Durchflutungsgesetzes: v ³L H d s | H1l 4 N I H | H1 l1 Anwendungsbeispiel 1: Magnetische Feldstärke einer Zylinderspule Durchflutungsgesetz L v³ H d s ³ J d A JG Bei räumlich verteilter Strömung: L v³ H d s ¦ I 4 "Die magnetische Umlaufspannung ist gleich dem vom Integrationsweg umschlossenen Strom." Treten mehrere Ströme durch die von L aufgespannte Fläche, so gilt: L v³ Hd s L Das Produkt aus magnetischer Feldstärke und Weg wird auch als magnetische Spannung V bezeichnet: V=Hl [V] = [H] [l] = A JG JG Dementsprechend heißt v ³ Hd s auch magnetische Umlaufspannung. Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik usw. 2SU1 I DU 2H ( U 2 ) DU 2 2SU 2 DU1H ( U1) Das Produkt aus magnetischer Feldstärke und Kreisbogenlänge ist dann für jeden Radius gleich: Nun Annahme: Für jeweils gleiche Winkel Į Bewegung auf unterschiedlichen Feldlinien im Abstand ȡ1, ȡ2, ..... 2SU H ( U ) Durchflutungsgesetz I DU k 2SU k I D 2S k k I JG JG L v³ H d s I k Durchflutungsgesetz JG JG k k 4 I1 = 2 A I2 = 4,5 A ETiT II / VL 13 24 Ĭ Ĭ == 4,5 4,5 A A Ĭ Ĭ == 2,5 2,5 A A ETiT II / VL 13 Ĭ Ĭ == 00 26 Ĭ Ĭ == -2 -2 A A x Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 2 a a Zwei stromdurchflossene Leiter im kartesischen Koordinatensystem, Ausdehnung in z-Richtung; Abstand 2a; wie groß ist die magnetische Feldstärke in der Ebene x = 0, wenn I1 = I2 = I a) b) I1 = -I2 = I ist? nach [F1] Ĭ Ĭ == -6,5 -6,5 A A Anwendungsbeispiel 2: Magnetische Feldstärke in der Umgebung einer Doppelleitung ([C1], Bsp. 5.4) y Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik Ĭ Ĭ == -2 -2 A A Wie groß ist für die gewählten Integrationswege jeweils die Durchflutung? v³ H d s ¦ I L Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik (Umlaufsinn von L bzgl. I nach Rechtsschraubenregel) k Bei beliebiger Richtung von ǻsk darf nur die in Richtung Feldstärkekomponente (H·cos Į) gezählt werden. von Jǻs G k wirkende JG Æ ' s k und H k als Vektoren, Bildung des Skalarprodukts: JG JG JG JG ¦ Hk 'sk cos(H k , ' s k ) ¦ H k ' s k I mit ǻsk ... Länge des k-ten Bogenelements k ¦ H 's Annäherung einer beliebigen Kurve L um den stromführenden Leiter herum durch eine Treppenkurve. Es gilt dann: DU k H ( U k ) Durchflutungsgesetz a 3 a Fachgebiet Hochspannungstechnik I2 a ETiT II / VL 14 I1 x 4 H x (0, y ) H y (0, y ) 0 I y S a2 y 2 a Į H1y x 5 a Į Fachgebiet Hochspannungstechnik I2 JG H1 a Į H2y JG H2 H2x x 6 H y (0, y ) ETiT II / VL 14 I1 0 H x (0, y ) I a S a2 y 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik |H| ȡ0 ȡ0 H U 1 ETiT II / VL 14 H( U0 ) L v³ Hd s JG JG 7 2SU 0 I H 2SU I ȡ H U I 2SU Außerhalb des Leiters wird die Durchflutung vom Gesamtstrom gebildet: Der Leiter wird gleichmäßig vom Strom durchsetzt. Alle Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise. Fachgebiet Hochspannungstechnik |H| ȡ0 ȡ0 H U 1 ETiT II / VL 14 IU 8 I SU H( U ) JAr IU Ar 2SU 2 0 2 0 SU 2 H( U0 ) § U2 · ¨I 2 ¸ © U0 ¹ 2SU SU I ȡ U2 U02 I 2SU 0 IU 2SU 02 I Innerhalb des Leiters ist nur derjenige Stromanteil an der Durchflutung beteiligt, der vom jeweils betrachteten Radius eingeschlossen wird. Anwendungsbeispiel 3: Das Magnetfeld innerhalb und außerhalb eines gestreckten, vom Gleichstrom I durchflossenen Leiters ETiT II / VL 14 I1 H1y H1x y Anwendungsbeispiel 3: Das Magnetfeld innerhalb und außerhalb eines gestreckten, vom Gleichstrom I durchflossenen Leiters a Į H2y JG H2 H2x I1 = -I2 = I Durchflutungsgesetz y Fall b) Durchflutungsgesetz JG H1 H1x I1 = -I2 = I Fachgebiet Hochspannungstechnik I2 Fall b) Anwendungsbeispiel 2: Magnetische Feldstärke in der Umgebung einer Doppelleitung ([C1], Bsp. 5.4) ETiT II / VL 14 x y Anwendungsbeispiel 2: Magnetische Feldstärke in der Umgebung einer Doppelleitung ([C1], Bsp. 5.4) a I1 H2y H2x Į H1x H1y JG H1 Į JG H2 I1 = I2 = I Durchflutungsgesetz y Fall a) Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik I2 H2y H2x Į H1x H1y JG H1 Į JG H2 I1 = I2 = I Anwendungsbeispiel 2: Magnetische Feldstärke in der Umgebung einer Doppelleitung ([C1], Bsp. 5.4) Anwendungsbeispiel 2: Magnetische Feldstärke in der Umgebung einer Doppelleitung ([C1], Bsp. 5.4) Fall a) Durchflutungsgesetz Durchflutungsgesetz 1 9 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 10 ETiT II / VL 14 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 *) Herleitung hier zu kompliziert; s. VL Technische Elektrodynamik JG 13 ... gibt an, welchen Beitrag ein stromdurchflossenes Leiterelement irgendeines Stromkreises zur magnetischen Flussdichte in einem beliebigen Aufpunkt P liefert. Gesetz von Biot-Savart 'B(P ) JG G 0 P I 's u r 4S r2 Allgemeiner: Gesetz von Biot-Savart (aus dem Durchflutungsgesetz herleitbar *)) Æ Biot Jean-Baptiste Biot, 1774 – 1862; Félix Savart, 1791 – 1841 Französische Physiker 11 Durchflutungsgesetz nur anwendbar, wenn der Verlauf der magnetischen Feldlinien im Prinzip bekannt ist Æ Integration über eine Feldlinie, auf der die Feldstärke konstant ist (s. vorherige Beispiele). Das Gesetz von Biot-Savart Fachgebiet Hochspannungstechnik B B((II11)) == 1,03 1,03 T T B B((II22)) == 1,29 1,29 T T B B((II11++II22)) == 1,42 1,42 T T Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 Das Gesetz von Biot-Savart ETiT II / VL 14 JG JG G 0 P I 's u r 4S r2 PI 4S JG G 0 ds u r v³L r 2 14 Voraussetzung: Raum konstanter Permeabilität! JG B(P ) Durch Integration über den Weg L (d.h. über die Quellpunktskoordinate s) ergibt sich die magnetische Flussdichte auf Grund des Stroms in der geschlossenen Leiterschleife: 'B(P ) 12 B(I B(I11+I +I22)) zz B(I B(I11)) ++ B(I B(I22)) Schlussfolgerung: Schlussfolgerung: auf auf Grund Grund der der nichtlinearen nichtlinearen Permeabilität Permeabilität ist ist Fachgebiet Hochspannungstechnik aus [M1] I1 = 100 A I2 = 200 A dmi = 10 cm Wie groß ist die magnetische Flussdichte im Ring, wenn a) nur I1 fließt b) nur I2 fließt c) I1 und I2 fließen? Anwendungsbeispiel 4: Magnetische Flussdichte in einem Ring aus Dynamoblech ETiT II / VL 14 ȡ Anwendungsbeispiel 4: Magnetische Flussdichte in einem Ring aus Dynamoblech U aus [M1] Durchflutungsgesetz ȡ0 H Das Innere eines stromdurchflossen Leiters ist nicht magnetfeldfrei! Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik |H| ȡ0 Anwendungsbeispiel 4: Magnetische Flussdichte in einem Ring aus Dynamoblech Anwendungsbeispiel 3: Das Magnetfeld innerhalb und außerhalb eines gestreckten, vom Gleichstrom I durchflossenen Leiters I1 = 100 A I2 = 200 A dmi = 10 cm Wie groß ist die magnetische Flussdichte im Ring, wenn a) nur I1 fließt b) nur I2 fließt c) I1 und I2 fließen? Durchflutungsgesetz Durchflutungsgesetz a M I G0 r ETiT II / VL 14 ETiT II / VL 14 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 Das Gesetz von Biot-Savart Fachgebiet Hochspannungstechnik Das Gesetz von Biot-Savart Fachgebiet Hochspannungstechnik G JG e 3, B 19 17 15 Dazu zunächst Lösung der Teilaufgabe: Magnetfeld eines endlich langen stromdurchflossenen Leiters im Aufpunkt P Anwendungsbeispiel: Ein Stromkreis, der vom Strom I durchflossen wird, hat die Form eines regelmäßigen n-Ecks. Die Größe des n-Ecks ist durch den Radius a des einbeschriebenen Kreises gegeben. Wie groß ist die magnetische Flussdichte im Mittelpunkt des n-Ecks? ([C1], Bsp. 5.6) Das Gesetz von Biot-Savart ETiT II / VL 14 ETiT II / VL 14 18 16 JG G 0 PI ds u r 4S ³s r 2 Anmerkung: aus dem Umlaufintegral wird für dieses Teilproblem ein Streckenintegral! JG B(P ) Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 14 20 == Magnetfeld Magnetfeld verursacht verursacht von von einer einer Seite Seite eines eines regelmäßigen regelmäßigen nn-Ecks -Ecks JG G PI B(P ) e 3 cos2S a Das Gesetz von Biot-Savart Fachgebiet Hochspannungstechnik Das Gesetz von Biot-Savart Fachgebiet Hochspannungstechnik Das Gesetz von Biot-Savart G P nI S e3 sin 2S a n ETiT II / VL 14 21 [\] = As A < [D] = As/m2 I A [J] = A/m2 A A 0 1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 15 3 •• Das Das magnetische magnetische Feld Feld ist ist quellenfrei. quellenfrei. •• Die Die magnetischen magnetischen Feldlinien Feldlinien besitzen besitzen weder weder Anfang Anfang noch noch Ende, Ende, da da es es keine keine magnetischen magnetischen Ladungen Ladungen gibt. gibt. •• Die Die Summe Summe aller aller magnetischen magnetischen Teilflüsse, Teilflüsse, die die in in ein ein Volumen Volumen eintreten, eintreten, muss muss gleich gleich der der Summe Summe der der Teilflüsse Teilflüsse sein, sein, die die aus aus dem dem betrachteten betrachteten Volumen Volumen austreten. austreten. JG JG B v³ d A ETiT II / VL 15 Magnetischer Fluss Magnetischer Fluss Fachgebiet Hochspannungstechnik ) JG JG ³B dA Magnetische Flussdichte B [B] = Vs/m2 (also bereits eine flächenbezogene Größe) Jetzt Einführung der integralen Größe Im magnetischen Feld bisher: Strom I [I] = A Stromdichte = Strom pro Fläche: J Im elektrischen Strömungsfeld Begriff des Stromes und der Stromdichte: Verschiebungsdichte = Fluss pro Fläche: D Fluss \ Im elektro(quasi)statischen Feld Begriff des Flusses und der Verschiebungsdichte: Magnetischer Fluss Fachgebiet Hochspannungstechnik == Magnetfeld Magnetfeld verursacht verursacht von von allen allen Seiten Seiten eines eines regelmäßigen regelmäßigen nn-Ecks -Ecks JG B(M ) Das Gesetz von Biot-Savart JG B(M ) G P nI S sin e3 2S a n n = 4; a = l/2 JG B(M ) G P 4I S sin e3 Sl 4 ETiT II / VL 14 Vs 2 m m2 22 x << 1 G PI S e3 n sin 2S r n S *); a = r Wilhelm Eduard Weber, 1804-1891, deutscher Physiker Vs für G P nI S sin e3 2S a n *) wegen sin x = x JG B(M ) n S nof G PI e3 2r G P nI S e3 sin 2S a n I Fachgebiet Hochspannungstechnik I A d Magnetischer Fluss Fachgebiet Hochspannungstechnik 2 ) BA BA ) 2)1 ETiT II / VL 15 )1 ) 2 ) 2 )1 4 )c l ) P0 I d ln S U0 Längenbezogen: P0 Il d ln S U0 Beispiel: welcher magnetische Fluss wird von den beiden Leitern einer Doppelleitung umfasst (d.h. welcher Fluss tritt durch die dargestellte Fläche A)? [C1], Bsp. 5.7 P0 Il d d U P0 Il d ln )1 ³ BdA P0 ³ HdA U0 2S U³0 U 2S A A ETiT II / VL 15 JG 2) B steht senkrecht auf einer ebenen Fläche: ) JG 1) B ist auf derJGFläche A konstant und A ist eine ebene Fläche, die durch JG JG den Vektor A bezeichnet werden kann: Sonderfälle: 1 Vs = 1 Wb >) @ >B @> A@ A M I Magnetischer Fluss JG JG ) ³ B d A Magnetischer Fluss Fachgebiet Hochspannungstechnik r n o f n sin l b) kreisförmige stromdurchflossene Leiterschleife mit Radius r M a I a) quadratische stromdurchflossene Leiterschleife der Kantenlänge l Spezialfälle: Das Gesetz von Biot-Savart JG n JJG JJG B2 , H2 B2t, H2t B1t, H1t Į2 B2n, H2n B1n, H1n Wichtiger Sonderfall: P2 P1 ETiT II / VL 15 JG JG I folgt (für I = 0): H H2t2t == H H1t1t v³ H d s L "Durchflutungsgesetz" Aus 0 folgt: B = B 1n B2n 2n = B1n A JG JG v³ B d A 0° | 90° | 90° | 90° 70° 80° 85° tanD1 tanD 2 ETiT II / VL 15 7 Die Die Feldlinien Feldlinien werden werden von von dem dem Material Material mit "geführt".. mit der der hohen hohen Permeabilität Permeabilität "geführt" Unabhängig vom Eintrittswinkel verlaufen die magnetischen Feldlinien im Eisen fast parallel zur Oberfläche und weisen eine hohe Dichte auf. | 90° 60° | 90° 0° 45° Į2 Į1 5 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 15 9 P1 P2 Erläuterung folgt! "Das stationäre Magnetfeld ist nicht wirbelfrei." "Das elektrostatische Feld ist nicht quellenfrei." Beziehungen im elektrischen und magnetischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik µ2 | 104µ1 µ1 Material 1 = Luft: µ1 = µ0 Material 2 = Eisen: µ2 = µrµ0 | 104µ0 Zum Beispiel: P4 P1 Aus "Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte" In In geschichteten geschichteten Materialien Materialien gehen gehen die die Normalkomponente Normalkomponente der der magnetischen magnetischen Flussdichte Flussdichte und und die die Tangentialkomponente Tangentialkomponente der der magnetischen magnetischen Feldstärke Feldstärke kontinuierlich kontinuierlich von von einem einem Material Material in in das das andere andere über. über. Į1 JJG JJG B1, H1 Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik Material 2, µ2 P3 P2 Material 1, µ1 Bedingungen an Grenzflächen Feldgrößen Feldgrößen Zusammenhang Integrale Größen Größen Integrale JG n Į1 JJG JJG B2 , H2 B2t, H2t B1t, H1t JJG JJG B1, H1 B2n, H2n ETiT II / VL 15 Į2 B1n, H1n ETiT II / VL 15 6 P1 P2 P1 P2 tanD1 tanD 2 tanD1 tanD 2 H1t P1H1n H 2t P 2H2n H2t = H1t und B2n = µ2H2n = B1n = µ1H1n 8 Der Kern eines Leistungstransformators wird aufgerichtet. Æ magnetische Schirmung o Ferromagnetische Bauteile als Flusspfade z.B. zur magnetischen Verkopplung von Spulen (Transformatoren, Übertrager, elektrische Maschinen) Die Die Feldlinien Feldlinien werden werden von von dem dem Material Material mit mit der der hohen hohen Permeabilität Permeabilität "geführt" "geführt".. P4 P1 Im allgemeinen Fall (d.h. bei schräger Schichtung) folgt aus: Fachgebiet Hochspannungstechnik Verknüpfung Wirkung Ursache ETiT II / VL 15 H JG J 10 JE JG JG J JG E JG D JG E JG D JG E Stationäres elektrisches Strömungsfeld Elektrostatisches Feld JG B JG PH JG B JG H Stationäres Magnetfeld Beziehungen im elektrischen und magnetischen Feld Fachgebiet Hochspannungstechnik Weichmagnetisches Rohr im transversalen Magnetfeld. Der Hohlraum ist annähernd feldfrei ("magnetische Schirmung"). Bedingungen an Grenzflächen Fachgebiet Hochspannungstechnik Material 2, µ2 P3 P2 Material 1, µ1 Bedingungen an Grenzflächen ETiT II / VL 15 11 l PA m Vs 2 m Am ETiT II / VL 15 A Vs 13 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 15 15 1 Rm l PA >/@ 1 >Rm @ Vs A Magnetischer Leitwert / Zahlenbeispiel (nach [H1]): Ein Ringkern aus legiertem Blech hat einen mittleren Umfang von l = 35 cm und einen Eisenquerschnitt von A = 4 cm2. Auf dem Kern ist eine aus N = 200 Windungen bestehende Spule aufgebracht. Im Kern soll der magnetische Fluss ) = 5·10-4 Wb erzeugt werden. a) Welcher Strom I1 muss in der Spule fließen? b) Welcher Strom I2 müsste fließen, wenn der Kern aufgetrennt und ein Luftspalt von lL = 0,3 mm eingefügt würde? Magnetischer Kreis ohne Verzweigung Fachgebiet Hochspannungstechnik >l @ >Rm @ P A > @> @ Magnetischer Widerstand Rm Magnetischer Kreis ohne Verzweigung Fachgebiet Hochspannungstechnik Zur Herleitung der Gesetzmäßigkeiten folgende Annahmen: • Eisenring mit Luftspalt • Stromdurchflossene Spule mit N Windungen • Ringquerschnitt sehr klein Æ annähernd homogenes Feld • Lufspaltlänge sehr klein gegenüber Breite Æ Streufeld vernachlässigbar [P1] magnetische Flusslinien lE B PL A ) lL 4 )¨ § lE l · L ¸ 4 © PE A PL A ¹ mit B PE B mit B = µH HE lE HLlL NI 4 ETiT II / VL 15 12 /V Rm) HLlL ) RmL Fachgebiet Hochspannungstechnik NI 4 ETiT II / VL 15 14 Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises (darin entspricht ) dem Strom I im elektrischen Kreis) ETiT II / VL 15 16 Magnetischer Kreis ohne Verzweigung Fachgebiet Hochspannungstechnik ) V ) RmE HE lE HLlL >l @ > P @> A@ Hl = V ... magnetische Spannung HE lE § lE l · L ¸ ) RmE RmL 4 © PE A PL A ¹ )¨ Rm l PA m Vs 2 m Am A Vs Magnetischer Widerstand >Rm @ Magnetischer Kreis ohne Verzweigung Fachgebiet Hochspannungstechnik Parallele zur Definition des elektrischen Widerstandes eines Leiters der Länge l, des Querschnitts A und der Leitfähigkeit J BE = BL = B Wegen B = B 1n B2n 2n = B1n Einfacher magnetischer Kreis (Wicklung, Joch, Luftspalt): Aus Durchflutungsgesetz: Magnetischer Kreis ohne Verzweigung Magnetischer Kreis ohne Verzweigung Kehrwert ETiT II / VL 15 17 V1 V3 Umlauf l1, l3: H1l1 H3l3 N1I1 N2 I 2 N1I1 Rm1)1 Rm 2) 2 Rm1)1 Rm 3) 3 ETiT II / VL 15 19 VL Fachgebiet Hochspannungstechnik B VE B P0 lL 4 VE VL Ĭ ETiT II / VL 15 B V E 21 Ĭ B V E HE B P0 lL VE lE Es reicht jedoch die Bestimmung eines einzigen Wertes Æ wegen des linearen Zusammenhangs zwischen VL und B: Gerade durch Ursprung und einen Punkt (VL,B). Links von der Geraden: VL Rechts von der Geraden: VE VL könnte nun für jeden Wert von B berechnet und in die Kurve eingezeichnet werden: VL HE lE Methode zur Bestimmung der Magnetisierungskennlinie Fachgebiet Hochspannungstechnik Problem: nichtlinearer Zusammenhang zwischen ) bzw. B und H Æ µ und damit Rm hängt vom gesuchten H ab!! Æ Völlige Analogie zum oben gezeigten elektrischen Kreis V1 V2 Umlauf l1, l2: H1l1 H2l2 Aus dem Durchflutungsgesetz: Aus Quellenfreiheit des magnetischen Feldes: )1 - ) 2 - ) 3 = 0 Magnetischer Kreis mit Verzweigung Fachgebiet Hochspannungstechnik II11 == 1,225 1,225 A A II22 == 2,717 2,717 A A Magnetischer Kreis ohne Verzweigung • Querschnitte auf den Eisenwegen l1, l2, l3 gleich und jeweils konstant Æ Flussdichten und Feldstärken jeweils konstant • Annahme homogener Felder in allen Zweigen Æ Berechnung mit mittlerer Weglänge möglich ETiT II / VL 15 18 4 HE lE B P0 lL 4 4 HE lE HLlL ETiT II / VL 15 20 Ĭ Fachgebiet Hochspannungstechnik Z Z0 iind JG F iind ETiT II / VL 17 d) dt Z0 JG B 1 • Die Leiterschleife folgt dem Magnetfeld mit einer etwas kleineren Umdrehungsgeschwindigeit (im Fall Ȧ = Ȧ0 würde kein Strom mehr induziert!). • Der Strom iind übt im Magnetfeld B die Kraft F auf die Leiterschleife aus. • Es wird der Strom iind induziert. • Magnetfeld B rotiert mit Kreisfrequenz Ȧ0. Bewegliche Leiterschleife im rotierenden Magnetfeld Æ Asynchronmotor Konsequenzen aus dem Induktionsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik B ist die Flussdichte sowohl im Luftspalt als auch im Eisen! Im Luftspalt ist µ = µ0 Æ Es gilt: HE lE HLlL B Die Magnetisierungskennlinie des Eisenrings soll ermittelt werden. Dazu Messung der Flussdichte B im Luftspalt in Abhängigkeit von der Durchflutung Ĭ = NI mit Hilfe einer Hall-Sonde. Es ergibt sich z.B. diese Kurve: Methode zur Bestimmung der Magnetisierungskennlinie Fachgebiet Hochspannungstechnik 2) Entscheidung für Umlaufrichtungen; Durchflutungen zählen bei den gewählten Richtungen nur dann positiv, wenn sie sich im Sinne der Rechtsschraubenregel verhalten. 1) Zählpfeile für die Flüsse und Feldstärken festlegen Quellenfreiheit des magn. Feldes Æ Magnetischer Kreis mit Verzweigung t2 t1 3 Bab sinM ife le ch ab mit Z 2S n 4 Z R P (t ) Z u(t )i (t ) 2 cos 2 Z t cos 2 Z t 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 17 6 Das Magnetfeld rotiert und durchsetzt 3 im Winkel von 120 ° zueinander angeordnete feststehende "Leiterschleifen" (Wicklungen). Grund: die Leistung ist von feststehenden Wicklungen leichter abzunehmen. Drehstromerzeugung Æ Drehstromgenerator Bab R Z Bab Prinzip des Generators! M (t ) P (t ) Konsequenzen aus dem Induktionsgesetz ETiT II / VL 17 d) u(t ) Z Bab cos Z t dt u(t ) Z Bab i (t ) cos Z t R R Bab sinZ t Fachgebiet Hochspannungstechnik M JG B durchsetzte Fläche A ) Æ Welche Wirkleistung wird in der Schleife umgesetzt? Æ Wie groß ist das aufzubringende Drehmoment? • Rotationsachse senkrecht zum homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld • Langsame gleichförmige Drehbewegung mit n Umdrehungen pro Sekunde ETiT II / VL 17 N d) dt iind u iR N Nid) 0 JG JG (1) A JG JG (2) A B JG JG ³ Ed s ³ Ed s B d) dt u iR N d) dt zum Aufbau des Magnetfelds erforderliche Energie d) dt Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 17 7 von der Quelle abgegebene Energie (negatives Vorzeichen = Energieabgabe) im Widerstand umgesetzte Energie uidt i 2Rdt Multiplikation mit idt: u iR uind L v³ Ed s Anordnung • Eisenring mit Spule bewickelt • Spannungsquelle liefert Energie zum Aufbau des magnetischen Felds 5 Für den Umlauf in der eingezeichneten Richtung: uind Energie des magnetischen Feldes Fachgebiet Hochspannungstechnik Drehstromerzeugung - Rotierende Leiterschleife im Magnetfeld 2 d) Z Bab cos2 Zt Z Bab cos Z t P (t ) u(t )i (t ) ) (t ) Bab sinZ t u(t ) dt R 2 P (t ) Z u(t ) Z Bab M (t ) i (t ) cos Z t Bab cos2 Zt R Z R R ETiT II / VL 17 Ständerblechpaket Rotor Ständerrahmen Drehstromerzeugung - Rotierende Leiterschleife im Magnetfeld • Rechteckige Drahtschleife mit ohmschen Widerstand R Fachgebiet Hochspannungstechnik Lüfter Ständerwicklung Getriebe Konsequenzen aus dem Induktionsgesetz 2 [Me] resultierendes Magnetfeld Teilmagnetfelder Ströme Luftfilter Konsequenzen aus dem Induktionsgesetz ETiT II / VL 17 • t = t1: resultierendes Feld zeigt in Richtung RR ' • t = t2: resultierendes Feld zeigt in Richtung T 'T • t = t3: resultierendes Feld zeigt in Richtung SS ' Vektoraddition aller 3 Teilmagnetfelder: Fachgebiet Hochspannungstechnik t3 Asynchronmotor Erzeugen eines magnetischen Drehfeldes im Drehstromsystem Anschlusskabel Konsequenzen aus dem Induktionsgesetz Konsequenzen aus dem Induktionsgesetz rs ite Le NiAdB Nid) NiAdB L 2SU HAdB JG G v³ Hd l 2SU H zum Aufbau des Magnetfelds erforderliche Energie 0 V ³ HdB Be VHdB Fachgebiet Hochspannungstechnik 0 ³ HdB 0 0 1 Be2 2 P 1 BH 2 ETiT II / VL 17 1 B2 2 P 9 we 1 D2 2 H 1 DE 2 1 2 HE 2 vgl. mit elektrischem Feld (GET II_07): uind d) dt ETiT II / VL 17 wm 0 He H 10 Die Die aufgewendete aufgewendete Energie Energie wird wird vollständig vollständig zurückgewonnen zurückgewonnen Æ Æ keine keine Verluste! Verluste! ³ HdB Be u iR Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 17 12 Der Proportionalitätsfaktor ist die Selbstinduktivität L: ) = Li di u iR L 0 dt u iR uind d) d) 0 u iR dt dt Nach dem ohmschen Gesetz des magnetischen Kreises besteht oft ein linearer Zusammenhang zwischen ) und i. Für den Umlauf in der eingezeichneten Richtung: iind Selbstinduktivität Fachgebiet Hochspannungstechnik -He • Für H von -He Æ 0: Energie entsprechend der quer schraffierten Fläche wird zurückgewonnen B di dt 0 u i uR R ETiT II / VL 17 uL 11 L uL L He H di dt Insgesamt Insgesamt tritt tritt ein ein Energieverlust Energieverlust in in Höhe Höhe der der nicht nicht schraffierten schraffierten Flächen Flächen (d.h. (d.h. in in Höhe Höhe der der von von der der Hystereseschleife Hystereseschleife eingeschlossenen eingeschlossenen Fläche) Fläche) auf auf Æ Æ Hystereseverluste Hystereseverluste Diese Diese sind sind daher daher umso umso kleiner, kleiner, je je enger enger die die Hystereseschleife Hystereseschleife ist! ist! Fachgebiet Hochspannungstechnik N) = N/Ni = N2/i = Li ETiT II / VL 17 L = N22/ 13 Selbstinduktivität Im allgemeinen Fall besteht die Leiterschleife aus N Windungen. Dann wird: )Æ< (Windungen jeweils von unterschiedlichen Flüssen durchsetzt) ) Æ N) (alle Windungen vom gleichen Fluss durchsetzt) und damit (wegen ) = Li ): < = Li bzw. N) = Li PA Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises: ) = /4 = /Ni (/ ) l u iR L Selbstinduktivität Fachgebiet Hochspannungstechnik -He • Für H von -He Æ 0: Energie entsprechend der quer schraffierten Fläche wird zurückgewonnen B • Für H von 0 Æ -He: aufzuwendende Arbeit entsprechend der hellblauen Fläche Hystereseverluste Fachgebiet Hochspannungstechnik wm 1 PH 2 2 • Für H von 0 Æ -He: aufzuwendende Arbeit entsprechend der hellblauen Fläche 8 B Annahme: B-H-Kennlinie mit Hysterese (realistischer Fall) 0 ³ EdD De Be ³ HdB ³ P dB Be Allgemein: Index e weglassen; B = PH: wm • Für H von 0 Æ He: aufzuwendende Arbeit entsprechend der dunkelblauen Fläche • Für H von He Æ 0: Energie entsprechend der längs schraffierten Fläche wird zurückgewonnen We V 0 ³ HdB Be Annahme: B-H-Kennlinie ohne Hysterese (hypothetischer Fall) ETiT II / VL 17 we Wm V Für konstante Permeabilität: wm Energie des magnetischen Feldes • Für H von 0 Æ He: aufzuwendende Arbeit entsprechend der dunkelblauen Fläche • Für H von He Æ 0: Energie entsprechend der längs schraffierten Fläche wird zurückgewonnen Hystereseverluste wm Wm V Be vgl. mit Energie im elektrischen Feld (GET II_07): mit Be ... Endwert der Flussdichte nach Aufbau des Magnetfeldes Energie pro Volumen: Wm dWm Darin: 2SUA = Volumen V des Ringkerns: dWm Durchflutungssatz: Ni dWm Nid) uidt i 2Rdt Energie des magnetischen Feldes 1H Vs A 14 u1 i1R1 u2 i 2R2 d) 2 dt d)1 dt Eines von Henry's ersten Experimenten zum Elektromagnetismus: "Big Magnet" (ca. 1827) L1 di1 di M 2 dt dt Fachgebiet Hochspannungstechnik M di1 di M 1 dt dt ETiT II / VL 17 d i1 i 2 di1 M dt dt 0 0 ETiT II / VL 17 (wegen )1 = L11i1 + L12i2 ) d)1 dt di1 di M 2 dt dt u1 R1i1 L1 M u1 i1R1 L1 u1 i1R1 Gegeninduktivität Fachgebiet Hochspannungstechnik L2 0 M di 2 di M 2 dt dt d i1 i 2 di 2 M dt dt Einfaches Ersatzschaltbild für eisenlosen Transformator! 18 di 2 di M 1 dt dt (wegen )2 = L21i1 + L22i2) d) 2 dt di 2 di M 1 dt dt u2 R2i 2 L2 M u2 i 2R2 L2 u2 i 2R2 16 Gesamtfluss in Schleife 2: )2 = )21 + )22 = L21i1 + L22i2 Gleiche Betrachtung für Schleife 2: Gesamtfluss in Schleife 1: )1 = )11 + )12 = L11i1 + L12i2 Beitrag des Stroms i2 zum Fluss in Schleife 1: )12 = L12i2 Beitrag des Stroms i1 zum Fluss in Schleife 1: )11 = L11i1 Bei linearem Zusammenhang zwischen Strom und Fluss können )1 und )2 als Summe von Teilflüssen dargestellt werden: ETiT II / VL 17 (nach: http://www7.nationalacademies.org/archives/jhenry.html) Joseph Henry (1797-1878) is widely considered the foremost American scientist of the 19th century. Although Henry at an early age appeared to be headed for a career in the theater, a chance encounter with a book of lectures on scientific topics turned his interest to science. Henry's early investigations concerned electromagnetic phenomena, and his discovery of electromagnetic self-induction in 1831 established his reputation in America. Interestingly, Henry appears to have discovered the principle of electromagnetic induction independently of British scientist Michael Faraday, but because Faraday published the results before Henry, Faraday is credited with the discovery. In 1846, Henry was named first Secretary of the newly-established Smithsonian Institution, a position he held until his death. In 1868, he was elected President of the National Academy of Sciences; this position, too, he held until his death. "Henry" Fachgebiet Hochspannungstechnik Vs A > P @> A@ >l @ Vs 2 m Am m Selbstinduktivität Gegeninduktivität 1 >L@ > / @ L = N22/ Selbstinduktivität 0 u2 i 2R2 d) 2 dt d) dt 15 )2 = L21i1 + L22i2 ETiT II / VL 17 ETiT II / VL 17 17 N1)12 < 12 Fachgebiet Hochspannungstechnik L12i 2 < 12 N1 4 2/ Mi 2 ETiT II / VL 17 N1 N 2i 2/ N1N2 / N1N 2i 2/ 19 Gegeninduktivität M Mi 2 >M @ (/ Dann wird z.B. aus der bereits hergeleiteten Beziehung )12 = L12i2 Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises: ) = /4 = /Ni l ) Vs A PA H Im allgemeinen Fall bestehen die Leiterschleifen aus N Windungen. Dann wird: )Æ< (Windungen jeweils von unterschiedlichen Flüssen durchsetzt) ) Æ N) (alle Windungen vom gleichen Fluss durchsetzt) und damit (wegen ) = Li ): < = Li bzw. N) = Li Gegeninduktivität Fachgebiet Hochspannungstechnik (Hinweis: in Systemen mit mehr als zwei miteinander gekoppelten Induktivitäten kann es zweckmäßig sein, die Doppelindizierung LPQ beizubehalten!) • L12 = L21 = M L12 und L21 nennt man die Gegeninduktivitäten M zwischen den beiden Schleifen: • L11 = L1 • L22 = L2 L11 und L22 sind die Selbstinduktivitäten der beiden Leiterschleifen: )1 = L11i1 + L12i2 Gegeninduktivität Fachgebiet Hochspannungstechnik Wegen der (losen) Kopplung beider Leiterschleifen werden die Flüsse )1 und )2 jeweils von beiden Strömen verursacht! u1 i1R1 d)1 dt Für die Umläufe in den eingezeichneten Richtungen: uind Anordnung zweier benachbarter, jeweils stromdurchflossener Leiterschleifen: Gegeninduktivität 0 L L diL dt L L f diL L I 0 0 0 L ³ u (t )i (t )dt ³ L dt i dt ³ Li di f Wm 1 2 LI 2 (bei konstantem L) mit I ... Endwert des Spulenstroms Wm L ETiT II / VL 17 20 1 CU 2 2 21 L2 L1 di 2 di L21 1 dt dt di1 di L12 2 dt dt L2i 2di 2 L21i 2di1 di1 · § di 2 ¨ L2 dt L21 dt ¸ i 2dt © ¹ u2i 2dt u2i 2dt Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 17 23 Fall b): In Spule 2 fließt bereits der Endwert des Stromes: i2 = I2; di2 = 0 In Spule 1 wird der Strom von Null auf den Endwert I1 vergrößert. Fall a): In Spule 1 fließt bereits der Endwert des Stromes: i1 = I1; di1 = 0 In Spule 2 wird der Strom von Null auf den Endwert I2 vergrößert. Fallunterscheidung: L1i1di1 L12i1di 2 di 2 · § di1 ¨ L1 dt L12 dt ¸ i1dt © ¹ u1i1dt u1i1dt Die Spannungsquellen geben im Zeitintervall dt folgende Energien ab: u2 u1 Fachgebiet Hochspannungstechnik Wges (a) L12 I1I 2 ETiT II / VL 17 24 1 1 L1I12 L12 I1I 2 L2 I 22 2 2 nach Integration über di2 von 0 bis I2: Wa L1i1di1 L12i1di 2 L1i1di1 L12i1di 2 u2i 2dt L1i1di1 L21I 2di1 L2i 2di 2 L21I 2di1 L2i 2di 2 L21i 2di1 Fachgebiet Hochspannungstechnik Wges ( b ) ETiT II / VL 17 25 1 1 L2 I 22 L21I 2 I1 L1I12 2 2 1 L1I12 L21I 2 I1 2 Gesamtenergie = in Spule 2 bereits gespeicherte Energie + Energiezuwachs: u1i1dt u2 I 2dt u2 I 2dt nach Integration über di1 von 0 bis I1: Wb Gesamter Energiezuwachs: dWb u1i1dt L2i 2di 2 L21i 2di1 L12 I1di 2 L2i 2di 2 u1i1dt L2i 2di 2 L21i 2di1 1 L2 I 22 2 Gesamtenergie = in Spule 1 bereits gespeicherte Energie + Energiezuwachs: u1I1dt u2i 2dt u2i 2dt L1i1di1 L12 I1di 2 u1I1dt Gesamter Energiezuwachs: dWa u2i 2dt L1i1di1 L12i1di 2 u1i1dt Fall b): In Spule 2 fließt bereits der Endwert des Stromes: i2 = I2; di2 = 0 In Spule 1 wird der Strom von Null auf den Endwert I1 vergrößert. di 2 di L21 1 dt dt di1 di L12 2 dt dt ETiT II / VL 17 Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen Fachgebiet Hochspannungstechnik Fall a): In Spule 1 fließt bereits der Endwert des Stromes: i1 = I1; di1 = 0 In Spule 2 wird der Strom von Null auf den Endwert I2 vergrößert. L2 L1 1 L2 I 22 2 Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen 22 u2 u1 W2 .... und für zwei Spulen mit magnetischer Kopplung 1 L1I12 2 Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen ETiT II / VL 17 ) 22 ) 21 L2i 2 L21i1 Bereits hergeleitet: ) 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik d) 2 dt L1i1 L12i 2 Strom 2 Schleife 1 Umlauf System 2: u2 Schleife 1 Strom 1 Bereits hergeleitet: )1 )11 )12 Umlauf System 1: u1 d) 1 dt (Achtung: im Gegensatz zu der Anordnung zur Herleitung der Gegeninduktivität sind die Widerstände der Leiterschleifen hier vernachlässigt!) Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen Fachgebiet Hochspannungstechnik Vgl. mit der in einem Kondensator gespeicherten Energie: Wc L ³ u (t )i (t )dt f Bereits hergeleitet: uL Es gilt: Wm W1 Für zwei Spulen ohne magnetische Kopplung: Zunächst: Energie, die das Feld einer Spule der Induktivität L speichert, wenn durch sie der Strom I fließt: Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen sein! muss gleich Wges (b ) Umkehrungssatz 1 1 L2 I 22 L21I 2 I1 L1I12 2 2 ETiT II / VL 17 29 Fachgebiet Hochspannungstechnik Kopplung gleichsinnige ETiT II / VL 17 nach [F2] gegensinnige 30 gleichsinnige Kopplung gleichsinnige nach [F2] gegensinnige Klarstellung durch Bezugspunkte und Doppelpfeile: Faktisch handelt es sich bei diesem Beispiel um eine Reihenschaltung zweier magnetisch gekoppelter Spulen. Im Fall D spricht man von gleichsinniger Kopplung. Im Fall E spricht man von gegensinniger Kopplung. i ) )12 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 18 1 i2 Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in einer der beiden betrachteten Leiterschleifen 2. Berechnung des Flusses, der von der anderen Leiterschleife umfasst wird. Aus )12 = L12i2 = Mi2 folgt für die Gegeninduktivität: M b) Berechnung der Gegeninduktivität über den magnetischen Fluss Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in der betrachteten Leiterschleife 2. Berechnung des Flusses, der die von der Leiterschleife aufgespannte Fläche durchsetzt. Aus ) = Li folgt für die Selbstinduktivität: L a) Berechnung der Selbstinduktivität über den magnetischen Fluss Fragestellung: wie lassen sich die Selbst- und Gegeninduktivitäten beliebiger Leiteranordnungen berechnen? Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel: Berechnung einer Ersatzinduktivität ([C1], Bsp. 6.2) 28 Methoden zur Berechnung von Induktivitäten ETiT II / VL 17 L1 L2 2M LE Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen Fachgebiet Hochspannungstechnik L1 L2 2M LD Gegeben: magnetischer Kreis mit zwei Spulen. Deren Induktivitäten seien L1 und L2, ihre Gegeninduktivität sei M. a) Wie groß ist die in diesem Kreis gespeicherte Energie? b) Wie groß müsste jeweils die Induktivität einer Ersatzinduktivität gewählt werden, damit bei gleichem Strom die gleiche magnetische Energie gespeichert wird; Unterscheidung nach 2 Fällen: D) i1 = i2 E) i1 = -i2? 27 Gegeben: magnetischer Kreis mit zwei Spulen. Deren Induktivitäten seien L1 und L2, ihre Gegeninduktivität sei M. a) Wie groß ist die in diesem Kreis gespeicherte Energie? b) Wie groß müsste jeweils die Induktivität einer Ersatzinduktivität gewählt werden, damit bei gleichem Strom die gleiche magnetische Energie gespeichert wird; Unterscheidung nach 2 Fällen: D) i1 = i2 E) i1 = -i2? ETiT II / VL 17 Selbstinduktivität der P-ten Leiterschleife Gegeninduktivität zwischen P-ter und Q-ter Leiterschleife Beispiel: Berechnung einer Ersatzinduktivität ([C1], Bsp. 6.2) ... ... Beispiel: Berechnung einer Ersatzinduktivität ([C1], Bsp. 6.2) Fachgebiet Hochspannungstechnik LPP LPQ = LQP 1 n n ¦¦ LPQ I P IQ 2 P 1Q 1 Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen 26 mit Wm Allgemein für ein System aus n stromdurchflossenen Leiterschleifen: 1 1 L1I12 M I1I 2 L2 I 2 2 2 2 Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen ETiT II / VL 17 (bisher stillschweigend vorausgesetzt, jetzt bewiesen!) L12 12 = L21 21 Schlussfolgerung: 1 1 L1I12 L12 I1I 2 L2 I 22 2 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Wges (a) Wm Magnetische Energie des betrachteten Systems mit L12 = L21 = M: Da die Gesamtenergie des Systems nicht davon abhängen kann, in welcher Reihenfolge die Spulenströme ihre Endwerte erreichen: beide für die Gesamtenergie gefundenen Beziehungen müssen gleich sein. einzige unterschiedliche Terme in beiden Gleichungen Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen Magnetische Energie stromdurchflossener Leiterschleifen I ETiT II / VL 18 P0 I d ln S U0 2 Lc I )c 2Wm I2 Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 PH 2 2 1 BH 2 ETiT II / VL 18 5 2Wm I2 1 B2 2 P 3. Bildung des Quotienten wm Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in der betrachteten Leiterschleife 2. Berechnung der Feldenergie mit einer der bereits dafür hergeleiteten Beziehungen: 1 2 L I folgt: L 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 18 6 Dazwischen: Luft mit P2 = P0 Außenleiter: Innenradius U2, Permeabilität P3 Innenleiter: Außenradius U1, Permeabilität P1 ȡ1 Fachgebiet Hochspannungstechnik H ȡ1 H 1 U 7 ȡ I 2SU Feldstärke außerhalb eines Leiters: H U ETiT II / VL 18 IU 2SU12 1 PH 2 2 Feldstärke im Innern eines Leiters: H ( U ) Bereits hergeleitet (GET II_14): Verwendung der Beziehung für die Energiedichte: w m Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels U ad U bc U ac U bd Aus Wm c) Berechnung der Selbstinduktivität über die magnetische Feldenergie Die eben gezeigte Methode ist nur dann anwendbar, wenn der Fluss eindeutig der Leiterschleife zugeordnet werden kann, die ihn umfasst. Allgemeiner ist das folgende Verfahren: Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels 4 ln 3 Methoden zur Berechnung von Induktivitäten ETiT II / VL 18 P0 2S ETiT II / VL 18 Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel 2: Gegeninduktivität der gezeigten beiden Doppelleitungen (a, b) und (c, d) Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Fachgebiet Hochspannungstechnik Mc Beispiel 2: Gegeninduktivität der gezeigten beiden Doppelleitungen (a, b) und (c, d) P0 d ln S U0 Damit einfache Ermittlung der längenbezogenen Induktivität: 0 ) ' bereits berechnet (GET II_15): P0 Il d d U P0 Il d ln )1 ³ BdA P0 ³ HdA U0 2S U³ U 2S A A ) 2 )1 P0 Il d ) ) )1 ) 2 2)1 ln )c S U0 l Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Fachgebiet Hochspannungstechnik I A d Beispiel 1: Für die Doppelleitung nach [C1], Bsp. 5.7, für die in GET II_15 bereits der die Fläche A durchsetzende magnetische Fluss ermittelt wurde, ist die Selbstinduktivität zu berechnen. Methoden zur Berechnung von Induktivitäten ETiT II / VL 18 8 wm 1 PH 2 2 ETiT II / VL 18 10 wm 1 PH 2 2 2SU I U2 U1 PH U2 U1 2SH ln LcCc Cc Kapazitätsbelag der Koaxialleitung (s. GET II_05): ln Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 18 12 Diese Beziehung gilt für beliebige Leitungsanordnungen! (bleibt an dieser Stelle unbewiesen) PH U0 d SH ln LcCc Cc Kapazitätsbelag der Doppelleitung (s. GET II_05) 2S P2 L2c P0 d ln S U0 Lc Induktivitätsbelag der Koaxialleitung: Induktivitätsbelag der Doppelleitung: (Beziehung für magnetische Feldstärke um einen Leiter) H( U ) b) für den Luftraum Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels H( U ) IU 2SU12 a) für den Innenleiter Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Fachgebiet Hochspannungstechnik Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels Methoden zur Berechnung von Induktivitäten 2 ETiT II / VL 18 Pr 1 P1 8S 9 107 H m a) für den Innenleiter P2 2S ln U2 U1 2 107 ln U2 H U1 m b) für den Luftraum ETiT II / VL 18 11 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 18 13 • die Stromquelle liefere einen konstanten Strom I • alle Leitungen seien widerstandsfrei • der Leiterstab könne sich in x-Richtung reibungsfrei bewegen • der Übergangswiderstand zwischen Leiterstab und Leiterschienen sei widerstandsfrei Annahmen: Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebung (s. GET II_07) Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik L' ist der der Induktivitätsbelag Induktivitätsbelag einer einer Koaxialleitung. Koaxialleitung. L'22 ist Berechnung der Selbstinduktivität des Außenleiters analog zu der des Innenleiters! L2c Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels Methoden zur Berechnung von Induktivitäten Fachgebiet Hochspannungstechnik L1c Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels Methoden zur Berechnung von Induktivitäten d We Wmech Wm dWe dWmech dWm 0 ETiT II / VL 18 14 1 2 dL I 2 dx N 2/ N2 l PA bedeutet das auch: 1 2 I dL 2 dWm Æ Fx dWm( I ) dx 1 2 dL I 2 dx 0 (hochgestellter Index (I) steht dabei für I = const.) 1 2 I dL 2 ETiT II / VL 18 15 ETiT II / VL 18 17 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 18 JG F 18 I ca. 1 kA Zünden eines Lichtbogens (Schmelzdraht) hier Fachgebiet Hochspannungstechnik • Kraftrichtung immer gleich (auch bei Wechselstrom) • Lichtbogen bleibt nicht auf der Stelle stehen, sondern läuft immer am Umfang entlang • Kraft wirkt jederzeit tangential am Umfang JG B JG F ETiT II / VL 18 JG v 19 QuickTime Movie Anwendung: "Arc Rotator" Fachgebiet Hochspannungstechnik Ik JG F Auswirkung z.B.: Wandern von Kurzschlussstromlichtbögen Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Kraft entspricht der Änderung der magnetischen Feldenergie. und da Fx I 2dL Fxdx Auflösen nach Fx: dWe dWmech dWm Demonstrationsversuch: "Feuerrad" 16 I 2dL Energiebilanz: dWe Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie ETiT II / VL 18 u I dt Anwendung des Induktionsgesetzes: Æ Umlauf: Uind = -dĭ/dt d) u dt dL mit ) = LI: u I dt dWe Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik Æ Æ Die Die Kraft Kraft ist ist stets stets so so gerichtet, gerichtet, dass dass sie sie die die von von der der Stromschleife Stromschleife umfasste umfasste Fläche Fläche zu zu vergrößern vergrößern sucht. sucht. Wegen L Æ Æ Die Die Kraft Kraft ist ist stets stets so so gerichtet, gerichtet, dass dass sie sie die die Induktivität Induktivität der der Stromschleife Stromschleife zu zu vergrößern vergrößern sucht. sucht. Fx Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik Mechanische Energie nimmt zu (Anheben des Gewichts): dWmech Fx dx 1 2 1 2 L I nimmt zu (Vergrößerung von L): dWm Magnetische Energie Wm I dL 2 2 Die Stromquelle gibt Energie ab (Produkt u·I im Verbraucherzählpfeilsystem <0): dWe u I dt dWges Lässt man eine langsame Verschiebung des Leiterstabes um dx nach rechts zu, so ändert sich die Gesamtenergie des Systems nicht: • magnetische Feldenergie Wm • mechanische Energie Wmech (potentielle Energie des Gewichts G) • elektrische Energie We der Stromquelle Energie tritt in drei Formen auf: Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Beblasung JG F 3 … Thermik Fachgebiet Hochspannungstechnik I fest JG B ETiT II / VL 18 Spule 23 beweglich v Beblasung JG F 3 … Thermik d §1 2· ¨ LI ¸ dx © 2 ¹ 1 2 dL( x) I 2 dx dL( x) dx Lc L' ... Induktivitätsbelag der Leitung K ... ein von x unabhängiger Korrekturterm zur Berücksichtigung von Randeffekten am Leitungsende Lcx K dWm( I ) dx Fx Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 2 dL( x) I 2 dx 1 2 I Lc 2 ETiT II / VL 18 P0 I 2 d ln U0 2S P0 d ln S U0 24 Die Die Kraft Kraft ist ist proportional proportional II22 Für die Doppelleitung bereits hergeleitet: Lc L( x) Fx Fx JG F Fachgebiet Hochspannungstechnik I ETiT II / VL 18 25 Ausnützen magnetischer Kräfte zur Vergrößerung des Kontaktdrucks! Konstruktive Maßnahmen erforderlich: 4S 107 602 106 3 Vs A 2 ln 2S 0,1 Am 2,45 kN 245 kg P0 I 2 d ln U0 2S Im 380-kV-Netz: z.B. d = 3 m U0 = 0,1 m I = 60 kA (Kurzschluss) JG F I JG F Stromschleife JG F 2 … magnetische JG F 1 … Aufweitung der Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) 22 Stromschleife JG F 2 … magnetische JG JG JG F1 F 2 F 3 Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) ETiT II / VL 18 Spule beweglich v Schaltkontakte Löschkammern Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie JG B JG JG JG F1 F 2 F 3 JG F 1 … Aufweitung der Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik I fest Schaltkontakte Löschkammern - gute Kühlung des Lichtbogens - hoher Spannungsbedarf (viele Fußpunkte) Gleichstromschalter (Bahn, Straßenbahn) 21 Gleichstromschalter (Bahn, Straßenbahn) ETiT II / VL 18 Anwendung: Löschen von Schaltlichtbögen, unterstützt durch magnetische Beblasung Fachgebiet Hochspannungstechnik Anwendung: Löschen von Schaltlichtbögen, unterstützt durch magnetische Beblasung 20 Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie ETiT II / VL 18 Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik Andere Beispiele: Freileitungsisolator mit Lichtbogenarmaturen Andere Beispiele: Vakuumschaltröhre mit Radialfeldkontakten (Gabelring, Gabel-Hornring) Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie ETiT II / VL 18 26 ETiT II / VL 18 28 B hier AlL 1 PH 2 2 1 B2 1 B2 AlE 2 P0 2 PE (Energiedichte) Fachgebiet Hochspannungstechnik Wm - Streuung sei vernachlässigbar lE lL A 4 = NI 2 1 2 AB allgemein § lL lE · ¨ P A P A¸ © 0 ¹ E 1B 2 P ETiT II / VL 19 2 AB 1 BH 2 2 2 Wm Rm ges (Energie) 2 Al Rm ges 1B 2 P )2 V 2 1B 2 P 2 ETiT II / VL 18 29 2 )2 Rm ges 2 ) Rm ges Fachgebiet Hochspannungstechnik Damit: Wm 2 4 2 2Rm ges ETiT II / VL 19 1 4 R 2 Rm2 ges m ges 2 Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises: 4 Wm 2 2 4 2 1 lL l E P0 A PE A Rm) ) 2 Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet Fachgebiet Hochspannungstechnik Rm2 42 • î ca. 150 kA, 300 ms • I ca. 60 kA, 3 s • î ca. 150 kA, 300 ms • I ca. 60 kA, 3 s (darin ist Wm die gesamte magnetische Feldenergie, aufgeteilt auf den Anteil im Eisen und im Luftspalt) BL Bereits hergeleitet: w m Fx dWm( I ) dx Flussdichte BE 27 Prüfung der Kurzschlussstromtragfähigkeit an EinsäulenScherentrennschaltern und an Erdungsschaltern Gegeben: • Durchflutung • Mittlere Eisenweglänge • Luftspaltlänge • Querschnitt (konstant) Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 18 Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik Prüfung der Kurzschlussstromtragfähigkeit an EinsäulenScherentrennschaltern und an Erdungsschaltern Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Fachgebiet Hochspannungstechnik ES: optimiert zum spannungslosen Kurzschließen der Leitung Æ muss Kurzschlussstrom sicher führen können, ohne zu öffnen TS: optimiert zum Isolieren, aber nicht zum Unterbrechen hoher Ströme Æ muss Kurzschlussstrom sicher führen können, ohne zu öffnen LS: optimiert zum Unterbrechen hoher Ströme, aber nicht zum Isolieren Æ muss Kurzschlussstrom sicher unterbrechen können Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) Was passiert, wenn man einen Trennschalter bei fließendem Strom öffnet …. Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) Leistungsschalter (LS) Trennschalter (TS) Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie Erdungsschalter (ES) dW dx Fachgebiet Hochspannungstechnik 4 2 42 1 BH 2 1 B2 2 P0 1 PH 2 2 Fx A 2 Rm2 ges ETiT II / VL 19 Identisch mit Energiedichte: w m Damit für die Kraft pro Fläche: 2 2 § l lE · L ¨ P A P A¸ © 0 ¹ E 1 4 2 P0 A 1 B2 2 P 1 P 0H 2 2 42 P0 A 2 ) 1 ETiT II / VL 19 6 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 19 7 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 19 I 8 2,14 A Rechenbeispiel (nach [H1]) Fachgebiet Hochspannungstechnik Rechenbeispiel (nach [H1]) 5 Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet ETiT II / VL 19 Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet Fachgebiet Hochspannungstechnik Welcher Strom I muss dazu in der Spule fließen? Der gezeigte Elektromagnet mit einem Kern aus Dynamoblech besitzt eine Spule mit N = 450 Windungen. Die Luftspaltlänge beträgt lL = 0,5 mm. Der Anker soll mit einer Kraft von F = 2 kN angezogen werden. Rm2 42 1 B2 A 2 P0 1 BH 2 1 )2 2 P0 A N = 450 Windungen lL = 0,5 mm F = 2 kN Rechenbeispiel (nach [H1]) 2 1 P0 A Rechenbeispiel (nach [H1]) 3 1 P0 A 2 § l lE · x L ¨ P A P A P A¸ © 0 ¹ E 0 42 Für x Æ 0: Fx 42 Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet Fx Wm Rm) ) 2 Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises 4 Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet ETiT II / VL 19 1 b (Quotientenregel) : 2 x· § ¨a ¸ b¹ © 1 2 dx lL x lE P0 A P 0 A PE A 4 d 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik d 1 dx a x b Fx (I ) m Einsetzen für die Luftspaltlänge: lL Æ lL – x: 1 2 lL x lE P0 A P 0 A PE A 42 Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet i L JG JG v³ Hd s ? ETiT II / VL 19 L JG JG v³ Hd s 0 9 Was passiert zwischen den Kondensatorplatten? JG § JG w D · JG J ³A ¨© wt ¸¹d A Fachgebiet Hochspannungstechnik Leitungsarten Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 19 ETiT II / VL 19 13 11 aus: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Æ Ein Verschiebungsstrom ist genau so von einem Magnetfeld umgeben wie ein Leitungsstrom! (in Integralform) Erste Maxwellsche Gleichung L JG JG v³ Hd s Der Strom, der in den Leitungen als Leitungsstrom fließt, setzt sich zwischen den Kondensatorplatten als Verschiebungsstrom fort. Somit handelt es sich wieder um einen geschlossenen Stromkreis, auf den das Durchflutungsgesetz anwendbar ist. Der Strom setzt sich dabei aus Leitungsstrom und Verschiebungsstrom zusammen: JG JG w D J wt JG wD ... Verschiebungsstromdichte wt Erste Maxwellsche Gleichung - Durchflutungsgesetz Fachgebiet Hochspannungstechnik L JG JG v³ Hd s i i Kondensator im Stromkreis: Durchflutungsgesetz liefert kein eindeutiges Ergebnis Erste Maxwellsche Gleichung - Durchflutungsgesetz J dQ Fachgebiet Hochspannungstechnik Fachgebiet Hochspannungstechnik dD JAdt AdV dD dt Fachgebiet Hochspannungstechnik Leitungsarten Jdt idt ETiT II / VL 19 ETiT II / VL 19 14 12 aus: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Leitungen 10 da alle Vektoren gleiche Richtung aufweisen ETiT II / VL 19 AdD JG JG w D J wt JG Aufladung der Kondensatorplatten durch den Ladestrom i (bzw. Stromdichte J ) JG Ladung auf den Oberflächen Æ Flächenladungsdichte V Æ Ursache für D Erste Maxwellsche Gleichung - Durchflutungsgesetz ETiT II / VL 19 Gc z 'z JG D w) wt JG B Fachgebiet Hochspannungstechnik z u(z,t ) i (z,t ) w JG JG ³ Bd A wt A z 'z u(z,t ) wi (z,t ) 'z wz ETiT II / VL 19 wu(z,t ) 'z wz i (z,t ) wi (z,t ) Lc'z wt 19 Der Der Spannungsunterschied Spannungsunterschied zwischen zwischen den den Leitern Leitern ändert ändert sich sich entlang entlang der der Leitung, Leitung, da da der der ohmsche ohmsche Widerstand Widerstand einen einen ohmschen ohmschen und und die die Induktivität Induktivität einen einen induktiven induktiven Spannungsfall Spannungsfall erzeugen. erzeugen. wu(z,t ) wi (z,t ) R ci (z,t ) Lc wz wt G l R l (G ... Querleitwert) (R ... Längswiderstand) 16 wi (z,t ) wu(z,t ) Gcu(z,t ) C c wz wt 'z 2 'z 2 C c'z Lc Fachgebiet Hochspannungstechnik Rc 'z 2 Gc'z Lc 'z 2 ETiT II / VL 19 Rc 0 20 Ersatzschaltbild eines Leitungselements als T-Glied (System partieller Dgln 1. Ordnung) Differentialgleichungen der elektrischen Leitung 18 Die Die Stromstärke Stromstärke ändert ändert sich sich entlang entlang der der Leitung, Leitung, da da ein ein Teil Teil des des Leitungsstroms Leitungsstroms als Ableitstrom auf auf den den anderen anderen Leiter Leiter als Ableitstrom übergeht übergeht und und ein ein anderer anderer Teil Teil sich sich als als Verschiebungsstrom Verschiebungsstrom zwischen zwischen den den beiden beiden Leitern Leitern schließt. schließt. ETiT II / VL 19 wi (z,t ) 'z wz 0 Fachgebiet Hochspannungstechnik z Gc'z u(z,t ) i (z,t ) wu(z,t ) wi (z,t ) R ci (z,t ) Lc wz wt i (z,t ) 0 (Umlauf A Æ B Æ C Æ D Æ A) P0 d ln S U0 U0 d SH ln Anwendung des erweiterten 1. Kirchhoffschen Satzes auf ein Leitungselement: JG § JG w D · JG Erweiterter 1. Kirchhoffscher Satz: v³ ¨ J ¸dA 0 wt ¹ A © JG JG wi (z,t ) v³A Jd A i (z,t ) Gc'zu(z,t ) i (z,t ) wz 'z JG w C c'zu(z,t ) w D JG w JG JG w< wu(z,t ) C c'z v³A wt d A wt v³A Dd A wt e wt wt Differentialgleichungen der Leitung ETiT II / VL 19 wi (z,t ) wu(z,t ) Gcu(z,t ) C c wz wt 0 auf. Ableitungsbelag und einen Widerstandsbelag Rc Anwendung des Induktionsgesetzes auf ein Leitungselement: JG JG w JG JG Induktionsgesetz: v³ Ed s ³ Bd A wt A L JG JG Rc wu(z,t ) Rc v³L Ed s i (z,t ) 2 'z u(z,t ) wz 'z i (z,t ) 2 'z u(z,t ) 17 L l C l Ebenso weist jede Leitung einen Differentialgleichungen der Leitung ETiT II / VL 19 Induktivität 'L = L' 'z Kapazität 'C = C' 'z Leitwert 'G = G' 'z Widerstand 'R = R' 'z Cc Induktivitätsbelag Lc Kapazitätsbelag Für eine Doppelleitung wurde bereits hergeleitet: Jeder Leitungstyp lässt sich durch seine Leitungsbeläge charakterisieren. I Fachgebiet Hochspannungstechnik I A d Differentialgleichungen der Leitung Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik 'z 'R, 'G, 'C, 'L 15 Jedem Leitungselement der Länge 'z lässt sich somit zuschreiben: Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik Strom Strom und und Spannung Spannung auf auf einer einer Leitung Leitung besitzen besitzen im im allgemeinen allgemeinen Fall Fall eine Abhängigkeit vom vom Ort Ort zz und und von von der der Zeit Zeit t: t: eine Abhängigkeit ii == i(z,t) i(z,t) u u == u(z,t) u(z,t) Ströme und Spannungen und die mit ihnen verknüpften elektrischen und magnetischen Felder breiten sich mit endlicher Geschwindigkeit aus. Hier: Beschränkung auf elektrische Doppelleitungen Differentialgleichungen der Leitung 'z 2 'z 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Gc R c'z C c'z 'z Lc 2 Lc'z Gc 'z 2 Gc'z 'z Lc 2 ETiT II / VL 19 'z Rc 2 Cc 'z 2 0 dU : dz 0 J ... Ausbreitungskonstante ETiT II / VL 19 C1eJ z C2e J z 1 C e R c jZ Lc J Jz C 2e J z 0 ZW 1 C eJ z C2eJ z ZW 1 23 U Z 25 R c j Z Lc Gc jZC c dU R c jZ Lc I dz ETiT II / VL 19 R c j Z Lc R c jZ LcGc jZC c Fachgebiet Hochspannungstechnik I J R c j Z Lc J 1 ZW R c j Z Lc wird eingeführt: Da prinzipiell gilt (ohmsches Gesetz!): I I J C1eJ z J C2e J z R c jZ Lc I in die Differentialgleichung der Leitung: Einsetzen der Lösung: U dI : dz 0 d 2U J 2U dz 2 Wellenwiderstand 0 0 d 2U R c jZ Lc Gc jZC c U dz 2 Einsetzen von 2 Wellengleichungen der elektrischen Leitung 0 mit 0 Differentiation nach z: dU R c j Z Lc I dz dU dI R c j Z Lc dz 2 dz R c jZ LcGc jZC c 0 Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik d 2I J 2I dz 2 J2 d2I R c jZ Lc Gc jZC c I dz 2 Einsetzen von d I dU Gc jZC c dz 2 dz 2 Differentiation nach z: dI Gc jZC c U dz 21 Ersatzschaltbild eines Leitungselements als S-Glied Ersatzschaltbild eines Leitungselements als T-Glied Differentialgleichungen der Leitung Cc 'z Rc 2 Differentialgleichungen der Leitung 0 0 wu(z,t ) wi (z,t ) R ci (z,t ) Lc wz wt 0 0 0 ETiT II / VL 19 0 vereinfachte Schreibweise C1eJ z C2e J z 0 0 u(t) ... reelle Zeitfunktion (physikalischer Verlauf) ˆ jZt ` u(t ) Re ^u(t )` Re ^ue u(t ) ... komplexe Zeitfunktion uˆ .... komplexe Amplitude ˆ jZt ue Zur Erinnerung: u(t ) 0 ETiT II / VL 19 I 1 C eJ z C2eJ z ZW 1 K 2e J z C1 ZW K2 C2 ZW Durch Durch Vergleich: Vergleich: K1eJ z 1 1 C eJ z C eJ z ZW 1 ZW 2 K1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 19 26 D.h. von den vier Konstanten C1, C2, K1, K2 sind nur zwei frei wählbar. Lösung der Wellengleichung für den Strom war: I Soeben gefunden: 24 K1eJ z K 2e J z Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik Für den Strom gilt entsprechend: I d2I J 2I dz 2 Nachprüfen durch Einsetzen: (C1 und C2 sind frei wählbare Integrationskonstanten, die sich durch das zweimalige Integrieren ergeben) Allgemeine Lösung dieser Dgl 2. Ordnung ist: U d 2U J 2U dz 2 22 dU R c j Z Lc I dz dU (z) R c jZ Lc I (z) dz Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik dI Gc jZC c U dz d I (z ) Gc jZC c U (z) dz I (z), U (z) sind darin die komplexen Effektivwerte, die jetzt nur noch Ortsfunktionen sind. ` 2Re ^U (z)e u(z,t ) jZ t 2 Re ^I (z)e jZt ` i (z,t ) Lösung der Dgln für den speziellen Fall harmonischer Zeitabhängigkeit: wi (z,t ) wu(z,t ) Gcu(z,t ) C c wz wt Differentialgleichungen der Leitung Dz j E z Z t ETiT II / VL 20 O Funktion Funktion cos( cos(Z Ztt -- EEz) z) Fachgebiet Hochspannungstechnik ` ` ˆ jZt ` u(t ) Re ^u(t )` Re ^ue 1 ETiT II / VL 20 ETiT II / VL 20 aus aus v O const . Z E E 2S const . v O ... Wellenlänge Z E 5 E E v O Z 2S 2S E 2S EO v mit Z v Z 2S f fO O 2S Durch Gleichsetzen: O Ez Einem Zuwachs des Arguments der cos-Funktion um 2S entspricht ein Zuwachs der Länge z um O: 3 'z 't Z E Z t E z Z t 't E z ' z Z't E'z Lage A1 : Z t 't E z 'z Lage A0 : Z t E z Also Also ändert ändert sich sich auch auch das das Argument Argument der der cos-Funktion cos-Funktion und und damit damit die die Phase Phase bzw. bzw. die die Phasenlage Phasenlage des des Punktes Punktes nicht! nicht! Ein beliebiger Punkt auf der Kurve t = 0 (Lage A0) bewegt sich unter Beibehaltung seiner Ordinate innerhalb der Zeit 't um den Weg 'z nach rechts (Lage A1). Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik 'z 'z 'z 'z Funktion Funktion cos( cos(Z Ztt -- EEz) z) 'z e jZt j E z Z t D j E z C 2e D z e e jZt C2e J z D jE (D, E reell) Æ Schreibweise J C1eJ z C2e J z Æ C1 , C2 reell 2C1eD z cos Z t E z 2C2e D z cos Z t E z 1 e D j E z 2Re C1e ^ 2Re ^C e C1e C2e Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik u(z,t ) u(z,t ) U Jz R c jZ LcGc jZC c Rückkehr zur Zeitfunktion: • für die Konstante J • in der Lösung der Dgl für die Spannung U Vereinfachende Annahmen: Veranschaulichung der Lösung 2C1eD z cos Z t E z 2C2e D z cos Z t E z Zt 4 S ETiT II / VL 20 0 ETiT II / VL 20 fO Z E 4 E ... Phasenkonstante v ... Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit Alle Punkte auf der cosKurve bewegen sich unter Beibehaltung ihrer Phase mit konstanter Geschwindigkeit v von links nach rechts. v 0,707 cos 2S 1 2S 2 0,707 § 7S · cos ¨ ¸ © 4 ¹ 0,707 0 0,707 § 3S · cos ¨ ¸ © 4 ¹ § 5S · cos ¨ ¸ © 4 ¹ 1 0 0,3 mm 150 mm 3m 15 km Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 THz 2 GHz 100 MHz 20 kHz O 6000 km f c0 f 50 Hz O ETiT II / VL 20 0,707 § S· cos ¨ ¸ © 4¹ §S · cos ¨ ¸ ©4¹ § 3 · cos ¨ S ¸ © 2 ¹ cos S § S· cos ¨ ¸ © 2¹ cos 0 1 4 S cos Z t E z Zt 3 S 2 S 2 S 0 cos Z t E z 0 6 Bei v = c0 | 3·108 m/s (ist – hier unbewiesen – der Fall für eine Leitung mit Luft als Dielektrikum): v Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik Funktion Funktion cos( cos(Z Ztt -- EEz) z) Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik Zt Ez Zt Zunächst: Betrachtung nur des roten Terms, d.h. der Funktion cos(Zt - Ez) u(z,t ) Veranschaulichung der Lösung cos Zt E z eD z t 't t 0 ETiT II / VL 20 8 0 0 Zt 4 S ETiT II / VL 20 Ez Fachgebiet Hochspannungstechnik Zukünftig Index "r" Æ Echowelle E z Æ Rücklaufende Welle ETiT II / VL 20 Der Ausdruck C1eD z cos Zt E z stellt eine gedämpfte Welle dar, die sich in Richtung abnehmender Werte von z ausbreitet. Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik nach rechts laufende Welle "hinlaufende Welle" "Hauptwelle" Zt Funktion Funktion cos( cos(Z Ztt -- EEz) z) 2S 11 9 ETiT II / VL 20 0 10 Rücklaufende gedämpfte Welle Hinlaufende gedämpfte Welle 2C1eD z cos Z t E z 2C2e D z cos Z t E z C1eJ z C2e J z 0 Zt Fachgebiet Hochspannungstechnik I (z ) U U r eJ z h e J z ZW ZW U (z ) U r e J z U h e J z ETiT II / VL 20 12 Bereits hergeleitet: 1 I C eJ z C2eJ z ZW 1 Zurückgehen zur komplexen Schreibweise: Ez I h ... hinlaufende Stromwelle I r ... rücklaufende Stromwelle Uh ZW Ur ZW Ur ... rücklaufende Spannungswelle Uh ... hinlaufende Spannungswelle Die Die Spannung Spannung auf auf der der Leitung Leitung setzt setzt sich sich jeweils jeweils aus aus einer einer hinhin- und und einer einer rücklaufenden rücklaufenden gedämpften gedämpften Welle Welle zusammen. zusammen. u(z,t ) U Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik 4 S nach links laufende Welle "rücklaufende Welle" "Echowelle" Zt Funktion Funktion cos( cos(Z Ztt ++ EEz) z) Vergleich der Ausbreitungen der ungedämpften Wellen Fachgebiet Hochspannungstechnik Zukünftig Index "h" Æ Hauptwelle Æ Hinlaufende Welle Der Ausdruck C2e D z cos Zt E z stellt eine gedämpfte Welle dar, die sich in Richtung zunehmender Werte von z ausbreitet. Vergleich der Ausbreitungen der ungedämpften Wellen 7 D ... Dämpfungskonstante Æ Gedämpfte Welle! Die Ordinate des Punktes einer bestimmten Phasenlage nimmt mit wachsendem z nach einer e-Funktion ab. e Veranschaulichung der Lösung Veranschaulichung der Lösung ETiT II / VL 20 Faktor e D z Veranschaulichung der Lösung Fachgebiet Hochspannungstechnik Funktion Funktion cos( cos(Z Ztt -- EEz) z) D z Veranschaulichung der Lösung Achtung! Achtung! U r J z Uh J z e e ZW ZW I (z ) Ur U h I (l ) { I 2 U2 ZW I1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 20 17 (entsprechend ließen sich auch die Leitungsgleichungen für U2, I2 herleiten) ... weil sie die physikalischen Vorgänge am besten darstellt. Physikalische Form der sogenannten Leitungsgleichungen ª1 Jl ª1 Jl J l º J l º «¬ 2 e e »¼ I 2 «¬ 2 e e »¼ ª1 º ª1 º U2 « eJ l e J l » I 2ZW « eJ l e J l » ¬2 ¼ ¬2 ¼ Ur J l Uh J l e e ZW ZW Ur Uh ZW ZW U1 15 U r eJ l U h e J l I (0) { I1 U (l ) { U2 ETiT II / VL 20 U r J z Uh J z e e ZW ZW Die Leitungsgleichungen Fachgebiet Hochspannungstechnik aus U (z ) Ur eJ z U h e J z 13 U (0) { U1 ETiT II / VL 20 Die Leitungsgleichungen Fachgebiet Hochspannungstechnik Mit Mit einer einer rücklaufenden rücklaufenden positiven positiven Spannungswelle Spannungswelle ist ist eine eine rücklaufende rücklaufende negative negative Stromwelle Stromwelle verknüpft. verknüpft. Mit Mit einer einer hinlaufenden hinlaufenden positiven positiven Spannungswelle Spannungswelle ist ist eine eine hinlaufende hinlaufende positive positive Stromwelle Stromwelle verknüpft. verknüpft. I (z ) U (z ) U r e J z U h e J z Veranschaulichung der Lösung ETiT II / VL 20 14 Ur eJ l Uhe J l Ur eJ l Uh e J l U (l ) { U2 U (0) { U1 Ur Uh Ur eJ l Uh e J l Ur Uh ZW ZW ETiT II / VL 20 U1 U2 sinh J l I 2 cosh J l ZW Zur Erinnerung: U2 ª 1 J l e eJ l º»¼ I 2 ¬«ª 21 eJ l eJ l ¼»º ZW «¬ 2 cosh J l sinh J l U2 cosh J l I 2ZW sinh J l I1 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 20 18 ... die mathematisch elegantere Schreibweise ... Mathematische Form der sogenannten Leitungsgleichungen I1 U1 ª1 º ª1 º U2 « eJ l e J l » I 2ZW « eJ l e J l » ¬2 ¼ ¬2 ¼ sinh J l cosh J l 16 U2 ª 1 J l e eJ l º¼» I 2 ª¬« 21 eJ l eJ l º¼» ZW «¬ 2 Die Leitungsgleichungen Fachgebiet Hochspannungstechnik I1 U U Addition der beiden Gleichungen: I (0) { I1 r h 1 Jl ZW ZW U2 I 2ZW 2Uhe J l Uh e U2 I 2ZW 2 U U I (l ) { I 2 r eJ l h e J l Subtraktion der beiden Gleichungen: ZW ZW 1 J l U2 I 2ZW 2Ur eJ l Ur e U2 I 2ZW 2 Einsetzen: ª1 º ª1 º U1 Ur Uh U2 « eJ l e J l » I 2ZW « eJ l e J l » ¬2 ¼ ¬2 ¼ I 2ZW U2 nun z.B.: U2 und I2 als gegeben ansehen Æ Berechung von U1 und I1: Die Leitungsgleichungen Fachgebiet Hochspannungstechnik • oder: Strom und Spannung am Anfang vorgeben Æ Strom und Spannung am Ende können damit berechnet werden. • z.B.: Strom und Spannung am Ende vorgeben Æ Strom und Spannung am Anfang können damit berechnet werden. • Von diesen vier Größen sind nur zwei willkürlich vorgebbar, die anderen beiden ergeben sich jeweils daraus. • Häufig interessiert der Zusammenhang zwischen Spannungen und Strömen am Anfang und Ende einer Leitung: U1, I1, U2, I2 Die Leitungsgleichungen ETiT II / VL 20 19 aus: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Glg. Glg. 22 2 2 2 Gc Gc 2 2 2 Z Cc 2 Z Cc 2 ETiT II / VL 20 21 Z 2Lc 2 Gc2 Z 2C c2 Z Lc 2 2 Z Lc Rc 2 2 2 Glg. Glg. 22 Z 2Lc 2 Gc2 Z 2C c2 Rc 1 R cGc Z 2LcC c 2 R cGc Z LcC c 2 Glg. Glg. 22 2 Rc Rc 1 R cGc Z 2LcC c 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik Glg. Glg. 11 Rc2 Z 2Lc 2 Gc2 Z 2Cc2 R cGc Z LcC c 2 Phasenkonstante Dämpfungskonstante 1 Pr H r 1 PH Pr H r 1 c0 ETiT II / VL 20 23 (0,5 ... 0,7)c0 v Für ein verlustloses Kabel (Hr | 2 ... 4): Fachgebiet Hochspannungstechnik c0 s. GET II_02: Maxwell2 Beziehung H 0 P0 c0 1 P0H 0 1 Z E v s. GET II_18: für jede Leitung gilt LcC c PH 1 LcC c Bereits hergeleitet: v Für die verlustlose Leitung in Luft gilt damit: v E | Z LcC c Æ Ausbreitungsgeschwindigkeit: Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW E 2E 2 2 2 R cGc Z 2LcC c Glg. Glg. 11 D 2D 2 2 D E Glg. Glg. 11 J 2 D E 2 Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW Fachgebiet Hochspannungstechnik Die Leitungsgleichungen - Zusammenfassung R c jZ LcGc jZC c D j E Dämpfungskonstante 2 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik D2 E 2 2 ETiT II / VL 20 20 (nachrechnen!) (wird später noch benötigt) Z 2Lc 2 Gc2 Z 2C c2 Glg. Glg. 33 Glg. Glg. 11 1 R cGc Z 2LcC c 2 1 R cGc Z 2LcC c 2 2 Z 2Lc 2 Gc2 Z 2C c2 Phasenkonstante Dämpfungskonstante ETiT II / VL 20 22 Phasenkonstante der verlustlosen Leitung 2DE Cc Lc · Gc ¸ Lc Cc ¹ Michael I. Pupin 1858 - 1935 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 20 24 • Bei der verlustlosen Leitung (R Æ 0, G Æ 0) ist die Dämpfung Null (D Æ 0). • Meistens ist der erste Summand in der Klammer größer als der zweite. Dann kann durch Erhöhung des Induktivitätsbelags (zusätzliche Spulen) die Dämpfung der Leitung verringert werden (Pupinisierung, Pupinleitung) (früher für Fernsprechkabel praktiziert, für heutige Übertragungstechniken und -frequenzen nicht mehr anwendbar). 1§ 2© R cC c LcGc 2 LcC c D | ¨ Rc D| Näherungsgleichung für Dämpfungskonstante Z R cC c LcGc (s. Folie 13): 2DZ LcC c | Z R cC c LcGc Glg. Glg. 33 Einsetzen der eben gefundenen Näherungsbeziehung E | Z LcC c in Vereinfachungen: 2) für D Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW Fachgebiet Hochspannungstechnik E | Z LcC c 1 R cGc Z 2LcC c R c2 Z 2Lc 2 Gc2 Z 2C c2 2 1 1 2Z 2LcC c E| Z 2LcC c Z 2Lc 2Z 2C c2 2 2 E Dann können die roten Terme in der Gleichung für E vernachlässigt werden: Häufig sind die Verluste der Leitung sehr gering, bzw. es sind die Induktivitäts- und Kapazitätsbeläge groß gegenüber den Widerstands- und Ableitbelägen: Z Lc R c ; ZC c Gc 2 Z 2Lc 2 Gc2 Z 2C c2 Rc Rc Vereinfachungen: 1) für E E D Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW J Rc Z R cC c LcGc R cGc Z 2LcC c Es ist weiterhin: 2DE D2 E 2 Glg. Glg. 22 Phasenkonstante Zusammenfassen der reellen Anteile und der imaginären Anteile: R cGc jZ LcGc jZC cR c Z 2LcC c R c jZ LcGc jZC c D 2 j 2DE E 2 D j E Quadrieren: Es soll nun nach D und E aufgelöst werden; dazu: Ausbreitungskonstante J Bereits hergeleitet: Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW ZW e jarc( ZW ) R c j Z Lc Gc jZC c 4 2 ETiT II / VL 20 1 2 4 25 R c2 (Z Lc)2 j arctanZL e Gc2 (ZC c)2 2 aus: [C2], S. 24 c R c arctanZC c Gc 2 R c (Z Lc) j arctanZLc RcarctanZCc Gc e Gc2 (ZC c)2 2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ZW Z 2 cosh J l ZW sinh J l Z 2 sinh J l ZW cosh J l Z 2 cosh J l ZW sinh J l Z 2 sinh J l ZW cosh J l ZW coth J l für allgemeine leerlaufende Leitung 27 Fachgebiet Hochspannungstechnik ZW cos E l jsinE l cos E l cosh J l o cosh j E l Z1l j sin E l sinh J l o sinh j E l ETiT II / VL 21 jZW cot E l Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung ZW Z2 cosh J l ZW sinh J l Z2 sinh J l ZW cosh J l 26 ZW ETiT II / VL 20 ZW Z2 cosh J l ZW sinh J l Z2 sinh J l ZW cosh J l 28 ZW sinh J l cosh J l ZW tanh J l für allgemeine kurzgeschlossene Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik ZW j sin E l cosE l cos E l cosh J l o cosh j E l Z1k j sin E l ETiT II / VL 21 jZW tan E l cosh x cos y r j sinh x sin y 2 für verlustlose kurzgeschlossene Leitung cosh x r jy Zur Erinnerung: sinh x r jy sinh x cos y r j cosh x sin y Speziell für die verlustlose Leitung, d.h. D = 0, Jl = jEl, ZW reell Z1k Sonderfall: c) Kurzgeschlossene Leitung: Z2 =0 Z1 Der Eingangswiderstand D Fachgebiet Hochspannungstechnik • falls ZW reell Æ Widerstandsanpassung bewirkt auch eine optimale Leistungsanpassung Æ die ganze verfügbare Leistung wird an den Verbraucher abgegeben. • Der Abschlusswiderstand absorbiert die Welle vollkommen, die Leitung verhält sich wie eine unendlich lange Leitung. Z1 Wellenanpassung Angepasste Leitung Z 2 = 1 1 Jl Für diesen Fall wird: Uh e U2 I 2ZW eJ l U2 U2 U2eJ l 2 2 1 J l 1 J l Ur e U2 I 2ZW e U2 U2 0 2 2 Æ Keine rücklaufende Welle! Sonderfall: a) Leitung mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen: Z2 = ZW Z1 sinh J l o sinh j E l cosh x cos y r j sinh x sin y ETiT II / VL 20 Der Eingangswiderstand D Fachgebiet Hochspannungstechnik Bei Bei der der verlustlosen verlustlosen Leitung Leitung sind sind sowohl sowohl für für die die hinlaufende hinlaufende als als auch auch für für die die rücklaufende rücklaufende Welle Welle an an jedem jedem Ort Ort auf auf der der Leitung Leitung Spannung Spannung und und Strom Strom in in Phase. Phase. cosh x r jy für verlustlose leerlaufende Leitung 1 Lc Cc R c j Z Lc Gc jZC c Mit dieser Vereinfachung kann praktisch immer gerechnet werden bei • Leitungen mit großem Leiterquerschnitt und Luftisolation (Bsp.: Freileitung), • hohen Frequenzen ZW | Für R c Z Lc und Gc ZC c wird aus ZW Vereinfachung für den Wellenwiderstand: Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW Zur Erinnerung: sinh x r jy sinh x cos y r j cosh x sin y Speziell für die verlustlose Leitung, d.h. D = 0, Jl = jEl, ZW reell Z1l cosh J l ZW sinh J l Sonderfall: b) Leerlaufende Leitung: Z2 Æ f Z1 ZW Eingangswiderstand der Leitung Z1 ETiT II / VL 20 Der Eingangswiderstand D Z1 U2 cosh J l I 2ZW sinh J l U2 sinh J l I 2 cosh J l ZW U2 sowie Z 2 U2 Z 2 I 2 I2 Für die Spannungsquelle wirkt die Leitung mit dem Abschlusswiderstand Z2 wie ein komplexer Widerstand der Größe: U1 U1 U2 cosh J l I 2ZW sinh J l Z1 I1 U2 I1 sinh J l I 2 cosh J l ZW Mit den bereits hergeleiteten Leitungsgleichungen: Der Eingangswiderstand D Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 arctanZ Lc R c arctanZC c Gc 2 R c (Z Lc) Gc2 (ZC c)2 arc (ZW ) ZW 2 § R c2 (Z Lc)2 · j arctanZ Lc R c arctanZC c G c e ¨¨ 2 2 ¸ ¸ c c ( ) Z G C © ¹ ZW 1 2 R c (Z Lc) e Gc2 (ZC c)2 e j arctanZCc Gc j arctanZ Lc R c R c j Z Lc Gc jZC c 2 ZW2 2 Bestimmung von Betrag und Winkel von ZW Æ zunächst quadrieren: Übliche Schreibweise: ZW Für den Wellenwiderstand bereits hergeleitet: ZW Die charakteristischen Größen der Leitung - D, E, ZW cot E l Z1k (Leerlauf; verlustlose Leitung) Z1l jZW Z1k jZW tan E l (Kurzschluss; verlustlose Leitung) jZW tan E l Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 21 bzw. l S bzw. l 2 S 2 O 4 O ETiT II / VL 21 Fachgebiet Hochspannungstechnik Parallelresonanz jeweils für l Serienresonanz jeweils für l 2 O k 4 ETiT II / VL 21 k 2k 1 O 7 1,2,3,... 1,2,3,... k Leerlaufende Leitung als Leitungsresonator 5 O nach: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 (die Beziehung für l folgt dabei aus der bereits 2S hergeleiteten Beziehung E ) Der Eingangswiderstand Fachgebiet Hochspannungstechnik El El Besondere Verhältnisse (nämlich jeweils Leerlauf oder Kurzschluss) ergeben sich für 3 Mit Mit einer einer Leitung Leitung veränderbarer veränderbarer Länge Länge können können induktive induktive und und kapazitive kapazitive Blindwiderstände Blindwiderstände beliebiger beliebiger Größe Größe eingestellt eingestellt werden. werden. jZW cot E l Der Eingangswiderstand D Z1l Der Eingangswiderstand D Z AB ZW Z cosh J l ZW sinh J l Z sinh J l ZW cosh J l 2 S bzw. l 4 O Z1l 0 S bzw. l O ETiT II / VL 21 ZW Z 2 cos E l jZW sin E l jZ 2 sin E l ZW cos E l 6 ZW Z2 ( 1) 0 0 ZW ( 1)k Z2 2 k 1,2,3,... bzw. l ist. "O/2-Transformator" 2k 2 S k 2 O (E O 2S !) Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 21 8 Unabhängig von den Leitungseigenschaften erhält man am Eingang der O/2-Leitung wieder den Abschlusswiderstand. D.h.: sind Verbindungsleitungen O/2 lang, so werden die Widerstandsverhältnisse nicht gestört. Z1 k a) geradzahliges Vielfaches: E l S Annahme, dass El ein ganzzahliges Vielfaches von Z1 Verlustlose Leitung: Widerstandstransformation Fachgebiet Hochspannungstechnik • Für eine Leitung gegebener Länge liegen daher nur für bestimmte Frequenzen (abhängig von der Länge) Resonanzbedingungen vor. • Leitungsresonatoren besitzen bessere Eigenschaften als RLC-Schwingkreise. Z1l o f 2 ÆVerhalten wie Parallelresonanzkreis (d.h. Scheinleitwert minimal) Bei E l ÆVerhalten wie Reihenresonanzkreis (d.h. Scheinwiderstand minimal) Bei E l Beispiel: leerlaufende Leitung Ausnutzung bei Leitungsresonatoren 4 Daraus können die Lage der Anschlussstelle (AB) sowie die erforderliche Länge lSL ermittelt werden. ETiT II / VL 21 Der Eingangswiderstand Fachgebiet Hochspannungstechnik lSL Problem: die am Ende einer Leitung angeschlossene Belastung Z soll an den Wellenwiderstand ZW der Leitung angepasst werden. Lösung: Anschluss einer Stichleitung der verstellbaren Länge lSL im Abstand l von der Belastung: l Anpassbedingung: A 1 1 1 ZW ZSL Z AB ZW Z B mit: Z W, SL ZSL jZW ,SL tan E lSL Anwendung in der HF-Technik als Stichleitung ("stub line"): Der Eingangswiderstand D ZW Z2 cos E l jZW sin E l jZ 2 sin E l ZW cos E l ZW2 Z2 2 k O 2S O !) 2k 1 (E 4 (k = 0,1,2,…) 0,1,2,... bzw. l ist. "O/4-Transformator" (2k 1) 2 S ETiT II / VL 21 9 U1l I1l Z1l ZW ZW tanh J l 1 Z1k Z1l 1 Z1k Z1l e e eJ l e J l J l 1 1 Z1k Z1l 2 1 Z1k Z1l Z1k Z1l Jl Z1l Z1k J l = ln tanh2 J l tanh J l = ZW2 Z1k U1k I1k U0 Fachgebiet Hochspannungstechnik U1 Reflexionsfaktor Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 21 ZW , J ETiT II / VL 21 13 nach: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Welle auf sehr langer Leitung 11 Æ Leitungsparameter aus Leerlauf- und Kurzschlussversuch zu ermitteln! e 2J l = Z1k Z1l Z1l Z1k ZW coth J l Nach Umformung: Division: Multiplikation: Bereits hergeleitet: Daraus Berechnung von ZW und Jl folgendermaßen: 2. Schritt: Leitung im Kurzschluss betrieben, Messung von Z1k 1. Schritt: Leitung im Leerlauf betrieben, Messung von Z1l Messtechnische Ermittlung der Leitungsparameter Fachgebiet Hochspannungstechnik Ermöglicht Widerstandstransformation ohne Leistungsverluste: Beispielsweise kann ein Wirkwiderstand Z1 = R1 in jeden anderen Wirkwiderstand Z2 = R2 transformiert werden, wenn der Wellenwiderstand des O/4-Transformators nur zu ZW R1R2 gewählt wird. Z1 0 jZW ( 1)k ZW jZ2 ( 1)k 0 b) ungeradzahliges Vielfaches: E l S Annahme, dass El ein ganzzahliges Vielfaches von Z1 Verlustlose Leitung: Widerstandstransformation ETiT II / VL 21 1 hinlaufende Welle Ur 1 Jl e U2 I 2ZW 2 1 J l e U2 I 2ZW 2 1 2 U1 Fachgebiet Hochspannungstechnik U0 Im allgemeinen Fall jedoch: Reflexionsfaktor Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 21 ZW , J , l ETiT II / VL 21 14 12 U2 nach: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Z2 Bei sehr langer Leitung: Term für Ur vernachlässigbar gegenüber dem für Uh Æ nur noch hinlaufende Welle rücklaufende Welle 10 nach: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 1 sowie: Uh 2 Einsetzen für Ur und Uh: 1 J l 1 U (z ) e U2 I 2ZW eJ z eJ l U2 I 2ZW e J z 2 2 1 1 U I 2ZW e J (l -z ) U2 + I 2ZW eJ (l -z ) 2 2 2 Bereits hergeleitet: U (z) Ur eJ z Uhe J z Reflexionsfaktor Fachgebiet Hochspannungstechnik 2 2 Resümee: Eingangwiderstand, Widerstandstransformation rücklaufende Welle hinlaufende Welle 1 J l 1 e U2 I 2ZW eJ z eJ l U2 I 2ZW e J z 2 2 1 1 U I 2ZW e J (l -z ) U2 + I 2ZW eJ (l -z ) 2 2 2 1 1 U I 2ZW U2 + I 2ZW 2 2 2 U2 I 2 Z2 ETiT II / VL 21 r 15 Z2 ZW Z 2 + ZW r Z 2 ZW Z 2 + ZW Reflexionsfaktor ETiT II / VL 21 1 U + I 2ZW re J (l -z ) eJ (l -z ) 2 2 1 U2 + I 2ZW reJ (l -z) eJ (l-z) ZW 2 I (z ) Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 I e J ( l - z ) eJ ( l - z ) 2 2 U (z ) ETiT II / VL 21 19 I 2ZW sinh J (l - z) I 2 cosh J (l - z) 1 I Z e J ( l - z ) eJ ( l - z ) 2 2 W b) Kurzschluss: U2 = 0, r = -1: 17 sinh x cosh x e x e x 2 e x e x 2 Zur Erinnerung: allgemeiner Fall a) Leerlauf: I2 = 0, r = 1: 1 U (z ) U e J ( l -z ) eJ (l -z ) U2 cosh J (l - z) 2 2 1 U2 I (z ) eJ (l-z) eJ (l-z) UZ 2 sinhJ (l - z) 2 ZW W Vereinfachungen: I (z ) U (z ) Reflexionsfaktor Fachgebiet Hochspannungstechnik c) Kurzgeschlossenes Leitungsende: Z2 = 0 Æ r = -1 Die am Leitungsende eintreffende Welle wird in voller Höhe negativ reflektiert. Die aus der Addition beider Wellen resultierende Spannung ist Null. b) Offenes Leitungsende: Z2 = f Æ r = 1 Die am Leitungsende eintreffende Welle wird in voller Höhe positiv reflektiert. Die resultierende Spannung ergibt sich aus der Addition beider Wellen. Sonderfälle: Reflexionsfaktor Fachgebiet Hochspannungstechnik U2 I2 U2 I 2ZW U2 + I 2ZW Aus Z2 r Verhältnis von rücklaufender zu hinlaufender Welle am Leitungsende: U (l ) Speziell für das Leitungsende (z = l) gilt: U (z ) Reflexionsfaktor Ur Uh U1 ETiT II / VL 21 ZW , J , l 16 U2 Z 2 ZW Z 2 + ZW Ur Uh U (z ) 1 U + I 2ZW re J (l -z ) eJ (l -z ) 2 2 Uh Ur 1 1 U I 2ZW e J (l -z ) U2 + I 2ZW eJ (l -z ) 2 2 2 r U2 I 2ZW U2 + I 2ZW Ur J z Uh J z e e ZW ZW ETiT II / VL 21 I (z ) U2 sinh J (l - z) ZW cos E l j sin E l 2U2 cos E (l - z)cos Z t Fachgebiet Hochspannungstechnik u(z,t ) U (z) U2 cos E (l - z) ETiT II / VL 21 i (z,t ) I (z ) cosh x r jy 2 20 U2 sin E (l - z)sinZt ZW e jZt ^ cos Z t jsinZ t u(t ) Re ^u(t )` Re Zur Erinnerung: 2Ue jZt cosh x cos y r j sinh x sin y Zur Erinnerung: sinh x r jy sinh x cos y r j cosh x sin y U2 j sin E (l - z) ZW Æ für die verlustlose, leerlaufende Leitung: cosh J l o cosh j E l sinh J l o sinh j E l Speziell für die verlustlose Leitung, d.h. D = 0, Jl = jEl, ZW reell U (z) U2 cosh J (l - z) 18 1 U2 + I 2ZW reJ (l -z) eJ (l-z) ZW 2 Soeben hergeleitet für leerlaufende Leitung: Stehende Wellen Fachgebiet Hochspannungstechnik I (z ) I (z ) Zusammenhang zwischen Strom und Spannung wurde bereits hergeleitet: U (z ) ` nach: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Die Leitung verhält sich wie eine unendlich lange Leitung! "Wellenanpassung" Z2 = ZW r Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung, ausgedrückt mit Hilfe von r : Reflexionsfaktor Fachgebiet Hochspannungstechnik U0 Sonderfälle: a) Z2 = ZW Æ r = 0 Æ keine rücklaufende Welle! Reflexionsfaktor I (z ) I 2 cosh J (l - z) cos E l cosh J l o cosh j E l d d Fachgebiet Hochspannungstechnik d Hb H bl HA Cc C Kapazitätsbelag: 21 ETiT II / VL 21 Darstellung aus [S1] • elektrisches Feld eben • magnetisches Feld eben • Randeffekte vernachlässigbar l bd Streifenleitung 2I 2 cos E (l - z)cos Z t I 2 cos E (l - z) ETiT II / VL 21 25 Induktivitätsbelag: Magnetische Spannung durch eingezeichneten Umlauf; Feld außerhalb der Platten dabei vernachlässigbar: I Hb I H b P Ild ) BA P HA P H ld b Pd ) P Ild P ld Lc L b I Ib b Wellenausbreitung soll nicht mit den integralen Größen U und I, sondern mit den Feldgrößen E und H hergeleitet werden: 23 1, 2, 3, 4 ... vier aufeinander folgende Zeitpunkte Kurzschluss Leerlauf u u((z,t z,t)) == ff11((zz)·)·ff22((tt)) Eine Eine Welle Welle heißt heißt stehende stehende Welle Welle,, wenn wenn sie sie durch durch ein ein Produkt Produkt aus aus einer einer nur nur zeitzeitabhängigen abhängigen und und einer einer nur nur ortsabhängigen ortsabhängigen Funktion Funktion beschrieben beschrieben werden werden kann: kann: Streifenleitung, ebene Welle Fachgebiet Hochspannungstechnik Stehende Wellen ETiT II / VL 21 i (z,t ) 2I 2ZW sin E (l - z)sinZt u(z,t ) Fachgebiet Hochspannungstechnik I (z ) I 2ZW j sin E (l - z) U (z ) cosh x cos y r j sinh x sin y Zur Erinnerung: sinh x r jy sinh x cos y r j cosh x sin y cosh x r jy Æ für die verlustlose, kurzgeschlossene Leitung: j sin E l sinh J l o sinh j E l Speziell für die verlustlose Leitung, d.h. D = 0, Jl = jEl, ZW reell I 2ZW sinh J (l - z) 2U2 cos E (l - z)cos Z t u(z,t) = f(z)·f(t) u(z,t) = f(z)·f(t) 2I 2ZW sin E (l - z)sinZt u(z,t) = f(z,t) c) c) Fachgebiet Hochspannungstechnik a) b) a) b) d Hb Lc b Pd U d I b ZW b d Fachgebiet Hochspannungstechnik Lc Cc d P b H PH 1 1, Pr - 0,7 - 1,0 c) c) 1,0 0,7 - 0,7 - 1,0 b) b) 1,0 0,7 - 0,7 - 1,0 a) a) 1,0 0,7 1) Pdb H bd P H E H ETiT II / VL 21 Z F ,Vakuum ZF 26 P0 H0 P H 377 : Feldwellenwiderstand t t t Als Als Funktion Funktion der der Zeit: Zeit: Wesentlicher Unterschied! U E ergibt sich der Wellenwiderstand ZW. Für ?? Æ I H Im Vakuum bzw. in Luft: E H Für den Quotienten Wellenwiderstand: ZW Z E 24 c0 (für H r Resultierende Resultierende stehende stehende Welle Welle Rücklaufende Rücklaufende Welle Welle Z LcC c Z PH Ausbreitungsgeschwindigkeit: v Ausbreitungskonstante: E Cc 22 Hinlaufende Hinlaufende Welle Welle ETiT II / VL 21 z z z Streifenleitung, ebene Welle - 1,0 - 0,7 0,7 1,0 Als Als Funktion Funktion des des Ortes: Ortes: Stehende Wellen ETiT II / VL 21 2C1eD z cos Z t E z 2C2e D z cos Z t E z Fachgebiet Hochspannungstechnik u(z,t ) Vergleich mit dem allgemeinen Fall: u(z,t ) • für die verlustlose, kurzgeschlossene Leitung: u(z,t ) • für die verlustlose, leerlaufende Leitung: Betrachtung der Spannung: Gleiche Betrachtung für kurzgeschlossene Leitung: U (z ) Stehende Wellen Stehende Wellen G JG ez u E für die rücklaufende Welle für die vorlaufende Welle JG r ZF H ETiT II / VL 21 27 ETiT II / VL 22 ZW , J , l 2 U2 nach: H.-G. Unger Elektromagnetische Wellen auf Leitungen Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1980 ISBN 3-7785-0601-3 Z2 u 0 Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 μs 2 μs t 3 μs ETiT II / VL 22 4 μs Zeitabhängigkeit Zeitabhängigkeit an an einem einem festen festen Ort Ort u 0 4 300 m 600 m Ortsabhängigkeit Ortsabhängigkeit zu zu einem einem festen festen Zeitpunkt Zeitpunkt z 900 m 1200 m • Beispiel: Blitzüberspannungswelle auf einer Freileitung (1 μs Stirnzeit; Ausbreitungsgeschwindigkeit v = c0 | 3·108 m/s) • Abhängigkeit der Größen von Zeit und Ort • Änderungen von Spannung und Strom breiten sich als Wanderwellen auf der Leitung aus. • Jeder elektromagnetische Vorgang hat eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Wanderwellen auf Leitungen Fachgebiet Hochspannungstechnik U0 U1 Im allgemeinen Fall bei Speisung mit harmonischen Größen: Wanderwellen auf Leitungen Fachgebiet Hochspannungstechnik (Allgemein bezeichnet man eine Welle als eben, wenn die Flächen gleicher Phase in Ebenen liegen.) Es gilt (hier unbewiesen): Æ Sonderfall einer ebenen Welle • Das elektromagnetische Feld der hin- und rücklaufenden Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. • Der Quotient aus E und H ist gleich dem Feldwellenwiderstand ZF. • Die Feldvektoren liegen in Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Verhältnisse in der luftisolierten Streifenleitung: Streifenleitung, ebene Welle Ur sowie: Uh rücklaufende Welle ETiT II / VL 22 hinlaufende Welle ETiT II / VL 22 3 u 0 1 μs Fachgebiet Hochspannungstechnik 2 μs 3 μs zz == 900 900 m m zz == 300 300 m m zz == 600 600 m m zz == 00 m m t 4 μs ETiT II / VL 22 u 0 5 300 m tt == 22 μs μs tt == 11 μs μs 600 m tt == 33 μs μs 900 m tt == 44 μs μs z 1200 m Wanderwellen auf Leitungen – Welle startet bei t = 0, z = 0 Fachgebiet Hochspannungstechnik Æ Wanderwellenvorgänge auf der Leitung Auch hier breiten sich vorlaufende und rücklaufende Wellen aus, die jedoch nicht zu stehenden Wellen auf der Leitung führen. Æ Betrachtung im Zeitbereich Welche Verhältnisse ergeben sich, wenn die Leitung nicht mit harmonischen Größen gespeist wird, sondern mit transienten Größen (Impulsen)? Frage: Wanderwellen auf Leitungen Fachgebiet Hochspannungstechnik 1 1 Jl e U2 I 2ZW 2 1 J l e U2 I 2ZW 2 Einsetzen für Ur und Uh: 1 J l 1 U (z ) e U2 I 2ZW eJ z eJ l U2 I 2ZW e J z 2 2 1 1 U I 2ZW e J (l -z ) U2 + I 2ZW eJ (l -z ) 2 2 2 U (z ) U r eJ z Uh e J z Bereits hergeleitet für den Fall harmonischer Größen: Wanderwellen auf Leitungen ETiT II / VL 22 6 ETiT II / VL 22 C ' wi wz Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 10 wu nach der Zeit: wt wi nach dem Weg: wt L ' wu wz Ableitung von Ableitung von 8 L ' C ' w 2u wz 2 w 2u wt 2 w 2u wt 2 w 2i wtwz C ' L ' w 2i wtwz w 2u wz 2 "Impulsreflektometrie" Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik • Fehlerortung in Lichtwellenleitern • Fehlerortung in Kabeln/Leitungen • Erzeugung von Rechteckspannungen und -strömen • Erzeugung und Messung von Impulsspannungen • Schutzbereich von Überspannungsableitern (Varistoren) • Ausbreitung von Blitzüberspannungen auf einer Leitung • Einschalten einer „elektrisch langen“ leerlaufenden Leitung Auftreten bzw. Ausnutzen von Wanderwellenvorgängen: Wanderwellen auf Leitungen Fachgebiet Hochspannungstechnik Räumliche Ausdehnung L-H-Übergang CMOS-HC (2,5 ns): 750 mm Räumliche Ausdehnung 3-GHz-Rechteckschwingung (0,333 ns): 100 mm Laufzeit eines Impulses über eine 30 cm lange Leiterbahn: 1 ns 300 m/μs Räumliche Ausdehnung Blitzüberspannungswelle (ca. 100 μs): ca. 30 km Räumliche Ausdehnung Blitzüberspannungs-Stirn (1μs): 300 m Laufzeit über ein Freileitungsspannfeld (300 m): 1 μs Laufzeit über eine 300 km lange Freileitung: 1 ms Ausbreitungsgeschwindigkeit in Luft (İrr = 1, µrr = 1): v = c00 = 300 m/μs Wanderwellenvorgänge immer dann, wenn sich elektrische Zustandsänderungen in einer Zeit abspielen, die in der Größenordnung der Ausbreitungszeit liegt Wanderwellen auf Leitungen ETiT II / VL 22 15 m 30 m 'z 2 'z 2 C c'z Lc 0 0 'z 2 ETiT II / VL 22 Fachgebiet Hochspannungstechnik wi wz wu wz Ableitung von Ableitung von 9 w 2u wzwt ETiT II / VL 22 11 w 2i wz 2 wu w 2i nach dem Weg: wt wz 2 wi nach der Zeit: wt C ' L ' Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik wi (z,t ) wu(z,t ) Cc wz wt wu(z,t ) wi (z,t ) c L wz wt w 2i wt 2 w 2u wzwt w 2i wt 2 L ' C ' C ' L ' 0 0 Ersatzschaltbild eines Leitungselements als T-Glied 5 cm 10 cm 1Periode 3,3-Ghz-Takt bereits hergeleitet: Differentialgleichungen der elektrischen Leitung Rc Zur Vereinfachung: Annahme einer verlustlosen Leitung: wu(z,t ) wi (z,t ) R ci (z,t ) Lc wz wt 'z 2 Gc'z Lc wi (z,t ) wu(z,t ) Gcu(z,t ) C c wz wt Rc 7 1,5 m 3m Flanke t = 10 ns Differentialgleichungen der Leitung Fachgebiet Hochspannungstechnik im Messkabel in Luft Flanke t = 100 ns Räumliche Ausdehnung der Spannung Ausbreitungsgeschwindigkeit in Luft: v = c0 = 300 m/μs Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Messkabel: v = c0/2 = 150 m/μs Beispiel: schnelle Spannungsänderung, z.B. Spannungszusammenbruch Auswirkungen auf Vorgänge im Sub-Mikrosekundenbereich Wanderwellen auf Leitungen L ' C ' w 2u wt 2 w 2i wz 2 w 2i L ' C ' 2 wt ur ir ETiT II / VL 22 12 z z L' C' Wellenwiderstand Z z 1 L 'C ' Ausbreitungsgeschwindigkeit v 1 1 c0 1 v Fachgebiet Hochspannungstechnik Kabel: İr = 2,5 ... 4 Luft: İr = 1,0006 | 1 Wegen µr = 1: PrH r PrH r • nur vom Dielektrikum abhängig! P 0H 0 16 vLuft = c0 = 300 m/μs vKabel = 190 m/μs ... 150 m/μs Hr ETiT II / VL 22 c0 1 Ausbreitungsgeschwindigkeit v ir r z ETiT II / VL 22 13 ir P0 P r d ln r S d ln 1 L 'C ' L' L' C' 1 S d Fachgebiet Hochspannungstechnik Z P0 P r d ln r S r ln 1 PrH r 15 Z L' L' C' b P0 P r d (vgl. ETiT II VL 21) ETiT II / VL 22 17 • vom Dielektrikum abhängig • von der Geometrie abhängig • jedoch keine Ortsabhängigkeit! d r H 0H r S P0 P r d ln r H 0H r C' r P 0H 0 1 r c0 1 PrH r P0 Pr d H 0H r b C' d H 0H r b Permeabilitätskonstante des Vakuums Dielektrizitätskonstante des Vakuums Lichtgeschwindigkeit ETiT II / VL 22 mit µ0 = 4S ·10-7 Vs/Am İ0 = 8,8542·10-12 As/Vm c0 | 300 m/μs Fachgebiet Hochspannungstechnik d r H 0H r S (vgl. ETiT II VL 05) C' Ausbreitungsgeschwindigkeit v (vgl. ETiT II VL 18) L' r Ausbreitungsgeschwindigkeit (bereits hergeleitet) Wanderwellen - Ausbreitungsgesetze Fachgebiet Hochspannungstechnik Zu einer rücklaufenden positiven Spannungswelle gehört eine negative rücklaufende Stromwelle: u z iv uv Zu einer vorlaufenden positiven Spannungswelle gehört eine positive vorlaufende Stromwelle: Wellenwiderstand – 2 Beispiele 1 L 'C ' iv 1 1 f1 ( z vt ) f 2 ( z vt ) Z Z Ausbreitungsgeschwindigkeit 14 ur uv ur i ( z , t ) Wanderwellen - Ausbreitungsgesetze ETiT II / VL 22 uv f1 ( z vt ) f 2 ( z vt ) Spannung und Strom setzen sich jeweils aus einer vorlaufenden und einer rücklaufenden Welle zusammen. u( z, t ) Wanderwellen - Ausbreitungsgesetze Wanderwellen - Ausbreitungsgesetze Fachgebiet Hochspannungstechnik Wanderwellenausbreitung beim plötzlichen Abfließen einer freigewordenen Influenzladung auf einer Freileitung; linke Bildhälfte: zeitliche Entwicklung der Felder; rechte Bildhälfte: Wanderwellen auf der Leitung z z Wanderwellen - Ausbreitungsgesetze iv iv ir uv ur 1 1 f1 ( z vt ) f 2 ( z vt ) Z Z uv f1 ( z vt ) f 2 ( z vt ) Fachgebiet Hochspannungstechnik i ( z, t ) u( z, t ) Allgemeine Lösung von d‘Alembert (1717-1783): Allgemeine Wellengleichungen der verlustlosen Leitung w 2u wz 2 Differentialgleichungen der Leitung iv ir Z | 102 ȍ ... 104 ȍ Transformatorwicklung: 18 i1 Leitung 2 Z2 ETiT II / VL 22 20 u2 = u2v + u2r = u2v i2 = i2v + i2r = i2v u2 u1 = u2 i1 = i2 bu i2v i1v Z1 Z2 bu Z2 bi i1v bu 2 Z1 Z1 Z 2 u1v Fachgebiet Hochspannungstechnik u2v Z2 i2v Z1 Z2 2 Z2 Z1 Z 2 ETiT II / VL 22 22 bi … Strombrechungsfaktor u2v u1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung Fachgebiet Hochspannungstechnik u1 i2 u1v + u1r = u2v i1v + i1r = i2v u1 = u1v + u1r i1 = i1v + i1r Z1 Leitung 1 u1v, i1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung ETiT II / VL 22 bu Z = 300 ȍ Antennenleitung an Dipol: Fachgebiet Hochspannungstechnik Z = 75 ȍ Videokabel: Koax-Messkabel (z.B. RG-58, RG-213): Z = 50 ȍ Z | (250…400) ȍ Z | 40 ȍ Freileitungen (je nach Spgs.-Ebene): Energiekabel: Zahlenwerte: Wellenwiderstand Wanderwellen - Ausbreitungsgesetze iv Leitung 2 Z2 19 i1 = = Leitung 2 Z2 ETiT II / VL 22 u1r = u2v - u1v 21 u1v u1r Z1 Z1 u2 = u2v + u2r = u2v i2 = i2v + i2r = i2v u2 u1 = u2 i1 = i2 u2v Z2 i1 u1r u1v ru Fachgebiet Hochspannungstechnik bu 1 u2v u1v u1r u1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 bu u1v u1v Leitung 2 Z2 u1 = u2 i1 = i2 u2 = u2v + u2r = u2v i2 = i2v + i2r = i2v u2 i2 ETiT II / VL 22 23 bu … Spannungsreflexionsfaktor u1v (bu 1) u1v ru u1v + u1r = u2v i1v + i1r = i2v u1 = u1v + u1r i1 = i1v + i1r Z1 Leitung 1 u1v, i1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung Fachgebiet Hochspannungstechnik u1 i2 u1v + u1r = u2v i1v + i1r = i2v u1 = u1v + u1r i1 = i1v + i1r Z1 Leitung 1 u1v, i1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung ETiT II / VL 22 2 Z2 Z1 Z 2 bu Z1 u2v Z2 u2v u1v bu bu … Spannungsbrechungsfaktor u2v u1v u1v u1r (Es laufen Wellen von der Stoßstelle zurück.) Reflexion Fachgebiet Hochspannungstechnik (Ursprüngliche Wellen laufen mit erhöhter oder in verminderter Höhe weiter.) Brechung uv und iv erfahren an der Stoßstelle eine Veränderung uv = Z1·iv Z1 Leitung 1 uv Wanderwellen - Reflexion und Brechung i1r i1v ri Z1 Z 2 Z1 Z 2 ETiT II / VL 22 bi … Stromreflexionsfaktor i1v (bi 1) i1v ri 24 u2 = u2v + u2r = u2v i2 = i2v + i2r = i2v u2 Leitung 2 Z2 u1 = u2 i1 = i2 i2v i1v bi ETiT II / VL 22 i 26 R u 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsanfang Z1 , W1 Leitung 1 u1v, i1v Z1 R Z1 R ru ri i1r = i1v u1r = – u1v i R u u Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 28 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 i = i1v + i1r = 2·i1v t t Leitungsende u = u1v + u1r = 0 R=0 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v Stromverdopplung am Leitungsende, Spannung Null 1 1 R Z1 R Z1 b) Kurzgeschlossenes Leitungsende 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik Z1 , W1 Leitung 1 u1v, i1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik u1 i2 u1v + u1r = u2v i1v + i1r = i2v bi i1v i1v bi 1 i2v i1v i1r i1 u1 = u1v + u1r i1 = i1v + i1r Z1 Leitung 1 u1v, i1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung i1r i1v u1r u1v bi 1 bu 1 2 Z1 Z1 Z 2 2 Z2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z 2 Z1 Z 2 Z1 bi bu ETiT II / VL 22 25 Stromreflexionsfaktor Spannungsreflexionsfaktor Strombrechungsfaktor Spannungsbrechungsfaktor 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsanfang ri i1r = – i1v u1r = u1v i u Rof R u i = i1v + i1r = 0 ETiT II / VL 22 27 t t 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsanfang Z1 , W1 Leitung 1 u1v, i1v Z1 R Z1 R 0 0 i1r = 0 u1r = 0 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 Weder Brechung noch Reflexion ri ru R Z1 R Z1 c) Abschluss mit Wellenwiderstand 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u i 29 R u 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 i = i1v + i1r = i1v t t Leitungsende u = u1v + u1r = u1v R=Z 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 Leitungsende u = u1v + u1r = 2·u1v 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v Spannungsverdopplung am Leitungsende, Strom Null 1 Z1 R Z1 R ru 1 R Z1 R Z1 Z1 , W1 Leitung 1 u1v, i1v a) Offenes Leitungsende 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik ri ru i2v i1v u2v u1v Wanderwellen - Reflexion und Brechung ETiT II / VL 22 30 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsanfang Z1 , W1 Leitung 1 u1v, i1v 0...1 Z1 R Z1 R ru ri i1r = 0…i1v u1r = 0…-u1v i u 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 ETiT II / VL 22 32 1·W1 2·W1 t Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 g) Induktivität am Leitungsende 0 1·i1v 2·i1v i L 2 i1v 1 e tL Z1 i (t ) 34 2 u1v e tL Z1 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsende u(t ) Z von f o 0 0 1·i1v 2·i1v i 0 t 0 1·W1 2·W1 1·u1v 1·u1v u 2·u1v Leitungsanfang 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik t t Leitungsende u = u1v + u1r = 0…u1v 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v i = i1v + i1r = 1…2·i1v 0dRdZ R u 2·u1v Spannungsreduzierung und Stromerhöhung am Leitungsende 0... 1 R Z1 R Z1 e) Widerstand am Leitungsende 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik Kurzschluss offenes Ende Abschluss R = Z Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsanfang Z1 , W1 Leitung 1 u1v, i1v Z1 R Z1 R ru ri 0... 1 0...1 i1r = 0…– i1v u1r = 0…u1v i u 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 i = i1v + i1r = 0…i1v ETiT II / VL 22 31 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 t t Leitungsanfang ETiT II / VL 22 33 i (t ) u(t ) 1·W1 2·W1 1·W1 2·W1 2 i1v e t Z1C t t Leitungsende 2 u1v 1 e t Z1C 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v Z von 0 o f C u 2·u1v Fachgebiet Hochspannungstechnik 2·uv Z1 Wellenersatzschaltbild R ETiT II / VL 22 L C 35 2·uv u Z1 2·iv ik = 2·uv/Z1 = 2·iv i Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik f) Kondensator am Leitungsende 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende Fachgebiet Hochspannungstechnik t t Leitungsende u = u1v + u1r = 1…2·u1v ZdRdf R u 2·u1v Spannungserhöhung und Stromreduzierung am Leitungsende R Z1 R Z1 d) Widerstand am Leitungsende 0 1·i1v 2·i1v i 0 1·u1v 2·u1v u Wanderwellen - Reflexion und Brechung am Leitungsende 4W 2W 22 ETiT II / VL 22 36 seenn Acchhs eitit--A ts--ZZe O Orrts O Orrts ts--ZZeeit it--A Acchhsse enn 3W W Ortsachse Ortsachse Zeitachse am Ort Ort "B" "B" Zeitachse am 33 ETiT II / VL 22 38 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 40 Berechnung von WW-Vorgängen – Bewley-Diagramm Fachgebiet Hochspannungstechnik Berechnung von WW-Vorgängen – Bewley-Diagramm Fachgebiet Hochspannungstechnik Zeitachse Zeitachse am am Ort Ort "A" "A" Einlaufende Einlaufende Spannungswelle Spannungswelle 11 ReflexionsReflexions- und und Brechungsfaktoren Brechungsfaktoren Berechnung von WW-Vorgängen – Bewley-Diagramm ETiT II / VL 22 37 ETiT II / VL 22 39 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 41 Berechnung von WW-Vorgängen – Bewley-Diagramm Fachgebiet Hochspannungstechnik Berechnung von WW-Vorgängen – Bewley-Diagramm Fachgebiet Hochspannungstechnik Berechnung von WW-Vorgängen – Bewley-Diagramm Z1 Z 2 Z1 Z 2 42 Z3 Z 2 Z3 Z 2 0 0,5 1 1,5 2 0 u1 2 4 ETiT II / VL 22 T = 4W 6 44 t/W 8 Leitung mit Wellenwiderstand Z und Laufzeit W 10 u1 u2 u2 I Fachgebiet Hochspannungstechnik e Ucharg e Ucharg U ETiT II / VL 22 t=0 Z, W Z, W 46 Rdut = Z Rdut = Z Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN Fachgebiet Hochspannungstechnik Ri<<Z f Z2 | 1 f Z2 u2 8W 10W Fachgebiet Hochspannungstechnik U0 0 0 0 U0 – U0 + U0 U0 – (U - U ETiT II / VL 22 + U0 – U ) 0 - U0 0 43 U 0 – U 0 + U0 - U0 U0 - U0 U0 – U0 + U0 U0 – U + U 0 0 - U0 + U 0 0 U 0 - U 0 + U0 U0 – U + U -U 0 0 U0 - U + U 0 U0 – U0 U0 – U0 U0 – (U - U 0 0) U - U 0 + U0 U0 – U 0 Uo U0 U0 – U 0 U0 U0 r23 1 Leitung mit Wellenwiderstand Z und Laufzeit W r21 1 6W U 0 – (U0 - U + U 0 0) 4W U0 U0 2W 0 U0 U0 u1 9W 7W 5W 3W 1W u2 0 2U0 0 2U0 0 2U0 Z PFN mit Impulslaufzeit W Kabel mit Impulslaufzeit W R=Z R=Z ETiT II / VL 22 45 I Fachgebiet Hochspannungstechnik e Ucharg e Ucharg U ETiT II / VL 22 t>0 Z, W Z, W 47 Rdut = Z Iv = I0/2Z Rdut = Z Uv = U0/2 Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN Fachgebiet Hochspannungstechnik Erzeugung rechteckförmiger Spannungen und Ströme im Mikro- und Millisekundenbereich: Æ Strom- und Spannungsrechteckimpuls mit T = 2W R >> Z R >> Z • Kabelpulser • PFN (= pulse forming network) Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN t Wanderwellen - Entstehung von Schwingungen ETiT II / VL 22 r23 Leitung mit Wellenwiderstand Z und Laufzeit W Ri Z 2 | 1 Ri Z 2 u1 Ri<<Z Wanderwellen - Entstehung von Schwingungen t u/u0 u1 Fachgebiet Hochspannungstechnik r21 Ri<<Z Wanderwellen - Entstehung von Schwingungen u2 ETiT II / VL 22 t=W Z, W 48 Rdut = Z Iv = I0/2Z Rdut = Z I ETiT II / VL 22 t = 2W Z, W Z, W 50 Rdut = Z Iv = I0/2Z Rdut = Z Uv = U0/2 Fachgebiet Hochspannungstechnik ETiT II / VL 22 52 Wanderwellenvorgänge – erstes Oszillogramm einer WW Fachgebiet Hochspannungstechnik e Ucharg e Ucharg U Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN Fachgebiet Hochspannungstechnik e Ucharg I Ucharg e Z, W I ETiT II / VL 22 t>W Z, W 49 Rdut = Z Iv = I0/2Z Rdut = Z Fachgebiet Hochspannungstechnik 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 ETiT II / VL 22 t [ms] 51 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN Fachgebiet Hochspannungstechnik e Ucharg e Ucharg Z, W Uv = U0/2 U Uv = U0/2 U [kV] U Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN Wanderwellen – Entladung eines Kabels oder eines PFN I [kA]
