Physik 4, Teil 2 - Nanoelectronics

2.1
2
2.2
Wellenoptik
A) ‘klassische’ Optik:
‘moderne’ Optik:
B)
2 WELLENOPTIK
z.B. Elektron
‘klassisch’
Wellenoptik nach Maxwell
Quantisiertes Feld und
quantisierte Feld-Materie Wechselwirkung =⇒
Teilchenaspekt
Teilchenaspekt gemäss Newton
‘modern’
Wellenphänomene gemäss Quantentheorie
Schrödinger-/Dirac-Gleichung =⇒
d.h. Interferenz
Fig 2.1 Ebene Welle mit zwei Wellenfronten.
~ ·D
~ = ρ
∇
Interferenzphänomen ist ‘klassisch’ für Licht und ‘modern’ für
Materieteilchen (historisch bedingt).
Beachte: Feldgleichungen sind linear ⇒ kann komplex gerechnet
werden. Physikalisch sind aber nur der Real und der Imaginärteil.
Beispiel: Ebene Welle (Fig. 2.1):
Re{exp(i(~k · ~x − ωt))} = cos(~k · ~x − ωt)
~ ∧H
~ = ~j + ∂ D
~
∇
∂t
Für Dielektrikum linear, isotrop, homogen:
~ = ²E
~ , wobei ² := ²0 ²r
D
~ = µH
~ , wobei µ = µ0
B
Keine freien Ladungen: ρ = 0 und ~j = 0 ⇒ Wellengleichung:
2.1
Elektrodynamik, Maxwell’schen Gleichungen


∆
− µ²
∂2  ~
E=0
∂t2
Maxwell’schen Gleichungen:
~ ·B
~ = 0
∇
~ ∧E
~ = −∂B
~
∇
∂t
Harmonischer Ansatz in der Zeit (folgt aus Separationsansatz):
~ x, t) = E
~ ω (~x)e−iωt
E(~
=⇒
2 WELLENOPTIK
2.3

Ã
∆
+
! 
ω 2 ~
Eω
c
= 0
In R3 ist die ebene Welle exp(i(~k · ~x − ωt)) eine Lösung dieser
Differentialgleichung (Helmholtz-Gleichung). Weiterhin folgen die
wichtigen Eigenschaften (nur für lineare, isotrope und homogene
Dielektrika):
2 WELLENOPTIK
2.4
~ H,
~ ~k} zu jeder Zeit ein orthoWir sehen also, dass die Vektoren {E,
gonales Tripel bilden (sie stehen alle senkrecht aufeinander) Fig. 2.2.
Z ist das Verhältnis der elektrischen zur magnetischen Feldstärke und
heisst deshalb Wellen-Impedanz. Für das Vakuum ist Z = 377 Ω.
Wichtig ist folgendes: Die Polarisation des Lichtes wird mit der elek~ Die Polarisation
trischen Polarisierbarkeit verknüpft, also mit E.
gibt also eine Richtung an, nämlich die, in der das elektrische Feld
schwingt. ‘Freie’ Wellen sind transversal polarisiert!
ω
|~k| =
c
1
c0
c0
c = √
= √ =
²µ
²r
n
Wir betrachten die ebene Welle noch etwas genauer. Eine Lösung der
Maxwell’schen Gleichungen für ein homogenes, isotropes und lineares
Dielektrikum ist von der Form:
Fig 2.2 Richtung der Feldstärken in bezug zur Ausbreitung einer ebenen Welle.
~ x, t) = E
~ 0 ei(~k·~x−ωt)
E(~
~ 0 ist noch frei wählbar. Aus ∇
~ ·D
~ = 0 folgt jedoch:
Die Konstante E
~ 0 · ~k = 0
E
⇒
transversale Polarisation
~
~ ∧E
~ = −∂t B:
Weiter folgt z.B. aus der Gleichung ∇
~ =
H
~ =
E
Z =
 



 ~

k

~
 ∧E
Z −1 

 k


 

~k 


~ ∧
 
Z H


k 
s
µ
²
resp.
wobei:
Licht ist also eine Form von elektromagnetischen Wellen und damit
nichts anderes als Radiowellen. Der Wellenlängenbereich läuft von
1 km bis zu < 10−14 m für Gammastrahlen, Fig. 2.3.
Energiesatz
Mit Hilfe der Identität
~ · (E
~ ∧ H)
~ =H
~ ·∇
~ ∧E
~ −E
~ ·∇
~ ∧H
~
∇
kann man leicht die folgende Gleichung aus den Maxwell’schen herleiten:
Ã
!
~ ·B
~˙ + E
~ ·D
~˙ + E
~ · ~j + div(E
~ ∧ H)
~ =0
H
2 WELLENOPTIK
2.5
Für lineare Dielektrika folgt daraus:
!
Ã
∂ 1 ~2 1 ~ 2
~ · ~jtotal + div S
~=0
² E + µH + E
∂t 2
2
Dies ist der Energieerhaltungssatz. Der erste Term entspricht der
inneren Energiedichte des elektromagnetischen Feldes. Der zweite der
Arbeit, die pro Zeiteinheit und Volumen am Material geleistet wird.
Hierin ist ~jtotal die totale ellektrische Stromdichte:
~ +∇
~ ∧M
~ + ∂ P~
~jtotal = σ E
∂t
~ ist die Magnetisierung und P~ = D
~ − ²0 E
~ die elektri~ = B/µ
~ 0−H
(M
sche Polarisierung).
Der letzte Term des obigen Energieerhaltungssatzes entspricht der Energie, die aus dem betrachteten Volumenelement ‘wegfliesst’. Der Vektor
~ := E
~ ∧H
~
S
heisst Poynting-Vektor und bezeichnet die Feldenergieflussdichte. Be~ ist nicht eindeutig definiert, nur die Divergenz davon ist
achte: S
~
physikalisch bedeutungsvoll. In einem statischen gekreuzten Feld (E
~
senkrecht H), das den gesamten Raum ausfüllt würde dauernd Energie
hindurchtransportiert (ziemlich unsinnig).
Wie sieht nun die Energieflussdichte einer ebenen Welle im Vakuum
aus? Wir benötigen die (physikalischen) Felder, d.h. Real- oder Imaginärteil der komplexen Welle:
µ
¶2
~ = Re(E)
~ ∧ Re(H)
~ = ~e Re(E)
~
S
/Z0 ,
~e := ~k/k
Für den zeitlichen Mittelwert h. . .i ergibt sich:
~ = ~e {c hwF i} ,
hSi
1 ~ 2
wobei hwF i = ²|E
0|
2
2 WELLENOPTIK
2.6
wF ist die Feldenergiedichte. Also: der Energiefluss entspricht der
Energiedichte multipliziert mit der Geschwindigkeit c. Wichtig ist
folgendes: Die Energie von ‘Licht’ ist quadratisch von den Feldern
abhängig!
2 WELLENOPTIK
2.7
2 WELLENOPTIK
2.2
2.8
Lichtintensität (was wird gemessen)
Eine Photoplatte wird nicht durch das elektrische Feld direkt geschwärzt. Das Feld oszilliert im sichtbaren auch viel zu schnell, und
im zeitlichen Mittel ist die Felderregung null.
Beim optischen Messprozess wird dem Lichtfeld Energie entnommen.
Die Detektion von Licht ist daher zum Quadrat der elektrischen Feldstärke proportional. Es findet in einem gewissen Sinn eine Gleichrichtung sowie eine Mittelung über die Zeit statt. Intensität I:
I(~x, t) :=
~
E(t)
=
Z ∞
−∞
1
T
Z t+T /2
t−T /2
f~(ω)e−iωt dω
~ 2 (~x, t0 )dt0
E
(f~(−ω) = f~ ? (ω))
~ + für den positiven und E
~ − für den negativen FrequenzDefiniere E
anteil:
E + (t) :=
E − (t) :=
E(t) =
Z ∞
0
Z 0
f (ω)e−iωt dω
−∞
1³
2
f (ω)e−iωt dω =
´
E + (t) + E − (t)
Z ∞
0
³
f ? (ω)eiωt dω = E +
´?
→ E(t) = Re(E + )/2
Für Licht, das nicht zu ‘breitbandig’ ist, erhalten wir nun:
hE 2 i = h(E + )2 + (E − )2 + 2(E + )(E − )i = 2h|E + |2 i
Fig 2.3 Das elektromagnetisch Spektrum.
~ + (~x, t) · E
~ − (~x, t)i = 2
I(~x, t) = 2hE
Z ∞
0
dω|f (ω)|2
⇒
2 WELLENOPTIK
2.9
~ 0 , so dass: I = 1 |E
~ 0 |2 .
Für die ebene Welle ist f~ = 12 δ(ω − ω0 t)e−iω0 t E
2
Angenommen wir haben eine Kugelwelle, ⇒ E ∝ 1/r, so dass I ∝
1/r2 . In der klassischen Optik kann das Licht beliebig ‘verdünnt’ werden, d.h. ein Detektor kann klassisch eine beliebig kleine Energie
absorbieren!
In der Teilchen-Optik ist das anders: Die Anzahl Teilchen, die pro
Volumen und Zeit absorbiert werden können, nimmt im Mittel zwar
in analoger Weise ab. Die Energie jedes einzelnen Absorptionsaktes
bleibt aber erhalten. Weit von der Quelle entfernt passiert eigentlich meistens nichts (im klassischen Fall wird hingegen kontinuierlich
Energie angesammelt) bis einmal zufällig ein Teilchen auf den Detektor fällt und so die gesamte Energie abgibt. Im Teilchen-Bild ist
der Messprozess einem Alles-oder-Nichts-Prinzip unterworfen.
Spektrale Zerlegung von emittiertem Licht
Wir wissen, dass ‘angeregte’ Atome Licht aussenden. Ausserdem
zeigt die Elektrodynamik, dass elektromagnetische Wellen durch beschleunigte Ladungen entstehen (Hertz’scher Dipol). Da die Grösse
der Frequenz für die Physik irrelevant ist, können wir uns die Lichtemission der Atome als Folge eines oszillierenden Dipols vorstellen
(wie eine Hertz’scher Dipol, resp. wie eine Radioantenne). Das Atom
verhält sich demnach wie ein elektrischer Oszillator, dessen Resonanzfrequenz ω0 der Lichtfrequenz entspricht. Wir treiben die Analogie
noch etwas weiter und betrachten den Schaltkreis in der Abb. 2.4.
Dieser Schwingkreis ist ein harmonischer Oszillator, der unserem Atom
entsprechen soll. Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 die gesamte
Energie im Kondensator steckt. Für die Spannung U (t) über dem
Kondensator folgt (Güte Q À 1):
U (t) ∝ cos(ω0 t)e−ω0 t/2Q , wobei: ω0 := √
1
, Q := R/(Lω0 )
LC
2 WELLENOPTIK
2.10
Wir erhalten eine gedämpfte harmonische Schwingung wie sie in der
Abb. 2.4. gezeichnet ist.
Fig 2.4 Elektrischer Parallelschwingkreis.
Die Schwingung können wir nun auch im Fourier-Raum darstellen.
Die Strahlung besitzt eine sog. Lorentz’sche-Frequenzverteilung:
U (t) = U0 e−iω0 t−κt/2 =
|f (ω)|2 =
Z ∞
(κ/2)2
0
f (ω)e−iωt dω
⇒
U02
+ (ω − ω0 )2
Die Halbwertsbreite ∆ω dieser Verteilung entspricht der ‘inversen
Zerfallszeit’ κ der Intensität:
∆ω0 = κ = ω0 /Q
Für die zeitliche Dauer der Intensität des Wellenzuges schreiben wir
∆t := κ−1 ⇒ ∆ω∆t = 1. Allgemein gilt:
∆ω∆t ≈ 1
Wir können uns Licht aus einem Ensemble von Oszillatoren erzeugt
denken, die unabhängig voneinander emittieren. Falls die Oszillatoren
2 WELLENOPTIK
2.11
alle dieselbe Frequenz aufweisen ist die Frequenzunschärfe durch die
mittlere ‘Lebensdauer’ ∆t über obige ‘Unschärferelation’ verknüpft.
Angenommen die Oszillatoren haben alle verschiedene Eigenfrequenzen, dann kann ∆ω natürlich viel grösser sein als 1/∆t. Die Unschärferelation
2 WELLENOPTIK
2.12
Elektrodynamik zeigt, dass für Berandungen, die aus idealen Metallen bestehen, die Transversalkomponenten der elektrischen Feldstärke
verschwinden. Sinngemäss verwendet man in der skalaren Wellenoptik
dann die Randbedingung u = 0.
Die skalare Wellenoptik ist eine Näherung, die jedoch im Fernfeld im
allgemeinen zu guten Resultaten führt.
Für die Intensität
∆ω∆t ≈ 1
I =
1
2T
Z t+T
t−T
{Re(u(~x, t0 ))} dt0
2
einer monochromatischen Welle u(~x, t) = u0 (~x)exp(−iω0 t) ergibt sich:
muss dann anders gedeutet werden:
∆t entspricht der Mindestzeitdauer, um die Frequenz eines
Wellenfeld mit einer Genauigkeit von ∆ω zu messen.
Ein Monochromator hoher Güte kann aus Licht einer
Lampe sehr schmalbandiges (quasi-monochromatisches)
zeugen (natürlich mit viel kleinerer Intensität). Folgerung:
dem einfallenden und austretenden Licht besteht im Mittel
verzögerung von mindestens 1/∆ω!
normalen
Licht erZwischen
eine Zeit-
I =
1
|u0 (~x)|2
2
Beispiele einiger besonderer Wellentypen:
A) Ebene Welle:
~
u(~x, t) = u0 ei(k·~x−ωt)
2.3
Skalare Wellenoptik
B) Quergedämpfte Welle:
Zur Vereinfachung verwendet man anstelle des Vektorfeldes ein (kom~ + entspricht.
plexes) skalares Feld u(~x, t), das dem elektrischen Feld E
Für eine monochromatische Welle schreiben wir u(~x, ω) . u soll Lösung
der Helmholtz-Gleichung sein:
[∆ + (ω/c)2 ]u(~x, ω) = 0
½
Sei kx2 + ky2 > k 2 = (ω/c)2 , ⇒ als Lösung in der Halbebene z > 0:
r
kz := i kx2 + ky2 − k 2
~ 0 ·~x−ωt)
u(~x, t) = u0 ei(k
¾
2m
(Analogie zur Schrödinger-Gleichung: ∆ + h̄2 (E−V
ψ = 0). Nun
(~x))
sind natürlich keine Aussagen über die Polarisation mehr möglich. Die
· e−z
√
k 02 −k 2
⇒
mit ~k 0 = (kx , ky , 0)
Die Flächen konstanter Phase stehen senkrecht auf ~k 0 , d.h. senkrecht
zur xy-Ebene, Abb. 2.5.
2 WELLENOPTIK
2.13
2 WELLENOPTIK
2.14
C) Multipolstrahlung:
Wie in der Atomphysik (Wasserstoffatom). Ersetze den Laplaceoperator durch:
~2
1
L
∆ = ∂r2 r − 2
r
r
Ansatz für die Wellenfunktion (konstante Frequenz ω):
1
f (r)Yl,m (ϑ, ϕ)
r
Aus der Helmholtz-Gleichung erhalten wir nun eine Differentialgleichung für die Radialfunktion f (r):
u(~x) =

00
f (r) +
k 2

l(l + 1) 
−
f (r) = 0
r2
Monopol-Welle (l=0)
Fig 2.5 Quergedämpfte Welle. Die Amplitude nimmt exponentiell
mit z ab. Die Phasengeschwindigkeit vφ = ω/k 0 > ω/k = c.
Quergedämpfte Wellen (auch evaneszente Wellen genannt) treten z.B.
bei der Totalreflexion auf (n2 < n1 ). Im zeitlichen Mittel fliesst keine
Energie in das optisch dünnere Medium (die Wellen sind longitudional
polarisiert). Angenommen eine Welle fällt aus dem Medium 1 unter
einem Winkel α auf die Grenzfläche z = 0 zum Medium 2. Aus der
Translationsinvarianz entlang der Richtungen x, y folgt, dass kx und
ky an der Grenzfläche erhalten sind. Sei ky = 0. Es folgt nun:
2π
k1,x = sin(α)k1 = k2,x > k2 =
n2 ⇒
λ0
sin(α) >
n2
< 1
n1
ul=0 (~x, t) =
a
exp(−i(ωt ∓ kr)) Kugelwelle
kr
Dipol-Welle (l=1)
~ vertauscht mit ∆. Deshalb ist mit ul=0 auch ∇u
~ l=0
Der Operator ∇
Lösung der Helmholtz-Gleichung. Diese Lösung transformiert sich wie
ein Vektor und gehört deshalb zu l = 1. Im Fernfeld ergibt sich für
∂z ul=0 = ul=1,m=0 :
ul=1,m=0 =
b
cos(ϑ) e−i(ωt∓kr)
kr
2 WELLENOPTIK
2.15
Geometrische Optik (λ → 0)
2 WELLENOPTIK
2.16
Lokal sind die Wellen eben, denn es gilt in erster Näherung:
~
u(~x + δ~x) = A(~x)ei(S(~x)+k·δ~x)
Ansatz für die Helmholtz-Gleichung:
u(~x) := A(~x) eiS(~x)
Falls λ → 0, d.h. genauer ∆A/A ¿ (2π/λ)2 , folgt die sogenante
Eikonalgleichung:
µ
~
∇S
¶2
Ã
= k2 =
ω
c
!2
Zudem erhalten wir aus der Helmholtz-Gleichung für die Amplitude
A(~x) einen Erhaltungssatz (‘Stromerhaltung’):
div ( |A|2 ~k) = 0
Die beiden Gleichungen (Eikonalgleichung und der Erhaltungssatz)
sind vollständig analog zum klassischen Grenzfall der SchrödingerGleichung für eine stationäre Lösung konstanter Energie E. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung geht mit dem Ansatz
Ψ := A(~x)eiS(~x)/h̄
im Grenzfall h̄ → 0 über in die folgenden zwei Gleichungen:
µ
~
∇S
¶2
= 2m(E − V (~x))
und
~ · ~j = 0 mit ~j := 1 |A|2 ∇S
~
∇
m
~ = ~k und ‘geometrische’
Formale Analogie! Geometrische Optik: ∇S
~
Quantenmechanik ∇S = p~. Diese Analogie legt einem die de Broglie
Beziehung p = h̄k = h/λ nahe!
In der klassischen Mechanik gilt ein Variationsprinzip für Bewegungsbahnen zur konstanten Energie E:
δ
Z 2q
E − V (~x)ds = 0
1
Fig 2.6 Phasenflächen und die Lichtstrahlen.
Daraus ergibt sich sofort das Prinzip von Fermat für Lichtstrahlen.
Ist der Brechungsindex bekannt, so kann man die Flächen konstanter
Phase S = const berechnen. Die Lichtstrahlen sind die Orthogonal~ senkrecht auf den
trajektorien zu diesen Flächen (Fig. 2.6). Da ∇S
Phasenflächen steht, ergibt sich der ortsabhängige Wellenvektor zu:
~k = ∇S(~
~ x)
Z
δ
n(~x)ds = 0
2 WELLENOPTIK
2.17
Einfache Herleitung:
I
2 WELLENOPTIK
2.18
Aus diesem Prinzip ergibt sich das Phänomen der Brechung.
~ = 0 ,
∇S
da rot grad S = 0
Betrachte die Figur 2.7.
Zwei Beispiele, Fig. 2.8 und 2.9:
Fig 2.7 Zwei Wege γ1 und γ2 von 1 nach 2. γ1 läuft entlang eines
Lichstrahls.
Z
γ1
Analogie Optik, Mechanik:
~ · d~s +
∇S
Z
−γ2
~ · d~s = 0
∇S
~ und: ~k · d~s = kds für den Weg γ1 , jedoch ~k · d~s ≤ kds
Es gilt ~k = ∇S
für den Weg γ2 .
Z
Z
k ds ≤
k ds ⇒
γ1
γ2
R
Die totale Phasenänderung k ds ist ein Minimum für Kurven, die
Lichtstrahlen entsprechen. Im allgemeinen ist dieses Integral extremal
(es kann auch maximal sein); ⇒
Z
δ
γ
n ds = 0
Fig 2.8 Brechung der Strahlen optisch (links) und für Materieteilchen
(rechts). Gedämpfte Wellen erhält man im Falle eines komplexen
Brechungsindex, resp. falls E < V (z) (z.B. beim Tunneln).
2 WELLENOPTIK
2.19
2 WELLENOPTIK
2.4
2.20
Interferenz, A) Zweistrahlinterferenz
u(~x, t) = (u1 (~x) + u2 (~x)) eiωt ⇒
1
I(~x) =
|u1 (~x) + u2 (~x)|2 =
2
o
1n 2
=
|u1 | + |u2 |2 + 2|u1 | |u2 |cos(ϕ1 − ϕ2 )
2
Hierin ist ϕj die Phase der komplexen Amplitude uj (~x) am Orte ~x.
∆ϕ := ϕ1 − ϕ2 ist die Phasendifferenz. Wir erhalten also konstruktive
Interferenz (Verstärkung), falls ∆ϕ ∈ 2πZ.
Die Flächen
{~x|∆ϕ(~x) = 2π · m mit m ∈ Z}
definieren das Interferenzmuster.
Fig 2.9 Elektronoptische Einzellinse (diese Linse fokusiert immer).
Licht (Helmholtz)
(∆ + k 2 )u = 0
p = h̄k
u = Aexp(iS(~x))
~ = ~k
∇S
~
~j = |A|2 ∇S
~
div(j) = 0
R
δ kds = 0
Quantenmechanik (Schrödiger)
n
o
∆ + 2m(E − V )/h̄2 Ψ = 0
p = h̄k
Ψ = Aexp(iS(~x)/h̄)
~ = p~
∇S
~
~j = 1 |A|2 ∇S
m
~
div(qj) = 0
R
δ
E − V (~x)ds = 0
Beispiele für zwei ebene Wellen:
ϕ1 (~x) = ~k1 · ~x + α1
ϕ2 (~x) = ~k2 · ~x + α2
Die Modulation der Intensität ist proportional zu:
∝ cos((~k1 − ~k2 ) · ~x + (α1 − α2 ))
Die Flächen konstanter Intensität stehen senkrecht auf ~k1 − ~k2 , und
der Abstand benachbarter Intensitätsmaxima d ist gegeben durch
(Fig. 2.10, 2.11):
2π
d =
~
|k1 − ~k2 |
Spezialfall der stehenden Welle:
~
u1 = u0 ei(k·~x+α1 )
~
u2 = u0 ei(−k·~x+α2 )
2 WELLENOPTIK
2.21
2 WELLENOPTIK
2.22
Fig 2.10 Zweistrahl-Interferenzanordnung.
½
D
¾
I(~x) = u20 1 + cos(2~k · ~x + α1 − α2 )
Der Abstand zweier Intensitätsmaxima ist d = π/k = λ/2. Allgemein:
d ≥ λ/2.
Reflektierte Welle:
o.E.d.A. sei u0 ∈ R. Die einfallende Welle u0 exp(i~k1 · ~x) werde an der
Fig 2.12 Zur Reflektion an einer Ebene.
Ebene z = 0 ideal reflektiert (Fig. 2.12). Für einen idealen Spiegel
~ = 0 (die Transversalkomponente
folgt aus der Elektrodynamik: ~ez · E
der elektrischen Feldstärke verschwindet). In der skalaren Wellenoptik
setzen wir entsprechend u = 0 am Rand. Damit für das Gesamtwellenfeld u(x, y, 0) = 0 erfüllt ist, erleidet die reflektierte Welle einen
‘Phasensprung’ von π, also:
µ
~
~
u(~x, t) = u0 e−iωt eik1 ·~x − eik2 ·~x
−i(ωt−(~k1 +~k2 )·~x/2)
= 2iu0 e
Fig 2.11 Interferenzfeld zweier ebener Wellen.
¶
Ã
!
1
sin ~x · (~k1 − ~k2 )
2
⇒: Die Intensität der Welle oszilliert im Ortsraum. Die Flächen konstanter Intensität liegen parallel zur Spiegelfläche. Neben dieser Modulation besteht zudem ein zeitliche Oszillation, die einer Propagation
der Welle entlang der Ebene entspricht: exp(−i(ωt − (~k1 + ~k2 ) · ~x/2)).
2 WELLENOPTIK
2.23
2 WELLENOPTIK
2.24
Die Phasengeschwindigkeit vϕ ist gegeben durch (Fig. 2.12):
vϕ =
ω
c
=
≥c
ksin(α) sin(α)
Einfluss der Polarisation bei der Zweistrahlinterferenz:
I(~x) =
1 ~? ~
E ·E
2
~ := E
~1 + E
~2
E
Falls die zwei Teilstrahlen unterschiedliche (orthogonale) Polarisation
~ 2 , kann es natürlich keine Inter~ 1 orthogonal zu E
aufweisen, d.h. E
ferenz geben:
¶
µ
~2 = 0
~? · E
Interferenz ∝ Re E
1
Sichtbarkeit der Interferenzstreifen auf einem Schirm, Kohärenz
Fig 2.13 Interferenz durch zwei Teilstrahlen em einer Lichquelle.
Betrachten Sie die Fig. 2.13.
Auf dem Beobachtungsschirm erhalten wir eine regelmässige Anordnung von Linien maximaler Intensität. Der Abstand dieser Linien ist
d = λ/(2sin(α)). Im Zentrum des Schirms (Punkt 1) erhalten wir
immer konstruktive Interferenz, weil aus Symmetriegründen der Weg
für die beiden Lichtwege genau gleich lang ist. Der zweite Streifen
(in der Figur der Punkt 2) liefert wiederum ein Intensitätsmaximum,
denn die Modulation ist von der Form:
1 + cos((~k1 − ~k2 ) · ~x) ,
(∆α := α1 − α2 = 0)
Wichtig ist nun folgendes: Für dieses zweite Maximum besteht ein
Unterschied in der Weglänge der beiden Lichtpfade. Dieser Unterschied ist gerade λ. Allgemein nimmt der Gangunterschied für jede
zusätzliche Interferenzlinie um λ zu. Anders ausgedrückt: Zwischen
den Teilstrahlen, die Anlass zur n-ten Interferenzlinie geben, besteht
eine zeitliche Verzögerung von n2π/ω.
Die Anzahl der Linien, die sichtbar sind, ist ein Mass für die
(zeitliche) Kohärenz der Lichtquelle. Das Wellenfeld ist 100%-kohärent (eigentlich zeitlich kohärent), falls im Prinzip Interferenzstreifen beliebiger Ordnung sichtbar sein können. Da wir es nur mit
einer Lichtquelle zu tun haben, gilt für die Modulation des Interferenzfeldes:
cos((~k1 − ~k2 ) · ~x + ∆α(t))
Hierin bedeutet ∆α der entsprechende zeitliche Unterschied der Phase
der Lichtquelle. Für ein (quasi-) monochromatisches Lichtfeld liegt
100%-Kohärenz vor, falls die Phase α der Lichtquelle selbst nicht mit
der Zeit schwankt. Solche ideale Qellen gibt es natürlich nicht. Eine
2 WELLENOPTIK
2.25
Lichtquelle strahlt absolut inkohärent, wenn die Phase des Wellenfeldes während einer Periodendauer um mehr als 2π fluktuieren kann.
Da wir dann über die Phase mitteln können, verschwinden alle Interferenzstreifen mit Ausnahme des ersten. Ausserden ist dann die
Frequenzunschärfe von der Grösse ω.
Die Anzahl der sichtbaren Interferenzlinien ist ein Mass für die
Kohärenz.
Im Prinzip können wir Zweistrahlinterferenz auf zwei Arten ausführen:
A) Wir verwenden eine Quelle (übliches Experiment), die in zwei
Teilstrahlen aufgespaltet wird. B) Wir verwenden zwei verschiedene
Quellen ‘gleicher’ Frequenz. Auch im letzteren Fall sind Interferenzeffekte beobachtbar (Radioamateure wissen das sehr genau) vorausgesetzt, dass die Phasen beider Quellen konstant bleibt. Bei Lasern
existieren im allgemeinen Phasensprünge, so dass bei zu langer Belichtung der Photoplatte das Interferenzmuster verschwindet. Wir
beschränken uns im folgenden auf die Interferenz von Licht, das aus
einer Quelle stammt.
2 WELLENOPTIK
2.26
und für den Phasenunterschied:
∆ϕ =
2π
λ0
(Z
γ1
n(~x)ds −
)
Z
γ2
n(~x)ds
=
2π
∆Lopt
λ0
Lopt ist der optische Weglängenunterschied. Falls ∆Lopt = 0, erhält
man immer konstruktive Interferenz!
Für ∆Lopt = mλ0 , resp ∆ϕ = 2mπ gibt es im Prinzip konstruktive Interferenz, falls die Kohärenzlänge genügend gross ist. Die Teilstrahlen werden zeitlich verzögert überlagert. Die Welle
~
u0 ei(k·~x−ωt+α)
ist absolut kohärent, falls α = const. Im allgemeinen existiert eine
endliche Kohärenzzeit τ , während der α im Mittel um mindestens 2π
schwankt. Die Phase des Lichtes fluktuiert in der Zeit, weil Licht,
das zu verschiedenen Zeiten emittiert wird, von Emissionsakten unabhängiger Atome stammen kann.
Um die Frequenz zu bestimmen, messen wir in Gedanken die Anzahl
der Nulldurchgänge während einer Zeit τ . Bei idealer ∞-Kohärenz sei
diese Zahl N . Die Frequenz ergibt sich dann zu ω = 2πN/τ .
Nun sei τ die Kohärenzzeit. Dann ist die mittlere Fluktuation der
gemessenen Nulldurchgänge gleich 1, so dass:
Ã
!
ωτ
∆
'1
2π
Fig 2.14 Allgemeines Prinzip der Zweistrahlinterferenz für eine
Quelle, die in zwei Teilstrahlen aufgespaltet wird.
Für die beiden Phasen der Teilwege (Fig. 2.14) gilt:
Z
~k(~x) · d~s = ϕ0 + 2π
n(~x)ds ,
γ1,2
λ0 γ1,2
Z
ϕ1,2 = ϕ0 +
τ =
⇒
1
∆ν
∆ω '
2π
τ
2 WELLENOPTIK
2.27
2 WELLENOPTIK
Die Kohärenzzeit τ wird durch den Grad der Frequenzschärfe bestimmt. Man definiert eine Kohärenzlänge l mittels:
l := cτ
Beachte: Die Kohärenzlänge und die Kohärenzzeit bestimmen die
zeitliche Kohärenz des Wellenfeldes (es gibt auch noch den Begriff
‘räumliche’ Kohärenz).
Auf Grund einer endlichen zeitlichen Kohärenz ist die Anzahl der sichtbaren Interferenzstreifen gegeben durch:
τ
ν
= τν =
T
∆ν
Fig 2.15 Zur zeitlichen Kohärenz verschiedener Quellen.
Zeitliche Kohärenz: Man betrachtet die Korrelation an einem fest
gewählten Punkt ~x der Phasen zu verschiedenen Zeiten, d.h.
Corr (Phase(~x, t1 ), Phase(~x, t2 ))
Fig 2.16 Interferenz gleicher ‘Neigung’.
Räumliche Kohärenz: Man betrachtet die Korrelation zu einer fest
gewählten Zeit t der Phasen an verschiedenen Orten, d.h.
Corr (Phase(~x1 , t), Phase(~x2 , t))
2.28
2 WELLENOPTIK
2.29
2 WELLENOPTIK
2.30
Fig 2.18 Interferenz am Doppelspalt (Doppel-Lochblend) nach
Young. Die Intensität ist näherungsweise gegeben durch: 1+cos(kdα).
Mit dem Michelson-Interferometer (Fig. 2.19) kann zum Beispiel die
Kohärenzlänge, resp. die Spektralbreite bestimmt werden. Dazu
wird ein Spiegel relativ zum anderen bewegt, so dass der Laufzeitunterschied in den beiden Armen kontinuierlich zunimmt. Ferner
können Phasenobjekte untersucht werden. Dazu wird das Objekt
einem Arm zugefügt. Um Linsen zu überprüfen, kann man den einen
planparallelen Spiegel durch einen sphärischen ersetzten, der als Referenz dient. Vor diesen Referenzspiegel setzt man das Testobjekt.
Benützt man in beiden Armen vor dem Spiegel ein Mikroskopobjektiv,
so werden Höhenunterschiede in Mikroskopieaufnahmen durch Interferenzstreifen sichtbar (Titelbild). Eine elegante Variante (scanningdifferential optical microscope) verwendet zum gleichen Zweck nur eine
Objektivlinse.
Fig 2.17 Newton’sche Ringe.
Für die Anordnung in der Figur 2.19 gilt für den Strahl u1 , der vom
rechten Spiegel kommt:
u1 = u0 e−ikz+i2kd
und für den Strahl u2 , der vom oberen leicht verkippten (α ¿ 1)
2 WELLENOPTIK
2.31
2 WELLENOPTIK
2.32
die gemessene Intensität Int(t) zu:
Int(t) =
Z ∞
0
dω (1 + cos(ωt)) I(ω)
Die Messung der Intensität als Funktion des Laufzeitunterschiedes
liefert eine Art Fouriertransformation der spektralen Intensitätsverteilung. Aus der Messung kann I(ω) gewonnen werden (FourierTransformations-Spektroskopie).
Die Funktion Int(t) entspricht im wesentlichen der Autokorreklationsfunktion des Wellenfeldes an einem Ort aber zu verschiedenen Zeiten.
Man kann daher die zeitliche Kohärenz einer Quelle daraus ermitteln.
Fig 2.19 Das Michelson Interferometer.
Spiegel kommt:
u2 ' u0 e−ikz−ikx2α
Für die Intensität folgt:
1
I(~x, d) ' |u0 |2 {1 + cos(2kd + kx2α)}
2
Fourier-Transformations-Spektroskopie
Michelson-Interferometer ohne verkippten Spiegel:
I ∝ (1 + cos(2kd)) = 1 + cos(ωt)
wobei hier t := 2d/c der Laufzeitunterschied ist. Dies gilt für monochromatisches Licht. Bei einer spektralen Verteilung I(ω) ergibt sich
Für die räumliche Kohärenz kann man ganz analog verfahren. Anstatt
die Laufzeitdifferenz t der beiden Strahlen zu variieren, hält man
nun t fest und verändert den Winkel der beiden Teilstrahlen. Dies
kann in einem Young’schen Doppelspaltexperiment erzielt werden,
Figur 2.20. Das wesentliche ist nun, dass die räumliche Kohärenz
durch eine endliche Lichtquelle gegeben ist. Sie ist weiter von der Geometrie der Interferenzanordnung abhängigig. ω sei konstant. Damit
das Interferenzbild durch die endliche Grösse der Quelle nicht gänzlich
verschwindet, muss die Abmessung der Quelle Q
Q≤a
λ
D
sein.
Anders ausgedrückt, die räumliche Kohärenzlänge (maximaler Abstand der beiden Löcher/Spalte in dieser Anordnung) ist gegeben
durch:
λ
Dcoh ≈
αmax
Es folgt, dass auch eine ausgedehnte Quelle zu Interferenz fähig ist,
wenn sie nur genügend weit weg aufgestellt wird.
2 WELLENOPTIK
2.33
2 WELLENOPTIK
2.5
2.34
Zweistrahlinterferenz für Materiwellen
Für Materiewellen gilt gemäss der de Broglie-Beziehung:
λ=
h
, resp. p = h̄k
p
Für nichtrelativistische einfach geladene Teilchen:
λ = √
h
2meU
Elektronen mit einer Energie von 100 eV besitzen eine Wellenlänge,
die der Grösse eines Atoms entspricht (1 Å).
Zwistrahlinterferenz mit Elektronen ist möglich mit Hilfe des sogenannten elektrischen Biprisma, Fig. 2.21.
Aharonov-Bohm Effekt
Betrachten Sie die Figur 2.22. Zwei parallele Elektronenstrahlen (eine
ebene Welle) falle auf eine magnetische Schicht der Dicke D, in der die
magnetische Induktion gleich B ist. Die Lorentz-Kraft führt zu einer
senkrechten Geschwindigkeitskomponente
v⊥ =
Fig 2.20. Zum Young’schen Doppelspalt-Experiment für eine Quelle
endlicher Ausdehnung.
evBt
D
, wobei t := .
m
v
Daraus berechnet man den (kleinen) Ablenkungswinkel α := v⊥ /v und
den effektiven Weglängenunterschied ∆s := lα zu:
∆s =
e
Φ;
vm
Φ ist der eingeschlossenen mag. Fluss
Die Phasen der beiden Teilstrahlen werden beim Durchlaufen des
Feldes relativ zueinander um die Phasendifferenz ∆ϕ verschoben:
2 WELLENOPTIK
2.35
2 WELLENOPTIK
2.36
Fig 2.22. Ablenkung des Elektronenstrahls durch ein Magnetfeld
~ besteht. Allgemein wird die
schen und dem magnetischen Potential A
Phase der Wellenfunktion sowohl durch das elektrische, wie auch das
magnetische Vektorpotential geändert. Diese Tatsache ermöglicht es,
äusserst elegante Interferenz-Experimente auszuführen (siehe unten).
Fig 2.21 Elektroneninterferenz mittels Biprisma
Gemäss der Quantenmechanik ist im quasi-klassischen Limes die
Wahrscheinlichkeitsamplitude k() eines Teilchens, um von (~x1 , t1 ) nach
(~x2 , t2 ) zu gelangen, gegeben durch:
k(~x2 , t2 ; ~x1 , t1 ) ∝ exp(iS(~x2 , t2 ; ~x1 , t1 )/h̄)
R
Φ
e
∆ϕ = Φ = 2π
,
h̄
Φ0
h
Φ0 :=
e
Beachte: Die Phasenverschiebung hängt nur vom eingeschlossenen
Fluss ab. Sie besteht auch dann, wenn sich die Teilchen immer
im feldfreien Raum aufhalten. Aharonov und Bohm haben erkannt,
dass die Phase der Wellenfunktion eines geladenen Teilchens allgemein vom Vektorpotential Aµ abhängig ist. In der Elektrodynamik
ist dieses allgemeine Potential ein Vierervektor, der aus dem elektri-
Hierin ist S() die Wirkung ( Ldt) entlang der klassischen Bahnkurve. Falls die Wellenfunktion Ψ zur Zeit t0 im Ortsraum bekannt
ist, kann damit die Wellenfunktion zu jeder Zeit in Integralform geschrieben werden. (Verallgemeinerung auf eine Summe über alle Pfade
durch Feynman). Wir betrachten nun nur den Fall eines magnetischen Feldes. Wichtig ist nur, dass die Wellenfunktion proportional
zu exp(iS/h̄) ist. Aus der Definition der Wirkung H(~x, ∂S/∂~x) = E
folgt:
Z
~ · d~s
SmitFeld = SohneFeld + eA
Das Integral muss vom Anfangs- zum Endpunkt längs der klassischen
Bahnkurve berechnet werden. Für die Wellenfunktion gilt somit:
2 WELLENOPTIK
2.37
Ã
Ψ ' Ψ0 exp i
eZ ~
A · d~s
h̄ γ
2 WELLENOPTIK
2.38
!
Aus dieser Gleichung erhalten wir das Resultat, das wir oben mittels
der Lorentz-Kraft hergeleitet haben. Zwei Elektronbahnen, die einen
magnetischen Fluss der Grösse Φ umschliessen, erhalten eine Phssenverschiebung von
Φ
e
∆ϕ = Φ = 2π .
h̄
Φ0
Φ0 := h/e ist das magnetische Flussquantum.
Fig 2.23 Magnetischer Aharonov-Bohm Effekt.
Im Zweistrahlinterferenzexeriment der Figur 2.23 ist die Intensität der
Strahlen auf dem Schirm:
|ΨSchirm |2 ∝ 1 + cos(2πΦ/Φ0 )
Allgemein: Der Aharonov-Bohm Effekt ist eine Folge der Eichinvarianz der Quantenelektrodynamik.
Fig 2.24. Experiment mit einem supraleitenden Biprisma. Es zeigt,
dass der im Supraleiter eingeschlossene Fluss ein Vielfaches des halben
Flussquantum ist,d.h. Φs := Φ0 /2 = h/2e.
2 WELLENOPTIK
2.39
SQUID: ein supraleitendes Zweistrahlinterferometer
Aus dem Ansatz
Ψ := |Ψ|2 eiS/h̄
2 WELLENOPTIK
2.40
Aus dieser Gleichung schliesst man, dass das magnetische Feld innerhalb eines Supraleiters (falls er genügend dick ist) verschwindet
(Meissner-Effekt). Betrachten Sie nun den supraleitenden Ring in der
Figur 2.25.
erhält man für den Erwartungswert der Teilchenstromdichte ~j
Ã
Weg `Gamma‘
!
µ
¶
1
~
~
~j := 1 Re Ψ? h̄ ∇Ψ
= |Ψ|2 ∇S
m
i
m
~ wirkt, wird
Falls nun zusätzlich ein magnetisches Vektorpotential A
~
der Operator für den ‘kinetischen’ Impuls (mv-Impuls) durch −eA
modifiziert. Die Teilchenstromdichte lautet nun:
µ
¶
~ − eA
~
~j = 1 |Ψ|2 ∇S
m
Diese Gleichung gilt auch für einen Supraleiter (nicht ein Teilchen, sondern ein makroskopisches Stück eines Festkörpers). Nur die Ladung
e muss durch 2e ersetzt werden (Cooper-Paare). Wir verwenden die
übliche Definition: Θ := S/h̄ und erhalten:
Ψ = |Ψ|2 eiΘ
Ã
!
~ − 2e A
~
~j = h̄ |Ψ|2 ∇Θ
m
h̄
ρ := |Ψ|2 kann als Dichte der Cooper-Paare interpretiert werden. Für
den einfachsten Fall eines homogenen ‘Typ I’ Supraleiters gilt Θ =
const und |Ψ| = const. Es folgt dann für den elektrischen Strom
B
Fig 2.25. Supraleitender Ring mit eingeschlossenem magnetischen
Fluss.
Im inneren des Ringes ist das magnetische Potential null. Dort fliesst
somit auch kein Strom, ~je = 0. Es folgt:
I
γ
~je = 0
⇒
I
γ
~ = 2e Φ
∇Θ
h̄
Die Änderung der Phase ∆Θ beim einmaligen Umlaufen der geschlossenen Kurve γ ist:
∆Θ =
h
2e
Φ Eindeutigkeit: Φ = n
h̄
2e
2
~ ,
~je = − ρq A
m
wobei: q := 2e
~ ∧B
~ = µ0~je erhält man in der
Mit Hilfe des Induktionsgesetzes ∇
~ = 0 die Gleichung von London:
Eichung div A
~ =
∆A
µ0 q 2 ρ ~
A
m
Mittels Josephson-Kontakten ist es möglich, supraleitende Interferometer zu bauen (sog. SQUID’s). Ein Josephson Kontakt kann als
supraleitender Draht verstanden werden, der an einer Stelle durch eine
dünne (nicht supraleitende) Schicht unterbrochen ist. Eine qualitative
2 WELLENOPTIK
2.41
2 WELLENOPTIK
2.42
Herleitung der Eigenschaften ergibt sich wie folgt: Falls die Zwischenschicht keine Kopplung zulässt werden die Wellenfunktionen in den
beiden Drahtenden beschrieben durch:
√
Ψj = nj eiΘj , j = 1, 2
j = 1, 2 bezieht sich auf dei beiden Drähte, Θj ist die Phase und nj
kann als Ladungsträger-konzentration aufgefasst werden. Wir führen
nun eine symmetrische Kopplung K ein. Dann ergibt sich die zeitliche
Entwicklung der beiden Wellenfunktionen aus:
ih̄
∂
Ψ1,2 = E1,2 Ψ1,2 + KΨ2,1
∂t
Wähle den Energienullpunkt, so dass E1 + E2 = 0. Es gilt: E1 =
−E2 = eU , wobei U die angelegte Spannung bezeichnet. Aus
den beiden Differentialgleichungen folgt durch Einsetzen von Ψj =
√
nj exp(iΘj ): 1) Kontinuitätsgleichung n˙1 = −n˙2 und n˙1 ∝ sinδ mit
δ := Θ1 − Θ2 , sowie h̄ · δ = −2eU . Da die Drähte mit einer externen
Spannungsquelle verbunden sind, wird jede Änderung der Ladungsträgerkonzentration durch einen Zu-/Abfluss von Ladungen aufgefangen.
Der elektrische Strom I ist deshalb proportional zu n˙1 . Zusammenfassend gelten folgende zwei Gleichung (ohne Magnetfeld):
Fig 2.26. SQUID (superconducting quantum interference device.)
Die Frequenz der Strommodulation hängt nur über Naturkonstanten
mit der angelegten Spannung zusammen. Dieser Effekt wird für die
heutige Definition der Spannung eingesetzt (Spannungsnormal).
Für den Josephson-Kontakt (häufig als Kreuz dargestellt als Kreuz)
ist der elektrische Strom proportional zu sin(δ), wobei δ := Θ2 − Θ1
der Phasenunterschied zwischen dem Rand der beiden Kontakten ist.
Durch Anwenden der obigen Gesetze ergibt sich für den Ring der
Figur 2.26:
I
0 =
I = I0 sin(δ) , δ := Θ1 = Θ2
2e Z t
δ = δ0 −
U (τ )dτ
h̄ 0
Aus diesen Gleichungen ergeben sich zwei interessante Phänomene.
A) der DC-Josephson-Effekt der besagt, dass ein Strom fliessen kann
auch für U = 0, und B) der AC-Josephson-Effekt für U 6= 0. Im
letzteren Fall wird der Strom:
I = I0 sin(δ0 − ωt) mit ω :=
2e
U = 484 MHz/µV
h̄
(∇Θ −
δb = δa +
2e ~
2e
A)ds = (Θ2a − Θ1a ) + (Θ1b − Θ2b ) + Φ
h̄
h̄
⇒
2e
Φ
h̄
Der elektrische Strom I := Ia + Ib ergibt sich somit zu:
I = I0 sin(δa ) + I0 sin(δb )
(
= I0 sin(δa ) + sin(δa +
)
2e
Φ)
h̄
Für den Spezialfall δa = π/2 ergibt sich die folgende Gleichung, die
identisch zur Formel für die Zweistrahlinterferenz in der Optik ist:
2 WELLENOPTIK
2.43
2 WELLENOPTIK
Kontakt
(
I = I0
Ã
2e
Φ
1 + cos
h̄
!)
SQUID’s werden eingesetzt, um sehr kleine Magnetfelder zu messen.
Interferenzeffekte sind auch in gewöhnlichen metallischen Leitern
möglich, d.h. für Elektronen in einem Festkörper. In ihrer Bewegung
durch den Draht (z.B. in einem Golddraht) streuen die Elektronen sehr
häufig mit Kristalldefekten (mittlere freie Weglänge l nur ca. 10 nm),
so dass die Bewegung einer Zufallsbewegung gleicht (random walk).
Man spricht in diesem Fall von diffusivem Transport. Bei tiefen Temperaturen werden alle inelastischen Streuprozesse unbedeutend. Diese
Prozesse eliminieren bei Zimmertemperatur die Korrelationen in der
Phase der Wellenfunktion, und sie sorgen dafür, dass der Transport
durch die klassische kinetische Gastheorie beschrieben werden kann.
Anders bei sehr tiefen Temperaturen. Die verbleibende elastische
Streuung sorgt zwar dafür, dass der diffusive Transportcharakter erhalten bleibt, die Phasenkohärenz der Elektronen wird jedoch dadurch
nicht beeinträchtigt. Die Diffusionslänge, über die die Elektronen kohärent bleiben ist die Phasenkohärenzlänge lφ .
Falls lφ > L, w ist der Draht phasenkohärent. Man spricht nun
von Quantendiffusion, da nun zusätzlich Interferenzeffekte entstehen
können.
Betrachten wir den Ring in der Fig. 2.29.
Die Kombination der beiden Wellenfunktionen der Elektronen, die
oben resp. unten den Ring durchlaufen, führt zu Interferenz, die von
der Differenz der akkumulierten Phasen abhängt. Diese Differenz ist
bei angelegtem Magnetfeld abhängig von der eingeschlossenen Fläche
(zwischen einem Weg oben und unten) sowie von der relativen Phasen-
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
2.44
Metalldraht
w
Kontakt
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
L
Fig 2.27. Schematisch: Draht der Länge L und Breite w. Im diffusiven Transportregime ist die mittlere freie Weglänge der Elektronen
¿ L, w.
änderung, die die Elektronen auf ihrem Weg durch Streuung an unterschiedlichen Streuzentren erfahren haben (elastische Streuung ändert
die Phase deterministisch). Man wird nun mit Recht vermuten, dass
der Interferenzterm im elektrischen Leitwert verschwindet, wenn man
über alle Pfade mittelt. Das Interessante ist nun, dass es eine Klasse
von Pfaden gibt, deren Interferenzterm bei einer Mittelung nicht verschwindet. Dies sind alle Pfade mit demselben Anfangs- und Endpunkt. Jeder solche Pfad interferiert immer konstruktiv mit seinem
zeitumgekehrten Bruder (kein Magnetfeld).
In der Fig. 2.30 sind die bedeudensten Interferenzbeiträge für einen
Ring dargestellt. In einem Ensemble von Ringen verschwindet der
Interferenzbeitrag in a), während der Beitrag in b) auch in einem Ensemble erhalten bleibt. Die Figuren 2.31 und 2.32 zeigen historisch
wichtige Experimente. In der Fig. 2.31 geht es um die im elektrischen Widerstand gemessenen Oszillationen der Periode ∆φ = h/2e
an einem metallischen Zylinder (Ensemble von vielen Ringen) und in
Fig. 2.32 um einen einzelnen Ring, bei dem die dominierende Periode
δφ = h/e ist.
2 WELLENOPTIK
2.45
2 WELLENOPTIK
2.46
a)
Fig 2.28. Zwei mögliche Teilchentrajektorien als ‘random walk’.
b)
Fig 2.30. Symbolische Darstellung von zwei Interferenztypen.
Oben: gewöhnliche Zweistrahlinterferenz. Der elektrische Widerstand
enthält einen oszillierenden Beitrag mit der Periode ∆φ = h/e. Unten:
Interferenz zwischen einem Pfad, der den ganzen Ring einmal umläuft
mit dem zeitumgekehrten Pfad. Der elektrische Widerstand enthält
nun einen oszillierenden Beitrag mit der Periode ∆φ = h/2e.
Fig 2.29. Metallischer diffusiver Ring. Oben und unten sind zwei
mögliche Trajektorien exemplarisch eingezeichnet.
2 WELLENOPTIK
2.47
2 WELLENOPTIK
2.48
Aharonov Bohm oscillations in normal metal rings
V-meter
4
2
3
1
Fig 2.31.
Fig 2.32.
I
2 WELLENOPTIK
2.49
Weitere Beispiele: Neutroneninterferometer, Aharonov-Casher
Die Quantenmechanik zeigt bezüglich dem Spinfreiheitsgrad eine etwas sonderbar anmutende Rotationseigenschaft für Fermionen. Wird
ein Spineigenzustand |~e i zur Richtung ~e (Einheitsvektor) mit der orthogonalen Drehoperation R~n (ϕ) (~n=Drehachse und ϕ=Drehwinkel)
im Raum ‘gedreht’, geht der Zustand über in:
~ · ~n/h̄)|~e i = |R~n (ϕ)~ei
|~e i → exp(iϕS
~ ist der Drehimpulsoperator. Wir kürzen den Drehoperator ab durch:
S
~ · ~n/h̄)
U~n (ϕ) = exp(iϕS
Aus dieser Gleichung folgt die erstaunliche Eigenschaft, nämlich:
~ ganzzahlig
S
~ halbzahlig
S
⇒
⇒
U (2π)Ψ = Ψ
U (2π)Ψ = −Ψ
Für Fermionen muss der Raum also um 4π gedreht werden, um die
ursprüngliche Wellenfunktion wieder zu erhalten. Da für eine Messung
nur die Intensität von Bedeutung ist, hat der Vorzeichenwechsel bei
einer Drehung von 2π im allgemeinen keinen messbaren Effekt zur
Folge. Mit einem Interferenzexperiment kann man jedoch diese 4πSymmetrie nachweisen. Solche Experimente wurden mit Neutronen
und Atomstrahlen erfolgreich durchgeführt.
Die Messung ist ein Zweistrahlinterferenzexperiment. Einer der beiden Teilstrahlen wird während einer bestimmten Zeit T durch ein
~ geführt. Dieser Strahl erleidet dadurch eine PhasenMagnetfeld B
verschiebung. Das Magnetfeld sei in die z-Richtung orientiert und
der Spinzustand sei am Anfang ein Eigenzustand in dieser Richtung
(Neutronen → Spin= 1/2). Es gilt:
ih̄
d
~
|Ψi = −~µ · B|Ψi
dt
2 WELLENOPTIK
2.50
Hierin ist ~µ der Operator des magnetischen Spinmomentes:
~
~µ = (gn µn /h̄)S
~ = Drehimpulsop.)
(S
Wir erhalten nun nach einer Wechslwirkungszeit T
|Ψi = e−ign µn Bz Sz T |Ψ(0)i
Dies entspricht offensichtlich einer Drehung um die z −Achse mit dem
Winkel
ϕ = −gn µn Bz T /h̄
In diesem Experiment kann der Drehwinkel durch das Magnetfeld kontinuierlich festgelegt werden.
Aharonov-Casher-Effekt
Der Aharonov-Casher Effekt (AC) ist dual zum Aharonov-BohmEffekt. Erklärung in der Figur 2.35. Beim AC-Effekt bewegt sich
ein magnetisches Moment (z.B ein Neutron) um eine Ladung, die ein
~ zur Folge hat. Gemäss der Lorentztransformation
elektrisches Feld E
existiert im bewegten Koordinatensystem des Neutrons ein magneti~ eff :
sches Feld B
~ eff = − 1 ~v ∧ E
~
B
c2
Die Wechselwirkung des magnetischen Momentes ~µn mit diesem Feld
führt zu einer Phasenverschiebung der Wellenfunktion, die für ein Neu~ gegeben ist durch:
tron mit ~v ⊥ E
ϕ =
µn El
c2h̄
(l = Wechselwirkungslänge)
2 WELLENOPTIK
2.51
2 WELLENOPTIK
2.52
Fig 2.34 Neutroneninterferometrische Messung der 4π-Symmetrie.
Fig 2.33 Methoden der Neutroneninterferometrie
Fig 2.35 Vergleich des Aharonov-Bohm (AB) mit dem AharonovCasher-Effekt (AC).
2 WELLENOPTIK
2.6
2.53
Interferenz, B) Vielstrahlinterferenz
2 WELLENOPTIK
2.54
t ist die Transmissions- and r die Reflexionsamplitude. Wir verwenden
die Abkürzung:
Φ := 2kx d = 2kcos(α)
Das Fabry-Perot Interferometer (PFP)
Zwei im Abstand d angebrachte parallele (können auch gekrümmt
sein) partiell durchlässige Spiegel, Figur 2.36.
Die totale Amplitude ut der transmittierten Welle ergibt sich zu
³
´
ut = u0 t2 + t2 r2 eiΦ + t2 r4 ei2Φ . . .
∞ ³
´l
X
u0 t2
= u0 t2
r2 eiΦ =
1 − r2 eiΦ
l=0
Nach etwas Umformen und mit den Abkürzungen r =: |r|eiδr , Φ0 =
Φ + 2δr , R := |r|2 und T := |t|2 folgt:



T2
It
=
2
1 +
I0
(1 − R) 



1
4R

2
0

(1−R)2 sin (Φ /2)
Der Energiesatz besagt T + R + A = 1, wobei A den Absorptionskoeffizienten bezeichnet ⇒
T2
1
=
≤1, =1 ⇔ A=0
2
(1 − R)
(1 + A/T )2
Fig 2.36 Zum Interferometer nach Fabry-Perot, uj bezeichnen die
ortsabhängigen Wellenamplituden.
u0
u1
u2
u3
u4
u5
=
=
=
=
=
=
a ei(kx x+ky y)
at ei(kx x+ky y)
at2 ei(kx x+ky y)
atr ei(−kx x+ky y+2kx d)
atr2 ei(kx x+ky y+2kx d)
at2 r2 ei(kx x+ky y+2kx d)
Im folgenden sei A = 0:
It
1
=
≤ 1
2 (Φ0 /2)
I0
1 + 4R
sin
2
T
= 1 ⇔ Φ0 = 2kdcos(α) + 2δr ∈ 2πZ
Man verwendet üblicherweise die Abkürzung
√
F := π R/(1 − R) Finesse
1
It
=
´2
³
2F
I0
1 + π sin2 (Φ0 /2)
...
2 WELLENOPTIK
2.55
2 WELLENOPTIK
2.56
Für einen idealen Spiegel ist δr = π. Wir erhalten maximale Transmission, falls:
Φ = 2kdcos(α) ∈ 2πZ
⇒
Ã
m
λm
2
!
= d cos(α) m ∈ Z
Für α = 0 muss die optische Dicke ein Vielfaches der halben Wellenlänge sein. Dies ist sehr einfach einzusehen, Figur 2.37.
Fig 2.38 Transmissionsverhalten des Fabry-Perot-Resonators.
(∆Φ)HW =
w
2π
F
Die Finesse ist also ein Mass für die Güte. Sie gibt an wieviel Strahlen
effektiv miteinander interferieren.
Fig 2.37 Stehende Welle im Fabry-Perot-Resonator.
Halbwertsbreite in Einheiten der Wellenlänge:
Ã
∆Φ = ∆
Betriebsarten:
A) Scanning mode: α = const (meistens = 0) und Modulation von d.
B) Interferenzring-Methode: d = const, Interferenzringe zu verschiedenen Winkeln = Interferenz gleicher Neigung, Fig. 2.16.
Das Transmissionsverhalten ist in der Abbildung 2.37 dargestellt. Man
findet für die Halbwertsbreite (∆Φ)HW des Durchlassbereichs:
!
4π
∆λ 2π
4π
cos(α) = − 2 ∆λ = −Φ
=
λ
λ
λ
F
¯
¯
¯
¯
¯ (∆λ)HW ¯
¯
¯
¯
¯
¯
λm ¯
=
¯
¯
¯
¯
¯ (∆ω)HW ¯
¯
¯
¯
¯
¯
ωm ¯
=
1
mF
2 WELLENOPTIK
2.57
Free-spectral range
(∆λ)FSR := λm − λm+1
Für das Verhältnis ‘free-spectral range’ zur Bandbreite ergibt sich:
(∆λ)FSR = F (∆λ)HW
Analogie in der Festkörperphysik: Quantum Well, Fig. 2.39.
2 WELLENOPTIK
2.58
diesem ‘breitbandigen’ Licht ‘schmalbandiges’ mit der spektralen Breite ∆ωHW herzustellen. Der Spektralapparat hat somit die Kohärenzlänge ‘gestreckt’. Wie ist das möglich?
In der Summe für ut haben wir die Amplituden aller Teilwellen addiert. Wir sind deshalb von monochromatischem Licht (Kohärenzlänge = ∞) ausgegangen. Falls wir die endliche Kohärenz, so wie wir
sie beschrieben haben, ernst nehmen, müssen wir die Summe nach dem
n-ten Term abbrechen, nachdem die Phasenschwankung um mehr als
2π angewachsen ist. Für die spektrale Breite von ∆ωFSR ergibt sich n
zu:
!
Ã
lcoherence
2πc
1
n≈
=
2d
∆ωF SR 2d
Durch Umformulieren von ∆ωFSR
∆ωFSR =
πc
d
λ
∆λFSR
=
λ
2d
erhalten wir für n:
n ≈ 1 !
=⇒
Es besteht überhaupt keine konstruktive Interferenz mehr! Das Licht,
das hinten austritt, ist genauso inkohärent wie dasjenige, das von der
Quelle stammt. Unser Bild von der Kohärenz und vom Licht ist deshalb falsch!
Fig 2.39 Prinzip einer resonanten Tunneldiode.
Bemerkung zur Kohärenzlänge
Angenommen, das einfallende Licht besitze eine spektrale Bandbreite
der Grösse ∆ωFSR . Das Interferometer ist nun in der Lage, aus
Das Licht ist kein kontinuierlicher Wellenzug. Da das einfallende
Licht eine spektrale Verteilung mit der Breite ∆ω besitzt, ergibt eine
Fouriertransformation in den Zeitbereich ein Wellenpaket mit der Ausdehnung ' 1/∆ω. Ein einzelnes Wellenpaket kann aber niemals einen
kontinuierlichen Energiefluss wie bei einer gewöhnlichen Lichtquelle
ergeben. Um dieses Problem zu umgehen, können wir uns Licht wie
folgt vorstellen:
2 WELLENOPTIK
2.59
Licht besteht aus einer inkohärenten Superposition von monochromatischen Wellenpaketen der Frequenz ω (ω ist nicht für jedes
Paket identisch). Die zeitliche Ausdehnung der Wellenpakete bestimmt die Kohärenzzeit.
Das Fabry-Perot-Interferometer macht die spektrale Verteilung
schmaler, in dem die geeigneten Wellenpakete (die mit der richtigen
Frequenz) zeitlich verzögert werden und anschliessend nach der Addition ein Wellenpaket ergeben, das in der Zeit gestreckt ist!
Um ein Bild für Photonen zu haben, kann man sich diese als Wellenpakete vorstellen, deren Energieinhalt h̄ω entspricht.
2 WELLENOPTIK
2.60
Resonator
Das Fabry-Perot Interferometer ist ein Resonator. Wir haben nur das
plan-parallelen Fabry-Perot Interferometer (PFP) betrachtet. Dieser
Resonator ist eigentlich nur dann stabil, wenn die Breite w = ∞ (siehe
Fig. 2.37). Grund: Beugung ! Deshalb verwendet man i.a. sphärische
Spiegel.
Bei einem Resonator, der seitlich begrenzt ist, existieren verschiedene Eigenschwingungen, transversale Moden, die sich in der Ebene
senkrecht zur Achse des Resonators unterscheiden, Fig. 2.40. In
die longitudionale Richtung werden die möglichen Eigenschwingungen
durch die Interferenz der Strahlen an den beiden Spiegeln bestimmt:
longitudionale Moden.
Die einfachste rotationssymmetrische Lösung der HelmholtzGleichung
mit einer begrenzten transversalen Intensitätsverteilung ist der sog.
Gauss’sche Strahl, Figur 2.41.
In jeder Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z ist die Intensitẗsverteilung I(r) durch eine Gauss-Funktion gegeben. Die Flächen
konstanter Phase sind immer Kugelflächen. Der Radius R ist jedoch
ortsabhängig (von z). Nachfolgend die wichtigsten Beziehungen:
I(r) = I0 exp(−2r2 /wo2 )
λ
Θ =
(λ → 0 : Θ → 0 : geometrische Optik)
πw
0

2 
πw02  



(R(z) → ∞ für z → 0)
R(z) = z 1 +
λz
Anwendung der Gleichung R(z) auf einen Resonator. Bedingung: die
Spiegelfläche fällt mit einer Phasenfläche der Gauss-Welle zusammen.
Konfokaler Resonator, Figur 2.42 und allg. Stabilitätsdiagramm,
Figur 2.43.
2 WELLENOPTIK
2.61
2 WELLENOPTIK
Fig 2.41 Der Gauss’sche Strahl.
Fig 2.40 Transversales Modenspektrum eines Resonators.
Fig 2.42 Der Konfokale Resonator, d.h. d = R1 = R2 =: R.
2.62
2 WELLENOPTIK
2.63
2 WELLENOPTIK
2.64
Wellenleiter
Fig 2.44 Wellenleiter in 2 Dimensionen mit einer Berandung aus ideal
spiegelnden Metallen.
Betrachte die Figur 2.44. Superposition von zwei ebenen Wellen:
³
´
u0 eikz z+ikx x + eikz z−ikx x = 2u0 eikz z cos(kx x)
Randbedingung:
kx d = mπ = k0 n d cos(α) ;
Fig 2.43 Das Stabilitätsdiagramm für sphärische Resonatoren. gj :=
1 − (d/Rj ). Das Stabilitätskriterium lautet: 0 ≤ g1 · g2 ≤ 1
m = Mode
‘Eigenschwingungen’ sind ebene monochromatische Wellen mit einer
charakteristischen Feldverteilung quer zur Ausbreitungsrichtung (stehende Welle längs x).
Effektive Brechzahl N ⇒: kz = N cω0 =
N = n sin(αm ) =
ω
c0 n sinα,
v
u
u
u
tn2
Ã
−
d.h.:
mλ0
2d
!2
Daraus ergeben sich die Dispersionsrelationen der Figur 2.45. Wichtig
ist, dass eine sog. Modenzahl-abhängige ‘cut-off’-Frequenz ωc existiert, die mit dem Modenindex zunimmt.
2 WELLENOPTIK
2.65
2 WELLENOPTIK
2.66
d
Fig 2.46 Dielektrischer Wellenleiter.
Fig 2.45 Dispersionsrelationen für einen (idealen) Wellenleiter. m
bezeichnet den Modenindex.
Beim dielektrischen Wellenleiter (meistens bei optischen Leitern) wird
die Totalreflexion ausgenützt. Der das Licht transportierende Kern
besitzt eine grösse Brechkraft als der Mantel. In der Abbildung 2.45
besteht das umhüllende Material aus dem Substrat mit dem Brechungsindex nS und der oberen Abdeckung mit nC . Folgende zwei
Bedingungen müssen erfüllt sein:
Fig 2.47 Intensitätsverteilung in einem dielektrischen Wellenleiter.
Beachte: δ ist i.a. abhängig von der Frequenz (Dispersion der Medien)
und von der Polarisation. Wellenleiter weisen Verluste auf, z.B. durch
Streuung an Fluktuationen in n, Oberflächenrauhigkeit...
1. Totareflexion an beiden Grenzflächen, d.h. α genügend gross.
Um die Verluste zu kompensieren, wird bei der Datenübertragung ca.
alle 100 km ein Verstärker benötigt.
2. Die Welle im Leiter ist eindeutig, d.h. u1 = u3 (TranslationsInvarianz).
Wellenleiter in der Festkörperphysik
u1 = u0 exp(i(kx x + kz z))
u2 = u0 exp(i(−kx x + kz z + kx d))eiδFC
u3 = u0 exp(i(kx x + kz z + 2kx d))ei(δFC +δFS )
Daraus ergibt sich die Modengleichung zu:
2kx d + δFC (α) + δFS (α) = 2πm
Ausgangsmaterial: Zweidimensionales Elektronengas mit sehr hoher
Mobilität (mittlere freie Weglänge le der Elektronen ≥ 10 µm bei tiefen
Temp.). Darin wird durch lithografische Verfahren ein Draht (klein)
definiert, dessen Länge kürzer als le ist, Fig. 2.48. Falls die Wellenlänge
der Elektronen von derselben Grösse wie die Breite des Drahtes ist,
dann liegt ein ‘elektronischer’ Wellenleiter, sog. quantum wire, vor.
In Halbleitermaterialen kann diese Bedingung leicht erfüllt werden.
2 WELLENOPTIK
2.67
2 WELLENOPTIK
2.68
quantisierte Widerstandswerte:
Rxy =
h1
e2 ν
Die beiden Phänomene sind eng miteinander verknüpft, die realisierbare Genauigkeit der Quantisierung ist beim Hall-effekt jedoch viel
grösser. Sie ist so gross, dass heute die Grösse des elektrischen Widerstands über den Quanten-Halleffekt definiert wird.
Fig 2.48 Eindimensionaler Quantendraht der Länge L und Breite w.
Für den elektrischen Leitwert G (inverser Widerstand) folgt (Landauer-Büttiker):


2e2  X
Tm 
G =
h Em ≤EF
Tm bezeichnet die Transmissionswahrscheinlichkeit im Mode m. Für
einen idealen Quantendraht (T ist entweder eins oder null) folgt das
erstaunliche Resultat (Mesung in der Figur 2.49):
G = N
2e2
h
N bezeichnet die Anzahl der besetzten Moden im Wellenleiter.
Der Leitwert ist also quantisiert auf einen Wert, der mit dem quantisierten Hall-Widerstand (von Klitzing) identisch ist. Beim Halleffekt
wird die transversal zur Stromrichtung (Strom I) entstehende Spannung Uxy als Funktion des angelegten Magnetfeldes in einem zweidimensionalen Elektronengas gemessen. Der Hallwiderstand is der
Quotient Rxy := Uxy /I. Als Funktion des Magnetfeldes findet man
Nun können wir nochmals zur Optik zurückkehren und uns fragen, ob
man in einem ‘optischen Punktkontakt’ nicht genauso eine Treppenkurve messen sollte, wie in der Abbildung 2.48 für Elektronen gezeigt
wurde. Antwort: Figur 2.50.
2 WELLENOPTIK
2.69
2 WELLENOPTIK
Fig 2.49b Quanten-Halleffekt
Fig 2.49 Quantisierter Leitwert eines Quanten-Punkt-Kontaktes.
2.70
2 WELLENOPTIK
2.71
2 WELLENOPTIK
2.7
2.72
Beugung
Ist die komplexe Amplitude u des monochromatischen Lichtes in der
Ebene z = 0 bekannt und weiss man, dass sich das Wellenfeld in die
Richtung z > 0 ausbreitet, dann ist u(~x) eindeutig bestimmt.
Transmitted Power
Lösung der Helmholtz-Gleichung mittels der Methode der Green’schen
Funktion G, siehe Figur 2.51.
Fig 2.51 Zur Green’schen Funktion.
Anwenden der Green’schen Formel
Z
Wellenlänge (µm)
Fig 2.50 Transmitted Power through a slit of adjustable width. The
diffusor is extremly important.
∂B
µ
¶
~ − v ∇u
~
d~σ · u∇v
=
Z
B
d3 x (u∆v − v∆u)
für eine Lösung der Helmholtz-Gleichung u(~x) und mit v := G ergibt:
Z
u(~x) =
∂B
~ y G(~y , ~x) · d~σy
u(~y )∇
Für den ganzen Raum R3 entspricht die Kugelwelle der Green’schen
Funktion:
e±ik|~y−~x|
G(~y , ~x) =
4π|~y − ~x|
2 WELLENOPTIK
2.73
2 WELLENOPTIK
2.74
Für die Halbebene (x3 = 0) kann G aus der Superposition von zwei
Kugelwellen konstruiert werden (Elektrodynamik). Um obiges Integral zu berechnen, benötigen wir die Ableitung von G in die Richtung
der Oberflächennormalen. Definition:
Ã
g(~x, ~y ) :=
!¯
¯
¯
¯
¯
∂
G(~y , ~x)
∂y3
y3 =0
Für die Funktion g findet man in der Näherung r >> λ (Fig. 2.52).
g(~x, ~y ) =
cos(ϑ) ikr
e
iλr
Fig 2.53 Geometrie bei der einer Beugungsanordnung.
Es folgt unmittelbar die sehr nützliche Gleichung:
u(x1 , x2 , L) '
eikR Z
~
dy1 dy2 e−ik·~y u(~y ) , ~y := (y1 , y2 , 0) ~k := k~x/x
iλR ∂B
Die Feldamplitude am Orte ~x ergibt sich aus der Fouriertransformation des Feldes auf der Ebene z = 0, und zwar ist sie proportional zur
Fourierkomponente zum Wellenvektor (kx , ky ), wobei kx und ky die xund y-Komponenten des Vektors k~x/|~x| sind.
Diese Näherung liefert besonders gute Resultate im ‘Fernfeld’, d.h. für
L → ∞.
Fig 2.52
Es existieren zwei weitere Approximationen, die nach Fraunhofer und
Fresnel benannt sind.
A) Fraunhofer’sche Beugung
Beispiel: Die Beugung am Spalt. Die Transmissionsfunktion t(y1 , y2 )
lautet:
t(y1 , y2 ) = 1 , |y1 | ≤ d/2 und = 0 , sonst
Der Abstand r (siehe Fig. 2.53) wird ersetzt durch:
Man muss nun nur die Fouriertransformierte von t(y1 , y2 ) bestimmen:
~ · ~y /R
r 'R−R
(R >> D)
t̂(k1 , k2 ) = d δ(k2 )
sin(k1 d/2)
k1 d/2
2 WELLENOPTIK
2.75
2 WELLENOPTIK
Fig 2.54 Optische Fouriertransformation.
Anmerkung: Periodische Struktur, Gitter, Translation, Rotation ...
Fig 2.55 Geometrische Optik oder Fraunhofer’sche Beugung?
A) Fresnel’sche Beugung
Für den Abstand (siehe Fig. 2.53) verwendet man eine andere Näherung:
|~r|2 = (~x − ~y )2 = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + x23 ⇒
(x1 − y1 )2 (x2 − y2 )2
r ≈ x3 +
+
2x3
2x3
Bei der Berechnung der Integrale für die Felder ergeben sich sog. Fresnel’sche Integrale.
D2 /L << λ
D2 /L >> λ
D2 /L ≈ λ
Fraunhofer’sche Beugung
Geometrische Optik
Fresnel’sche Beugung
Fig 2.56 Fresnel’sche Beugung an einer Kante.
2.76
2 WELLENOPTIK
2.77
2 WELLENOPTIK
2.8
2.78
Holographie
Bei der Aufzeichnung eines Objektwellenfeldes, Licht das an von einem
Objekt gestreut wird, entspricht die Schwärzung der Photoplatte der
Intensität der Objektwelle. Da die Phaseninformation dabei verloren
geht, kann aus dieser Aufzeichnung das Objekt nicht mehr rekonstruiert werden. Der Trick der Holographie besteht nun darin, durch
Interferenz mit einer Referenzwelle sowohl die Amplitude wie auch
die Phase in einer Ebene aufzuzeichnen. Dadurch kann das Objekt
‘rekonstruiert’ werden.
Fig 2.57 Fresnel’sche Beugung an einem ‘Draht’ (links für Licht,
rechts für Elektronen).
Fig 2.58 Fresnel’sche Beugung an einer undurchsichtigen Scheibe.
Das Konzept der Holographie lässt sich am einfachsten an dem Beispiel
der Zonenplatte erklären. Die Zonenplatte bildet eine divergierende
Kugelwelle (ausgehend vom Punkt P in der Fig. 2.59) in eine konvergierende auf der anderen Seite der Ebene ab (Punkt P 0 ), d.h. sie
wirkt als Linse. Um dies zu erzielen, muss die Platte alle Strahlen passieren lassen, die zu konstruktiver Interferenz führen und die anderen
auslöschen. Betrachte die Figur 2.59.
Fig 2.59 Weglänge der verschiedenen Strahlen für die Konstruktion
einer Zonenplatte. Die Platte liegt senkrecht auf der Verbindungsgerade P P 0 .
2 WELLENOPTIK
2.79
³
s + a = a2 + ρ2
´1/2
'a+
2 WELLENOPTIK
2.80
ρ2
2a
Daraus ergibt sich für den Wegunterschied bezüglich der axialen Verbindung P P 0 :
!
Ã
1
ρ2 1
∆ := s + s0 =
+ 0
2 a a
Wir definieren Radien ρm , die zu einem Weglängenunterschied von
mλ/4, m ∈Z führen. Für a0 = a folgt:
s
ρm =
m
λa
4
In der Figur 2.60 ist eine Zonenplatte in der Ebene skizziert. Die
Bereiche, die im Mittel zu destruktiver Interferenz führen, werden abgedeckt (schraffiert eingezeichnet).
Fig 2.60 Radien ρn . Die schraffierten Bereiche werden abgedeckt ⇒
Zonenplatte.
Fig 2.61 Beispiel einer Fresnel-Zonenplatte für die X-ray-Mikroskopie.
2 WELLENOPTIK
2.81
2 WELLENOPTIK
2.82
Ideale Zonenplatte
In der Ebene der Platte sei die Transmissionsfunktion t(ρ) gegeben
durch:
t(ρ) = cos(πρ2 /λf )
ρ ist wie oben der Radius. Beachten Sie, dass t() sowohl positive wie
auch negative Werte annimmt (praktisch nicht realisierbar). Diese
Platte werde mit einer ebenen Welle der Form u0 exp(ikz) beleuchtet
(z ist entlang der Symmetrieachse). Hinter dem Objekt haben wir die
Wellenamplitude
³
u(x, y, 0) = u0 cos π(x2 + y 2 )/λf
´
Daraus kann eindeutig die Welle hinter dem Objekt berechnet werden.
Es zeigt sich, dass man zwei Kugelwellen erhält, eine konvergierende
und eine divergierende (siehe Figur 2.63).
Fig 2.62 Elliptische Zonenplatte.
Fig 2.63
Für die zwei Wellen u1 und u2 gilt:
a1 ikr1 a1 ikf i(ρ2 /2f )k
e
' e ·e
r1
f
a2 −ikr2 a2 −ikf −i(ρ2 /2f )k
:=
e
' e
·e
r2
f
u1 :=
u2
2 WELLENOPTIK
2.83
2 WELLENOPTIK
2.84
Wählt man nun die Konstanten a1 und a2 geschickt, dann erhält man
die richtige Amplitude in der Ebene der Zonenplatte, d.h. wir haben
die Lösung gefunden.
Fig 2.65 Zur Erzeugung des Holgramms eines Punktes.
Näherung:
Fig 2.64 Sekundäre Lichtwellen bei der Beleuchtung einer idealen
Fresnel’schen Zonenplatte mit einer ebenen Welle.
Wie erhält man nun eine reale Zonenplatte, deren Transmissionsverhalten der idealen entspricht? Dazu soll ein Punkt P, der vor der
Photoplatte liegt (Aufzeichnungsmedium), als starkes Streuzentrum
dient, so dass eine von links einfallende ebene Welle an diesem Objekt
gestreut wird, Abbildung 2.64. Die Objektwelle ist eine Kugelwelle,
die vom Punkt P ausgeht. Diese Welle interferiert nun mit der ebenen Beleuchtungswelle (Referenzwelle), so dass auf der Photplatte ein
Interferenzmuster aufgezeichnet wird. Dies ist das Hologramm des Objektes (in diesem Fall ein Punkt). Die beiden Wellen ergeben (s ist
eine Konstante, die durch den Streuquerschnitt gegeben ist):
u(x, y, z) = u1 eikz + s u1 e−ikf ·
eikr
r
Für die Intensität in der Ebene z = 0 erhält man in paraxialer


Ã
!


s
(x2 + y 2 ) 
IH (x, y) = |u1 | 1 + 2 cos k

f
2f
2
Der zweite Teil in dieser Gleichung entspricht genau der Transmissionsfunktion t, die wir vorhin benützt haben. Nach dem Entwickeln
der Photoplatte haben wir ein Hologramm mit einer Transmissionsfunktion, die IH entspricht. Die Belichtung dieses Hologramms (man
spricht in diesem Zusammenhang von der Rekonstruktion des Objektes) liefert drei sekundäre Wellen auf der rechten Seite: A) die Objektwelle (das was wir wollen), B) eine sog. konjugierte Objektwelle und
C) einen Anteil der ebenen Welle (Referenzwelle). Dies ist in der
Figur 2.66 dargestellt.
Was ist die konjugierte Welle u?o ? Offensichtlich handelt es sich um
eine Kugelwelle, die zu einem neuen sekundären Objektpunkt hinläuft,
der hinter dem Hologramm liegt. Das sekundäre Objekt erhält man
durch Spiegelung (z → −z) am Hologramm. Insgesammt können
wir sagen, dass die konjugierte Welle aus der Objektwelle durch
2 WELLENOPTIK
2.85
2 WELLENOPTIK
Fig 2.66 Rekonstruktion des Objektes (Punkt), das auf dem Hologramm aufgezeichnet wurde.
Zeitumkehr und einer Spiegelung hervorgeht.
Fig 2.67 Aufzeichnen eines Hologramms.
Alles was hier gesagt wurde gilt allgemein. In der Figur 2.67 ist ein
allgemeines Objekt angegeben, deren Objektwelle uo mit der Referenzwelle ur auf der Photoplatte zur Interferenz gebracht wird. Das Hologramm besitzt dann eine Transmission von der Art:
t(x, y ∈ H) ∝ |uo |2 + |ur |2 + u?r uo + u?o ur
Wird dieses Hologramm wieder mit derselbe Referenzwelle beleuchtet,
dann erhalten wir drei Wellenfelder: A) Die Objektwelle, B) die konjugierte Welle, die proportional zu u?o ist, und C) die Referenz. Die
konjugierte Welle läuft auf das am Hologramm H gespiegelte Objekt
zu, Fig. 2.68.
Fig 2.68 Rekonstruktion des Objektes von Fig. 2.67.
2.86