Übung 8 - htw saar

Master
E/BMT/DFHI
Übung 8 Vektoranalysis HM1
Prof. Dr. B. Grabowski
[email protected]
(Feldlinien, Divergenz und Rotation, Nabla- und Laplace-Operator)
Aufgabe 1)
 e 2t 


Zeigen Sie, dass r (t ) =  ln(t ) , t > 0 eine Bahnkurve des Geschwindigkeitsfeldes
 1/ t 


 2x 


F ( x, y, z ) =  z  ist!
− z2 


Aufgabe 2)
1
Ein Masseteilchen bewegt sich im ebenen Geschwindigkeitsfeld v ( x, y ) =  .
 y
a) Wie lautet die Bahnkurve des Teilchens, wenn es sich zur Zeit t=0 im Punkt
P=(0,2) befindet?
b) Skizzieren Sie einige Feldvektoren und die Bahnkurven (auch die unter a) ermittelte!
Aufgabe 3)
 x   x 
Sei F     =  2  ein ebenes Geschwindigkeitsfeld.
 y   x 
a) Skizzieren Sie einige Feldvektoren!
b) Stellen Sie eine Vermutung über die Gestalt der Feldlinien auf!
c) Berechnen die Feldlinien dieses Vektorfeldes für die Anfangsbedingung x(0)=0,
y(0)=K!
d) Skizzieren Sie die Bahnkurven im Feld für einige K!
e) Zeigen Sie, F ist für x ≠0 kein Gradientenfeld!
Aufgabe 4)
 x   y 
Sei F     =   ein ebenes Geschwindigkeitsfeld.
 y   − x 
a) Skizzieren Sie einige Feldvektoren!
b) Stellen Sie eine Vermutung über die Gestalt der Feldlinien des Feldes auf!
c) Berechnen die Bahnkurven dieses Vektorfeldes für die Anfangsbedingung x(0)=R,
y(0)=0!
d) Skizzieren Sie die Bahnkurven im Feld für einige R!
e) Zeigen Sie, F ist kein Gradientenfeld!
f) Berechnen Sie Divergenz und Rotation von F! Interpretieren Sie diese Größen!
g) Wie verhält sich ein kleines Schaufelrad im Fluss von F
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Aufgabe 5)
Das elektrische Feld eines unendlich langen homogen geladenen Zylinders (um die z-Achse)
mit Radius R ist gegeben durch
 x
ρ  
2
2
2
im Inneren des Zylinders: E ( x, y, z ) =
(4.14)
 y  (x + y ≤ R )
2ε o  
0
im Außenraum: E ( x, y, z ) =
(r = Ladungsdichte,
 x
 
y (x2 + y 2 ≥ R2 )
2
2  
2ε o ( x + y )  
0
ρR 2
(4.15)
eo= elektrische Feldkonstante)
Elektrisches Feld in der Umgebung eines homogen
geladenen Zylinders (positive Ladungsdichte;
ebener Schnitt senkrecht zur Zylinderachse)
Berechnen und interpretieren Sie
a) die Divergenz,
b) die Rotation
des elektrischen Feldes innerhalb und außerhalb des Zylinders!
Aufgabe 6)
a) Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes
 xz 4 


F (r ) =  − 4 xz  im Punkt P=(1,-1,1).
 2 yz 2 


b) In welchen Punkten P=(x,y,z) ist das Feld wirbelfrei?
c) In welchen Punkten P=(x,y,z) ist das Feld quellenfrei?
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Aufgabe 7)
Zeigen Sie
a) Ein Wirbel (-bzw. Rotationsfeld) ist stets quellenfrei, d.h. zeigen Sie
div(rot ( E )) = 0
b) Ein Potential(-bzw. Gradientenfeld) ist stets wirbelfrei, d.h. zeigen Sie
rot ( grad (Ω)) = 0
c) div (Ω ⋅ F ) = Ω ⋅ div( F ) + F ⋅ grad (Ω)
Aufgabe 8)
a) Formulieren Sie folgende Gleichungen unter Verwendung des Nabla- und des LaplaceOperators:
a1) div(rot ( E )) = 0
a2) rot ( grad (Ω)) = 0
a3) div (Ω ⋅ F ) = Ω ⋅ div( F ) + F ⋅ grad (Ω)
b) Schreiben Sie die rechten Seiten der beiden folgenden Gleichungen mit Hilfe von
∂ ∂ ∂
, , und die linken Seiten mit Hilfe von rot, grad und div hin:
∂x ∂y ∂z
b1) ∆Ω = ∇ ⋅ ∇ ⋅ Ω
b2) ∆F = ∇ ⋅ (∇ ⋅ F ) − ∇ × (∇ × F )
c) Beweisen Sie die Gleichung b 2) ∆F = ∇ ⋅ (∇ ⋅ F ) − ∇ × (∇ × F ) !
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