Supersymmetrische Quantenmechanik

Supersymmetrische Quantenmechanik
Thomas Ueckerdt 196045
9. Mai 2007
1
Thomas Ueckerdt 196045
1
1.1
Motivation
Allgemeines
In der Physik unterscheidet man 2 Typen von Teilchen, je nach Verhalten ihrer
Wellenfunktion unter Vertauschung 2er identischer Teilchen.
Es gibt da die Fermionen(antisymmetrische Wellenfunktion) sowie die Bosonen(symmetrische
Wellenfunktion).
In der Darstellung der 2. Quantisierung überträgt sich diese Eigenschaft auf die
Vertauschungsbeziehung zwischen Erzeugern und Vernichtern.
Für Bosonen gilt:
+
− −
− +
[b+
i , bj ] = [bi , bj ] = 0 [bi , bj ] = δij
(1)
{fi+ , fj+ } = {fi− , fj− } = 0 {fi− , fj+ } = δij
(2)
Für Fermionen gilt:
So kann man nun einen beliebigen Teilchenzustand |Ψ > aus dem Vakuumzustand
|Ω > (< Ω|Ω >= 1) darstellen durch:
n1
+ nk
|Ψ >= (a+
α1 ) ...(aαk ) |Ω >
(3)
+
+
Wobei a+
i ∈ {bi , fi } ein beliebiger Einteilchenerzeuger ist.
1.2
Symmetrie und Supersymmetrie
Nach dem Noethertheorem folgt aus einer Symmetrie immer ein Erhaltungssatz,
was sich in der Quantenmechanik unmittelbar in einer Entartung darstellt.
Die Grundidee der Supersymmetrie ist eine Symmetrie zwischen bosonischen und
fermionischen Zuständen.
Man beschreibt sie durch eine Supersymmetrietransformation Q:
Q|F ermion >∼ |Boson >
sowie Q|Boson >∼ |F ermion >
(4)
Wenn man die Erzeuger(Vernichter) der Bosonen mit b+ (b− ) und die der Fermionen mit f + (f − ) bezeichnet, dann liegt der folgende Ansatz nahe:
Q+ = λ · b− f +
sowie Q− = λ · b+ f −
(5)
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Durch diesen Anstatz ist auch leicht erkennbar, dass die SuSy-Erzeuger zueinander adjungiert sind.
Q+ = (Q− )+
und Q− = (Q+ )+
(6)
Aus den fermionischen Erzeugereigenschaften folgt unmittelbar:
Q2+ = Q2− = 0
(7)
Damit es sich dabei um eine Symmetrietransformation handelt, muss die Energie
unter dieser Transformation erhalten bleiben. Anders ausgedrückt:
[HS , Q± ] = 0
(8)
Will man einen solchen invarianten Hamiltonian erzeugen, bietet sich de folgende
Ansatz an:
Hs = {Q+ , Q− }
(9)
Dieser Hamiltionian erfüllt offensichtlich (8).
Einen Schönheitsfehler hat diese Darstellung noch: Die Operatoren Q+ , Q− sind
nicht hermitesch, deshalb geht man nun zu anderen Operatoren Q1 , Q2 über:
Q1 = Q+ + Q−
sowie Q2 = −i(Q+ − Q− )
(10)
Auch Q1 und Q2 beschreiben Supersymmetrietransformationen. Diese Operatoren sind nun hermitesch. Der Hamiltonoperator erhält damit die Form:
HS = Q21 = Q22
(11)
Daran sieht man sofort, dass die zweifache Anwendung einer solchen SuSy-Trafo
wieder zurück zum ursprünglichen Energieeigenzustand führt.
Ausserdem erkennt man an dieser Schreibweise, dass alle Energieeigenwerte nicht
negativ sind, da Qk hermitisch ist (⇒ relle Eigenwerte) und HS = Q2k .
2
Beispiel Harmonischer Oszillator
Als typisches Beispiel eines supersymmetrischen Systems eignet sich der harmonische Oszillator.
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2.1
Der bosonische Oszillator
Wie aus der Quantenmechanikvorlesung bekannt,
# man den Hamiltonian
! mω " kann
p̂2
ip̂
mω 2 2
+
HB = 2m + 2 q̂ über Erzeuger b =
q̂ − mω und Vernichter b− =
2!
#
! mω "
ip̂
q̂ + mω mit bosonischen Vertauschungseigenschaften (1) schreiben.
2!
1
1
HB = !ω(b+ b− + b− b+ ) = !ω(b+ b− + ) = !ω(N̂B + )
2
2
2.2
(12)
Der fermionische Oszillator
Einen ähnlichen Hamiltonian bekommt man für den fermionischen Oszillator.
Hier bekommt man allerdings aus der Anikommutatorbeziehung ein − 12 statt
beim bosonischen Oszillator + 21 .
HF = −
2.3
!ω − +
1
1
(f f − f + f − ) = !ω(f + f − − ) = !ω(N̂F − )
2
2
2
(13)
Der supersymmetrische Oszillator
Kombinieren wir die beiden Oszillatoren mit unserem Ansatz (5) für die SuSyOperatoren Q± .
Q+ =
√
!ωb− f +
und Q− =
√
!ωb+ f −
(14)
Damit folgt für den Hamiltonian nach (9):
HS = {Q+ , Q− } = !ω(b+ b− + f + f − ) = !ω(N̂B + N̂F ) = HB + HF
(15)
Wir können also unsere Zustände eindeutig durch die Quantenzahlen nF und nB
charakterisieren. (da [N̂B , HS ] = [N̂F , HS ] = 0)
Auch leicht einzusehen ist, dass:
HS |nB , nF >= (nF + nF )|nB , nF >
(16)
Damit ist jeder Energieeigenwert, bis auf den auf den Grundzustand (|nB =
0, nF = 0 >) genau 2 fach entartet.
Bemerkung: Es stellt sich heraus, dass dies für supersymmetrische Systeme
immer der Fall ist.
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Hier kann man die SuSy-Trafo nochmal explizit hinschreiben:
√
√
√
!ω nB |nB − 1, 1 >
√ √
√
Q− |nB , 1 > =
!ωb+ f − |nB , 1 >= !ω nB + 1|nB + 1, 0 >
Q+ |nB , 0 > =
!ωb− f + |nB , 0 >=
(17)
Der Grundzustand wird von beiden Operatoren annuliert.
3
3.1
Nichtlineare SuSy
Der Hamiltonian
Wenden wir nun unseren Ansatz (9) auf allgemeine SuSy-Trafos an:
Die Nilpotenz der SuSy-Operatoren Q2+ = Q2− = 0 sollte dabei erhalten bleiben.
Da die Nilpotenz aus den fermionischen Erzeugern und Vernichtern (f ± ) folgte,
scheint folgender Ansatz vielversprechend:
Q+ = B − f +
und Q− = B + f −
(18)
Hierbei sollen B± Funktionen der bosonischen Erzeuger und Vernichter (b± ) sein,
wobei aus Q± = (Q∓ )+ folgt, dass die gleiche Bedinung auch für die B± = (B∓ )+
gelten sollte.
Diese Verallgemeinerung der Susy-Operatoren hat eine wesentliche Neuerung zur
Folge, denn während die Energieeigenzustände beim harmonischen Oszillator
noch eindeutig durch nF und nB charakterisiert werden konnten, gilt für den
allgemeineren Ansatz (18) mit HS = {Q+ , Q− }:
[HS , N̂F ] = 0
i.A.
$%&'
[HS , N̂B ] = [B B , b b ]f f + [B B , b b ]f f &= 0
−
+
+ −
+ −
+
−
+ −
− +
(19)
Damit müssen wir die Eigenzustände durch die Quantenzahlen E und nF beschreiben (|ψ >= |E, nF >).
Da die Fermiteilchenzahl nF nur 2 mögliche Werte (0 oder 1) annehmen kann,
bietet es sich an in eine zweikomponentige Darstellung zu wechseln:
|E, nF >=
(
|E, 0 >
|E, 1 >
)
⇔
(
Boson
Fermion
)
(20)
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In dieser Darstellung sehen die fermionischen Erzeuger und Vernichter wie folgt
aus:
+
f =
(
)
0 0
1 0
−
und f =
(
0 1
0 0
)
(21)
Damit können wir unsere hermitischen Operatoren schreiben über:
Q1
Q2
)
0 B+
= Q+ + Q− =
B− 0
)
(
0
iB +
= −i(Q+ − Q− ) =
−iB − 0
(
(22)
Durch Nachrechnen erkennt man, dass {Q1 , Q2 } = 0 gilt.
Damit folgt für den Hamiltonian:
HS =
Q21
=
Q22
=
(
B+B−
0
− +
0
B B
)
=:
(
H1 0
0 H2
)
(23)
Wie man sieht entkoppelt das System durch diese Schreibweise.
Durch scharfes Hinsehen und ein wenig Kreativität kann man diesen Hamiltonian
auch anders hinschreiben:
1
1
HS = {B − , B + }1 − [B − , B + ]σ3
2
2
(24)
(
)
(
)
1 0
1 0
Wobei 1 =
die 2 dimensionale Einheitsmatrix und σ3 =
0 1
0 −1
die Pauli-Matrix ist.
3.2
Zweifache Entartung
Nun wollen wir noch kurz beweisen, dass es sich
√ bei allen Energieeigenzuständen
um zweifach entartete handelt. Sei Q1 |A >= E|A > ein Eigenvektor von Q1 ,
damit insbesondere auch von HS = Q21 , dann erhalten wir durch Anwendung von
Q2 einen neuen Zustand |B >= Q2 |A >.
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Bemerkung: Es wäre ja rein theoretisch möglich, dass der neue Zustand |B >=
α|A > (α &= 0 sonst wäre Q22 |A >= 0 &= Q21 ) linear abhängig vom Ursprungszustand |A > wäre:
folgt aus den Vertauschungsbeziehungen für Q1 , Q2
√
√
= Q1 |B >= Q1 α|A >= Eα|A >= E|B >
= Q2 Q1 |A >= 0
(25)
Q1 Q2 |A > = −Q2 Q1 |A >
Dieser Fall kann also nur eintreten, wenn
√
E = E = 0 ist.
Falls |A >&= α|B > Eintritt (E > 0), wendet man nun Q1 auf diesen |B > an:
√
√
Q1 |B >= Q1 Q2 |A >= −Q2 Q1 |A >= − EQ2 |A >= − E|B >
(26)
|B > ist damit ein weiterer Eigenvektor zu HS mit gleichem Energieeigenwert E.
Einzige Außnahme hier ist der Energieeigenwert E = 0 bei dem kann man über
die Entartung so keine Aussage treffen.
3.3
Das Superpotential
Werden wir etwas spezieller:
Eine sinnvoll erscheinende Verallgemeinerung des SuSy-Oszillators wäre z.B. die
folgende:
1
b =√
2!ω
±
(
√
ip̂
mω q̂ ∓ √
m
)
(
)
ip̂
1
→ B = √ W (q̂) ∓ √
m
2
±
Das auf diese Art und Weise definierte Superpotential hat die Dimension
ist deshalb nicht als physikalisches Potential zu verstehen.
(27)
√
Energie,
Ausgehend von diesem Ansatz für die Bosonischen Erzeuger und Vernichter,
kommt man unter Anwendung des Korrespondenzsprinzips zu folgendem Hamiltonian:
HS =
(
B+B−
0
0
B−B+
)
1
=
2
(
)
)
(
p̂2
!
dW
2
σ3
+W 1− √
m
2 m dq
(28)
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3.4
Der Grundzustand
Wie oben schon angedeutet ist der Grundzustand E = 0 (sofern er existiert) als
einziger nicht entartet.
Der Grundzustand erfüllt H|Ω >= 0.
Je nachdem ob der Grundzustand ein bosonischer oder ein fermionischer Zustand
ist, gilt damit:
H1 |0, 0 > = B + B − |0, 0 >= 0 ⇔ B − |0, 0 >= 0
H2 |0, 1 > = B − B + |0, 1 >= 0 ⇔ B + |0, 1 >= 0
(29)
Bemerkung: Die Äquivalenz sieht man, wenn man sich folgende Gleichung ansieht:
*
*2
< Ψ|B ± B ∓ |Ψ >= 0 = *B ∓ |Ψ >*
(30)
Betrachtet man die Gleichung (29) nun als Differentialgleichungen 1.Ordnung:
(
W (q̂) +
(
W (q̂) −
)
ip̂
(1)
√
Ψ0 = 0
m
)
ip̂
(2)
√
Ψ0 = 0
m
(31)
Deren Lösungen sind:
+
(1)
Ψ0 (x)
(2)
Ψ0 (x)
,
- √ . x
/
m
#
#
= C · exp ∓
W (x )dx
! 0
(32)
Aus der noch zu fordernden Quadratintegrabilität folgt dann, welcher der beiden
Grundzustände tatsächlich realisiert wird, bzw. ob es überhaupt einen Grundzustand geben kann.
Damit hängt die Art des Grundzustandes explizit vom Verhalten des Superpotentials im Unendlichen ab.
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3.5
Vom Grundzustand zum Superpotential
Bei exakter SuSy, d.h. bei Existenz eines Grundzustandes, ist es möglich aus dem
Grundzustand alleine das gesamte System zu beschreiben.
O.B.d.A. wählt man den Grundzustand mit H1 Ψ0 = 0. Diese Gleichung anders
hingeschrieben:
!2 ## 1
Ψ +
2m 0 2
)
(
!
2
#
W − √ W Ψ0 = 0
m
(33)
Separation der Variablen:
(√
Ψ##0
=
Ψ0
m
W
!
)2
−
(√
m
W
!
)#
(34)
Durch einen Trick lässt sich diese DGL 2.Ordnung sofort lösen:
(
Ψ#0
Ψ0
)#
Ψ##
= 0−
Ψ0
(
Ψ#0
Ψ0
)2
(35)
Vergleicht man die beiden Gleichungen, (34) und (35), so erhält man für das
Superpotential:
! Ψ#0
W = −√
m Ψ0
(36)
Wir haben es also geschafft, das gesammte System explizit aus dem Grundzustand
herzuleiten und zu beschreiben.
4
Anwendung Kastenpotential
In (28) haben wir gesehen, dass das SuSy-System in 2 entkoppelte Systeme zerfällt, die jedes für sich vollständig durch einen Hamiltinoan H1 bzw H2 beschrieben werden können.
Die Hamiltonians zerlegen sich für jedes System dann wieder in einen potentiellen
und einen kinetischen Anteil:
!2 d 2
H1 = −
+ V1 (x)
m dx2
!2 d 2
+ V2 (x)
H2 = −
m dx2
mit
mit
1
W (x)2 −
V1 (x) =
2
1
W (x)2 +
V2 (x) =
2
/
!
#
√ W (x)
m
/
!
#
√ W (x)
m
(37)
9
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Dabei entsprechen die Vi jetzt realen physikalischen Potentialen.
0
1
0 für 0 ≤ x ≤ L
Geht man nun davon aus, dass V1 (x) =
ein Kastenpotential
∞ sonst
ist, so kann man das H1 -System explizit lösen:
Jetzt wollen wir das komplette SuSy-System beschreiben, deshalb ist es hier
zweckmäßig zu fordern, dass der Grundzustand existiert und in dem H1 -System
liegt.
Die Eigenzustände und Energieeigenwerte für das Kastenpotential kann man direkt hinschreiben:
ψn(1) (x)
En(1)
2
(
)
(n + 1)πx
2
=
sin
wobei 0 ≤ x ≤ L
L
L
!2 π 2
=
(n + 1)2
2mL2
(38)
Insbesondere den Grundzustand:
(1)
ψ0 (x)
=
2
3 πx 4
2
wobei 0 ≤ x ≤ L
sin
L
L
(39)
Daraus können wir ja das Superpotential berechnen:
#(1)
3 πx 4
! Ψ0
!π
√
W = −√
=
−
wobei 0 ≤ x ≤ L
cot
L
m Ψ(1)
mL
0
(40)
Nun folgt daraus das Partnerpotential V2 :
/
/
1
!
2
!2 π 2
2
#
− 1 wobei 0 ≤ x ≤ L
V2 (x) =
W (x) + √ W (x) =
2
2mL2 sin2 ( πx
m
)
L
(41)
Die Eigenfunktionen von H2 können wir jetzt direkt aus den Eigenfunktionen des
Kastenpotential durch Anwendung der SuSy-Trafo herleiten.
Da nach (22) die SuSy-Trafo wie folgt aussieht,
Q1 = Q+ + Q− =
(
0 B+
B− 0
)
(42)
brauchen wir noch die Operatoren B ± , die wir aber mit (27) sofort hinschreiben
können:
10
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/
πx
d
!
π
cot
±
B = −√
L
dx
2m L
±
(43)
Jetzt können wir die Wellenfunktionen des Partnersystems ausrechnen, z.B. dessen Grudnzustand:
(2)
ψ0 (x)
=5
1
B
(1)
−
(1)
ψ1 (x)
E1
2
=−
πx
8
sin2
3L
L
(44)
Zur Anschauung noch eine Skizze der Potentiale, Zustände und Energien des
SuSy-Systems. (Quelle: Kalka-Soff Vgl. unten):
5
Ausblick SuSy-Ketten
Jetzt wo wir eine explizite Rechenvorschrift gefunden haben um aus dem Grundzustand eines bestehenden Systems das Superpotential und damit ein SuSySystem zu berechnen, sind wir in der Lage eine SuSy-Kette zu definieren.
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11
Das Konzept dahinter ist recht einfach zu verstehen.
Wir wählen uns ein beliebiges System (mit Potential V (1) ), Index 1, (zunächst ohne SuSy) und berechnen dessen Grundzustand, damit hat das System die folgen(1)
(1)
(1)
den Zustände (|En , nF >) mit E0 = 0. Aus diesem Grundzustand berechnen
wir nun das SuSy-Potential W (1) und daraus das Potential V (2) für die entkoppel(1)
(2)
te Hamiltongleichung zur anderen Fermionenzahl nF = 1 + nF mod2 und damit
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
die Zustände |En , nF > mit En = En+1 und damit E0 = E1 > 0.
Jetzt kann man die gleichen Betrachtungen wieder von vorne beginnen mit dem
neuen Potential V (2) .
So erhält man eine Folge von Systemen mit jeweils aufsteigender Grundzustandsenergie.
6
Quelle
H. Kalka, G. Soff: Supersymmetrie, Teubner-Studienbücher 1997