9. Übungsblatt – Theoretische Physik II

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
17. Juni 2011
Prof. Dr. Harald Engel,
Dipl. Phys. Stefan Fruhner, Dipl. Phys. Judith Lehnert, Dipl. Ing. Maximilian Schmitt
Tanja Schlemm, Anke Zimmermann
9. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Di. 21.06.2011 8:15 Briefkasten ER-Geb./online über ISIS (max. 1MB)
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet.
Dafür gibt es auch Punkte! Die Abgabe soll in Dreiergruppen erfolgen.
Aufgabe 20 (15 Punkte): Wasserstoffatom
Eine normierte Wellenfunktion ist gegeben durch
−3/2
a0
Ψ(r, θ, φ) = √
π
exp(−r/a0 ) .
(a) Zeigen Sie durch Einsetzen in die zeitunabhängige Schrödingergleichung, dass Ψ(r, θ, φ) eine
Wellenfunktion des Wasserstoffatoms mit dem Coulomb-Potential V (r) = −e2 /(4π0 r) ist.
Geben Sie den Energieeigenwert und die Quantenzahlen des Zustandes an.
Hinweis: Der Bohrsche Radius a0 = 4π0 ~2 /(me e2 ) ist ein typisches atomares Längenmaß. Eine entsprechende charakteristische Energieeinheit ist die Rydberg-Energie ER =
~2 /(2me a20 ).
(b) Berechnen Sie den mittleren Abstand des Elektrons vom Kern.
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Elektron innerhalb des Kerns zu finden (Kernradius
ca. 10−15 m)?
(d) Ein Elektron im Coulombfeld eines Protons habe die Wellenfunktion
a0 3/2
Φ= √
exp(−a20 r2 /2) .
π
Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet es sich im Grundzustand Ψ100 des Wasserstoffatoms?
R
(e) Plotten Sie nun die radiale Aufenthalts-Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r) = dΩ r2 |Ψn,l,m (r)|2
für
(i) die Zustände l = 0 mit n = 1, 2, 3, 4 ,
(ii) die Zustände n = 4 mit l = 0, 1, 2, 3 .
Hinweis: Verwenden Sie als Längenskala den Bohrschen Radius und beachten Sie, dass die
Laguerre-Polynome in Mathematica nicht die übliche Normierung haben.
(f) Visualisieren Sie das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, φ) mit Hilfe des
Kommandos SphericalPlot3D von Mathematica für l = 1 mit m = −1, 0, 1 sowie für
l = 2 mit m = 0, 1, 2. Was wird dabei dargestellt?
Aufgabe 21 (5 Punkte): Virialsatz
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert des Coulomb-Potentials im Grundzustand des Wasserstoffatoms und zeigen Sie dass hV i = 2E1 .
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der kinetischen Energie im Grundzustand des Wasserstoffatoms und bestätigen Sie die Gültigkeit des Analogons zum Virialsatz der klassischen
Mechanik:
hT i = −1/2hV i .
1
9. Übung TPII SS11
Aktuelle Informationen werden auf der Webseite bekannt gegeben. Diese ist zu erreichen über
http://www.tu-berlin.de/?98665
Wochenplan
8-10
10-12
12-14
14-16
Di
VL EW 203
Tut H 2033 TS
Tut EB 133C M/S
Tut ER 164 M/S
Mi
VL EW 202
Do
Tut EW 226 TS
Tut EW 226 AZ
Tut EB 417 AZ
M/S – Max Schmitt/Stefan Fruhner, TS – Tanja Schlemm, AZ – Anke Zimmermann
Sprechzeiten:
Name
Prof. Dr. H. Engel
Stefan Fruhner
Max Schmitt
Tanja Schlemm
Anke Zimmermann
Tag
Mi.
Fr.
Do.
Fr.
Di.
Zeit
14:30-16:00
14:00-15:00
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
2
Raum
EW 738
EW 627/28
EW 708
EW 060
EW 060
Tel.
79462
27681
25225
26143
26143