Übungsblatt 6 Quantenmechanik (WS 2016/17)

Übungsblatt 6
Quantenmechanik (WS 2016/17)
Abgabe: Dienstag, den 29. November 2016 vor Beginn der Vorlesung
Dieses Übungsblatt behandelt verschiedene kanonische Probleme der Quantenmechanik. Zunächst untersuchen wir die Zeitentwicklung Gauÿscher Wellenpakete für ein freies Teilchen. Für ein freies Teilchen hat
die Schrödingergleichung Ähnlichkeiten mit der Diusionsgleichung. Es ist daher instruktiv, die Lösungen
der Diusionsgleichung mit der Lösung der Schrödingergleichung zu vergleichen. Dann bestimmen wir
die Bindungszustände in einem doppelten δ -Potential. Derartige Doppelmuldenpotentiale kommen in den
Anwendungen der Quantenmechanik regelmäÿig vor. Es ist daher wichtig, die Aufspaltung der Zustände in
symmetrische und antisymmetrische Eigenzustände zu verstehen. Diese Aufgabe lieÿe sich in verschiedene
Richtungen weiterentwickeln. So könnte man unterschiedliche Stärken der δ -Potentiale annehmen oder
die entsprechenden Streuzustände berechnen. Beides Probleme sind sehr instruktiv. Schlieÿlich sollen
Sie die Streuung an einer Potentialstufe betrachten. Hier müssen Sie beachten, dass sich das Teilchen auf
beiden Seiten der Potentialstufe mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegt, wenn Sie die Transmissionswahrscheinlichkeit bestimmen.
(5+10+5+10 Punkte)
In dieser Aufgabe wollen wir die Dynamik eines Wellenpakets explizit untersuchen. Nehmen Sie an, dass
ein Wellenpaket anfangs die Form
ψ(x, t = 0) = A exp{−ax2 }
(1)
Aufgabe 1: Gauÿsche Wellenpakete
annimmt. Das Wellenpaket soll sich in einem verschwindenden Potential V (x) = 0 bewegen.
(a) Normieren Sie die Wellenfunktion ψ(x, t = 0).
(b) Berechnen Sie die Wellenfunktion des Wellenpakets zu allen späteren Zeitpunkten t. Entwickeln Sie
hierzu die anfängliche Wellenfunktion in den Eigenfunktionen des freien Teilchens. Für diese Eigenfunktionen können Sie die Zeitentwicklung leicht angeben. Führen Sie alle Integrationen explizit aus. Das
Ergebnis nimmt die Form
ψ(x, t) =
2a
π
1/4
exp{−ax2 /w}
w1/2
(2)
mit w = 1 + 2i~at/m.
(c) Berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ(x, t)|2 . Beschreiben Sie Ihr Resultat qualitativ.
(d) Berechnen Sie die Erwartungswerte hxi, hpi, hx2 i, und hp2 i für das Wellenpaket zu allen Zeiten t.
Erfüllt das Wellenpaket die Heisenbergsche Unschärferelation? Zu welchem Zeitpunkt ist die Unschärfe
am kleinsten?
Aufgabe 2: Doppeltes
(10+10+5 Punkte)
δ -Potential
Betrachten Sie das doppelte δ -Potential
V (x) = −α[δ(x + a) + δ(x − a)].
(3)
In dieser Aufgabe wollen wir insbesondere die gebundenen Zustände dieses Potentials betrachten. Ist a
groÿ, so bindet jedes der beiden δ -Potentiale je einen gebundenen Zustand. Es sollten also insgesamt zwei
gebundene Zustände existieren. Geht a gegen Null, so fallen die beiden δ -Potentiale zusammen und bilden
ein δ -Potential mit doppelter Stärke. In diesem Fall erwarten wir einen einzigen gebundenen Zustand.
Allgemein sollte die Anzahl der gebundenen Zustände von zwei auf eins abnehmen, wenn der Abstand a
reduziert wird.
1
Diese Aufgabe behandelt ein Beispiel für ein Doppelmuldenpotential. Doppelmuldenpotentiale treten in
den Anwendungen der Quantenmechanik relativ häug auf. Ein berühmtes Beispiel ist das AmmoniakMolekül NH3 . Hier bilden die drei Wasserstoatome eine Ebene, und das Stickstoatom kann sich auf
beiden Seiten dieser Ebene aufhalten. Das Stickstoatom bendet sich also in einem Doppelmuldenpotential. Dies führt zu einer kleinen Aufspaltung der Energieniveaus des Stickstos, die die Grundlage für
die ersten Maser bildete.
(a) Betrachten Sie α > 0 und gebundene Zustände, d.h. E < 0. Geben Sie die allgemeine Lösung
der Schrödingergleichung in den Regionen x < −a, −a < x < a und x > a an. Geben Sie geeignete
Bedingungen an, um die freien Parameter zu bestimmen.
(b) Zeigen Sie, dass die Lösungen in symmetrische [ψ(x) = ψ(−x)] und antisymmetrische Eigenfunktionen
[ψ(x) = −ψ(−x)] zerfallen. Zeigen Sie weiter, dass die Eigenenergien der symmetrischen Wellenfunktionen
aus
~2 κ
e−2κa =
−1
(4)
mα
folgen, die der antisymmetrischen Wellenfunktionen aus
e−2κa = 1 −
~2 κ
.
mα
(5)
Lösen Sie diese Gleichungen graphisch und zeigen Sie, dass zwei Lösungen nur dann existieren, wenn
a > ~2 /2mα.
(c) Zeigen Sie, dass der Grundzustand immer ein gerader Zustand ist. Betrachten Sie schlieÿlich die
Energieaufspaltung ∆E zwischen symmetrischem und antisymmetrischem Zustand im Limes groÿer a und
zeigen Sie, dass
∆E '
2mα2 −2mαa/~2
e
.
~2
(6)
Eine solche Aufspaltung zwischen symmetrischem und antisymmetrischem Zustand tritt allgemein für
Doppelmuldenpotentiale auf.
(5+10+10 Punkte)
Aufgabe 3: Potentialstufe
Betrachten Sie eine Potentialstufe
V (x) =
0
V0
x<0
x>0
(7)
mit V0 > 0. In dieser Aufgabe wollen wir die Streuung einer von links einlaufenden Welle betrachten.
(a) Berechnen Sie die Reektionswahrscheinlichkeit R für eine einlaufende Welle mit E < V0 . Interpretieren
Sie Ihr Ergebnis.
(b) Berechnen Sie die Reektionswahrscheinlichkeit R für eine einlaufende Welle mit E > V0 .
(c) Berechnen Sie die Transmissionswahrscheinlichkeit T für E > V0 . Beachten Sie, dass sich das Teilchen
auf beiden Seiten der Potentialstufe mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegt. Prüfen Sie, ob Ihr
Resultat die Identität R + T = 1 erfüllt.
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