Hering

402
6. Optik
6. Optik
6.1. Einführung
Die Optik ist die Lehre vom Licht und befaßt
sich mit den Erscheinungen, die durch unser
Sinnesorgan Auge wahrgenommen werden.
Die Gliederung der Optik in ihre historisch
gewachsenen Teilgebiete ist in Bild 6-1 schematisch dargestel1t
Die Auffassung über das Wesen des Lichtes
änderte sich mehrmals im Lauf der Zeit. Von
Newton wurde 1672 eine Korpuskulartheorie
entwickelt. Ihr zufolge sendet eine LichtquelJe
kleine Korpuskeln aus, die sich mit großer
Geschwindigkeit geradlinig fortbewegen, bis
sie entweder direkt oder nach der Reflexion
an Gegenständen ins Auge gelangen und dort
Sinnesreize auslösen. Mit seiner Korpuskulartheorie war Newton in der Lage, die Reflexion
und Brechung von Licht zu erklären.
Die Phänomene der Beugung und Interferenz
des Lichtes konnt~n nur mit der zuerst von
Huygens (1678) entwickelten Wellentheorie
des Lichtes erklärt werden die später durch
die Arbeiten von Young (1802) erhärtet wurde. War man zunächst noch der Meinung, daß
es sich um elastische Longitudinalwellen in
einem das Weltall erfüllenden "Äther" handelte, so wurde nach der Entdeckung der
Polarisation des Lichtes durch Malüs (1808)
von Fresnel (1815) der Schluß gezogen, daß
das Licht eine transversale Welle darstellt.
Die alur der Lichtwellen al elektromagnetische Trans ,ersalwellen wurde chließhch von
Maxwell (1865) erkannt. Die Maxwellschen
Gleichungen haben elektromagneti che Wellen
als Lö ung die sich mit Lichtgeschwindigkeit
im Vakuum ausbreiten. E gelang, alle Gesetze der Optik aus den Grundgleichungen
der Elektrodynamik herzuleiten, so daß die
Optik zu einem Teilgebiet der Elektrodynamik wurde.
Bild 6-2 zeigt die Einordnung des sichtbaren
Lichtes in das Gesamtspektrum der elektromagnetischen Wellen. Da ichtbare Spektrum
liegt im WellenJängenbereich J. = 380 nm bis
). = 780 nm. Die Wellenlänge A. ist mit der
Frequenz f und der Lichtgeschwindigkeitc
durch c = A.jverknüpft (Ab chn. 5.2.1). Mit der
Vakuumlichtgeschwindigkeit Co = 299 792,458
km/s ergeben sich Frequenzen des sichtbaren
Lichts im Bereich j= 3,84' 10 14 Hz bis
7,89' 10 14 Hz. Unser Auge ist demnach in
einem Frequenzintervall von einer Oktave
empfmdlich.
Nachdem Ende des 19. Jahrhunderts die Wellentheorie des Lichtes etabliert war wurden
um die Jahrhundertwende Experimente bekannt, die mit der Wellentheorie nicht interpretierbar waren. Diese Schwierigkeiten treten immer dann auf, wenn Licht und Materie
in Wechselwirkung treten, z. B. bei der Absorption und Emission von Licht. Einen Ausweg fand Einstein (1905) mit der Einführung
seiner Lichtquantenhypothese. Danach soll
Licht aus einzelnen Lichtquanten bestehen
Physikalische Optik
Quantenelektrodynamik
I
I
klassische Optik
Quantenoptik
Welleneigenschatten
Korpuskulareigenschaften
I
I
I
geometrische Optik
Wellenoptik
Gegenstände> Wellenlänge
Gegenstände - Wellenlänge
I
I
elektromagnetische
Transversalwellen
LichtS1rahlen
I
I
Reflexion
Blld 6-1.
I
I I
I
Brechung
I
I
l,ntetferenz
I I
Strukturblld physlkalrsche Opak.
I
I
Beugung
Dualismus
Welle - Teilchen
I
Il
I
Polarisation
Il
Lichtquanten
I
Emission
Absorption
1I
Streuung
(Compton)
Raman
I
I
Spektrallinien
J
6.2. Geometrische Optik
A. in m
fin Hz
r-- 10 4
~ 10
4
-
10
3
10
2
10
1
10
0
-
-
10-
1
10-
2
-
10 5
Langwellen
-
10 6
Mittelwellen
-
10
-
10 8
-
10 9
f---
10 10
7
Kurzwellen
Ultrakurzwellen
Mikro wellen
r-- 10 11
-
10- 3
-
10- 4
-
5
f--
10 12
r-- 10 13
10-
Infrarot
f--
-
10
15
f--
10
16
t--
10 17
10- 8
-
9
10-
sichtbaJes Licht
Ultraviolett
Röntgenstrahlu n9
18
f--
10
f--
10 19
10- 10
r-- 10- 11
f-f--
t
10-7
-
-
~
10-6
t--
-
10 14
10
20
~trahlung
403
Korpuskulartheorie wo der Weg einer Korpuskel durch einen geraden Strahl be chrieben wird. Auch in der Wellentheorie hat der
Lichtstrahl eine sinnvolle Bedeutung' er entpricht der Normalen auf einer Wellenfläche.
Bild 6-3 a zeigt eine punktförmige Lichtquelle
mit konzentrischen kugelförmigen Wellenfläehen. Die eingezeichneten Strahlen die von
der Lichtquelle ausgehen, stehen senkrecht
auf den Wellen flächen. Die Ge amtheit aBer
Strahlen die von der Blende begrenzt werden, nennt man ein Strahlenbündel. Wenn die
Strahlen - wie in diesem Fall - von einem
Punkt au gehen bzw. ich in einem Punkt
chneiden, ist das Bündel homozentrisch.
Bei ebenen Wellen die z. B. von Lasern au gesandt werden oder in großer Entfernung
von Lichtquellen vorliegen, sind die Strahlen
parallel (Bild 6-3 b). Der Pfeilrichtung an den
Strahlen kommt keine besondere Bedeutung
zu, denn der Lichtweg ist grund ätzlich umkehrbar. Lichtstrahlen die sich durchkreuzen,
beeinf1u en sich gegen eitig nicht. Ein trahl
verläuft al 0 immer 0, als ob keine anderen
Strahlen vorhanden wären.
Die geometri che Optik ist brauchbar 0lange die Dimension der Gegenstände Lina)
10-12
Bild 6-2. Wellenlängen 1 und Frequenzen/im Spektrum der elektromagnetischen Wellen.
die Energie in ganzen Paketen d. h. quantenhaft mit Materie austauschen. Je nach Experiment wurde deshalb Licht entweder als Teilchenstrom oder al elektromagneti che Welle
interpretiert. Die e Zweigleisigkeit der Bechreibung wurde mit dem Begriff Welle-Teilchen-Dualismus belegt. Er t in der Quantenoptik bzw. Quantenelektrodynamik wurde eine
theoretische Beschreibung gefunden, die beide Aspekte vereinigt.
b)
..
6.2. Geometrische Optik
6.2.1. Licbtstrahlen
Die
fußt
ich
Der
geometrische Optik oder Strahlenoptik
auf der Prämis e: Lichtstrahlen breiten
im homogenen Medium geradlinig au .
Begriff der Strahlen stammt au der
Bild 6-3. Strahlen- und Wellenj1ächen: a) Homozen,risches Strahlenbündel und Kugelwellen b) paralleles Strahlenbündel und ebene Wellen.
404
6. Optik
en, Spiegel, Blenden u w. groß sind gegenüber der Wellenlänge de Lichtes. Sind dagegen die Abme ungen in der Größenordnung
der Wellenlänge, dann werden Beugungseffekte wirk am, die mit der Wellenoptik erklärt werden müssen (Bild 6-1).
6.2.2. Reflexion des Lichtes
6.2.2.1. Reflexion an ebenen Flächen
Fällt ein Lichtstrahl nach Bild 6-4 auf eine
piegelnde Fläche so wird der Strahl reflektiert. Die ormale zur Fläche durch den Auftreffpunkt wird als Einfallslot bezeichnet. Es
gilt das ReJlexionsgesetz:
Bild 6-5. Strahlengang im Winkelspiegel (zu Beispiel 6.2-1).
Einfallender Strahl reflektierter Strahl und
Einfallslot liegen in einer Ebene; der Einfallswinkel e und der Reflexionswinkel er
sind gleich: er =-e
Lichtstrahl der enkrecht zur gemeinsamen Kante
verläuft, wird durch beide Spiegel reflektiert. Wie
groß ist der Ablenkungswinkel b? Was ergibt sich
speziell für y = 45 ° und y = 90 ° ?
--------~~----------~-c
A
Lot
Lö ung:
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt
(90° - a)+ (90° - ß) + y= 180°.
(l)
Im Dreieck ABD gilt
2a+2ß+(1800-«5)= 180°.
(2)
Au (l) und (2) folgt b = 2 y. Für y = 45 ° ist der
Ablenkwinkel fJ = 90 0. Ein solcher Winkelspiegel
wird in der Geodäsie benutzt, um senkrechte Richtungen zu bestimmen. Für y = 90 ° wird der Ab1enkungswinkel 15=180°, d.h., der einfallende und der
reflektierte Strahl sind parallel.
Spiegel
Bild 6-4. ReJ1exionsgesetz: Der Einfallswinkel
gleich dem Reflexionswinkel Er'
E
ist
Das Reflexion gesetz da von Euklid 300
v. ehr. gefunden wurde i t theoretisch leicht
erklärbar. In Newtons Korpuskulartheorie
folgt diese 'Gesetzmäßigkeit aus dem elastischen StoB eines leichten Teilchens an einer
chweren Wand. Im Wellenbild ergibt sich
da Reflexionsgesetz zwanglos aus der Kontruktion Huygensscher Elementarwellen an
der Auftreffstelle (Ab chn. 5.2.4.3).
Beispiel
6.2-1: Zwei ebene Spiegel bilden nach Bild 6-5
einen Winkelspiegel mit dem Öffnungswinkel y. Ein
Aus einem 90°-Winkel piegel wird ein Tripelspiegel, wenn man noch eine dritte spiegelnde
Fläche senkrecht zu den beiden vorhandenen
aufbringt. (Die Flächen toBen aneinander
wie bei einer Würfelecke. Ein Lichtstrahl
der in einen Tripelspiegel fällt, wird stets so
reflektiert, daß der reflektierte Strahl parallel
zum einfallenden verläuft. Außer als Rückstrahler an Fahrzeugen wird der Tripelspiegel
bei der optischen Entfernungsmes ung eingeetzt. Dabei wird ein Lichtpuls von einem
Sender ausgestrahlt an einem Tripelspiegel
reflektiert und mit einem Detektor, der unmittelbar beim Sender steht, nachgewiesen.
Die Entfernung zwi chen Sender und Tripelpiegel ergibt sich aus der Laufzeit des Lichtpulses und der Lichtgeschwindigkeit.
6.2. Geometrische Optik.
BUdentstehung beim Spiegel
Befindet sich ein Gegenstand vor einem
Spiegel 0 kann ein Beobachter, der in den
Spiegel blickt ein Bild des Gegenstandes
sehen. In Bild 6-6 fällt das Licht einer punktförmigen Lichtquelle L auf einen ebenen
Spiegel. Jeder Lichtstrahl wird nach dem
Reflexionsgesetz reflektiert. Die ge trlchelten
Verlängerungen der Strahlen treffen sich hinter dem Spiegel im Punkt L'. Für einen Beobachter cheinen alle Strahlen vom Punkt L'
herzukommen. L' ist daher das Bild der
Lichtquelle L.
Gegen tandspunkt L und Bildpunkt L' liegen auf einer Normalen zur Spiegelfläche
und haben den gleichen Abstand vom
Spiegel.
405
6.2.2.2. Reflexion an gekrümmten Flächen
Wenn ein Lichtstrahl auf eine gekrümmte
piegelnde Fläche fällt, so ist nach dem Reflexionsgesetz der Einfallswinkel gleich dem
Au fall winkel. Die gekrümmte Fläche wird
im Auftreffpunkt des Lichtstrahls durch ihre
Tangentialebene ersetzt, das Einfallslot ist die
Normale durch den Beruhrpunkt.
älJt Licht gemäß BiJd 6-7 parallel zur optischen Achse (Rotation symmetrieachse) auf
einen Parabolspiegel, 0 schneiden sich alle
Strahlen in einem Punkt, dem Brennpunkt F.
Sitzt dagegen im Brennpunkt eine punktförmige Lichtquelle. 0 verlassen wegen der Umkehrbarkeit des Strahlengangs alle Strahlen
als paralleles Lichtbündel den Parabolspiegel.
Parabolspiegel werden bei Scheinwerfern benutzt, um eine möglichst gute Bündelung des
Lichtes zu erhalten. Selbst bei geometrisch
ideaJer Paraboloid form sind bei einem Scheinwerfer nicht alle Strahlen paraBel weil die
Lichtquelle (Lampenwendel) nicht punktförmlg i t, ondem eine endliche Au dehnung
hat.
Auge
B Ud 6-6. SpiegeibiJd einer punktformigen Lichtquelle L in einem Spiegel.
Es handelt sich in die em Fall um ein virtuelles oder scheinbare Bild weil ich nicht die
Strahlen selbst sondern nur ihre Verlängerungen chneiden. Ein virtuelles Bild kann im
Gegensatz zu einem reellen Bild bei dem sich
die Strahlen wirkJich schneiden, nicht auf
einem Schirm sichtbar gemacht werden.
Zur Übung
Bild 6-7. Strahlengang bei einem Parabolspiegel mit
Brennpunkt F.
Ü 6.2-1: Leiten Sie das Reflexionsgesetz her mit
Hilfe der Huygensschen Elementarwellen (Abs~hn.
5.2.4.3). Hinweis: Wenn eine ebene Welle auf emen
Spiegel fal1t, werden an den Schnittpunkten der
Wellenflächen mit der Spiegelebene Kugelwellen
ausgesandt deren Einhüllende die neue Wellenfront
bildet.
Ü 6.2-2: Ein Winkelspiegel hat den ÖIT~ng wi':lkel
Y= 72°, Konstruieren Sie sämtliche BIlder el~er
punktfOrmigen Lichtquelle, die innerhalb des SpIegel teht Wie viele Bilder ergeben sich?
Für die Praxis sind sphärische Hohl- oder
Konkav piegel von größerer Bedeutung al die
Parabol piegel. Ein phäri cher Hohl piegel
i t eine innen er piegelte KugeJkaloue. Fällt
en prechend Bild 6- a ein Lichtbü, d 1 parallel zu opti chen Ach e C auf d n Hohlpiegel, 0 können ich infolge der anderen
Krümmung erhältni e nicht alle trahten in
einem Punkt treffen wie beim Parabol piegel.
406
6. Optik
Die Reflexion eines achsenparal1el einfallenden Strahl erkennt man in der oberen Hälfte
von Bild 6-8 a. Das Einfallslot ist die Verbindung zwi chen Au ftre ffp unkt A und Kreismittelpunkt C. In der unteren Hälfte von Bild
6- a fällt ein achsenparallele Lichtbündel
auf den Spiegel. Die Einhüllende aller reflektierten Strahlen ist eine geschlos ene Kurve
die Katakaustik. In Bild 6-8 b ist das Photo
einer Katakaustik wiedergegeben. Hierbei
wurde ein innen verspiegelter Ring mit parallelem Licht beleuchtet.
Bei der Betrachtung von Bild 6-8 a faUt auf
daß diejenigen Strahlen die nahe der optischen Achse verlaufen, in einem Punkt F' gesammelt werden. Diese achsennahen Strahlen
werden als Paraxialstrahlen bezeichnet Die
Reflexion eines Strahls der parallel zur optischen Achse es auf einen Hohlspiegel mit
dem Krümmung radius r fällt, j t noch eIDmal in Bild 6-9 au führlich dargestellt
c
s
~--f'---H
~-----r------+~
Bild 6-9. Reflexion eines paraxialen Strahis parallel
zur optischen Achse es am HohlspiegeL.
Der Abstand f' de Brennpunktes F vom Scheitel S
beträgtf' = r - CE Die Strecke CF im gleichschenkligen Dreieck CFA ist CF = r/2 cos c. Damit ergibt
sich für die Brennweite f' des Hohlspiegels f' =
r (l - 1/2 cos c).
Bei paraxialen Strahlen ist der Winkel e sehr klein
und cos e ~ I. Im Rahmen dieser Vereinfachung
gilt - unabhängig vom Abstand, den der Strahl von
der optischen Achse hat -
r
/' =- .
2
(6-1)
Bildeotstebung beim Hohlspiegel
In Bild 6-10 befindet sich ein Objekt 0 auf
der optischen Achse es. Der Lichtpunkt sendet in alle Raumrichtungen Lichtstrahlen aus.
Diejenigen Strahlen, die auf den Hohlspiegel
treffen, werden dort reflektiert und vereinigen
sich alle wieder im Punkt 0'. Diesen Punkt 0'
bezeichnet man als Bild des Gegenstandes O.
Bild 6.8. Katakaustik beim Hohlspiegel: a) Entstehung b) Photographie.
Um. die Lage des Bildpunktes zu finden, genügt es
zweI au gewählte Strahlen, die von 0 ausgehen, zu
verfolgen. Der Schnittpunkt dieser beiden Strahlen
ist der Bildpunkt Ein solcher Strahl verläuft in
Bil~ 6-10 auf der optischen Achse. Er wird am
Scheitel S reflektiert und läuft auf der optischen
6.2. Geometrische Optik.
407
y
p
s
-~----~-=~~--~~---------+--
y
z
f'--.,.
1----t - - - - - 8 ' - - - - - 4...
~--------r-----_4~
1-----------8-----------~
Bild 6-10. Abbildung eines Punktes 0 auf der optischen Achse es eines Hohlspiegels (r < 0).
Achse wieder zurück. Der zweite Strahl wird am
Punkt A reflektiert und schneidet die optische
Achse in 0'. Der Zusammenhang zwischen der
Gegenslandsweile a und der Bildweite a' ergibt sich
aus einer kleinen Rechnung:
Für die beiden Dreiecke OCA und CO'A gilt nach
dem Sinussatz
sin
E
sin e
OC
CO'
sm rp
OA
O'A
---------= - - = - - =--
sin(180° - '1')
Dabei kann geschrieben werden
OC=a-r=a-2J'
und
OC' = r - a' = 2f' -a'.
Für paraxiale Strahlen gilt näherungsweise OA
und 0'A ~ a'. Damit ergibt sich
a-2f' 2J'-a'
a
Bild 6-11. Abbildung eines ausgedehnten Gegenstandes durch einen Hohlspiegel mit Paraxialslrahlen.
achsenparalleJ. Am chnittpunkt der beiden
reflektierten Strahlen liegt der Bildpunkt P'.
Der Zusammenhang zwischen Gegenstandsgröße y und Bi/dgröße y' ist anhand von Bild
6-11 zu erkennen. Im z, y-Koordinatensystem
erhalten alle Größen ein Vorzeichen. Die positive y-Richtung wei t nach oben die positive
z-Richtung nach rechts. (Weitere Hinwei e auf
die in der technischen Optik übliche Vorzeichenkonvention s. Abschn. 6.2.3.3.) In den
Dreiecken ABF und FO'P' gilt näherungsweise
für paraxiale Strahlen
~ a
a'
Nach kurzer Umformung erhält man die Abbildungsgleichung des Hohlspiegels:
tan a=
- y'
a' -I'
1
1
a
a'
I'
-+-=-
f'
Mit Hilfe der Abbildungsgleichung (6-2) folgt
unmittelbar für den Abbildungsmaßstab oder
die Lareralvergrößerung
a'
a
y'
1
y
=-
ß'=-=--y
(6-2) :
Liegt ein Gegenstandspunkt P nicht auf der
optischen Achse, so liegt auch sein Bildpunkt
P' außerhalb. Allerdings gilt für den Zusammenhang von Gegenstandsweite a und Bildweite a' auch in diesem Fall die Abbildungsgleichung (6-2), fall nur paraxiale Strahlen
an der Abbildung beteiligt sind. Die Lage des
Bildpunktes läßt sich nach Bild 6-11 ehr einfach zeichnerisch konstruieren. Ein von P ausgehender Strahl, der parallel zur opti chen
Ach e verläuft, geht nach der Reflexion durch
den Brennpunkt F'. Ein zweiter Strahl der ,:,on
P aus durch .F' geht wird nach er RefleXIon
(6-3)
I
Durch Umformung von GI. (6-2 ergibt ich
die Beziehung
L
a' =
al' .
(6-4)
a- I'
Setzt man GI. (6-4) in (6-3) em
den Abbildung maß tab
ß'=
f'
I' -
0
folgt für
6-5 )
a
E ergeben sich für Ia I > 1/' I reelle umgekehrte Bilder. Für Ia I < If' I gilt a' > O ~ dies
408
6. Optik
bedeutet daß das Bild rechts hinter dem Spiegel liegt. Das Bild ist virtuell, aufrecht und
stets größer als der Gegenstand.
Kraftfahrzeugen benutzt. r gibt zwar ein
erkleinerte Bild der Umwelt wieder erzeugt
aber ein groß Gesichtsfeld.
Beispiel
Beispiel
6.2-2: Vor einem Hohlspiegel mitf' = - 5 cm steht
im Abstand a = - 2,5 cm ein y = I crn großer Gegenstand. Wo liegt das Bild, und wie groß ist es?
6.2-3: Vor einem Konvexspiegel mit der Brennweite f' = 5 cm teht im Abstand a = - 10 cm ein y =
2 cm großer Gegen tand. Wo liegt da Bild, und wie
groß ist es?
Lö ung:
Lösung:
ach GI. (6-4 ist die Bildweite
,
af'
(-2,5' (- 5)
a = -- =
cm=5cm
a-f'
-2,5 + 5
.
ach GI. 6-4) i l die Bildweite
af'
a-f'
a' =
Der Abbildung maßstab ist
,
a'
y'
p =-=--=
=2.
Y
a 25cm
Al 0 ist die BiJdgröße y' = 2 cm; das Bild steht aufrecht hinter dem Spiegel, es ist virtuelL - Eine
zeichnerische Lösung ist in Bild 6-12 wiedergegeben. Bei genauem Abme en stellt man fest, daß das
zeichneri ehe Ergebni vom rechneri chen etwas abweicht Dies liegt an den rechneri chen Vereinfachungen für paraxiale Strahlen. Die Abbildungsgleichung gilt um 0 b er je kleiner die Gegentandsgröße y im Vergleich zur Brennweite fist.
P'
- - - - - - - ---,.\-- - - - --- :::::;,.,.----.-
-- -- -- --
I---- - f'- - -.,...-- -
y'
-
= - -
y
o
~--------a--------~~---
Bild 6-13. Bildkonstruktion beim Wölbspiegel (zu
Beispiel 6.2-3).
Zur Vbung
Bild 6-12. Abbildung eines Gegenstandes innerhalb
der Brennweite beim Hohlspiegel (zu Beispiel 6.2-2).
Beim phäri chen Wölb- oder Konvexspiegel
i t die Außen eite einer Kugelkalotte verspiegelt Die für den Hohl piegel abgeleiteten
Gleichungen (6-2) bis (6-5 gelten unverändert auch für den Wölbspiegel lediglich die
Brennweite ändert das Vorzeichen:
1'=2'
d
3,33
= = 0,333.
y
a
10
Also ist die Bildgröße y' = 0,666 cm. Eine zeichne. Ti ehe Lösung zeigt Bild 6-13.
P' =
y'
0'
r
-10' 5
cm = 3 33 cm
-15
'
.
Der Abbildung maßstab beträgt
Sem
~:::..,..---::::"",
=
Ü 6.2-3: Auf einen Hohl- bzw. Wölbspiegel gegebener Brennweite feHlt schief zur opti ehen Achse
ein paraxialer Strahl. Konstruieren Sie einen Weg
nach der Reflexion.
Ü 6.2-4: Konstruieren Sie den Bildpunkt eines parallelen Lichtbündels, das chief zur opti chen Ach e
auf einen Hohl- bzw. Wölbspiegel gegebener Brennweite fäUl.
Ü 6.2-5: Auf der optischen Achse eine Hohlspiegels befindet sich im Abstand a = 5 f' 1') vom
Scheitel eine punktförmige Lichtquelle. Welchen
Ab tand I hat das Bild von der Lichtquelle?
(t
mit r> O.
(6-6)
Die bedeutet daß der Brennpunkt auf der
dem Gegen tand abgewandten Seite des Spiegel liegt. Da Bild i t beim Wölbspiegel
immer vjrtuell aufrecht und verkJeinert Der
Wölb piegel wird gern al Rück piegel bei
Ü 6.2-6: Der Mond erscheint von der Erde aus unter
einem Winkel von 31'. Wie groß ist der Durchmeser eine Bilde, da vom 200-Zo11-Spiegel der Mt.Palomar-Sternwarte (Kalifomien) entworfen wird?
Wo entsteht das Bild? Die Brennweite des Spiegel
beträgt f' = - l6 m.
6.2. Geometrische Optik
Ü 6.2-7: Bezeichnet man beim Hohlspiegel den Abstand des Gegenstande om Brennpunkt mit z und
den de Bildes mit z' so gilt stet z z' = /,2. Beweisen Sie die e Abbildung. gleichung nach Newton.
6.2.3. Brechung des Lichtes
6.2.3.1. Brechung an ebenen Grenzflächen
Fällt ein Lichtstrahl chräg auf eine Grenzfläche zwj chen zwei verschiedenen Werk toffen, 0 wird die Richtung de Strahls an der
Grenzfläche geändert der Strahl wird gebrochen. Bild 6-14 zeigt eine Prinzipskizze dieses
Vorgang owie ein Photo der Lichtbrechung
eine La erstrahls an der Grenzfläche Luft Plexigla. Zunächst gibt e an jeder Grenzfläche auch einen mehr oder weniger intensiven reflektierten Strahl, wobei nach dem
Reflexionsgesetz Einfall winkel e und Reflea)
xionswinkel er gleich ind. Der gebrochene
Strahl liegt in einer Ebene mit den beiden
anderen Strahlen und dem Lot auf der Grenzfläche. Der Breehungswinkel el ist kleiner al
der infall winkel e, wenn die Brechung om
opti eh dünneren ins optisch dichtere Medium
erfolgt. ach dem Satz von der Umkehrbar~.eit des Lichtweg erfolgt die Brechung beim
Ubergang vom opti ch dichteren in opti ch
dünnere Medium 0 daß der Strahl om Lot
\ eg gebrochen wird. Der Zu ammenhang
zwi chen Einfall winkel e und Brechung winkel e' wurde von dem holländi chen Mathematiker Sne/lius W. S ELL VO RAY
1591
bi 1626) im Jahr 1620 gefunden.
ach
Sne/Uus i t da Verhältnis zwi chen dem
Sinu de Ei.nfall winkel e und dem inu de
Brechungswinkel c' eine Konstante, die von
der Natur der beiden Stoffe abhängt:
me
;'
/
/
/
/
/
409
.
m
e'
= kon tant.
(6-7)
/
Eine Erklärung de Brechung gesetze mit Hilfe on
ewtons Korpuskulartheorie verlangt, daß die Korpuskeln, wenn ie z. B. on Luft in Gla eindringen
eine Geschwindigkeits teigerung erfahren da nur
dann die Brechung zum Lot hin erfolgt. Die Korpu kularthe<>rie kam päte tens dann zu all, a)
man gelernt hatte Lichtge chwindigkeiten zu me en. Es ergab ich dabei daß die Lichtg chwindigkeit in Materie tet kleiner ist aJ die Lichlgechwindigkeit Co = 299 729,458 km/ im Vakuum;
ie i t in Glas kleiner al in LufL
Bild 6-14. Brechung eines LichtstrahIs an einer ebenen Grenzfläche. a) Prin::ipskiz::e, b) Brechung an der
Grenzj7iiche Luft - Plexiglas.
Die Brechung de
ichte an Grenzflächen i 1
Z\ anglo erklärbar mit der Wellentheorie on
Huygel1 . Bild 6-15 zeigt eine ebene Welle die
auf eine Grenzfläche zuläuft. Die Pha engechwlndigkeit im oberen Medium beträgt e,
im unteren c' mit c' < e. Die Chnitlpunkte
der ebenen Wellenflächen mit der Grenzfläche ind Zentren Huygensscher Elementarwellen, deren Einhüllende die neue WeIlenfront und damit die neue Laufrichtung ergibt
Rech
ind die we entliehen Punkte und
trecken ohne die Wel1ent1ächen noch einmal
gezeichnet. Trifft eine Wellenfront im Pun t
C auf die Grenzfläche. 0 ergeht noch die
Zett t = ABIe, bi auch da rechte nde der
\ ellenfront am Punkt B die Grenzfläche
trifft. Inz\ i ehen hat die Kugeh eHe, die \'on
410
6. Optik
Das Brechungsgesetz kann auch umgeformt
werden zu
n sin e = n ' sin c' = konstant.
(6-11)
Das Produkt aus Brechungsindex und Sinus des Winkels zwischen Lichtstrahl und
Lot bleibt bei einer Brechung konstant.
Diese Invariante der Brechung heißt nach
E. ARBE (1840 bis 1905) di e numerische
Apertur. Sie lautet
Bild ~15. Brechung einer ebenen Welle an einer
Grenzfläche.
C ausging den Weg CD = c' t zurückgelegt.
Für die Dreiecke ABC und BCD gilt
CD
c' t
Sine = - - = - .
CB
CB
c
(6-8)
c'
Das Verhältnis der Sinus-Werte von Einfalls- und Brechungswinkel ist gleich dem
Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten In
den benachbarten Gebieten.
--=-
sin e'
Der Quotient zwischen der Lichtgeschwindigkeit Co im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit c in Materie wird üblicherweise als
Brechzahl oder Brechungsindex n des betreffenden Materials bezeichnet:
Co
(6-9)
Mit Hilfe des Brechungsindex nimmt GI. (6-8)
die Form des Snelliusschen Brechungsgesetzes
an:
sin e
n'
.
= - = konstant.
SIn B'
n
Das Brechungsgesetz kann also auch so formuliert werden:
Tabelle 6-1. Brechzahl n elmger Stoffe für
gelbes Na-Licht (Wellenlänge). = 589 nm) bei
der Temperatur f). = 20°C und dem Druck
p = 1013 mbar.
Damit ergibt sich
n=-.
c
i
In Tabelle 6-1 sind die Brechzahlen eimger
Stoffe zusammengestellt.
I
SInB
(6-12)
Bei der Brechung eines Lichtstrahls bleibt
seine numerische Apertur konstant.
AB tc
sine=-=- und
CB CB
.
AN = n sin e.
(6-10)
I
Festkörper
n
Flüssigkeiten
und Gase
n
Eis
Flußspat
Quarzglas
BOfhon BK 1
Flintglas F 3
Caesiumiodid
Bariumoxid
Diamant
1,310
1,434
1,459
1,510
1,613
1,790
1,980
2,417
Luft
Kohlendioxid
Wasser
Ethylalkohol
Benzol
Schwefelkohlenstoff
Methyleniodid
1,0003
1,0045
1,333
1,362
1,501
1,628
1,742
Besonders häufig ist der Fall, daß ein Lichtstrahl an der Grenzfläche zwischen Luft und
einem dichteren Medium gebrochen wird.
Mit guter Näherung kann der Brechungsindex
von Luft n = 1 gesetzt werden. Dann gilt das
verei nfachte Brechungsgesetz
~
mc
= n'
sin c'
.
(6-13)
6.2. Geometrische Optik.
41 J
Beispiel
6.24: Das Photo Bild 6- 14b zeigt die Brechung eines
roten LaserstrahIs der Wellenlänge J.. = 633 nm an
der Grenzfläche Luft - Plexiglas. Wie groß ist der
Brechung index von Plexiglas?
Lösung:
n' =
sm e
sin 40 0
-= .
= 1,49.
sin e' sm 25 50
Der Brechungsindex ist keine Konstante, sondern hängt von der Wellenlänge (Farbe) des
Licht ab. Im Fall normaler Dispersion
(Ab chn. 5.2.4.4) nimmt mit steigender Wellenlänge der Brechungsindex ab.
Bisher wurde vorausgesetzt, daß ein Lichtstrahl vom optisch dünneren ins optisch dichtere Medium eindringt. Bei umgekehrtem
Strahlengang, wie er in Bild 6-16 gezeigt ist,
gehört zum Strahl 1 mit dem Einfallswinkel Gl
der reflektierte Strahl Ir und der gebrochene
. I ' mit dem Brechungswinkel CI, wobei CI > Gl
i t. Mit zunehmendem Winkel C steigt Cf
ver tärkt an, bis für den Strahl 2 beim EinfaH winkel Cg der Brech ungswinkel c2 = 90 0
wird. Man nennt Cg den Grenzwinkel der Totalreflexion. Für c > Cg (Strahl 3) gibt es keinen
gebrochenen Strahl mehr, sondern nur noch
den reflektierten Strahl 3r. Die ganze Strahlung leistung des einfallenden Strahls ist im
reflektierten Strahl vorhanden ; das Licht wird
total reflektiert Bild 6-16 b zeigt einen gebrochenen, Bild 6-16 c einen total reflektierten
Laser trahl an der Grenzfläche Plexiglas- Luft
F ür den Grenzwinkel der Totalreflexion gilt
n' sin 90 0 = 11 in CI! oder
n'
n
Slll Gg = - .
(6-14)
Hierbei ist n der Brechungsindex des optisch
dichteren, n' der des dünneren Mediums. Ist
da dünnere Medium Luft (mit n' ~ 1), so gilt
.
sm
1
n
Gg = - '
(6-15)
Beispiel
6.2-5: Im Halbleiter GaP (Ausgangsmaterial für
Leuchtd ioden) ist der Brechungsindex n = 33. Wie
groß i t der Grenzwinkel der Totalrefl exion?
Bild 6-16. Totalreflexion. a) Prinzip, b) gebrochener
(e < csJ und c) total reflektierter Laserstrahl (e > Eg ).
412
6. Optik
Lösung:
sin eg = 1In = 1/3,3 = 0,3 liefert eg = 17,6 0 • Von den
Lichtstrahlen, die im Innem des Kristalls erzeugt
werden, können also nur diejenigen den Kristall
verlassen, die innerhalb eines schlanken Kegels von
eg = 17,6 0 Öffnungswinkel auf die Kristalloberfläehe auftreffen. Alle anderen werden total reflektiert.
Ein Beispiel für die technische Ausnutzung
der Totalreflexion in der heutigen Zeit ist die
Übertragung von Daten auf Lichtwellenleitern
(optische Nachrichtentechnik). Bild 6-17 zeigt
das Prinzip einer Stufenindexfaser. Der Brechungsindex nimmt von nl im Kern stufenförmig ab auf n2 im Mantel und n = 1 in der
umgebenden Luft Typische Abmessungen einer solchen Glasfaser sind: 50 Ilm Kerndurchmesser 125 p.m Manteldurchmesser. Ein Lichta)
,
\
\
\
\
\
\
Kern
n,
Mantel
n2
Luft
n= 1
\
b)
n
I
strahl, der unter dem Winkel .9 0 auf die Stirnfläche der Faser fällt, wird zum Lot hin
gebrochen und trifft schließlich unter dem
Winkel e = 90 0 - .9 1 auf die Grenzfläche zwischen Kern und Mantel. Er kann dort nur
total reflektiert werden, wenn e> eg ist mit
sin eg = n2lnl' Der Eintrittswinkel .9 0 des
Lichtstrahis kann also nicht beliebig groß
werden, sonst ist im Innern di.e Totalreflexion
nicht mehr gegeben (gestrichelt gezeichneter
Strahl in Bild 6- 17). Der maximale Aufnahmewinkel .9 0, ma}D unter dem Licht in die Faser
eingekoppelt werden kann, bestimmt sich aus
der Beziehung
sin .9 0•max =
Vnr -
n~ = AN;
Die Größe AN ist die numerische Apertur der
Faser (GI. (6-12))..
Für eine typische Nachrichtenfaser aus Quarzglas, bei der der Kern mit 13,5% Ge02 dotiert ist, gelten bei A = 850 nm die Werte
nl = 1,474 und n2 = 1,453. Mit diesen ergeben
sich die numerische Apertur AN = 0,248 und
der maximale Einkoppelwinkel BO,max = 14,4 o.
Eine solche Glasfaser kann also nur Strahlen
weiterleiten, die unter diesem verhältnismäßig
"schlanken" Winkel auf die Stirnfläche fallen.
Ändert sich der Brechungsindex nicht sprunghaft, sondern kontinuierlich, so ergeben sich
gekrümmte Lichtstrahlen. Bild 6-18 zeigt als
Beispiel hierfür einen Laserstrahl in einer
Küvette mit Salzwasser. Die Salzkonzentration und damit auch der Brechungsindex
nehmen kontinuierlich von unten nach oben
ab. Gekrümmte Lichtstrahlen treten auch auf,
wenn infolge von Temperatur- und Dichtegradienten in der Luft der Brechungsindex
n,
I
n -= 1
r
Bild 6-17. Prinzip eines Lichtwellen/eiters (Stufenindexfaser). a) Aufbau, b} Verlauf der Brechzahl n iiber
dem Radius r.
Bild 6-18. Gekrümmter Lichtstrahl bei kontimJierlieh variierendem Brechungsindex.
6.2. Geometrische Optik
ich stetig ändert (Luftspiegelung, Fata Morgana).
Ein spezieller Lichtwellenleiter ist die Gradiemenjase" die schematisch in Bild 6-19 dargestellt ist. Bei ihr ändert sich der Brechungsindex kontinuierlich von nl in der Mitte auf
n2 im Mantel. Die Gradientenfaser hat gegenüber der Stufenindexfaser den Vorteil daß
Lichtpulse die unter ver chiedenen Winkeln
8 0 in die Faser eingekoppelt werden nahezu
dieselbe Laufzeit haben bi ie am anderen
Ende der Faser ankommen. So hat beispielsweise der in Bild 6-19 gezeichnete Strahl einen
größeren Weg zurückzulegen als ein Strahl,
der exakt auf der Symmetrieachse läuft. Er
befindet sich aber häufig in Gebieten mit
kleinerem Brechungsindex, läuft dort also
a)
413
schneller und kompen iert so seinen Umweg.
Da Laufzeitdifferenzen verschiedener Moden
die Übertragung kapazität beschränken kann
auf der Gradientenfaser eine höhere Datenrate übertragen werden als auf der Stufenindexfaser.
Zur Übung
() 6.2-8: Ein Licht traW raUt auf einen GlasWÜTfel
mit dem Brechungsindex n = 1 5. Der Strahl trifft
genau die Mitte einer WürfeLfläche unter dem Einfallswinkel 600 • Die Einfallsebene ist parallel zu einer
Würfelfläche. Berechnen und zeichnen Sie den weiteren Weg des Licht trahls.
Ü 6.2-9: Durchquert ein Lichtstrahl eine planparallele Platte, 0 i t der durchgehende Strahl parallel
zum einfallenden, jedoch seitlich versetzt. Wie groß
ist der Strahlversatz x in Abhängigkeit von der
Plattendicke d, dem Brechungsindex n' und dem
Einfall winkel e?
Ü 6.2-10: Wie groß ist der Grenzwinkel der Totalreflexion für Plexiglas an Luft? Der Brechungsindex
kann aus Bild 6-16 b entnommen werden.
6.2.3.2. Brechung an einem Prisma
Mantel nz
___ Luft
n =1
In der Optik versteht man unter einem Pri ma
meist einen drei kantigen Glaskörper gemäß
Bild 6-20. Zwei ebene polierte Flächen ind
um den brechenden Winkel cx gegeneinander
geneigt ie schneiden ich in der brechenden
Kante K. Im folgenden wird tets vorau geetzt daß Lichtstrahlen im H auptsclznilt verlaufen, d. h. in einer Ebene die enkrecht zur
brechenden Kante teht. Das Pri ma mit
dem Brechung index n ei umgeben von
einem Medium mit dem Brechung index n'.
In Bild 6-20 fällt ein Strahl unter dem EinK
b)
n
n=l
r
Bild 6-19. Lichtwellen/eiter mit kontinuierlich veränderlichem Brechungsindex n (Gradientenfaser). a}
Aufbau, b) Verlauf der Brechzahl n über dem Radius r.
Bild 6-20.
Strahlenverlauf in einem Pr; ma.
414
6. Optik
fall winkel Gl auf die linke Pri menfläche und
verläßt nach zweimaliger Brechung die rechte
Pri menfläche unter dem Ausfall winkel Gl'
Der Ablenkung winkel {) läßt ich aus elementaren geometri cben ätzen b timmen: {) = GI
+ G2- ':L Mit Hilfe de Brechung ge etze
n' in GI = n in GI und n' in e2 = n in G2 sowie
der Beziehung GI + G2 = Ci läßt sich der Ablenkung winkel {) für beliebige Einfallswinkel Gi
berechnen:
{) =
Gi- :x +
+ are sin [ sin '"
:,r-
-V (
,
Grad
\
Grad
\\
60
\ ........... e'2
60
()
.......
\)N
CI:)
-"
c:
......,......,
'
.~
..
UI
-
............-.... ......
a;J
30 in
:I
«
O~~~~~~~~~~~~~~O
sin' "-
-co :xsin,,].
90~------~------------------r90
o
30
60
Grad 90
Einfallswinkel s',
(6-16)
Beispie.
6.2-6: Für ein Prisma mit dem Brechungsindex
n = 1,5 und dem brechenden Winkel CI = 60 ° sollen
der Austrittswinkel e2 und der Ablenkungswinkel {j
als Funktion des Einfallswinkels e[ dargestellt werden. Die Umgebung sei Luft mit n' = I.
Bild 6-21. Ablenkwinkelfl und Ausrrittwinkel E'z in
Abhängigkeit vom Einfallswinkel eJ bei der Brechung
eines Lichtstrahls an einem Prisma; Brechungsindex
n = 1,5, Prismenwinkel Ci. = 60°.
beobachtet wird weil an der zweiten brechenden Fläche Totalreflexion auftritt. Au der
Bedingung in C2,g = n' / n folgt für den Grenzwinkel an der Eintrittsfläche
'I.> = are sin [ ;, sin ( IX -
Lösung:
Gl. (6-16) sollte am besten mit einem programmierbaren Rechner ausgewertet werden. Bild 6-21 zeigt
das Ergebnis. Der Ablenkwinkel {j zeigt ein Minimum beim Einfallswinkel Ei min = 48,6 0. Der zugehörige AusfaJ]swinkel beträgt ebenfalls Eimin =
486°. Der Strahl durchläuft das Prisma also
ymmetrisch. Dieses Ergebnis kami allgemein mit
Hilfe der Differentialrechnung bewiesen werden:
Bei einem Prisma ist die Strahlablenkung
minimal, wenn Ei ntritts- und Austrittswinkel gleich sind.
are sin ::)] .
. (6-1~
---------------------
Für Bei piel 6.2-6 ergibt sicb in Übereinstimmung mit Bild 6-21 cl.g = 27,9°.
Bei einem Prisma mit kleinem brechendem
Winkel cx und symmetrischem StrahlenduIchgang gilt für den minimalen Ablenkwinkel
näh erungsweise
(6-19~
L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___
Für symmetrischen Durchgang gelten Cl = c2
= ~ ({) + a) und GI = C2 = ~ rJ.. Mit Hilfe des
Brechungsgesetzes ergibt sich sofort der minimale Ablenkwinkel
5: .
UmlD
n . Cl.. ) = 2 arc sin ( -n' sm -2
rJ.
.
(6-17)
Für Beispiel 6.2-6 erhält man {)min = 37 2 0 •
Aus Bild 6-21 folgt ferner, daß für Eintrittswinkel GI < 27,9 0 kein austretender Strahl
Da der Ablenkwinkel {) vom Brechungsindex
abhängt, wird kurzweIliges Licht bei nonnaler Dispersion stärker g.e brochen als langwellige Licht. Ein Prisma bietet daher die Möglichkeit, Lichtstrahlen verschiedener Wellenlänge räumlich zu trennen, also spektral zu
zerlegen. Diese Eigen chaft wird au genutzt
beim Prismenspektromeler (Ab chn. 6.4.1. 7).
Pri men haben in der Optik vielfaltige Anwendungen. Meist werden sie anstelle von
Spiegeln benutzt um Lichtstrahlen umzu1enken, wobei die Totalreflexion an einer Pris-