Hochfrequenztechnik

-1-
Hochfrequenztechnik
Dipl. Ing. Dr. Peter FRÖHLING
A-2571 Altenmarkt / Triesting
Nöstach 152
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Hochfrequenztechnik - ENTWURF
05.11.2011
© Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling
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Hochfrequenztechnik ................................................................................................................. 1
1
Einleitung ........................................................................................................................... 6
1.1
Dezibel – Definition und Anwendung ....................................................................... 7
1.2
Pegelrechnung ............................................................................................................ 8
1.2.1
Leistungs- und Spannungspegel......................................................................... 8
1.2.2
Rauschpegel ....................................................................................................... 9
1.3
Dezibel in der Antennentechnik................................................................................. 9
2
Der selektive Verstärker................................................................................................... 10
2.1
Der Parallelschwingkreis.......................................................................................... 10
2.1.1
Die Güte der Spule ........................................................................................... 10
2.1.1.1 Die ohmschen Verluste in der Spule ............................................................ 10
2.1.1.2 Der Skineffekt .............................................................................................. 12
2.1.2
Die Güte des Kondensators .............................................................................. 16
2.1.2.1 Die ohmschen Verluste im Kondensator...................................................... 16
2.1.3
Die Güte des Parallelschwingkreises ............................................................... 19
2.1.3.1 Die Spule mit Anzapfung............................................................................. 21
2.1.3.2 Der kapazitive Spannungsteiler zur Impedanztransformation ..................... 21
2.1.4
Spulenlose Filter............................................................................................... 21
2.1.4.1 Gyrator-Schaltung ........................................................................................ 22
2.1.4.2 FDNR-Schaltung.......................................................................................... 23
2.2
Die Verstärkung eines einstufigen selektiven Verstärkers....................................... 25
2.3
Das Konzept der Transferimpedanz ......................................................................... 25
2.4
Die relative Verstimmung ........................................................................................ 26
2.5
Die Kettenschaltung mehrerer gleicher selektiver Verstärker ................................. 27
2.6
Bandfilter.................................................................................................................. 28
2.6.1
Die magnetische Kopplung .............................................................................. 28
2.6.2
Die Spannungskopplung oder Kopfkopplung .................................................. 30
2.6.3
Die Stromkopplung oder Fußpunktkopplung................................................... 30
2.6.4
Das Übertragungsverhalten eines zweikreisigen Bandfilters........................... 32
3
Oszillatoren ...................................................................................................................... 35
3.1
Die klassische Schwingbedingung ........................................................................... 35
3.2
Die Schwingbedingung aus den Y-Parametern........................................................ 36
3.3
Das Anschwingen des Oszillators ............................................................................ 36
3.4
Typische Oszillatorschaltungen ............................................................................... 36
3.4.1
RC-Oszillatoren................................................................................................ 36
3.4.1.1 Der Wien-Robinson-Oszillator .................................................................... 36
3.4.1.2 Der Phasenschieber-Oszillator ..................................................................... 38
3.4.2
LC-Oszillatoren................................................................................................ 38
3.4.2.1 Der Meissner-Oszillator ............................................................................... 38
3.4.2.2 Der Hartley-Oszillator.................................................................................. 38
3.4.2.3 Der Colpitts-Oszillator ................................................................................. 38
3.4.3
Quarzoszillatoren ............................................................................................. 38
3.5
Die Stabilität von Oszillatoren ................................................................................. 38
4
Mischer............................................................................................................................. 40
4.1
Additiver Mischer .................................................................................................... 40
4.1.1
Mischung mit einem Feldeffekt-Transistor...................................................... 40
4.1.2
Mischung mit einem Bipolartransistor............................................................. 43
4.2
Multiplikativer Mischer............................................................................................ 46
4.2.1
Mischung mit einem Analog-Multiplizierer .................................................... 46
4.2.2
Gegentaktmischer............................................................................................. 46
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-34.2.3
Der Doppel-Gegentaktmischer oder Ringmischer ........................................... 47
4.2.4
Ein multiplikativer Mischer mit einem Operationsverstärker.......................... 49
5
Signale und Spektrum ...................................................................................................... 50
5.1
Spektrum des Real- und Imaginärteils ..................................................................... 50
5.2
Amplituden- und Phasenspektrum ........................................................................... 50
6
Modulation und Demodulation ........................................................................................ 51
6.1
Amplitudenmodulation............................................................................................. 51
6.1.1
Klassische Amplitudenmodulation .................................................................. 53
6.1.2
Klassische Amplitudendemodulation............................................................... 54
6.1.3
Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger, DSBSC............................ 56
6.1.4
DSBSC mit Quadraturmodulator ..................................................................... 57
6.1.5
Demodulation der DSBSC mit Quadraturdemodulator ................................... 59
6.1.6
Einseitenbandmodulation, SSB-Modulation.................................................... 60
6.1.6.1 Filtertechnik ................................................................................................. 60
6.1.6.2 Hilbert-Transformator .................................................................................. 60
6.1.6.3 Methode von Weaver ................................................................................... 60
6.1.7
Einseitenband-Demodulation, SSB-Demodulation.......................................... 61
6.1.7.1 SSB-Demodulation mit Quadraturdemodulator........................................... 61
6.1.7.2 SSB-Demodulation mit Tayloe-Demodulator.............................................. 62
6.2
Frequenz- und Phasenmodulation, FM- und PM-Modulation ................................. 62
6.3
Frequenz- und Phasendemodulation, FM- und PM-Demodulation ......................... 62
7
Phasenregelkreis, Phase-Locked-Loop, PLL .................................................................. 62
8
Leitungen.......................................................................................................................... 63
8.1
Leitungsgleichungen ................................................................................................ 63
8.1.1
Leitungsgleichungen im Frequenzbereich ....................................................... 64
8.1.2
Verlustlose Leitungen ...................................................................................... 68
8.2
Zweidrahtleitungen................................................................................................... 68
8.2.1
Paralleldrahtleitung .......................................................................................... 68
8.2.2
Koaxialleitung .................................................................................................. 69
8.2.3
Anpassung ........................................................................................................ 70
8.2.3.1 Die Transformation von RL nach Rin mit Reaktanzen.................................. 70
8.2.3.2 Die Transformation von ZL nach Zin mit Reaktanzen ................................. 72
8.2.3.3 Die Transformation von RL nach Rin mit einer λ/4-Leitung ...................... 73
8.2.3.4 Die Transformation von ZL nach Zin mit einer Leitung .............................. 73
8.2.4
Leistungsteiler .................................................................................................. 74
8.2.5
Balun ................................................................................................................ 74
8.2.6
Richtkoppler ..................................................................................................... 75
8.3
Mikrostrip-Leitungen ............................................................................................... 76
8.3.1
Analysegleichungen ......................................................................................... 77
8.3.2
Synthesegleichungen........................................................................................ 79
8.3.3
Berücksichtigung weiterer Kenndaten der Mikrostrip-Leitung ....................... 79
8.4
Mikrostrip-Diskontinuitäten..................................................................................... 80
8.4.1.1 Offenes Ende ................................................................................................ 80
8.4.1.2 Leitungsknick ............................................................................................... 80
8.4.1.3 Leiterbreitenstufe ......................................................................................... 80
8.4.1.4 Leiterverzweigung........................................................................................ 80
8.4.1.5 Ratrace-Ring................................................................................................. 80
9
Das Smith-Diagramm....................................................................................................... 81
10
Streuparameter ............................................................................................................. 82
10.1 Definition der Streuparameter .................................................................................. 82
10.1.1
Der symmetrische T-Abschwächer .................................................................. 83
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-410.1.2
Der symmetrische π-Abschwächer................................................................... 85
10.2 S-Parameter und Zuleitungen................................................................................... 86
10.3 Die Berechnung der S-Parameter mit SPICE© ......................................................... 88
10.3.1
Arbeitspunkteinstellung beim BJT mit Hilfe von SPICE© .............................. 88
10.3.2
Die Berechnung von S11 und S21 mit SPICE© .................................................. 88
10.3.3
Die Berechnung von S12 und S22 mit SPICE© .................................................. 89
10.4 Mehrtore ................................................................................................................... 89
11
Stabilität eines Verstärkers........................................................................................... 91
12
Leistungsverstärkung ................................................................................................... 95
12.1 Verstärkung eines unbedingt stabilen Verstärkers ................................................... 95
13
Hohlleiter...................................................................................................................... 96
13.1 Wellengleichung im Rechteckhohlleiter .................................................................. 97
13.2 Cutoff-Frequenz und Hochpass-Eigenschaften........................................................ 99
13.3 Wellenlänge im Hohlleiter ..................................................................................... 100
13.4 Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter.................................................................... 100
13.5 Feldbilder im Rechteckhohlleiter ........................................................................... 101
13.5.1 Hm,n- oder TEm,n-Moden................................................................................. 101
13.5.2
Em,n- oder TMm,n-Moden ................................................................................ 102
13.6 Hohlleiter-Bauelemente ......................................................................................... 103
13.6.1
Hinterdrehter Flansch..................................................................................... 103
13.6.2
E- und H-Krümmer ........................................................................................ 103
13.6.3
Twist, flexible Twist ...................................................................................... 103
13.6.4
Richtkoppler ................................................................................................... 103
13.6.5
Zirkulator........................................................................................................ 103
13.6.6
Isolator............................................................................................................ 103
14
Antennen .................................................................................................................... 104
14.1 Kenngrößen von Antennen..................................................................................... 104
14.2 Wellenausbreitung.................................................................................................. 104
14.2.1 Die Freiraumdämpfung .................................................................................. 104
15
Rauschen .................................................................................................................... 106
16
HF-Anwendungen ...................................................................................................... 107
16.1 Funknavigation....................................................................................................... 107
16.1.1
Peilsender ....................................................................................................... 107
16.1.1.1 Vorwärts einschneiden ............................................................................... 107
16.1.1.2 Rückwärts einschneiden............................................................................. 107
16.1.2
Radar .............................................................................................................. 107
16.1.3
Navstar Global Positioning System (Navstar GPS) ....................................... 107
16.1.4
LORAN .......................................................................................................... 107
16.2 Radio Frequency Identificaction RFID .................................................................. 107
17
Anhänge ..................................................................................................................... 108
17.1 Summensätze.......................................................................................................... 108
17.2 Potenzen von cos(x) und sin(x).............................................................................. 108
17.3 Taylorreihe ............................................................................................................. 109
17.4 Klirrfaktor............................................................................................................... 109
17.5 Skineffekt ............................................................................................................... 110
17.6 Koordinatensysteme ............................................................................................... 111
17.6.1
Kartesisches Koordinatensystem.................................................................... 111
17.6.2
Zylinderkoordinaten ....................................................................................... 112
17.6.3
Kugelkoordinaten ........................................................................................... 112
17.7 Das zweikreisige Bandfilter mit unterschiedlichen Kreisen .................................. 112
17.8 Die Gleichrichtung kleiner Spannungen ................................................................ 112
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-517.9 Der Detektorempfänger bei kleinen Signalen ........................................................ 112
17.10
90°-Phasenschiebernetzwerk für Sprachsignale................................................. 112
17.11
Kapazität typischer Elektrodenanordnungen ..................................................... 113
17.11.1
Kugelelektrode ........................................................................................... 113
17.11.1.1 Einzelne Kugel gegenüber Unendlich........................................................ 113
17.11.1.2 Kugelelektroden in großen Abstand........................................................... 113
17.11.1.3 Kugelkondensator....................................................................................... 113
17.11.2
Zylinderelektrode ....................................................................................... 113
17.11.2.1 Langer koaxialer Zylinderkondensator ...................................................... 113
17.11.2.2 Langer, nicht koaxialer Zylinderkondensator ............................................ 113
17.11.2.3 Koaxialer Zylinderkondensator mit geschichteten Dielektrika.................. 113
17.11.2.4 Einzelleiter über leitender Ebene ............................................................... 113
17.11.2.5 Lange Paralleldrahtleitung mit unterschiedlichen Durchmesser................ 113
17.11.2.6 Lange Paralleldrahtleitung mit gleichen Durchmesser .............................. 113
17.11.2.7 Endlich langes Drahtstück senkrecht zu leitender Ebene.......................... 113
17.11.2.8 Endlich langes Drahtstück parallel zu einer leitenden Ebene .................... 113
17.12
Induktivität typischer Leiteranordnungen .......................................................... 113
17.12.1
Zwei parallele zylindrische Leiter.............................................................. 113
17.12.2
Zwei rechteckige, nahe beieinander liegende Leiter .................................. 114
17.12.3
Lange koaxiale Leiter................................................................................. 114
17.13
Taschenrechner-Programme am TI-84............................................................... 115
17.13.1
Optimale Widerstandswerte bei Serienschaltung....................................... 115
17.13.2
Optimale Widerstandswerte bei Serien- und Parallelschaltung ................. 116
17.13.3
Einlagige Zylinderspule ............................................................................. 117
17.13.4
Einlagige Flachspule .................................................................................. 117
17.13.5
Einlagige Rechteckspule ............................................................................ 117
17.13.6
Komplexe Π-T-Transformation ................................................................. 117
17.13.7
Komplexe T-π-Transformation .................................................................. 118
17.13.8
Duale Impedanz.......................................................................................... 118
17.13.9
Transformation von Zl nach Zin mit L und C ............................................. 118
17.13.10
Transformation von Zl nach Zin mit einer Leitung ..................................... 119
17.13.11
Mikrostrip-Analyse und Synthese.............................................................. 119
18
Literaturverzeichnis.................................................................................................... 121
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1 Einleitung
An Hand einer Funkübertragungsstrecke wird die Hochfrequenztechnik (HF-Technik) erläutert. Das dargestellte Prinzip der Informationsübertragung ist in allen Systemen gleich:
Bild 1: Prinzipieller Aufbau einer Funkdatenübertragung
Ein Sensor (Mikrofon, Kamera, Messgerät o.ä.) nimmt Information auf.
In der Signalaufbereitung wird das Signal für die Übertragung so umgeformt, dass es optimal übertragen werden kann.
Der Oszillator in der HF-Schwingungserzeugung liefert das Signal mit der Frequenz, mit
welcher die Information übertragen werden soll.
Im Modulator wird die Information vom Basis-Frequenzband in das HF-Frequenzband übertragen.
Der HF-Treiberverstärker verstärkt das vom Modulator kommende schwache Signal so
stark, dass es ausreicht, um die Endstufe aussteuern zu können.
Die HF-Endstufe ist der letzte Verstärker im Sender. Sie liefert das Signal, welches an die
Antenne gelangt.
Die Sendeantenne transformiert das HF-Signal, welches bis hierher auf Leitungen geführt
wird, auf eine elektromagnetische Welle, welche sich frei im Raum, ohne Leitungsführung,
ausbreitet.
Die Funkstrecke kann wenige Meter (z.B. Herzpulsmesser mit Pulsuhr) bis zu vielen Millionen Kilometern (Pionier-Raumsonde, weit hinter dem Planetoiden Pluto) sein.
Die Empfangsantenne wandelt das schwache, aus dem Freiraum kommende Welle in ein
leitungsgeführtes Signal um.
Der HF-Vorverstärker filtert grob das gewünschte Signal aus all den Signalen, welche die
Antenne aufnimmt, aus.
Der lokale Oszillator ist das Herz des Empfängers. Er bestimmt im Detail, welches Signal
aus den ankommenden Frequenzgemisch herausgefiltert werden soll.
Im Mischer wird das Empfangssignal auf eine Zwischenfrequenz (ZF) umgewandelt, die für
die weitere Verstärkung optimal ist.
Der Zwischenfrequenzverstärker filtert und verstärkt das Signal so, dass die gesendete Information leicht zurück gewonnen werden kann.
Der Demodulator überträgt die in der ZF befindliche Information in das Basisband.
Die Signalaufbereitung verarbeitet das Signal so, dass es für die Ausgabe geeignet wird.
Die Signalausgabe (Lautsprecher, Bildschirm, RC-Servo, usw.) wandeln die Information so
um, dass sie vom Mensch (hören, sehen) oder von einer Maschine (Motor, Schalter usw.) weiter verarbeitet werden kann.
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1.1 Dezibel – Definition und Anwendung
In der Hochfrequenz- und Nachrichtentechnik hat sich zur Beschreibung von Verstärkungen,
Dämpfungen und Signalpegel die Größe Bel mit ihrer in der Praxis üblichen Form des DeziBels bzw. Dezibel (dB) als nützliches Hilfsmittel erwiesen. Die Idee dahinter ist, Verhältnisse
von Leistungen und in eingeschränkter Form von Spannungen oder Strömen durch ihre logarithmierte Form anzuwenden. Benützt man den natürlichen Logarithmus, erhält man die Größe Neper, setzt man den dekadischen Logarithmus ein, liefert das die Größe Bel. Da Spannungs-, Strom- und Leistungsverhältnisse stets dimensionslos sind, gibt es keine Schwierigkeiten bei der Logarithmierung. Sollen jedoch absolute Größen von Spannung, Strom oder
Leistung im logarithmischen Maß angegeben werden, muss immer eine Bezugsgröße, z.B.
1kW, 1mW, 1µV usw. bekannt sein.
Die Einführung des logarithmischen Maßes hat mehrere Vorteile. In Nachrichtensystemen
bewegen sich die Signalpegel über einige Dekaden. Durch die Logarithmierung werden diese
weiten Schwankungsbereiche auf wesentlich übersichtlichere Zahlenwerte abgebildet, die
einfacher zu handhaben sind. Nachrichtensysteme können im Allgemeinen als Kettenschaltung einzelner Systemkomponenten angesehen werden. Beim Durchlaufen der einzelnen Stufen erfährt das Signal eine Änderung seiner Größe. Meistens ist die Größenänderung durch
eine Multiplikation gegeben. Im logarithmischen Systemen wird die Multiplikation durch
Addition und die Division durch Subtraktion ersetzt, weil
sowohl
log(ab) = log(a ) + log(b)
als auch
⎛a⎞
log⎜ ⎟ = log(a) − log(b)
⎝b⎠
gilt.
Bild 2: Zur Definition des Gewinns G und der Dämpfung a
G=
P2
P1
Gewinn
a=
P1 1
=
P2 G
Dämpfung
Allgemein gilt für den Leistungspegel (in dB):
GP
P
= 10 log 2
dB
P1
Drückt man die Leistung aus Spannung und Widerstand aus, erhält man
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-82
U2
R2
2
2
⎛U ⎞
GP
P2
U 2 R1
R
= 10 log
= 10 log 2 = 10 log 2
= 10 log⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 10 log 2
dB
P1
R1
U1
U 1 R2
⎝ U1 ⎠
R1
GP
U
R
= 20 log 2 − 10 log 2
dB
U1
R1
Unter der Voraussetzung, dass die Widerstände R1 und R2 den gleichen Wert haben, gilt
GU
U
= 20 log 2
dB
U1
Anlog dazu kann die Leistung aus Strom und Widerstand berechnet werden, und es gilt
2
2
⎛I ⎞
GP
P2
I 2 R2
R
= 10 log
= 10 log 2
= 10 log⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 10 log 2
dB
P1
R1
I 1 R1
⎝ I1 ⎠
und unter der Voraussetzung, dass die Widerstände R1 und R2 den gleichen Wert haben, gilt
GI
I
= 20 log 2
dB
I1
und
a
G
=−
dB
dB
1.2 Pegelrechnung
1.2.1 Leistungs- und Spannungspegel
Das Dezibel gibt das Verhältnis zweier Größen an und ist daher dimensionslos. Wenn jedoch
eine feste Bezugsgröße vereinbart wird, können auf diese Weise auch dimensionsbehaftete
Größen logarithmisch dargestellt werden. Häufige Bezugsgrößen sind 1mW für Leistungspegel in dBm und 1µV für Spannungspegel in dBµV.
⎛P⎞
LP
= 10 log⎜⎜ ⎟⎟
dBm
⎝ P0 ⎠
mit
P0 = 1mW
für Leistungspegel
⎛U ⎞
LU
⎟⎟ mit
= 20 log⎜⎜
dBm
⎝U0 ⎠
U 0 = 1µV
für Spannungspegel
Ein Vorteil der logarithmischen Pegel ist die einfache Berechnung von absoluten Pegeln in
Übertragungsketten. Dem Zahlenwert des Eingangspegels (in dBm oder dBµV) ist der Zahlenwert der Verstärkung (in dB) zu addieren, egal, ob mit Spannungs- oder Leistungspegel
gerechnet wird.
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-9Diese Beziehungen gelten aber nur dann, wenn die Bezugsimpedanz in der gesamten Signalkette gleich bleibt. In der Hochfrequenztechnik ist der Bezugspegel 50Ω. Dann kann auch
zwischen dBµV und dBm umgerechnet werden:
Im 50Ω-System gilt:
1µV
(10 V )
=0dBµV =
−6
50 Ω
50Ω
2
= 20 * 10 −15 W = 20 * 10 −12 mW = (13 − 120 )dBm = −107 dBm
1.2.2 Rauschpegel
Die Rauschleistung, die durch das thermische Rauschen an den Klemmen eines Bauelements
auftritt, ist
PN = k * T * ∆f
J
k = 1.38 *10 − 23 , die Boltzmann-Konstante,
wobei
K
T die absolute Temperatur des Bauelements in Kelvin und
∆f
die Rauschbandbreite ist.
Weil die Raumtemperatur oft mit 300K gegeben ist, ist es naheliegend, die Rauschleistung bei
dieser Temperatur und bei einer Rauschbandbreite von 1Hz in der Einheit dBm anzugeben,
und man erhält
1⎞
⎛
− 23 Ws
* 300 K * ∆f ⎟
⎜ 1.38 * 10
− 23
K
s ⎟ = 10 log⎛⎜ 1.38 *10 * 300 ⎞⎟ + 10 log⎛ ∆f ⎞
L N = 10 log⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
1mW
1
⎜
⎟
⎝ Hz ⎠
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ∆f ⎞
L N = −173.83dBm + 10 log⎜
⎟
⎝ Hz ⎠
1.3 Dezibel in der Antennentechnik
In der Antennentechnik werden die abgestrahlte Leistungsdichte, der Gewinn, die Direktivität
im Allgemeinen bezogen auf einen isotropen Strahler, der nur theoretisch existiert und in der
Praxis nicht realisierbar ist, angegeben. Obwohl der isotrope Strahler, der richtungsunabhängig abstrahlt bzw. empfängt, nicht realisierbar ist, wird er als Bezugselement eingesetzt. Würde die Sendeleistung Ps mit dem isotropen Strahler abgestrahlt werden, hätte man im Abstand
r vom isotropen Strahler die Leistungsdichte (auf der Kugeloberfläche der Kugel mit dem
Mittelpunkt im Zentrum des isotropen Strahlers mit dem Radius r)
P
S i (r ) = s 2
4πr
und ist von der Richtung, die durch die Winkel δ und φ gegeben ist, unabhängig. Die Richtwirkung, die Direktivität einer praktisch realisierbaren Antenne ist richtungsabhängig. Daher
S (r ,ϑ , ϕ )
kann für jede Antenne die Direktivität angegeben werden und es gilt D(r ,ϑ , ϕ ) =
.
S i (r , ϑ , ϕ )
Mit dem Grenzübergang für große Entfernungen von der Antenne, im Fernfeld, gilt
S (r ,ϑ , ϕ )
S (ϑ , ϕ )
D(ϑ , ϕ ) = lim
=
.
r →∞ S ( r , ϑ , ϕ )
S i (ϑ , ϕ )
i
Berücksichtigt man die Verluste in der Antenne, kommt man zum Antennengewinn gegenüber dem isotropen Strahler Gi (ϑ , ϕ ) der bei vernachlässigbaren Verlusten gleich der Direktivität ist.
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-10-
2 Der selektive Verstärker
Unter einem selektiven Verstärker versteht man im Allgemeinen einen Verstärker, der in einem ausgewählten Frequenzbereich das Signal verstärkt und oberhalb und unterhalb dieses
Frequenzbereichs das Signal abschwächt. Er stellt einen Bandpass dar.
2.1 Der Parallelschwingkreis
Der Parallelschwingkreis besteht aus der Parallelschaltung einer realen, also einer verlustbehafteten Spule und einem realen, also einem verlustbehafteten Kondensator.
Bild 3: Parallelschwingkreis
Die Verluste in Spulen und Kondensatoren werden in der Hochfrequenztechnik durch die
dimensionslose Güte Q ausgedrückt und ist der Quotient aus der Energie, die in dem Bauelement pro Periode gespeichert wird und der Energie, die pro Periode im Bauelement aus den
ohmschen Verlusten gebildet wird.
2.1.1 Die Güte der Spule
Der Spannung an der Spule ist proportional zur zeitlichen Änderung des Stromes durch die
Spule. An einer Spule also nur dann eine Spannung abfallen, wenn sich de durch die Spule
fließenden Strom im Laufe der Zeit ändert. An einer Spule kann nur Wechselspannung abfallen.
∆i (t )
∆t
di (t )
u (t ) = L
dt
u (t ) ≈ L
Bild 4: Spannungs- und Stromverlauf an der Spule
Bleibt die Amplitude des (cos-förmigen) Wechselstromes an einer Spule konstant, so steigt
die Spannung mit zunehmender Frequenz des Wechselstromes.
U = IZ = IjωL = Ij 2πfL
2.1.1.1 Die ohmschen Verluste in der Spule
Der Verlustfaktor einer Induktivität wird durch die Energie, die in der Spule während einer
Periode in Wärme umgesetzt wird, und der Energie, die während desselben Zeitraums in der
Spule gespeichert wird, gegeben und es gilt
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-11-
tan δ =
In Wärme umgesetzte Energie pro Periode
gespeicherte Energie pro Periode
In dieser Darstellung kann durch die Periodendauer gekürzt werden und man erhält den Verlustfaktor einer Induktivität durch die Quotientenbildung aus Wirkleistung, die in der Spule in
Wärme umgesetzt wird, und der Blindleistung
tan δ =
Wirkleistung
P
= .
Blindleistung Q
Die Wirkleistung setzt sich aus sämtlichen Stromanteilen zusammen, die eine Erwärmung der
Spule und ihres möglicherweise vorhandenen Spulenkerns bewirken. Im Wesentlichen ist sie
durch den Strom, der in den Windungen der Spule fließt und den ohmschen Widerstand des
Drahtes, sowie durch den Wirbelstrom, der im Kernmaterial auf Grund des Wechselfeldes
induziert wird, bestimmt. Die Leitungswiderstandsverluste in dem sind von der Frequenz unabhängig, solange mit einer über den Leiterquerschnitt konstanten Stromdichte gerechnet
werden kann. Die Wirbelstromverluste steigen mit steigender Frequenz, sind also frequenzabhängig.
Bild 5: Einfache Ersatzschaltung der Spule mit Verlusten
Der Serienwiderstand RCu beinhaltet die Verluste im Draht, RK repräsentiert die Verluste im
Spulenkern. Wird die Impedanz dieser Schaltung berechnet, erhält man
R * jω L
R K ωL
R ωL
Z L = RCu + K
= RCu + RK
+ jωL 2 K 2 2
2
2 2
RK + jωL
RK + ω L
RK + ω L
Der Verlustwiderstand des Kernes bewirkt nicht nur ohmsche Verluste, er beeinflusst auch die
Gesamtinduktivität der Anordnung.
Bild 6: Serienersatzschaltung
Daraus erkennt man, dass die Parallelschaltung aus Spule und Widerstand bei genau einer
gegebenen Frequenz ω in eine Serienschaltung umgewandelt werden kann.
Allgemein gilt (RK’=RS):
RS =
1
1 + ( R P ωC P ) 2
RP
CS = CP
1 + ( R P ωC P ) 2
( RPωC P ) 2
Durch RS und CS fließt der gleiche Strom. Daher gilt für die Wirkleistung P = I 2 RS
1
für die Blindleistung Q = I 2
. Daraus erhält man für den Verlustwinkel
ωC S
tan δ =
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und
I 2 RS
P
=
= RS ωC S
1
Q
2
I
ωC S
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-12Je kleiner der Verlustwinkel ist, desto geringer sind auch die Verluste. Je geringer die Verluste des Kondensators ausfallen, besser ist seine Qualität, seine Güte. Daher wird der Kehrwert
des Verlustwinkels als Güte QC bezeichnet.
1
QC =
tan δ
Betrachtet man die Parallelschaltung aus RP und CP alleine, so erkennt man, dass an beiden
U2
und für
Bauelementen die gleiche Spannung U anliegt. Dann gilt für die Wirkleistung P =
RP
die Blindleistung Q = U 2ωC und schließlich für den Verlustwinkel
P
1
tan δ = =
Q R pωC P
Der Verlustwinkel ist frequenzabhängig. Eine Angabe der Güte ohne die dazugehörige Frequenz ist daher sinnlos. Nun können die obigen Gleichungen umgeformt werden und man
erhält
2
1 + QC
1
C
=
C
RS =
R
S
P
P
2
2
1 + QC
QC
2
RP = (1 + QC ) RS
CP = CS
QC
2
1 + QC
2
2
Anmerkung: Für QC > 10 gilt näherungsweise C P = C S und RP = QC RS . Da die Güten
von Kondensatoren (im vorgesehenen Frequenzbereich) im Allgemeinen größer 1000 sind,
können die Näherungen verwendet werden.
2.1.1.2 Der Skineffekt
Der Skineffekt berücksichtigt die Tatsache, dass sich der Wechselstrom nicht gleichmäßig
über den Querschnitt des Leiters verteilt. Die Stromdichte ist an der Oberfläche des Leiters
am höchsten und nimmt mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche in den Leiter hinein
exponentiell ab. Es gilt S ( x) = S max e
δ =
2
ωµκ
=
2ρ
ωµ
−
x
δ
mit
.
Bei einer metallischen Abschirmung fließt der induzierte Strom, der sogenannte Wirbelstrom,
nur auf der dem Magnetfeld zugewandten Seite. Für die Stromdichte im Leiter der Breite w
und der Dicke t gilt S ( x) = S max * e
−
x
δ
. Für den Strom erhält man
d
x
r r
−
− ⎞
⎛
d
I = ∫∫ SdA = S max w∫ e δ dx = S max wδ ⎜⎜1 − e δ ⎟⎟
x =0
A
⎝
⎠
für gegenüber der Materialdicke d geringe Eindringtiefen δ (δ << t) erhält man schließlich
I = S max wδ
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-13Damit kann man argumentieren, dass der Strom nur in der dünnen Schicht mit der Dicke δ
entlang der Oberfläche fließt. Der restliche Leiter ist nahezu stromlos. Damit wird der Widerstand des Leiters durch seine Drahtlänge LD, durch den spezifischen Widerstand ρ, nicht aber
durch seine mechanische Dicke t, sondern durch die Eindringtiefe δ bestimmt, welche wiederum die effektive Querschnittsfläche angibt.
ρLD ρLD
R=
=
Aeff
wδ
Das ist im Allgemeinen eine wesentliche Erhöhung des Widerstandes, wie er bei der Berechnung für Gleichströme auftritt. In den Abschnitten 2.1.1.2.2 und 2.1.1.2.3 wird eine genauere
Berechnung der Widerstandserhöhung durchgeführt.
2.1.1.2.1 Die Wirkung einer metallischen Abschirmung
Das abzuschirmende Magnetfeld H1 auf der einen Seite der metallischen Abschirmung ruft im
Metall eine Stromdichte S hervor, die an der dem Magnetfeld zugewandten Oberfläche ihren
maximalen Wert aufweist und mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche in den Leiter
gemäß S ( x) = S max e
−
x
δ
abnimmt. An der dem Magnetfeld angewandten Oberfläche, also nach
der Durchdringung der Metallschicht mit der Dicke t, ist die Stromdichte auf S (t ) = S max e
abgeschwächt. Diese Stromdichte bewirkt wieder ein magnetisches Feld H2 außerhalb der
Abschirmung, welches wie die Stromdichte um den Faktor e
dämpft das magnetische Feld auf
⎛ − δt
20 log⎜⎜ e
⎝
−
−
t
δ
t
δ
geringer ist. Die Abschirmung
⎞
⎟dB = −20 t log(e)dB = −8.686 t dB
⎟
δ
δ
⎠
des ursprünglichen Wertes.
2.1.1.2.2 Die Widerstandserhöhung auf Grund des Skin-Effekts bei Mikrostrip-Leitungen
Bei Mikrostrip-Leitungen erfolgt der Energietransport im Dielektrikum hauptsächlich im
Raum, oben von der Leitung und unten durch die Massefläche beschränkt ist. Durch diese
Geometrie ist der wesentliche Stromfluss auf der dem Dielektrikum zugewandten Seite der
−
x
Leiterbahn. Da die Stromdichte gemäß S ( x) = S max e δ in den metallischen Leiter hinein absinkt, kann der Strom durch den Leiter mit der Breite w berechnet werden. Es gilt für die im
Leiter in Wärme umgesetzte Leistungsdichte p = S * E = S ρ S . Da das Material im Allgemeinen isotrop ist, gilt für die Leistungsdichte p =
I
t
−
⎛
δ
⎜
wδ ⎜ 1 − e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
e
−
x
δ
ρ
I
t
−
⎛
δ
⎜
wδ ⎜ 1 − e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
e
−
x
δ
und für
die Verlustleistung
P = ∫∫∫ pdV = I 2 wLD
V
ρ
t
−
⎛
w 2δ 2 ⎜⎜1 − e δ
⎝
t
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⎞
⎟
⎟
⎠
2
∫e
0
−2
x
δ
−2
dx = I 2 ρ
LD 1 − e
t
2 wδ ⎛
−
⎜1 − e δ
⎜
⎝
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t
−
δ
⎞
⎟
⎟
⎠
2
= I 2ρ
t
L´ D 1 + e
t
−
2 wδ
1− e δ
δ
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-14t
−
t
ρLD e 2δ + e 2δ
P = I2
= I2
t
t
−
2 wδ 2 δ
2δ
ρL D
= I 2R
⎛ t ⎞
2wδ tanh⎜ ⎟
⎝ 2δ ⎠
und der Koeffizientenvergleich liefert für den Widerstand
ρL D
R=
⎛ t ⎞
2wδ tanh⎜ ⎟
⎝ 2δ ⎠
der für den unendlich dicken Leiter (gleichbedeutend mit δ << t), der nur auf einer Seite vom
Strom durchflossen wird,
−e
e
R=
ρLD
.
2 wδ
2.1.1.2.3 Die Widerstandserhöhung auf Grund des Skin-Effekts bei Leiterbahnen
Wird der Leiter mit Dicke t auf der Deck- und Bodenfläche vom Strom durchflossen, gilt für
die gesamte Stromdichte im Leiter die Überlagerung der Stromdichte in der Deckfläche und
in der Bodenfläche. Das ist eine ausgezeichnete Näherung für den Stromfluss in Leiterbahnen,
deren Breite w wesentlich größer als ihre Dicke t ist.
t
x− ⎞
⎛ − x − 2t
t
x
t
2 ⎟
⎜
−
−
⎞
⎛ −x
⎛ x⎞
S ( x) = S max ⎜ e δ + e δ ⎟ = S max e 2δ ⎜⎜ e δ + e δ ⎟⎟ = S max 2e 2δ cosh⎜ ⎟
⎝δ ⎠
⎜
⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
Der Gesamtstrom kann aus der Integration über die Querschnittsfläche berechnet werden:
t
2
I = w ∫ S ( x)dx = wS max e
−
t
2
−
t
t 2
2δ
⎛ x⎞
∫t cosh⎜⎝ δ ⎟⎠dx =wS max 4e
−
−
t
t 2
2δ
t
−
⎛ x⎞
⎛ t ⎞
2δ
dx
w
S
e
cosh
δ
4
sinh ⎜ ⎟
=
⎜
⎟
max
∫0 ⎝ δ ⎠
⎝ 2δ ⎠
2
Die maximale Stromdichte an der Deck- bzw. Bodenfläche ist
S max =
Ie
t
2δ
.
⎛ t ⎞
4wδ sinh ⎜ ⎟
⎝ 2δ ⎠
Die Verlustleistungsdichte im Leiter beträgt
t
t
⎛ x⎞
⎛ x ⎞⎞
2 −
2 − ⎛
p = ρS 2 ( x) = 4 ρS max e δ cosh 2 ⎜ ⎟ = 2 ρS max e δ ⎜⎜1 + cosh⎜ ⎟ ⎟⎟
⎝δ ⎠
⎝ δ ⎠⎠
⎝
und nach der Integration über das Leitervolumen
t
t
⎛ t ⎞⎞
2 −δ
2 −δ ⎛ t
2⎛ x ⎞
P = 2 ρLD wδS max e cosh ⎜ ⎟ = 2 ρLD wδS max e ⎜⎜ + sinh ⎜ ⎟ ⎟⎟ .
⎝δ ⎠
⎝ δ ⎠⎠
⎝δ
Wird die maximale Stromdichte aus dem Strom ausgedrückt, erhält man endlich
⎛t⎞ t
sinh ⎜ ⎟ +
ρLD
⎝δ ⎠ δ .
P = I2
t
4 wδ
cosh − 1
δ
Der Koeffizientenvergleich liefert für den Widerstand
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-15⎛t⎞ t
sinh ⎜ ⎟ +
ρLD
⎝δ ⎠ δ
R=
t
4 wδ
cosh − 1
δ
der für den unendlich dicken Leiter (gleichbedeutend mit
t
δ
→ ∞ ), der auf beiden Seiten vom
Strom durchflossen wird,
R=
ρL D
.
4 wδ
Der ohmsche Widerstand ist auf Grund des Skin-Effekts frequenzabhängig. Die relative WiR
derstandserhöhung AC gegenüber der gleichstromdurchflossenen Leiterbahn ist im Bild 7
RDC
dargestellt.
Bild 7: Die relative Widerstandserhöhung einer Leiterbahn gegenüber ihrem Wert bei Gleichstrom
Der leicht ersichtliche Faktor ¼ bei dicken Leiterbahnen ergibt sich aus der Tatsache, dass die
Stromdichte gegenüber der einseitig durchflossenen Leiterbahn bei gleichem Strom auf die
Hälfte absinkt. Dadurch wird aber nur mehr ¼ der Verlustleistung in der Leitung in Wärme
umgesetzt.
2.1.1.2.4 Die Widerstandserhöhung bei zylindrischen Leitern
Eine gute Näherung für die Widerstandserhöhung bei zylindrischen Leitern kann für
Eindringtiefen, die wesentlich kleiner als der Drahtdurchmesser d sind, aus der Überlegung
gewonnen werden, dass der Strom nur in der effektiven Schichtdicke 2δ fließt. Dann gilt für
den Widerstand
4 LD
L
LD
2 LD
=ρ
≈ρ
R=ρ D =ρ
2
π 2
2
Aeff
π dδ
π 2 dδ − δ
d − (d − δ )
4
(
)
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(
)
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-16-
2.1.2 Die Güte des Kondensators
Die Kapazität C eines Plattenkondensators ist von der Fläche A, vom Plattenabstand d und
vom Isolationsmaterial zwischen den Platten abhängig.
C =ε
A
A
= ε 0ε r
d
d
C=
Bild 8: Plattenkondensator
2πεL
r
ln 2
r1
(1)
Bild 9: Zylinderkondensator
Der Strom durch den Kondensator ist proportional zur zeitlichen Änderung der Spannung am
Kondensator. Durch einen Kondensator kann also nur dann Strom fließen, wenn sich die angelegte Spannung am Kondensator im Laufe der Zeit ändert. Durch einen Kondensator kann
nur Wechselstrom fließen.
∆u (t )
∆t
du (t )
i (t ) = C
dt
i (t ) ≈ C
Bild 10: Spannungs- und Stromverlauf am Kondensator
Bleibt die Amplitude der (sinusförmigen) Wechselspannung an einem Kondensator konstant,
so steigt der Strom mit zunehmender Frequenz der Wechselspannung.
I=
U
U
=
= UjωC = U 2 jπfC
1
Z
jωC
2.1.2.1 Die ohmschen Verluste im Kondensator
Der Verlustfaktor eines Kondensators wird durch die Wirkleistung, die im Kondensator in
Wärme umgesetzt wird, und der Blindleistung
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-17tan δ =
Wirkleistung
P
=
Blindleistung Q
beschrieben. Die Wirkleistung setzt sich aus sämtlichen Stromanteilen zusammen, die eine
Erwärmung des Kondensators bewirken. Im Wesentlichen ist sie durch den Strom, der in den
Kondensatorplatten fließt und den ohmschen Widerstand der Kondensatorplatten, sowie durch
die elektrischen Kräfte, welche auf die Dipole des Dielektrikums wirken und die Dipole im
Takt der angelegten Wechselspannung drehen und aneinander reiben, gegeben. Die Leitungswiderstandsverluste in den Kondensatorplatten sind von der Frequenz weitgehend unabhängig, die dielektrischen Verluste steigen mit steigender Frequenz, sind also frequenzabhängig. Auch die Kriech- und Leckströme bewirken eine Erwärmung des Kondensators.
Bild 11: Ladungen im Kondensator ohne und mit Dielektrikum
Daher gilt in erster Näherung das folgende Ersatzschaltbild des realen Kondensators:
In RCu sind die ohmschen Verluste in den Kondensatorplatten und
in den Zuleitungen zusammengefasst, RD beinhaltet die Verluste
welche durch die Bewegung der Dipole im Dielektrikum entstehen
und RK stellt die Verluste durch Kriechströme dar.
Bild 12: Ersatzschaltung des Kondensators mit Verlusten
Wird der Kondensator in seinem vorgesehenen Frequenzbereich
eingesetzt, sind die frequenzabhängigen Reibungsverluste der
Dipole im Dielektrikum vernachlässigbar. Dann gilt:
Bild 13: Einfache Ersatzschaltung
1
RK
RK
RK
( R K ωC ) 2
jωC
1
Z C = RCu +
= RCu +
= RCu +
+
2
2
1
1 + R K jωC
1 + ( R K ωC )
1 + ( R K ωC ) jωC
+ RK
jω C
wobei der zweite Summand einen Verlustwiderstand darstellt, der bei der Frequenz ω genau
so große Verluste verursacht wie der (physikalisch vorhandene) Widerstand RK. Die Parallelkapazität C muss auch verändert werden, sodass die Serienschaltung die gleichen Eigenschaften aufweist wie die Schaltung im Bild 13.
Daraus erkennt man, dass die Parallelschaltung aus Kondensator und Widerstand bei genau einer gegebenen Frequenz ω
in eine Serienschaltung umgewandelt werden kann.
Bild 14: Serienersatzschaltung
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-18-
Allgemein gilt (RK’=RS, CP’=CS):
RS =
1
1 + ( R P ωC P ) 2
RP
CS = CP
1 + ( R P ωC P ) 2
( RPωC P ) 2
Durch RS und CS fließt der gleiche Strom. Daher gilt für die Wirkleistung P = I 2 RS
1
. Daraus erhält man für den Verlustwinkel
für die Blindleistung Q = I 2
ωC S
und
I 2 RS
P
=
= RS ωC S
1
Q
2
I
ωC S
Je kleiner der Verlustwinkel ist, desto geringer sind auch die Verluste. Je geringer die Verluste des Kondensators ausfallen, besser ist seine Qualität, seine Güte. Daher wird der Kehrwert
des Verlustwinkels als Güte QC bezeichnet.
1
QC =
tan δ
Betrachtet man die Parallelschaltung aus RP und CP alleine, so erkennt man, dass an beiden
U2
Bauelementen die gleiche Spannung U anliegt. Dann gilt für die Wirkleistung P =
und für
RP
tan δ =
die Blindleistung Q = U 2ωC und schließlich für den Verlustwinkel
P
1
tan δ = =
Q R pωC P
Der Verlustwinkel ist frequenzabhängig. Eine Angabe der Güte ohne die dazugehörige Frequenz ist daher sinnlos. Nun können die obigen Gleichungen umgeformt werden und man
erhält
2
1 + QC
1
RS =
R
C
=
C
S
P
P
2
2
1 + QC
QC
2
RP = (1 + QC ) RS
CP = CS
QC
2
1 + QC
2
2
Anmerkung: Für QC > 10 gilt näherungsweise C P = C S und RP = QC RS . Da die Güten
von Kondensatoren (im vorgesehenen Frequenzbereich) im Allgemeinen größer 1000 sind,
können die Näherungen verwendet werden.
Geht man von der Serienersatzschaltung Bild 14 aus, so erlaubt sie uns, die beiden Widerstände in einem Widerstand zusammenzufassen und die Gesamtgüte zu berechnen:
1 + ( RK ωC P ) 2
RK
1
1
ω
C
= R S ωC S +
= ( RS + RK ' )ωC S = RS ωC S +
P
2
2
Q ges
RK ωC P
1 + ( R K ωC P )
( R K ωC P )
Hätte der Kondensator nur Verluste durch RS, wäre die Güte QCS =
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1
RS ωC S
.
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-19Hätte der Kondensator nur Verluste durch RK, wäre die Güte QCK = RK ωC K .
Hat der Kondensator Verluste aus beiden Widerständen, so gilt nach dem Einsetzen die allgemein gültige Formel
1
1
1
=
+
QC ges QC S QC K
2.1.3 Die Güte des Parallelschwingkreises
Der Parallelschwingkreis besteht aus der Parallelschaltung einer im Allgemeinen verlustbehafteten Induktivität mit einem verlustbehafteten Kondensator.
Bild 15: Der Parallelschwingkreis
Für die Admittanz dieser Schaltung gilt
R R + j (RL + RC )ωL − ω 2 RL RC LC
1
1
1
+
+
+ jω C = L C
bzw.
Y=
jωL RL RC
jωLR L RC
jωLR L RC
1
Z=
=
1
1
1
RL RC + j (RL + RC )ωL − ω 2 R L RC LC
+
+
+ jω C
jωL RL RC
Unter der Resonanzfrequenz versteht man jene Frequenz, bei welcher der Imaginärteil der
Admittanz Y verschwindet, was gleichbedeutend mit dem Verschwinden des Imaginärteiles
der Impedanz Z ist. Das ist in dieser Schaltung bei jener Kreisfrequenz ω0, bei welcher der
Realteil des Nenner der Impedanz Null wird. Der Zähler ist eine imaginäre Größe, die durch
den imaginären Nenner geteilt wird. Das Ergebnis ist eine reelle Größe, der Resonanzwiderstand. Aus R L RC − ω 2 RL RC LC = 0 erhält man die Resonanz(kreis)frequenz
1
ω0 =
LC
und den Resonanzleitwert
R + RC
Y0 = L
RL RC
bzw. den Resonanzwiderstand
RL RC
,
Z0 =
RL + RC
die Parallelschaltung der beiden Verlustwiderstände RL und RC. Durch Umformung der Ausgangsgleichung erhält man
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-20-
Z=
jωLR L RC
=
RL RC + j (RL + RC )ωL − ω 2 RL RC LC
j
2
⎛ω ⎞
ω
ω
RL RC + jR L
ω 0 L + jRC
ω 0 L − ⎜⎜ ⎟⎟ ω 0 2 RL RC LC
ω0
ω0
⎝ ω0 ⎠
und berücksichtigt man, dass ω 0 LC = 1 und daraus folgend
2
j
man im nächsten Schritt Z =
ω
ω 0 LR L RC
ω0
ω 0L =
1
ω 0C
gilt, erhält
ω
ω0 L
ω0
. Berücksichtigt man
2
⎛ 1 1
⎞ ⎛ω ⎞
1
⎜⎜
ω 0 L ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟
+
⎝ RC ω 0 C RL
⎠ ⎝ ω0 ⎠
nun auch noch die Definition der Güte der Spule bei einem parallel geschalteten VerlustwiR
derstand mit QL = L und die Güte des Kondensators mit parallel geschalteten
ω0 L
ω
1+ j
ω0
j
Verlustwiderstand mit QC = RC ω 0 C : Z =
ω
ω0 L
ω0
und bei der
2
⎛ 1
1 ⎞ ⎛ω ⎞
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟
+
⎝ QC QL ⎠ ⎝ ω 0 ⎠
ω0 L
Q Q
= ω0 L L C .
Resonanzfrequenz gilt wieder für den Resonanzwiderstand Z 0 =
1
1
QL + QC
+
QC QL
Es gilt also für die Güte des Parallelschwingkreises
ω
1+ j
ω0
1
1
1
=
+
Q ges QC QL
und für seine Impedanz
jZ 0
Z=
ω
ω0
⎛ ⎛ ω ⎞2 ⎞
ω
Q ges ⎜1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ + j
⎜ ⎝ ω0 ⎠ ⎟
ω0
⎝
⎠
Der Ausdruck V =
=
Z0
.
⎛ ω ω0 ⎞
⎟⎟
1 + jQ ges ⎜⎜
−
⎝ ω0 ω ⎠
ω ω0
−
wird in der Hochfrequenztechnik absolute Verstimmung geω0 ω
⎛ ω ω0 ⎞
⎟⎟ ist die relative Verstimmung und des gilt
nannt, der Term Ω = Q ges ⎜⎜
−
ω
ω
⎝ 0
⎠
Z0
Z0
Z=
=
1 + jQ gesV 1 + jΩ
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-21-
Bild 16: Parallelschwingkreis mit Z0 = 1000Ω und verschiedenen Güten (1, 2, 5, 10)
2.1.3.1 Die Spule mit Anzapfung
2.1.3.2 Der kapazitive Spannungsteiler zur Impedanztransformation
2.1.4 Spulenlose Filter
Es ist ein hoher technischer Aufwand zu betreiben, um die notwendigen Induktivitäten so zu
realisieren, dass sie in einem vorgegebenen Temperaturbereich (z.B.: -30°C bis +70°C) ihre
Kennwerte mit hinreichend kleiner Toleranz beibehalten. Da die Induktivitäten im Allgemeinen einen Spulenkern aus Ferrit besitzen, ist die Temperaturabhängigkeit des Ferrits bezüglich seiner relativen Permeabilität µr und seiner temperaturabhängigen Verluste zu berücksichtigen. Benötigt man die Filter nur bei kleinen Leistungen und Spannungsbereichen, die von
Operationsverstärkern (OPV, Operational Amplifier, OP-AMP) verarbeitet werden können,
ist der Einsatz von spulenlosen Filterschaltungen zu überlegen. Dabei wird jede Induktivität
durch eine Schaltung mit OPVs, Widerständen und Kondensatoren eingesetzt. Dabei geht
man von der folgenden Schaltung aus:
Bild 17: Ausgangsschaltung zu FDNR- und Gyratorschaltungen
Werden die beiden realen OPVs durch ideale OPVs ersetzt, erhält man die Ersatzschaltung,
welche einfach zu berechnen ist, wobei U1+ die Spannung am nicht invertierenden Eingang,
U1- die Spannung am invertierenden Eingang und U1 die Ausgangsspannung des OPV1 darstellt. Analog ist die Bezeichnung der Signale am OPV 2 durchgeführt.
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-22-
Bild 18: FDNR-Ersatzschaltung mit idealen Operationsverstärkern
Dann gilt für die Eingangsspannungen an den OPVs:
U 1+ = U in
R5
U 2+ = U 1
R4 + R5
R3
R2
U 1− = U 1
+U2
R2 + R3
R2 + R3
U 2− = U 1−
Aus der Bedingung am Eingang eines idealen OPVs, dass U+ = U-, erhält man
R3
R3
R2
R2
R5
+U2
= U1
.
U in = U 1
+U2
U1
R2 + R3
R2 + R3
R2 + R3
R2 + R3
R4 + R5
Nach dem Eliminieren von U1 aus den beiden Gleichungen erhält man
R3 R5
und für den Spannungsabfall an R1:
U in = U 2
(R3 R5 − R 2 R4 )
R2 R4
, woraus die Eingangsimpedanz
U − U 2 = I in R1 = U 2
(R3 R5 − R 2 R4 )
Z in =
R1 R3 R5
R2 R4
berechnet werden kann.
Weiters ist bei der Aussteuerbarkeit der Schaltung zu berücksichtigen, dass die Ausgangsspannung des OPV1
R + R5
U 1 = U in 4
R5
und des OPV2
R R − R2 R4
U 2 = U in 3 5
R3 R5
ist. Die Ausgangsspannung des OPVs ist abhängig von seiner Versorgungsspannung und stellt
so eine Schranke der Signalpegel dar.
2.1.4.1 Gyrator-Schaltung
Ersetzt man in der Schaltung aus Bild 17 den Widerstand R4 durch den Kondensator C4, erhält
man für die Eingangsimpedanz der Schaltung
RR R
Z in = jωC4 1 3 5 .
R2
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-23-
Bild 19: Gyratorschaltung zur Transformation der Kapazität C4 in eine Induktivität
Die Schaltung zeigt einen induktiven Impedanzverlauf, und für die mit dieser Schaltung simulierten Induktivität gilt
RRR
L = C4 1 3 5 .
R2
Es besteht auch die Möglichkeit, R2 durch den Kondensator C2 zu ersetzen und R4 belassen.
Auch dann hat die Schaltung eine induktive Eingangsimpedanz und für die simulierte Induktivität gilt
RRR
L = C2 1 3 5 .
R4
Mit dieser Schaltung kann eine mit einem Ende an Masse liegende Induktivität ersetzt werden. Die Einschränkung in der Verwendbarkeit dieser Schaltung besteht durch die Qualität
der Operationsverstärker hinsichtlich ihrer Grenzfrequenz und Eigenrauschen.
2.1.4.2 FDNR-Schaltung
Ersetzt man in der Schaltung aus Bild 17 den Widerstand R2 durch den Kondensator C2 und
R4 durch C4, erhält man für die Eingangsimpedanz der Schaltung
Z in = −ω 2 C 2 C 4 R1 R3 R 5 ,
einen negativen frequenzabhängigen Widerstand (frequency dependend negative resistor,
FNDR), der als Superinduktivität bezeichnet wird, weil die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes von der Frequenz quadratisch ist.
Werden zwei der WiderständeR3 und R5 durch die Kondensatoren C3 und C5 ersetzt, erhält
man die Eingangsimpedanz
R1
,
Z in = − 2
ω C 3 C 5 R2 R 4
einen negativen frequenzabhängigen Widerstand, der als Superkapazität bezeichnet wird. Es
R R
gilt mit D = C 3C 5 2 4
R1
1
Z in = − 2 .
ω D
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-24-
Bild 20: FDNR als Superkondensator D
Die Einschränkung in der Verwendbarkeit dieser Schaltung besteht durch die Qualität der
Operationsverstärker hinsichtlich ihrer Grenzfrequenz und Eigenrauschen.
Betreibt man den Superkondensator mit einem parallel geschalteten Widerstand und einer
Kapazität zur Ankopplung der Signalquelle, stellt diese Anordnung die Eigenschaften eines
Parallelschwingkreises dar:
Bild 21: Beschalteter Superkondensator D als Ersatz eines Schwingkreises
1
R
ω 2D =
Für die Parallelschaltung aus R und D erhält man Z p =
und für die
2
1
1
−
ω
RD
R− 2
ω D
R
U2
RjωC
1 − ω 2 RD
Verstärkung V =
gilt V =
. Die Resonanzfrequenz
=
R
U1
1 + RjωC − ω 2 RD
+ jωC
1 − ω 2 RD
erhält man bei jener Frequenz, bei welcher der Imaginärteil der Übertragungsfunktion ver1
schwindet. Das ist dann, wenn der Realteil im Nenner Null wird, also ω 0 =
ist.
RD
−R
ω
ω 0C
ω0
V =
3dB-Grenzfrequenzen erhält man aus der Bedingung, dass bei dieω
ω2
ω 0C − 2
1 + Rj
ω0
ω0
Rj
sen der Realteil und der Imaginärteil betragsmäßig gleich groß sind: 1 −
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ω2
ω
= R ω0C oder
2
ω0
ω0
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-25-
ω0 ω
1 ⎛ ω0 ω ⎞
⎜
⎟ = 1 . Der Koeffizientenvergleich mit den Glei−
= Rω 0 C bzw.
−
ω ω0
Rω 0 C ⎜⎝ ω ω 0 ⎟⎠
chungen des Parallelschwingkreises aus R, L und C zeigt, die Güte des beschalteten Super1
.
kondensators Q =
Rω 0 C
2.2 Die Verstärkung eines einstufigen selektiven Verstärkers
2.3 Das Konzept der Transferimpedanz
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-26-
2.4 Die relative Verstimmung
Ausgehend vom Parallelschwingkreis wird seine frequenzabhängige Impedanz berechnet:
Bild 22: Verlustbehafteter Schwingkreis
1
R
RjωL
=
=
2
1
1
+ + jωC R⎛⎜ jωC + 1 ⎞⎟ + 1 R 1 − ω LC + jωL
⎜
jω L R
jωL ⎟⎠
⎝
1
1
mit der wohlbekannten Resonanzfrequenz ω 0 =
, bei der ω 0 L =
gilt.
ω 0C
LC
Damit kann die obige Gleichung umgeformt werden:
R
R
R
=
=
Z=
⎛
⎛
⎛
ω ⎞
1 ω0 ⎞
1 ω0 ⎞
ω
ω
ω
⎟⎟ + 1 R⎜⎜ jω 0 C
⎟⎟ + 1 R⎜⎜ jω 0 C
+
−j
− jω 0 C 0 ⎟⎟ + 1
R⎜⎜ jω 0 C
ω 0 jω 0 L ω ⎠
ω0
ω0L ω ⎠
ω0
ω ⎠
⎝
⎝
⎝
Z=
Z=
R
(
und mit der in 2.1.3 definierten Güte: Z =
)
R
.
⎛ ω ω0 ⎞
⎛ ω ω0 ⎞
⎟⎟ + 1
⎟⎟ + 1
−
−
Rjω 0 C ⎜⎜
jQ⎜⎜
⎝ ω0 ω ⎠
⎝ ω0 ω ⎠
Wird der Schwingkreis bei seiner Resonanzfrequenz betrieben, ist er also nicht verstimmt, ist
der Ausdruck
ω ω0
ω ω0
−
= 0 . Der Ausdruck
−
wird absolute Verstimmung genannt.
ω0 ω
ω0 ω
Der Ausdruck
⎛ ω ω0 ⎞
⎟⎟ = Ω
−
Q⎜⎜
⎝ ω0 ω ⎠
ist die relative Verstimmung. Damit gilt für die Impedanz des Schwingkreises
Z=
R
1 + jΩ
Bild 23: Impedanzverlauf zweier 470kHz-Schwingkreise mit unterschiedlicher Güte über der Frequenz
Wird der Betrag des Impedanzverlaufs über der Frequenz dargestellt, ist der Verlauf bezüglich der Resonanzfrequenz unsymmetrisch (Bild 23).
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Bild 24: Impedanzverlauf der obigen Schwingkreise über der absoluten Verstimmung
Trägt man den Impedanzverlauf über der absoluten Verstimmung auf, so erhält man für jeden
Schwingkreis auf Grund der nichtlinearen, normierten Frequenzachse den gleichen Verlauf,
die Grenzfrequenzen liegen bei unterschiedlichen Werten der absoluten Verstimmung (Bild
24).
Bild 25: Impedanzverlauf der obigen Schwingkreise über der relativen Verstimmung
Wird die Impedanz über der relativen Verstimmung dargestellt, so unterscheiden sich die
Funktionsverläufe nur mehr durch einen konstanten Faktor, der durch den Verlustwiderstand
des Parallelschwingkreises gegeben ist. Die Grenzfrequenzen liegen unabhängig von der Güte
bei Ω = ±1 .
2.5 Die Kettenschaltung mehrerer gleicher selektiver Verstärker
Bei der Kettenschaltung von mehreren selektiven Verstärkern wird davon ausgegangen, dass
keine Rückwirkung in den einzelnen Verstärkerstufen auftritt. Das bedeutet in der Praxis, dass
die Verstärkung jeder Stufe unabhängig vom Ausgangswiderstand der vorhergehenden Stufe
und von der Belastung der nachfolgenden Stufe ist.
Bild 26: Die Kettenschaltung von n selektiven Verstärkern
Dann gilt für die Gesamtverstärkung der Anordnung
n
1
1
1
1
* V02
* ... * V0 n
= ∏ V0 i
1 + jΩ 1
1 + jΩ 2
1 + jΩ n
1 + jΩ i
i =1
wobei V0i die Verstärkung der i-ten Stufe bei ihrer Resonanzfrequenz ω 0i ist.
Sind alle Schwingkreise in den einzelnen Stufen gleich (alle Resonanzfrequenzen gleich
ω 01 = ω 02 = ... = ω 0 n = ω 0 und alle Güten gleich Q01 = Q02 = ... = Q0 n = Q0 ) erhält man für die
Gesamtverstärkung
V ges (Ω) = V1 * V2 * ... * Vn = V01
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-28-
V ges (Ω) =
n
1
V
(1 + jΩ ) ∏
n
=
0i
i =1
V0 ges
(1 +
jΩ )
n
.
Für den Betrag der Gesamtverstärkung gilt
V0 ges
V ges (Ω) =
Dann gilt für die 3-dB-Bandbreite
V ges (Ω)
V0 ges
=
(1 + Ω )
2 n
1
2
=
1
(1 + Ω )
2 n
, woraus die relative Ver-
stimmung in Abhängigkeit der Anzahl der Verstärkerstufen berechnet werden kann und man
erhält durch umstellen der obigen Gleichung
Ω −3dB =
n
2 −1
wobei beide Lösungen beim Wurzelziehen zu beachten sind. Mit der Güte Q0 können daraus
durch Umformen der Definitionsgleichung zur relativen Verstimmung die untere und obere
Grenzfrequenz berechnet werden.
2.6 Bandfilter
Unter einem Bandfilter versteht man die Zusammenschaltung mehrerer Schwingkreise unter
Zuhilfenahme reziproker Bauelemente, also mit Hilfe von Widerständen (R), Induktivitäten
(L), Kapazitäten (C) oder Übertrager (Ü). Es werden ausschließlich RLCÜ-Elemente verwendet.
Bild 27: Bandfilter aus zwei magnetisch gekoppelten Schwingkreisen
Im Folgenden werden nur die am meisten verwendeten Bandfilter aus zwei gekoppelten
Schwingkreisen betrachtet. Die magnetische Kopplung (auch als magnetische Kopplung bezeichnet) hat die Eigenschaft automatisch in sich, dass die beiden Kreise voneinander galvanisch getrennt sind. Um die magnetische Kopplung analysieren zu können, ist eine entsprechende Modellierung der Energieübertragung zwischen den Schwingkreisen notwendig.
2.6.1 Die magnetische Kopplung
Man geht davon aus, dass nicht der gesamte magnetische Fluss Φ1 der Spule L1 durch die
Spule L2 dringt. Der Teil Θ 2 = kΘ1 dringt durch die Spule L2, der restliche Teil dringt nur
durch die Umgebung. Der Faktor k sei der magnetische Koppelfaktor und es gilt 0 ≤ k ≤ 1 ,
wobei k = 0 zwei getrennte magnetische Kreise und k = 1 zwei ideal gekoppelte Kreise bedeutet.
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-29-
Bild 28: die magnetische Kopplung und ihre Ersatzschaltung
Der Zusammenhang zwischen den Spannungen und Strömen ist
⎛ U1 ⎞
⎡ L M ⎤ ⎛ I1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = jω ⎢ 1
⎥ * ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝U 2 ⎠
⎣ M L2 ⎦ ⎝ I 2 ⎠
Ist keine magnetische Streuung, gelangen also alle Feldlinien, die durch den Stromfluss in der
Spule L1 erzeugt werden, durch die Spule L2, spricht man von idealer Kopplung, oder Kopplung k = 1 und es gilt M = L1 * L2 . Gelangen weniger Feldlinien durch die Spule L2, gilt
M = k * L1 * L2 .
Dabei ist zu beachten, dass L1-M oder L2-M auch negativ werden kann. Diese Größen sind
Rechengrößen und negative Werte bedeuten bloß, dass die Ersatzschaltung mit realen Bauelementen nicht realisiert werden kann. Es hat keinen weiteren Einfluss auf die physikalischen
Gegebenheiten.
Vs
Mit Hilfe des magnetischen Leitwertes Λ, (Einheit [Λ ] = A ) wird die Induktivität einer Spule
2
aus L = N Λ berechnet. In der Elektronik wird der magnetische Leitwert als A -Wert der
Spule bezeichnet, wobei im Allgemeinen
L=N2AL
mit [AL] = nH verwendet wird. Dann kann die Gegeninduktivität auch aus
M = kN 1 N 2 AL
ausgedrückt werden.
L
Beispiel 1: Die Auswirkung der Kopplung
Zwei gekoppelte Spulen, deren Kern einen AL-Wert von 20nH hat, wird werden auf den Kern
mit N1 = 20 Windungen und N2 = 10 Windungen umwickelt.
L1 = 8µH
L1 = N12AL
2
L2 = N2 AL
L2 = 2µH
Bei idealer Kopplung (k = 1) erhält man für
M = k L1 L2
M1 = 4µH
Bei einer Kopplung k = 0.25 erhält man
M0.25 = 1µH
Bild 29: Die Induktivitätswerte zum Beispiel 1 bei k = 1 und k = 0.25
Für das Spannungsverhältnis liefern die Ersatzschaltungen bei Leerlauf am Ausgang
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-30U2
M
M
=ü=
=
(L1 − M ) + M L1
U1
bei k = 1
ü1 = 0.5
bei k = 0.25
ü0.25 = 0.125
und für das Stromverhältnis bei Kurzschluss am Ausgang
1
I2
jω ( L 2 − M )
M
=
bei k = 1
ü1’ = 2
= −ü´=
1
1
L2
I1
+
jω (L2 − M ) jωM
bei k = 0.25
ü1’ = 0.5
□
Nun gilt es die Frage der Eingangsimpedanz zu klären. Dabei wird am Ausgang der Schaltung
mit einem Widerstand R belastet. Dann erhält man für die Eingangsimpedanz
2
− ω 2 L1L2 (1 − k 2 ) + jωL1R ω 2 k 2 RL1L2
R 2 − ω 2 L2 (1 − k 2 )
= 2
+
Z in =
j
L
ω
1
2
2
R + jωL2
R + ω 2 L2
R 2 + ω 2 L2
Für den rechnerisch einfachen Fall der idealen Kopplung vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
jωL1 R
Zin =
, der für große Werte der Induktivitäten (Transformator) gelten,
R + jωL2
2
L
n
1
Z in = R 1 = R 1 2 = R 2
L2
ü
n2
2.6.2 Die Spannungskopplung oder Kopfkopplung
Bei der Spannungskopplung werden die beiden Schwingkreise mit Hilfe einer Reaktanz (C3P
bzw. L3P) gekoppelt.
Bild 30: Die Spannungskopplung mit Hilfe eines Koppelkondensators C3P und die Spannungskopplung
mit Hilfe der Koppelinduktivität L3P.
2.6.3 Die Stromkopplung oder Fußpunktkopplung
Betrachtet man die Zusammenschaltung der Kondensatoren C1P, C2P und C3P, erkennt man ein
kapazitives Π-Glied, welches in ein äquivalentes T-Glied, welches aus C1T, C2T und C3T besteht, umgeformt werden kann. Ebenso kann mit den Induktivitäten L1P, L2P und L3P verfahren
werden. Das entsprechende T-Glied besteht aus L1T, L2T und L3T.
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-31-
Bild 31: Π-T-Transformation der Kapazitäten bzw. Induktivitäten
Für die Umrechnung kann von den Transformationsgleichungen der Π-T-Transformation ausgegangen werden und es gilt
C1P * C 2 P + C1P * C 3 P + C 2 P * C 3 P
C1P
C * C 2 P + C1P * C 3 P + C 2 P * C 3 P
= 1P
C2P
C * C 2 P + C1P * C 3 P + C 2 P * C 3 P
= 1P
C3P
C 2T * C 3T
C1T + C 2T + C 3T
C1T * C 3T
=
C1T + C 2T + C 3T
C1T * C 2T
=
C1T + C 2T + C 3T
C1T =
C1P =
C 2T
C2P
C 3T
C3P
Ebenso kann die Transformation für die induktive Kopplung durchgeführt werden:
L1P * L3 P
L1P + L2 P + L3 P
L2 P * L3 P
=
L1P + L2 P + L3 P
L1P * L3 P
=
L1P + L2 P + L3 P
L1T * L2T + L1T * L3T + L2T * L3T
L1T
L * L2T + L1T * L3T + L2T * L3T
= 1T
L2 T
L * L2T + L1T * L3T + L2T * L3T
= 1T
L3T
L1T =
L1P =
L 2T
L2 P
L3T
L3 P
Bild 32: Die Stromkopplung mit Hilfe des Koppelkondensators C3T bzw. mit der Koppelinduktivität Lk
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-32-
2.6.4 Das Übertragungsverhalten eines zweikreisigen Bandfilters
Wie oben ausgeführt wurde, kann die Spannungs- und Stromkopplung rechnerisch ineinander
übergeführt werden. Da der Berechnungsvorgang mit der Ersatzschaltung der Spannungskopplung am leichtesten Verständlich ist, wird die Berechnung nur für die Spannungskopplung durchgeführt. Sie kann mit Hilfe der Π-T-Transformation in die Stromkopplung bzw.
magnetische Kopplung übertragen werden.
Bild 33: Die Ersatzschaltung des spannungsgekoppelten Bandfilters
Y1 symbolisiert den Schwingkreis aus L1, C1 und R1, Y2 symbolisiert den Schwingkreis L2, C2
und R2, Yk stellt den Koppelleitwert dar. Daraus können einfach die Vierpolparameter ange− Yk ⎤
⎡Y + Yk
. Daraus können rasch die Z-Parameter
schrieben werden und es gilt Y = ⎢ 1
Y2 +Y k ⎥⎦
⎣ − Yk
Yk ⎤
⎡Y2 + Yk
. Der Frequenzgang des
⎢ Y
Y1 + Yk ⎥⎦
(Y1 + Yk )(Y2 + Yk ) + Yk ⎣ k
Bandfilters kann mit der Transferimpedanz (Kap. 2.3) ausgedrückt werden Z T = Z 21 :
Yk
. Die Spannung am Ausgang des Bandfilters ist U 2 = Z T I 1 . Dann gilt
ZT =
Y1Y2 + (Y1 + Y2 )Y k
für die Wirkleistung P2 am Ausgang in Abhängigkeit der Wirkleistung am Eingang P1
*
*
*
*
*
UU
R
II R Z Z
Z Z
* Z Z
P2 = 2 2 = I 1 I 1 T T 1 = 1 1 1 T T = P1 T T . Das Verhältnis
2 R2
2 R2 R1
2
R1 R2
R1 R2
1
berechnet werden: Z =
P2
= Ab
P1
2
= Ab Ab * =
ZT ZT
R1 R2
2
*
triebsübertragungsmaßes Ab =
ist das Betragsquadrat des im Allgemeinen komplexen BeZT
R1 R2
. Setzt man für Y1 =
1 + jΩ 1
1 + jΩ 2
, Y2 =
(Kap. 2.3)
R1
R2
und Yk = jBk , kann das Betriebsübertragungsmaß für die beiden gekoppelten Schwingkreise
berechnet werden. Eine wesentliche Vereinfachung in der Berechnung liefert die Annahme,
1 + jΩ
dass beide Schwingkreise gleich sind. Damit gilt Y1 = Y2 = Y =
:
R
jBk R
jK
jK
Ab =
=
=
,
2
2
(1 + jΩ ) + 2(1 + jΩ ) jBk R 1 + 2 jΩ − Ω + 2 jK − 2ΩK 1 − 2 KΩ − Ω 2 + 2 j (K + Ω )
wobei K = Bk R , die relative Kopplung zwischen den beiden identischen Schwingkreisen ist.
Das Betriebsübertragungsmaß ist nicht nur von der Verstimmung, also von der Frequenz abhängig, sondern auch davon, wie stark die beiden Kreise gekoppelt sind. Um den Effekt der
Kopplung anschaulich darstellen zu können, wird der Betrag des Betriebsübertragungsmaßes
K2
2
verwendet, und man erhält Ab =
. Um die Eigenschaften des
(1 − 2 KΩ − Ω 2 )2 + 4(K + Ω )2
Verlaufs von Ab zu verstehen, ist eine Kurvendiskussion notwendig. Da es sich um eine stets
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-33positive Funktion handelt, Liegen die Extrema an der genau der gleichen Stelle wie die Ex2
trema von Ab . Das ist eine wesentliche Erkenntnis, und bedeutet eine enorme Vereinfachung bei der Kurvendiskussion. Die Minima der Kurve liegen dort, wo die Maxima des
Kehrwerts der Funktion liegen. Das gleiche gilt auch für die Maxima des Funktionsverlaufs;
eine weitere wesentliche Vereinfachung bei der Berechnung der Extrema. Also ist der Verlauf
1
zu untersuchen, der wesentlich weniger aufwendig gestaltet ist als die
der Funktion
2
Ab
Diskussion der Funktion Ab . Für die Bestimmung der Extrema ist notwendigerweise die
erste Ableitung Null. Das gilt auch für das Quadrat der Funktion und auch für das Quadrat des
− 2(1 − 2 KΩ − Ω 2 )(K + Ω ) + 8(K + Ω )
d 1
=
. Die NullstelKehrwertes dieser Funktion:
dΩ Ab 2
K2
len liegen bei
Bild 34: Der Verlauf der Übertragungsfunktion AB(K, Ω) für Kopplungen von K = 0.5, K = 1, K = 2 und
K = 3 in Abhängigkeit der Verstimmung Ω
Bild 35: Der Verlauf der Übertragungsfunktion AB (K, Ω) bei der Resonanzfrequenz in Abhängigkeit der
Kopplung K
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-34-
Bild 36:Die dreidimensionale Darstellung der Übertragungsfunktion zweikreisiger Bandfilter
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-35-
3 Oszillatoren
Oszillatoren sind Baugruppen, die aus der Leistung, die aus der Stromversorgung geliefert
wird, eine Wechselspannung mit einer vorgegebenen Frequenz und Amplitude herstellen.
Dazu sind aktive Bauelemente (z.B. Transistoren, Operationsverstärker, Dioden mit einem
negativen dynamischen Widerstand, Elektronenröhren) notwendig. Eine Möglichkeit der
Schwingungserzeugung besteht darin, einen Teil des Ausgangssignals eines Verstärkers so an
den Eingang zurückzuführen, dass die Signaldämpfung des Rückkoppelnetzwerkes durch die
Verstärkung ausgeglichen wird.
Bild 37: Das Prinzip der Rückkopplung
Dann gilt für die Eingangsspannung des Verstärkers U in = U 1 + KU 2 und für die Ausgangsspannung U 2 = VU in . Durch die Elimination von U in und Formelumstellung auf U 2 erhält
man
V
U2 =
U1
1 − KV
3.1 Die klassische Schwingbedingung
Da der Oszillator ohne ein Eingangssignal, also wenn U 1 = 0 gilt, am Ausgang eine Wechselspannung liefern soll, kann das nur sein, wenn die Verstärkung des rückgekoppelten Verstärkers über alle Grenzen wächst, also unendlich groß ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das
Produkt
KV = 1
ist. Das ist verbal ausgedrückt dann der Fall, wenn die Abschwächung K durch das Rückkoppelnetzwerk durch die Verstärkung V des Verstärkers aufgehoben wird. Diese Gleichung wird
Schwingbedingung genannt und stellt eigentlich zwei reelle Gleichungen dar, weil sowohl
die Verstärkung V, als auch die Dämpfung K komplexe Größen sind.
KV = 1
wird als Amplitudenbedingung bezeichnet,
< KV = 2nπ mit n ∈ ganze Zahlen
wird Phasenbedingung genannt.
Das kann auch durch
Re( KV ) = 1
und
Im(KV ) = 0
zum Ausdruck gebracht werden.
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-36-
3.2 Die Schwingbedingung aus den Y-Parametern
In der Hochfrequenztechnik ist es schwierig, den Oszillator in den Verstärker- und Rückkoppelteil zu trennen, da es im Verstärker schon zur Rückkopplung des Ausgangssignals auf den
Eingang kommen kann. An Hand eines Oszillators mit einem Bipolartransistor wird der
Sachverhalt dargestellt.
Bild 38: Die Aufspaltung in einen „reinen“ Verstärker und ein „reines“ Rückkoppelnetzwerk
Die parasitären Kapazitäten (Basis-Emitter-Kapazität Cbe, Kollektor-Emitter-Kapazität Cce
und die Kollektor-Basis-Kapazität Ccb) des Transistors liegen parallel sowohl zum Verstärker
als auch zum Rückkoppelvierpol. Sie werden vom Verstärkervierpol einfach in den Rückkoppelvierpol verschoben, ohne ihre die Wirkungsweise zu verändern. Dadurch erhält man im
Allgemeinen einen nur aus reellwertigen Elementen bestehenden Verstärkervierpol und einen
nur aus imaginärwertigen Elementen bestehenden Rückkoppelvierpol. Der Gesamtvierpol
besteht aus der Parallelschaltung des „reinen“ Verstärkervierpols mit dem „reinen“ Rückkoppelvierpol. Aus den beiden Vierpolgleichungen I 1 = Y11U 1 + Y12U 2 und I 2 = Y21U 1 + Y22U 2
erhält man unter der Voraussetzung, dass am Eingang kein Signal eingespeist wird, also I1
Y
Null ist: U 1 = − 12 U 2 . Einsetzten dieses Ausdrucks in die zweite Vierpolgleichung liefert
Y11
Y Y −Y Y
unter der Voraussetzung, dass kein Strom am Ausgang fließt: 0 = 11 22 12 21 U 2 . Diese
Y11
Bedingung kann nur dann physikalisch sinnvoll erfüllt werden, wenn
Y11Y22 − Y12Y21 = det(Y ) = 0
ist. Sie ist nur eine andere Form der Schwingbedingung und kann in KV = 1 transformiert
werden.
3.3 Das Anschwingen des Oszillators
3.4 Typische Oszillatorschaltungen
3.4.1 RC-Oszillatoren
3.4.1.1 Der Wien-Robinson-Oszillator
Der Wien-Robinson-Oszillator besteht im Wesentlichen aus einem Verstärker mit der Verstärkung V und einem frequenzabhängigen Rückkoppelnetzwerk aus R1, C1, R2 und C2 in der
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-37Form eines Spannungsteilers mit der Eingangsspannung U1 und der Ausgangsspannung U2.
Das Ausgangssignal des Oszillators steht am Ausgang des Verstärkers als U1 zur Verfügung.
Bild 39: Prinzipschaltung des Wien-Robinson-Oszillators
Der Verstärker wird als ideal angenommen und hat daher einen unendlich hohen Eingangswiderstand und der Ausgangswiderstand ist vernachlässigbar gering. Für die Impedanz aus R1
R jωC1 + 1
1
= 1
und C1 erhält man Z 1 = R1 +
, für die Impedanz aus R2 und C2 erhält man
jωC1
jωC1
1
R2
jω C 2
R2
Z2 =
. Dann gilt für Übertragungsfunktion
=
1
R 2 jω C 2 + 1
R2 +
jω C 2
R2
U
Z2
R 2 j ωC 2 + 1
R2 jωC1
K= 2 =
=
=
R2
(R1 jωC1 + 1)(R2 jωC 2 + 1) + R2 jωC1
U 1 Z 1 + Z 2 R1 jωC1 + 1
+
jωC1
R 2 jω C 2 + 1
R 2 jω C 1
K =
1 + j ω (R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 ) − R 1 R 2 ω 2 C 1 C 2
Es wird von der Voraussetzung ausgegangen, dass der Verstärker keine Phasenverschiebung
verursacht. Dann erhält man aus der Phasenbedingung, dass die Phasendrehung bei der Resonanzfrequenz Null ist, also der Imaginärteil der Übertragungsfunktion K Null ist. Da der Zähler von K rein imaginär ist, muss auch der Nenner bei der Resonanzfrequenz rein imaginär
sein. Der Quotient wird dann reell. Also gilt bei der Resonanzfrequenz f 0 =
1 − R1 R2ω 0 C1C 2 = 0
2
bzw. gilt bei Resonanz
ω0 =
1
R1 R2 C1C 2
ω0
2π
.
R2 C1
.
R1C1 + R2 C1 + R2 C 2
Für die Funktion benötigt man einen Verstärker mit der Verstärkung
1 R C + R2 C1 + R2 C 2
. Dazu kann z.B. ein nicht invertierender Operationsverstärker
V = = 1 1
K
R2 C1
eingesetzt werden.
Bei dieser Frequenz erhält man für die Übertragungsfunktion K =
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Bild 40:Wien-Robinson-Oszillator mit einem nicht invertierenden Operationsverstärker
R3
R2 C1
. Einer der Wider=
R4 R1C1 + R2 C1 + R2 C 2
stände kann frei (aber sinnvoll) gewählt werden. Dann ist der andere Widerstand eindeutig
festgelegt. Wegen der Verwendung eines Operationsverstärkers ist der Einsatzbereich dieser
Schaltung höchstens bis zu einigen 100 kHz möglich. In diskreter Schaltungstechnik kann er
bis zu einigen MHz sinnvoll realisiert werden.
Für die Dimensionierung von R3 und R4 gilt 1 +
3.4.1.2 Der Phasenschieber-Oszillator
Bild 41: Phasenschieber-Oszillator mit einem invertierenden Operationsverstärker
3.4.2 LC-Oszillatoren
3.4.2.1 Der Meissner-Oszillator
3.4.2.2 Der Hartley-Oszillator
3.4.2.3 Der Colpitts-Oszillator
3.4.3 Quarzoszillatoren
3.5 Die Stabilität von Oszillatoren
Unter der Stabilität eines Oszillators versteht man im Allgemeinen die Unbeeinflussbarkeit
seiner Schwingfrequenz auf Grund von Störgrößen, die den Oszillator beeinflussen. Die bedeutendste Größe, die den Störungen entgegenwirkt, ist die absolute Phasenempfindlichkeit
1 dϕ
dϕ
=
. Sie gibt an um wie viel Radians sich die Phase der Rückkoppelschaltung ändω 2π df
dert, wenn sich die Frequenz ändert. Je höher der Betrag dieser Größe ist, umso kleiner ist die
Schwankungsbreite der Schwingfrequenz. Um Oszillatorschaltungen untereinander verglei-
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chen zu können, ist es besser, die relative Phasenempfindlichkeit
dϕ
zu betrachten. Sie gibt
dω
ω0
die Phasendrehung der Rückkoppelschaltung pro relativer Frequenzänderung, bezogen auf die
Resonanzfrequenz an Dieser Wert ist von der Resonanzfrequenz des Netzwerks unabhängig.
Das ist die
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-40-
4 Mischer
Der Mischer hat die Aufgabe, ein Signal, welches in einem bestimmten Frequenzbereich vorliegt, in einen anderen, im Allgemeinen gleich breiten Frequenzbereich umzuwandeln. Dieser
Vorgang kann mit Hilfe eines nicht linearen, zeitinvarianten Bauelement (non linear time invariant, NLTI) oder mit einem linearen, zeitvarianten (linear time variant, LTV) Bauelement
erfolgen. Um die Mischung einfach darzustellen, wird von einem linearen Verstärker, der die
Spannung u1(t) verstärkt und dessen Verstärkung von einer Spannung u2(t) abhängt, ausgeu (t )
gangen. Es gilt v(t ) = 2 .
U ref
Bild 42: Schaltsymbol eines Mischers
Es wird ein Signal u1 (t ) = U1 cos(ω1t + ϕ1 ) an den Eingang 1 und ein anderes Signal
u2 (t ) = U 2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) an den Eingang 2 des Mischers gelegt. Dann tritt am Ausgang a des
idealen Mischers ein Signal auf, welches dem Produkt der Eingangssignale proportional ist
und es gilt
u (t ) U U
u a (t ) = u1 (t )v(t ) = u1 (t ) 2 = 1 2 cos(ω1t + ϕ1 ) cos(ω 2 t + ϕ 2 ) .
U ref
U ref
Die Anwendung des Summensatzes (17.1) liefert
u a (t ) =
U 1U 2
UU
cos((ω1 + ω 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 ) + 1 2 cos((ω1 − ω 2 )t + ϕ1 − ϕ 2 ) ,
2U ref
2U ref
zwei „neue“ Signale mit den „neuen“ Frequenzen ω1 + ω 2 (Summenfrequenz) und ω1 − ω 2
(Differenzfrequenz). Durch ein geeignetes Bandfilter kann aus diesem Frequenzgemisch das
gewünschte Signal mit der Summen- oder Differenzfrequenz ausgefiltert werden.
4.1 Additiver Mischer
Bei der additiven Mischung werden zwei Signale addiert und dieses Summensignal an ein
Bauelement mit einer nicht linearen Übertragungskennlinie angelegt. Dann entstehen abhängig von der Art der Kennlinie Signalteile mit ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen und auch Summen- und Differenzfrequenzen ihrer jeweiligen ganzzahligen Vielfachen.
4.1.1 Mischung mit einem Feldeffekt-Transistor
Die additive Mischung erfolgt beim Feldeffekt-Transistor an seiner quadratischen Übertragungskennlinie
2
2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎛ U gs ⎞
U
U
gs
gs
⎟ ⎟.
⎜
⎟ = I dss ⎜1 − 2
I d = I dss ⎜1 −
+
⎜
⎜ U ⎟
U p ⎜⎝ U p ⎟⎠ ⎟
p ⎠
⎝
⎠
⎝
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Bild 43: Typische Schaltung eines JFET-Mischers
Die Gate-Source-Spannung setzt sich aus einer dem Arbeitspunkt bestimmenden Gleichspan⎛
I ⎞
nung U gs 0 = U p ⎜⎜1 − d 0 ⎟⎟ = − I d 0 RS (wobei I d 0 den Gleichstrom im Arbeitspunkt darstellt)
I dss ⎠
⎝
und den beiden Eingangswechselspannungen u1 (t ) und u 2 (t ) zusammen. Es gilt
u gs (t ) = U gs 0 + u1 (t ) − u2 (t ) = U gs 0 + U1 cos(ω1t + ϕ1 ) − U 2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
und
2
2
2
2
u gs (t ) = U gs 0 + 2U gs 0 u1 (t ) + u1 (t ) − 2U gs 0 u 2 (t ) + u 2 (t ) − 2u1 (t )u 2 (t ) . Setzt man diese Ausdrücke in die Kennliniengleichung des FETs ein und berücksichtigt man, dass die Spannung
am Drain-Widerstand bzw. am Drain des FETs u d (t ) = U B − id (t ) RD ist, erhält man zuerst
2
2
2
2U gs 0
2U gs 0
U gs 0
id (t )
u1 (t ) 2U gs 0
u 2 (t )
2
2
(
)
(
)
= 1−
−
u1 (t ) −
u 2 (t ) +
+
u
t
+
−
u
t
+
+
1
2
2
2
2
2
2
I dss
Up
Up
Up
Up
Up
Up
Up
Up
−
2u1 (t )u 2 (t )
Up
2
oder
2U gs 0
id (t )
2 ⎛⎜ U gs 0 ⎞⎟
2
= 1−
−
1−
u1 (t ) −
⎜
⎟
I dss
Up
Up ⎝
Up ⎠
Up
2u (t )u (t )
− 1 22
Up
wobei der Ausdruck
2 I dss
Up
2
2
2
⎛ U gs 0 ⎞
U
⎜1 −
⎟u 2 (t ) + gs 0 + u1 (t ) + u 2 (t ) +
2
2
2
⎜
U p ⎟⎠
Up
Up
Up
⎝
⎛ U gs 0 ⎞
⎟ = g m die Steilheit des FETs im Arbeitspunkt und
⎜1 −
⎟
⎜
U
p ⎠
⎝
⎛ 2U gs 0 U gs 0 2 ⎞
⎟ = I , der Gleichstrom im Arbeitspunkt ist. Das verkürzt die SchreibI dss ⎜1 −
+
d0
2 ⎟
⎜
U
U
p
p
⎠
⎝
weise und liefert
2I
I
I
2
2
id (t ) = I d 0 + g m u1 (t ) + g m u 2 (t ) + dss2 u1 (t ) − dss2 u1 (t )u 2 (t ) + dss2 u 2 (t ) .
Up
Up
Up
Das Einsetzen der cos-Funktionen führt auf
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-42id (t ) = I d 0 + g mU 1 cos(ω1t + ϕ 1 ) + g mU 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) +
+
I dss
Up
2
U 1 cos 2 (ω1t + ϕ1 ) −
2
2 I dss
Up
2
U 1 cos(ω1t + ϕ 1 )U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) +
I dss
Up
2
U 2 cos 2 (ω 2 t + ϕ 2 )
2
mit Hilfe der Summensätze (17.1) kann in einzelne Signalkomponenten aufgespaltet werden:
id (t ) = I d 0 + g mU 1 cos(ω1t + ϕ 1 ) + g mU 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) +
+
−
I dss
U 1 (1 + cos(2ω1t + 2ϕ 1 )) +
2
I dss
2
2U p
I dss
U 1U 2 (cos((ω1 + ω 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 ) + cos((ω1 − ω 2 )t + ϕ 1 − ϕ 2 ))
Up
2
Up
2
U 2 (1 + cos(2ω 2 t + 2ϕ 2 ))
2
Am Drain des FETs bzw. am Drainwiderstand dieses Mischers stehen also die
•
•
Gleichspannungskomponente
⎞
⎛
I
I
2
2
U DC = U B − ⎜ I d 0 + dss 2 U 1 + dss2 U 2 ⎟ Rd
⎟
⎜
Up
2U p
⎠
⎝
Signale im Original-Frequenzbereich
uω1 (t ) = − g m Rd U 1 cos(ω1t + ϕ1 )
uω 2 (t ) = − g m Rd U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
•
Signale mit ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen
I
2
u 2ω1 (t ) = − dss 2 Rd U 1 cos(2ω1t + 2ϕ1 )
2U p
u 2ω 2 (t ) = −
•
I dss
2U p
Rd U 2 cos(2ω 2 t + 2ϕ 2 )
2
2
sowie die Signale mit der Summen- und Differenzfrequenz
I
uω1 +ω 2 (t ) = dss2 Rd U 1U 2 cos((ω1 + ω 2 )t + ϕ1 + ϕ 2 )
Up
uω1 −ω 2 (t ) =
I dss
Up
2
Rd U 1U 2 cos((ω1 − ω 2 )t + ϕ1 − ϕ 2 )
zur weiteren Verarbeitung zur Verfügung. Betrachtet man den Mischer als Baugruppe mit
einem Eingangssignal U1(ω1), welches auf das Signal U2(ω1±ω2) umgesetzt werden soll, können die Größen Mischsteilheit gc und Mischverstärkung Vc anschaulich gemacht werden. Der
Index c soll auf die Frequenzumsetzung (conversion) hinweisen.
Bild 44: der Mischer als Frequenzumsetzer
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-43-
Die im Allgemeinen gewünschten Signale mit der Summen- bzw. Differenzfrequenz sind von
den Kenndaten (Idss und Up) des FETs abhängig und werden durch die Wahl des Arbeitspunktes nicht beeinflusst.
I (ω ± ω 2 ) I dss
gc = a 1
U2
=
2
U 1 (ω1 )
Up
Sie ist nur von der Spannung des lokalen Oszillators (linear) abhängig und wird durch die
maximale Aussteuerbarkeit des FETs begrenzt. Für Eingangsspannungen U1 im µV- oder
Up
und die maximale Mischsteilheit ist
mV-Bereich ist die maximale Aussteuerung U 2 max ≤
2
I
g c max = dss .
2U p
Sie ist nur von den Kennwerten des FETs abhängig.
Analoge Überlegungen gelten auch für
Vc =
U a (ω1 ± ω 2 ) I dss
=
Rd U 2 .
2
U 1 (ω1 )
Up
Vc max =
I dss Rd
2U p
4.1.2 Mischung mit einem Bipolartransistor
Die additive Mischung erfolgt beim Bipolartransistor an seiner exponentiellen Übertragungs⎛ UUBE
⎞
kennlinie I c = I s ⎜ e T − 1⎟ .
⎜
⎟
⎝
⎠
Bild 45: Typische Schaltung eines BJT-Mischers
Die Basis-Emitter-Spannung setzt sich aus einer dem Arbeitspunkt bestimmenden GleichR2
spannung U BE 0 ≈ U B
− I E RE (wobei I E den Emitterstrom im Arbeitspunkt darstellt)
R1 + R2
und den beiden Eingangswechselspannungen u1 (t ) und u 2 (t ) zusammen. Es gilt
u BE (t ) = U BE 0 + u1 (t ) − u 2 (t ) = U BE 0 + U 1 cos(ω1t + ϕ 1 ) − U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) .
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-44Einsetzen in die Übertragungskennlinie liefert
⎞
⎛ UUBE 0 u1 ( t U) −u2 ( t )
⎞
⎛ U BE 0 + uU1 ( t ) −u2 ( t )
T
T
⎟
⎜
Ic = Is β e
− 1⎟ .
−1 = Is β ⎜e T e
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎠
⎝
Sind die Spannungen u1 (t ) und u 2 (t ) klein gegenüber U T , kann die Exponentialfunktion in
eine Potenzreihe entwickelt werden. Dafür bietet sich die Taylor-Reihenentwicklung an und
es gilt
∞
x 0 x1 x 2 x 3
xn
xn
ex =
+ +
+ ... +
+ ... = ∑
.
0! 1! 2! 3!
n!
n = 0 n!
Es treten im Gegensatz zum Mischer mit einer quadratischen Kennlinie (FET-Mischer) auch
Potenzterme höherer Ordnung auf. Ist der Bereich, in welchem x liegt, hinreichend klein,
kann die Potenzreihe nach dem kubischen Term abgebrochen werden. Dann gilt für die BJTu (t ) − u 2 (t )
Kennlinie mit x = 1
UT
⎛ U BE 0 ⎛ u (t ) − u (t ) 1 ⎛ u (t ) − u (t ) ⎞ 2 1 ⎛ u (t ) − u (t ) ⎞ 3 ⎞ ⎞
2
2
2
⎟⎟ ⎟ − 1⎟
⎟⎟ + ⎜⎜ 1
i c (t ) = I s β ⎜ e U T ⎜1 + 1
+ ⎜⎜ 1
⎜
⎟
⎜
2⎝
6⎝
UT
UT
UT
⎠ ⎟⎠ ⎠
⎠
⎝
⎝
2
3
U BE 0
⎛
⎞
⎛ UUBE 0
1 ⎛ u1 (t ) − u 2 (t ) ⎞
1 ⎛ u1 (t ) − u 2 (t ) ⎞ ⎞⎟
U T ⎜ u1 (t ) − u 2 (t )
T
⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
i c (t ) = I s β e
+ ⎜⎜
−1 + Ise
⎜
⎟
⎜
2⎝
6⎝
UT
UT
UT
⎠ ⎟⎠
⎠
⎠
⎝
⎝
Im normalen Betriebsfall ist die Basis-Emitter-Diode in Durchlassrichtung und es gilt mit
ausgezeichneter Näherung
⎛ u (t ) − u (t ) 1 ⎛ u (t ) − u (t ) ⎞ 2 1 ⎛ u (t ) − u (t ) ⎞ 3 ⎞
2
2
2
⎟⎟ ⎟ =
⎟⎟ + ⎜⎜ 1
ic (t ) = I c 0 ⎜1 + 1
+ ⎜⎜ 1
⎜
UT
UT
6⎝
UT
2⎝
⎠ ⎟⎠
⎠
⎝
⎛ u (t ) − u 2 (t ) u1 2 (t ) − 2u1 (t )u 2 (t ) + u 2 2 (t ) u13 (t ) − 3u1 2 (t )u 2 (t ) + 3u1 (t )u 2 2 (t ) + u 2 3 (t ) ⎞
⎟
= I c 0 ⎜⎜1 + 1
+
+
2
3
⎟
U
2
U
6
U
T
T
T
⎠
⎝
Nun wird u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) und u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) substituiert. Unter Beachtung der Summensätze (17.1) und der Potenzen der Cos-Funktion (17.2) kann der Kollektorstrom berechnet werden. Er setzt sich zusammen aus:
• Gleichstromkomponente
⎛ ⎛ 1 U ⎞2 ⎛ 1 U ⎞2 ⎞
1
2
⎟ ⎟
⎟ +⎜
I c = I c 0 ⎜1 + ⎜⎜
⎜ ⎝ 2 U T ⎟⎠ ⎜⎝ 2 U T ⎟⎠ ⎟
⎠
⎝
• Signale im Original-Frequenzbereich
⎛ U 1 1 U 13 1 U 1U 2 2 ⎞
⎟ cos(ω1t + ϕ1 )
iω1 (t ) = I c 0 ⎜⎜
+
−
3
3 ⎟
4
4
U
U
U
T
T
⎠
⎝ T
•
⎛ U 2 1 U 2 3 1 U 1 2U 2 ⎞
⎟ cos(ω 2 t + ϕ 2 )
+
−
iω 2 (t ) = I c 0 ⎜⎜
3
3 ⎟
4
4
U
U
U
T
T
⎠
⎝ T
Signale mit ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen
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-452
i2ω1 (t ) = I c 0
1 U1
cos(2ω1t + 2ϕ 1 )
4 UT 2
i2ω 2 (t ) = I c 0
1 U2
cos(2ω 2 t + 2ϕ 2 )
4 UT 2
i3ω1 (t ) = I c 0
1 U1
cos(3ω1t + 3ϕ1 )
12 U T 3
2
3
3
1 U2
cos(3ω 2 t + 3ϕ 2 )
i3ω 2 (t ) = I c 0
12 U T 3
•
sowie die Signale mit der Summen- und Differenzfrequenzen
1 U 1U 2
iω1 +ω 2 (t ) = − I c 0
cos((ω1 + ω 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 )
2 UT 2
iω1 −ω 2 (t ) = − I c 0
1 U 1U 2
cos((ω1 − ω 2 )t + ϕ1 − ϕ 2 )
2 UT 2
2
i2ω1 +ω 2 (t ) = − I c 0
1 U1 U 2
cos((2ω1 + ω 2 )t + 2ϕ 1 + ϕ 2 )
8 UT 3
2
1 U1 U 2
i2ω1 −ω 2 (t ) = − I c 0
cos((2ω1 − ω 2 )t + 2ϕ 1 − ϕ 2 )
8 UT 3
2
1 U 1U 2
iω1 + 2ω 2 (t ) = − I c 0
cos((ω1 + 2ω 2 )t + ϕ 1 + 2ϕ 2 )
8 UT 3
2
1 U 1U 2
cos((ω1 − 2ω 2 )t + ϕ 1 − 2ϕ 2 )
8 UT 3
zur weiteren Verarbeitung zur Verfügung. Die Spannung am Kollektor erhält man aus
u c (t ) = U B − ic (t ) Rc und die Ausgangswechselspannung kann durch unterdrücken des Gleichspannungsanteils in u c (t ) erhalten werden.
Durch die Berücksichtigung der nichtlinearen Anteile die über de quadratischen Ordnung liegen, kann der Interceptpoint 3. Ordnung erläutert werden, der eine weiter wesentliche Kenngröße von Mischern ist. Der Interceptpoint 3. Ordnung ist jener Pegel an Eingang des Mischers, bei welchem die Amplitude des Eingangssignals U1 genau so groß wie die Amplitude
der Ausgangssignals mit der 3-fachen Frequenz des Eingangssignals ist, wenn die Amplitude
am zweiten Eingang des Mischers konstant gehalten wird. Dieser Pegel soll möglichst groß
sein, um die Signalverzerrungen am Ausgang des Mischers möglichst gering zu halten.
3
1 U 1, IP 3
Rc folgt bei dem hier beschriebenen Mischer 3. OrdAus der Definition U 1, IP 3 = I c 0
12 U T 3
iω1 − 2ω 2 (t ) = − I c 0
3
12U T
und ist vom Arbeitspunkt und vom Kollektorwiderstand abnung einfach U 1, IP 3 =
I c 0 Rc
hängig. Um die Großsignalfestigkeit von Mischern zu beschreiben, müssen auch die Nichtlinearitäten höher als dritter Ordnung bei der Bestimmung des Interceptpoints berücksichtigt
werden.
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-46-
4.2 Multiplikativer Mischer
4.2.1 Mischung mit einem Analog-Multiplizierer
4.2.2 Gegentaktmischer
Beim Gegentaktmischer werden Dioden als Schalter eingesetzt. Wird eine Diode in Sperrrichtung vorgespannt, wird ihre Ersatzschaltung im Wesentlichen durch die Sperrschichtkapazität,
die typisch im Bereich weniger pF liegt, dargestellt. Wird die Diode in Flussrichtung betrieben, besteht ihre Ersatzschaltung aus dem dynamischen Widerstand im Arbeitspunkt
U
RD = T , einem niedrigen ohmschen Widerstand mit typischen Werten einiger weniger
I2
Ohm. Diese Diodeneigenschaft wird bei den Diodenmischern ausgenutzt.
Bild 46: Die Schaltung des Gegentaktmischers
Für Eingangsspannungen u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) wesentlich kleiner als Die Flussspannung
der Dioden gelten die folgenden Überlegungen:
Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) positiv, sind die beiden Dioden in Flussrichtung gepolt und stellen einen kleinen ohmschen Widerstand dar. u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) wird nahezu
verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet.
Bild 47: Die Ersatzschaltung des Gegentaktmischers bei positiver Spannung u2(t)
Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) negativ, sind die beiden Dioden in Sperrrichtung gepolt und stellen die sehr klein Sperrschichtkapazität der Dioden dar und bewirken einen hohen
Spannungsabfall, sodass u a (t ) ≈ 0 ist.
Bild 48: Die Ersatzschaltung des Gegentaktmischers bei negativer Spannung u2(t)
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-47u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang
geschaltet.
Das Eingangssignal wird mit im Takt des Signals ein- und ausgeschaltet, wie es im Bild 50
dargestellt ist.
Bild 49: Die Signale an den Eingängen des Mischers (f1=1MHz, f2=10MHz)
Bild 50: Das Signal am Ausgang des Mischers (f1=1MHz, f2=10MHz)
Es werden am Eingang und Ausgang des Mischers symmetrische Übertrager eingesetzt, weil
sich die Steuerströme für die Dioden in den Übertragern symmetrisch aufteilen und sich im
der anderen Wicklung der Spule gegenseitig aufheben. Dadurch kommt theoretisch kein Signal der Quelle, die zur Steuerung der Dioden dient, am Eingang oder am Ausgang hinaus. In
der Praxis treten diese Signale etwa 40dB bis 60dB gedämpft an den Wicklungen des Mischers auf. Der Mischer hat sowohl eine hohe LO-ZF-Isolation als auch eine hohe LO-InIsolation.
4.2.3 Der Doppel-Gegentaktmischer oder Ringmischer
Beim Doppel-Gegentaktmischer oder Ringmischer werden Dioden als Schalter eingesetzt.
Werden zwei zusätzliche Dioden eingesetzt, kann die Multiplikation mit {0,1}durch eine
Multiplikation mit {-1,1} ersetzt werden. Das bringt gegenüber dem Gegentaktmischer eine
Steigerung der Mischverstärkung um 6 dB.
Bild 51: Die Schaltung des Ringmischers
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-48Für Eingangsspannungen u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) wesentlich kleiner als Die Flussspannung
der Dioden gelten die folgenden Überlegungen:
Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) positiv, sind die Dioden D1 und D2 in Flussrichtung
gepolt und stellen einen kleinen ohmschen Widerstand dar. Die Dioden D3 und D4 sind in
Sperrrichtung gepolt und stellen eine kleine Kapazität dar. u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet. Da der Spannungsabfall
an den Widerständen wesentlich kleiner als der Spannungsabfall an den Sperrschichtkapazitäten (welche einen umgekehrt gepolten Beitrag zur Ausgangsspannung liefern), ist das Ausgangssignal praktisch in Phase mit dem Eingangssignal. Das entspricht einer Multiplikation
des Eingangssignals mit +1.
Bild 52: Die Ersatzschaltung des Ringmischers bei positiver Spannung u2(t)
Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) negativ, sind die Dioden D1 und D2 in Sperrrichtung
gepolt und bewirken eine hohe Impedanz im Zweig der direkten Durchverbindung. Die Dioden D3 und D4 sind in Flussrichtung gepolt und stellen einen kleinen ohmschen Widerstand
dar. u1 (t ) = U 1 cos(ω1t + ϕ1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet, ist aber gegenüber dem Eingangssignal um π (180°) phasengedreht. Das entspricht einer Multiplikation des Eingangssignals mit -1. Die Verhältnisse sind im Bild 55 dargestellt.
Bild 53: Die Ersatzschaltung des Ringmischers bei negativer Spannung u2(t)
Bild 54: Die Signale an den Eingängen des Mischers (f1=1MHz, f2=10MHz)
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Bild 55: Das Signal am Ausgang des Ringmischers (f1=1MHz, f2=10MHz)
4.2.4 Ein multiplikativer Mischer mit einem Operationsverstärker
Bild 56: Der Subtrahierverstärker
Ausgehend vom Subtrahierverstärker Bild 56, gilt U a = U 2
R
R4 (R1 + R2 )
− U 1 2 . Modifiziert
R1
R1 (R3 + R4 )
man die Schaltung,
Bild 57: Der steuerbare Inverter
Erhält man einen Verstärker (Bild 57) mit der Übertragungsfunktion
2x
x −1
. Ersetzt man den Widerstand xR durch einen Schalter, so erU a = U1
− U1 = U 1
x +1
x +1
hält man, wenn der On-Widerstand des Schalters vernachlässigbar klein gegenüber R ist:
:
U a = −U 1 ,
für geschlossenen Schalter (x = 0 )
und wenn der Off-Widerstand sehr viel größer als R ist:
(x = ∞ )
:
U a = U1
für offenen Schalter
Es kann also wie beim Ringmischer das Eingangssignal mit +1 bzw. mit –1 multipliziert werden.
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-50-
5 Signale und Spektrum
5.1 Spektrum des Real- und Imaginärteils
5.2 Amplituden- und Phasenspektrum
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-51-
6 Modulation und Demodulation
Unter Modulation versteht man die Veränderung eines konstanten Signals mit dem Signal, das
die zu übertragende Information enthält. Im Folgenden wird das Informationssignal als Modulationssignal s m (t ) = S m cos(ω m t + ϕ m ) , das zu verändernde Signal als Trägersignal
s 0 (t ) = S 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) bezeichnet. Dabei wird es sich meistens um Spannungen handeln. Es
können die Amplitude S0, die Kreisfrequenz ω0 oder die Phase φ0 des Trägers verändert werden. Dann spricht man von
• Amplitudenmodulation,
• Frequenzmodulation oder
• Phasenmodulation.
Die Baugruppen dazu werden als Modulatoren bezeichnet.
Wird die auf dem Träger modulierte Information wieder in den ursprünglichen Bereich zurück gewonnen, spricht man von Demodulation. Dazu dienen die Demodulatoren. Die
• Polarisationsmodulation
wird in diesem Kapitel außer Acht gelassen, im Kapitel wird darauf eingegangen.
6.1 Amplitudenmodulation
Bei der klassischen Amplitudenmodulation (AM) wird die Amplitude des Trägersignals im
Takt des Modulationssignals verändert. Dabei ist u 0 (t ) = U 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) das Trägersignal,
u m (t ) = U m cos(ω m t + ϕ m ) ist das Modulationssignal. Das Ausgangssignal des Modulators
wird „vergrößert und verkleinert“.
Bild 58: Modulationssignal (Um=1Vs, fm=62.5 kHz)
Bild 59: Trägersignal (U0=1Vs, f0=1MHz)
Bild 60: modulierter Träger (U0=1Vs, f0=1MHz, Um=1Vs, fm=125 kHz)
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-52Um diese Modulation mit einem idealen Analog-Multiplizerer zu erzeugen, ist auch ein
Gleichspannungssignal notwendig. Das DC- und das Modulationssignal werden addiert. Das
Ergebnis daraus und das Trägersignal liegen an den beiden Eingängen eines Mischers.
Bild 61: AM-Modulator mit Analog-Multiplizierer
Am Ausgang des Mischers steht das Signal
u AM (t ) =
U 0U DC
U U
cos (ω 0 t + ϕ 0 ) + 0 m cos (ω 0 t + ϕ 0 )cos (ω m t + ϕ m )
U ref
U ref
U 0U DC
U U
cos (ω 0 t + ϕ 0 ) + 0 m cos ((ω 0 − ω m )t + ϕ 0 − ϕ m ) + cos ((ω 0 + ω m )t + ϕ 0 + ϕ m )
U ref
2U ref
zur Verfügung. Es entsteht eine Signalkomponente mit der Trägerfrequenz, der Träger, und
zwei weitere Signale mit der Differenzfrequenz und Summenfrequenz aus dem Träger- und
dem Modulationssignal. Die Komponente mit der Differenzfrequenz ist das untere Seitenband, die Komponente mit der Summenfrequenz ist das obere Seitenband. Im Träger steckt
keine Information, er wird unabhängig vom Modulationssignal übertragen. In den beiden Seitenbändern befindet dieselbe Information. Die Information über die Amplitude des Modulationssignals befindet sich in der Amplitude der Seitenbänder, die Frequenzinformation ist in der
Frequenz der Seitenbänder enthalten. Sie ist lediglich um ω0 im Spektrum verschoben. Die
Phaseninformation ebenso im Argument der Cosinus-Funktion enthalten wie die Frequenzinformation. Es kann also die gesamte Information durch Demodulation wieder zurück gewonnen werden.
u AM (t ) =
Bild 62: Das Amplitudenspektrum, bestehend aus dem unteren Seitenband (937.5 kHz), dem Träger
(1MHz) und dem oberen Seitenband (1.0625 MHz)
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-53-
6.1.1 Klassische Amplitudenmodulation
Bild 63: prinzipieller Aufbau eines AM-Senders
Bei der klassischen Amplitudenmodulation wird der Träger in seiner Amplitude vergrößert
und verkleinert. Diese Modulationsart ist wegen ihrer Einfachheit seit den Anfängen der
Hochfrequenztechnik erfolgreich im Einsatz. Die Modulation erfolgt am einfachsten, in dem
ein Trägersignal mit Hilfe eines Oszillators generiert wird. Die Amplitude dieses Signals wird
nur durch die Betriebsspannung der Senderendstufe begrenzt. Wird diese Spannung im Takt
des Informationssignals variiert, ändert sich auch die Amplitude der Trägerschwingung. Dabei ist zu beachten, dass die gesamte Leistung in den beiden Seitenbändern durch die Leistung
des Modulators aufgebracht werden muss.
Eine Möglichkeit zur Realisierung der klassischen Amplitudenmodulation besteht darin, das
Signal des lokalen so stark zu verstärken, dass das Ausgangssignal dieser Verstärkerstufe
durch die Betriebsspannung begrenzt wird. So entsteht das Trägersignal. Wird nun die Betriebsspannung dieser Begrenzerstufe im Takt des Modulationssignals vergrößert bzw. verkleinert, entsteht das klassische Ausgangssignal eines AM-Senders. Da wegen der Begrenzung der Trägeramplitude auch Oberwellen, also ganzzahlige Vielfache der Trägerfrequenz
entstehen, ist es unbedingt notwendig, die Oberwellen mit Hilfe eines geeigneten Tiefpasses
zu unterdrücken.
In der Hochfrequenztechnik gilt im Allgemeinen U DC = U ref und die Amplitude der Modulationsspannung wird auf die Spannung des Trägers bezogen: U m = mU 0 . m ist der Modulationsgrad. Er kann auch als ein Maß für die Lautstärke interpretiert werden. Bei der klassischen
AM gilt 0 ≤ m ≤ 1 . Das liefert
m
⎛
⎞
u AM (t ) = U 0 ⎜ cos (ω 0 t + ϕ 0 ) + cos ((ω 0 − ω m )t + ϕ 0 − ϕ m ) + cos ((ω 0 + ω m )t + ϕ 0 + ϕ m )⎟ .
2
⎝
⎠
Und für die Leistungen erhält man
2
U0
Pc =
Leistung im Träger (Carrier)
2 RL
2
PLSB
m2 U 0
=
4 2 RL
PUSB
m2 U 0
=
4 2 RL
Leistung im unteren Seitenband (lower sideband)
2
Leistung im oberen Seitenband (upper sideband)
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-542
U 0 ⎛ m2 ⎞
⎜1 +
⎟ gesamte Leistung die an die Antenne übertragen wird.
PAM =
2 RL ⎜⎝
2 ⎟⎠
Die Leistung eines AM-Senders ist vom Modulationsgrad abhängig und beträgt maximal das
1.5-fache der Trägerleistung.
6.1.2 Klassische Amplitudendemodulation
Die Demodulation, also die Rückgewinnung des Modulationssignals kann bei dieser Modulation einfach durch einen Gleichrichter stattfinden.
Bild 64: einfache AM-Detektorschaltung
Die Spannung am Schwingkreis ist im Bild 60 dargestellt. Nach der Einweggleichsichtung
ohne den Ladekondensator CL hat die Detektorspannung den folgenden Verlauf:
Bild 65: Detektorspannung uD(t) ohne Ladekondensator CL
Bild 66: Das Spektrum des Detektorsignals ohne Ladekondensator
Nach der idealen Gleichrichtung enthält das Detektorsignal eine Gleichspannungskomponente, die der Amplitude des Trägers entspricht. Die beiden Seitenbänder werden wieder in die
ursprüngliche Frequenzlage geschoben, sodass durch einen geeigneten Tiefpass nur mehr das
Gleichspannungssignal und das ursprüngliche Modulationssignal am Ausgang auftritt. Mit
einem einfachen RC-Tiefpass können schon gute Ergebnisse erzielt werden.
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Bild 67: Das Spektrum des Detektorsignals am Ladekondensator CL (strichliert: Frequenzgang des Tiefpasses mit einer Grenzfrequenz = Modulationsfrequenz)
Der Gleichspannungsanteil wird mit einem Hochpass abgetrennt, so dass nur mehr das Informationssignal mit seinen Oberwellen am Ausgang auftreten.
Bild 68: Das rückgewonnene Informationssignal am Ausgang des einfachsten AM-Empfängers
Das Signal ist gegenüber dem Originalsignal phasenverschoben. Das ist auf die Phasendrehung des Tiefpasses zurückzuführen. Das Signal ist auch nichtlinear verzerrt. Dabei entstehen
zu den gewünschten Signalen auch weitere Spektralanteile, die auf die nichtlinearen Bauelemente (z.B. Gleichrichter) zurückzuführen sind. Das Signal im Bild 68 ist nichtlinear erzerrt,
der Klirrfaktor beträgt 19.9%. Im AM-Mittelwellenrundfunk ist bei einer Modulationsfrequenz von 3.4 kHz (obere Grenze des Sprachfrequenzbereiches) und bei einer Trägerfrequenz
von 1 MHz ein Klirrfaktor unter 1.5% erreichbar.
Bild 69: Das Ausgangssignal bei fm = 3400 Hz und f0 = 1.0 MHz, k = 1.46%
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-56-
6.1.3 Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger, DSBSC
Diese Modulationsform wird auch double sideband supressed carrier (DSBSC) genannt.
Um diese Modulation mit einem idealen Analog-Multiplizerer zu erzeugen, kann die Schaltung, wie sie im Bild 61 dargestellt ist, eingesetzt werden. Das Gleichspannungssignal UDC.
ist dabei Null. In diesem Fall wird die cos-förmige Trägerschwingung nur mit dem cosförmigen Modulationssignal multipliziert, und es entstehen die Summen- und Differenzfrequenz aus Träger- und Modulationssignal, also nur die beiden Seitenbänder und kein Trägersignal. Am Ausgang des Modulators steht das Signal
U U
u DCBSC (t ) = 0 m cos (ω 0 t + ϕ 0 ) cos (ω m t + ϕ m )
U ref
U 0U m
cos ((ω 0 − ω m )t + ϕ 0 − ϕ m ) + cos ((ω 0 + ω m )t + ϕ 0 + ϕ m )
2U ref
zur Verfügung. Es entstehen zwei Signale mit der Differenzfrequenz und Summenfrequenz
aus dem Träger- und dem Modulationssignal. Die Komponente mit der Differenzfrequenz ist
das untere Seitenband, die Komponente mit der Summenfrequenz ist das obere Seitenband. In
den beiden Seitenbändern befindet dieselbe Information. Die Information über die Amplitude
des Modulationssignals befindet sich in der Amplitude der Seitenbänder, die Frequenzinformation ist in der Frequenz der Seitenbänder enthalten.
u DSBSC (t ) =
Bild 70: Das Modulationssignal (1Vs, 31.25kHz)
Bild 71: Das Trägersignal (1Vs, 1MHz)
Bild 72: Das Ausgangssignal des DSBSC-Modulators
Die Amplitudeninformation des Modulationssignals steckt in der Amplitude des DSBSCSignal, die Frequenzinformation ist im Frequenzunterschied zwischen der Trägerfrequenz und
dem unteren Seitenband enthalten. Die selbe Information steckt auch im Frequenzunterschied
zwischen dem oberen Seitenband und der Trägerfrequenz. Die Phaseninformation ist ebenso
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-57im Argument der Cosinus-Funktion enthalten wie die Frequenzinformation. Es kann also die
gesamte Information durch Demodulation wieder zurück gewonnen werden.
Bild 73: Das Amplitudenspektrum, bestehend aus dem unteren Seitenband (968.75 kHz) und dem oberen
Seitenband (1.03125 MHz)
6.1.4 DSBSC mit Quadraturmodulator
Unter DSBSC wird die Zweiseitenbandmodulation mit unterdrückten Träger (double side
band supressed carrier) verstanden. Diese Modulationsart kann mit einem Ring- oder Gegentaktmodulator erreicht werden. Sollen aber zwei Informationen gleichzeitig moduliert werden,
kann dazu der Quadraturmodulator eingesetzt werden. Er ist eine wesentliche Baugruppe in
der Hochfrequenztechnik und kann zur Modulation und Demodulation von AM- und FM(PM-) Signalen eingesetzt werden.
Ein (lokaler) Oszillator liefert zwei um 90° verschobene Signale mit der gleichen Kreisfrequenz ω0 und gleichen Amplitude, die in den weiteren Ausführungen mit 1V angenommen
wird. Da die Signale um 90° zu einander phasenverschoben sind, spricht man von zwei Signalen die zu einander in Quadratur stehen. Die beiden Zeiger zu ihrer Entstehung stehen zueinander senkrecht, in Quadratur.
Bild 74: das Prinzip des Quadraturmodulators
Die Eingangssignale, welche auf dem Träger moduliert werden sollen, haben im Allgemeinen
unterschiedliche Amplitude und unterschiedliche Frequenz.
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Bild 75: Die Eingangssignale um1(t) und um2(t) des Modulators
Nach den beiden Analogmultiplizieren stehen im I- und Q-Zweig die folgenden Signale zur
Verfügung:
Bild 76: Signal im I-Zweig
Bild 77: Signal im Q-Zweig
Am Ausgang des Modulators stehen insgesamt vier Seitenbänder zur Verfügung, welche die
Informationen der beiden Modulationssignale beinhalten.
Bild 78: Das Ausgangssignal im Zeitbereich
Es können mit dieser Anordnung gleichzeitig zwei Informationen übertragen werden, wobei
jede der Informationen im oberen und unteres Seitenband steckt.
Bild 79: Das Ausgangssignal im Frequenzbereich (Spektrum)
Die beiden Seitenbänder stehen zueinander senkrecht, sie sind zueinander orthogonal und
können im Empfänger wieder getrennt werden.
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-59-
6.1.5 Demodulation der DSBSC mit Quadraturdemodulator
Der Quadraturdemodulator ist prinzipiell gleich wie der Quadraturmodulator aufgebaut.
Bild 80: Die Blockschaltung des Quadraturdemodulators
Bild 81: Das Eingangssignal zur Demodulation
Das Eingangssignal wird mit einem Signal mit der Trägerfrequenz multipliziert. Dadurch entstehen in den beiden Zweigen die Summen- und Differenzfrequenz. Der zeitliche Verlauf ist
im Bild 82 und Bild 83dargestellt.
Bild 82: Das Signal im I-Zweig
Bild 83: Das Signal im Q-Zweig
Weil man nur am Signal mit der Differenzfrequenz interessiert ist, wird das Signal an den
Eingang eines Tiefpasses gelegt. Die Ausgangssignale sind im Bild 84 dargestellt. Sie entsprechen den Modulationssignalen aus Bild 75. Auf grund der unvermeidbaren Phasendrehung im Tiefpass kommt es lediglich zu einer Verzögerung der Signale entsprechend seiner
Gruppenlaufzeit.
Bild 84: Das Ausgangssignal im I- und Q-Zweig nach der Tiefpassfilterung
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-60-
6.1.6 Einseitenbandmodulation, SSB-Modulation
6.1.6.1 Filtertechnik
Soll nur ein einzelnes Seitenband zur Übertragung gelangen, müssen alle anderen Frequenzkomponenten unterdrückt werden. Das kann mit geeigneten Filtern durchgeführt werden.
6.1.6.2 Hilbert-Transformator
Mit dem Quadraturmodulator kann SSB-Modulation einfach erreicht werden. Dazu ist es
notwendig, das Modulationssignal u m (t ) = U m cos(ω m t + ϕ m ) um 90° in der Phase zu drehen.
Da es sich beim Modulationssignal im Allgemeinen um ein relativ breitbandiges Signal handelt, ist es schwierig, eine 90°-Phasendrehung, unabhängig von der Frequenz herzustellen.
Sprachsignale liegen im Frequenzbereich von 300Hz bis 3400Hz; das entspricht einer Frequenzvariation von 11.3 : 1. Die 90°-Phasendrehung kann mit Hilfe eines digitalen Signalprozessors und dem Hilbert-Transformations-Algorithmus oder in analoger Schaltungstechnik
durch geeignete RC-Phasenschieber (typisch: 24 RC-Glieder) realisiert werden.
Bild 85: SSB-Modulation mit Quadraturmodulator und Hilbert-Transformator
Auf Grund de exakten Phasendrehung um 90° und den exakt gleichen Amplitudengängen im
I- und Q-Zweig kommt es zur völligen Auslöschung des unteren Seitenbandes. Es steht allein
das Ausgangssignal mit der Summenfrequenz zur weiteren Verarbeitung zur Verfügung. Wird
statt der Summenbildung des I- und Q-Signals die Differenz der beiden Größen gebildet, wird
das obere Seitenband völlig unterdrückt, nur das untere Seitenband steht am Ausgang zur
Verfügung. Durch Toleranzen bei der Phasendrehung von ±1° wird die völlige Unterdrückung
nicht mehr möglich sein; man erreicht aber noch eine Abschwächung von 35dB.
6.1.6.3 Methode von Weaver
Bei der Methode von Weaver wird der breitbandige Phasenschieber mit Hilfe eines Quadraturmodulators realisiert.
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-61-
Bild 86: SSB-Modulator nach Weaver
Handelt es sich bei der Übertragung um Sprachsignale, so liegen diese im Allgemeinen im
Frequenzbereich zwischen 300Hz und 3400Hz. Der erste lokale Oszillator schwingt also auf
f m ,min + f m ,max
f '=
= 1850 Hz .
2
Das dabei entstehende untere Seitenband liegt zwischen –1550Hz und +1550Hz. (Die „negativen Frequenzen“ bedeuten nichts anderes, als dass die der Modulationsfrequenzbereich von
300Hz bis 1550Hz im Spektrum an der Abszisse gespiegelt wird.) Das obere Seitenband im
Frequenzbereich von 2150Hz bis 5250Hz wird durch die anschließenden Tiefpässe unterdrückt. An den Ausgängen der Tiefpässe liegt das Eingangssignal, im Spektrum um 1850Hz
nach unten verschoben an. Die Signale an den beiden Ausgängen sind um 90° gegeneinander
phasenverschoben, sie sind in Quadratur.
Nun folgt ein Quadraturmodulator, wie in 6.1.6.2 ausgeführt. Soll das obere Seitenband (in
Regellage) übertragen werden, ist bloß zu beachten, dass bei der Signalaufbereitung das
Spektrum um 1850Hz nach unten verschoben wurde. Daher ist für die Schwingfrequenz des
zweiten lokalen Oszillators eine um 1850Hz höhere Frequenz als in 6.1.6.2 zu wählen. Soll
das untere Seitenband (in Kehrlage) übertragen werden ist für die Schwingfrequenz des zweiten lokalen Oszillators eine um 1850Hz niedrigere Frequenz als in 6.1.6.2 zu wählen, da das
Signal wegen seiner Aufbereitung um 1850Hz im Spektrum nach oben verschoben wurde.
Die Schwierigkeit bei der Realisierung dieses Modulators liegt in der Notwendigkeit des
Gleichlaufs der Amplituden- und Phasengänge der Tiefpässe, weil die Genauigkeit des
Gleichlaufs die Auslöschung des unerwünschten Seitenbandes beeinträchtigt.
6.1.7 Einseitenband-Demodulation, SSB-Demodulation
6.1.7.1 SSB-Demodulation mit Quadraturdemodulator
Der Quadraturdemodulator kann günstig zur Demodulation eines SSB-Signals eingesetzt werden.
Bild 87: Der Quadraturdemodulator als SSB-Detektor
Das SSB-Signal wird beiden Zweigen gleichphasig zugeführt.
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-626.1.7.2 SSB-Demodulation mit Tayloe-Demodulator
6.2 Frequenz- und Phasenmodulation, FM- und PM-Modulation
6.3 Frequenz- und Phasendemodulation, FM- und PMDemodulation
7 Phasenregelkreis, Phase-Locked-Loop, PLL
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-63-
8 Leitungen
Leitungen sind metallische oder dielektrische Gebilde, die zum Energietransport eingesetzt
werden. Metallische Leitungen sind typischer Weise Paralleldrahtleitungen, welche, wie der
Name sagt, aus zwei parallelen metallischen Drähten symmetrisch aufgebaut, bestehen. In der
Hochfrequenztechnik sind auch metallische Koaxialleitungen wesentlich. Diese gehören zur
Gruppe der unsymmetrischen Leitungen. Dielektrische Leitungen sind beispielsweise Glasfaserleitungen.
8.1 Leitungsgleichungen
Eine Leitung kann durch Kettenschaltung kleiner Leitungsstücke dargestellt werden.
Bild 88: Leitung aus einzelnen Elementen zusammengesetzt
Die Bauelemente eines einzelnen Elements sind:
• Ohmscher Serienwiderstand R
• Serieninduktivität
L
• Leitungskapazität
C
• Ableitungsleitwert
G
An einem Leitungsstück der Länge ∆x gilt
Bild 89: Ein Leitungsstück der Länge ∆x
für die von der Zeit abhängigen Ausgangsspannung
u ( x + ∆x, t ) = u ( x, t ) − i ( x, t ) R −
di( x, t )
L
dt
und für den Strom
du ( x + ∆x, t )
C
dt
unter der Voraussetzung, dass alle Bauteilgrößen zeitlich konstant sind. Wird nun u(x, t) bzw.
i(x, t) auf die jeweils linke Seite der Gleichung gebracht und durch die Leitungslänge dividiert, liefert dies
i ( x + ∆x, t ) = i ( x, t ) − u ( x, t )G −
u ( x + ∆x, t ) − u ( x, t )
R di( x, t ) L
di ( x, t )
= −i ( x, t )
−
= −i ( x, t ) R'−
L'
∆x
∆x
dt ∆x
dt
und
i ( x + ∆x, t ) − i ( x, t )
G du ( x + ∆x, t ) C
du ( x + ∆x, t )
= −u ( x, t )
−
= −u ( x, t )G '−
C'
∆x
∆x
dt
∆x
dt
mit
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-64•
•
•
•
R
∆x
L
L' =
∆x
C
C' =
∆x
G
G' =
∆x
R' =
Ω
m
H
in
m
F
in
m
S
in
m
der ohmsche Widerstandsbelag
in
der Induktivitätsbelag
der Kapazitätsbelag
der Ableitungsbelag
V
Am
Vs
bzw. in
Am
As
bzw. in
Vm
A
bzw. in
Vm
bzw. in
Macht man die Leitungslänge infinitesimal klein, führt man den Grenzübergang für ∆x → 0
durch, gilt mit der Definition des Differentialquotienten, der ersten Ableitung einer Funktion
f ( x + ∆x) − f ( x) df
=
= f ' ( x) , angewendet auf die beiden obigen Gleichungen
lim
∆x
dx
∆x →0
du ( x, t )
di ( x, t )
= −i ( x, t ) R'−
L'
dx
dt
und
di ( x, t )
du ( x, t )
= −u ( x, t )G '−
C' .
dx
dt
Das sind zwei lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Differenziert man die zweite Gleichung nach t und setzt das Ergebnis daraus in die
erste Differentialgleichung ein, erhält man
d 2 u ( x, t )
du ( x, t )
d 2 u ( x, t )
(
)
=
+
+
+
R
'
G
'
u
(
x
,
t
)
R
'
C
'
G
'
L
'
L
'
C
'
dt
dx 2
dt 2
und
d 2 i ( x, t )
di( x, t )
d 2 i ( x, t )
(
)
=
+
+
+
,
R
'
G
'
i
(
x
,
t
)
R
'
C
'
G
'
L
'
L
'
C
'
dt
dx 2
dt 2
zwei voneinander getrennte partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Diese Gleichungen beschreiben die Spannungs- und Stromwelle, die sich entlang der Leitung ausbreitet.
8.1.1 Leitungsgleichungen im Frequenzbereich
Für die Lösung dieser Gleichungen im reellen Rechenbereich wird für die zeitabhängigen
Spannungen und Ströme der Produktansatz mit harmonischen Funktionen gewählt:
u ( x, t ) = U R ( x) cos(ωt ) + U I sin(ωt )
i ( x, t ) = I R ( x) cos(ωt ) + I I sin(ωt )
und
oder
u ( x, t ) = Re(U ( x)e jωt )
und
i ( x, t ) = Re( I ( x)e jωt )
Geht man vom reellen Zahlenbereich auf die komplexe Ebene, wird die Rechnung wesentlich
vereinfacht:
u ( x, t ) = U ( x)e jωt
und
i ( x, t ) = I ( x)e jωt
Dann gilt für die ersten Ableitungen nach der Zeit:
du ( x, t )
di ( x, t )
= jωU ( x)e jωt
und
= jωI ( x)e jωt
dt
dt
und für die zweiten Ableitungen nach der Zeit:
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-65d 2 u ( x, t )
= −ω 2U ( x)e jωt
2
dt
und
d 2 i ( x, t )
= −ω 2 I ( x)e jωt .
2
dt
Setzt man diese Ausdrücke in beiden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ein,
erkennt man, dass durch e jωt gekürzt werden kann, und dass U (x) bzw. I (x) herausgehoben
werden kann.
d 2U ( x)
= (R' G '+ jω (R' C '+G ' L') − ω 2 L' C ')U ( x)
2
dx
d 2 I ( x)
= (R' G '+ jω (R' C '+G ' L') − ω 2 L' C ')I ( x)
2
dx
nennt man die Leitungsgleichungen, wie sie von Thompson angeschrieben wurden. Für die
Zusammenhänge zwischen Spannung und Strom erhält man
dU ( x)
dI ( x)
= −(R'+ jωL')I ( x)
und
= −(G '+ jωC ')U ( x)
dx
dx
Die Leitungsgleichung für die Spannung entlang der Leitung wird mit dem Ansatz
U ( x) = Ae −γx + Be γx gelöst und nach dem Einsetzen dieses Ausdrucks, der für alle beliebigen
Amplituden A und B gelten muss, erhält man für die Ausbreitungskonstante
γ = ± R' G '+ jω (R' C '+G ' L') − ω 2 L' C '
oder
γ = ± (R'+ jωL )' (G '+ jωC ') .
A ist die Amplitude der Spannungswelle, die vom Generator zur Last vorläuft, B ist die Amplitude der Spannungswelle, die von der Last reflektiert wird und zum Generator zurückläuft.
Bild 90: Vorlaufende und rücklaufende Welle
Die Ausbreitungskonstante besteht aus einem Realteil α, welcher der Dämpfung pro Längeneinheit (in Neper / m) entlang der Leitung entspricht. Der Imaginärteil β entspricht der Phasendrehung pro Längeneinheit und wird rad / m angegeben.
γ = α + jβ .
Die Amplitude B der von der Last zurücklaufenden Spannungswelle ist proportional zur
Amplitude A der zur Last vorlaufenden Welle und es gilt
B = ρA ,
wobei ρ den Reflexionsfaktor an der Übergangsstelle zwischen Leitungsende und Lastimpedanz darstellt.
Der Zusammenhang zwischen der Spannung U ( x) und dem Strom I ( x) ist eine wesentliche
dI ( x)
Kenngröße der Leitung. Die Integration von
= −(G '+ jωC ')U ( x) und Einsetzen von
dx
U ( x) = Ae −γx + Be γx
liefert
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-66-
I ( x) =
G '+ jωC
γ
(Ae
− γx
)
− Be γx .
Das ist ein Zusammenhang zwischen den vor- und rücklaufenden Spannungen und den vorund rücklaufenden Strömen und hat die Dimension eines Leitwertes – eine reine Rechengröße. Der Kehrwert dieser Größe wird als Wellenwiderstand bezeichnet.
ZW =
γ
G '+ jωC
=
R'+ jωL'
G '+ jωC '
Dann liefert diese Überlegung, wenn für die Amplitude der vorlaufenden Spannungswelle U0
eingesetzt wird
U ( x) = U 0 e −γx + ρe γx = U + + U −
für die Spannung entlang der Leitung und
(
)
(
)
U 0 −γx
e − ρe γx = I + − I −
für den Strom entlang der Leitung.
Zw
Bildet man den Quotienten aus diesen Größen, erhält man die Impedanz entlang der Leitung.
I ( x) =
U ( x)
e −γx + ρe γx
= Z w −γx
I ( x)
e − ρe γx
tungslänge (x = 0):
Z ( x) =
und speziell für eine verschwindend kurze Lei-
1 + ρ0
.
1 − ρ0
Wird eine Leitung mit verschwindender Länge mit der Impedanz ZL abgeschlossen, ist
Z (0) = Z L und es entsteht ein Reflexionsfaktor am Übergang zwischen der Leitung und dem
1 + ρ0
Abschlusswiderstand, der aus Z L = Zw
berechnet werden kann:
1 − ρ0
ZL
−1
ZL − Zw Zw
z −1
.
=
ρ0 =
=
z +1
ZL + Zw ZL
+1
Zw
Dabei ist zu beachten, dass der Reflexionsfaktor eine komplexe Größe ist. Ist die Leitung mit
einem beliebigen, passiven Bauelement abgeschlossen, kann der Reflexionsfaktor nur innerhalb (und am Rand) eines Kreises mit dem Radius 1 liegen (|ρ|≤1). Nur beim Einsatz aktiver
Bauteile kann der Betrag des Reflexionsfaktors größer eins sein. Wird in
e −γx + ρ 0 e γx
Z − Zw
U ( x)
Z ( x) =
= Z w −γx
für den Reflexionsfaktor ρ 0 = L
substituiert, gilt
γx
I ( x)
ZL + Zw
e − ρ0e
Z ( 0) = Z w
ZL
ZL
Z
− L
ZL
e −γx +
Z ( x) = Z w
e −γx
− Z w γx
e
(Z + Z w )e −γx + (Z L − Z w )e γx
Z L e γx + e −γx − Z w e γx − e −γx
+ Zw
=
Z
= Zw L
w
− Z w γx
(Z L + Z w )e −γx − (Z L − Z w )e γx
Z w e γx + e −γx − Z L e γx − e −γx
e
+ Zw
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(
(
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)
(
(
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)
)
-67e γx
e γx
Z ( x) = Z w
e γx
Z w − Z L γx
e
ZL − Zw
− e −γx
+ e −γx = Zw Z L − Z w tanh (γx ) .
Z w − Z L tanh (γx )
− e −γx
−γx
+e
Da die Leitung am Ende mit der Lastimpedanz ZL abgeschlossen ist, ergeben positive Werte
für x die Verhältnisse auf der gar nicht mehr vorhandenen Leitung an. Um auf die Verhältnisse auf der Leitung zwischen der Last und dem Generator zu erhalten, ist die Leitung in negativer Ausbreitungsrichtung (von der Last zum Generator, „toward generator“) zu betrachten.
Misst man also die Leitungslänge in der Richtung vom Generator zur Last „drehen sich die
Vorzeichen beim x um“.
Z + Z w tanh (γx )
Z ( x) = Z w L
Z w + Z L tanh (γx )
Für die Eingangsimpedanz einer Leitung mit der Länge l, die am Ende mit ZL abgeschlossen
ist, erhält man
Z + Z w tanh (γl )
.
Z in (l ) = Z w L
Z w + Z L tanh (γl )
Ebenso kann man den Reflexionsfaktor in Abhängigkeit der Position x entlang der Leitung
angegeben werden.
Z ( x)
−1
Zw
ρ ( x) =
=
Z ( x)
+1
Zw
Z L − Z w tanh (γx )
−1
Z − Z w tanh (γx ) − Z w + Z L tanh (γx )
Z w − Z L tanh (γx )
= L
Z L − Z w tanh (γx )
Z L − Z w tanh (γx ) + Z w − Z L tanh (γx )
+1
Z w − Z L tanh (γx )
⎛ Z L − Z w ⎞⎛ tanh (γx ) − 1 ⎞
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ = ρ 0 e 2γx
(
)
+
+
tanh
1
γ
Z
Z
x
⎠
w ⎠⎝
⎝ L
ρ ( x) = ⎜⎜
Misst man die Position von der Last aus gesehen zum Generator, gilt ρ ( x) = ρ 0 e −2γx und am
Eingang Leitung, wenn sie am Ende mit der Impedanz ZL abgeschlossen ist:
ρ in = ρ (l ) = ρ 0 e −2γl
Eine wesentliche Kenngröße entlang Leitungen ist das Stehwellenverhältnis, welches stets
auf Spannungen bezogen und mit VSWR (voltage standing wave ratio) bezeichnet wird. Da
es auf Grund von Reflexionen am Leitungsende zu Interferenzen entlang der Leitung kommt,
gibt es Orte entlang der Leitung, bei denen es zur Subtraktion der vorlaufenden und rücklaufenden Welle kommt. Um λ/4 von diesen Positionen entfernt, kommt es zur Addition der beiden Wellen. Das Verhältnis zwischen dem maximalen und minimalen Wert ist das VSWR:
VSWR( x) =
U max U 0 + ρ ( x) U 0 1 + ρ ( x)
=
=
U min U 0 − ρ ( x) U 0 1 − ρ ( x)
Bild 91: Überlagerung aus vorlaufender und rücklaufender Welle
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8.1.2 Verlustlose Leitungen
8.2 Zweidrahtleitungen
Zweidrahtleitungen sind elektrische Leiter, welche elektromagnetische Energie mit Hilfe einer Hin- und einer Rückleitung transportieren.
8.2.1 Paralleldrahtleitung
Bild 92: Aufbau einer Paralleldrahtleitung
Der Kapazitätsbelag einer langen Paralleldrahtleitung mit gleichen Drahtradien ist
2πε
.
C' =
⎛ a 2 − r 2 + (a − r ) ⎞
0
0 ⎟
ln⎜
⎜ 2
⎟
2
⎝ a − r0 − (a − r0 ) ⎠
Wenn der Drahtdurchmesser wesentlich kleiner als der Abstand zwischen den Leitungen ist,
kann mit der ausgezeichneten Näherung
C' =
πε
a
d
gearbeitet werden, wobei a der Abstand der Mittelpunkte der beiden Leiter und d der Drahtdurchmesser ist. Für den Induktivitätsbelag gilt
µ ⎛ 2a 1 ⎞
L' = ⎜⎜ ln
+ ⎟
π ⎝ r0 4 ⎟⎠
und als Näherung für großen Leiterabstand kleinen Drahtdurchmesser
arch
L' =
µ
.
⎛a⎞
π arch⎜ ⎟
⎝d⎠
Damit wird der Wellenwiderstand der verlustlosen Paralleldrahtleitung
µr
1 µ
⎛ D⎞
⎛ D⎞ Z
⎛ D ⎞ 1 µ0 µr
Zw =
arch⎜ ⎟ =
arch⎜ ⎟ = w0
arch⎜ ⎟ ,
π ε
π
εr
⎝d⎠
⎝d⎠
⎝ d ⎠ π ε0 εr
wobei Zw0 der Feldwellenwiderstand des leeren Raumes (377.6Ω ~ 120π Ω) , eine Naturkonstante ist. Dabei ist zu beachten, dass für die relative Dielektrizitätskonstante εr und die relative Permeabilitätskonstante µr die Werte des gesamten umgebenden Raumes einzusetzen sind
und nicht nur die Werte der möglicherweise vorhandenen Kunststoff-Isolationsschicht. Bei
sehr dünnen Isolationsschichten kann mit hervorragender Näherung die Isolationsschicht unberücksichtigt bleiben. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in der Leitung ist nur von
den Materialeigenschaften des gesamten umgebenden Materials abhängig und ist
c0
.
v ph =
ε r µr
Die Wellenlänge auf der Leitung ist
v ph c 0
1
1
1
λg =
=
= λ0
= λ0 ,
f
f εr µr
n
ε r µr
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-691
der Verkürzungsn
faktor der Leitung ist. Die notwendige Leitungslänge, um eine Phasendrehung von φ zu erreiλg
λ
λ n λg
chen, gilt ϕ = 0 = 0
=
=
. Durch Koeffizientenvergleich erkennt man den Zul el
n l el l el l mech
n
sammenhang zwischen der elektrischen Leitungslänge lel und der mechanischen Leitungslänge lmech:
l
l mech = el , und die plausible Erklärung des Verkürzungsfaktors, da die mechanische
n
Leitungslänge stets kürzer als die elektrische Leitungslänge ist.
wobei n = ε r µ r der Brechungsindex des umgebenden Materials und
8.2.2 Koaxialleitung
Bild 93: Aufbau eines Koaxialkabels
Der Kapazitätsbelag einer Koaxialleitung ist
2πε
2πε
,
C' =
=
r0
D
ln
ln
d
r1
wobei r0 der Innenradius des Außenleiters und r1 der Radius des Innenleiters ist. D ist der
Innendurchmesser des Außenleiters, d ist der Durchmesser des Innenleiters. Der Induktivitätsbelag ist
2
⎞
⎛ r2 2 ⎞ r2
µ 0 ⎛⎜
r1
r2
⎟.
⎟
⎜
−
2 ln + 2⎜ 2
ln
L' =
2 ⎟
2
2 ⎟
r0
r
4π ⎜⎝
−
r
r
r
r
−
1
1 ⎠
2
1 ⎠
⎝ 2
Ist die Eindringtiefe des magnetischen Feldes vernachlässigbar gegenüber r1, gilt
µ r0
µ D
L' =
ln =
ln .
2π r1 2π d
Damit wird der Wellenwiderstand der verlustlosen Koaxialleitung
µr D
D Z
1 µ D
1 µ0 µr
Zw =
ln =
ln = w0
ln ,
d 2π ε 0 ε r
d
d
2π ε
2π ε r
wobei Zw0 der Feldwellenwiderstand des leeren Raumes (377.6Ω ~ 120π Ω) , eine Naturkonstante ist. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in de Leitung ist nur von den Materialeigenschaften des Dielektrikums abhängig und ist
c0
.
v ph =
ε r µr
Die Wellenlänge auf der Leitung ist
v ph c 0
1
1
1
λg =
=
= λ0
= λ0 ,
f
f εr µr
n
ε r µr
1
der Verkürzungsfaktor der
n
Leitung ist. Die notwendige Leitungslänge, um eine Phasendrehung von φ zu erreichen, gilt
wobei n = ε r µ r der Brechungsindex des Dielektrikums und
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ϕ=
λ0
=
λ0 n
=
λg
=
λg
. Durch Koeffizientenvergleich erkennt man den Zusammenhang
l el l mech
n
zwischen der elektrischen Leitungslänge lel und der mechanischen Leitungslänge lmech:
l
l mech = el , und die plausible Erklärung des Verkürzungsfaktors, da die mechanische
n
Leitungslänge stets kürzer als die elektrische Leitungslänge ist.
Die Koaxialleitung kann bis zu
4c0
2c0
fc =
bzw.
ωc =
(D + d ) ε r µ r
π (D + d ) ε r µ r
als obere Frequenzgrenze eingesetzt werden. Über dieser Cutoff-Frequenz können sich auch
Ausbreitungsmoden höherer Ordnung ausbilden, die sich im Allgemeinen (wegen ihrer
grundsätzlich anderen Ausbreitungsgeschwindigkeit) als Störquelle auswirken.
l el
n l el
8.2.3 Anpassung
Unter Anpassung versteht man die Zusammenschaltung zweier Bauelemente oder Baugruppen so, dass keine Reflexion zwischen ihnen auftritt. Eine Bedingung für ein reflexionsfreies
übertragen, als für Anpassung ist, dass der Reflexionsfaktor ρ Null ist.
Betrachtet man klassische Bauelemente und Leitungen, so gilt, dass die Realteile der beiden
Impedanzen gleich sind, und die Imaginärteile der beiden Impedanzen unterschiedliches Vorzeichen haben, also der Lastwiderstand ZL zum Generatorwiderstand ZG konjugiert ist:
*
Z L = Z G . Da das Anpassnetzwerk keine Dämpfung hervorrufen soll, liegt es nahe, nur mit
Blindwiderständen, mit Induktivitäten und Kapazitäten das Auslangen zu finden.
8.2.3.1 Die Transformation von RL nach Rin mit Reaktanzen
Es soll der reelle Lastwiderstand RL so transformiert werden, dass an den Klemmen der
Schaltung der reelle Widerstand Rin gemessen wird.
Bild 94: Die Transformation eines reellen Widerstandes
Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = jX S +
RL jX Q
RL + jX Q
, die den reel-
len Wert Rin haben soll. Es gilt die Gleichung Rin (RL + jX Q ) = jX S (RL + jX Q ) + Rin * jX Q ,
welche für den Realteil und für den Imaginärteil erfüllt sein muss. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannte Größen XS und XQ:
Rin RL = − X S X Q
und
Ri n X Q = RL (X S + X Q )
Substituiert man die erste Gleichung in die zweite Gleichung, erhält man für die Querreaktanz
X Q = RL
Rin
RL − Rin
und für die Serienreaktanz
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XS = −
RL Rin
.
XQ
Dabei ist zu beachten, dass das Argument unter der Wurzel positiv sein muss, also
RL ≥ Rin
gelten muss.
Da die Wurzelfunktion sowohl positive als auch negative Werte liefern kann, gibt es auch
stets zwei Lösungen des Anpassproblems. Wird für die Querreaktanz XQ ein positiver Wert,
also eine Induktivität eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS negativ, es ist ein
Kondensator einzusetzen. Wird für die Querreaktanz XQ ein negativer Wert, also ein Kondensator eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS positiv, es ist eine Induktivität einzusetzen.
Bild 95: Anpassung mit Hochpass (RL ≥Rin)
Bild 96: Anpassung mit Tiefpass (RL≥Rin)
Ist der Lastwiderstand RL jedoch niedriger als der Eingangswiderstand Rin, kann mit der obigen Schaltung nicht transformiert werden. Mit der folgenden modifizierten Schaltung ist diese
Transformation möglich:
Bild 97: Die Transformation eines reellen Widerstandes
Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = jX S +
(R L +
jX S ) jX Q
R L + j (X Q + X S )
, die
den reellen Wert Rin haben soll. Es gilt die Gleichung
Rin (RL + j (X Q + X S )) = jX S (RL + j (X Q + X S )) + (RL + jX S ) jX Q , welche für den Realteil und
für den Imaginärteil erfüllt sein muss. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannte Größen XS und XQ:
Rin RL = − X S X Q
und
RL X Q = Rin (X S + X Q )
Substituiert man die erste Gleichung in die zweite Gleichung, erhält man für die Querreaktanz
X Q = Rin
RL
Rin − RL
und für die Serienreaktanz
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XS = −
RL Rin
.
XQ
Dabei ist zu beachten, dass das Argument unter der Wurzel positiv sein muss, also
Rin ≥ RL
gelten muss.
Da die Wurzelfunktion sowohl positive als auch negative Werte liefern kann, gibt es auch
stets zwei Lösungen des Anpassproblems. Wird für die Querreaktanz XQ ein positiver Wert,
also eine Induktivität eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS negativ, es ist ein
Kondensator einzusetzen. Wird für die Querreaktanz XQ ein negativer Wert, also ein Kondensator eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS positiv, es ist eine Induktivität einzusetzen.
Bild 98: Anpassung mit Hochpass (Rin≥RL)
Bild 99: Anpassung mit Tiefpass (Rin≥RL)
8.2.3.2 Die Transformation von ZL nach Zin mit Reaktanzen
Es soll die komplexe Lastimpedanz ZL so transformiert werden, dass an den Klemmen der
Schaltung die komplexe Eingangsimpedanz Zin gemessen wird.
Bild 100: Transformation einer komplexen Impedanz
Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = jX S +
Z L jX Q
Z L + jX Q
, die den Wert
Zin haben soll. Es gilt die Gleichung
Rin R L − X in (X L + X Q ) + j (X in Rl + (X L + X Q )Rin ) = − X S X Q − X L X S − X L X Q + jRL (X S + X Q )
welche für den Realteil und für den Imaginärteil erfüllt sein muss. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannte Größen XS und XQ:
X in (X L + X Q ) − Rin R L = X S X Q + X L X S + X L X Q
X in Rl + (X L + X Q )Rin = R L (X S + X Q )
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Formt man die zweite Gleichung um, gilt also für die Serienreaktanz
X S = X in − X Q −
Rin
(X L + X Q )
RL
und für die Querreaktanz die quadratische Gleichung
(
X Q (RL − Rin ) + 2 X Q X L Rin + Rin X L − R L
2
2
2
)
mit ihren beiden Lösungen
2
XQ =
2
(
2
− X L Rin ± X L Rin − X L + RL
2
)(R
L
− Rin )Rin
RL − Rin
Dabei ist zu beachten, dass das Argument unter der Wurzel, nicht negativ sein darf, also
2
2
2
2
X L Rin − X L + RL (RL − Rin )Rin ≥ 0 gelten muss. Ist die Diskriminante negativ, so kann
(
)
*
mit dieser Schaltung nicht angepasst werden. Durch die Substitution von Z Lneu = Z in und
*
Z inneu = Z L und dem „Umdrehen“ der Reihenfolge der Abfolge der Reaktanzen, kann auch in
diesem Fall Anpassung erzielt werden, wobei Z* den konjugiert komplexen Wert von Z darstellt.
Bild 101: Transformation komplexer Impedanzen mit „umgekehrter“ Reihenfolge
Da die quadratische Gleichung im Allgemeinen zwei reelle Lösungen hat, gibt es auch stets
zwei Lösungen des Anpassproblems. Es ist aber durchaus möglich, dass die Anpassung auch
mit zwei Induktivitäten oder mit zwei Kapazitäten zu erfolgen hat.
8.2.3.3 Die Transformation von RL nach Rin mit einer λ/4-Leitung
8.2.3.4 Die Transformation von ZL nach Zin mit einer Leitung
Es soll die komplexe Lastimpedanz ZL so mit einer verlustlosen Leitung transformiert werden,
dass an den Klemmen der Schaltung die komplexe Eingangsimpedanz Zin gemessen wird.
Bild 102: Die Transformation mit einer Leitung
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-74Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = Z w
net man daraus tan (βl ) =
Z w (Z in − Z in )
Z L + jZ w tan (βl )
. BerechZ w + jZ L tan (βl )
, stellt dieser Ausdruck zwei Gleichungen, für den
2
Z w − Z in Z in
Realteil und für den Imaginärteil dar. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannten reellen Größen Zw und l: Man erhält
Z w (Rin − RL ) = tan (βl )(RL X in + X L Rin ) aus dem Realteil und
(
)
Z w ( X in − X L ) = tan (βl ) Z w − RL Rin + X L X in aus dem Imaginärteil
2
Dividiert man die beiden Gleichungen, liefert das
Z w = Rin RL − X in X L + (Rin X L + X in RL )
2
Z w = Re(Z in Z L ) + Im(Z in Z L )
2
X in − X L
oder
Rin − RL
Im(Z in − Z L )
,
Re(Z in − Z L )
eine leicht programmierbare Gleichung für Taschenrechner mit komplexer Arithmetik. Dabei
ist zu beachten, dass nicht jede beliebige Lastimpedanz ZL auf jede beliebige Eingangsimpedanz Zin transformiert werden kann, da der Wellenwiderstand Zw reell sein muss, also Zw2
nicht negativ sein darf. Setzt man Zw in eine der beiden obigen Gleichungen ein, liefert das
Z w (Rin − R L )
Z Re( Z in − Z L )
= w
.
RL X in + Rin X L
Im(Z in Z L )
Daraus kann die Leitungslänge bei gegebener Frequenz (oder gegebener Wellenlänge) berechnet werden.
tan (βl ) =
l
λ
=
⎛ Z (R − R L )
1
arctan⎜⎜ w in
2π
⎝ RL X in + Rin X L
⎞
⎟⎟ .
⎠
Um dem leidigen Problem der Einstellung des Taschenrechners (Radiant oder Grad) zu entgehen, ist es sinnvoll, die Gleichung in der Gestalt
⎛ Z (R − R L )
arctan⎜⎜ w in
l
⎝ RL X in + Rin X L
=
λ
8 arctan(1)
⎞
⎟⎟
⎠
zu programmieren.
8.2.4 Leistungsteiler
8.2.5 Balun
Für eine reflexionsfreie Leistungsübertragung ist es notwendig, dass für die Generator- und
*
Lastimpedanz Z G = Z L gilt. Das ist aber nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Be-
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-75dingung, da außerdem die Feldbilder des elektrischen und des magnetischen Feldes an der
Stelle des Übergangs von Generator zur Last gleich sein müssen.
Da die Feldlinien auf der Koaxialleitung und der Zweidrahtleitung unterschiedlich aussehen,
müssen sie durch geeignete Maßnahmen so verändert werden, dass sie gleich werden. Bei der
Koaxialleitung spricht man von einer unsymmetrischen Leitung (unbalanced line), da der Außenleiter immer auf Massepotential liegt, während der Innenleiter entsprechend des zu übertragenden Signals auf einem wechselnden Potential liegt.
Bei der Zweidrahtleitung liegen die Potentiale der beiden Leitungen stets auf Potentialen, die
symmetrisch bezüglich der Symmetrieebene zwischen den beiden Leitern ist. Man spricht von
einer symmetrischen Leitung (balanced line).
Bild 103: Elektrische Feldlinien einer Koaxleitung
Bild 104: Elektrische Feldlinien einer Zweidrahtleitung
Ein Balun ist ein Bauteil, welches das Feldbild einer „balanced line“ in das Feldbild einer
„unbalanced line“ (und umgekehrt) umwandelt.
Bild 105: Aufbau eines Baluns aus Koaxleitungen
8.2.6 Richtkoppler
Bild 106: Richtkoppler aus diskreten Bauelementen
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8.3 Mikrostrip-Leitungen
Mikrostrip-Leitungen sind die am häufigsten eingesetzten Leitungen in der Hochfrequenztechnik. Sie sind aus einem Substratmaterial („Printplatte“) mit einer durchgehenden Massefläche an der Unterseite und aus der Leiterbahn auf der Oberseite aufgebaut.
Bild 107: Aufbau einer Mikrostripleitung
Heute übliche Substratmaterialien sind glasfaserverstärktes Epoxidharz (FR4), Teflon (RTDuroid, Diclad), Aluminiumoxidkeramik (Al2O3), Teflon mit Keramikbeimengungen (Epsilam) oder Berylliumoxid (BeO) für außergewöhnliche Spezialanwendungen.
Die relativen Dielektrizitätszahlen dieser Materialien sind typischerweise
Material
FR4
Teflon
Al2O3
Epsilam10
BeO
εr
3.8 .. 4.0
2.3
9.6
10
Tabelle 1: Relative Dielektrizitätszahl einiger Substratmaterialien
Im Abschnitt 8.1.1 wurde die Bedeutung der Leitungskenngrößen Wellenwiderstand und
Ausbreitungskonstante hingewiesen. Dann gilt für die Überlegungen über diese Größen, dass
mit größer werdender Leiterbreite sich ein immer größerer Teil des magnetischen und elektrischen Feldes unter der Leiterbahn im Dielektrikum und ein geringer werdender Teil des Feldes in der Luft ausbreitet. Je breiter die Leitung wird, desto mehr wird ihre Eigenschaft von
Dielektrikum alleine bestimmt. Für extrem breite Leitungen gilt für die wirksame relative
Dielektrizitätszahl, dass sie praktisch der des Dielektrikums gleich ist (ε r ,eff ≈ ε r ) . Für extrem
schmale Leitungen breitet sich das elektromagnetische Feld etwa zu gleichen Teilen im Dielektrikum und in der Luft aus. Da ist die wirksame Dielektrizitätszahl wird ungefähr der Mitε +1
. Für den Wellenwiderstand gilt die Überlegung, dass mit breiter wertelwert ε r ,eff ≈ r
2
L'
sinkt.
dender Leitung der Kapazitätsbelag C’ der Leitung größer wird und gemäß Z W =
C'
Die mathematisch exakte Berechnung ist nur für wenige Spezialfälle möglich, da die entstehenden Differenzialgleichungen praktisch nur numerisch lösbar sind. Die Berechnungen werden jedoch mit Hilfe von Zahlenwertgleichungen näherungsweise möglich. Sie nähern die
tatsächlichen Werte für übliche Anwendungen genau genug an.
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8.3.1 Analysegleichungen
Mit den aus /3/ entnommenen Analysegleichungen können die von der Geometrie abhängigen
Eigenschaften der Mikrostrip-Leitung berechnet werden.
Bild 108: die Geometrie der Mikrostrip-Leitung
Die folgenden Gleichungen stellen eine hervorragende Näherung der tatsächlichen Eigent
1
ist.
schaften der Leitung dar und gelten unter der Voraussetzung, dass das Verhältnis ≤
h 200
w
für ≤ 1 gilt:
h
⎤
⎡
2⎥
⎢
ε +1 εr −1 ⎢
1
1 ⎛ w⎞
ε r ,eff = r
+
+ ⎜1 − ⎟ ⎥
2
2 ⎢
h⎠ ⎥
h 25 ⎝
⎥
⎢ 1 + 12
w
⎦
⎣
60
⎛ h 1 w⎞
Zw =
ln⎜ 8 +
⎟
ε r ,eff ⎝ w 4 h ⎠
und für
w
> 1 gilt:
h
ε r ,eff =
Zw =
εr +1 εr −1
2
120π
+
1
2
1 + 12
h
w
1
ε r ,eff w + 1.393 + 0.667 ln⎛ w + 1.444 ⎞
⎟
⎜
h
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⎝h
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⎠
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Bild 109 εr,eff in Abhängigkeit von w/h bei vernachlässigter Leiterbahndicke t
Bild 110: Zw in Abhängigkeit von w/h bei vernachlässigter Leiterbahndicke t
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-79-
8.3.2 Synthesegleichungen
Die Fragestellung: wie breit muss die Leitung sein, dass der Wellenwiderstand den geforderten Wert Zw hat, ist mit den Analysegleichungen nur iterativ lösbar. Daher wurden auch die
Synthesegleichungen entwickelt, welche die obige Fragestellung einfacher lösbar macht. Dabei gilt es, die Hilfsgröße
Z
εr +1 εr −1⎛
0.1 ⎞
⎜⎜ 0.23 +
⎟
+
A= w
60
2
εr +1⎝
ε r ⎟⎠
und daraus
w
8e A
= 2A
h e −2
w
w
zu berechnen. Ist das Ergebnis ≤ 2 , so ist dieser Wert endgültig. Ist jedoch > 2 , muss
h
h
mit den folgenden Synthesegleichungen gerechnet werden:
377π
B=
2Z w ε r
und
ε −1 ⎡
0.61⎤ ⎫
w 2⎧
= ⎨ B − 1 − ln (2 B − 1) + r
⎬.
⎢ln (B − 1) + 0.39 −
2ε r ⎣
ε r ⎥⎦ ⎭
h π⎩
Aus dem so erhaltenen Verhältnis kann die Leiterbahnbreite durch Multiplikation mit h erhalten werden.
8.3.3 Berücksichtigung weiterer Kenndaten der Mikrostrip-Leitung
In den obigen Formeln wurde die Leiterbahndicke t vernachlässigt. Dadurch kann es bei geringen Leiterbahnbreiten zu Fehlern kommen, die durch eine Berücksichtigung der Leiterdicke t verringert werden können. Dazu muss in den obigen Gleichungen die mechanische Leiterbahnbreite w durch die effektiv wirksame Leiterbahnbreite weff ersetzt werden. Die folgenden Beziehungen sind dazu hilfreich und sind im Programm Mikrostrip-Analyse und Synthese
im Anhang 17.13.11 implementiert:
w
1
gilt für die effektiv wirksame Leiterbahnbreite
für ≥
h 2π
weff
2h ⎞
w t ⎛
= + ⎜1 + ln ⎟
h
h πh ⎝
t ⎠
w
1
für <
gilt
h 2π
weff
4πW ⎞
w t ⎛
= + ⎜1 + ln
⎟
h
h πh ⎝
t ⎠
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-80-
8.4 Mikrostrip-Diskontinuitäten
8.4.1.1 Offenes Ende
8.4.1.2 Leitungsknick
8.4.1.3 Leiterbreitenstufe
8.4.1.4 Leiterverzweigung
8.4.1.5 Ratrace-Ring
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-81-
9 Das Smith-Diagramm
Das Smith-Diagramm ist ein hervorragendes Hilfsmittel zur Dimensionierung von Bauteilen
und zur Darstellung von Eigenschaften einzelner Bauteile oder von Baugruppen. Es verknüpft
Impedanzen und Admittanzen mit ihren entsprechenden Reflexionsfaktoren und kann sowohl
bei konzentrierten Bauelementen (Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten, Transistoren)
als auch bei verteilten Bauelementen (Leitungen) eingesetzt werden.
Bild 111: Linien konstanten Realteiles und Linien konstanten Imaginärteiles in der Reflexionsebene
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-82-
10 Streuparameter
10.1 Definition der Streuparameter
Die Streuparameter (scattering parameter, S-Parameter) beschreiben den Zusammenhang zwischen den zum Zweitor hinlaufenden Wellen mit den Amplituden a1 und a2, und den vom
Zweitor rücklaufenden Wellen b1 und b2.
Bild 112: Die zu den Toren hinlaufenden und von den Toren rücklaufenden Wellen
Da es sich bei den verknüpften Größen um Wellen, also orts- und zeitabhängige Größen handelt, muss auch angegeben werden, an welcher Stelle die Parameter gelten. Diese Orte werden
Referenzebenen genannt.
Die S-Parameter sind eine lineare Verknüpfung der vor- und rücklaufenden Wellen und es gilt
unter der Voraussetzung, dass Tor 1 der Eingang und Tor 2 der Ausgang sei:
⎛ b1 ⎞ ⎡ S11
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢
⎝ b2 ⎠ ⎣ S 21
S11 =
S12 =
S 21 =
S 22 =
b1
a1
a2 = 0
b1
a2
a1 = 0
b2
a1
a2 = 0
b2
a2
a1 = 0
S12 ⎤⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟ , wobei
S 22 ⎥⎦⎜⎝ a 2 ⎟⎠
Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Ausgang
Rückwirkung vom Ausgang zum Eingang bei Anpassung am Eingang
vom Eingang zum Ausgang bei Anpassung am Ausgang
Ausgangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Eingang
Die Größen a und b stellen die vor- und rücklaufenden Wellen dar, die durch
ai =
U i+
Z wi
= I i + Z wi
bi =
U i−
Z wi
= I i − Z wi
und die Dimension Leistung haben. Damit können die S-Parameter leicht aus Spannungen
und Strömen berechnet werden.
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-83-
Bild 113: zur Berechnung der S-Parameter
Z 1 − Z w1
Z 1 + Z w1
S11 =
S 21 =
S12 =
a2 = 0
Z w2
Z w1
2U 2
U 01
2U 1
U 02
S 22 =
a1 = 0
Z w1
Z w2
Z 2 − Z w2
Z 2 + Z w2
a2 = 0
a1 = 0
Es ist in der Praxis äußerst selten der Fall, dass die Wellenwiderstände an den Toren unterschiedliche Werte haben. Unter der Voraussetzung, dass die Wellenwiderstände gleich sind,
gilt schließlich
S11 =
Z 1 − Z w1
Z 1 + Z w1
S 21 =
2U 2
U 01
S12 =
a2 = 0
S 22 =
a1 = 0
2U 1
U 02
a2 =0
Z 2 − Z w2
Z 2 + Z w2
a1 = 0
10.1.1 Der symmetrische T-Abschwächer
Es soll ein symmetrisches T-Dämpfungsglied berechnet und dimensioniert werden.
Bild 114: Der symmetrische T-Abschwächer
Er soll bei Anpassung am Ein- und Ausgang das Eingangssignal gedämpft am Ausgang ausgeben. Die Berechnung kann auf verschiedenste Art und Weise durchgeführt werden. In diesem Abschnitt wird die Dimensionierung mit Hilfe der S-Parameter durchgeführt. Da S11 der
Z − Zw
, wobei
Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Ausgang ist, gilt: S11 = in
Z in + Z w
R ( R + Z w ) R1 (R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w )
=
Z in = R1 + 2 1
, der Widerstand am Eingangstor
R 1 + R2 + Z w
R 1 + R2 + Z w
des Abschwächers ist. Durch einfaches Einsetzen von Zin in die Gleichung des Eingangsreflexionsfaktors erhält man
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-84R1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w
.
(R1 + R2 )(R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w 2
Für die Wirkung des Eingangs auf den Ausgangs, also für S21, gilt aus der Definition bei glei2U 2
U U'
=2 2
chen Wellenwiderständen am Ein- und Ausgang S 21 =
. Mit Hilfe der SpanU 01
U ' U 01
Zw
U
und
nungsteilerformel kann 2 =
U ' R1 + Z w
R1 (R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w )
R 1 + R2 + Z w
Z in
U'
=
=
U 01 Z in + R1 + Z w R1 (R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w )
+ R1 + Z w
R 1 + R2 + Z w
R1 (R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w )
U'
=
leicht berechnet werden:
U 01 R1 (R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w ) + (R1 + Z w )(R 1 + R2 + Z w )
S11 =
2Z w R2
(R1 + Z w )(R1 + 2 R2 + Z w )
Da die Schaltung reziprok ist, ist die S-Matrix bezüglich ihrer Hauptdiagonale symmetrisch.
Die Schaltung ist auch vom Ausbau symmetrisch ist – es können Ein- und Ausgang vertauscht werden – ist die S-Matrix auch bezüglich ihrer Nebendiagonale symmetrisch. Also
können die S-Parameter angeschrieben werden:
S12 =
R1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w
⎡
2
⎢(
R + R2 )(R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w
S=⎢ 1
2 Z w R2
⎢
⎢
(R1 + Z w )(R1 + 2 R2 + Z w )
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
2 ⎥
(R1 + R2 )(R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w ⎦
2 Z w R2
(R1 + Z w )(R1 + 2 R2 + Z w )
R1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w
Aus der Bedingung, dass Anpassung herrschen soll (S11=0) und bei gegebene Abschwächung
S21 stehen zwei Gleichungen für die Bestimmung von R1 und R2 zur Verfügung: Für AnpasR1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w
sung am Eingang erhält man aus
= 0 die Bedingung
(R1 + R2 )(R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w 2
2
R1 ( R1 + 2 R2 ) = Z w . Formt man auf
liefert das S 21 =
2
Z w − R1
= R2 und setzt in die Gleichung für S21 ein,
R1
Z w − R1
bzw.
Z w + R1
1 − S 21
1 + S 21
Substituiert man diesen Ausdruck in die Gleichung für R2, erhält man
R1 = Z w
R2= Zw
2S 21
1 − S 21
2
Für einen 3dB-Abschwächer (S21=-3dB) Zw = 50Ω erhält man S21 = 0.707 (S-Parameter beschreiben Wellen mit der Einheit Leistung ): R1 = 8.579Ω, R2 = 141.4Ω
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-85-
10.1.2 Der symmetrische π-Abschwächer
Bild 115: Der symmetrische π-Abschwächer
Er soll bei Anpassung am Ein- und Ausgang das Eingangssignal gedämpft am Ausgang ausgeben. Die Berechnung kann auf verschiedenste Art und Weise durchgeführt werden. In diesem Abschnitt wird die Dimensionierung mit Hilfe der S-Parameter durchgeführt. Es erweist
sich als günstig, in diesem Falle mit Leitwerten zu rechnen, der Rechenaufwand ist geringer
als bei der Rechnung mit Widerständen. Da S11 der Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung
Z in
1
1
−1
−
Z
Z in Yw − Yin
Z
Z − Zw
am Ausgang ist, gilt: S11 = in
, wobei
= w
= w
=
1
1
Yw + Yin
Z in + Z w Z in
+
+1
Z w Z in
Zw
G (G + Yw ) G1 (G 1 +G2 + Yw ) + G2 (G1 + Yw )
=
Yin = G1 + 2 1
, der Widerstand am Eingangstor des
G 1 +G2 + Yw
G 1 +G2 + Yw
Abschwächers ist. Durch einfaches Einsetzen von Yin in die Gleichung des
Eingangsreflexionsfaktors erhält man
Yw − G1 (G1 + 2G 2 )
.
S 11 =
(G1 + G 2 )(G1 + 2Yw ) + G1G 2 + Yw 2
Für die Wirkung des Eingangs auf den Ausgangs, also für S21, gilt aus der Definition bei glei2U 2
U U'
=2 2
chen Wellenwiderständen am Ein- und Ausgang S 21 =
. Mit Hilfe der SpanU 01
U ' U 01
1
G1 +Y w
U
G2
nungsteilerformel kann 2 =
und
=
1
1
U1
G2 + G1 +Y w
+
G1 +Y w G2
1
Yin
Yw
Yw
U1
=
=
=
1
1
U 01
Y w+Yin G1 (G 1 +G2 + Yw ) + G2 (G1 + Yw )
+
+ G1 + Yw
Yin Yw
G 1 +G2 + Yw
leicht berechnet werden und man erhält für:
2Yw G2
(G1 + Yw )(G1 + 2G2 + Yw )
Da die Schaltung reziprok ist, ist die S-Matrix bezüglich ihrer Hauptdiagonale symmetrisch.
Die Schaltung ist auch vom Ausbau symmetrisch ist – es können Ein- und Ausgang vertauscht werden – ist die S-Matrix auch bezüglich ihrer Nebendiagonale symmetrisch. Also
können die S-Parameter angeschrieben werden:
S12 =
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-86⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
(G1 + G2 )(G1 + 2Yw ) + G1G2 + Yw 2 ⎦⎥
2
⎡
Yw − G1 (G1 + 2G2 )
⎢
(G + G2 )(G1 + 2Yw ) + G1G2 + Yw 2
S=⎢ 1
⎢
2Yw G2
⎢
(G1 + Yw )(G1 + 2G2 + Yw )
⎣⎢
2Yw G2
(G1 + Yw )(G1 + 2G2 + Yw )
2
Yw − G1 (G1 + 2G2 )
Aus der Bedingung, dass Anpassung herrschen soll (S11=0) und bei gegebene Abschwächung
S21 stehen zwei Gleichungen für die Bestimmung von G1 und G2 zur Verfügung: Für Anpas2
Yw − G1 (G1 + 2G2 )
sung am Eingang erhält man aus
= 0 die Bedingung
(G1 + G2 )(G1 + 2Yw ) + G1G2 + Yw 2
2
2
Y − G1
G1 (G1 + 2G2 ) = Yw . Formt man auf w
= G2 und setzt in die Gleichung für S21 ein,
G1
G − Yw
bzw.
liefert das S 21 = 1
G1 + Yw
1 − S 21
G1 = Yw
1 + S 21
Substituiert man diesen Ausdruck in die Gleichung für R2, erhält man
2
G 2 = Yw
2S 21
1 − S 21
2
Für einen 3dB-Abschwächer (S21=-3dB) Zw = 50Ω (Yw = 20mS) erhält man S21 = 0.707 (SParameter beschreiben Wellen mit der Einheit Leistung ): G1 = 3.431mS, G2 = 56.57mS.
Die Widerstandswerte sind R1 = 291.4Ω, R2 = 17.68Ω.
10.2 S-Parameter und Zuleitungen
Im Allgemeinen ist es nicht möglich, an den Stellen der Bauelemente oder Baugruppen zu
messen, an denen man an den S-Parametern interessiert ist. Zwischen den Toren des Zweitors
und der Messebene der S-Parameter mögen Leitungsstücke eingefügt sein.
Bild 116: Zweitor mit eingefügten Messleitungen
Da S11 der Reflexionsfaktor am Tor1 ist, wird wegen der Leitung zwischen Tor1 und Tor1’
der Eingangsreflexionsfaktor
• S11 ' = S11e −2 jßl1 , wie im Kapitel 8.1.1 abgeleitet. Analog dazu gilt
• S 22 ' = S 22 e −2 jßl 2 .
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-87In S12’ und S21’ stecken die Leitungslängen l1 und l2, die eine Verzögerung des Signals zwischen Tor1’ und Tor2’ bewirken und es gilt
• S12 ' = S12e− jβ ( l1 + l 2 )
• S 21 ' = S 21e − jβ ( l1 +l2 )
Damit gilt für die Streuparameter
−2 jßl1
− jβ ( l1 + l 2 )
S ' S '
⎡
⎤
[S '] = ⎡⎢ 11 12 ⎤⎥ = ⎢ S11−ejβ (l1 +l2 ) S12 e −2 jßl2 ⎥
S 22 e
⎣ S 21 ' S 22 '⎦ ⎣ S 21e
⎦
und umgekehrt
2 jßl1
jβ ( l1 + l 2 )
S
S
⎡
⎤
[S ] = ⎡⎢ 11 12 ⎤⎥ = ⎢ S11 ' ejβ (l1 +l2 ) S12 ' e 2 jßl2 ⎥
S 22 ' e
⎣ S 21 S 22 ⎦ ⎣ S 21 ' e
⎦
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-88-
10.3 Die Berechnung der S-Parameter mit SPICE©
Mit Hilfe des Softwarepakets SPICE© und unter Verwendung „theoretischer“ Schaltungen,
die in der Praxis kaum realisierbar aber für die Simulation hervorragend geeignet sind, können die S-Parameter von Bipolartransistoren leicht berechnet werden. Dazu sind zwei Schaltungen notwendig.
10.3.1 Arbeitspunkteinstellung beim BJT mit Hilfe von SPICE©
Bild 117: Schaltung zur Arbeitspunkteinstellung
Die Spannungsquelle liefert die Spannung UCE für den Transistor, mit der Stromquelle IE wird
der Emitterstrom auf dem gewünschten Wert gehalten. Mit dem nahezu idealen Verstärker
(einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle) mit der Spannungsverstärkung V=108 wird die
Basisspannung auf so einem Potential gehalten, dass der geforderte Strom IE fließt. Die physikalisch kaum realisierbaren Induktivitäten mit je 1H sollen verhindern, dass der Wechselstrom im Kollektor über die Spannungsquelle UCE fließt. Die Induktivität an der Basis verhindert einen Wechselstromfluss über den Ausgangswiderstand des Verstärkers. Die Kondensatoren mit je 1F, welche im Hochfrequenzbereich kaum herstellbar sind, verhindern den
Gleichstromfluss und bewirken einen vernachlässigbaren Spannungsabfall. Die Wechselspannung U1 ist praktisch die Basis-Emitter-Wechselspannung, die Spannung U2 entspricht der
Kollektor-Emitter-Wechselspannung des Transistors.
10.3.2 Die Berechnung von S11 und S21 mit SPICE©
Nun gilt es, den Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Ausgang aus den auftretenden
Spannungen am Tor 1 zu berechnen. Das kann durch die Bestimmung der rücklaufenden und
vorlaufenden Spannungswelle am Tor 1 durchgeführt werden:
S 11=
U 1−
U 1+
=
Anpassung am Ausgang
2U 1 − U 01
U 01
Anpassung am Ausgang
Für S21 gilt
S 21=
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2U 2
U 01
Anpassung am Ausgang
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-89Damit erhält man die folgende Schaltung:
Bild 118: Messschaltung zur Bestimmung von S11 und S21
Da im eigentlichen SPICE© eine weitere Verknüpfung der Rechenergebnisse nicht vorgesehen ist, kann die Division durch U01 in den beiden obigen Gleichungen erspart werden, indem
der Wert für U 01 = 1V gewählt wird.
10.3.3 Die Berechnung von S12 und S22 mit SPICE©
Für die Berechnung des Ausgangsreflexionsfaktors bei Anpassung am Eingang aus den auftretenden Spannungen am Tor 2 zu berechnen. Das kann durch die Bestimmung der rücklaufenden und vorlaufenden Spannungswelle am Tor 2 durchgeführt werden:
S 22 =
U 2−
U 2+
=
Anpassung am Eingang
2U 2 − U 02
U 02
Anpassung am Eingang
Für S12 gilt
S 12 =
2U 1
U 02
Anpassung am Eingang
Damit erhält man die folgende Schaltung:
Bild 119: Messschaltung zur Bestimmung von S12 und S22
10.4 Mehrtore
Unter Mehrtore versteht man Bauelemente bzw. Bauteile mindestens drei Toren, wobei die
Leitungsverzweigung als Beispiel diene.
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Bild 120: Leitungsverzweigung
Der Zusammenhang zwischen den hinlaufenden und rücklaufenden Wellen wird mit den verallgemeinerten Streuparametern beschrieben. Für das Dreitor gilt
⎛ b1 ⎞ ⎡ S11
⎜ ⎟ ⎢
⎜ b2 ⎟ = ⎢ S 21
⎜ b ⎟ ⎢S
⎝ 3 ⎠ ⎣ 31
S12
S 22
S 32
S13 ⎤⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
S 23 ⎥⎥⎜ a 2 ⎟ .
S 33 ⎥⎦⎜⎝ a 3 ⎟⎠
Für n-Tore in Vektorschreibweise gilt
r
r
b = Sa
•
•
mit Indizes
i, k ∈ [1, n]
Sii ist der Reflexionsfaktor am Tor i, wenn alle Tore angepasst abgeschlossen sind.
Sik ist der Transmissionsfaktor vom Tor k zum Tor i bei Anpassung aller Tore.
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11 Stabilität eines Verstärkers
Unter der Stabilität eines Verstärkers versteht man seine Neigung zum Schwingen. Schwingen es Verstärkers kann auftreten, wenn die Rückwirkung vom Ausgang auf den Eingang so
groß ist, dass die Rückwirkung, multipliziert mit der Verstärkung größer gleich eins ist. Dieser Fall ist bei der Konstruktion von Oszillatoren gewünscht und wurde im Kapitel 3:
Oszillatoren behandelt. Die Schwingungen können auch auftreten, wenn der Eingangswiderstand oder Ausgangswiderstand des Verstärkers negativ sind. Nicht nur mit Hilfe von Operationsverstärkern kann eine negative Impedanz erzeugt werden, auch einfache Transistoren
(BJT, FET, MOSFET) oder Dioden (Tunneldioden, Gunndioden, Impatt-Dioden) weisen
Kennlinien auf, mit deren Hilfe negative Impedanzen realisiert werden können.
Rin =
U1
R1
=
I 1 R2 − R3
Wählt man R3 > R2 erhält man einen negativen
Widerstand.
Bild 121: Operationsverstärker als negativer Widerstand
Bild 122: Strom-Spannungskennlinie einer Tunneldiode
Eine Impedanz mit negativen Realteil bedeutet, dass der Betrag des Reflexionsfaktors
Re( Z ) + j Im(Z ) − Z W
ρ =
> 1 wird. „Es kommt mehr Signal vom negativen Widerstand
Re( Z ) + j Im(Z ) + Z W
zurück, als hingeschickt wird.“
Bild 123: zur Erläuterung der elektrischen Größen
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-92-
In der Hochfrequenz-Schaltungstechnik wird der Eingangsreflexionsfaktor mit Γin, der Ausgangsreflexionsfaktor mit Γout bezeichnet. Der Reflexionsfaktor der Quelle (source) wird ΓS,
der Reflexionsfaktor der Last (load) ΓL genannt. Leistungsanpassung herrscht, wenn auf der
Eingangsseite ΓS = Γin* und auf der Ausgangsseite ΓL = Γout* erreicht wird. Das Anpassnetzwerk am Eingang hat die Aufgabe, die Impedanz der Quelle so zu transformieren, das nach
der Transformation der Eingang den Reflexionsfaktor Γin* sieht. Das Anpassnetzwerk am
Ausgang hat die Aufgabe, die Impedanz der Last so zu transformieren, das nach der Transformation der Ausgang den Reflexionsfaktor Γout* sieht. Dabei ist jedoch die Frage zu klären,
ob bei dieser eingangs- und ausgangsseitigen Belastung des Zweitores das Zweitor stabil ist,
als nicht schwingt.
Ein Verstärker ist bei einer Arbeitsfrequenz unbedingt stabil, wenn
ΓS < 1
ΓL < 1
S12 S 21ΓL
<1
1 − S 22 ΓL
Γin = S11 +
Γout = S 22 +
S12 S 21ΓS
<1
1 − S11ΓS
erfüllt ist. Der Eingangsreflexionsfaktor Γin hängt von den Transistoreigenschaften Sij und
vom Lastreflexionsfaktor ΓL, also von der Lastimpedanz ab, der Ausgangsreflexionsfaktor
Γout hängt von Sij und vom Quellreflexionsfaktor ΓS, also von der Generatorimpedanz ab. Für
welche Werte von ΓL und ΓS sind die Bedingungen erfüllt? Dazu werden im ersten Schritt die
Punkte bestimmt, auf welchen Γin = 1 und Γout = 1 ist. Die Lösung sind die Stabilitätskreise.
Für den Reflexionsfaktor Γin am Eingang erhält man
ΓL
(S
−
CL
(S
=
− ∆S11
22
)
* *
2
2
S 22 − ∆
− ∆S11
22
2
S 22 − ∆
rL =
=
)
2
2
S 22 − ∆
2
mit
∆ = S11 S 22 − S12 S 21 und (a + jb ) = a − jb
*
* *
Mittelpunkt des Eingangsstabilitätskreises (Input Stability Circle)
2
S12 S 21
S 22 − ∆
S12 S 21
Radius des Eingangsstabilitätskreises
2
Für den Reflexionsfaktor Γin am Eingang erhält man
Γin
(S
−
CS
(S
=
11
− ∆S 22
2
S11 − ∆
rS =
11
− ∆S 22
2
S11 − ∆
S12 S 21
2
S11 − ∆
2
)
* *
2
)
=
S12 S 21
2
S11 − ∆
2
* *
2
Mittelpunkt des Ausgangsstabilitätskreises (Output Stability Circle)
Radius des Ausgangsstabilitätskreises
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-93⎡0.45e j146° 0.336e j 69° ⎤
Für einen Transistor mit S = ⎢
⎥ erhält man für den Eingangsstabilitätsj 67°
0.18e j −79° ⎦
⎣ 3.20e
kreis
C L = −0.472 − j 0.221
und
rL = 1.007
und für den Ausgangsstabilitätskreis
C S = 0.579 + j 0.148
und
rL = 1.198 .
Im Smith-Diagramm können diese Kreise eingetragen werden:
Bild 124: Stabilitätskreise im Smith-Diagramm
Nun sind die Grenzen bekannt, an welcher der Betrag des entsprechenden Reflexionsfaktors 1
wird.
• Ist |S11|<1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Eingangsreflexionskreises, ist der
Bereich innerhalb des Eingangsreflexionskreises stabil. Außerhalb des Bereiches ist
der Verstärker nicht stabil.
• Ist |S11|>1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Eingangsreflexionskreises, ist der
Bereich innerhalb des Eingangsreflexionskreises nicht stabil. Außerhalb des Bereiches
ist der Verstärker stabil.
• Ist |S22|<1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Ausgangsreflexionskreises, ist der
Bereich innerhalb des Ausgangsreflexionskreises stabil. Außerhalb des Bereiches ist
der Verstärker nicht stabil.
• Ist |S22|>1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Ausgangsreflexionskreises, ist der
Bereich innerhalb des Ausgangsreflexionskreises nicht stabil. Außerhalb des Bereiches ist der Verstärker stabil.
Der Verstärker ist unbedingt stabil - für jeden beliebige passive Abschlussimpedanz stabil –
wenn |Sii|<1 ist und der jeweilige Stabilitätskreis außerhalb des Smithdiagramms liegt.
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-94Unbedingt stabil bedeutet am Eingang des Verstärkers, dass |S11| <1 und C L − rL > 1 ist.
Unbedingt stabil bedeutet am Ausgang des Verstärkers, dass |S22|<1 und C S − rS > 1 ist.
Bild 125: Der Anpasspunkt liegt innerhalb des Ausgangsstabilitätskreises und |S11|<1. Daher ist der Verstärker innerhalb des Ausgangsstabilitätskreises stabil (grau hinterlegter Bereich). Die Lastimpedanz
muss im grauen Bereich liegen, sodass der Verstärker stabil ist.
Bild 126: Der Anpasspunkt liegt innerhalb des Eingangsstabilitätskreises und |S2|<1. Daher ist der Verstärker innerhalb des Eingangsstabilitätskreises stabil (grau hinterlegter Bereich). Die Quellimpedanz
muss im grauen Bereich liegen, sodass der Verstärker stabil ist.
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-95-
12 Leistungsverstärkung
Die Verstärkung GT - transcucer power gain – ist da Verhältnis zwischen der Leistung, die in
der Last umgesetzt wird PL (power delivered to the load) und der von der Quelle abgegeben
Leistung PAVS (power available from the source).
2
2
2
2
1 − ΓS
1 − ΓS
1 − ΓL
2 1 − ΓL
2
=
GT =
S 21
S 21
2
2
2
2
1 − Γin ΓS
1 − S 22 ΓL
1 − S11ΓS
1 − Γout ΓL
die maximale Verstärkung erhält man bei Anpassung am Eingang und am Ausgang, also
*
*
wenn ΓS = S11 und ΓL = S 22 erfüllt ist. Die Impedanz, mit der die Quelle ihr Signal an den
Eingang des Verstärkers liefert ist die optimale Quellimpedanz, die Lastimpedanz, die keine
Reflexionen verursacht, ist die optimale Lastimpedanz. Nun gilt es die Frage zu klären, in
welchem Bereich die Quell- und Lastimpedanz liegen darf, dass die Verstärkung um den Faktor gi gegenüber der maximalen Verstärkung absinkt.
12.1 Verstärkung eines unbedingt stabilen Verstärkers
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-96-
13 Hohlleiter
Unter Hohlleiter versteht man rohrförmige Leitungselemente, die nicht aus einem Hin- und
Rückleiter bestehen und deren Abmessungen zwangsläufig in der Größenordnung der Wellenlänge sind. Um ein einfaches Vorstellungsmodell zu haben, kann man von der klassischen
Zweidrahtleitung ausgehen. An diese Leitung wird eine kurzgeschlossene, λ/4-lange, kurzgeschlossene Leitung parallel geschaltet. Der Kurzschluss am Ende der Stichleitung wird an den
Anfang der Stichleitung transformiert und erreicht einen unendlich hohen Widerstand. Der
Kurzschluss beeinflusst weder Spannung noch Strom der Paralleldrahtleitung
Bild 127: Paralleldrahtleitung mit λ/4-Stichleitung auf einer und auf zwei Seiten
Im nächsten Gedankenschritt werden längs der Paralleldrahtleitung weitere λ/4-Leitungen
angebracht. Es entsteht ein rechteckiges Rohr mit den Innenabmessungen a und b. Man
spricht nun von einem Rechteckhohleiter mit der (inneren) Breite a und der (inneren) Höhe b.
Bild 128: Der gedankliche Übergang von der Parallelleitung mit λ/4-Leitungen zum Rechteckhohlleiter
Die Spannung im Hohlleiter verläuft von oben nach unten und ist an den linken und rechten
Kurzschlüssen Null. Der Verlauf dazwischen ist analog zum Spannungsverlauf entlang der
λ/4-Leitung, also sinusförmig. Die Breite des Hohlleiters ist λ/2. Daraus kann die Frequenz,
bei der dieses Feldbild entsteht, berechnet werden und es gilt
c
c
fc = 0 = 0 .
λ c 2a
Da in diesem Gedankenmodell de Strom in den λ/4-Leitungsstücken nur quer zur Ausbreitungsrichtung, quer zur Richtung der Paralleldrahtleitung ausbreiten kann, erhält man mit diesem Modell die untere Grenzfrequenz fc, die Cutoff-Frequenz. Signale mit tieferen Frequenzen sind nicht ausbreitungsfähig und werden stark gedämpft.
Eine praktische Anwendung dieses Hochpassverhaltens ist im Mikrowellenherd: Die Tür ist
mit einem Gitter mit Öffnungen von etwa 2mm x 2mm hinterlegt. Die Cutoff-Frequenz dieser
Struktur liegt bei 75 GHz. Die Arbeitsfrequenz des Mikrowellenherdes liegt bei 2.45 GHz (λ
= 122mm). Das elektromagnetische Feld des Mikrowellenofens wird also nicht durch die GitHochfrequenztechnik - ENTWURF
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-97terstruktur austreten können. Das sichtbare Licht hat eine Frequenz von etwa 750 THz (λ =
400nm) und kann die Öffnungen verlustlos passieren.
13.1 Wellengleichung im Rechteckhohlleiter
Die Maxwell-Gleichungen
r
r
r
r r
∂D
∂B
rotH = S L +
rotE = −
∂t
∂t
r
r
divD = ρ wa
divB = 0
bedeuten, dass
• die Wirbel des magnetischen Feldes
r der Summe aus der Stromdichte im Leiter SL plus
∂D
der Verschiebungsstromdichte
entsprechen,
∂t
• die Wirbel des elektrischen Feldes der zeitlichen Änderung der Induktion entspricht,
• die Quellenstärke der elektrischen Verschiebung der wahren elektrischen Rumladungsdichte entsprechen, und
• keine magnetischen Quellen existieren (es gibt keinen magnetischen „Nordpol“ alleine, es gibt keinen magnetischen „Südpol“ alleine).
Aus diesen vier Grundgleichungen der Elektrotechnik können die Gleichungen, die das elektrische und magnetische Feld auf Leitungen beschreiben, abgeleitet werden und man erhält
r
r
r
r
1 ∂2E
∂2E ∂2E ∂2E
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v ph 2 ∂t 2
r
r
r
r
1 ∂2H
∂2H ∂2H ∂2H
+
+ 2 =
2
2
∂x 2
∂y 2
∂z
v ph ∂t
wobei v ph =
1
εµ
, die Phasengeschwindigkeit der Welle ist.
Setzt man voraus, dass die Vorgänge im Hohlleiter harmonische Vorgänge, also sinus- oder
cosinusförmig sind, wird aus der Differentiation nach der Zeit, eine Multiplikation mit jω.
Setzt man weiter voraus, dass die Wellenausbreitung im Hohlleiter nur in die z-Richtung erfolgt, wird aus der Differentiation nach z eine Multiplikation mit –jβH. Dann wird die Wellengleichung zu
r
r
∂2E ∂2E
2
+ 2 + ω 2 εµ − β H
2
∂x
∂y
r
r
2
∂ H ∂2H
2
+
+ ω 2 εµ − β H
2
2
∂x
∂y
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(
)Er = 0
(
)Hr = 0
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-98-
Bild 129: Hohlleiter mit Flansch
Es ist einfach einzusehen, dass die Feldstärke Ey an den senkrechten Wänden Null sein muss
– die Feldstärkekomponente ist durch die metallische Wand kurzgeschlossen. Ebenso gilt für
die Feldstärke Ex, dass sie durch die Deck- und Bodenfläche kurzgeschlossen ist. Der Feldstärkeverlauf der y-Komponente muss daher entlang der x-Achse sinusförmig sein. Der Verlauf dieser Komponente entlang der y-Richtung ist cosinusförmig und es gilt
E y ( x, y ) = E 0 sin(k x x) cos(k y y ) , wobei kx und ky aus den Überlegungen sin(k x a) = 0 und
cos(k y b) = 1 gelten muss. Dann erhält man für k x =
mπ
nπ
und für k y =
. Es gibt also una
b
terschiedliche Ausbreitungsmoden im Hohlleiter.
Allgemein kann man die Felder im Rechteckhohlleiter aus den elektrischen und magnetischen
Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung, aus Ez und Hz ausdrücken. Man spricht von den
modalen Lösungen.
Ex =
Ey =
−j
ω εµ − β H
2
2
−j
ω 2 εµ − β H
2
⎛
⎜⎜ β H
⎝
⎛
⎜⎜ β H
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
∂E z
∂H z ⎞
⎟
− ωµ
∂y
∂x ⎟⎠
∂E z
∂H z
+ ωµ
∂x
∂y
Hx =
Hy =
−j
ω εµ − β H
2
2
−j
ω 2 εµ − β H 2
⎛
⎜⎜ β H
⎝
⎛
⎜⎜ β H
⎝
∂H z
∂E ⎞
− ωε z ⎟⎟
∂x
∂y ⎠
∂H z
∂E ⎞
+ ωε z ⎟⎟
∂y
∂x ⎠
Aus diesen modalen Lösungen erkennt man, dass im homogenen Rechteckhohlleiter zwei
prinzipiell unterschiedliche Wellentypen ausbreitungsfähig sind:
Es können Wellen bestehen, die alleine durch die magnetische Feldkomponente Hz beschrieben werden können.
Ex =
Ey =
−j
ω εµ − β H
2
2
−j
ω εµ − β H
2
2
ωµ
∂H z
∂y
Hx =
ωµ
∂H z
∂x
Hy =
−j
ω εµ − β H
2
2
β
∂H z
∂x
−j
∂H z
β
2
∂y
ω εµ − β H
2
Man spricht von H-Moden oder auch TE-Moden, wobei TE bedeutet, dass das elektrische
Feld nur aus x- und y-Komponenten beschrieben wird, also nur aus transversal (senkrecht) zur
Ausbreitungsrichtung bestehenden Anteilen besteht. Da die magnetischen Feldlinien in sich
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-99geschlossen sein müssen (es gibt ja keine magnetischen Ladungen), muss es zu Hz auch weitere magnetische Feldkomponenten in x- und/oder y-Richtung geben. Das H-Feld hat eine
Komponente in die Ausbreitungsrichtung, das elektrische Feld ist transversal zur Ausbreitungsrichtung.
Es können Wellen bestehen, die alleine durch die elektrische Feldkomponente Ez beschrieben
werden können. Die Komponente Ez des Feldes muss an jedem Seitenteil, an der Deckfläche
und am Boden Null sein. Sie ist ja durch das Metall kurzgeschlossen und kann nur
⎛ mπ
E z = E 0 sin ⎜
⎝ a
⎞ ⎛ nπ ⎞
x ⎟ sin ⎜
y⎟
⎠ ⎝ b ⎠
lauten. Dann liefern die modalen Lösungen
− jβ H
∂E z
− jβ H
mπ
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ
cos⎜
x ⎟ sin ⎜
= E0 2
Ex = 2
2
2
ω εµ − β H ∂x
ω εµ − β H a
⎝ a ⎠ ⎝ b
− jβ H
∂E z
− jβ H
nπ
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ
sin ⎜
x ⎟ cos⎜
= E0 2
Ey = 2
2
2
ω εµ − β H ∂y
ω εµ − β H b
⎝ a ⎠ ⎝ b
⎞
y⎟
⎠
⎞
y⎟
⎠
− jωε
∂E z
jωε
nπ
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
sin ⎜
x ⎟ cos⎜
y⎟
= E0 2
2
ω εµ − β H ∂y
ω εµ − β H b
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
∂E z
mπ
− jωε
− jωε
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
Hy = 2
cos⎜
x ⎟ sin ⎜
y⎟
= E0 2
2
2
ω εµ − β H ∂x
ω εµ − β H a
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
Hx =
2
2
Man spricht von E-Moden oder auch TM-Moden, wobei TM bedeutet, dass das magnetische
Feld nur aus x- und y-Komponenten beschrieben wird, also nur aus transversal (senkrecht) zur
Ausbreitungsrichtung bestehenden Anteilen besteht. Die modalen Lösungen zeigen, dass es
zu Ez auch weitere elektrische Feldkomponenten in x- und/oder y-Richtung geben muss. Das
E-Feld hat eine Komponente in die Ausbreitungsrichtung, das magnetische Feld ist transversal zur Ausbreitungsrichtung.
13.2 Cutoff-Frequenz und Hochpass-Eigenschaften
Setzt man die eben hergeleiteten Feldkomponenten in die Wellengleichungen ein, erhält man
2
2
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
2
2
⎟ + β H = ω εµ
⎟ +⎜
⎜
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
2
und durch umstellen der Gleichung
2
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
β H = ω εµ − ⎜
⎟ −⎜
⎟ , wobei zu beachten ist, dass die ungedämpfte Ausbreitung
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
nur dann auftreten kann, wenn der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante, positiv ist.
Die Frequenz, ab welcher die verlustlose Ausbreitung auftritt, ist
2
2
2
2
2
c0
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
ωc =
⎟ und für leere (oder luftgefüllte)
⎟ +⎜
⎟ =
⎜
⎟ +⎜
⎜
εµ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
εr µr ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
Hohlleiter gilt nach herausheben von π und anschließendem kürzen gilt
1
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-1002
2
c0 ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .
2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠
Diese für den Hohlleiter charakteristische Frequenz wird Cutoff-Frequenz genannt. Signale
mit Frequenzen unterhalb der Cutoff-Frequenz werden stark gedämpft und sind praktisch
nicht ausbreitungsfähig. Signale mit Frequenzen oberhalb der Cutoff-Frequenz sind nahezu
ungedämpft im Hohlleiter ausbreitungsfähig.
• Der Hohlleiter hat die Eigenschaften eines Hochpasses.
fc =
13.3 Wellenlänge im Hohlleiter
2
2
2
2
2
4f
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
⎛m⎞ ⎛n⎞
2
2
Setzt man in die Gleichung ⎜
⎟ + β H = ω εµ für ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = c2 ein,
⎟ +⎜
c0
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
⎝ a ⎠ ⎝b⎠
2π
2
2
gilt endlich
und beachtet, dass ω c = 2πf c gilt, erhält man β H = ω 2 − ω c εµ . Mit β H =
(
nach kürzen durch 2π :
1
λH
2
(
)
λH
)
= f 2 − f c εµ . Um dieses Ergebnis leichter verständlich zu
2
machen, soll der Hohlleiter mit Luft (oder Vakuum) gefüllt sein. Dann ist εµ =
1
c0
2
und es
c0
. Drückt man die Wellenlänge im Hohlleiter λ H
f
aus der Wellenlänge im freien Raum λ0 aus, liefert das
gilt ohne Hohlleiter, im freien Raum λ0 =
λH =
λ0
⎛ f ⎞
1 − ⎜⎜ c ⎟⎟
⎝ f ⎠
2
.
Der Nenner ist für ausbreitungsfähige Wellen stets kleiner als 1.
• Die Wellenlänge im leeren Hohlleiter ist immer größer als die Wellenlänge im leeren
Raum.
13.4 Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter
Allgemein gilt λ = v ph f , wobei vph die Phasengeschwindigkeit und f die Frequenz der Welle ist. Diese Beziehung gilt immer, also auch im Hohlleiter. Setzt man nun die Wellenlänge
im Hohlleiters und die Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter ein, erhält man das scheinbar
verblüffende Ergebnis, dass
v ph = λ H f =
λ0
2
f =
c0
2
⎛f ⎞
⎛f ⎞
1 − ⎜⎜ c ⎟⎟
1 − ⎜⎜ c ⎟⎟
⎝ f ⎠
⎝ f ⎠
• die Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter höher als die Lichtgeschwindigkeit ist.
Der Energie- oder Informationstransport erfolgt nicht mit der Phasengeschwindigkeit der
Welle, sondern mit der Gruppengeschwindigkeit der Welle. Es gilt die Beziehung
2
v ph v g = c0 .
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-101-
13.5 Feldbilder im Rechteckhohlleiter
13.5.1 Hm,n- oder TEm,n-Moden
Bild 130: E-Feld des H10-Modus
Bild 131: E-Feld des H20-Modus
Bild 132: E-Feld des H30-Modus
Bild 133: E-Feld des H01-Modus
Bild 134: E-Feld des H02-Modus
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-102-
Bild 135: E-Feld des H11-Modus
Bild 136: E-Feld des H21-Modus
Bild 137: E-Feld des H22-Modus
13.5.2 Em,n- oder TMm,n-Moden
Bild 138: H-Feld des E11-Modus
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-103-
Bild 139: H-Feld des E21-Modus
Bild 140: H-Feld des E31-Modus
Bild 141: H-Feld des E32-Modus
13.6 Hohlleiter-Bauelemente
13.6.1 Hinterdrehter Flansch
13.6.2 E- und H-Krümmer
13.6.3 Twist, flexible Twist
13.6.4 Richtkoppler
13.6.5 Zirkulator
13.6.6 Isolator
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-104-
14 Antennen
Antennen sind elektromagnetische Wellentypwandler. Sie wandeln leitungsgeführte elektromagnetische Wellen in Freiraumwellen bzw. elektromagnetische Freiraumwellen in leitungsgeführte Wellen um. Betrachtet man die Antenne im Sende- und Empfangsfall, ist theoretisch
kein Unterschied in ihrer Wirkungsweise. Allein auf Grund von hohen Leistungen im Sendebetrieb ist darauf zu achten, dass die auftretenden Ströme in der Antenne verarbeitet werden
können und dass hohe Spannungen nicht zur Funkenbildung führt.
14.1 Kenngrößen von Antennen
⎛ 4πA ⎞
G[ dBi ] = 10 log⎜ 2 ⎟
⎝ λ ⎠
⎛l⎞
G[ dBi ] = 8.1log⎜ ⎟ + 11.4
⎝λ⎠
⎛d⎞
G[ dBi ] = 20 log⎜ ⎟ + 7.3
⎝λ⎠
Yagi-Uda-Antenne
/5/
Parabolantenne
/5/
IEEE microwave magazine for the Microwave & Wireless Engineer, Vol 12, Number 4, 2001,
pp 62 - 73
14.2 Wellenausbreitung
14.2.1 Die Freiraumdämpfung
Bei der Bestimmung der Freiraumdämpfung geht man vom isotropen Strahler aus, der richtungsunabhängig die Sendeleitung PS kugelförmig abstrahlt. Dann erhält man in der Entfernung r die Leistungsdichte
P
⎡W ⎤
T = S2
.....
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
4πr
Dabei wird nicht berücksichtigt, dass das Ausbreitungsmedium verlustbehaftet sein kann. Die
Dämpfung durch atmosphärischen Besonderheiten (Dämpfung durch H2O in Form von Wasserdampf, Nebel oder Regen, die Dämpfung durch die Absorption von O2 und Ähnliches) ist
unberücksichtigt.
Die Empfangsantenne, die auch im ersten Berechnungsschritt ein isotroper Strahler im Abstand r von der Sendeantenne sei, empfängt die Leistung entsprechend ihrer wirksamen Antennenfläche AW und man erhält
P
[W ] .
PE = TAW = S 2 AW .....
4πr
Da die Sendeantenne kein isotroper Strahler ist, muss der Gewinn GS berücksichtigt werden
und es gilt bei in die Hauptstrahlrichtung ausgerichteten Antennen
2
PS G S
PS G S G E λ2
⎛ λ ⎞
[W ]
PE =
AW =
.....
= PS G S G E ⎜
⎟
4πr 2
4πr 2 4π
⎝ 4πr ⎠
wobei λ die Wellenlänge der benutzten Übertragungsfrequenz ist.
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-1052
2
⎛ c ⎞
⎛ λ ⎞
⎜
⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ entspricht dem Kehrwert der Freiaumdämpfung und wird in der Praxis in
⎝ 4πr ⎠
⎝ f 4πr ⎠
dB angegeben, wobei eine Zahlenwertgleichung entsteht, da die Frequenz meistens in GHz
und die Entfernung in km eingesetzt wird. Man erhält
2
⎛ c0
1 ⎛⎜ c 0
1
1 ⎞⎟
1
1 ⎞⎟
⎜
=
=
⎜ 4π 1012 f
⎟
a F ⎜⎝ 4π 10 9 f [GHz ] 10 3 r[ km ] ⎟⎠
[ GHz ] r[ km ] ⎠
⎝
- 10 log a F = 20 log
2
c0
+ 20 log f [GHz ] + 20 log r[ km ]
4π 1012 [ m / s ]
a F [ dB ] = 92.4 + 20 log f [ GHz ] + 20 log r[ km ]
und für die Empfangsleistung gilt
PE[ dBm ] = PS [ dBm ] + G S [ dBi ] + G E [ dBi ] − a F [ dB ]
oder
PE[ dBm ] = PS [ dBm ] + G S [ dBi ] + G E[ dBi ] − 92.4 − 20 log f [ GHz ] − 20 log r[ km ]
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-106-
15 Rauschen
PN = kTB
Ts = Tr + Ta
Ts
Tr
Ta
Rauschleistung
Rauschtemperatur des Systems
Rauschtemperatur des Empfängers (receiver)
Rauschtemperatur der Antenne
⎞
⎛ NF
Tr = 290⎜⎜10 10 − 1⎟⎟ /5/
⎠
⎝
NF
Rauschzahl (noise figure) des Enpfängers
SNR = Pr − Pn = Pt + Gt + L + Gr − Pn
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-107-
16 HF-Anwendungen
16.1 Funknavigation
16.1.1 Peilsender
16.1.1.1 Vorwärts einschneiden
16.1.1.2 Rückwärts einschneiden
16.1.2 Radar
Dämpfung (path loss) /5/
⎛ ηd 2 λ 2 ⎞
⎟ , wobei
L[ dB ] = 10 log⎜⎜
2 4 ⎟
⎝ (16π ) r ⎠
d
Durchmesser des rückstrahlenden Objekts
λ
Wellenlänge des gesendeten Signals
r
Abstand zwischen Sender und Objekt
η
„Wirkungsgrad“ der reflektierenden Fläche
16.1.3 Navstar Global Positioning System (Navstar GPS)
16.1.4 LORAN
16.2 Radio Frequency Identificaction RFID
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-108-
17 Anhänge
17.1 Summensätze
Aus
cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β )
cos(α − β ) = cos(α ) cos( β ) + sin(α ) sin( β )
liefert die Addition
cos(α + β ) + cos(α − β ) = 2 cos(α ) cos( β )
Durch Umformen erhält man schließlich
cos(α ) cos( β ) =
cos(α − β ) + cos(α + β )
.
2
Die Subtraktion liefert
cos(α − β ) − cos(α + β ) = 2 sin(α ) sin( β )
Durch Umformen erhält man schließlich
sin(α ) sin( β ) =
cos(α − β ) − cos(α + β )
2
Aus
sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β )
sin(α − β ) = sin(α ) cos( β ) − cos(α ) sin( β )
liefert die Addition
sin(α + β ) + sin(α − β ) = 2 sin(α ) cos( β )
Durch Umformen erhält man schließlich
sin(α ) cos( β ) =
sin(α − β ) + sin(α + β )
.
2
17.2 Potenzen von cos(x) und sin(x)
Mit Hilfe der komplexen Rechnung und dem binomischen Lehrsatz erhält man
n
⎛ e jx + e − jx ⎞
n
1
1 n ⎛ n⎞
1 n ⎛n⎞
n
⎟⎟ = n e jx + e − jx = n ∑ ⎜⎜ ⎟⎟e jkx e − j (n − k )x = n ∑ ⎜⎜ ⎟⎟e j (2 k − n ) x .
cos ( x) = ⎜⎜
2
2
2 k =0 ⎝ k ⎠
2 k =0 ⎝ k ⎠
⎝
⎠
Ebenso gilt
n
⎛ e − jx + e jx ⎞
n
1
1 n ⎛ n⎞
1 n ⎛n⎞
n
⎟⎟ = n e − jx + e jx = n ∑ ⎜⎜ ⎟⎟e − jkx e j (n − k )x = n ∑ ⎜⎜ ⎟⎟e j (n − 2 k ) x
cos ( x) = ⎜⎜
2
2
2 k =0 ⎝ k ⎠
2 k =0 ⎝ k ⎠
⎝
⎠
cos n ( x) + cos n ( x) =
cos n ( x) =
1
2n
1
2n
(
)
(
)
⎛ n ⎞ j (2 k − n ) x 1
⎜⎜ ⎟⎟e
+ n
∑
2
k =0 ⎝ k ⎠
n
⎛ n ⎞ j (n − 2 k )x
1
⎜⎜ ⎟⎟e
= n
∑
2
k =0 ⎝ k ⎠
n
⎛ n ⎞ e j (n − 2 k ) x + e − j (n − 2 k )x
1
⎜⎜ ⎟⎟
= n
∑
2
2
k =0 ⎝ k ⎠
n
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n
⎛n⎞
k =0
⎝ ⎠
n
⎛n⎞
k =0
⎝ ⎠
∑ ⎜⎜ k ⎟⎟(e (
j n−2k )x
+ e − j (n − 2 k ) x
)
∑ ⎜⎜ k ⎟⎟ cos(n − 2k )x
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-109Allgemein gilt
1 n ⎛n⎞
cos n ( x) = n ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ cos(n − 2k )x .
2 k =0 ⎝ k ⎠
An Hand dieser Gleichung erkennt man, dass bei geradzahligen n nur geradzahlige und bei
ungeraden n nur ungeradzahlige Vielfache von x im Argument auftreten. Weiters kann man
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
⎟⎟ cos((−n + 2) x) + ⎜⎜ ⎟⎟ cos(− nx)
2 n cos n ( x) = ⎜⎜ ⎟⎟ cos(nx) + ⎜⎜ ⎟⎟ cos((n − 2) x) + ... + ⎜⎜
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎟⎟ und cos( x) = cos(− x) gilt, weiter zusammenunter der Berücksichtigung, dass ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝k⎠ ⎝n − k⎠
fassen. Dann gilt für gerades n:
⎛n ⎞
⎛⎛ n⎞ ⎛ n⎞⎞
⎛⎛ n⎞ ⎛ n ⎞⎞
⎜ ⎟
n
n
⎟⎟ ⎟⎟ cos((n − 2) x) + ... + ⎜ n ⎟ =
2 cos ( x) = ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ cos(nx) + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎜ ⎟
⎝⎝ 0 ⎠ ⎝ n⎠⎠
⎝ ⎝1 ⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎠
⎝ 2⎠
⎛n ⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎜ ⎟
= 2⎜⎜ ⎟⎟ cos(nx) + 2⎜⎜ ⎟⎟ cos((n − 2) x) + ... + ⎜ n ⎟
⎜ ⎟
⎝1 ⎠
⎝0⎠
⎝ 2⎠
n
⎛
⎛ n ⎞⎞
1 ⎜ 2 ⎛n⎞
⎜ ⎟⎟
n
cos ( x) = n −1 ⎜ ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ cos((n − 2k ) x) + ⎜ n ⎟ ⎟ für gerades n
2 ⎜ k =0 ⎝ k ⎠
⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
Für ungerades n gilt
⎛⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎞
⎛⎛ n⎞ ⎛ n⎞⎞
⎛⎛ n⎞ ⎛ n ⎞⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎟ ⎜
⎟⎟ ⎟⎟ cos((n − 2) x) + ... + ⎜ ⎜ n − 1 ⎟ + ⎜ n + 1 ⎟ ⎟ cos( x) =
2 cos ( x) = ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ cos(nx) + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
⎟ ⎜
⎜⎜
⎝⎝ 0⎠ ⎝ n⎠⎠
⎝ ⎝1 ⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎠
⎝⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
n
n
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎜
⎟
= 2⎜⎜ ⎟⎟ cos(nx) + 2⎜⎜ ⎟⎟ cos((n − 2) x) + ... + 2⎜ n − 1 ⎟ cos( x)
⎜
⎟
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2 ⎠
cos n ( x) =
1
2 n −1
n −1
2
⎛n⎞
∑ ⎜⎜ k ⎟⎟ cos((n − 2k ) x)
k =0
⎝ ⎠
für ungerades n
17.3 Taylorreihe
17.4 Klirrfaktor
Der Klirrfaktor k beschreibt das quadratische Verhältnis zwischen der Leistung im Störsignal
und der tatsächlich vorhandenen Leistung im Gesamtsignal.
P
k 2 = stör
Pges
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-110-
17.5 Skineffekt
∂D
∂B
, rot E = −
, div D = ρ wa und div B = 0
∂t
∂t
sowie aus den Materialgleichungen S = κ E , D = ε E und B = µ H erhält man für zeitlich
∂
harmonische Vorgänge ( = jω ) rot H = (κ + jωε )E und nach nochmaliger rot-Bildung
∂t
und Multiplikation mit µ : rotrot µ H = rotrot B = µ (κ + jωε )rot E = − jωµ (κ + jωε )B .
Aus den Maxwell-Gleichungen: rot H = S L +
( )
Es gilt rotrot () = graddiv() − ∇ () . (mit Nabla-Operatoren im dreidimensionalen Raum:
2
( )
∇ × ∇ × F = ∇ ∇ F − (∇∇ )F ).
Mit dieser Identität wird die obige Gleichung zu graddiv B − ∇ 2 B = − jωµ (κ + jωε )B , und da
ja die vierte Maxwellgleichung zu erfüllen ist, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
∇ 2 B − jωµ (κ + jωε )B = 0 .
In kartesischen Koordinaten und ohne weitere Einschränkung der Allgemeinheit liefert die
∂2
∂2
∂2
2
Identität ∇ = 2 + 2 + 2 und der Produktansatz B = B 0 e − λx die charakteristische
∂z
∂y
∂x
ωε ⎞
1+ j
⎛
ωµκ ⎜1 + j ⎟ . Für Materialien, in welκ ⎠
2
⎝
chen der Verschiebungsstrom, gegenüber dem Leitungsstrom vernachlässigbar gering ist, gilt
Gleichung λ2 − jωµ (κ + jωε ) = 0 bzw. λ =
λ = (1 + j )
ωµκ
und schließlich B = B 0 e
2
− (1+ j )
δ =
ωµκ
2
2
ωµκ
x
= B 0e
=
− (1+ j )
x
δ
.
1
λ
Aus der Größe der magnetischen Induktion B kann die Leitungsstromdichte S L berechnet
werden. Dazu wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit eine magnetische Induktion nur in
⎛ ∂B z ⎞
⎟
⎜
ex
ey
ez
ex e y ez
⎜ ∂y ⎟
∂
∂
∂
1 ∂
∂
∂
1 ⎜ ∂B ⎟
z-Richtung herangezogen: S L = rot H =
=
= ⎜− z ⎟.
µ ∂x ∂y ∂z µ
∂x
∂x ∂y ∂z
⎜ 0 ⎟
0
0 Bz
Hx H y Hz
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
Da die Induktion in y-Richtung konstant ist, entsteht nur ein Strom in y-Richtung. Seine Dichte ist
x
x
− (1+ j )
− (1+ j )
H 0z
1 ∂B z B0 z
δ
δ
(1 + j )e
(1 + j )e
S Ly ( x) = −
=
=
.
µ ∂x
µδ
δ
Der Leiter sei unendlich dick. Dann liefert die Integration über die Querschnittsfläche den
Strom im Leiter:
x
∞
− (1+ j )
H 0z
δ
(1 + j )w∫ e
I=
dx = H 0 z w
δ
0
x
und man erhält schließlich für die Stromdichte S ly ( x) =
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− (1+ j )
I
(1 + j )e δ
wδ
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-111SρS *
erhält man die Verlustleistung im Leiter.
2
x
x
x
∞
∞
− (1+ j )
− (1− j )
−2
ρ
ρ
ρ
I
I*
II *
*
δ
δ
δ
(1 + j )e
(1 − j )e
P = ∫∫∫ SS dV = wLD ∫
dx = wLD 2 2 ∫ e dx
2 V
2
wδ
wδ
2
wδ 0
0
Aus der Wirkleistungsdichte p =
)
1 * ρLD
I 2 R II * R
2
P = II
. Der Koeffizientenvergleich mit P = U eff I eff = I eff R =
=
liefert
2
2 wδ
2
2
R=
ρLD
2 wδ
Die effektive Querschnittfläche eines unendlich dicken, ebenen, wechselstromdurchflossenen
Leiters ist A.eff = 2wδ .
17.6 Koordinatensysteme
In diesem Abschnitt werden nur dreidimensionale Koordinatensysteme zur Beschreibung der
Lage eines Punktes im Raum betrachtet.
Bild 142: Koordinaten im Raum
17.6.1 Kartesisches Koordinatensystem
Die Lage des Punktes kann durch die Lage des Punktes P’ in der x-y-Ebene und seines Normalabstandes z von dieser Ebene festgelegt werden. Die Einheitsvektoren sind unbeweglich
im Raum angeordnet. Sie haben die Länge 1 und zeigen in die Richtung der Raumachsen.
Wird P’ durch die Achsabstände x und y beschrieben, spricht man von kartesischen Koordinaten. Die Lage des Punktes P kann durch die Koordinatenabschnitte auf der x-Achse, y-Achse
und z-Achse eindeutig angegeben werden.
Schreitet man entlang des Weges s, gilt für ein differentielles
r
r
r
r
• Wegelement
ds = dxe x + dye y + dze z , für ein
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-112•
Flächenelement
r
r
r
r
dA = dxdye z + dxdze y + dydze x und für das
•
Volumenelement
dV = dxdydz .
17.6.2 Zylinderkoordinaten
Wird die Lage des Punktes P’ in der x-y-Ebene durch seinen Abstand vom Ursprung 0P’ und
den Winkel φ beschrieben, spricht man in der x-y-Ebene von Polarkoordinaten. Soll der Punkt
P im Raum definiert werden, muss zum Abstand und Winkel noch die Entfernung von der zy-Ebene herangezogen werden.
17.6.3 Kugelkoordinaten
17.7 Das zweikreisige Bandfilter mit unterschiedlichen Kreisen
17.8 Die Gleichrichtung kleiner Spannungen
17.9 Der Detektorempfänger bei kleinen Signalen
17.10
90°-Phasenschiebernetzwerk für Sprachsignale
Bild 143: 90°-Phasenschieber für den Sprachsignal-Frequenzbereich
Werden die Eingänge in1 und in2 an eine Spannungsquelle mit der Spannung UA angeschlossen, und die Eingänge in3 und in4 an eine Spannungsquelle mit der gleichen Amplitude, aber
um 180° phasenverschoben („invertiert“) verbunden, so ist die Phasenverschiebung zwischen
den Ausgängen out2 und out1 90°, zwischen out3 und out1 180° und zwischen den Ausgängen
out4 und out1 270°.
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-113-
17.11
Kapazität typischer Elektrodenanordnungen
17.11.1
Kugelelektrode
17.11.1.1
C = 4πεr0
Q
ϕ=
4πεr
Einzelne Kugel gegenüber Unendlich
E =
Q
4πεr 2
17.11.1.2
Kugelelektroden in großen Abstand
4πε
C≈
1 1 2
+ −
r1 r2 d
ϕ≈
Q ⎛1
1 ⎞
⎟
⎜ −
4πε ⎝ x d − x ⎠
17.11.1.3
E ≈
Q ⎛ 1
1 ⎞
⎜ 2 +
⎟
4πε ⎜⎝ x
(d − x )2 ⎟⎠
Kugelkondensator
⎛ 1 1 ⎞ 4πεr1 r2
C = 4πε ⎜⎜ − ⎟⎟ =
⎝ r1 r2 ⎠ r2 − r1
Q ⎛ 1 1 ⎞ 4πεr1 r2
⎜ − ⎟=
ϕ=
4πε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ r2 − r1
E =
Q
4πεr 2
17.11.2
Zylinderelektrode
17.11.2.1
Langer koaxialer Zylinderkondensator
17.11.2.2
Langer, nicht koaxialer Zylinderkondensator
17.11.2.3
Koaxialer Zylinderkondensator mit geschichteten Dielektrika
17.11.2.4
Einzelleiter über leitender Ebene
17.11.2.5
Lange Paralleldrahtleitung mit unterschiedlichen Durchmesser
17.11.2.6
Lange Paralleldrahtleitung mit gleichen Durchmesser
17.11.2.7
Endlich langes Drahtstück senkrecht zu leitender Ebene
17.11.2.8
Endlich langes Drahtstück parallel zu einer leitenden Ebene
17.12
Induktivität typischer Leiteranordnungen
17.12.1
Zwei parallele zylindrische Leiter
L=
µ ⎛⎜ ⎛⎜ d ⎞⎟ 1 ⎞⎟
l ln
+
π ⎜⎝ ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 4 ⎟⎠
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-114-
17.12.2
L=
Zwei rechteckige, nahe beieinander liegende Leiter
2µ
b ⎞
⎛
l ln⎜1 +
⎟
π
⎝ b+ h⎠
17.12.3
Lange koaxiale Leiter
µ
⎛ r1 ⎞
µ 3 r2 4 l
µ1
L=
l+
l ln⎜⎜ ⎟⎟ +
8π
8π
⎝ r0 ⎠ 2π r2 2 − r1 2
(
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)
2
(
)(
⎛ ⎛ r2 ⎞ 3r2 2 − r1 2 r2 2 − r1 2
⎜ ln⎜ ⎟ −
4
⎜ ⎜r ⎟
4r2
⎝ ⎝ 1⎠
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)⎞⎟
⎟
⎠
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-115-
17.13
Taschenrechner-Programme am TI-84
In diesem Abschnitt sind einige Programmlistings von hilfreichen Programmen, die am
HP42s, HP48, HP50, TI-84 und TI-nspire entwickelt wurden, zusammengestellt.
17.13.1
Optimale Widerstandswerte bei Serienschaltung
:ClrHome:Disp “OPTIMAL VALUES“:DISP ““
:Input “ R : “,R:0→E:1→I:abs(R)→R
:While R≥10:.1R→R:E+1→E:End
:While R<1:10R→R:E-1→E:End:E→G
:{1,1.2,1.5,1.8,2.2,2.7,3.3,3.9,4.7,5.6,6.8,8.2,10}→L1
:While R≥L1(I):I+1→I:End
:I-1→I:L1(I)→S:R-S→T:100→F
:If T>0:Then
:1→J:While T<1:10T→T:G-1→G:End
:While T≥10:.1T→T:G+1→G:End
:While T≥L1(J):J+1→J:End
:If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End
:L1(J)→T:End
:100((S-R)+T10^(G-E))/R→F:E→D
:S10^E→A:T10^G→B:F→C
:While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E
*)
:I-1→I:If I≤0:Then
:dim(L1)-1→I:D-1→D:End
:L1(I)→S:R-S10^(D-E)→T:E→G
:While T<1 and T>0:10T→T:G-1→G:End
:1→J:While T≥L1(J) and T>0:J+1→J:End
:If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End
:L1(J)→T:100(S10^(D-E)+T10^(G-E))/R-1)→F
:If abs(F)≤abs(C):Then
:F→C:S10^D→A:T10^G→B:End:End
:Output(4,3,“R1 =“):Output(4,8,A)
:Output(5,3,“R2 =“):Output(5,8,B)
:Output(6,3,“F =“):Output(6,8,C)
:Disp ““: Disp ““:Disp ““
Anmerkung: Dieses Programm berechnet jene Widerstandskombination, welche die kleinste
Abweichung zwischen R und R1+R2 aufweist. Ist der Eingabewert bereits ein Wert aus der
Reihe die in L1 gespeichert ist, wird keine Widerstandskombination berechnet. Sind zwei
Kombinationen gleichwertig (z.B. 112Ω = 100Ω + 12Ω = 56 Ω+ 56Ω) wird die Kombination
ausgegeben, bei der die Widerstandswerte am weitesten auseinander liegen. Wird die mit *)
markierten Zeile durch
:While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E
ersetzt, berechnet das Programm die Widerstandskombination, deren Werte möglichst nahe
beieinander liegen. Dabei ist auch die Möglichkeit gegeben, dass beim Sollwert 100Ω die
Werte 82Ω + 12Ω errechnet werden. Die Kombination 82Ω und 12Ω liegt zueinander näher
als 100Ω und 0Ω.
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17.13.2
Optimale Widerstandswerte bei Serien- und Parallelschaltung
:{1,1.2,1.5,1.8,2.2,2.7,3.3,3.9,4.7,5.6,6.8,8.2,10}→L1
:Repeat R>0:
:ClrHome:Disp “OPTIMAL VALUES“
:Input “ R : “,R:End:0→Z
:Repeat Z>1:0→E:1→I
:While R≥10:.1R→R:E+1→E:End
:While R<1:10R→R:E-1→E:End:E→G
:While R≥L1(I):I+1→I:End
:I-1→I:L1(I)→S:R-S→T:1→F
:If T>0:Then
:1→J:While T<1:10T→T:G-1→G:End
:While T≥10:.1T→T:G+1→G:End
:While T≥L1(J):J+1→J:End
:If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End
:L1(J)→T:End
:((S-R)+T10^(G-E))/R→F:E→D
:S10^E→A:T10^G→B:F→C
:While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E
*)
:I-1→I
:If I≤0:Then:dim(L1)-1→I:D-1→D:End
:L1(I)→S:R-S10^(D-E)→T:E→G
:While T<1 and T>0:10T→T:G-1→G:End
:1→J:While T≥L1(J) and T>0:J+1→J:End
:If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End
:L1(J)→T:((S10^(D-E)+T10^(G-E))/R-1)→F
:If abs(F)≤abs(C):Then
:F→C:S10^D→A:T10^G→B:End:End
:If Z:Then
:A-1→A:(B+e-20)-1→B:-C→C
:Output(6,1,“R1P =“):Output(7,1,“R2P =“)
:Output(8,2,“FP =“):Else
:Output(3,1,“R1S =“):Output(4,1,“R2S =“)
:Output(5,2,“FS =“):End
:Output(3+3Z,7,A):Output(4+3Z,7,B)
:Output(5+3Z,7,100C)
:Z+1→Z:(R10^E)-1→R:10L1-1→L1:SortA(L1):End
Anmerkung: Dieses Programm berechnet je eine Widerstandskombination für die optimale
Auswahl zweier Widerstände aus der Normreihe E12 so, dass sowohl bei der Serienschaltung
aus R1S und R2S als auch bei der Parallelschaltung von R1P und R2P die kleinste Abweichung zwischen dem Sollwert R und der jeweiligen Widerstandskombination auftritt. Ist der
Eingabewert bereits ein Wert aus der Reihe E12 die in L1 gespeichert ist, wird keine Widerstandskombination berechnet. Sind zwei Kombinationen gleichwertig (z.B. 112Ω = 100Ω +
12Ω = 56 Ω+ 56Ω) wird die Kombination ausgegeben, bei der die Widerstandswerte am weitesten auseinander liegen. Wird die mit *) markierten Zeile durch
:While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E
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-117ersetzt, berechnet das Programm die Widerstandskombination, deren Werte möglichst nahe
beieinander liegen. Dabei ist auch die Möglichkeit gegeben, dass beim Sollwert 100Ω die
Werte 82Ω + 12Ω errechnet werden. Die Kombination 82Ω und 12Ω liegt zueinander näher
als 100Ω und 0Ω.
Da die Anzeige am Taschenrechner im Programmausdruck zwischen Speicherplatz E und
dem Befehl Enter Exponent E (mit der Tastenbeschriftung EE) nur durch die Schriftgröße
unterscheidet, ist es unumgänglich, die Programmzeile
:A-1→A:(B+e-20)-1→B:-C→C
näher zu erläutern. Die Sequenz e-20 bedeutet die Tastenfolge EE (-) 2 0 und bedeutet
die Zahl 10-20.
17.13.3
Einlagige Zylinderspule
:ClrHome:Disp “SINGLE LAYER COIL“:Disp““
:Input ”D CORE(MM):”,D:Input ”LENGTH(MM): ”,E
:Input ”D Wire(MM):”,F:Input ”WINDGS
: ”,N
:Disp ””:E/N-F→A
:If A<0:Then
:Output(6,1,”MISSING SPACE”)
:Else
:Output(6,1,”GAP =”):Output(6,8,A)
:D+F→X:2.18N2X/(2.2E/X+1)→L
:Output(7,1,”L0(NH)= ”):Output(7,8,L)
:A/X→X:((-.02211X+.3463)X-.3981)N(D+F)→Y
:(Y+L)e-9→L
:Output(7,1,” L(NH)=”):Output(6,8,Le9)
17.13.4
Einlagige Flachspule
:ClrHome:Disp ”FLAT SPIRAL COIL”:Disp ””
:Input ”DOUT(MM):”,D:Input ”PITCH(MM):”,S
:Input ”WINDGS
:”, N:Disp ””
:2.15e-9N2(D-NS)2/(D+1.72NS)→L
:Output(6,1,”L(NH) =”):Output(6,8,Le-9)
17.13.5
Einlagige Rechteckspule
:ClrHome:Disp ”RECTANGULAR COIL”:Disp ””
:Input ”A(M) : ”, A:Input ”B(M) : ”,B:Input ”D(M) : ”, D
:.7788D/2→G:(Aln(2AB/G/(√(A2+B2)+A))+Bln(2AB/G(√(A2+B2)+B))+
2(√(A2+B2)-A-B+G))4e-7→L
:Disp ””:Disp ””
:Output(7,1,”L(H) =”):Output(7,8,L)
17.13.6
Komplexe Π-T-Transformation
:ClrHome:Disp ”
PI TO T”
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-118:Input ”Z12:”,A:Input ”Z13:”,B:Input ”Z23:”,C
:Disp ””:Disp ””
:Output(5,1”Z1 =”):Output(5,5,AB/(A+B+C))
:Output(6,1,”Z2 =”):Output(6,5,AC/(A+B+C))
:Output(7,1,”Z3 =”):Output(7,5,BC/(A+B+C))
17.13.7
Komplexe T-π-Transformation
:ClrHome:Disp ”
T TO PI”
:Input ”Z1 :”,A:Input ”Z2 :”,B:Input ”Z3 :”,C
:Disp ””:Disp ””
:Output(5,1,”Z12=”):Output(5,5,A+B+AB/C)
:Output(6,1,”Z13=”):Output(6,5,A+C+AC/B)
:Output(7,1,”Z23=”):Output(7,5,B+C+BC/A)
17.13.8
Duale Impedanz
:ClrHome:Disp ” DUAL IMPEANCE”:Disp C
:Input ”Z :”,A:Output(5,1,”ZD =”)
:If abs(A)=0:Then:Output(5,5,”INFINITE”):Stop:End
:If real(A)imag(A)=0:Then:Output(5,5,A):Stop:End
:Output(5,5, abs(A)2(real(A)-1+i/imag(A)))
17.13.9
Transformation von Zl nach Zin mit L und C
:ClrHome:Disp ”MATCH ZL WITH LC”:0→C
:Input ” ZL : ”,A:Input ”ZIN : ”,B
:If real(A)real(B)=0:Then
:Output(5,2,”NOT REALIZABLE”):Stop:End
:Lbl 01
:(imag(A)real(B))2-abs(A)2(real(B)-real(A))real(B)→D
:If D<0:Then
:conj(A)→D:conj(B)→A:D→B:1→C:Goto 01:
:If real(A)=real(B):Then
:1e99→Q:Q→R:imag(B-A)→S:S→T
:Else
:(-imag(A)real(B)+√(D))/real(B-A)→Q
:(-imag(A)real(B)-√(D))/real(B-A)→R
:imag(B)-Q+real(B)/real(A)(imag(A)+Q)→S
:imag(B)-Q+real(B)/real(A)(imag(A)+R)→T:End
:Disp ““:Disp““ :Disp ““:Disp““
:If C=1:Then:conj(A)→C:conj(B)→A:C→B
:Output(3,1,”XS1=”):Output(3,5,S)
:Output(4,1,”XQ1=”):Output(4,5,Q)
:Output(5,1,”XS2=”):Output(5,5,T)
:Output(6,1,”XQ2=”):Output(6,5,R)
:Else
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-119:Output(4,1,”XS1=”):Output(4,5,S)
:Output(3,1,”XQ1=”):Output(3,5,Q)
:Output(6,1,”XS2=”):Output(6,5,T)
:Output(5,1,”XQ2=”):Output(5,5,R):End
:Output(7,1,”ZIN=”)
:Output(2,1,”ZL =”):Output(2,5,A)
17.13.10
Transformation von Zl nach Zin mit einer Leitung
:ClrHome:Disp ”MATCH ZL TO ZIN”:Disp ””
:Input ” ZL : ”,B:Input ”ZIN : ”,A
:Disp ””:Disp ””
:If real(A-B):Then:imag(AB)→D
:√(real(AB)-Dimag(A-B)/real(A-B))→C
:If imag(C)=0:Then
:Output(5,1,” ZW =”):Output(5,8,C)
:If D=0:Then:.25→D
:Else:tan-1(Creal(A-B)/D)/(8tan-1(1))→D:End
:While D<0:D+.5→D:End
:While D≥.5:D-.5→D:End
:Output(6,1,”L/LAM=”):Output(6,8,D)
:Else:Output(6,1,”CANT BE MATCHED”):End
:Else:Output(6,1,” MAKE RIN ≠ RL”):End
17.13.11
Mikrostrip-Analyse und Synthese
:ClrHome:Disp ”MICROSTRIP-LINE”:Disp ””
:Menue(””,”ANALYSE”,1,”SYNTHESE”,2)
:Lbl 1:
:Input ”
W : ”,W:Input ”
H : ”,H
:Input ”
T : ”,T:Input ” E,R : ”,E
:T+1E-9→T:W/H→V
:If >V>2-1π-1:Then:V+T(1+ln(2H/T)/πH)→V
:Else:V+T(1+ln(4πW/T)/(πH)→V:End
:If V≤1:Then:(E+1+(E-1)(1/√1+12/V)+.04(1-V)2))/2→F
:60ln(8/V+V/4)/√(F)→Z
:Else
:(E+1+(E-1)(1/√1+12/V))/2→F
:120π/(√(F)*(v+1.393+.667ln(V+1.444)))→Z:End
:Output(6,1,”E,EFF =”):Output(6,9,F)
:Output(7,1,”
ZW =”):Output(7,9,Z)
:Goto 3
:Lbl 2
:Input ”
ZW : ”,Z:Input ” E,R : ”,E
:Input ”
T : ”,T:Input ”
H : ”,H
:T+1E-9→T:Z/60√((E+1)/2)+(E-1)/(E+1)(.23+.11/E)→A
:8e^(A)/(e^(2A)-2)→V
:If V>2:Then:60π2/(Z√(E))→B
:2(B-1-ln(2B-1)+(E-1)/(2E)(ln(B-1)+.39-.61/E))/π→V
Hochfrequenztechnik - ENTWURF
05.11.2011
© Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling
-120:End
:If 2πV>1:Then:V-T(1+ln(2H/T)/π/H→V
:Else:V-T(1+ln(4πW/T)/π/H→V:End
:VH→W
:Output(6,1,” W/H =”):Output(6,9,V)
:Output(7,1,”
W =”):Output(7,9,W)
:Lbl 3
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05.11.2011
© Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling
-121-
18 Literaturverzeichnis
(1) E. Philippow: Taschenbuch Elektrotechnik, VEB Verlag Technik Berlin, 1976
(2) J. Detlevsen, U. Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik, 3. Auflage, OldenburgVerlag, München, 2009
(3) G. Gonzales: Microwave Transistor Amplifiers, Analysis and Design, Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, N.J. 07632, 1984
(4) Pieter L.D. Abrie: The Design of Impedance - Matching Networks for RadioFrequency and Microwave Amplifiers, Artech House, Inc., 610 Washington Street,
Dedham, MA 02026, 1985.
(5) Allen Katz, Marc Franco: „Targeting the Moon“, IEEE Microwave Magazine for the
Microwave & Wireless Engineer, Vol. 12, Number 4, 2011, pp 62 - 73
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