Particle-in-Cell Simulation von Elektronenstrahlen

Particle-in-Cell Simulation von
Elektronenstrahlen und Laserpulsen in
relativistischen Plasmen
von
Sebastian Gomm
Diplomarbeit in Physik
vorgelegt der
Fakultät für Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften
der RWTH Aachen
im Juni 2010
angefertigt im
Institut für Theoretische Physik A
Lehr- und Forschungsgebiet Laserphysik
Prof. Dr. H.-J. Kull
Danksagung:
An dieser Stelle bedanke ich mich bei allen Personen, die mir während der Diplomarbeit
und während des Studiums eine große Hilfe waren:
• Herr Prof. H.-J. Kull für die hervorragende Betreuung,
• Herr Prof. H. Schoeller für die Übernahme des Zweitgutachtens,
• meiner Freundin Evelin für das Korrekturlesen,
• und ganz besonders meinen Eltern für die Ermöglichung meines Studiums.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
1.1
Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Theorie
2.1
2.2
5
Kinetische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Liouville-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Reduzierte Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Vlasov-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Elektrostatische Plasmaschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
Linearisierte Vlasov-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Plasmaschwingungen im kalten Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.3
Plasmaschwingungen im thermischen Plasma . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.4
Landau-Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.5
Nichtlineare Landau-Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Flüssigkeitsbeschreibung des Plasmas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.1
Dimensionslose Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.2
Die ponderomotorische Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4.3
Plasmawellen im linearen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.4
Erzeugung von Plasmawellen im nichtlinearen Fall . . . . . . . . . . .
21
2.4.5
Eigenschaften der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen . . . .
24
Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.5
3 Numerik
3.1
3.2
32
Konzeption von Particle-in-Cell Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.1
Einführung von Simulationsteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.2
Einführung des räumlichen Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.3
Die Lösung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1.4
Überblick des PIC-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Der verwendete Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.1
Grundlegende Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.2
Räumliche und zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1
39
3.2.3
Stromdichten auf dem räumlichen Gitter . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.4
Lösung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.5
Lösung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.6
Erweiterungen der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4 Untersuchung von thermischen Plasmen
48
4.1
Die Bohm-Gross-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2
Landau-Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
55
5.1
Amplitude der angeregten Plasmawellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.2
Untersuchung der Plasmawellenerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.2.1
Numerische Lösung im Rahmen des Flüssigkeitsmodells
. . . . . . .
61
5.2.2
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2.3
Interpretation der Untersuchung der Plasmawellen . . . . . . . . . . .
66
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
68
6.1
Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
6.2
Beschleunigung eines externen Elektronenstrahls . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.3
Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
7 Zusammenfassung und Ausblick
83
A Die Laplace-Transformation
86
B Herleitungen für die nichtlineare Plasmawelle
86
B.1 Herleitung der Gleichungen (2.75) - (2.78) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
B.2 Herleitung der Poisson-Gleichung (2.81) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
C Herleitungen des verwendeten Algorithmus
90
C.1 Berechnung der y-Komponente der Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . .
90
C.2 Lösung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
1
1
1.1
Einleitung
Stand der Forschung
Im Jahr 1979 schlugen Tajima und Dawson zum ersten Mal vor, Plasmawellen zur Beschleunigung von Teilchen zu nutzen [1]. Diese sollten durch die nichtlineare ponderomotorische Kraft von hochintensiven Laserpulsen erzeugt werden. Die ponderomotorische Kraft
kann als der Lichtdruck des Laserpulses interpretiert werden, welcher die Plasmaelektronen zu
nichtlinearen Oszillationen anregt. Die Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses im Plasma
bestimmt die Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle, welche auch als plasma wakefield bezeichnet wird, und in unterdichten Plasmen fast der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Dadurch
erfahren die Elektronen, die sich mit der Plasmawelle mitbewegen, ein nahezu konstantes,
elektrostatisches Feld in dem sie beschleunigt werden. Dabei können Beschleunigungsfeldstärken von über 100 GV/m erreicht werden. Zum Vergleich, herkömmliche Linearbeschleuniger
erreichen nur Beschleunigungsgradienten von maximal ∼ 100 MV/m.
Für die Erzeugung von Plasmawellen mit diesen hohen Beschleunigungsgradienten werden jedoch sehr hohe Laserintensitäten von I ≥ 1018 W/cm2 bei Pulslängen von unter einer
Pikosekunde (10−12 s) benötigt. Diese technologischen Möglichkeiten standen Anfang der
1980er Jahren noch nicht zur Verfügung. Im Jahr 1985 gelang Strickland und Mourou
erstmals die Erzeugung von sehr hohen Laserintensitäten für kurze Pulse. Dabei wird ein
ursprünglich kurzer Laserpuls gestreckt, danach verstärkt und anschließend wieder komprimiert. Dieses Verfahren ist unter chirped laser amplification (CPA) [2] bekannt. Erst diese Weiterentwicklung des Lasers legte den Grundstein für die Erzeugung von Laserpulsen,
die dem Anforderungsprofil der laserbasierten Plasmawellenerzeugung genügten. Heutzutage
möglich sind Intensitäten von mehr als 1023 W/cm2 bei Pulslängen im Femtosekundenbereich
[3]. Mit diesen neuen technischen Möglichkeiten nahm auch das Forschungsinteresse für die
plasmawellenbasierte Elektronenbeschleunigung stark zu, so dass heutzutage weltweit theoretische und experimentelle Forschung auf diesem Gebiet betrieben wird.
Aufgrund der hohen Intensitäten spielen zum einen relativistische Effekte eine Rolle und
zum anderen muss die Laser-Plasma-Wechselwirkung durch eine nichtlineare Theorie beschrieben werden. Aus diesem Grund sind Computersimulationen erforderlich, deren Ergebnisse zum Vergleich mit theoretischen Modellen und Experimenten herangezogen werden. Als
1 Einleitung
2
zuverlässige Simulationsmethode für Plasmen hat sich der Particle-in-Cell (PIC) Algorithmus bewährt, wobei besonders Arbeiten von Buneman, Dawson, Hockney, Birdsall
und Langdon in den 1950er und 1960er Jahren zu dessen Entwicklung beigetragen haben
[4, 5, 6]. Der PIC-Algorithmus ist eine numerische Methode für die Simulation von idealen
stoßfreien Plasmen, die im Rahmen der Vlasov-Maxwell-Gleichungen beschrieben werden. Er wird häufig zur Untersuchung der Wechselwirkung von Licht- und Teilchenstrahlen
mit stoßfreien Plasmen verwendet. Mit den heutzutage zur Verfügung stehenden Rechenkapazitäten ist es möglich, dreidimensionale Problemstellungen zu untersuchen [7, 8, 9].
Die Erzeugung der Plasmawellen durch Laserpulse kann durch verschiedene Methoden
geschehen. Die erste Möglichkeit ist die Erzeugung durch einen einzelnen, hochintensiven Laserpuls mit einer Länge im Femtosekundenbereich [1, 10]. Die Anregung der Plasmawelle ist
für Pulslängen L ∼ λP W optimal, wobei λP W die Plasmawellenlänge angibt. Diese Methode
wird als laser wakefield acceleration (LWFA) bezeichnet. Eine Variation dieses Prinzips ist
die selbstmodulierte LWFA bei dem eine Pulslänge > λP W gewählt wird. Durch die Schwankungen der Plasmadichte, die durch die ponderomotorische Kraft verursacht werden, kommt
es für sehr hohe Intensitäten lokal zu verschiedenen Gruppengeschwindigkeiten
vg =
q
1 − ωp2 /ω 2 ,
(1.1)
p
mit der Plasmafrequenz ωp = 4πe2 ne /me für ein Elektronenplasma der Dichte ne , da diese
eine direkte Dichteabhängigkeit aufweist. Aus diesem Grund kommt es nach einer längeren
Propagationsstrecke im Plasma zu einer Aufteilung des langen Pulses in einen Zug von kurzen Laserpulsen, welches als Selbstmodulation bezeichnet wird [11, 12]. Des Weiteren sind
diese kurzen Laserpulse komprimiert, wodurch sie höhere Intensitäten erreichen. Die Vorzüge der selbstmodulierten LWFA liegen darin, dass die Bedingung L ∼ λP W nicht erfüllt
werden muss, und dass, verglichen zur LWFA, durch die Laserpulskompression bei gleicher
Ausgangsintensität des Lasers höhere Plasmawellenamplituden erreicht werden können. Eine
Alternative zu den oben genannten Methoden ist die plasma beat wave acceleration (PBWA).
Dabei wird die Plasmawelle durch zwei lange Laserpulse mit verschiedenen Frequenzen ω1
und ω2 erzeugt, die genau die Resonanzbedingung ∆ω = ω2 − ω1 ≈ ωp erfüllen. Durch diese
Wahl der Laserfrequenzen entsteht eine Resonanz in der ponderomotorischen Kraft, welche
die nichtlineare Plasmawelle verursacht [13, 14]. Die Benutzung der PBWA wurde deshalb
vorgeschlagen, weil die Erzeugung von ultrakurzen, hochintensiven Laserpulsen, wie sie für
die LWFA benötigt werden, vor der Entwicklung der CPA nicht möglich war. Dieses Prinzip
1.2 Ziel der Arbeit
3
kann optimiert werden, indem eine ganze Folge von kurzen Laserpulsen zur Plasmawellenerzeugung verwendet wird, um noch größere Plasmwellenamplitude zu erreichen [15].
Die ersten experimentellen Resultate ab 1995 zeigten, dass hohe Beschleunigungsfeldstärken von mehr als 100 GV/m erzeugt werden können, wodurch maximale Elektronenenergien
von mehr als 100 MeV erreicht wurden. Jedoch ergab sich eine Verteilung der Elektronenenergien über das ganze Spektrum. Diese schlechten Eigenschaften des Elektronenstrahls würden
eine Anwendung als mögliche neue Elektronenquelle nicht zu lassen. Der Durchbruch zu relativ monoenergetischen Strahlen gelang im Jahr 2004, in dem es drei Arbeitsgruppen gelungen
ist, Elektronen auf ∼100 MeV zu beschleunigen, wobei deren Energieverteilung nur eine Breite von einigen Prozent aufwies [16, 17, 18]. Durch weitere Experimente konnten im Jahr 2006
Elektronen sogar auf Energien von 1 GeV beschleunigt werden mit einer Energiebreite von
nur 10% [19].
1.2
Ziel der Arbeit
Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Wechselwirkung zwischen hochintensiver Laserstrahlung und underdichten Plasmen mit Hilfe einer relativistischen, elektromagnetischen
eindimensionalen PIC-Simulation. Der Fokus liegt dabei insbesondere auf der Erzeugung von
nichtlinearen Plasmawellen durch das Prinzip der laser wakefield acceleration (LWFA) und
deren Nutzen zur Teilchenbeschleunigung. Des Weiteren sollen die nötigen Erweiterungen des
Algorithmus entwickelt werden, um diese Vorgänge simulieren und analysieren zu können.
Eine weitere Motivation bildet die Frage, ob sich die bisherigen theoretischen Überlegungen mit den Simulationsergebnissen vereinbaren lassen und inwiefern die Einkopplung der
Elektronen in die Plasmawellen optimiert werden kann, um durch die Beschleunigung maximale Elektronenenergien mit guter Strahlqualität erreichen zu können. Außerdem soll die
Funktionalität des am Institut entwickelten PIC-Algorithmus durch die Simulation von kinetischen Effekten in thermischen Plasmen, wie zum Beispiel der Landau-Dämpfung von
Plasmawellen, untersucht werden.
In Kapitel 2 wird zuerst die Vlasov-Theorie erläutert, um aus ihr die thermischen Effekte abzuleiten, mit denen die Genauigkeit des PIC-Algorithmus überprüft wird. Im weiteren
Verlauf dieses Kapitels wird die ponderomotorische Kraft erläutert, welche die Grundlage
für das hier vorgestellte theoretische Modell der nichtlinearen Plasmawellenerzeugung bildet.
Zuletzt wird die Bewegung eines Teilchens im Potential einer Plasmawelle betrachtet, um
aus ihr Vorhersagen über die maximalen Beschleunigungsenergien zu erhalten. Das Kapitel
1 Einleitung
4
3 gibt einen Überblick über das allgemeine Funktionsprinzip der PIC-Simulation, sowie eine
Erläuterung des hier verwendeten Algorithmus. In Kapitel 4 werden die Resultate der Simulation von elektrostatischen Wellen in thermischen Plasmen vorgestellt und mit der Theorie
verglichen. Die genaue Untersuchung der Plasmawellenerzeugung erfolgt in Kapitel 5, wobei
hier auch Vergleiche mit einem einfachen Flüssigkeitsmodell gezogen werden. Die Ergebnisse
der Simulation der Elektronenbeschleunigung werden in Kapitel 6 präsentiert und mit den
theoretischen Vorhersagen verglichen.
Besonders hervorgehoben werden soll an dieser Stelle die Größe
α=
ωp2
,
ω2
(1.2)
wobei ω die Laserfrequenz im Vakuum ist. Elektromagnetische Wellen können sich nur in
Plasmen ausbreiten, wenn ihre Frequenz ω größer als die Plasmafrequenz ωp ist. Die kritische
Dichte wird für ω = ωp definiert und lautet damit:
nkr =
1021 1
me ω 2
≈
.
4πe2
λ2 [µm] cm3
(1.3)
Somit kann es nur für Plasmadichten ne , die kleiner sind als die kritische Dichte des Plasmas,
zu einer Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen kommen. Die Größe α kann dadurch
geschrieben werden als:
ωp2
4πe2 ne
ne
α= 2 =
=
.
(1.4)
2
ω
me ω
nkr
Der Parameter α spielt in der Simulation ein zentrale Rolle und gibt das Verhältnis der Dichte
des simulierten Plasmas zur kritischen Dichte an.
5
2
Theorie
2.1
Kinetische Theorie
In der klassischen Mechanik kann ein N -Teilchen-System durch einen Punkt im 6N -dimensionalen Phasenraum dargestellt werden. Dabei bezeichnen xi und pi die Orts- bzw. Impulskoordinaten des i-ten Teilchens und Γi = d3 xi d3 pi das Phasenraumvolumenelement des i-ten
Teilchens. Die Zeitentwicklung gehorcht den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen,
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
,
∂qi
(2.1)
mit der Hamilton-Funktion H.
2.1.1
Liouville-Gleichung
Nach dem Liouville-Theorem kann das klassische N -Teilchen-System auch durch ein Ensemble von Zuständen im 6N -dimensionalen Phasenraum dargestellt werden. Dazu beschreibt
die Liouville-Funktion,
fN (x, p)
mit x =(x1 ...xN ), p =(p1 ...pN ),
(2.2)
eine Wahrscheinlichkeitsdichte, die über dem Phasenraum definiert ist [20]. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte fN gilt die Liouville-Gleichung
d
fN = 0
dt
N
X
∂
d
∂
∂
+ q̇i ·
,
mit
=
+
ṗi ·
dt
∂t i=1
∂pi
∂qi
(2.3)
aus welcher sofort die Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte entlang der Bahn eines Systems folgt. Dabei wird beim rechten Ausdruck in (2.3) verwendet, dass das Strömungsfeld
im Phasenraum nach (2.1) divergenzfrei ist. Der makroskopische Erwartungswert einer Observablen A(x, p) im Ensemble ist gegeben durch
ˆ
hA (t)i =
dΓ A(x, p)fN (x, p, t).
(2.4)
Es gibt jedoch auch Größen wie Entropie und Temperatur, die wesentliche Eigenschaften des
Ensembles beschreiben und somit nicht als Erwartungswert einer Observablen gemäß (2.4)
2 Theorie
6
definiert werden können.
2.1.2
Reduzierte Verteilungsfunktion
Sei AS eine S-Teilchen-Observable, die nur von den Phasenraumkoordinaten x1 . . . xS und
p1 . . . pS abhängt, so kann ihr Erwartungswert über die reduzierte S-Teilchen-Verteilungsfunktion berechnet werden, welche insbesondere nur von den Koordinaten der S Teilchen
abhängt. Aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen ist die Liouville-Funktion symmetrisch unter Vertauschung der Teilchenkoordinaten. Somit erhält man unter Berücksichtigung aller Permutationen die S-Teilchen-Verteilungsfunktion,
N!
fS (x1 . . . xS , p1 . . . pS , t) =
(N − S)!
ˆ
dΓS+1 . . . dΓN fN (x, p, t),
(2.5)
mit welcher sich der Erwartungswert der S-Teilchen-Observable über
ˆ
hA(t)i =
dΓ1 . . . dΓS fS A(x1 . . . xS , p1 . . . pS )
(2.6)
berechnen läßt. Insbesondere ist der Impuls p eine 1-Teilchen-Größe und das CoulombP
qi qj
Potential V = N
i<j |xi −xj | eine 2-Teilchen-Größe [21]. Durch die Benutzung der S-TeilchenVerteilungsfunktion zur Berechnung des Erwartungswertes hA (t)i vereinfacht sich die Rechnung aber nicht, da die Zeitentwicklung der Verteilungsfunktion fS (t) von fS+1 (t) abhängt
und fS+1 (t) wiederum von fS+2 (t) usw. Dieses gekoppelte Gleichungssystem für die Zeitentwicklung aller reduzierten Verteilungsfunktionen wird als BBGKY 1 -Hierarchie bezeichnet
[22].
2.1.3
Vlasov-Gleichung
Die kinetische Theorie befasst sich mit der Zeitentwicklung der 1-Teilchen-Verteilungsfunktion.
Im Allgemeinen besitzt die kinetische Gleichung für die Teilchensorte j die Form,
p ∂
∂
∂
fj +
·
fj + ṗ· fj = St fj ,
∂t
m ∂x
∂p
(2.7)
wobei St fj als Stoßterm bezeichnet wird und die Teilchenkorrelationen beschreibt. Im Folgenden wird nur die Dynamik der Elektronen betrachtet, d.h. fj = fe = f , da aufgrund
1
nach Born, Bogoljubov, Green, Kirkwood und Yvon
2.1 Kinetische Theorie
7
der höheren Masse der Ionen für die charakteristischen Schwingungsfrequenzen ωpe ωpi
gilt. Deswegen findet die Dynamik der Ionen auf viel größeren Zeitskalen statt und kann
vernachlässigt werden. Prinzipiell können die folgenden Herleitungen aber auch für beliebige
Teilchensorten analog durchgeführt werden.
Die Besonderheit des Plasmas gegenüber neutralen Teilchen besteht darin, dass es aufgrund der langreichweitigen Coulomb-Wechselwirkung auch bei großen Stoßparametern eine
merkliche Änderung der Teilchenbewegung gibt. Die Abschirmung der Coulomb-Kräfte
geq
Te
schieht erst bei Abständen von der Größenordnung der Debye-Länge ∼ λD = 4πn0 e2 mit
der Elektronentemperatur Te , der Elektronendichte im Gleichgewicht n0 und der Elementarladung e, welche gegenüber dem mittleren Teilchenabstand groß ist. Somit führen nur
Stöße, also direkte 2-Teilchen-Wechselwirkungen, mit einem kleinem Stoßparameter (< λD )
zu einer Relaxation in den Gleichgewichtszustand und zu einem Anwachsen der Entropie. Bei
Wechselwirkungen mit großen Stoßparametern (& λD ) sind viele Teilchen beteiligt, so dass
man von einem kollektiven Effekt spricht. Das effektive Feld, welches diese Wechselwirkungen
beschreibt, besitzt in diesem Fall einen makroskopischen Charakter. Diese Prozesse führen
nicht zum Anwachsen der Entropie, besitzen somit keinen Zufallscharakter und dürfen daher
nicht als Stöße betrachtet werden. Dadurch muss die Teilchenbewegung für große Stoßparameter als die Bewegung der Teilchen im mittleren Feld E und B aller anderen Teilchen beschrieben werden. Da die Aufenthaltsorte der Teilchen nicht ausgezeichnet sind, können diese
Felder im Sinne der makroskopischen Elektrodynamik verstanden werden [20]. In stoßfreien
Plasmen, d.h. Vernachlässigung der Teilchenkorrelation für kleine Stoßparameter, kann die 2Teilchen-Verteilungsfunktion als Produkt von 1-Teilchen-Verteilungsfunktionen angenommen
werden [21]:
f (x1 , x2 , p1 , p2 ) = f (x1 , p1 ) f (x2 , p2 )
(2.8)
Im Allgemeinen kann diese Näherung gemacht werden, wenn die mittlere freie Flugzeit der
Teilchen zwischen zwei Stößen viel größer ist als die charakteristische Zeit, auf der sich die makroskopischen Felder E und B ändern. In diesem Fall ist der Stoßterm St f klein im Vergleich
zur Änderung der Verteilungsfunktion ∂f /∂t und das Plasma kann als stoßfrei angenommen
werden. Durch (2.8) erhält man für die 1-Teilchenverteilungsfunktion die Vlasov-Gleichung:
p ∂
∂
∂
f+
·
f + ṗ ·
f =0
∂t
m ∂x
∂p
(2.9)
2 Theorie
8
p
Die Kraft ṗ in (2.9) wird durch die Lorentzkraft F = ṗ = q(E + cm
× B) bestimmt, die
durch die gemittelten Felder gegeben ist. Außerdem ist die Entropie im Rahmen der VlasovTheorie eine Erhaltungsgröße. Zusammen mit den Maxwell-Gleichungen für die gemittelten
Felder,
1 ∂B
,
∇ · E = 4π%,
c ∂t
(2.10)
1 ∂E 4π
∇×B=
+
j,
∇ · B = 0,
c ∂t
c
und den Ladungs- und Stromdichten, die aus einem Ionenanteil i und dem über die Verteilungsfunktion gemittelten Elektronenanteil bestehen,
∇×E=−
ˆ
% = %i − e
j = ji − e
d3 p f (x, p, t),
ˆ
p
d p f (x, p, t),
m
(2.11)
3
bildet (2.9) ein gekoppeltes Gleichungssystem, das die Verteilungsfunktion f (x, p, t) und die
Felder E und B bestimmt. Dieses Gleichungssystem ist unter der Bezeichnung VlasovMaxwell-Gleichungen bekannt.
2.2
Elektrostatische Plasmaschwingungen
2.2.1
Linearisierte Vlasov-Gleichung
Bei schwachen Feldern kann die Vlasov-Gleichung für kleine Störungen einer Gleichgewichtslösung vereinfacht werden. Dazu wird die Abweichung vom Gleichgewicht durch den
Ansatz f (x, p, t) = f0 (p) + f1 (x, p, t) für die Verteilungsfunktion der Elektronen und mit
Φ(p, t) = Φ0 + Φ1 (p, t) für das Potential beschrieben, wobei f0 die räumlich homogene und
isotrope stationäre Gleichgewichtsverteilungsfunktion bezeichnet und φ0 = 0 das konstante
Potential im Gleichgewicht beschreibt. Durch Vernachlässigung der Terme von quadratischer
Ordnung erhält man mit (2.9) und (2.10):
∂f1
p ∂f1
∂f0
+
·
− q∇Φ1 ·
= 0,
∂t
m ∂x
∂p
ˆ
4φ1 = −4πq d3 p f1 .
(2.12)
2.2 Elektrostatische Plasmaschwingungen
9
Aufgrund der Isotropie der Verteilungsfunktion f0 (p) = f0 (|p|) ist die Richtung der Ableitung ∂p f0 parallel zu p, weshalb das Skalarprodukt mit m1 p × B verschwindet. Für die
räumliche Störung kann der Ansatz f1 , Φ1 ∼ eik·x gemacht werden. In der Zeitentwicklung
kann die Plasmaschwingung nicht als ungedämpft angenommen werden, weswegen keine periodische Störung in der Zeit angesetzt werden darf, um (2.12) zu lösen. Stattdessen kann das
Anfangswertproblem f1 (t = 0) = f 0 mit Hilfe der Definition der Laplace-Transformation
aus Anhang A gelöst werden und man erhält:
S(ω, k)
,
D(ω, k)
ˆ
4πq
f0
3
mit S(ω, k) = 2
,
dp
k
ω−k·v
ˆ
4πq 2
k
∂f0
D(ω, k) = 1 + 2
·
,
d3 p
k
∂p ω − k · v
Φ̂1 = i
(2.13)
C
mit ω = ωr + iωi , S(ω, k), D(ω, k) ∈ C. S(ω, k) bezeichnet den Quellterm der Störung,
der vom Anfangswert abhängt und D(ω, k) ist die Dispersionsfunktion des Plasmas. Der
Integrationsweg C ist nach der von L. D. Landau aufgestellten Regel zur Umgehung der
Pole (1946) [20] so zu wählen, dass die Polstelle bei ω = k · v umgangen wird. Durch die
Definition der Laplace-Transformation dürfen keine Polstellen von D(ω, k) in der oberen
Halbebene liegen. Der Integrationsweg C wird deswegen so gewählt, dass die Singularität
in der unteren Halbebene von unten umgangen wird. Die Gleichungen (2.13) können im
p
und
magnetfeldfreien Fall auch bezüglich der Geschwindigkeit durch die Substitution v = m
∂v = m∂p ausgedrückt werden.
2.2.2
Plasmaschwingungen im kalten Plasma
Für kalte Plasmen kann die Maxwellsche Gleichgewichtsverteilung durch f0 = n0 δ (v)
ausgedrückt werden. Mit den Gleichungen (2.13) erhält man durch partielle Integration die
Dispersionsfunktion:
ωp2
4πq 2 n0
D(ω, k) = 1 − 2
mit ωp2 =
,
(2.14)
ω
me
wobei ωp die Plasmafrequenz bezeichnet. Die Dispersionsfunktion besitzt einfache Nullstellen bei ω = ±ωp , d.h. kleine Störungen schwingen ungedämpft mit der Plasmafrequenz.
Bei großen Amplituden der Plasmawelle kommt es zum Wellenbrechen. Um diesen Effekt
anschaulich herzuleiten, kann im Rahmen eines Flüssigkeitsmodells, welches auch für nicht-
2 Theorie
10
lineare Schwingungen gültig ist, eine Abbildung
a → x(a, t) = a + ξ(a, t)
(2.15)
definiert werden, die den Punkten a des Gleichgewichtszustandes einen verschobenen Ort
x(a, t) zuordnet. Für die Bewegungsgleichung der Teilchen im elektrische Feld am Ort a und
zur Zeit t gilt dann
∂ 2 ξ(a, t)
= −eE(a, t).
(2.16)
m
∂ 2t
Erfolgt die Verschiebung in x-Richtung, so transformiert sich ein Volumenelement mit
∂x(a, t)
dx =
da =
∂a
∂ξ(a, t)
1+
da,
∂a
(2.17)
und die Dichteänderung ist gegeben durch
n(x, t)dx = n0 da.
(2.18)
Das elektrostatische Feld berechnet sich mit der Auslenkung der Elektronen aus der Gleichgewichtslage mit Hilfe der Poisson-Gleichung. Aus der Differentialdarstellung des elektrostatischen Feldes dE = −4πe[n(x, t) − n0 ]dx = 4πen0 dξ(a, t) erhält man dann den Ausdruck
E(a, t) = 4πen0 ξ(a, t),
(2.19)
mit der resultierenden Schwingungsgleichung
∂ 2 ξ(a, t)
+ ωp2 ξ(a, t) = 0.
∂t2
(2.20)
Die Lösung der Schwingungsgleichung ist offensichtlich periodisch in der Zeit. Für eine Plasmawelle mit der Wellenlänge ks , wird deswegen die Lösung mit
ξ(a, t) = ξ0 cos(ωp t) cos(ks a)
(2.21)
angesetzt, wobei die Anfangsbedingung ξ(a, 0) = ξ0 cos(ks a) = E(a, 0)/4πen0 lautet. Bei
sehr großen Auslenkungen können zwei im Gleichgewichtszustand benachbarte Punkte a und
a + da auf denselben Punkt x(a, t) verschoben werden, wodurch die Dichte in diesem Punkt
singulär wird. Diesen Vorgang nennt man Wellenbrechen und mit (2.17) ergibt sich dafür die
2.2 Elektrostatische Plasmaschwingungen
11
Bedingung [21]:
∂ξ(a, t)
= −1 = −ks ξ0 cos(ωp t) sin(ks a).
∂a
Daraus folgt, dass die Welle für Amplituden
dx = 0 ⇔
ξ0 ≥
1
ks
(2.22)
(2.23)
bricht. Das elektrostatische Feld beim Wellenbrechen lautet damit:
E(0, 0) ≥
ωp ωp me c
ωp
=
E0 ,
ks c e
ks c
(2.24)
wobei E0 = ωp me c/e in der Literatur auch als das nichtrelativistische Wellenbrechlimit bezeichnet wird [23]. Für die Oszillationsgeschwindigkeit der Elektronen gilt:
ve =
dξ
dx
=
= −ξ0 ωp sin(ωp t) cos(ks a).
dt
dt
(2.25)
Ersetzt man die Amplitude der Plasmawelle durch die Wellenbrechamplitude (2.23), so erhält
man mit der Phasengeschwindigkeit vph = ωp /ks der Plasmawelle:
ve ≥ −
ωp
sin(ωp t) cos(ks a) = −vph sin(ωp t) cos(ks a).
ks
(2.26)
Dies bedeutet, dass die Welle für Oszillationsgeschwindigkeiten
(2.27)
ve ≥ vph
bricht. Diese Bedingung ist äquivalent zu (2.23).
2.2.3
Plasmaschwingungen im thermischen Plasma
In thermischen Plasmen hat die Gleichgewichtsverteilungsfunktion f0 die Form einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung. In diesem Fall kann die Dispersionsfunktion für die
Näherung einer schwach gedämpften Schwingung, d.h. ωi und Di (ω, k) seien klein, gefunden
werden. Durch die Entwicklung der Dispersionsfunktion D(ω, k) = Dr (ω, k) + iDi (ω, k) um
die reellen Werte ωr bis zur linearen Ordnung erhält man:
Dr (ωr ) = 0 und ωi = −
Di (ωr )
.
∂ωr Dr (ωr )
(2.28)
2 Theorie
12
Somit ist es ausreichend die Dispersionsfunktion bei schwacher Dämpfung nur für reelle Frequenzen zu bestimmen. Das Integral über f0 in der Dispersionsfunktion (2.13) kann direkt
über die beiden Geschwindigkeitskomponenten, die senkrecht zu k stehen, integriert werden
und es ergibt sich für die verbleibende Geschwindigkeitskomponente ṽ mit ihrer eindimensionalen Verteilungsfunktion fˆ0 (ṽ) aus (2.13):

(
)
ˆ
ˆ0 (ṽ)
ˆ0 (ṽ) ωp2
∂
f
1
∂
f
·
+ iπ
1 = 2  dṽ
k
∂ṽ
ṽ − (ωr /k)
∂ṽ C

,
(2.29)
ṽ=ωr /k
wobei C der Cauchy-Hauptwert des Integrals ist und die eindimensionale Verteilungsfunktion von ṽ durch die Maxwell-Verteilung,
2
1
ṽ
fˆ0 (ṽ) = √
exp − 2
2vth
2πvth
r
mit vth =
kB T
,
m
(2.30)
gegeben ist. vth bezeichnet die thermische Geschwindigkeit, T die Temperatur des Plasmas
und kB ist die Boltzmann-Konstante. Durch partielle Integration und anschließender Entwicklung des Nenners für kleine thermische Geschwindigkeiten, erhält man die Lösung des
Realteils aus (2.29) bis zur quadratischen Ordnung [24]:
Dr (ω, k) = 1 −
ωp2
2 2
1 + 3vth
k .
2
ωr
(2.31)
Die Nullstellen von (2.31) geben die möglichen Schwingungsfrequenzen an,
q
q
2
2
2
ωr (k) = ωp 1 + 3k vth /ωp = ωp 1 + 3k 2 λ2D ,
(2.32)
mit der Debye-Länge λD = vωthp . Diese Beziehung wird nach D. Bohm und E. P. Gross als
Bohm-Gross Dispersionsrelation (1949) [25] bezeichnet.
2.2.4
Landau-Dämpfung
Der Imaginärteil der Schwingungsfrequenz kann nun über (2.28), (2.29) und mit der Vernachlässigung der thermischen Korrektur für den Realteil von ω, also ωr ≈ ωp , berechnet
werden:
r 3
γL
ωi
π
1
1
1
=− ≈
exp −
+3
,
(2.33)
ωp
ωp
8 kλD
2 k 2 λ2D
2.2 Elektrostatische Plasmaschwingungen
13
mit dem linearen Landau-Dämpfungskoeffizient γL = −ωi . Aufgrund von ∂ fˆ/∂ṽ < 0 für die
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, ist γL im thermischen Gleichgewicht positiv und
die Plasmaoszillationen sind stets gedämpft. Diese Dämpfung wird bedeutend für kλD & 0.4
[26] und wird als Landau-Dämpfung (1946) bezeichnet [24, 27]. Ihre Besonderheit besteht
darin, dass sie eine stoßfreie Dämpfung darstellt, die im Rahmen der Vlasov-Theorie hergeleitet wurde. Dieser Effekt wurde von Landau durch die rein mathematische Behandlung der
Singularitäten in der komplexen Zahlenebene vorhergesagt und ist dadurch eine der erstaunlichsten Ergebnisse der Plasmaphysik. Aufgrund der Entropieerhaltung (Abschnitt 2.1.3) ist
diese Dämpfung ein thermodynamisch reversibler Prozess, was durch die Plasmaechoexperimente [28, 29] experimentell bestätigt wurde. Somit ist es durch eine Verteilungsfunktion mit
∂ṽ fˆ|ṽ=ω/k > 0 möglich, auch ein Anwachsen der Plasmawelle zu erzeugen.
Die physikalische Interpretation der Landau-Dämpfung zeigt, dass die resonanten Teilchen mit der Geschwindigkeit ṽ ≈ vph = ωk ein quasistatisches elektrisches Feld erfahren und
dass dadurch ein besonders effektiver Energieaustausch zwischen diesen Teilchen und der
Welle stattfindet. Aufgrund der Form der Maxwellschen Verteilungsfunktion gibt es, im
Vergleich zur Phasengeschwindigkeit der Welle vph , mehr langsamere Teilchen als schnellere Teilchen. Deswegen wird mehr Energie von den Teilchen aufgenommen als an die Welle
abgegeben wird und die Welle wird gedämpft. Der Energieaustausch zwischen Welle und Teil
chen bewirkt des Weiteren eine Abflachung der Verteilungsfunktion bei fˆ ωk . Diese Verformung der Verteilungsfunktion ist gerade der Störterm f1 aus dem Ansatz zur Linearisierung
der Vlasov-Gleichung (Abschnitt 2.1.3) [24]. Für den o.g. Fall der Verteilungsfunktion mit
∂ṽ fˆ|ṽ=ω/k > 0 tritt der inverse Effekt auf und die Teilchen geben mehr Energie an die Welle
ab als sie aufnehmen und es tritt eine Instabilität auf. Diese wird auch Zweistrominstabilität
genannt. Ein einfaches Modell für diese Instabilität wird in [21] vorgestellt.
2.2.5
Nichtlineare Landau-Dämpfung
Die von Landau gefundene Dämpfung basiert auf der linearisierten Vlasov-Gleichung (2.9),
in welcher der Term E1 ∂v f1 von quadratischer Ordnung ist und deshalb vernachlässigbar
wird. Betrachtet man nun die eindimensionale, linearisierte Vlasov-Gleichung mit dem der
Plasmawelle zugehörigen elektrischen Feld E1 = −∇Φ1 = Ẽ1 sin(kx − ωt), so zeigt sich,
dass ∂v f1 = ∂v f1 (t) ∼ me Ẽ1 kt2 ∂v f0 für den resonanten Teil der Verteilungsfunktion gilt. Das
bedeutet für Zeiten größer als
r
m
(2.34)
τ=
eẼ1 k
2 Theorie
14
ist ∂v f1 ≈ ∂v f0 und die Linearisierung der Vlasov-Gleichung verliert ihre Gültigkeit. Für
die Berechnung der stoßfreien Dämpfung für Zeiten größer als τ , muss die exakte Vlasov-Gleichung für den resonanten Teil der Verteilungsfunktion gelöst werden. Dies ist auch
bekannt als nichtlineare Landau-Dämpfung. Nach O’Neill [30] bewegen sich Teilchen, die
nicht genug Energie besitzen um den Potentialtopf der Plasmawelle zu verlassen, auf geschlossenen Bahnen mit der Periode τb ≈ τ . Dies bedeutet, dass die Teilchen eine periodische
Geschwindigkeitsänderung um die Phasengeschwindigkeit vph der Welle erfahren. Somit nehmen sie mit dieser Periodizität Energie auf oder geben Energie an die Welle ab und es kommt
zu einer periodischen Änderung der Dämpfung γ(t) um Null mit der Frequenz ωb = 1/τb .
In dieser Lösung
Ẽ1 = konst. angenommen, obwohl die Amplitude der Welle
´ wurde jedoch
t
0
0
mit Ẽ1 ∼ exp o dt γ(t ) variiert. Die Berechnung des Langzeitverhaltens der Amplitudenoszillation stellt sich als sehr kompliziert heraus und wurde in der Vergangenheit kontrovers
diskutiert. Da die Konvergenz der Lösung nicht in dieser Arbeit untersucht wird, soll hier
nur ein kurzer Überblick über die verschiedenen Lösungsansätze gegeben werden. Ein Lösungansatz ist, dass die nichtlineare Plasmawelle nach anfänglicher Dämpfung über wenige
Oszillationen in eine BGK2 - Mode übergeht [31, 32], in der im Mittel keine Energie mit den
Teilchen ausgetauscht wird. O’Neill wiederum geht in seiner Arbeit davon aus, dass die
Teilchen für t → ∞ ihre Phasenbeziehung verlieren und dadurch γ(t) gegen Null geht. Ein
anderer Lösungsweg wird in [33] gewählt. Unter der Annahme, dass für unendliche Zeiten
Ẽ1 → 0 gilt, wird eine selbstkonsistente Lösung gefunden, die eine Dämpfung von Ẽ1 ∼ t−1
zeigt.
2.3
Flüssigkeitsbeschreibung des Plasmas
Neben der kinetische Beschreibung des Plasma, kann dieses auch makroskopisch über Flüssigkeitsgleichungen beschrieben werden. Für eine Teilchensorte j erhält man die Dichte nj
und mittlere Geschwindigkeit uj durch die verschiedenen Momente der Verteilungsfunktion
über die Geschwindigkeiten:
ˆ
nj =
fj (x, v, t)dv,
(2.35)
v fj (x, v, t)dv.
(2.36)
ˆ
nuj =
2
nach Bernstein, Greene und Kruskal
2.4 Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
15
Die Berechnung der ersten beiden Momente der Vlasov-Gleichung (2.9) ergibt die Kontinuitäts- und die Bewegungsgleichung der Teilchensorte j für die Flüssigkeitsbeschreibung
eines kalten Plasmas [26]:
∂nj
+ ∇(nj uj ) = 0,
(2.37)
∂t
∂uj
mj nj
+ (uj · ∇) uj = qj nj (E + uj × B) .
(2.38)
∂t
Für thermische Plasmen muss auf der rechten Seite von (2.38) noch ein Druckterm hinzugefügt werden, der durch die ungeordnete Bewegung der Teilchen hervorgerufen wird.
2.4
Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
Trifft ein Laserpuls auf ein Plasma, so erzeugt er eine elektrostatische Welle, welche mit
einer Phasengeschwindigkeit, die der Gruppengeschwindigkeit des Laserstrahls entspricht,
hinter dem Puls durch das Plasma läuft. Diese Plasmawelle wird auch als plasma wakefield
bezeichnet. Die physikalische Kraft, die diesem Effekt zu Grunde liegt, ist die ponderomotorische Kraft, welche die Dichteschwankungen im Plasma hervorruft. Bevor näher auf die
ponderomotorische Kraft, die Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen und deren
Eigenschaften eingegangen wird, sollen zuerst dimensionslose Größen eingeführt werden, die
in der Particle-in-Cell Simulation ihre Verwendung finden. In der Literatur wird meistens nur
das Potential des Laserfeldes A(x, t) dimensionslos angegeben, da es in dieser Normierung
gerade dem Transversalimpuls der Teilchenbewegung im Vakuum entspricht.
2.4.1
Dimensionslose Größen
Im Folgenden werden Zeiten und Längen auf die Vakuumfrequenz ω bzw. auf die Vakuumwellenzahl k = ωc des Laserfeldes normiert:
t0 = ωt,
r0 =
ω
r,
c
1
v0 = v,
c
p0 = γv0 =
1
p,
me c
(2.39)
mit der Lichtgeschwindigkeit c, der Elektronenruhemasse me und dem relativistischen Gammafaktor
p
p
γ = 1 + p02 = 1/ (1 − v 02 ).
(2.40)
2 Theorie
16
Die Normierung der Felder E und B und der Potentiale A und Φ lautet:
E0 =
e
E,
me ωc
B0 =
e
B,
me ωc
A0 =
e
e
A, Φ0 =
Φ.
me c²
me c²
(2.41)
Damit gilt im Vakuum mit Φ0 = 0:
E0 = −
∂A0
,
∂t0
B0 = ∇0 × A0 .
(2.42)
Insbesondere ist in diesem Fall der kanonische Transversalimpuls für die Bewegung eines
Teilchens im Feld einer elektromagnetischen Wellen erhalten, woraus A0 = p0⊥ folgt. Das
dimensionslose Vektorpotential entspricht also dem normierten Transversalimpuls der Oszillationsbewegung der Elektronen im Laserfeld. Für A0 & 1 wird die Bewegung der Elektronen
relativistisch. Die dimensionslosen Strom- und Ladungsdichten sind definiert als:
j0 =
1
j,
ene0 c
n0 =
n
,
ne0
(2.43)
mit der mittleren Elektronendichte ne0 . Die Ladungen und Massen werden auf die Elementarladung und Elektronenmasse mit q 0 = q/e bzw. m0 = m/me normiert. Aus Gründen
√
der Deutlichkeit wird die normierte Plasmafrequenz mit α = ωp /ω bezeichnet. Von diesem Punkt an werden nur noch die dimensionslosen Größen verwendet. Deswegen wird im
Folgenden ’ weggelassen und alle Größen sind als dimensionslos anzusehen, sofern sie nicht
anderweitig gekennzeichnet sind.
2.4.2
Die ponderomotorische Kraft
Die ponderomotorische Kraft tritt auf, wenn ein räumlich inhomogenes, hochfrequentes und
√
transverses Laserfeld A(z, t) = A(z) cos(t) auf ein homogenes Plasma trifft mit 1 & α ωpi , mit der ortsabhängigen Amplitude des Laserfeldes A(z) und der normierten Ionenplasmafrequenz ωi . Die Ionenbewegung kann dadurch vernachlässigt werden. Die maximale Amplitude des Laserfeldes wird im folgenden Verlauf der Arbeit mit A0 bezeichnet. Des Weiteren
soll nur die Wirkung eines hochfrequenten Laserfeldes auf ein homogenes Plasma betrachtet werden, weshalb hier Φ = 0 angenommen wird. Die Flüssigkeitsbeschreibung des kalten
Plasmas für die Elektronen liefert dann die Bewegungsgleichung für A0 1:
dv
∂v
∂A(z, t)
=
+ (v · ∇) v =
− v × (∇ × A(z, t)).
dt
∂t
∂t
(2.44)
2.4 Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
17
Ohne Beschränkung wird angenommen, dass A = Aex gilt und dass die Ausbreitung des
Laserfeldes in z-Richtung erfolgt. Die Transversalbewegung der Elektronen wird in erster
Ordnung für |A| durch das elektrische Feld des Lasers bestimmt, und man erhält direkt die
Lösung der Bewegungsgleichung:
v(0) (z, t) = A(z) cos(t),
(2.45)
d.h. die Elektronen oszillieren einfach im Laserfeld. Somit kann die Bewegungsgleichung für
die Elektronenbewegung bis zur Ordnung A2 geschrieben werden als:
∂A(z, t)
∂v
=
− v(0) · ∇ v(0) − v(0) × (∇ × v(0) )
∂t
∂t
2
2
∂A(z, t) 1 ∂
1 ∂
−
=
v (0) ez −
v (0) ez ,
∂t
2 ∂z
2 ∂z
(2.46)
wobei der Faktor 1/2 durch partielle Integration zustande kommt. Durch die zeitliche Mittelung dieser Bewegungsgleichung über die schnellen Oszillationen im Laserfeld folgt:
∂
(0) 2
v
ez
∂z
2
1 ∂
v (0) ez ,
= − hE(z, t)i −
2 ∂z
∂ hvi
= − hE(z, t)i −
∂t
(2.47)
2
wobei die zeitliche Mittelung über v (0) ∼ cos2 (t) noch einen weiteren Faktor 1/2 ergibt.
Mit der Substitution durch (2.45) für die Terme der Ordnung A2 in (2.47) erhält man:
1 ∂ 2
∂ hvi
= − hE(z, t)i −
A (z).
∂t
2 ∂z
(2.48)
Die Elektronen erfahren also durch das Laserfeld eine Kraft in Richtung der geringeren Feldstärke, die proportional zum Gradienten der Intensität des Feldes ist. Diese Kraft heißt ponderomotorische Kraft [26]:
1 ∂ 2
Fp = −
A (z).
(2.49)
2 ∂z
Insbesondere tritt dieser Effekt auch dann auf, wenn die Elektronen sich nur in einem schnell
oszillierendem elektrischen Feld bewegen. Die ponderomotorische Kraft ist dann gegeben
durch:
1 ∂ 2
Fel
A (z).
(2.50)
p = −
4 ∂z
2 Theorie
18
Für relativistische Laseramplituden A0 & 1 wird die Bewegung der Teilchen im Laserpotential relativistisch und es kann keine Störungsrechnung mehr durchgeführt werden. Die
relativistische Bewegungsgleichung in der Flüssigkeitsbeschreibung des kalten Plasmas für
Elektronen ist gegeben durch:
∂
+ v · ∇ (γv) = − (E + v × B) .
∂t
(2.51)
Aufgrund der relativistischen Bewegung wird diese Gleichung exakt gelöst, d.h die Felder
sind gegeben durch:
∂A
, B = ∇ × A,
(2.52)
E = −∇Φ −
∂t
wobei Φ das elektrostatische Potential beschreibt, welches durch die Dichteschwankungen im
Plasma verursacht wird. Mit (2.52) kann der Ausdruck (2.51) umgeformt werden zu:
∂
(γv − A) = ∇Φ − (v · ∇) (γv) − v × (∇ × A) ,
∂t
mit γ =
(2.53)
p
1 + p². Durch die Vektoridentität [34],
(v · ∇) (γv) = ∇γ − v × [∇ × (γv)] ,
(2.54)
∂
(γv − A) = ∇Φ − ∇γ + v × [∇ × (γv − A)] .
∂t
(2.55)
erhält man weiter:
Mit der Rotation von (2.55) und ∇ × (∇Φ) = ∇ × (∇γ) = 0 folgt:
∂
[∇ × (γv − A)] = ∇ × {v × [∇ × (γv − A)]} .
∂t
(2.56)
Mit der Anfangsbedingung, dass das Plasma vor Eintreffen des Laserpulses in Ruhe ist, d.h.
∇ × (γv − A) = 0, folgt mit (2.56), dass dies für alle Zeiten gelten muss. Dadurch vereinfacht
sich (2.55) zu:
∂
(γv − A) = ∇Φ − ∇γ.
(2.57)
∂t
Auf der rechten Seite von (2.57) kann der zweite Ausdruck als ein allgemeiner ponderomotorischer Term fp aufgefasst werden:
fp = −∇γ.
(2.58)
2.4 Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
19
Der Ausdruck (2.57) ist exakt, weshalb (2.58) für beliebige Laserintensitäten gilt [34]. Der
Ausdruck für die Bewegungsgleichung (2.57) wurde, unabhängig von dieser Herleitung, auch
durch weitere Autorengruppen gefunden [12, 35]. Allgemein wird die Mittelung über die
schnell veränderlichen Anteile von fp als die ponderomotorische Kraft bezeichnet, welche
in der Vergangenheit kontrovers diskutiert wurde. Die zeitliche Mittelung wurde von verschiedenen Autorengruppen unterschiedlich durchgeführt. So wird in [36] die relativistische
Lagrange-Funktion über die Laserperiode gemittelt, um die ponderomotorische Kraft zu erhalten. Ein heuristischer Lösungsansatz zur Berechnung der ponderomotorischen Kraft wird
in [37] gemacht. Ähnlich Resultate werden auch in [38] berechnet.
Hervorzuheben ist, dass die ponderomotorische Kraft, aufgrund der Laseramplitudenabhängigkeit des Gammafaktors γ = γ(A2 ), die Proportionalität
Fp ∼
1
∇ A2
hγi
(2.59)
aufweist, mit dem über die schnellen Anteile gemittelten Gammafaktor hγi.
2.4.3
Plasmawellen im linearen Fall
In einem kalten Plasma werden durch die ponderomotorische Kraft des Laserpulses Dichteschwankungen im Plasma hervorgerufen, die nach Abschnitt 2.2.2 mit der Plasmafrequenz
√
α schwingen. Für einen in in z-Richtung propagierenden Laserpuls, kommt es durch die
ponderomotorische Kraft nur zu einer longitudinalen Bewegung, weshalb im Folgenden nur
diese Bewegung betrachtet wird. Bei kleinen Laseramplituden A0 1 kann eine Störung der
Form
n = 1 + n1 , v = v0 + v1 , Φ = Φ0 + Φ1 ,
(2.60)
angesetzt werden. Man beachte die Normierung, weswegen die Plasmadichte im Gleichgewicht
Eins ist. Für ein neutrales, kaltes Plasma gilt für die Gleichgewichtsgrößen:
∇1 = v0 = Φ0 = 0.
(2.61)
Setzt man diese Größen in (2.37) und (2.38) ein und vernachlässigt Terme zweiter Ordnung,
so erhält man die linearisierte Kontinuitätsgleichung,
∂v1
∂n1
+1
= 0,
∂t
∂z
(2.62)
2 Theorie
20
und die linearisierte Bewegungsgleichung:
∂v1
= −Ez + Fp .
∂t
(2.63)
Die longitudinale Bewegung ist dabei zum einen durch die ponderomotorische Kraft des Laser∂
pulses Fp = − 12 ∂z
A2 (z) nach (2.49) gegeben und zum anderen auch durch das elektrostatische
Feld Ez , welches durch die Dichteänderung verursacht wird und über die Poisson-Gleichung
berechnet werden kann:
∂Ez
= −αn1 .
(2.64)
∂z
Durch eine weitere zeitliche Ableitung von (2.62) kann die Geschwindigkeitsstörung durch
(2.63) ersetzt werden und man erhält:
∂n1
∂
+
(−Ez + Fp ) = 0
∂t
∂z
Für einen in z-Richtung laufenden Laserpuls im eindimensionalen Fall, ist die Einhüllende
des Laserpulses A(z, t) an einem festen Beobachtungspunkt auch zeitabhängig. Somit kann
aus den linearisierten Gleichungen der Flüssigkeitsbeschreibung die Schwingungsgleichung
für die Dichteschwankungen n1 (z, t) erhalten werden [10]:
1 ∂2 2
∂2
+
α
n
=
A (z, t),
1
∂t2
2 ∂z 2
(2.65)
Für diese inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit der homogenen Lösung nh1 (t) =
√
√
cos ( at) + sin ( αt) kann die partikuläre Lösung np1 berechnet werden. Mit der Variation
der Konstanten, erhält man die partikuläre Lösung:
np1 (t)
√ = − cos αt
ˆt
√
sin( αt0 )
√
Fp (z, t0 )dt0
α
0
√ + sin αt
ˆt
√
cos ( αt0 )
√
Fp (z, t0 )dt0
α
(2.66)
0
1
= √
α
ˆt
0
√
1 ∂2 2
sin α(t − t0 )
A (z, t0 )dt0 ,
2 ∂z 2
(2.67)
2.4 Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
21
wobei in (2.67) das Sinus-Additionstheorem angewendet wurde. Mit der Poisson-Gleichung
kann aus (2.67) das elektrostatische Feld der Plasmawelle berechnet werden,
√
ˆt
0
Ez (z, t) = − α
dt sin
√
∂ A2
0
(z, t ) ,
α (t − t )
∂z 2
0
(2.68)
0
welches durch die Dichteschwankungen hervorgerufen wird. Es wird durch den Laserpuls also
√
eine Plasmaschwingung angeregt, welche hinter dem Laserpuls mit der Frequenz α oszilliert.
Propagiert nun ein Laserpuls mit einer Intensität A0 1 durch ein unterdichtes Plasma,
so erzeugt er eine sinusförmige Plasmawelle, die mit einer Phasengeschwindigkeit vph , welche der Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses vg im Plasma entspricht, hinter dem Puls
herläuft. Die Dichte und die Phasengeschwindigkeit bestimmen dabei die Wellenlänge der
√
Plasmawelle durch α = vph kp . Für sehr unterdichte Plasmen gilt vph = vg . 1 und somit
√
α ≈ kp . Nach (2.24) gilt in diesem Fall für das nichtrelativistische Limit bei dem die Welle
√
√
√
bricht E0 ≈ α. In der Literatur wird oft vph = 1 gesetzt, wodurch kp = α und E0 = α
gilt. Analytische Berechnungen der Plasmawelle für ein sinusförmiges Laserprofil können in
[10] gefunden werden.
2.4.4
Erzeugung von Plasmawellen im nichtlinearen Fall
Für Laserfelder mit A0 & 1 wird die Elektronenbewegung hoch relativistisch. Ein Modell
zur Beschreibung der Laser-Plasma-Wechselwirkung kann im eindimensionalen Grenzfall für
breite Laserstrahlen, d.h. rL λp mit der charakteristischen radialen Breite des Laserstrahls
rL und der Wellenlänge der Plasmawelle im linearen Fall λp = 2π/kp , in unterdichten Plasmen
entwickelt werden. Dafür müssen die relativistischen Flüssigkeitsgleichungen für ein kaltes
Plasma einhergehend mit der Wellengleichung für das transversale Laserfeld gelöst werden.
Im eindimensionalen Grenzfall ist der kanonische Impuls senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
erhalten, weshalb der kinematische Impuls in dieser Richtung durch p⊥ = A gegeben ist.
Dadurch gilt für den Gammafaktor:
γ=
q
p
1 + p2 = 1 + p2k + A2 ,
mit der Impulskomponent pk parallel zur Ausbreitungsrichtung.
(2.69)
2 Theorie
22
In der Coulomb-Eichung ∇ · A = 0 lautet die eindimensionale Wellengleichung für die
Ausbreitungsrichtung z des Laserfeldes:
∂ 2A ∂ 2A
− 2 = αjt ,
∂z 2
∂t
(2.70)
wobei der Quellterm nur durch die transversale Stromdichte bestimmt wird [40], welche
gegeben ist durch:
A
jt = −n(z, t)v = n(z, t)
(2.71)
γ
Die Bewegungsgleichung für die Ausbreitungsrichtung läßt sich aus (2.57) ableiten. Aufgrund
des transversalen Laserfeldes vereinfacht sich diese Bewegungsgleichung zu:
∂Φ ∂γ
∂
(γvz ) =
−
∂t
∂z
∂z
(2.72)
Die Bewegung der Elektronen ist also durch das elektrostatische Potential der Plasmawelle
Φ, welches durch den Laserpuls erzeugt wird, und direkt durch den Laserpuls über den
ponderomotorischen Term (2.58) bestimmt. Die Poisson-Gleichung und die longitudinale
Kontinuitätsgleichung für die Elektronen sind gegeben durch:
∂ 2Φ
= α(n − 1),
∂z 2
(2.73)
∂
∂n
+
(nvz ) = 0,
(2.74)
∂t
∂z
Die Gleichungen (2.70),(2.72) ,(2.73) und (2.74) werden mit ξ = z − vg t und τ = t in das
mitbewegte Koordinatensystem des Laserpulses mit der Gruppengeschwindigkeit vg transformiert. Die transformierten Gleichungen lauten nach Anhang B.1:
1 ∂2
∂2
∂2
+
2v
−
g
γg2 ∂ξ 2
∂ξ∂τ
∂τ 2
A=
1
αnA,
γ
(2.75)
∂
∂ (γvz )
[γ (1 − vg vz ) − Φ] = −
,
∂ξ
∂τ
(2.76)
∂ 2Φ
= α (n − 1) ,
∂ξ 2
(2.77)
∂
∂n
[n (vg − vz )] =
,
∂ξ
∂τ
(2.78)
2.4 Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
23
mit dem Gammafaktor der Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses γg2 = 1/ 1 − vg2 [41].
Die Gleichungen (2.69) und (2.75)-(2.78) bilden ein vollständiges System von nichtlinearen,
relativistischen Flüssigkeitsgleichungen für ein kaltes Plasma, die die Wechselwirkung zwischen Laser und Plasma beschreiben [42]. Das Gleichungssystem kann mit der quasistatischen
Approximation (QSA) vereinfacht werden. Es kann anhand der Wellengleichung (2.75) gezeigt werden, dass in sehr dünnem Plasma, d.h. ω ωp , für die charakteristische Zeitskala
auf der sich die Einhüllende des Laserpulses ändert τE τL gilt, wobei τL die Dauer des
Laserpulses ist. Für die Elektronen im Plasma bedeutet dies, dass sie ein von τ unabhängiges Laserfeld erfahren. In der QSA werden somit die Zeitableitungen in (2.76) und (2.78),
welche die Wirkung des Laserfelds auf das Plasma beschreiben, vernachlässigt. Diese Annahme beinhaltet, dass keine Rückwirkungen der Plasmawelle auf den Laserpuls berücksichtigt
werden. Die Lösung kann in diesem Fall durch direkte Integration mit der Anfangsbedingungen, dass sich das Plasma ursprünglich im Gleichgewicht befindet, d.h. n(ξ = ∞) = 1 und
vz (ξ = ∞) = 0, gefunden werden:
n (vg − vz ) = vg ,
γ (1 − vg vz ) − Φ = 1.
(2.79)
(2.80)
Dadurch kann nach Anhang B.2 die Gleichung (2.77) durch die Laseramplitude ausgedrückt
werden [41, 43]:


!−1/2


2
2
1+A
∂ Φ
2
v
1
−
=
αγ
.
(2.81)
−
1
g
g


∂ξ 2
γg2 (1 + Φ)2
Die Lösung dieser Gleichung zeigt, dass für nichtlineare Amplituden des Laserfeldes die Plasmawelle nicht mehr sinusförmig ist, sondern eine Sägezahnform annimmt. Des Weiteren verlängert sich auch die Wellenlänge mit steigender Amplitude. Es sei hier angemerkt, dass
auch ein Ausdruck für die Wellengleichung (2.75) hergeleitet werden kann, der vom Potential
der Plasmawelle abhängt. Dadurch kann die Rückwirkung der Plasmawelle auf das Laserfeld
durch ein iteratives Verfahren berechnet werden. Analytische Lösungen für eckige Pulsformen
können in [45] gefunden werden. Der Vergleich mit numerischen Lösungen für eine realistischere Gausssche Pulsform zeigt, dass die Ergebnisse miteinander vereinbar sind [44, 45].
2 Theorie
24
2.4.5
Eigenschaften der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
Für die Beschleunigung von Elektronen mit Hilfe von Plasmawellen ist die genaue Kenntnis der Eigenschaften wie Wellenlänge, Amplitude und Phasengeschwindigkeit notwendig.
Die Beschreibung des linearen Falls der Plasmawellenerzeugung in Abschnitt 2.4.3 zeigt,
√
dass die entstehende Plasmawelle sinusförmig mit der Wellenlänge α ≈ kp = 2π/λp ist.
Die Gruppengeschwindigkeit des erzeugenden Laserstrahls im Plasma vg bestimmt dabei die
Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle vph = vg . Somit ist der Gammafaktor der Plasmawelle gegeben durch γp = γg . Die Gruppengeschwindigkeit vg = ∂k ω des Laserpulses ergibt sich
aus der wohlbekannten Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen in kaltem Plasma
1/2
ω(k) = ωp2 + c2 k 2
zu [26]:
vg = (1 − α)1/2 .
(2.82)
Da für ω = ω(k) gilt und die Normierung auf genau die Vakuumwellenzahl k erfolgen würde,
ist die Dispersionsrelation hier nicht in normierten Größen angegeben. Die Amplitude Ez
kann nach (2.68) aus der Poisson-Gleichung berechnet werden. Für Laserfelder mit A0 & 1
kommt es aufgrund der Nichtlinearität der Plasmawelle zu signifikanten Unterschieden für
die Amplitude, Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge im Vergleich zur Plasmawelle im linearen Fall. Diese Unterschiede sollen im folgenden Abschnitt diskutiert werden.
Zur Berechnung der Amplitude der Plasmawelle im nichtlinearen Fall muss (2.81) gelöst
werden. Lösungen für den Bereich im Laserfeld wurden von verschiedenen Autorengruppen
gefunden und diskutiert [43, 45, 46]. In dieser Arbeit werden jedoch kurze Laserpulse benutzt,
um Plasmawellen zu erzeugen, weswegen die Eigenschaften der Plasmawelle im Bereich hinter dem Laserfeld, d.h. A = 0, von besonderem Interesse sind. Für diesen Fall beschreibt
(2.81) eine nichtlineare Plasmawelle mit einer gegebenen Amplitude, die durch das erzeugende Laserfeld bestimmt wird. Aus dieser Gleichung folgt durch Integration, dass das Potential
der Plasmawelle zwischen einem minimalen Wert Φmin und einem maximalen Wert Φmax
oszilliert mit
"
#1/2
2
2
2
Emax
Emax
± vph
−1
,
(2.83)
1+
Φmax/min =
2E02
2E0
√
und dem maximalen elektrischen Feld der Plasmawelle Emax und E0 = α. Emax wird
durch die Lösung von (2.81) im Laserfeld bestimmt. Der Wert von Emax hängt dabei von
der Intensität, der Pulsform, der Länge des Laserpulses und der Polarisation ab. Analytische
Lösungen für quadratische Pulsformen zeigen, dass für die optimale Pulslänge um ein maximales Wakefield zu erzeugen L0 ≈ λN L /2 gilt, wobei λN L die Wellenlänge der nichtlinearen
2.4 Erzeugung von Plasmawellen durch Laserstrahlen
25
Ex
0,1
0
120
130
140
150
160
-0,1
x
Abbildung 1: Numerische Berechnungen von Plasmawellen, die durch Laserfelder mit A0 =
0, 5 (schwarz) und mit A0 = 2, 0 (rot) erzeugt wurden. Im nichtrelativistischen
Fall beschreibt die Welle eine sinus-Form und im relativistischen Fall eine Sägezahnform. Die Ausbreitungsrichtung des Pulses ist hier entlang der x-Achse.
Plasmawelle bezeichnet. Die physikalische Erklärung für diese Tatsache liegt darin, dass die
ponderomotorische Kraft die Plasmawelle erzeugt. Somit kann bei einer Pulslänge L0 auch
noch die ponderomotorische Kraft der abfallenden Flanke des Laserpulses optimal dazu beitragen, dass die zurück oszillierenden Elektronen noch weiter ausgelenkt werden und somit
die Amplitude der resultierenden Plasmawelle maximal wird. Unter diesen Vorraussetzungen
gilt für A0 1 bei zirkularer Polarisation des Laserfeldes [39, 45, 47]:
−1/2
Emax
= A20 1 + A20
,
E0
(2.84)
wobei die maximale Amplitude hinter dem Laserpuls liegt. Für linear polarisiertes Licht
muss A20 durch A20 /2 ersetzt werden. Das elektrische Feld der Plasmawelle kann dabei E0
übersteigen. Nach Abschnitt 2.2.2 wird für Elektronengeschwindigkeiten von ve ≥ vph die
Dichte singulär und die Plasmawelle bricht. Dieser Fall tritt auf, wenn in (2.81) hinter dem
Laserpuls, d.h. für den Fall A = 0, das minimale Potential (1 + Φmin ) → 1/γp . Dies bedeutet
nach (2.83) für das maximale elektrische Feld, bei dem die Welle bricht, gilt [48]:
Emax = EW B =
q
2 (γp − 1)E0 .
(2.85)
2 Theorie
26
Dieser Wert wurde zuerst von Akhiezer und Polovin berechnet [49].
Die Gleichung (2.81) weist schon darauf hin, dass die Plasmawelle im nichtlinearen Fall
nicht mehr sinusförmig ist. Je größer das elektrische Feld der Plasmawelle ist, desto signifikanter bildet sich ein charakteristisches Sägezahnmuster heraus. Dadurch ist die Wellenlänge
der nichtlinearen Plasmawelle λN L proportional zu Emax . Aus der Lösung von (2.81) kann
die Länge, auf der das Potential von Φmin auf Φmax ansteigt, berechnet werden. Diese Länge
entspricht gerade der halben Wellenlänge der Plasmawelle. Für nichtlineare Plasmawelle mit
A0 1 gilt:
2
(2.86)
λN L ' A0 λp
π
Dadurch ergibt sich für die Plasmawellenlänge im linearen und nichtlinearen Grenzfall:
λP W = λp







1,
2 Emax
π
E0
,
Emax
E0
1,
Emax
E0
1.
(2.87)
Eine weitere wichtige Größe zur Charakterisierung von nichtlinearen Plasmawellen ist die
Phasengeschwindigkeit vph . Auch im nichtlinearen Fall wird die Phasengeschwindigkeit durch
die Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses bestimmt. Jedoch kommt es durch das Laserfeld
zu relativistischen, transversalen Oszillationen der Elektronen, welche eine Änderung der Dispersionsrelation gegenüber dem linearen Fall zur Folge haben. Physikalisch gesehen kommt es
durch die Oszillationsbewegung zu einer relativistischen Massenzunahme der Elektronen, die
√
sich auf die Plasmafrequenz auswirkt. Für unterdichte Plasmen α 1 wird damit als füh1/2
rende Korrektur in der Dispersionsrelation α durch α/γ⊥ ersetzt, wobei γ⊥ = (1 + A20 /2)
der relativistische Faktor der Elektronenbewegung im Laserfeld ist. Die Gruppengeschwindigkeit ändert sich dadurch zu vg = [1 − α/γ⊥ ]1/2 [49, 50].
2.5
Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
Die durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen können sehr hohe Beschleunigungsgradienten erreichen, weswegen sie von großem Interesse für die Teilchenbeschleunigung sind. In
dieser Arbeit werden die Plasmawellen durch kurze Laserpulse angeregt, hinter denen die
angeregte Plasmawelle herläuft. Mit den Perioden der Plasmawelle, die sich außerhalb des
Laserpulses befinden, erfolgt die Beschleunigung der Elektronen, so dass nur die Wechselwirkung dieser Teilchen mit dem elektrostatischen Feld der Welle von Bedeutung ist. Im
2.5 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
27
folgenden Abschnitt wird eine kurze Erläuterung des Prinzips der Elektronenbeschleunigung
mit Plasmawellen anhand der Lösung für den linearen Bereich gegeben, bevor eine genauere
Behandlung für den nichtlinearen Bereich erfolgt.
Im linearen Bereich Emax E0 sind die Plasmawellen nach Abschnitt 2.4.3 sinusförmig. Zusammen mit der konstanten Phasengeschwindigkeit vph . 1, die durch den Laserpuls
bestimmt wird, besitzt die Plasmawelle dann die Form
√
Ez = Emax sin α (z/vph − t) .
(2.88)
Elektronen mit hoher Geschwindigkeit ve . 1, die sich mit der Welle mitbewegen, sehen nun
ein nahezu konstantes elektrisches Feld in dem sie beschleunigt werden. Damit die Elektronen Energie gewinnen, müssen sie sich in Bereichen der Welle mit Ez < 0 bewegen. Dadurch
vergrößert sich auch ihre Geschwindigkeit, so dass sie sich schneller als die elektrostatische
Welle bewegen. Durch diesen Geschwindigkeitsunterschied werden die Elektronen nach einer
bestimmten Wegstrecke in Bereiche der Welle mit Ez > 0 kommen, in denen sie abgebremst
werden. Diese Wegstrecke in der sich die Phasenbeziehung zwischen Elektronen und Welle
gerade um eine halbe Plasmawellenlänge λp verschiebt, wird Verstimmungslänge LV genannt.
Die Zeit, die die hochrelativistischen Elektronen mit ve . 1 benötigen um z = LV zurückzulegen, ist die Verstimmungszeit tV = LV /ve ≈ LV . Aus der Wellenfunktion der Plasmawelle
(2.88) folgt damit:
√
√
LV
1
α
− tV ≈ α
− 1 tV = π,
(2.89)
vph
vph
womit sich für die Verstimmungslänge ergibt,
√
Lv ≈ tV ≈ 2πγp2 / α,
(2.90)
wobei die Näherung vph / (1 − vph ) ≈ 2γp2 verwendet wurde. Für den maximalen Energiegewinn gilt dann näherungsweise Wmax ≈ Emax LV ≈ 2πγp2 Emax /E0 .
Für Amplituden des Laserfelds A ≥ 1 entstehen nichtlineare Plasmawellen, die eine Sägezahnform aufweisen und die insbesondere eine amplitudenabhängige Wellenlänge
λP W (Emax ) ≥ λp besitzen. Für die Beschreibung der Elektronbeschleunigung wird die Bewegung eines Testelektrons im Potential Φ(ξ) der nichtlinearen Plasmawelle nach (2.81) hinter
dem Laserfeld, also für A = 0, im mitbewegten Bezugssystem der Plasmawelle ξ = z − vp t
2 Theorie
28
betrachtet. Die Bewegungsgleichungen für das Testelektron lauten dann:
∂H
∂φ
=−
,
∂ξ
∂ξ
∂H
ξ˙ = vz − vp =
.
∂pz
ṗ =
(2.91)
(2.92)
Die Bewegung des Elektrons wird also durch die Hamilton-Funktion
H (ξ, pz ) =
p
1 + p2z − pz vph − Φ (ξ) = γ(1 − vz vp ) − Φ(ξ)
(2.93)
p
beschrieben mit γ = 1 + p2z . Da hier die Bewegung des Teilchens nur im Potential der
Plasmawelle und somit außerhalb des Laserpulses betrachtet wird, wird der Gammafaktor
nur durch die Bewegung in z-Richtung bestimmt. In diesem Fall liegt aber unser eigentliches
Interesse im Energiegewinn des Elektrons mit der zurückgelegten Wegstrecke. Die Entwicklung der Elektronenenergie, in Einheiten des relativistischen Gammafaktors, und die Phase
des Elektrons bezüglich der Plasmawelle lassen sich beschreiben durch [48]:
∂Φ
dγ
=
,
dz
∂ξ
1 dξ
vp
dξ
=
=1− ,
dz
vz dt
vz
(2.94)
(2.95)
mit der Substitution d/dt = vz d/dz. Drückt man nun die Hamiltonfunktion (2.93) bezüglich
des Gammafaktors aus,
H (ξ, γ) =
p
p
1 + p2z − pz vph − Φ (ξ) = γ − vph γ 2 − 1 − Φ(ξ),
(2.96)
so folgt für (2.94) und (2.95):
dγ
∂H
∂Φ
= −
=
,
dz
∂ξ
∂ξ
dξ
∂H
vp
=
=1− .
dz
∂γ
vz
(2.97)
(2.98)
Entlang dieser Bahnkurve gilt die Energieerhaltung H(ξ, γ) = konst. Des Weiteren zeigen die
Bewegungsgleichungen (2.97) und (2.98), dass die Hamilton-Funktion H(ξ, γ) Fixpunkte bei
γ = γp und ξ = ξmax mit Φ (ξmax ) = Φmax besitzt, an denen dξ/dz = dγ/dz = 0 gilt. Aufgrund
der Periodizität des Wellenpotentials mit λP W muss die Bedingung für die Ortsvariable auf
2.5 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
29
Abbildung 2: γS (ψ) mit ψ = kp ξ für verschiedene Amplituden der Plasmawelle E/EW B =
0, 03; 0, 04; 0, 1; 0, 3; 0, 9, mit dem Wellenbrechlimit EW B aus (2.85) und der
Phasengeschwindigkeit γp = 20. Die innerste Kurve entspricht der Amplitude
E/EW B = 0, 03 und die äußerste der Amplitude E/EW B = 0, 9 (entnommen
aus [48]).
ξ = ξmax + zλP W mit z ∈ Z erweitert werden. Weitere Fixpunkte befinden sich bei γ = γp
und ξ = ξmin + zλP W = ξmax + z2 λP W , mit Φ(ξmin ) = Φmin . Die Phasenraumtrajektorie des
Teilchens mit H (ξ, γ) = H (ξmin , γp ) beschreibt die Grenze zwischen geschlossenen Bahnen,
d.h. die Elektronen sind in der Plasmawelle gefangen und werden beschleunigt, und offenen
Bahnen im Phasenraum. Abbildung 2 zeigt diese Trajektorie γS , auch Separatrix genannt, für
verschiedene Werte von Emax /EW B . Die Breite der Trajektorien ist jeweils durch λP W und die
Höhe durch γmin und γmax festgelegt. Den maximalen Energiegewinn erfahren die Elektronen,
deren Trajektorie gerade innerhalb der oben beschriebenen Grenze im Phasenraum liegen.
Durch die Bestimmungsgleichung H(ξmax , γmax/min ) = H(ξmin , γp ) ergeben sich die maximale
und minimale Energie eines gebundenen Elektrons in der Plasmawelle zu:
1/2
γmax/min = γp (1 + γp 4Φ) ± γp vph (1 + γp ∆Φ)2 − 1
,
(2.99)
2 Theorie
30
wobei sich die Potentialdifferenz aus (2.83) zu
"
4Φ = 2vph
E2
1 + max
2E02
#1/2
2
−1
(2.100)
berechnet. Die Gleichung (2.99) ist dabei eine allgemeine Lösung, die für beliebige Wellenformen gültig ist, solange das Potential der Welle zwischen Φmin ≤ Φ ≤ Φmax oszilliert [48].
Für hoch nichtlineare Plasmawellen in unterdichten Plasmen, d.h. 4Φγp 1 und γp2 1,
können die maximale bzw. minimale Energie des Elektrons durch die Ausdrücke
γmax ≈ (1 + vph ) γp2 4Φ,
4Φ
vph
γmin ≈
+
1 + vph 24Φ
(2.101)
(2.102)
genähert werden. Der minimale Wert für den Gammafaktor beschreibt dabei die minimale
Energie, die die Elektronen benötigen, um von der Plasmawelle eingefangen zu werden. Für
∆Φ = (γp −1)/γp gilt γmin = 1. Dies bedeutet aber nicht, dass alle Hintergrundelektronen des
Plasmas eingefangen werden, da die Elektronen aufgrund ihrer Oszillationsbewegung, die die
Plasmawelle bewirken, sich auch entgegengesetzt der Ausbreitungsrichtung der Plasmawelle
bewegen können. Erst ab einer Potentialdifferenz ∆Φ = 2(γp2 − 1)/γp gilt für die minimale
Geschwindigkeit zum Einfang vmin = −vph , so dass alle Elektronen des Plasma in der Welle
eingefangen werden können. Diese Potentialdifferenz beschreibt gerade das elektrische Feld
bei dem die Welle bricht (2.85). Mit (2.100) kann der folgende Ausdruck für den maximalen Gammafaktor für Elektronen, die durch nichtlineare Plasmawellen beschleunigt werden,
gefunden werden:
2
Emax
2
,
(2.103)
γmax ≈ 2γp
E0
für (Emax /E0 )2 2 [48]. Mit diesem Ergebnis und (2.87) läßt sich nun eine grobe Abschätzung über γmax ≈ Emax Lv der Verstimmungslänge für den nichtlinearen Grenzfall angeben,
1
LV ≈ γp2 λN L .
2
(2.104)
Eine genauere Angabe der Verstimmungslänge erfordert die simultane Lösung der Bewegungsgleichung zusammen mit der Bestimmungsgleichung des Potentials der nichtlinearen
Plasmawelle (2.81).
2.5 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
31
Ein weiterer limitierender Faktor für die Beschleunigung von Elektronen ist die Energie
des Laserfeldes. Das Laserfeld erzeugt die Plasmawelle, welche die Energie direkt auf die
beschleunigten Elektronen überträgt. Dies bedeutet, dass der Laserpuls Energie verliert. Die
Länge auf der die Laserenergie erschöpft ist, ist die pump depletion length Lpd . Diese kann
für quadratische Pulsformen mit
Lpd
3/2
2
A0
≈
α
für A0 1
angegeben werden [51]. Im nichtlinearen Fall ist diese Länge im Allgemeinen größer als die
Verstimmungslänge Lv , weshalb LV weiter ausschlaggebend ist für die maximale Beschleunigungsstrecke.
3 Numerik
32
3
Numerik
Für die Simulation von stoßfreien Plasmen und insbesondere auch von Laser-Plasma-Wechselwirkungen haben sich Algorithmen bewährt, die auf der Particle-in-Cell (PIC) Methode basieren. Besonders die Arbeiten in den 50er und 60er Jahren von Buneman, Dawson, Hockney, Birdsall und Langdon haben zur Entwicklung der PIC-Simulationen beigetragen.
Im folgenden Kapitel soll das grundlegende Konzept der PIC-Simulation erklärt werden, sowie der Algorithmus auf dem die in dieser Arbeit benutzte Simulation basiert. Außerdem
werden verschiedene Ergänzungen der Simulation vorgestellt, die benötigt werden um, zum
einen die Richtigkeit der Simulation zu überprüfen und zum anderen die Beschleunigung
von Elektronen mit Plasmawellen zu simulieren. Es ist nochmal darauf hinzuweisen, dass in
diesem Kapitel, die in Abschnitt 2.4.1 eingeführten, dimensionslosen Größen benutzt werden
und die Ionen im Plasma, aufgrund ihrer hohen Masse im Vergleich zu den Elektronen, als
starr angenommen werden und sich somit alle Größen auf Elektronen beziehen.
3.1
Konzeption von Particle-in-Cell Simulationen
3.1.1
Einführung von Simulationsteilchen
Die grundsätzliche Aufgabe, die die Simulation erfüllen muss, ist das numerische Lösen der
Bewegungsgleichung von sehr vielen Teilchen im selbstkonsistenten mittleren Feld. Aus Gründen der Rechenkapazität kann dieser Vorgang nur für 104 -106 Teilchen in einer annehmbaren
Zeit gelöst werden. Anhand der kritischen Dichte des Plasmas (1.3) kann man jedoch feststellen, dass ein Laborplama bei typischen Vakuumwellenlängen des Lasers von λ ≈ 1 µm die
Dichte von 1018 -1021 Teilchen/cm3 . Deshalb werden Simulationsteilchen (auch Superteilchen
oder Cloud -Teilchen genannt) eingeführt, von denen jedes viele Plasmaelektronen repräsentiert. Somit werden aber auch die Kräfte und die Effekte von Stößen um ein Vielfaches
vergrößert. Aufgrund des Verlaufs des Coulomb-Potentials gilt nach Abschnitt 2.1.3 für die
Punktladungen, dass es für kleine Abstände r ≤ λD zu Stößen kommt, die zu einem Anwachsen der Entropie führen und dass es für Abstände r ≥ λD zu einer Wechselwirkung zwischen
vielen Teilchen kommt und das effektive Feld einen makroskopischen Charakter besitzt. Da
die Simulation die Bewegungsgleichungen genau in diesem selbstkonsistenten Feld lösen soll,
ersetzt man die Punktladung der Simulationsteilchen qδ(x − xi ) durch eine ausgedehnte Ladungsdichte qS(x − xi ), die sich durch andere Ladungsdichten hindurch bewegen kann. Die
Dichteverteilung S(x − xi ) ist frei wählbar und soll auf Eins normiert sein. Zur Verdeutli-
3.1 Konzeption von Particle-in-Cell Simulationen
33
chung betrachte man zum Beispiel eine homogen geladene Kugel. Für so eine Ladungsdichte
verhält sich das Potential im Außenraum wie das einer Punktladung und für Abstände r → 0
fällt es auf Null ab. Diese Ersetzung wird Regularisierung [4, 52] genannt und unterdrückt
die Stoßwechselwirkung der Teilchen.
Dieses System von stoßfreien Simulationsteilchen mit der Ladung q kann auch über die
Vlasov-Theorie beschrieben werden. Dabei muss in (2.9) lediglich die Verteilungsfunktion
f durch die der Simulationsteilchen fS (x, p, t) ersetzt werden und die Kraft ṗ = FS bestimmt die Bewegung der Simulationsteilchen. Es muss jedoch beachtet werden, dass die
Regularisierung in die Berechnung der Kraft Fs einbezogen werden muss [52]:
q
FS (x, t) =
e
ˆ
p
0
d x S(x − x) E(x , t) + × B(x , t) .
γ
3 0
0
0
(3.1)
Um die Vlasov-Gleichung zu lösen ist es günstig ein repräsentatives Teilchenensemble im
Phasenraum zu wählen und dessen Zeitentwicklung zu berechnen. Liegen diese Teilchen hinreichend dicht, so ist dieses Modell äquivalent zur Kontinuumsbeschreibung. Repräsentiert
man nun dieses N -Teilchensystem durch I Simulationsteilchen an den Phasenraumpunkten
(xi (t), pi (t)) zum Zeitpunkt t, so ist die Verteilungsfunktion fS (x, p, t) durch
I
NX
δ(x − xi (t))δ(p − pi (t))
fS (x, p, t) =
I i=1
(3.2)
gegeben. Dadurch erhält man für die Ladungs- und Stromdichten:
I
NX
S(x − xi ),
I i=1
(3.3)
I
N X pi
S(x − xi ).
I i=1 γi
(3.4)
ρ(x, t) = q
j(x, t) = q
3.1.2
Einführung des räumlichen Gitters
Zur Berechnung der Kräfte ist es ungünstig die direkte Wechselwirkung der Teilchen untereinander bzw. mit einem externen, elektromagnetischen Feld zu berechnen. Zum einen würde
diese Methode für I Teilchen einen Rechenaufwand von O(I 2 ) Operationen pro Zeitschritt
für die paarweise Coulomb-Wechselwirkung bedeuten und zum anderen müssten Retar-
3 Numerik
34
dierungseffekte in die Berechnung der elektromagnetischen Wechselwirkung miteinbezogen
werden. Deswegen werden in der PIC-Simulation die Kräfte berechnet, indem die Maxwell-Gleichungen auf einem räumlichen Gitter gelöst werden. Die Lösung der MaxwellGleichungen erfolgt dabei durch Zuweisung der Ladungen der Simulationsteilchen zu den
einzelnen Zellen des Gitters aus denen dann die Ladungs- bzw. Stromdichten berechnet werden. Nun können für jeden Gitterpunkt die Felder bestimmt werden, die wiederum auf die
Teilchen wirken.
Die Zuweisung der Ladungen von den kontinuierlichen Teilchenpositionen zu den diskreten Gitterpunkten wird Gewichtung genannt. Die Gewichtung ist eine Interpolation zwischen
den Gitterpunkten und kann somit für verschiedene Genauigkeiten, also für verschiedene
Ordnungen, berechnet werden. Dazu betrachten wir für eine Dimension ein Gitter mit J Gitterzellen, wobei xj der Mittelpunkt der Gitterzelle j mit den Randpunkten xj+1/2 und xj−1/2
ist. Somit ergibt sich für das Simulationsgebiet der Länge L = J∆x = J(xj+1/2 − xj−1/2 ) die
Diskretisierung:
xj = j∆x,
xj±1/2 = (j ± 1/2)∆x,
mit j = 0, 1, 2, · · · , J − 1.
(3.5)
Das Gewicht Wij bezeichnet nun den Bruchteil der Ladung des i-ten Teilchens, der dem j-ten
Gitterpunkt zugewiesen wird und ist definiert über
ˆ
xj+1/2
S(x − xi )dx.
Wij =
(3.6)
xj−1/2
Die einfachste Art der Ladungszuweisung ist die nearest-grid-point (NGP) Gewichtung. Dabei wird einfach die Anzahl der Simulationsteilchen in einer Gitterzelle J gezählt und dann
die Ladung entsprechend der Anzahl der Teilchen dem Gitterpunkt xj zugeordnet. Diese Zuordnungsmethode hat zur Folge, dass das Gewicht Wij auf dem Gitter eine rechteckige Form
mit der Breite ∆x annimmt, die um xj zentriert ist. Somit "sieht" das Gitter eine effektive
ausgedehnte Ladungsdichte Wij , d.h. die beobachtete Physik wird mehr der von ausgedehnten Teilchen entsprechen als der von Punktteilchen [5]. Der Nachteil der NGP- Zuweisung
besteht darin, dass die sprunghafte Änderung der Dichte bei Änderung der Teilchenzahl innerhalb einer Zelle ein Rauschen verursacht, welches die Genauigkeit der Simulation negativ
beeinflusst. Um dieses Rauschen zu unterdrücken bietet sich die lineare Interpolation an.
Dabei wird das i-te Simulationsteilchen am Ort xi mit dem linearen Gewicht den beiden
3.1 Konzeption von Particle-in-Cell Simulationen
35
nächsten Gitterpunkten xj und xj+1 zugeordnet. Die Ladung an den Gitterpunkten qj ergibt
sich dann jeweils zu
xj+1 − xi
qj = q
,
∆x
(3.7)
xi − xj
qj+1 = q
.
∆x
Für diese Zuordnungsmethode besitzt das Gewicht Wij eine Dreiecksform mit der Breite 2∆x,
was gleichbedeutend dazu ist, dass die Simulationsteilchen eine rechteckige Ladungsverteilung der Form S(x) = Θ(1−2 |x − xi | /∆x) um xi mit der Breite ∆x besitzen, wobei Θ(x) die
Heaviside-Funktion bezeichnet [5]. Höhere Ordnungen des Gewichts reduzieren noch mehr
das Rauschen der Dichte und der Felder; benötigen aber auch mehr Rechenkapazität.
Für eine elektromagnetische PIC-Simulation sind zur Berechnung der Felder die Ladungsdichten nicht mehr ausreichend und es müssen Stromdichten zugeordnet werden. Die Stromdichten sind als der Fluss durch die Gittergrenzen xj+1/2 definiert. Dabei wird im Prinzip der
durch das i-te Teilchen verursachte Strom qvi durch das entsprechende Gewicht Wij den Gitterpunkten zugeordnet um die Stromdichten an den Zellgrenzen jj+1/2 zu erhalten [5]. Dabei
muss jedoch die Geschwindigkeit der Teilchen zu den richtigen Zeiten ausgewertet werden. Da
die Lösung der Bewegungsgleichung der Teilchen erst im weiteren Verlauf dieses Abschnitts
folgt, wird auf die genaue Berechnung der Stromdichtenzuweisung in der Erklärung des in
dieser Arbeit verwendeten Algorithmus eingegangen (s. Abschnitt 3.2).
Im nächsten Schritt können nun die Felder aus den Ladungs- bzw. Stromdichten berechnet
werden. Für die elektrostatische PIC-Simulation wird das elektrische Feld aus den Ladungsdichten durch die Poisson-Gleichung bestimmt. Für diese Berechnung können in periodischen Systemen alle Gittergrößen in Fourier-Reihen entwickelt werden. In der Praxis kann
dieser Vorgang effizient durch die schnelle Fourier-Transformation (FFT) durchgeführt werden und man erhält so die Transformierte der Ladungsdichte ρ̃(k). Aus dieser läßt sich sehr
einfach das transformierte Potential Φ̃(k) berechnen, da im k-Raum die Ableitung ∂ 2 /∂x2
durch die Multiplikation mit −k 2 ersetzt wird. Durch die inverse FFT wird das Potential und
daraus dann das elektrische Feld bestimmt. Die Berechnung der Kraft auf die Teilchen von
den Feldern an den Gitterpunkten erfolgt über ein Gewicht analog zur Ladungzuweisung. Es
muss jedoch darauf geachtet werden, dass die Art des Gewichts in beiden Schritten identisch
ist, da es ansonsten zu einer Eigenbeschleunigung der Teilchen kommen kann [5]. Ein weiteres
Verfahren zur Berechnung des Feldes ist die direkte Lösung der Poisson-Gleichung. Auch
in diesem Fall wird der Gesamtimpuls erhalten um eine Eigenbeschleunigung der Teilchen zu
vermeiden [52]. Die Berechnung der Felder in der voll elektromagnetischen PIC-Simulation
3 Numerik
36
erfolgt nur über die Stromdichten. Das Verfahren soll in der Erklärung des Algorithmus
einhergehend mit der genauen Behandlung der Stromdichtenzuweisung erfolgen.
3.1.3
Die Lösung der Bewegungsgleichung
Mit den nun bekannten Feldern können jetzt die Bewegungsgleichungen der Teilchen numerisch gelöst werden. Dafür erfolgt zunächst eine Diskretisierung der Zeit zu 4t = T /Nt ,
wobei T die Simulationszeit und Nt die Anzahl der Zeitschritte bezeichnet. Die diskreten
Zeitschritte werden mit
tn = n∆t,
1
tn±1/2 = (n ± )∆t
2
mit n = 0, 1, 2, · · · , Nt ,
(3.8)
bezeichnet. Ein allgemein bekanntes Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen des Typs ẍ = v̇ = F (x, v) (in dimensionslosen Größen) ist die LeapfrogMethode. Die Leapfrog-Integration ist ein Methode zweiter Ordnung und gehorcht dem Algorithmus:
xn+1 = xn + v n+1/2 ∆t,
v n+1/2 = v n−1/2 + F n ∆t.
3.1.4
(3.9)
Überblick des PIC-Algorithmus
Die Rechenoperationen der Zuweisung der Ladungs- und Stromdichten auf das Gitter durch
das Gewicht der Teilchenposition in Bezug zu den Gitterpunkten, das Lösen der Feldgleichungen auf dem Gitter, die Berechnung der Kraft, die auf jedes Teilchen wirkt durch die
Zuweisung der auf dem Gitter berechneten Felder zu den kontinuierlichen Teilchenpositionen und das Lösen der Bewegungsgleichung für jedes Teilchen müssen, für jeden Zeitschritt
vom Programm berechnet werden. Zum Zeitpunkt t0 = 0 sind die Teilchenpositionen und
Geschwindigkeiten durch die Initialisierung gegeben. Nun durchläuft das Programm den in
Abbildung 3 schematisch dargestellten Simulationszyklus, bevor durch die Lösung der Bewegungsgleichung der Teilchen zum nächsten Zeitschritt übergegangen wird. Für jeden weiteren
Zeitschritt wird dieser Zyklus bis zum Ende der Simulationszeit tNt = Nt ∆t wiederholt. Die
Abbildung 3 soll nur einen grundlegenden Eindruck vom Ablauf einer PIC-Simulation geben.
Allgemein kann dieser Zyklus variiert werden, um z.B. die Elektronen- und Ionenpropagation
auf verschiedenen Zeitskalen durchzuführen oder es werden noch ergänzende Rechenoperationen eingebunden, um weitere spezielle Effekte zu berücksichtigen. Die Genauigkeit der
3.2 Der verwendete Algorithmus
37
Integration der Bewegungsgleichung, Propagation der
Teilchen.
n
F i  vi  x i
n
t  t  t
Zuordnung
Zuordnung
 E , B j  F i
 x , vi   , j  j
Integration der Felder auf dem räumlichen Gitter
 , j j  E , B j
Abbildung 3: Schematischer Verlauf des Rechenzyklus einer PIC-Simulation
Simulation kann durch die Schrittweite ∆t bzw. ∆x der Diskretisierung und durch die Anzahl der Simulationsteilchen beeinflusst werden. Je kleiner ∆t und ∆x und je höher die
Anzahl der Simulationsteilchen, desto genauer sollte die Simulation sein; aber desto größer
ist auch der Rechenaufwand. In der Praxis stellt man jedoch fest, dass es ab einem gewissen
Parameterbereich zu keiner merklichen Änderung der Simulationsergebnisse mehr kommt,
auch wenn die Simulationseinstellungen verbessert werden.
Abschließend soll nochmal hervorgehoben werden, dass der PIC-Algorithmus auf der Vlasov-Theorie basiert und es somit möglich ist auch kinetische Effekte, wie z.B. LandauDämpfung, zu simulieren.
3.2
Der verwendete Algorithmus
Zur Simulation der Laser-Plasma-Wechselwirkung wird für diese Arbeit ein relativistischer
elektromagnetischer 1D3V-Particle-in-Cell Code benutzt. Das Kürzel 1D3V steht dafür, dass
der im Folgenden vorgestellte Algorithmus die Teilchenposition nur in einer Dimension berechnet; die Geschwindigkeitskomponenten der Teilchen jedoch für alle drei Raumrichtungen.
Zur Untersuchung der Wechselwirkung von ultrahochintensiver Laserstrahlung mit Plasma
müssen außerdem die relativistischen Bewegungsgleichungen für die Teilchen gelöst werden.
3 Numerik
38
3.2.1
Grundlegende Gleichungen
Da es sich in diesem Fall um einen elektromagnetischen PIC-Code handelt, werden die Felder aus den Stromdichten bestimmt. Die Entwicklungsgleichungen der elektromagnetischen
Felder in dimensionslosen Größen lauten:
∂E
= ∇ × B − αj,
∂t
∂B
= −∇ × E,
∂t
(3.10)
wobei α = ωp2 /ω 2 die Dichte des Plasmas angibt. Die relativistischen Bewegungsgleichungen
für ein Teilchen der Sorte α im elektromagnetischen Feld sind
p
dr
1
= p,
γ = 1 + p2 ,
dt
γ
dp
1
= σα E + p × B ,
dt
γ
(3.11)
mit dem Teilchenimpuls p = γv. Der Ladungsfaktor σα = qα /mα charakterisiert dabei die
Ladung und Masse des Teilchens, welche auf die Elektronengrößen normiert sind. Deswegen
ist für die Simulation von Elektronenplasmen σα = σe = −1. Aufgrund der eindimensionalen
Geometrie der Simulation sind die Teilchenpositionen durch ihre x-Koordinate festgelegt,
welche genauso die Ausbreitungsrichtung des Laserpulses darstellt. Das transversale Laserfeld
selber ist so festgelegt, dass das Magnetfeld in z-Richtung orientiert ist. Für das elektrische
Feld muss beachtet werden, dass durch Dichteschwankungen im Plasma auch eine zusätzliche
longitudinale Komponente des elektrischen Feldes entsteht. Somit können die in (3.10) und
(3.11) verwendeten Größen auf die folgenden Komponenten eingeschränkt werden:
E=
Ex (x, t)
Ey (x, t)
0
!
, B=
!
0
, r=
0
Bz (x, t)
!
x(t)
, p=
0
0
!
px (t)
py (t) .
pz (t)
(3.12)
Aufgrund der Wahl der Felder gilt für die zum Magnetfeld parallele Impulskomponente
pz (t) = pz (0) = konst. Im Folgenden wird die zum Magnetfeld senkrechte Impulskomponente mit p⊥ bezeichnet und die Komponentenschreibweise von (3.10) und (3.11) ergibt die
3.2 Der verwendete Algorithmus
39
Gleichungen:
∂Ex
∂t
∂Ey
∂t
∂Bz
∂t
dx
dt
dp⊥
dt
3.2.2
= −αjx ,
(3.13a)
∂Bz
− αjy ,
∂x
∂Ey
= −
,
∂x
1
=
px ,
γ
1
= σα E +
p⊥ × B .
γ(p)
(3.13b)
= −
(3.13c)
(3.13d)
(3.13e)
Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Die Diskretisierung in Raum und Zeit erfolgt nach (3.5) und (3.8). Um die Bewegungsgleichung nach (3.9) zu integrieren, müssen die Teilchenpositionen und der Impuls der Teilchen zu den Zeitpunkten xn und pn+1/2 berechnet werden. Die Stromdichten werden an den
Gitterpunkten xj und an den deren Grenzen xj+1/2 ausgewertet. Demzufolge wird für die
n+1/2
n+1/2
und jx,j+1/2 eingeführt. Der Grund für die
Stromdichtenkomponenten die Notation jy,j
Berechnung der y-Komponente am Gitterpunkt liegt darin, dass die Stromdichten als Fluss
durch den Mittelpunkt der Gittergrenzen definiert ist. Somit würde auf einem zweidimensionalen Gitter jy am Punkt (xj , yj+1/2 ) definiert sein. Auf einem eindimensionalen Gitter ist
deswegen jy am Gitterpunkt xj selber definiert. Die Auswertung der Felder erfolgt an den
n
n
n
Punkten Ex,j+1/2
, Ey,j
und Bx,j
. Zur Vereinfachung des Algorithmus bietet sich in diesem
Fall an, die räumlichen und zeitlichen Schrittgrößen gleich zu wählen:
∆x = ∆t = ∆.
(3.14)
Für diese Wahl der Schrittweiten können, wie noch gezeigt wird, die Differenzenquotienten
zur Berechnung der partiellen Differentialgleichung durch einfache Differenzen ersetzt werden.
Insbesondere ist für diese Diskretisierung auch das Courant-Friedrichs-Lewy Kriterium ∆t/∆x ≤ 1 erfüllt [53], welches gewährleistet, dass es nicht zu numerischer Dispersion
kommt. Ist dieses Kriterium nicht erfüllt, können Transversalwellen im Vakuum eine durch
die numerische Methode verursachte nicht physikalische Dispersion |ω/k| < 1 zeigen. Die
Grundgleichungen (3.13e) bis (3.13a) bleiben für die diskreten Größen unverändert, bis auf
3 Numerik
40
die Ersetzung der Konstanten durch
α0 = α∆,
3.2.3
(3.15)
σα0 = σα ∆.
Stromdichten auf dem räumlichen Gitter
Aufgrund der eindimensionalen Geometrie der Simulation können sich die Teilchen im Intervall 0 < x < L aufhalten und in der Ebene senkrecht zur x-Achse wird das Plasma als
homogen angenommen. Dadurch kann die Dichteverteilung für die Teilchensorte α durch
ˆL
L
Sα (x),
S(r) = nα0
Nα
mit
Sα (x)dx = 1,
(3.16)
0
angegeben werden, mit der normierten homogenen Verteilungsdichte nα0 . Verwendet man
diesen Ausdruck zur Berechnung der Stromdichte mit (3.4), so erhält man für Iα Teilchen:
Iα
1 X
vi S(x − xi ),
jα = qα nα0
Icα i=1
mit Icα =
Iα
.
L
(3.17)
P
Insbesondere gilt für die normierte Stromdichte der Elektronen je = −1/Ice i vi S(x − xi ).
Zur Bestimmung der Stromdichte an den Grenzen der Gitterzellen, wird diese so definiert,
dass die Ladung in den Gitterzellen für jeden Zeitschritt erhalten bleibt. So kann das elektrostatische Feld ohne Lösung der Poisson-Gleichung bestimmt werden, so wie es anderen
PIC-Algorithmen gemacht werden muss, um die Ladungserhaltung zu garantieren [5]. Die Ladung des Simulationsteilchens i in einer Gitterzelle mit dem Volumen ∆V für ein Elektronen´
plasma ist gegeben durch Q = − dV S(r−ri ). Die Änderung der Ladung einer Gitterzelle in
einem Zeitschritt ∆t, aufgrund der Bewegung des Teilchens durch die Gittergrenze hindurch,
kann dann durch die Stromdichten jk durch die Mitte jedes Oberflächenelements ∆Ak mit
der Normalenrichtung k einer kubischen Gitterzelle beschrieben werden:
∆Q = −
6
X
k=1
∆t∆Ak jk ,
(3.18)
3.2 Der verwendete Algorithmus
41
mit der Stromdichte,
1
jk = −
∆t∆Ak
ˆ
ˆ
dt
∆t
dAk vi,k S(x − xi ).
(3.19)
∆Ak
Berechnung der x-Komponente der Stromdichte
Für die Berechnung der x- Komponente der Stromdichte bei xj+1/2 zur Zeit tn+1/2 wählen
wir folgende Darstellung:
Ie
1 X
n+1/2
n+1/2
jx,j+1/2 = − 0
f
,
(3.20)
Ice i=1 i,j+1/2
wobei hier der Vorfaktor durch
0
Ie
Ie
Ice
Ice =
=
=
L
J∆x
∆x
ersetzt wurde. L = J∆x bezeichnet die Länge des Simulationsgebietes für J Zellen. Mit
0
dem zusätzlichen Faktor ∆x durch die neue Konstante Ice
erhält man die Ladungsverteilung
S 0 (x) = S(x)∆x, wodurch sich mit (3.19) die Summanden ergeben:
n+1/2
fi,j+1/2
1
=
∆y∆z
¨
∆Ax
1
dAx
∆t
ˆ
dtvi,x S 0 (xj+1/2 − xi )
∆t
xn+1
i
1
=
∆t
ˆ
dxi S 0 (xj+1/2 − xi ),
(3.21)
xn
i
wobei die Substitution dxi = vi,x dt benutzt wird. Des Weiteren wird hier ein lineares Gewicht
nach (3.7) benutzt, weswegen die Ladungsverteilung der Teilchen der Heaviside-Funktion
S 0 (x) = S(x)∆x = Θ(
∆x
− |x|)
2
(3.22)
entspricht. Die Teilchenpositionen zur Zeit tn können durch xni = xj + δjn mit 0 ≤ δjn ≤ ∆x
angegeben werden. Während eines Zeitschritts ∆t wird das Teilchen propagiert und erreicht
die Position xn+1
= xj + δjn+1 . Aufgrund der Ausdehnung der Ladungsverteilung von der
i
Breite ∆x muss (3.21) für drei verschiedene Fälle gelöst werden.
3 Numerik
42
• Die Ladungsverteilung überquert nur eine Gittergrenze bei xj+1/2 , d.h. 0 ≤ δjn+1 ≤ ∆x:
n+1/2
fi,j+1/2
δjn+1
δjn
−
∆x
∆x
∆x
=
∆t
!
.
(3.23)
• Das Teilchen bewegt sich nach rechts und die Ladungsverteilung überquert zwei Gittergrenzen bei xj+1/2 und xj+3/2 , d.h. ∆x < δjn+1 ≤ 2∆x:
n+1/2
fi,j+1/2
n+1/2
fi,j+3/2
∆x
=
∆t
∆x
=
∆t
δjn
1−
∆x
,
(3.24)
!
δjn+1
−1 .
∆x
(3.25)
• Das Teilchen bewegt sich nach links und die Ladungsverteilung überquert zwei Gittergrenzen bei xj+1/2 und xj−1/2 , d.h. −∆x < δjn+1 < 0:
n+1/2
fi,j+1/2
∆x
=
∆t
n+1/2
fi,j−1/2 =
∆x
∆t
δjn
−
,
∆x
δjn+1
∆x
(3.26)
!
.
(3.27)
Berechnung der y-Komponente der Stromdichte
Die y-Komponente der Stromdichte ist an den Gitterpunkten xj zur Zeit tn+1/2 definiert als:
n+1/2
jy,j
Iα
1 X
n+1/2 n+1/2
=− 0
vi,y Fi,j ,
Ice i=1
mit
n+1/2
Fi,j
1
=
∆t
(3.28)
tˆn+1
dtWij (t).
(3.29)
tn
Das Gewicht Wij (t) ist wieder linear und es gilt nach Abschnitt 3.1.2:
ˆ
xj+1/2
1
Wij (t) =
∆x
dxS 0 (x − xi (t)),
xj−1/2
(3.30)
3.2 Der verwendete Algorithmus
43
n+1/2
wobei xi (t) = xj + δj (t) mit δj (t) = δjn + vi,x (t − tn ) ist. Somit ist das Gewicht gegeben
durch:
|δj |
Wij = 1 −
.
(3.31)
∆x
Dieser Unterschied im Gegensatz zur Berechnung der x-Komponenten hat wieder seinen
Grund in der Eindimensionalität der Simulation. Da keine Teilchenpositionen für die yRichtung gegeben sind, kann man das Zeitintegral in (3.29) nicht wie in (3.21) durch die
Integration entlang der in einem Zeitschritt zurückgelegten Strecke substituieren. Aber durch
die Integration kann der Mittelwert der Ladungszuweisung vor dem Zeitschritt und nach dem
Zeitschritt berechnet werden, woraus dann die Stromdichte folgt. Analog zur Berechnung der
x-Komponente muss wieder eine Fallunterscheidung für verschiedene Bewegungsrichtungen
der Teilchen gemacht werden. Die genaue Herleitung findet sich in Anhang C.1. Mit der
n+1/2
Bezeichnung δjn+1 = δjn + vi,x ∆t für die in ∆t zurückgelegte Strecke folgt:
• Die Ladungsverteilung überquert nur eine Gittergrenze bei xj+1/2 , d.h. 0 ≤ δjn+1 ≤ ∆x:
n+1/2
= 1 − A,
(3.32)
n+1/2
= A,
(3.33)
Fi,j
Fi,j+1
mit
n+1
1 δjn + δj
A =
2
∆x
(3.34)
.
• Das Teilchen bewegt sich nach rechts und die Ladungsverteilung überquert zwei Gittergrenzen bei xj+1/2 und xj+3/2 , d.h. ∆x < δjn+1 ≤ 2∆x:
1
B,
2
= −B + 2 − A,
1
B − 1 + A,
=
2
n+1/2
Fi,j
n+1/2
Fi,j+1
n+1/2
Fi,j+2
mit
B=
(3.35)
=
∆x
n+1/2
vi,x
∆t
δjn
1−
∆x
(3.36)
(3.37)
2
.
(3.38)
• Das Teilchen bewegt sich nach links und die Ladungsverteilung überquert zwei Gitter-
3 Numerik
44
grenzen bei xj+1/2 und xj−1/2 , d.h. −∆x < δjn+1 < 0:
1
= − C − A,
2
= C + 1 + A,
1
= − C,
2
n+1/2
Fi,j−1
n+1/2
Fi,j
n+1/2
Fi,j+1
mit
C=
n+1/2
vi,x
3.2.4
∆x
∆t
δjn
∆x
2
.
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
Lösung der Feldgleichungen
Für die Lösung der Feldgleichungen wird die Diskretisierung (3.14) gewählt. Somit gilt gemäß
(3.13a) für den zentralen Differenzenquotient des longitudinalen Feldes [54]:
n+1/2
n+1
n
Ex,j+1/2
= Ex,j+1/2
− α0 jx,j+1/2 .
(3.43)
Die Berechnung der transversen Felder kann nach [6] das Laserfeld im Vakuum in rechts- und
linkslaufende Wellen F und G aufgeteilt werden:
1
1
F = (Ey + Bz ), G = (Ey − Bz ),
2
2
Ey = F + G,
Bz = F − G.
(3.44)
Durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen (3.13b) und (3.13c) der transversen Feldkomponenten ergibt sich für die totale Zeitableitung der neuen Felder entlang x± (t) = ±t im
Vakuum:
α0
d
F t, x+ (t) = − jy t, x+ (t) ,
dt
2
(3.45)
0
d
α
−
−
G t, x (t) = − jy t, x (t) ,
dt
2
mit d/dt = ∂t ± ∂x . Der Vorteil für diese Wahl der Größen liegt darin, dass die Integration im
Vakuum für die Diskretisierung ∆x = ∆t = ∆ exakt ist. Die finite Differenzengleichungen
lauten dann:
α0
n+1
Fj+1
− Fjn = − jy tn+1/2 , xj+1/2 ,
2
(3.46)
α0
n+1
n
n+1/2
Gj − Gj+1 = − jy t
, xj+1/2 .
2
3.2 Der verwendete Algorithmus
3.2.5
45
Lösung der Bewegungsgleichungen
Um die Bewegungsgleichungen mit der Leapfrog-Methode nach Abschnitt 3.1.3 zu lösen,
müssen zuerst die Geschwindigkeiten der Teilchen aus der Bewegungsgleichung (3.13e) berechnet werden. Die Kraft wird im Folgenden mit ṗ = f (p, t) bezeichnet. Äquivalent zu
dem oft verwendeten Integrationsalgorithmus für die Lorentz-Kraft nach Boris [5], wird
hier ein intuitiverer Ansatz gewählt. Die Taylor-Entwicklung des Impulses um die Zeit tn ,
ausgewertet zu den Zeitpunkten tn±1/2 = tn ± ∆/2, ergibt:
n±1/2
p(t)|tn±1/2 = p
1
+ p̈n
= p ± ṗ
2
2
n
n∆
∆
2
2
± O ∆3 .
(3.47)
Damit läßt sich der zentrale Differenzenquotient mit einer Genauigkeit in zweiter Ordnung
berechnen zu:
pn+1/2 − pn−1/2 = f (pn , tn )∆ + O ∆3 .
(3.48)
Aus (3.48) erkennt man nun, dass die Kraft direkt zur Zeit tn ausgewertet werden muss, d.h.
es muss eine implizite Gleichung für den Impuls gelöst werden. Die Kraft wird im Impuls
linearisiert und kann so durch
f (pn , tn ) = f (un−1/2 , tn ) + A(un−1/2 , tn ) · (un − un−1/2 ) + O(∆2 )
(3.49)
dargestellt werden. Dabei ist die Matrix A durch ihre Komponenten Aij = ∂uj fi (un−1/2 , tn )
gegeben. Durch die Bestimmung der Felder bei tn ist die Zeitabhängigkeit der Felder zu
diesen Zeitpunkten bekannt und eine entsprechende Taylor-Entwicklung der Felder muss
nicht durchgeführt werden. Mit (3.47) wird der Impuls pn zur Zeit tn durch die Summe seiner
Werte zu den Zeiten tn±1/2 mit einem Fehler zweiter Ordnung genähert und in (3.49) ersetzt
werden. Damit ergibt sich dann für (3.48) der Ausdruck:
pn+1/2 − pn−1/2 = ∆f (un−1/2 , tn )
(3.50)
+ ∆2 A(un−1/2 , tn ) · (un+1/2 − un−1/2 ) + O ∆3 ,
wiederum mit einer Genauigkeit zweiter Ordnung. Durch Berechnungen der Matrixeinträge
kann nun eine explizite Form der neuen Impulse hergestellt werden um die obere Gleichung
im Algorithmus zu lösen. Die genaue Herleitung dieser Form ist in Anhang C.2 erklärt. Die
neuen Impulse sind dann gegeben durch:
3 Numerik
46
n+1/2
p
n−1/2
=p
mit den Faktoren zur Zeit tn−1/2
vy
f ∆ = b + 2Ω
,
−vx
D = 1 + Ω2 − Ω21 − Ω22 ,
+ R1 · f ∆ + R
−Ω2
Ω1
b=
σα0 E∆,
b·v
R=
,
D
Ω=
σα0 Bz
,
2 γ
Ω1,2 = Ωvx,y .
n+1/2
(3.51)
,
1
R1 =
D
1 Ω
−Ω 1
,
n+1/2
1
Aus den Impulsen kann nun leicht die Geschwindigkeit vx
= γ n+1/2
px
berechnet werden. Die neuen Teilchenpositionen werden dann aus den neuen Geschwindigkeiten berechnet,
xn+1 = xn + vxn+1/2 ∆.
3.2.6
(3.52)
Erweiterungen der Simulation
Dieser Abschnitt soll einen Überblick über die Erweiterungen der PIC-Simulation geben, die
zur Untersuchung der Problemstellung benötigt werden. Zur Untersuchung der Laser-PlasmaWechselwirkung ist es notwendig ein Laserfeld zu initialisieren. Dabei kann zuerst die Intensität und Länge des Laserpulses eingestellt werden, wobei auch die Länge der Pulsfront, d.h.
die Länge in der der Laserpuls bis zur maximalen Intensität ansteigt, gewählt werden kann.
Für diesen Anstieg kann dann zwischen einer linearen, sin2 - und Gaussförmigen Einhüllenden gewählt werden. Analog dazu ist es möglich das Pulsende anzupassen. Für das Plasma
selber kann die Dichte über den Parameter α aus (3.11) eingestellt werden, sowie die Breite
der Plasmagrenzschicht mit verschiedenen Formen (linearer, sin2 -förmiger und exponentieller
Abstieg der Plasmadichte) des Anstiegs bis zur maximalen Dichte.
Für den ersten Teil dieser Arbeit soll die Simulation eines thermischen Plasmas untersucht werden. Die Temperatur eines Plasmas ist über die kinetische Energie der Teilchen
definiert. Im Gleichgewicht folgt die Verteilung der Geschwindigkeiten der Teilchen im Plasma der Maxwell-Boltzmann- Geschwindigkeitsverteilung (2.30) und die Temperatur des
Plasmas wird über die thermische Geschwindigkeit vth angegeben. Die Initialisierung dieser
Verteilung erfolgt dadurch, dass ein Zufallswert v rand für eine Geschwindigkeitskomponente eines Teilchens im Intervall [−5vth , 5vth ] erzeugt wird. Dadurch wird prinzipiell die unendlichausgedehnte Maxwell-Verteilung bei Geschwindigkeiten |v| > 5vth abgeschnitten.
Aber da die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen eine solch hohe Geschwindigkeit zu besit-
3.2 Der verwendete Algorithmus
47
zen verschwindend gering ist, ändert diese Beschränkung nichts an der Physik. Für diesen
Zufallswert wird nun die Wahrscheinlichkeit anhand
deri Verteilungsfunktion ermittelt. Nun
h
wird eine weitere Zufallszahl fˆrand im Intervall 0, fˆmax erzeugt, mit dem maximalen Wert
der Verteilungsfunktion fˆmax = fˆ(0). Ist fˆ(v rand ) > fˆrand , so wird der Geschwindigkeitswert
Anzahl der Teilchen
v rand verworfen und die gleichen Schritte werden für die Geschwindigkeit dieses Teilchens
wiederholt; für fˆ(v rand ) < fˆrand wird der Geschwindigkeitswert akzeptiert und die Geschwindigkeit des nächsten Teilchens wird analog initialisiert. Eine Variation dieses Verfahrens wird
benutzt um nicht Maxwellsche Verteilungsfunktionen zu initialieren, die nötig sind um
Instabilitäten zu untersuchen. Die obige Beschreibung bezieht sich nur auf die Initialisierung
der Geschwindigkeitsverteilung in einer Dimension. Da in dieser Arbeit, das Verhalten von
elektrostatischen Wellen im Plasma für den nichtrelativistischen Fall, welche nach (3.13e)
nur durch jx bestimmt sind, untersucht werden soll, ist es vollkommen ausreichend nur die
x- Komponente der Geschwindigkeitsverteilung zu berücksichtigen.
-0,02
-0,01
0
vth
0,01
0,02
Abbildung 4: Geschwindigkeitsverteilung von 418300 Simulationsteilchen für vth = 0, 005.
Die letzte wichtige Erweiterung ist die Initialisierung eines Elektronenstrahls. Dieser Elektronenstrahl kann an einem beliebigen Ort des Simulationsintervalls L starten. Energie, Länge
des Strahls, Anzahl der Elektronen, sowieso Breite der Energieverteilung können eingestellt
werden.
4 Untersuchung von thermischen Plasmen
48
4
Untersuchung von thermischen Plasmen
Im ersten Teil dieser Arbeit soll die Genauigkeit des PIC-Algorithmus anhand der Simulation
von kinetischen Effekten in thermischen Plasmen überprüft werden. In diesem Teil werden
die Simulationsergebnisse für die Bohm-Gross-Relation und die Landau-Dämpfung mit
den in den Abschnitten 2.2.3 und 2.2.4 vorgestellten theoretischen Vorhersagen verglichen.
Zuletzt werden quantitativ die Simulationsergebnisse des Langzeitverhaltens für Oszillationen
in thermischen Plasmen diskutiert.
4.1
Die Bohm-Gross-Relation
Aufgrund der im Allgemeinen sehr kleinen Frequenzverschiebung in thermischen Plasmen,
müssen die Simulationsparameter sorgsam gewählt werden. Die Wellenzahl und die Frequenz
der elektrostatischen Welle werden mit kes bzw. ωes bezeichnet. Beide Größen werden bezüglich der elektromagnetischen Vakuumwellenzahl k und Vakuumfrequenz ω normiert. Damit
lautet die Bohm-Gross-Relation (2.32):
2
ωes
3k 2 v 2
= α 1 + es th
α
,
(4.1)
wobei der Simulationsparameter α die quadrierte normierte Plasmafrequenz ist. Wie man an
(4.1) erkennen kann, ist die Frequenzverschiebung in unterdichten Plasmen am größten. Um
eine Abschätzung der Frequenzverschiebung zu erhalten, wird ein unterdichtes Plasma mit
α = 0, 01 und Plasmawellenlängen in der Größenordnung der elektromagnetischen Vakuumwellenlänge kes ≈ 1 betrachtet. Für diese Größen ergibt sich für vth = 0, 01 durch
s 2 v2
p
√
3kes
th
≈ α (1 + 3 · 0, 01) ≈ 1, 015 · α,
ωes = α 1 +
α
eine Frequenzverschiebung von ungefähr 1,5%. Um diese Verschiebung zu vergrößern, wird in
der Simulation bei einer Dichte von α = 0, 01 eine lineare Plasmawelle mit der Wellenlänge
kes = 2 angeregt. Für diese Einstellungen muss beachtet werden, dass nach (2.33) die lineare
vth
Landau-Dämpfung für kes λD = kes √
& 0, 4 signifikant wird. Aus diesem Grund muss davon
α
ausgegangen werden, dass es nur für thermische Geschwindigkeit vth . 0, 02 zu einer gut
beobachtbaren Frequenzverschiebung kommt. Die Anregung der Plasmawelle erfolgt durch
die Initialisierung der Geschwindigkeiten in x-Richtung mit einer sinusförmigen Welle vx (x) =
4.1 Die Bohm-Gross-Relation
49
|Ex|
0,001
0
0
20
40
t
60
80
Abbildung 5: Die Oszillationen des Betrages des elektrostatischen Feldes eines kaltes Plasma
(schwarz) und eines thermisches Plasma mit vth = 0, 005 (rot) aufgetragen gegen
die normierte Zeit.
0, 01 · sin (kes x). Nach Abschnitt 2.2.2 schwingt die Störung in einem kalten Plasma mit
√
der Plasmafrequenz und man erhält aus vx (t) ∼ v max sin( αt) die maximale Auslenkung
√
xmax = v max / α. Die Amplitude des elektrostatischen Feldes in kaltem Plasma läßt sich
dann leicht mit (2.19) berechnen:
Exmax = αxmax =
√ max
αv
= 0, 001.
(4.2)
Um eine repräsentative thermische Verteilung zu erhalten, ist es notwendig möglichst viele
Simulationsteilchen zu initialisieren. Deswegen werden für die allgemeinen Simulationsparameter 100 Teilchen pro Zelle mit der Diskretisierung ∆ = 0, 03 gewählt, so dass sich für
die Länge des Simulationsgebiets von 20 Vakuumwellenlängen insgesamt 418300 Teilchen
ergeben. Abbildung 5 zeigt die Oszillationen des elektrostatischen Feldes im Verlauf der normierten Zeit eines kalten und eines thermischen Plasmas. Für das kalte Plasma zeigt sich sehr
√
gut, dass die Schwingungen ungedämpft sind und genau mit der Plasmafrequenz α = 0, 1
oszillieren. Gut zu erkennen ist auch die Frequenzverschiebung des thermischen Plasmas mit
vth = 0, 005 gegenüber dem kalten Plasma. Aufgrund der kleinen thermischen Geschwindigkeit sind die Schwingungen auch in diesem Fall fast ungedämpft. Die Oszillationsfrequenzen
werden durch Ablesen und Mittelung über mehrere Perioden bestimmt. Die Auswertung der
4 Untersuchung von thermischen Plasmen
50
1,5
theo
ω es / ωp
1,4
sim
ωes / ωp
ωes/ωp
1,3
1,2
1,1
1
0
0,005
0,01
0,015
vth
0,02
0,025
Abbildung 6: Vergleich der Simulationsergebnisse mit der Theorie für die, durch die BohmGross-Relation beschriebene, Frequenzverschiebung bei Oszillationen im thermischen Plasma.
Oszillationsfrequenzen der Plasmawelle für verschiedene thermische Geschwindigkeiten zeigt,
wie in Abbildung 6 zu sehen ist, eine gute Übereinstimmung der Simulationsergebnisse mit
der Theorie. Für größere thermische Geschwindigkeiten ist aufgrund der linearen LandauDämpfung keine genaue Frequenzbestimmung mehr möglich.
4.2
Landau-Dämpfung
Wie in Abschnitt 4.1 schon erwähnt, kommt es für höhere thermische Geschwindigkeiten zur
Dämpfung der Plasmaschwingungen. Nach (2.33) ist der lineare Landau-Dämpfungskoeffizient γL , welcher die exponentielle Dämpfung der Plasmaschwingungen bestimmt, von der
thermischen Geschwindigkeit vth abhängig. Abbildung 7 zeigt die Oszillationen des elektrischen Feldes im Verlauf der Zeit bei verschiedenen thermischen Geschwindigkeiten für die
gleichen Simulationsparamater wie in Abschnitt 4.1. Nach (2.34) ist die Linearisierung der
Vlasov-Gleichung, die zur Herleitung der Landau-Dämpfung vorgenommen wurde, für
p
große Zeiten nicht mehr gültig. Somit tritt diese Dämpfung nur für Zeiten t < τ = 1/Exmax
auf. Eine grobe Abschätzung dieser Zeit erhält man durch Einsetzen der Amplitude des
elektrostatischen Feldes im kalten Plasma aus (4.2) zu τ ≈ 31, 6. Anhand der Abbildung 7
erkennt man, dass die lineare Landau-Dämpfung genau in dem Zeitraum ihre Gültigkeit
4.2 Landau-Dämpfung
51
|Ex|
0,001
0
0
20
40
60
t
80
100
120
Abbildung 7: Zeitlicher Verlauf der Oszillationen des elektrostatischen Feldes für Schwingungen in thermischen Plasmen mit vth = 0, 0175 (schwarz), vth = 0, 02 (rot) und
vth = 0, 025 (blau). Für t . 31, 6 ist die lineare Landau-Dämpfung gültig.
hat, in dem die Maxima der Oszillationen des elektrostatische Feld auf das erste Minimum
abfallen. Der Dämpfungskoeffizient wird durch eine exponentielle Anpassung an die Maxima
der Oszillation für diesen Zeitraum bestimmt. Abbildung 8 zeigt eine gute Übereinstimmung
der aus der Simulation bestimmten Dämpfungskoeffizienten im Vergleich zur Theorie. Für
niedrigere thermischen Geschwindigkeiten kommt es nur zu einer minimalen Dämpfung, so
dass der Abfall der Oszillationsmaxima des elektrischen Feldes einen schwach linearen Verlauf
beschreibt und kein Dämpfungskoeffizient bestimmbar ist. Für höhere thermische Geschwindigkeit werden die Schwingungen so stark gedämpft, dass sie innerhalb von ein bis zwei
Oszillationen des elektrischen Feldes auf Null abfallen. Des Weiteren verliert die Theorie für
größere Dämpfungen auch ihre Gültigkeit, da für die Herleitung in (2.28) eine Entwicklung
für kleine ωi und Di (ωr ) durchgeführt wird.
Für Zeiten t > τ erkennt man in Abbildung 7, dass das elektrostatische Feld wieder anwächst. Der Grund dafür ist nach Abschnitt 2.2.5, dass durch die zuvor stattgefundene lineare
Landau-Dämpfung die Teilchen Energie von der Plasmwelle aufgenommen haben. Da bei
der Landau-Dämpfung nur resonante Teilchen mit Geschwindigkeiten ṽ ≈ vph mit der Welle
wechselwirken,
kommt es zu einer Verteilungsfunktion, die in diesem Bereich eine positive
Steigung ∂ṽ fˆ
> 0 aufweist. Aufgrund der Reversibilität dieses Prozesses können die
ṽ=vph
4 Untersuchung von thermischen Plasmen
52
sim
γL /ω
0,02
theo
γL/ω
γL /ω
0,01
0
0
0,005
0,01
0,015
vth
0,02
0,025
0,03
Abbildung 8: Vergleich
der
Simulationsergebnisse
für
den
linearen
LandauDämpfungskoeffizient mit den theoretischen Erwartungen aus (2.33).
resonanten Teilchen auch die Energie wieder an die Welle abgeben und die Oszillationen des
elektrostatischen Feldes wachsen wieder an. Abbildung 9 und 10 zeigen die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen beim Start der Simulation und nach der ersten Dämpfung, sowie die
Phasengeschwindigkeit, die durch die thermische Korrektur nach (4.1) bestimmt ist. Wie sehr
gut zu erkennen ist, ergibt sich die erwartete Verteilungsfunktion nach der ersten Dämpfung
im Bereich der Geschwindigkeit
v ≈ vph =
ωes
ωes (vth )
= 0, 05
.
kes
ωp
(4.3)
Des Weiteren sagt das theoretische Modell vorraus, dass die Dämpfung γ(t) mit einer Pep
riode τb ≈ τ = 1/Exmax um Null oszilliert. Das bedeutet, dass die Periode des Ablingens
und des Anwachsens der Oszillationen τ N L gerade τb entsprechen sollte. Nach Abschnitt
2.2.5 gilt dieses theoretische Ergebnis nur für Exmax (t) = konst., obwohl die Amplitude
mit der Dämpfung variiert. Somit kann keine exakte Übereinstimmung der Simulationsergebnisse mit der Theorie erwartet werden. Um der Annahme Exmax (t) = konst. möglichst
genau zu entsprechen, wird in der Berechnung von τb der Mittelwert der Oszillationsmaxima des elektrostatischen Feldes über eine Periode der Dämpfungsoszillation verwendet.
Der so ermittelte Wert wird mit der in Abbildung 7 abgelesenen Periode τ N L verglichen.
4.2 Landau-Dämpfung
53
Ein weiteres Problem tritt auch beim Ablesen der Periode τ N L auf. Da die Periode nur
an den Maxima der Oszillationen des elektrostatischen Feldes abgelesen wird, muss die so
bestimmte Länge der Periode nicht unbedingt mit der tatsächlichen Länge der Oszillation der Dämpfung in der Simulation übereinstimmen, weil diese an einem beliebigen Zeitpunkt zwischen den Oszillationsmaxima enden kann. Somit muss ein Ablesefehler von ∆t =
2, 5·ωp /ωes (vth ) . 2, 5 angenommen werden. Tabelle 1 zeigt, unter Berücksichtigung der oben
genannten Näherungen, dass die aus der Theorie bestimmten Perioden mit den aus dem Simulationsergebnis abgelesenen Perioden der nichtlinearen Landau-Dämpfung vereinbar sind.
vth
0, 0125
0, 0150
0, 0175
0, 0200
0, 0225
0, 0250
τb
35, 7
38, 8
44, 0
50, 8
62, 2
73, 9
τ NL
45, 4
52, 6
55, 1
59, 3
67, 5
76, 5
Tabelle 1: Vergleich der berechneten Perioden der Dämpfungsoszillation τb zu denen aus der
Simulation abgelesenen Periode der nichtlinearen Landau-Dämpfung τ N L .
Insbesondere für hohe thermische Geschwindigkeiten zeigt sich eine gute Übereinstimmung. Des Weiteren weisen die aus der Simulation bestimmten, wie auch die theoretisch
erwarteten Perioden der Dämpfungsoszillation die gleiche Tendenz zur Vergrößerung der Perioden mit steigender thermischer Geschwindigkeit auf. Für größere thermische Geschwindigkeiten, kommt es nach der ersten Dämpfung nicht mehr zum Anwachsen der Schwingungen.
Das Langzeitverhalten zeigt, dass die Oszillationen des Dämpfungskoeffizienten nach nur wenigen Perioden schwächer werden. Für große Zeiten ist die Dämpfung des elektrostatischen
Feldes konstant. Außerdem kann beobachtet werden, dass diese konstante Dämpfung mit
steigender thermischer Geschwindigkeit stärker wird und offensichtlich für vth & 0, 0250 die
Oszillationen des Dämpfungskoeffizienten unterdrückt, so dass nicht mehr zum Anwachsen
des elektrostatischen Feldes kommt.
4 Untersuchung von thermischen Plasmen
Anzahl der Teilchen
54
0
0,05
v
0,1
0,15
Anzahl der Teilchen
Abbildung 9: Geschwindigkeitsverteilung für vth = 0, 0225 am Anfang der Simulation
(schwarz) und nach der ersten Dämpfung bei t = 33, 7 (rot). Gut erkennbar ist die Veränderung der Verteilungsfunktion um die Phasengeschwindigkeit
vph = 0, 0634 (blau).
0
0,05
v
0,1
0,15
Abbildung 10: Geschwindigkeitsverteilung mit logarithmischer Auftragung für die Anzahl der
Teilchen für vth = 0, 0225 am Anfang der Simulation (schwarz) und nach der
ersten Dämpfung bei t = 33, 7 (rot) mit der Phasengeschwindigkeit vph =
0, 0634 (blau).
55
5
Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
Um eine optimale Beschleunigung der Elektronen mit Hilfe von Plasmawellen zu erreichen,
müssen diese vorher genau untersucht werden. Nach (2.103) hängt die maximale Energie
der Elektronen von der Phasengeschwindigkeit vph und vom maximalen elektrischen Feld
der Plasmawelle ab. Da der Faktor Emax /E0 nach (2.84) unabhängig von der Plasmadichte
ist, wird die maximale Elektronenenergie γmax größer für unterdichte Plasmen, da dort nach
Abschnitt 2.4.5 die Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle größer ist. Aus diesem Grund
bezieht sich die Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen auf unterdichte Plasmen. Dabei werden im Folgenden zwei Größenordnungen der Dichte mit α = 0, 01
und α = 0, 001 untersucht. Aufgrund der Geometrie des Algorithmus ist im Folgenden die
Ausbreitungsrichtung des Laserpulses in x-Richtung.
5.1
Amplitude der angeregten Plasmawellen
Die Beschleunigung der Elektronen hängt wesentlich von der Amplitude der erzeugten Plasmawelle ab, welche direkt von der Laserpulsamplitude abhängt. Nach (2.84) gilt für die
maximale Amplitude der Plasmawelle für einen linear polarisierten, rechteckigen Laserpuls
mit der Amplitude A0 und der optimalen Pulslänge L0 :
A2
Emax
= 0
E0
2
−1/2
A20
1+
.
2
(5.1)
Die optimale Pulslänge L0 ist dabei durch die Wellenlänge der Plasmawelle λP W nach (2.86)
über L0 ≈λP W /2 bestimmt. Bei der Wahl der Simulationseinstellungen muss bedacht werden,
dass für die später folgende Simulationen der Elektronenbeschleunigung ein sehr langes Simulationsintervall von mehreren Hundert bzw. Tausend Laservakuumwellenlängen benötigt
wird, welches dementsprechend viel Rechenaufwand erfordert. Aus diesem Grund werden 5
Simulationsteilchen pro Zelle mit einer Diskretisierung von ∆ = 0, 05 gewählt. Wie Tests mit
höheren Teilchenzahlen und besserer Diskretisierung zeigen, ergeben sich keine signifikanten
Abweichungen zu den Ergebnissen der hier gewählten Simulationsparameter. L0 wird für
hohe Laseramplituden nach (2.86) eingestellt. Für schwach relativistische Laseramplituden
von A0 ≈ 1, wird näherungsweise L0 & λp /2 verwendet. Die Länge der Pulsfront wird Null
gesetzt damit die Einhüllende eine möglichst rechteckige Form besitzt. Wie Abbildung 11
zeigt, gibt es für die Dichte α = 0, 001 eine gute Übereinstimmung zwischen Theorie und
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
56
5
Emax/E0
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
A0
Abbildung 11: Vergleich der theoretisch vorhergesagten Maximalamplituden der erzeugten
Plasmawellen in Abhängigkeit von der Laseramplitude bei optimaler Pulslänge
(schwarze Linie) mit den Simulationsergebnissen für unterdichte Plasmen mit
α = 0, 01 (rotes +) und α = 0, 001 (blaues ×). Die Amplituden wurden jeweils
direkt zu Beginn der Propagation bestimmt.
Simulation und für die Dichte α = 0, 01 liegen die simulierten Plasmawellenamplituden leicht
über den theoretischen Werten. Weitere Untersuchungen ergeben auch, dass die Höhe der
Amplitude der Plasmawelle relativ unempfindlich gegenüber Veränderungen der Laserpulslänge ist. Abbildung 12 zeigt die Abhängigkeit der Amplitude von der Laserpulslänge. Wie
man sehr gut erkennen kann, ist die erreichte Amplitude der Plasmawelle im Bereich der
idealen Pulslänge nahezu konstant. Für die rein theoretisch berechnete ideale Pulslänge nach
(2.86) Ltheo
= λP W /2 ≈ 6, 3 wird mehr als 98% der maximal erreichbaren Plasmawellenam0
plitude erreicht. Aus diesem Grund wird für die folgenden Simulationen die optimale Länge
der Laserpulse anhand der theoretischen Vorhersagen eingestellt, obwohl diese, aufgrund der
leichten Abweichungen der Theorie für die Plasmawellenamplitude, nicht ganz exakt sind.
Bei längeren Simulationsdauern ist es auffallend, dass die Amplitude, wie in Abbildung 13 zu
sehen, für α = 0, 01 mit fortschreitender Propagation im Plasma ansteigt. Der Amplitudenanstieg über eine Propagationsstrecke von x ≈ 400 beträgt dabei 57% und ist daher nicht zu
vernachlässigen. Dieses Phänomen kann nicht anhand des theoretischen Modells erklärt werden kann. Weitere Simulationen zeigen, dass diese Amplitudenänderung für α = 0, 001 nicht
beobachtet wird. Im Allgemeinen hat die Vergrößerung der Amplitude große Auswirkungen
auf die Elektronenbeschleunigung durch Plasmawellen. Zum einen wird das elektrische Feld
5.1 Amplitude der angeregten Plasmawellen
57
2
Emax /E0
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
L
Abbildung 12: Simulationsergebnisse für die Abhängigkeit der Amplituden der elektrostatischen Wellen von der Laserpulslänge L für die Dichte α = 0, 01 und der Laseramplitude A0 = 2 mit der rein theoretisch berechneten optimalen Pulslänge
Ltheo
≈ 6, 3 (rotes ×).
0
der Plasmawelle, welches die Elektronen beschleunigt, größer, und zum anderen ändert sich
dadurch auch die Wellenlänge der Welle. Diese Änderung hat einen großen Einfluss auf die maximale Verstimmungslänge LV und die relative Phasengeschwindigkeit der Welle, welche die
Geschwindigkeitsdifferenz zu den Elektronen angeben. Nach Abschnitt 2.4.5 ist die Phasengeschwindigkeit des Anfangs der Plasmawelle durch die konstante Gruppengeschwindigkeit des
Laserpulses bestimmt. Aufgrund der Tatsache, dass die maximale Amplitude der elektrostatischen Welle in der ersten Periode hinter dem Laserpuls liegt, werden die zu beschleunigenden
externen Elektronen in genau dieser Periode eingekoppelt. Für die Beschleunigung der Elektronen aus kaltem Plasma, werden diese, wie in Abschnitt 6.1 noch erklärt wird, in die zweite
Periode der Plasmawelle eingekoppelt. Die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen den eingekoppelten Elektronen und der Phasengeschwindigkeit der Welle zusammen mit der Wellenlänge
sind dabei aussschlaggebend für die maximale Beschleunigungsstrecke. Betrachtet man die
externen Elektronen, die in der ersten Periode hinter dem Laserpuls eingekoppelt werden, so
bestimmt die Phasengeschwindigkeit des Punktes 1 in Abbildung 14 die Verstimmungslänge.
Aufgrund der Erhöhung der Plasmawellenamplitude nach Abbildung 13 kommt es zu einer
Wellenlängenvergrößerung, wodurch für die relative Phasengeschwindigkeit gilt:
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
58
0,2
Ex
0,1
0
-0,1
-0,2
0
100
200
x
300
400
500
Abbildung 13: Aufnahmen des elektrostatischen Feldes der Plasmawelle für A0 = 2 nach verschiedenen Propagationsstrecken im Plasma mit der Dichte α = 0, 01. Gut zu
erkennen ist die Vergrößerung der Amplitude mit fortschreitender Propagation.
0,15
Punkt 1
Punkt 2
Punkt 3
0,1
Ex
0,05
0
70
80
90
100
110
120
130
-0,05
-0,1
-0,15
x
Abbildung 14: Darstellung des beschleunigenden Anteils der Plasmawelle für das externe Elektronenbündel (rot) und die Beschleunigung der Elektronen aus kaltem Plasma
(blau) mit den jeweiligen relativen Phasengeschwindigkeiten (X).
5.1 Amplitude der angeregten Plasmawellen
59
rel
(x) = vg −
vph
dλ+
≤ vg ,
dx
(5.2)
mit der Änderung dλ+ /dx der Länge des Plasmawellenanteils, der vor dem Punkt 1 liegt.
Da diese ortsabhängige, relative Phasengeschwindigkeit direkt mit der theoretisch nicht vorhersehbaren Amplitudenvergrößerung der Plasmawelle im Verlauf der Propagation zusammenhängt, werden beim Vergleich der Simulationsergebnisse der Elektronenbeschleunigung
vorallendingen numerisch gewonnene Resultate für die relative Phasengeschwindigkeit zur Berechnung der theoretisch erwarteten Werten genutzt. Für die relativen Phasengeschwindigkeit
der weiteren Plasmawellenperioden, müssen dementsprechend die Wellenlängenänderung der
vorderen Teile der Plasmawelle berücksichtigt werden.
Nach Abschnitt 2.2.2 und (2.85) kommt es für Elektronengeschwindigkeiten von ve ≥ vph
zum Wellenbrechen, was auch hier als Kriterium verwendet wird. Für die Dichte α = 0, 01
bricht die Welle bei Emax /E0 ≈ 2, 70. Das Wellenbrechlimit (2.85) hängt direkt von der
Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle ab, für die, ohne relativistische Korrektur, nach Abschnitt 2.4.5 theoretisch gilt:
r
γptheo (α
= 0, 01) =
1
= 10
α
(5.3)
Dadurch ergibt sich das theoretisch erwartete Wellenbrechlimit zu:
EW B theo
(γp ) =
E0
q
2(γp − 1) ≈ 4, 24.
(5.4)
Aufgrund der maximalen Amplitude direkt hinter dem Laserpuls, bricht die Plasmawelle
auch in der ersten Periode hinter dem Puls. Die Stelle an der die Phasengeschwindigkeit
zur Berechnung des Wellenbrechlimits bestimmt wird, ist nur zur Verdeutlichung in Abbildung 14 durch Punkt 3 gekennzeichnet. Auch hier wird die Phasengeschwindigkeit durch
die Amplitudenerhöhung verringert. Deswegen wird aus der Simulation eine durchschnittliche Phasengeschwindigkeit der Welle für diesen Punkt bestimmt. Mit der so ermittelten
Phasengeschwindigkeit γpsim ≈ 4, 5, ergibt sich eine Wellenbrechamplitude von
EW B sim
(γp ) ≈ 2, 65,
E0
(5.5)
60
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
welche eine gute Übereinstimmung mit der aus der Simulation bestimmten Amplitude zeigt.
Für α = 0, 001 ergibt sich eine, aus der Simulation bestimmte, mittlere Phasengeschwindigkeit von γpsim ≈ 29, 7, welche eine gute Übereinstimmung mit der theoretischen Phap
sengeschwindigkeit ohne relativistische Korrektur γptheo = 1/α ≈ 31, 6 zeigt. Diese gute
Übereinstimmung ist nicht überraschend, da es, wie oben erwähnt, für diese Dichte zu keiner
erkennbare Erhöhung der Plasmawellenamplitude und somit zu keiner Korrektur der Phasengeschwindigkeit kommt. Für diese Phasengeschwindigkeit ergibt sich ein Wellenbrechlimit
von
EW B sim
(γp ) ≈ 7, 58,
E0
welches von der Simulation sehr gut bestätigt wird.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass es eine gute Übereinstimmung für die Abhängigkeit der Plasmawellenamplitude von der Stärke des Laserfeldes zwischen Theorie und
Simulation gibt. Des Weiteren ist die Amplitude der Plasmawelle relativ unempfindlich gegenüber Abweichungen von der optimalen Laserpulslänge. Für die Dichte α = 0, 01 wurde weiterhin festgestellt, dass es eine Erhöhung der Plasmawellenamplitude im Verlauf der
Propagation gibt, die nicht durch die Theorie erklärt werden kann und die auch nicht für
niedrigere Dichten beobachtet wird. Diese Änderung hat einen großen Einfluss auf die Phasengeschwindigkeit der Welle. Deshalb wird dieser Effekt im nächsten Abschnitt genauer
untersucht. Zuletzt wurde das Wellenbrechlimt untersucht. Es zeigt sich, dass auch hier die
Theorie gute Vorhersagen trifft, unter der Einschränkung, dass die Phasengeschwindigkeit
numerisch bestimmt wird.
5.2 Untersuchung der Plasmawellenerzeugung
5.2
61
Untersuchung der Plasmawellenerzeugung
Zur genaueren Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawelle, wird in diesem
Abschnitt zunächst die reine Laser-Teilchen-Wechselwirkung betrachtet. Hierfür werden im
Rahmen eines Flüssigkeitsmodells die relativischen Bewegungsgleichungen der Elektronen
im Laserpotential numerisch gelöst. Des Weiteren wird die Energieerhaltung des simulierten
Systems betrachtet, um auszuschließen, dass es sich bei der Amplitudenerhöhung um einen
numerischen Effekt handelt.
5.2.1
Numerische Lösung im Rahmen des Flüssigkeitsmodells
Zur numerischen Berechnung der Plasmawellenerzeugung durch Laserpulse, werden die relativistischen, longitudinalen Bewegungsgleichungen der Teilchen im Vektorpotential A(x, t) =
A(x, t)ey eines sich in x-Richtung ausbreitenden, linear polarisierten Laserpuls gelöst. Im
Flüssigkeitsmodell in Abschnitt 2.2.2 wurde eine Abbildung definiert, die den Punkten a des
Gleichgewichtszustandes einen verschobenen Ort x(a, t) = a+ξ(a, t) zuordnete. Daraus ergab
sich die longitudinale Schwingungsgleichung:
dp
+ αξ = 0,
dt
(5.6)
welche auch als die Bewegung eines Teilchens im Potential Φ(ξ) = 12 αξ 2 aufgefasst werden
kann. Damit ergibt sich die Hamilton-Funktion für die relativistische Bewegung des Teilchens mit der Ladung q = −1 im Vektorpotential A(ξ, t) und skalaren Potential Φ(ξ):
H=
√
P 2 + A2 + 1 + Φ,
(5.7)
mit dem kanonischen Impuls P = p−A. Aus den Bewegungsgleichungen für den kanonischen
Impuls senkrecht zur Ausbreitungsrichtung folgt direkt, dass diese Erhaltungsgrößen sind,
Py = Pz = konst.
(5.8)
Ohne Einschränkung, aufgrund der Freiheit der Lorentz-Transformation senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, kann Py = Pz = 0 gewählt werden, woraus direkt die kinematischen
Impulse py = A und pz = 0 folgen. Für die Bewegung in x-Richtung gelten die Bewegungs-
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
62
gleichungen:
∂H
∂ξ
−A(ξ, t) ∂A(ξ, t) ∂Φ(ξ)
−
= √
∂ξ
P 2 + A2 + 1 ∂ξ
2
−1
∂A (ξ, t)
= p
− αξ
∂ξ
2 1 + p2
Ṗξ = −
−1 ∂A2 (ξ, t)
− αξ,
2γ
∂ξ
∂H
ξ˙ =
∂Pξ
1
=
Pξ .
γ
=
(5.9)
(5.10)
Für die x-Richtung entspricht der kanonischeq
Impuls dem kinematischen Impuls und der
Gammafaktor ist somit gegeben durch γ =
1 + p2ξ + A2 (ξ, t). Dadurch erhält man die
Schwingungsgleichung:
d
dpξ
=
dt
dt
1 ∂ 2
d
A (ξ, t),
γ ξ = −αξ −
dt
2γ ∂ξ
(5.11)
1 ∂
welche mit Hilfe des Leapfrog-Algorithmus gelöst wird. Der Ausdruck FL = 2γ
A2 ist die
∂ξ
Lorentz-Kraft, die durch das Laserpotential verursacht wird. Der ponderomotorische Term
(2.59) besitzt eine ähnliche Form, wurde jedoch für die reine Flüssigkeitsbeschreibung des
Plasmas hergeleitet. In diesem Fall wird durch die numerische Lösung die volle Zeitabhängigkeit des Laserpotentials mitberechnet und es wird keine Mittelung über die schnell veränderlichen Größen vorgenommen. Das resultierende elektrostatische Feld an der Stelle a kann
durch die Poisson-Gleichung zu
Ex (a) = αξ
(5.12)
√
berechnet werden. Die Gruppengeschwindigkeit des Laserfeldes wird mit vg = 1 − α vorgegeben. Der Unterschied von diesem Modell zu dem, welches in Abschnitt 2.4.4 erklärt wird,
ist, dass in diesem Fall keine Transformation in das mitbewegte Bezugssystem des Laserfeldes
gemacht wird, sondern die Oszillationsbewegung des Teilchens vor dem Ionenhintergrund in
einem vorgegebenen Treiberfeld gelöst wird. Abbildung 15 zeigt den direkten Vergleich der
numerischen Lösung mit der Simulation für die identischen Parameter α = 0, 01 und A0 = 2
5.2 Untersuchung der Plasmawellenerzeugung
63
0,2
Ex
0,1
0
20
30
40
50
60
-0,1
-0,2
x
Abbildung 15: Direkter Vergleich der PIC-Simulation (schwarz) mit der numerischen Lösung
(rot). Die Plasmawelle wird jeweils durch einem Rechteckpuls der Länge L = 6
und der Amplitude A0 = 2 bei einer Plasmadichte α = 0, 01 erzeugt.
für einen Rechteckpuls der Länge L = 6. Für die erste Periode hinter dem Laserpuls zeigt
sich eine gute Übereinstimmung für die Amplitude und Wellenlänge der Plasmawelle. In der
Simulation fällt die Plasmawellenamplitude für die weiteren Oszillationen ab, während sie für
die numerische Lösung konstant bleibt. Zu erklären ist der Amplitudenabfall in der Simulation damit, dass Teilcheneffekte, wie Elektroneneinfang oder Erwärmung des Plasmas durch
den Laserpuls, zum tragen kommen, die die Plasmawelle dämpfen. In dem hier betrachteten Modell werden keine Teilcheneffekte berücksichtigt, da es sich um ein Flüssigkeitsmodell
handelt, welches die Felder kontinuierlich behandelt. Deswegen oszilliert das Potential der
Plasmawelle hinter dem Laserpuls ungedämpft. Diese Oszillation des Potentials zwischen
Φmin ≤ Φ ≤ Φmax wird auch durch die Berechnungen in Abschnitt 2.4.4 vorhergesagt. Abbildung 16 zeigt die numerische Lösung der Amplitude der Plasmawelle für einen sinusförmigen
Laserpuls in Abhängigkeit von der Pulslänge. Dabei ist die Amplitude auf die maximale Amplitude für einen Rechteckpuls nach (5.1) normiert. Wie man erkennt, zeigen beide Kurven
das gleiche Verhalten, wobei das numerische Ergebnis dieser Arbeit ein etwas höheres Maximum aufweist. Ansonsten zeigt sich auch hier eine gute Übereinstimmung. Aufgrund der
Tatsache, dass in diesem Modell nichtlineare Oszillationen der Plasmaelektronen betrachtet werden, kann das Wellenbrechen nach (2.27) nur dadurch festgestellt werden, dass die
Oszillationsgeschwindigkeit der Teilchen in Ausbreitungsrichtung ve die Phasengeschwindig-
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
64
0,8
Ex/EN
0,6
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
L/λp
Abbildung 16: Vergleich der in dieser Arbeit numerisch ermittelten Abhängigkeit der Plasmawellenamplitude von der Pulslänge (links) zu der numerischen berechneten
Abhängigkeit aus√[?] (rechts, gestrichelt) für eine sinusförmige Einhüllende bei
einer Dichte von α = 1/30 und A0 = 2. Die Plasmawellenamplitude Ex bzw.
Ez ist auf EN = E0 (A20 /2)(1 + A20 /2)−1/2 normiert.
keit der Welle vph überschreitet. Die Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses und somit die
√
Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle werden in der Berechnung mit vg = vph = 1 − α
vorgegeben. Für α = 0, 01 ergibt sich die Phasengeschwindigkeit γp = 10, was für das zu
erwartende Wellenbrechlimit nach (2.85) bedeutet:
theo
EW
B
(γp = 10) = 4, 24.
E0
(5.13)
Von der numerischen Lösung wird dieser Wert mit
num
EW
B
(γp = 10) = 4, 23
E0
nahezu gleich berechnet.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass sich die Ergebnisse der Simulation gut
durch das einfache Modell der nichtlinearen Oszillation der Elektronen im zeitabhängigen
Laserpotential reproduzieren lassen. Insbesondere gibt es eine sehr gute Übereinstimmung
des theoretischen Wellenbrechlimits mit dem numerischen Resultat. Jedoch zeigt die numerische Lösung keine Erhöhung der Plasmawellenamplitude mit fortschreitender Propagation im
Plasma. Dies lässt darauf schließen, dass dieser Effekt nicht auf die direkte Wechselwirkung
5.2 Untersuchung der Plasmawellenerzeugung
65
des Laserpulses mit den Plasmateilchen zurückzuführen ist.
5.2.2
Energieerhaltung
Um auszuschließen, dass es sich bei der Vergrößerung der Amplitude um einen numerischen
Effekt handelt, der durch den Algorithmus selber oder die Wahl der Simulationsparameter
verursacht wird, betrachten wir im folgenden Abschnitt die Energieerhaltung des simulierten
Systems. Um vergleichbare Ergebnisse zu erhalten, werden die gleichen Simulationsparameter
aus Abschnitt 5.1 benutzt.
Für sehr underdichte Plasmen mit α = 0, 001 zeigt sich, dass die Gesamtenergie des
Systems nahezu erhalten ist. Die maximale Schwankung der Gesamtenergie, die beobachtet werden kann, liegt bei ∆Eges /Eges ≈ 0, 5h und kann somit als erhalten angenommen
werden. Die Erhaltung der Gesamtenergie bei dieser Dichte bleibt auch für relativistische
Laseramplituden bestehen. Bei höheren Plasmadichten mit α = 0, 01 ist die Gesamtenergie
für nichtrelativistische Laseramplituden A0 1, bis auf eine Schwankung von unter einem
Promille, auch erhalten. Für Laseramplituden A0 ≥ 1 kommt es jedoch in der Simulation
zu größeren Schwankungen der Gesamtenergie. Abbildung 17 zeigt die Eneergieentwicklung
der Gesamtenergie und ihrer Anteile im Verlauf der Simulationszeit für A0 = 2. Für diese
Einstellungen kommt es im Verlauf der Simulation zu einer Erhöhung der Gesamtenergie von
∆Eges /Eges ≈ 3%. Vorallendingen am Anfang der Simulation für t . 200 zeigt sich ein Anstieg der Gesamtenergie des Systems. Danach bleibt die Energie bis zum Ende der Simulation
nahezu konstant. Abbildung 13 zeigt jedoch auch eine signifikante Vergrößerung der Amplitude der Plasmawellen für Propagationsstrecken x & 200. Da für die Gruppengeschwindigkeit
des Laserpulses in unterdichten Plasmen vg ≈ 1 gilt, zeigt sich also auch für Zeiten t & 200,
bei denen die Gesamtenergie erhalten ist, eine Erhöhung der Plasmawellenamplitude.
Des Weiteren erkennt man an Abbildung 17 sehr gut, dass das Plasma selber nicht die
Energie des Laserpulses absorbiert, sondern diese direkt an die eingefangenen Teilchen überträgt. Die Energieübertragung findet dabei durch die vom Laserpuls erzeugte Plasmawelle
statt. Da auch die beschleunigten Elektronen ursprünglich aus dem Plasma stammen, betrachten wir hier nur die Teilchen, die an den Dichteoszillationen teilnehmen, als Teil des
Plasmas.
5 Untersuchung der durch Laserstrahlen erzeugten Plasmawellen
66
8e+05
Eges
EEM
Ex
Epart
6e+05
Energie
bes
Epart
4e+05
2e+05
0
0
100
200
t
300
400
Abbildung 17: Energieentwicklung im Verlauf der Simulationszeit für A0 = 2 und α = 0, 01.
Die Gesamtenergie setzt sich aus elektromagnetischer, elektrostatischer Feldenergie und der kinetischen Energie der Simulationsteilchen, aufgeteilt in beschleunigte Teilchen mit γ > 2 und langsame Teilchen mit γ ≤ 2, zusammen.
5.2.3
Interpretation der Untersuchung der Plasmawellen
Die numerische Lösung der direkten Wechselwirkung des Laserfeldes mit den Plasmaelektronen zeigt, dass es zu keiner Vergrößerung der Plasmawellenamplitude mit fortschreitender
Propagation kommt. Die Energieerhaltung zeigt zwar einen Anstieg der Gesamtenergie im
Verlauf der Simulation, aber nach Abschnitt 5.2.2 wächst die Amplitude der Plasmawelle auch für Zeiten an, in denen die Gesamtenergie des Systems konstant ist. Des Weiteren
zeigt die Simulation, dass es während der Propagation zu leichten Veränderungen der Lasereinhüllenden kommt. In der Tat läßt sich die Wechselwirkung des Plasmas auf sehr kurze
Laserpulse nicht vernachlässigen. Für lange Laserpulse L > λP W ist die Selbstmodulation
wohlbekannt und wird explizit dazu verwendet Plasmawellen zu erzeugen. Dieser Effekt ist
aber für kurze Laserpulse in unterdichten Plasmen sehr stark reduziert. Trotzdem kann es bei
relativistischen Laseramplituden zu einer signifikanten Rückwirkung der Plasmawelle auf den
Laserpuls kommen. Ein anschauliche Erklärung erhält man bei der Betrachtung von Abbildung 18 in Abschnitt 6.1. Es ist gut zu erkennen, dass es durch den Laserpuls zu einer lokal
höheren Plasmadichte an seiner Front kommt. Durch die lokale Dichte n(ξ)/n0 kommt es an
der Pulsfront zu einer Frequenzverschiebung δω(τ ) = ω(τ ) − 1, welche von der Propagationsstrecke x = vg τ abhängt. Es kann gezeigt werden, diese Frequenzverschiebung proportional
5.2 Untersuchung der Plasmawellenerzeugung
67
zum Gradienten der Plasmadichte ist [55, 56]:
ˆvg τ
δω(τ ) ∼ −α
∂
∂ξ
n(ξ)
n0 γ⊥
d(vg τ ),
(5.14)
0
p
mit δω(τ = 0) = 0 und dem relativistischen Korrekturfaktor γ⊥ = 1 + A20 /2, aufgrund
der Elektronenbewegung im Laserfeld. Die Dichte steigt zur Pulsfront hin an, weswegen
es zu einer Rotverschiebung kommt. Somit wird die relative Plasmafrequenz größer. Diese
Frequenzverschiebung wird bei relativistischen Laseramplituden A0 & 1 verstärkt, wodurch
√
die lokale Gruppengeschwindigkeit vg = 1 − α an der Pulsfront kleiner ist als am Pulsende.
Dadurch kommt es zu einer Kompression des Pulses, die zu einer Erhöhung der Amplitude des
Laserpulses führt. Somit erhöht sich auch die ponderomotorische Kraft, welche eine höhere
Plasmawellenamplitude verursacht. In aktuellen Untersuchungen wurde dieser Effekt mit
numerischen Methoden untersucht und es wurde ein analytisches Modell entwickelt [51].
68
6
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
Im folgenden Abschnitt wird die Beschleunigung von Elektronen durch Plasmawellen, welche durch Laserpulse erzeugt werden, untersucht. Insgesamt können hier zwei verschiedene
Mechanismen betrachtet werden. Im ersten Fall können Plasmalektronen bei relativistischen
Amplituden direkt aus dem kalten Plasma beschleunigt werden. Im Allgemeinen weisen diese
Elektronen aber ein sehr breites Eneergiespektrum auf und die Ortsbreite dieses Elektronenstrahls kann nicht kontrolliert werden. Der nächste Schritt zur Realisierung eines plasmawellenbasierten Elektronenbeschleunigerkonzepts wäre es mehrere Beschleunigungsstufen
hintereinander zu schalten. Dies bedeutet, dass ein externer Elektronenstrahl mit gegebener
Energiebreite und hoher räumlicher Fokussierung in einer Plasmawelle weiter beschleunigt
werden muss. Hierbei ist die Effektivität der Beschleunigung inbesondere dadurch gegeben,
dass die Elektronen in der richtigen Phase zur Plasmawelle eingekoppelt werden.
6.1
Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen
Durch Laserpulse mit relativistischen Amplituden A0 ≥ 1 werden nichtlineare elektrostatische Wellen im Plasma erzeugt. Ist die Amplitude der Plamawellen kleiner als die Amplitude
p
bei der die Welle bricht EW B = 2(γp − 1)E0 , so benötigen die Elektronen nach (2.99) ein
Mindestenergie bzw. -geschwindigkeit, um von der Welle eingefangen und beschleunigt zu
werden. Diese benötigte Geschwindigkeit der Elektronen kann in kalten Plasmen durch die
Plasmawelle selber verursacht werden, indem die Elektronen an der Oberfläche aus dem Plasma austreten, im Vakuum nach dem Brunel-Effekt [57] beschleunigt werden und danach
wieder ins Plasma eintreten. Die zweite Möglichkeit zum Elektroneneinfang tritt für Plasmawellen auf, die eine Amplitude im Bereich des Wellenbrechens besitzen. In diesem Fall kann es
für Elektronen mit Geschwindigkeiten ve > vph zum Selbsteinfang kommen. Die eingefangen
Elektronen werden dann in beiden Fällen durch die Plasmawelle beschleunigt.
Abbildung 18 zeigt eine Bildfolge der Grafikausgabe der Simulation für einen Laserpuls
mit A0 = 2, der auf ein unterdichtes Plasma mit α = 0, 01 trifft, welches ein rechteckiges
Dichteprofil aufweist. Die Bilder der Grafikausgabe sind dabei nicht skaliert und dienen nur
dazu, den im Folgenden erklärten Mechanismus der Teilchenbeschleunigung aus kalten Plasmen durch nichtlineare Plasmawellen zu verdeutlichen. Abbildung 18 (a) zeigt den Beginn
der Simulation, bei dem sich der Laserpuls noch außerhalb des Plasmas befindet. In grün
dargestellt sind die Gammafaktoren der einzelnen Simulationsteilchen, wobei zwei Bereiche
magenta bzw. grau gefärbt sind. Der magentafarbene Bereich bezeichnet die Teilchen, die
6.1 Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen
69
Abbildung 18: Bildfolge der nichtskalierten Grafikausgabe der Simulation für den Elektroneneinfang an der Plasmagrenzschicht für α = 0, 01 und A0 = 2. Zu sehen sind das
Laserfeld (rot), das elektrostatische Feld (blau), die Plasmadichte (schwarz),
der Gammafaktor der Elektronen (grün, mit den eingefärbten Bereichen in
magenta und grau) und die Plasmagrenzen (cyan).
70
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
später in der Plasmawelle eingefangen werden. In Abbildung 18 (b) ist der Laserpuls in das
Plasma propagiert und hat durch die ponderomotorische Kraft die Elektronen während der
Propagation aus ihrer Gleichgewichtslage in Ausbreitungsrichtung beschleunigt, wodurch sie
vor dem Ionenhintergrund oszillieren. Wie an den cyanfarbenen Plasmagrenzen zu erkennen
ist, haben jedoch die Elektronen an der Plasmagrenzschicht, aufgrund der Rückbewegung
der Oszillation, das Plasma verlassen. Somit erfahren diese Elektronen eine kleinere Rückstellkraft als die Elektronen, die im Plasma schwingen. Abbildung 18 (c) zeigt, dass für die
obersten Elektronen an der Grenzschicht die Oszillationsgeschwindigkeit beim Austritt aus
dem Plasma so hoch ist, dass die verminderte Rückstellkraft nicht mehr ausreicht, um die
Bewegung dieser Elektronen wieder umzukehren. Diese Elektronen bleiben somit außerhalb
des Plasmas. Für den magentafarbenen Bereich des Plasmas ist die verminderte Rückstellkraft ausreichend, um die Bewegung umzukehren, und die Elektronen treten wieder in das
Plasma ein. Jedoch haben diese Elektronen, aufgrund der verminderten Rückstellkraft verglichen zu den Elektronen im Plasma, ihre Phasenbeziehung zu der Plasmaschwingung verloren.
Dadurch treten diese Elektronen genau dann wieder in das Plasma ein, wenn sich durch die
zweite Oszillation der Plasmaschwingung die nächste Periode der Plasmawelle ausbildet. Die
Geschwindigkeit dieser Elektronen ist zu diesem Zeitpunkt höher als die durch (2.99) beschriebene Mindestgeschwindigkeit, so dass die Elektronen phasengenau in den beschleunigenden
Teil der elektrostatischen Welle mit Ex < 0 einkoppeln und dadurch eingefangen werden.
Des Weiteren ist in schwarz die Dichteänderung des Plasmas zu erkennen, welche das elektrostatische Feld der Welle erzeugt. Man sieht gut, dass die Dichte an den Punkten maximal
ist, wo die steile Flanke des elektrostatischen Feldes eine Nullstelle besitzt. In Abbildung 18
(d) ist zusehen, dass die Elektronen dann mit der Plasmwelle beschleunigt werden. Wie die
Dichteverteilung in diesem Bild zeigt, gibt es eine weitere Dichtespitze, die nicht der Plasmawelle zugeordnet werden kann. Dieses Dichtemaximum muss also durch die beschleunigten
Elektronen verursacht werden. Eine genauere Untersuchung ergibt, dass sich in der Tat an
diesem Punkt der Großteil der eingefangenen Elektronen befinden. Außerdem erkennt man
am grau eingefärbten Bereich, dass die Elektronen des Plasmas, die ursprünglich in Bild
(a) direkt an die beschleunigten Elektronen angrenzten, nur eine Oszillationsbewegung im
Plasma vollzogen haben. Insgesamt kommt es zu einer Aufweichung der Plasmagrenzschicht.
Diese Aufweichung wird durch den Verlust der Elektronen, die zum einen das Plasma verlassen und zum anderen von der Plasmagrenzschicht wegbeschleunigt werden, verursacht.
Dadurch hat sich ein Teil der Elektronen aus dem grauen Bereich, verglichen mit ihrer Ausgangslage, weiter zum Plasmarand hin verschoben. Wie der weitere Verlauf der Simulation
6.1 Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen
71
Abbildung 19: Nichtskalierte Grafikausgabe zu den Zeitpunkten kurz vor dem Wellenbrechen
(oben) und kurz nach dem Wellenbrechen (unten). Die Welle bricht am singulären Punkt der Dichte, welche in schwarz dargestellt ist.
zeigt, werden in der nächsten Periode der Plasmawelle ganau diese Elektronen eingefangen.
Insgesamt kann der Teilcheneinfang also auch in den folgenden Perioden nur in der Nähe der
Plasmagrenzfläche geschehen.
Für höhere Intensitäten des Laserpulses werden höhere Amplituden des elektrostatischen
Feldes erzeugt. Erreichen diese Amplituden das Wellenbrechlimit EW B , werden nach (2.27)
die Oszillationsgeschwindigkeiten der Elektronen ve größer als die Phasengeschwindigkeit der
Plasmawelle vph und die Dichte wird nach (2.22) singulär. Werden nun Plasmawellen erzeugt,
deren Amplitude nur wenig unter der in Abschnitt 5.1 ermittelten Amplitude EW B liegt, tritt
für Dichten, bei denen sich die Amplitude der elektrostatischen Welle im Verlauf der Propagation vergrößert, eine weitere Möglichkeit des Teilcheneinfangs auf. Nach Abschnitt 5.1
verringert sich, aufgrund der Vergrößerung ihrer Amplitude, die relative Phasengeschwindigp
keit der Plasmawelle. Das Wellenbrechlimit EW B = 2(γp − 1)E0 ist aber direkt abhängig
von dieser Phasengeschwindigkeit und verkleinert sich dadurch mit fortschreitender Propaga-
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
72
600
500
γ
400
300
200
100
0
0
200
400
x
600
800
Abbildung 20: Aufnahmen der Gammafaktoren für die Beschleunigung aus kalten Plasmen
mit α = 0, 01 für A0 = 2 (rot) und A0 = 3 (schwarz).
tion der Welle im Plasma. Ist die Amplitude der Welle gerade so hoch, dass die Welle durch
die Amplitudenerhöhung und durch die Verringerung von EW B erst nach einer längeren Propagationsstrecke das Wellenbrechlimit überschreitet, so bricht sie weit innerhalb des Plasmas.
Dadurch kann es auch innerhalb des Plasmas zum Teilcheneinfang kommen. Der Teilcheneinfang kommt daher zu Stande, dass für die Geschwindigkeit der Elektronen im singulären
Punkt der Dichte ve > vph gilt. Dabei wird die Elektronengeschwindigkeit ve alleine durch die
nichtlineare Schwingung verursacht. Durch ve > vph überholen die Elektronen die Plasmawelle
und werden so in den beschleunigenden Bereich der Plasmawelle eingekoppelt. In Abbildung
19 ist die Grafikausgabe der Simulation für die Zeitpunkte kurz vor dem Wellenbrechen und
kurz nach dem Wellenbrechen zu sehen. Wie sich zeigt, wird beim Wellenbrechen das elektrostatische Feld mit Ex > 0 am singulären Punkt der Dichte verringert, wobei jedoch der zur
Beschleunigung relevante Anteil mit Ex < 0 erhalten bleibt. Die Elektronen überholen also
die Plasmawelle und werden dann im ’Restfeld’ der Welle eingefangen und aus dem Plasma
herausbeschleunigt. Für noch höhere Amplituden der Plasmawelle, besitzen mehr Elektronen
eine Geschwindigkeit ve > vph und folglich werden mehr Elektronen eingefangen. Dadurch
wird die Verringerung des elektrostatischen Feldes auch größer, wodurch dieses schlußendlich
zerstört wird.
6.1 Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen
73
Zuerst wird die Beschleunigung für relativistische Amplituden des Laserfelds unterhalb
des Wellenbrechlimits betrachtet, so dass der Teilchenanfang nur an der Plasmagrenzfläche geschieht. Für eine Laseramplitude von A0 = 2 werden die Elektronen auf maximal
sim
γmax
≈ 115 beschleunigt. Diese maximale Energie wird nur für Elektronen erreicht, die in der
zweiten Periode der Plasmawelle hinter dem Laserpuls eingefangen werden, da dort die Plasmawellenamplitude am größten ist und kein Einfang an der Grenzschicht für die erste Periode
der Plasmawelle stattfindet. Die Beschleunigungsstrecke beträgt dabei x ≈ 280. Abbildung
20 zeigt den Gammafaktor dieser Elektronen nach verschiedenen Propagationsstrecken im
Plasma. Wie in der Abbildung festgestellt werden kann, zeigt die Elektronen kurz nach der
Einkopplung in die Plasmawelle eine Breite der Ortsverteilung von ∆x ≈ 4. Dies bedeutet,
dass die vordersten Elektronen so weit vorne in der Plasmawelle eingefangen werden, dass sie
im Vergleich zu den hintersten Elektronen signifikant an Beschleunigungsstrecke einbüßen.
Außerdem kommen die vordersten Elektronen auch zuerst in Bereiche mit Ex > 0 in denen
sie abgebremst werden. In Abbildung 20 sieht man, dass diese Teilchen nach einer Strecke
von x ≈ 175 ihre maximale Energie von γ ≈ 45 erreichen. Somit erreichen nur die hintersten
sim
≈ 115, weil diese die Beschleunigungsstrecke besElektronen die maximale Energie von γmax
ser ausnutzen. Durch die verschiedenen Beschleunigungsgradienten, die die eingekoppelten
Elektronen durch die breite Ortsverteilung erfahren, kommt es am Ende der Beschleunigung
zu einer sehr breiten Energieverteilung, welche für eine mögliche Anwendung sehr unvorteilhaft ist. Abbildung 21 zeigt die Energieverteilung, welche eine homogene Verteilung der
Teilchenergien für Energien von γ ≈ 40 − 115. Nur nach kurzen Beschleunigungsstrecken
zeigt sich ein kleinere Breite der Energieverteilung. Nach einer Propagation im Plasma von
x ≈ 55 liegt die Breite der Energieverteilung für einen mittleren Gammafaktor von γ = 24
bei ∆γ/γ ≈ 30%. Für den Vergleich mit den theoretischen Werten, werden diese mit der numerisch bestimmten relativen Phasengeschwindigkeit berechnet. Aus der Simulation ergibt
sich der Gammafaktor γp2 ≈ 33, womit sich die maximale Energie mit (2.101) direkt aus der
theo
Potentialdifferenz (2.100) zu γmax
≈ 186. Dieser Wert liegt höher als der durch die Simulasim
tion erreichte Energiewert γmax
, obwohl noch nicht die Amplitudenerhöhung berücksichtigt
wurde. Deshalb muss davon ausgegangen werden, dass die Einkopplung der Elektronen in
die Plasmawelle nicht optimal ist.
Für die Beschleunigung von Elektronen durch Wellenbrechen wird eine Plasmawelle mit
einer Laserintensität von A0 = 3 in einem Plasma mit der Dichte α = 0, 01 erzeugt. Im
Verlauf der Propagation wächst die Amplitude der Plasmawelle an und, wie durch die Simulation festgestellt werden kann, überschreitet das Wellenbrechlimit Ex /E0 ≈ 2, 7. Abbildung
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
log(Anzahl der Teilchen)
74
0
20
40
60
γ
80
100
120
log(Anzahl der Teilchen)
Abbildung 21: Verteilung der Elektronenenergien bei t ≈ 246 für eine Laseramplitude A0 = 2
und eine Dichte α = 0, 01.
0
100
200
300
γ
400
500
600
Abbildung 22: Verteilung der Elektronenenergien bei t ≈ 600 für eine Laseramplitude A0 = 3
und eine Dichte α = 0, 01.
6.1 Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen
75
Eges
EEM
Ex
Epart
1,5e+06
Energie
bes
Epart
1e+06
5e+05
0
0
100
200
300
t
400
500
600
Abbildung 23: Die Gesamtenergie im Verlauf der Simulation für α = 0, 01 und A0 = 3. Die
kinetische Energie der Teilchen ist aufgeteilt in Anteile für die beschleunigten
bes
Teilchen Epart
für γ ≥ 20 und in Anteil für langsame Teilchen Epart mit γ < 20.
sim
20 zeigt, dass für diesen Fall die maximalen Elektronenenergien von γmax
≈ 540 erreicht
werden. Sehr gut zu erkennen ist, dass die Elektronen erst ab x ≈ 175 beschleunigt werden,
d.h. dass es erst nach ungefähr dieser Propagationsstrecke des Laserpulses zum Brechen der
Plasmawelle kommt. Jedoch zeigt sich in Abbildung 22 auch hier eine sehr große Breite in
der Energieverteilung um die mittlere Elektronenenergie γ ≈ 375 mit einer Abweichung von
±∆γ ≈ 130. Für die Berechnung der theoretisch erwarteten Werte wird wieder die numerisch
ermittelte, mittlere Phasengeschwindigkeit, in diesem Fall γp2 ≈ 31, genutzt, sowie die Amplitude der Plasmawelle beim Wellenbrechen, also Ex /E0 ≈ 2, 7. Für diese Werte ergibt sich,
theo
in guter Übereinstimmung mit dem Simulationsergebnis, γmax
≈ 549. Zur Verdeutlichung
der Abnahme der Laserfeldenergie ist in Abbildung 23 die Energie im Verlauf der Simulation
dargestellt. Wie man sieht, nimmt die Feldenergie des Laserpulses durch die Teilchenbeschleunigung ab. Es zeigt sich aber, dass das Laserfeld nach der Beschleunigungsstrecke von
x ≈ t ≈ 600 noch nicht erschöpft ist, so dass die maximale Beschleunigungsstrecke durch die
Verstimmungslänge bestimmt ist. Des Weiteren zeigt die Kurve der beschleunigten Teilchen
ab t ≈ 500 Schwankungen, die darauf zurückzuführen sind, dass einige Teilchen in Bereiche
mit Ex > 0 der Plasmawelle kommen und dadurch wieder Energie verlieren.
Für die Dichte α = 0, 001 erreichen die an der Plasmagrenzschicht eingefangen Elektro-
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
Anzahl der Teilchen
76
0
200
400
600
γ
800
1000
1200
Abbildung 24: Spektrum der Elektronenenergien bei t ≈ 6000 für den Einfang an der Plasmagrenzschicht für A0 = 2 bei einer Dichte von α = 0, 001. Aus Gründen der
Sichtbarkeit ist die Abbildung in y-Richtung sehr stark vergrößert.
sim
≈ 1020. Aber auch
nen bei einer Laseramplitude von A0 = 2 eine maximale Energie von γmax
hier zeigt sich eine sehr große Breite der Energieverteilung von ±∆γ ≈ 185 um die mittlere
Energie der beschleunigten Teilchen γ ≈ 835, welche sehr unvorteilhaft ist. Mit der numerisch
theo
ermittelten mittleren Phasengeschwindigkeit γp2 ≈ 882, ergibt sich γmax
≈ 4882, welcher viel
höher liegt als der Simulationswert. Diese Abweichung ist wieder damit zu erklären, dass die
Einkopplung der Elektronen beim Einfang an der Plasmagrenzschicht nicht optimal ist. Im
Vergleich zur Dichte α = 0, 01 zeigt sich jedoch, dass die maximale Elektronenenergie um
einen Faktor ∼ 5, 5 höher liegt.
6.2
Beschleunigung eines externen Elektronenstrahls
Aufgrund der nicht optimalen Ergebnisse, hinsichtlich des Energiespektrums und der maximal erreichten Energie, für die Elektronenbeschleunigung aus kalten Plasmen heraus, soll
in diesem Teil ein externes Elektronenbündel kontrolliert in die Plasmawelle eingekoppelt
werden, um eine optimale Beschleunigung zu erreichen. Das Elektronenbündel wird dabei
hinter dem Laserpuls initialisiert, um dann in die erste Periode der Plasmawelle hinter dem
Laserpuls, welche die maximalen Amplitude aufweist, einzukoppeln. Des Weiteren befinden
sich in dieser Periode nach Abschnitt 6.1 keine Elektronen, die an der Grenzschicht einge-
6.2 Beschleunigung eines externen Elektronenstrahls
log(Anzahl der Teilchen)
77
0
100
200
γ
300
400
Abbildung 25: Energiespektrum nach der Beschleunigung der externen Elektronen für α =
0, 01 und A0 = 2 mit der Anfangsenergie γ0 = 20 mit den Breiten der Verteilung
von ∆γ0 = 2 (schwarz) und ∆γ0 = 0.2 (rot).
fangen werden, so dass es mit diesen Teilchen zu keiner Wechselwirkung kommt. Außerdem
besitzen dadurch die beschleunigten Elektronen des Bündels und die Elektronen, die aus dem
Plasma stammen, eine räumliche Trennung von mindestens λP W /2. Die externen Elektronen
werden mit einer einstellbaren Halbwertsbreite um eine mittlere Anfangsenergie initialisiert.
Der Ort der Elektronen wird so gewählt, dass sie optimal in die Plasmawelle einkoppeln und
die maximale Beschleunigungsstrecke ausnutzen. Die Laseramplitude wird hier mit A0 = 2
eingestellt, um sicherzustellen, dass für die Plasmawellenamplitude Ex < EW B gilt und die
Beschleunigung des externen Elektronenbündels nicht durch Wellenbrechen beeinflusst wird.
Die Elektronen werden mit einer mittleren Anfangsenergie γ0 = 20 bei einer Dichte von
α = 0.01 in die Plasmawelle eingekoppelt. Nach einer Beschleunigungsstrecke von x ≈ 450
wird die maximale Energie von γmax ≈ 264 erreicht. Abbildung 25 zeigt das Energiespektrum der Elektronen nach der Beschleunigungsstrecke für verschiedene Halbwertsbreiten von
10%γ0 (schwarz) bzw. 1%γ0 (rot) der Anfangsenergieverteilung, wobei für die Anzahl der
Teilchen die logarithmische Darstellung gewählt wurde. Wie zu erkennen ist, ergibt sich in
beiden Fällen eine gleichmäßige Energieverteilung um die mittlere Energie der beschleunigten Teilchen γ̄ ≈ 230. Die Gammafaktoren sind dabei über γ̄ ± ∆γ mit ∆γ 10% ≈ 40 bzw.
∆γ 1% ≈ 33 verteilt. Der Vergleich mit der Theorie gestaltet sich aufgrund der Erhöhung der
Plasmawellenamplitude auch in diesem Fall schwierig. Um hier genauere theoretische Vor-
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
78
hersagen zu machen, wird die Bewegungsgleichung des Testelektrons betrachtet, welche nur
durch das elektrostatische Feld der Plasmawelle gegeben ist:
dγ
dγ
=
dz
dξ
vp
1−
= −E(ξ),
vz
mit der Transformation in das bewegte Bezugssystem der Plasmawelle ξ = z − vp t und dem
p
Gammafaktor des Elektrons γ = 1/(1 − vz2 ). Durch Umformungen ergibt sich:
γvp
1− p
γ2 − 1
!
dγ = −E(ξ)dξ.
Nach Integration folgt:
ˆ
p
2
γ − vp γ − 1 + C = − E(ξ)dξ =: I,
mit der Integrationskonstante C. Für Geschwindigkeiten der Elektronen vz . 1 ist γ 2 1
p
und es kann die Näherung γ 2 − 1 ≈ γ gemacht werden, wodurch man erhält:
γ=
C
I
−
.
(1 − vp) (1 − vp )
Mit der Anfangsbedingung γ(0) = γ0 , folgt der Ausdruck:
−1
γ=
(1 − vp )
ˆ
E(ξ)dξ + γ0 .
Für die maximale Beschleunigung der Elektronen muss das Integral über den beschleunigenden Bereich der Welle, in den das Elektron eingekoppelt wird, gelöst werden. Aufgrund der
wachsenden Amplitude der Plasmawelle, wird dieses Integral numerisch am Anfang und am
Ende der Beschleunigung berechnet und, näherungsweise, der Mittelwert zur Berechnung des
maximalen Gammafaktors verwendet. Des Weiteren wird auch für die Phasengeschwindigkeit
numerisch ein mittlerer Wert bestimmt. In dieser Simulation beträgt der mittlere Wert des Integrals I¯ = 4, 57 und die mittlere Phasengeschwindigkeit der Plamawelle γp2 ≈ 33. Mit diesen
theo
Werten ergibt sich der erwartete maximale Gammafaktor zu γmax
≈ 299 + γ0 . Damit liegt die
durch die Simulation erreichte maximale Energie leicht unter der theoretischen Erwartung. In
diesem Fall ist dies darauf zurückzuschließen, dass der Einfluss der Amplitudenvergrößerung
6.2 Beschleunigung eines externen Elektronenstrahls
79
des elektrischen Feldes für die Berechnung der maximalen Energie gemittelt wurde. Durch
die Sägezahnform der Plasmawelle, erfahren die Elektronen jedoch am Anfang der Propagation die maximale Beschleunigung. Zu diesen Zeiten ist die Plasmawellenamplitude noch
klein im Vergleich zu ihrem Endwert. Somit muss davon davon ausgegangen werden, dass der
niedrigere Wert der Amplitude zu Beginn der Propagation einen größeren Einfluss besitzt als
in der Berechnung angenommmen wurde.
Für α = 0, 001 wird bei einer Laseramplitude von A0 = 2, 0 ein externes Elektronenbündel
mit einer mittleren Anfangsenergie von γ0 = 20 und einer Halbwertsbreite von ∆γ0 = 10%γ0
optimal in die Plasmawelle eingekoppelt. Dabei wird nach einer Beschleunigungsstrecke von
sim
≈ 1980 erreicht. Dies entspricht einer Erhöhung
x ≈ 10000 die maximale Energie von γmax
der maximalen Elektronenenergie um einen Faktor ∼ 2. Die Breite der resultierenden Energieverteilung um die mittlere Energie der beschleunigten Elektronen γ ≈ 1760 ist jedoch
±∆γ ≈ 220 und damit leicht größer als bei der Beschleunigung der an der Oberfläche eingefangen Elektronen. Im Gegensatz zur Dichte α = 0, 01, ist der theoretische Wert für die
theo
maximale Elektronenenergie γmax
≈ 4882, welche aus der numerisch bestimmten Phasengeschwindigkeit γp2 ≈ 882 berechnet wurde, im Vergleich zum Simulationsergebnis deutlich
zu hoch. Eine mögliche Erklärung ist, dass es über die lange Propgationsstrecke, die für die
Elektronenbeschleunigung bei dieser Dichte benötigt wird, doch zu minimalen Änderungen
der Plasmawellenamplitude kommt, welche vorher nicht beobachtet wurden. Aufgrund der
Tatsache, dass der theoretische erwartete Wert der maximalen Elektronenenergie (2.101) direkt von γp2 abhängig, kann es schon für minimale Geschwindigkeitsänderung zu signifikanten
Änderungen der maximalen Elektronenergie kommen. Für die Dichte α = 0, 001 lautet die
√
theoretische Phasengeschwindigkeit ohne relativistische Korrektur vph = 1 − α ≈ 0, 9995.
sim
Um γmax
zu erhalten, müsste die Phasengeschwindigkeit in der Simulation auf vph ≈ 0, 9972
gefallen sein, was einer Geschwindigkeitsänderung von nur ∆v ≈ 0, 0023 entsprechen würde.
Im Vergleich zur Beschleunigung der Elektronen aus kalten Plasmen in Abschnitt 6.1,
stellt das Resultat der extern eingekoppelten Elektronen eine erheblich Verbesserung für
die maximale erreichte Energie der Elektronen dar. Die Breite der Energieverteilung konnte
für die Dichte α = 0, 01 auch verkleinert werden. Die Hauptgründe für dieses verbesserte
Resultat sind, dass erstens, durch die kontrollierte Einkopplung der Elektronen in die Plasmawelle, die maximale Beschleunigungslänge ausgenutzt wurde, und zweitens, dass durch
die hohe räumliche Fokussierung der Elektronen von ∆x λP W , alle Elektronen eine ähnlich große Beschleunigung erfahren. Im Vergleich zur Theorie, fällt das Simulationsergebnis
für die externe Einkopplung bei einer Dichte von α = 0, 001 schlechter aus. Ein mögliche
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
Anzahl der Teilchen
80
0
500
1000
γ
1500
2000
Abbildung 26: Energiespektrum aufgenommen bei t ≈ 10000 für die Beschleunigung eines
externen Elektronenbündels mit der Anfangsenergie γ0 = 20 und ∆γ0 = 2, 0.
Die Plasmadichte beträgt α = 0, 001 und die Laseramplitude A0 = 2, 0.
Ursache dafür ist, dass es für diese Dichte doch zu minimalen Änderungen der Plasmawellenamplitude kommt, die vorher nicht beobachtet wurden. Diese kleinen Änderungen in der
Phasengeschwindigkeit können jedoch für vph ≈ 1 schon große Einflüsse auf die maximal
erreichbare Elektronenergie besitzten, da für diese γmax ∼ γp2 gilt.
6.3
Diskussion der Ergebnisse
Im ersten Teil dieses Abschnitts wurden zwei Mechanismen betrachtet mit denen Elektronen durch die nichtlineare Plasmawelle direkt aus dem Plasma beschleunigt werden. Dabei
zeigte sich für Plasmawellenamplituden unter dem Wellenbrechlimt, dass der Elektroneneinfang nur an der Plasmaoberfläche geschieht und in diesem Fall die Beschleunigungsstrecke
nicht optimal ausgenutzt wird. Durch die breite räumliche Verteilung der Elektronen, die in
der Plasmawelle eingefangen werden, erfahren diese stark unterschiedliche Beschleunigungsgradienten, welches in einem sehr breiten Energiespektrum der beschleunigten Elektronen
resultiert. Höhere Elektronenergien wurden mit dem Elektroneneinfang durch Wellenbrechen
erreicht. Zum einen, weil in diesem Fall höhere Plasmawellenamplituden erzeugt werden, aber
zum anderen auch, weil durch diesen Mechanismus die Elektronen die Beschleunigungsstrecke besser ausnutzen. Jedoch zeigte die Energieverteilung in beiden Fällen eine sehr große
6.3 Diskussion der Ergebnisse
81
Breite, welche für mögliche Anwendungen nicht wünschenswert ist. Im zweiten Teil wurde die
Beschleunigung eines externen Elektronenbündels simuliert. Durch die optimale Einkopplung
der Elektronen in die Plasmawelle, konnte das Ergebnis im Vergleich zu den aus dem Plasma beschleunigten Elektronen erheblich verbessert werden. Des Weiteren zeigte sich für die
Dichte α = 0, 01, durch die hohe räumliche Fokussierung der Elektronen bei der Einkopplung
in die Plasmawelle, auch eine kleinere Breite der Energieverteilung am Ende der Beschleunigungsstrecke. Diese ist aber insgesamt gesehen noch sehr groß ist. Außerdem konnte für
diese Dichte, durch aus der Simulation gewonnene Größen wie Phasengeschwindigkeit und
Plasmawellenamplitude, eine gute theoretische Vorhersage getroffen werden. Für α = 0, 001
konnten die theoretisch erwarteten Werte nicht erreicht werden, da es offensichtlich, nicht wie
vorher angenommen, doch zu kleinen Änderungen der Plasmawellenamplitude kommt, die die
Phasengeschwindigkeit beeinflussen. Zusätzlich wurde deutlich, dass durch sehr underdichte
Plasmen viel höhere Elektronenenergien von bis zu ∼ 1GeV erreicht werden (die Ruhemasse von Elektronen beträgt m0 c2 ≈ 0, 511MeV, die Elektronenenergie ist durch E = m0 c2 γ
gegeben), da in diesem Fall die Differenz zwischen Elektronengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit der Elektronen minimiert wird und dadurch die Beschleunigungstrecke größer
wird.
In der experimentellen Realisation lieferte in der Vergangenheit die Beschleunigung von
Elektronen aus kaltem Plasma durch Wellenbrechen die besten Resultate bezüglich der Strahlqualität der Elektronen. Im Jahr 2004 gelang es das erste Mal experimentell ein Elektronenbündel mit E = 170MeV und einer Breite der Energieverteilung von 24% zu erzeugen [16]. In
diesem Experiment wurden die Plasmawellen durch selbstmodulierende Laserpulse erzeugt.
Dabei werden die Elektronen, aufgrund der Dreidimensionalität, durch die ponderomotorische
Kraft nicht nur longitudinal beschleunigt, sondern auch radial aus dem Laserfokus herausgedrückt. Dadurch ensteht hinter dem Laserpuls eine Kavität, die auch als plasma bubble oder
blow-out regime bezeichnet wird. Die Selbstmodulation des Laserpulses durch die Wechselwirkung mit der Plasmawelle, wie sie auch in dieser Arbeit für Dichten von α = 0, 01 aufgetreten
ist, erzeugt einen Anstieg der Plasmawellenamplitude im Verlauf der Propagation. Dadurch
erreicht die Plasmawellenamplitude erst nach einer bestimmten Propagationsstrecke im Plasma das Wellenbrechlimit und es kommt zu dem in Abschnitt 6.1 illustrierten Elektroneneinfang; im Englischen auch als self-trapping bezeichnet. In diesem Fall werden die Elektronen in
der Kavität eingefangen und beschleunigt. In der Kavität kommt es zu zusätzlichen Effekten,
die positive Auswirkung auf die Fokussierung des Elektronenstrahls haben. Durch die sphärische Geometrie der Kavität enstehen radiale Kräfte, die den Elektronenstrahl fokussieren
82
6 Elektronenbeschleunigung mit Plasmawellen
[58]. In weiteren Experimenten wurden im Jahr 2006 inzwischen Elektronenenergie von bis
zu 1 GeV erreicht mit einer Breite der Energieverteilung von 10% [19]. In diesem Experiment
wurde ein Laserpuls mit der Länge von 40fs und einer Leistung von 40TW = 40·1012 W auf ein
Gas mit der Dichte 4, 3·1018 cm1 3 fokussiert. Im Fokus betrug der Strahldurchmesser r0 = 25µm
bei einer Wellenlänge von λ = 0, 81µm. Diese Werte können in dimensionslose Größen umgerechnet werden. Für den Simulationsparameter α gilt die Umrechnung α = n0 /nkr , mit
der kritischen Dichte nkr ≈ 1, 1 · 1021 /λ2 [µm] · cm1 3 [26]. Des Weiteren läßt sich die Laserleistung in die normierte Amplitude durch P [GW] ≈ 21, 5 (Ar0 /λ[µm])2 umrechnen [39]. Für
das Experiment bedeutet dies, dass α ≈ 0, 0025 mit A0 ≈ 1, 5 gewählt wurde. Für den in
der Simulation verwendeten ähnlichen Parameterbereich wurden also vergleichbare Ergebnisse berechnet. Leider handelt es sich bei der Entstehung der Kavität im Plasma um einen
dreidimensionalen Effekt, der nicht mit dem in dieser Arbeit verwendeten Algorithmus simuliert werden kann. Somit werden auch nicht die fokussierenden Eigenschaften dieser Kavität
berücksichtigt, was ein Grund dafür sein kann, dass die Simulation Energiespektren lieferte,
die breiter sind als das experimentelle Resultat.
Für die Beschleunigung eines externen Elektronenbündels wurde dieses als sehr idealisiert
mit einer hohen räumlichen Fokussierung angenommen. Eine Möglichkeit zur Einkopplung
von externen Elektronen liegt auf der Hand. Zuerst werden Elektronen aus kaltem Plasma
herausbeschleunigt und dann direkt in die Plasmawelle einer zweiten Beschleunigungsstufe
eingekoppelt. Eine weitere Möglichkeit ist die ponderomotorische Einkopplung. Bei der ponderomotorischen Einkopplung wird ein zusätzlicher Laserpuls eingesetzt. Der erste Laserpuls
erzeugt die Plasmawelle, während der zweite Laserpuls Elektronen beschleunigt und diese,
bei richtiger Ausrichtung der Laserpulse, in die Plasmawelle einkoppelt [59].
83
7
Zusammenfassung und Ausblick
In der vorliegenden Arbeit wurde die Elektronenbeschleunigung durch nichtlineare Plasmawellen und deren Erzeugung durch hochintensive Laserpulse mit einer relativistischen, elektromagnetischen 1D3V-Particle-in-Cell Simulation untersucht. Die Genauigkeit des Algorithmus wurde zuvor durch die Simulation von wohlbekannten Effekten in thermischen Plasmen
bestätigt. Der Fokus des Hauptteils lag insbesondere auf der genauen Untersuchung der Plasmawellenerzeugung durch Laserpulse und deren Eigenschaften, sowie auf der Beschleunigung
von Elektronen mit diesen Plasmawellen. Für die Beschleunigung wurde zum einen der Einfang von Elektronen direkt aus dem Plasma und zum anderen die Einkopplung eines externen
Elektronenbündels betrachtet.
Die theoretischen Grundlagen dieser Arbeit wurden in Kapitel 2 erarbeitet. Die Herleitung der Bohm-Gross-Relation und der linearen Landau-Dämpfung in thermischen Plasmen erfolgte im Rahmen der Vlasov-Theorie. Des Weiteren wurde ein kurzer Überblick
über die nichtlineare Landau-Dämpfung gegeben. Nach der Einführung der in der Simulation verwendeten dimensionslosen Größen, konnte anschaulich gezeigt werden, dass sich die
ponderomotorische Kraft durch die zeitliche Mittelung über die schnellen Oszillationensbewegungen eines Teilchens im Laserfeld ergibt. Diese Kraft bildete auch die Grundlage für die
Plasmawellenerzeugung durch Laserpulse, welche für den linearen Fall sinusförmig sind. Für
den nichtlinearen Fall konnte, durch die Transformation in das mitbewegte Bezugssystem
des Laserpulses und die quasistatische Approximation, die Bestimmungsgleichung für das
elektrostatische Potential hergeleitet werden, aus der sich die theoretischen Vorhersagen für
die grundlegenden Eigenschaften der Plasmawelle ergab. Die theoretische Beschreibung der
Teilchenbeschleunigung geschah über die Betrachtung der Hamilton-Funktion eines Testelektrons, welches sich im elektrostatischen Potential der Welle bewegt. Zusammen mit dem
Potential der Plasmawelle, ließen sich so Vorhersagen für die maximale Teilchenenergie angeben.
In Kapitel 3 wurde zuerst die grundsätzliche Konzeption einer PIC-Simualtion erklärt,
um somit ein besseres Verständnis für den in dieser Arbeit verwendeten Algorithmus zu erhalten. Des Weiteren wurden noch einige Erweiterungen erläutert, um die Simulation der
Aufgabestellung dieser Arbeit anzupassen. Die Ergebnisse für das thermische Plasma in Kapitel 4 zeigten eine sehr gute Übereinstimmung mit der Theorie. Außerdem konnte sogar die
nichtlineare Landau-Dämpfung anhand der Beobachtung des Langzeitverhaltens der Plasmaoszillationen einhergehend mit der Betrachtung der Geschwindigkeitsverteilung sichtbar
84
7 Zusammenfassung und Ausblick
gemacht werden.
Das Hauptaugenmerk in Kapitel 5 lag auf der Plasmawellenerzeugung durch Laserpulse,
sowie die Untersuchung von deren Eigenschaften. Es zeigte sich, dass die Plasmawellenamplitude für einen idealisierten Rechteckpuls gut mit den theoretischen Erwartungen übereinstimmen. Jedoch trat für das Dichteverhältnis α = ne /nkr = 0, 01 eine unvorhergesehene
Erhöhung der Plasmawellenamplitude im Verlauf der Propagation auf, welche einen großen
Einfluss auf die relative Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle hat. Aus diesem Grund wurde, nach Ausschluss von numerischen Ursachen über die Energieerhaltung des simulierten
Systems, dieser Effekt durch den direkten Vergleich mit einem Flüssigkeitsmodell, in dem
ein vorgegebenes Treiberfeld benutzt wurde, näher untersucht. Dieser Ansatz brachte keine
Erklärung für das Phänomen, so dass von einer Rückwirkung des Plasmas auf den Laserpuls
auszugehen ist. Aktuelle Untersuchungen zeigen, dass die Dichteschwankungen, welche die
elektrostatische Welle erzeugen, eine Kompression des Laserpulses herbeiführen, welche eine
Intensitätserhöhung verursacht. Durch die Intensitätserhöhung kommt es zu einer Erhöhung
der Plasmawellenamplitude. Da die veränderliche Plasmawellenamplitude auch die Phasengeschwindigkeit der Welle beeinflusst, wurde diese deswegen im weiteren Verlauf der Arbeit
numerisch bestimmt. Dadurch konnte auch für das Wellenbrechlimit ein gute Übereinstimmung mit der Theorie gefunden werden.
Für die Elektronenbeschleunigung wurde im ersten Teil von Kapitel 6 zuerst der Elektroneneinfang direkt aus einem kalten Plasma untersucht. Dabei wurde ein genaues Verständnis
für den Einfang der Elektronen an der Plasmagrenzschicht und den Selbsteinfang der Elektronen beim Wellenbrechen entwickelt. Die Ergebnisse für die maximale Energie, wie auch für die
Breite der resultierenden Energieverteilung der Elektronen, waren jedoch nicht ideal, weswegen im zweiten Teil dieses Kapitels versucht wurde, die Elektronenbeschleunigung durch die
kontrollierte Einkopplung eines externen Elektronenbündels zu optimieren. Dadurch konnte
eine erhebliche Verbesserung der Resultate erreicht werden. Des Weiteren stellte sich heraus,
dass die Elektronenbeschleunigung in sehr underdichten Plasmen am effektivsten ist, was auf
die in diesem Fall höhere Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle zurückzuführen ist. Dadurch wird die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Elektronen und Plasmawelle verkleinert,
was zur Folge hat, dass die Verstimmungslänge vergrößert wird. Vergleiche mit den aktuellen
Experimenten zeigten, dass mit der Simulation vergleichbare Ergebnisse für die maximale
Elektronenenergie bei ähnlichen Parametereinstellungen erhalten wurden. Jedoch konnte die
gute Strahlqualität des experimentellen Resultats nicht reproduziert werden. Die möglichen
Gründen dafür können die in der Simulation fehlenden dreidimensionalen Effekte sein. Durch
85
die Dreidimensionalität treten durch die ponderomotorische Kraft Kavitäten im Plasma auf,
welche einen fokussierenden Effekt auf das Elektronenbündel besitzen.
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die Genauigkeit des Algorithmus anhand des Vergleichs der Simulationsergebnisse mit den analytischen Lösungen für Plasmaschwingungen in thermischen Plasmen bestätigt wurde. Des Weiteren ergab sich eine gute
Übereinstimmung für die Simulation der Plasmawellenerzeugung durch kurze Laserpulse mit
dem vorgestellten analytischen Modell, welche außerdem durch die Berechnungen im Rahmen eines einfachen Flüssigkeitsmodell bestätigt wurden. Eine weitere wichtige Erkenntnis
ist, dass es, durch die Wechselwirkung der Plasmawelle auf das Laserfeld, zu einer Kompression des Pulses kommen kann, welche eine Amplitudenerhöhung der Plasmawelle verursacht.
Aufgrund der damit verbundenen Vergrößerung der Wellenlänge und Verkleinerung der Phasengeschwindigkeit besitzt dieser Effekt einen großen Einfluss auf die Teilchenbeschleunigung
und die Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle musste aus der Simulation bestimmt werden.
Außerdem wurde der Prozess des Elektroneneinfangs an der Plasmagrenzschicht und durch
Wellenbrechen genau verstanden und dargestellt. Die durch diese Prozesse erreichte maximale Elektronenenergie, sowie die Strahlqualität, konnten durch die kontrollierte Einkopplung
eines externen Elektronenbündels signifikant verbessert werden. Abschließend bleibt festzuhalten, dass die Teilchenbeschleunigung in sehr underdichten Plasmen die vielversprechensten
Ergebnisse lieferten.
Für zukünftige Arbeiten wäre es wünschenswert den hier verwendeten Algorithmus auf
zwei oder drei Dimensionen zu erweitern, um auch den Einfluss von weiteren Effekten auf die
Plasmawellenerzeugung und die Elektronenbeschleunigung zu untersuchen. So spielen zum
Beispiel bei der Propagation des Laserpulses im Plasma auch Beugungseffekte eine große Rolle, die die Plasmawellenerzeugung beeinflussen. Des Weiteren lassen sich nichtlineare Effekte,
wie zum Beispiel die Selbstfokussierung des Pulses, in drei Dimensionen besser beobachten.
Für die Teilchenbeschleunigung besitzt die Kavität im Plasma einen großen Einfluss, welche
sich auch nur mit einem dreidimensionalen Algorithmus simulieren läßt. Ein weiterer sehr
interessanter Punkt wäre die genauere Untersuchung des Anwachsens der Plasmawelle, wie
auch die Entwicklung eines theoretischen Modells für diesen Effekt. Des Weiteren könnte diese Simulation auch dazu verwendet werden, um Ionenbeschleunigung zu untersuchen. Dafür
müsste die Ionenbewegung in den Algorithmus implementiert werden. Von besonderen Interesse wäre hierbei, den Einfluss der Elektronenbeschleunigung aus einem kalten Plasma auf die
Raumladungszone hinter einer Plasmaschicht, welche die Ionenbeschleunigung verursacht, zu
untersuchen.
B Herleitungen für die nichtlineare Plasmawelle
86
A
Die Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation einer Funktion f (t) und ihre Rücktransformation sind gegeben
durch:
ˆ∞
fˆ(ω) =
dtf (t)eiωt ,
I(ω) > 0,
(A.1)
0
∞+is
ˆ
f (t) =
dω ˆ
f (ω)e−iωt ,
2π
t > 0,
(A.2)
−∞+is
mit der Annahme, dass fˆ(ω) in der Halbebene I(ω) > s konvergent ist. Durch partielle
Ableitung kann die Laplace-Transformierte von ∂t f (t) erhalten werden,
ˆ∞
dt
∂f (t) iωt
e = −f (0) − iω fˆ(ω).
∂t
(A.3)
0
B
B.1
Herleitungen für die nichtlineare Plasmawelle
Herleitung der Gleichungen (2.75) - (2.78)
Die Transformation erfolgt mit ξ = z − vg t und τ = t in das mitbewegte Koordinatensystem
des Laserpulses mit der Geschwindigkeit vg , wobei ∂z = ∂ξ und ∂t = ∂τ − vg ∂ξ verwendet
wird. Die Wellengleichung ist nach (2.70) durch
∂ 2A ∂ 2A
A
− 2 = αn
2
∂z
∂t
γ
(B.1)
gegeben. Für die erste und zweite Ableitung des Vektorpotentials nach der Zeit gilt:
∂A
∂A
∂A
=
− vg
,
∂t
∂τ
∂ξ
2
∂ 2A
∂ 2A
∂ 2A
2∂ A
=
− 2vg
+ vg 2 .
∂t2
∂τ 2
∂ξ∂τ
∂ξ
(B.2)
(B.3)
B.1 Herleitung der Gleichungen (2.75) - (2.78)
87
Dadurch ergibt sich insgesamt:
1−
vg2
∂2
∂2
∂2
−
+
2v
g
∂ξ 2
∂ξ∂τ
∂τ 2
A=
1
αnA,
γ
(B.4)
woraus direkt (2.75) folgt.
Durch die Transformation der Bewegungsgleichung erhält man:
∂(γvz )
∂
∂(γvz )
− vg
=
(Φ − γ) ,
∂τ
∂ξ
∂ξ
(B.5)
woraus (2.76) folgt.
Für die Transformation der Kontinuitätsgleichung (2.74) gilt:
∂n
∂
∂n
∂n ∂(nvz )
+
(nvz ) =
− vg
+
,
∂t
∂z
∂τ
∂ξ
∂ξ
woraus direkt (2.77) folgt.
(B.6)
B Herleitungen für die nichtlineare Plasmawelle
88
B.2
Herleitung der Poisson-Gleichung (2.81)
Der Gammafaktor ist gegeben durch:
γ 2 = 1 + p2z + A2 ⇔ vz2 = 1 −
1 + A2
γ2
(B.7)
Durch Quadrieren von (2.80) erhält man:
(1 + Φ)2 = γ 2 (1 − vg vz )2
= γ 2 2 (1 − vg vz ) + vg2 vz2 − 1
2
2
21 + A
2 2 (1 + Φ)
+ vg − 1 − vg
= γ
γ
γ2
γ2
= 2γ(1 + Φ) − 2 − vg2 (1 + A2 ),
γg
(B.8)
wobei (2.80) selber und (B.7) verwendet wurde. Durch Umformen folgt:
1−
2
2γ
γ2
2 1+A
=
−v
+
g
1 + Φ γg2 (1 + Φ)2
(1 + Φ)2
2γ
γ2
1
1 + A2
2
−
+
=
−v
g
γg2 γg2 (1 + Φ) γg4 (1 + Φ)2
γg2 (1 + Φ)2
"
#
2
2γ
γ2
1
+
A
2
1− 2
+
.
2 = vg 1 − 2
4
γg (1 + Φ) γg (1 + Φ)
γg (1 + Φ)2
(B.9)
Diese quadratische Gleichung für γ kann leicht gelöst werden:

γ = γg2 (1 + Φ) 1 − vg2
2
1−
γg2
1+A
(1 + Φ)2
!1/2 
.
(B.10)
Nun kann (2.80) nach vz aufgelöst werden und (B.10) eingesetzt werden:
vz
1
1+Φ
=
1−
vg
γ
1
1
=
1− 2
,
vg
γg (1 − vg ψ)
(B.11)
B.2 Herleitung der Poisson-Gleichung (2.81)
89
mit
ψ=
1 + A2
1−
γg2 (1 + Φ)2
!1/2
.
(B.12)
Durch weitere Umformung erhält man:
1
(1 − vg ψ)
−
vg
vg γg2
1
1
=
1− 2 −ψ
vg
γg
= vg − ψ,
vz (1 − vg ψ) =
(B.13)
woraus der folgend Ausdruck gewonnen werden kann:
vz =
vg − ψ
.
1 − vg ψ
(B.14)
Dadurch ergibt sich für (2.79) der einfache Ausdruck:
vg
vg − vz
vg (1 − vg ψ)
=
vg (1 − vg ψ) − vg − ψ
vg (1 − vg ψ)
=
ψ(1 − vg2 )
1
2
= γg vg
− vg .
ψ
n =
(B.15)
Somit lässt sich die Poisson-Gleichung (2.77) in A und Φ ausdrücken:
∂ 2Φ
= α(n − 1)
∂ξ 2
vg
2
= αγg
−1 .
ψ
Durch die Ersetzung mit ψ folgt sofort (2.81).
(B.16)
C Herleitungen des verwendeten Algorithmus
90
C
Herleitungen des verwendeten Algorithmus
C.1
Berechnung der y-Komponente der Stromdichte
Für die Lösung der Integrale wird die Substitution τ = t − tn durchgeführt. Damit ergeben
n+1/2
sich mit der in einem Zeitschritt zurückgelegten Strecke δjn+1 = δjn + vi,x ∆t die folgenden
Integrale:
• Die Ladungsverteilung überquert nur eine Gittergrenze bei xj+1/2 , d.h. 0 ≤ δjn+1 ≤ ∆x:
n+1/2
Fi,j
1
=
∆t
ˆ∆t
δj (τ )
dτ 1 −
∆x
0
n+1/2
δjn
1 vi,x ∆t
= 1−
−
∆x 2 ∆x!
δjn + δjn+1
1
=
2−
,
2
∆x
n+1/2
Fi,j+1
1
=
∆t
ˆ∆t
dτ
(C.1)
δj (τ )
∆x
0
δjn
n+1/2
1 vi,x ∆t
∆x 2 ∆x
n+1
1 δjn + δj
.
=
2
∆x
=
+
(C.2)
C.1 Berechnung der y-Komponente der Stromdichte
91
• Das Teilchen bewegt sich nach rechts und die Ladungsverteilung überquert zwei Gittergrenzen bei xj+1/2 und xj+3/2 , d.h. ∆x < δjn+1 ≤ 2∆x. Hier verändern sich die
Integrationsgrenzen und wir definieren t∗ als die Zeit, bei der das Teilchen i die Zelle j
n+1/2
bei δj (t∗ ) = δjn + vi,x t∗ = ∆x verlässt.
n+1/2
Fi,j
1
=
∆t
ˆt∗
δj (τ )
dτ 1 −
∆x
0
1
=
∆t
"
δjn
1−
∆x
n+1/2
1 vi,x
t −
t∗2
2 ∆x
#
∗

n+1/2
δjn
δjn
1 
∆x
1 vi,x
=
1−
1−
−
n+1/2
∆t
∆x vi,x
∆x
2 ∆x
δjn 2
1 ∆x
1−
=
,
n+1/2
2 vi,x
∆x
∆t
n+1/2
Fi,j+1
1
=
∆t
ˆt∗
δj (τ )
1
dτ
+
∆x
∆t
1−
δjn
∆x
2


(C.3)
δj (τ )
dτ 2 −
∆x
t∗
n+1/2
1 vi,x
∗2
0
"
ˆ∆t
∆x
n+1/2
vi,x
!2 #
n+1/2
δjn
1 vi,x
1
∗
∗
2
∗2
t +
t + 2−
(∆t − t ) −
∆t − t
=
∆t ∆x
2 ∆x
∆x
2 ∆x
"
#
n+1/2
n+1/2
n v
v
δjn
δ
1
1
i,x
j
i,x
(−2) 1 −
t∗ +
t∗2 + 2 −
∆t −
∆t2
=
∆t
∆x
∆x
∆x
2 ∆x
"
δjn 2 ∆x
δjn 2 ∆x
1
+ 1−
=
(−2) 1 −
n+1/2
n+1/2
∆t
∆x vi,x
∆x vi,x
#
n+1
δjn
1 δj − δjn
+ 2−
∆t −
∆t
∆x
2
∆x
!
n+1
δjn 2
−∆x
1 δjn − δj
= n+1/2
1−
+ 2−
∆t ,
(C.4)
∆x
2
∆x
vi,x ∆t
n+1/2
Fi,j+2
1
=
∆t
δjn
ˆ∆t
dτ
δj (τ )
−1
∆x
t∗
1
=
∆t
"
δjn
−1 +
∆x
n+1/2
1 vi,x
(∆t − t∗ ) −
2 ∆x
#
∆t2 − t∗2
C Herleitungen des verwendeten Algorithmus
92
δjn 2 ∆x
δjn 2
1 ∆x
1−
−
1−
n+1/2
n+1/2
∆x vi,x
2 vi,x
∆x
∆t
!
n+1/2
δjn
1 vi,x ∆t
+
+ −1 +
∆x 2 ∆x
!
n+1/2
δjn 2
δjn
1 ∆x
1 vi,x ∆t
=
1−
+
.
+ −1 +
n+1/2
2 vi,x
∆x
∆x 2 ∆x
∆t
1
=
∆t
(C.5)
• Das Teilchen bewegt sich nach links und die Ladungsverteilung überquert zwei Gittergrenzen bei xj+1/2 und xj−1/2 , d.h. −∆x < δjn+1 < 0. Auch hier verändern sich die
Integrationsgrenzen und wir definieren t∗ als die Zeit, bei der das Teilchen i die Zelle j
n+1/2
bei δj (t∗ ) = δjn + vi,x t∗ = ∆x verlässt.
n+1/2
Fi,j
n+1/2
Fi,j−1
ˆ∆t δj (τ )
1
δj (τ )
dτ 1 −
+
dτ 1 +
∆x
∆t
∆x
0
t∗
"
δjn 2
δjn
1
1 ∆x
1−
+
=
1+
(∆t − t∗ )
n+1/2
2 vi,x ∆t
∆x
∆t
∆x
#
n+1/2
1 vi,x
∆t2 − t∗2
+
2 ∆x
!
n+1/2
δjn
δjn
1 vi,x ∆t
∆x
+ 1+
+
,
= n+1/2
∆x 2 ∆x
vi,x ∆t ∆x
1
=
∆t
1
=
∆t
ˆt∗
ˆ∆t
(C.6)
δj (τ )
dτ −
∆x
t∗
"
#
n+1/2
v
δjn
1
1
i,x
−
(∆t − t∗ ) −
∆t2 − t∗2
=
∆t
∆x
2 ∆x

!2
n+1/2
1  δjn −δjn
1 vi,x
∆x δjn
=
+
− ∆t
n+1/2
n+1/2
∆t ∆x vi,x
2 ∆x
vi,x ∆x
n+1/2
δjn
1 vi,x ∆t
+
∆x 2 ∆x
!

C.2 Lösung der Bewegungsgleichung
1 ∆x
= − n+1/2
2 vi,x ∆t
n+1/2
Fi,j−1
1
=
∆t
ˆ∆t
93
δjn
∆x
n+1/2
2
δjn
1 vi,x ∆t
+
∆x 2 ∆x
−
!
,
(C.7)
δj (τ )
dτ −
∆x
t∗
#
n+1/2
n
v
δ
1 i,x
1
j
−
(∆t − t∗ ) −
∆t2 − t∗2
=
∆t
∆x
2 ∆x

!2
n+1/2
1  δjn −δjn
1 vi,x
∆x δjn
=
+
n+1/2
n+1/2
∆t ∆x vi,x
2 ∆x
vi,x ∆x
!
n+1/2
n
δj
1 vi,x ∆t 
− ∆t
+
∆x 2 ∆x
!
n 2
n+1/2
δj
δjn
1 vi,x ∆t
1 ∆x
−
+
,
= − n+1/2
2 vi,x ∆t ∆x
∆x 2 ∆x
"
n+1/2
Fi,j−1
1
=
∆t
ˆt∗
dτ
(C.8)
δj (τ )
∆x
0
"
n+1/2
δjn ∗ 1 vi,x
1
=
t +
t∗2
∆t ∆x
2 ∆x
n 2
δj
1 ∆x
= − n+1/2
2 vi,x ∆t ∆x
C.2
#
(C.9)
Lösung der Bewegungsgleichung
Mit der Matrix M = 1 − ∆2 A und ihrer Inversen M−1 kann (3.50) auf eine explizite Form
für die neuen Impulse gebracht werden,
⇔
M · pn+1/2 − pn−1/2 = f pn−1/2 , tn ∆
pn+1/2 = pn−1/2 + M−1 · f pn−1/2 , tn ∆.
(C.10)
C Herleitungen des verwendeten Algorithmus
94
Dabei läßt sich die Matrix A durch den geschwindigkeitsabhängigen Anteil der Kraft f in
Komponentenschreibeweise zur Zeit tn−1/2 folgendermaßen darstellen,
∂fi
∂
Aij =
= σα0 ikl
∂pj
∂pj
1
1
pk Bl = σα0 ikl (δkj − vk vj ) Bl ,
γ(p)
γ
(C.11)
mit ∂pj (pk /γ) = (δkj − vk vl )/γ. Dadurch erhält man die folgende Darstellung von M :
Mij = δij − ikl Ωl (δkl − vk vj ),
mit Ωl =
σα0 ∆ Bl
.
2 γ
(C.12)
Da bei der Wahl der Felder in Abschnitt 3.2.1 das magnetische Feld in z-Richtung orientiert
ist, folgt mit Ωz = Ω:

1 + Ωvx vy −Ω(1 − vy2 ) Ωvy vz
M =  Ω(1 − vx2 ) 1 − Ωvx vy −Ωvx vz  .
0
0
1

(C.13)
Desweiteren wirkt keine Kraft in z-Richtung, weswegen vz konstant ist. Zur Beschreibung der
Bewegung in der (x, y)-Ebene können also die letzte Zeile und Spalte von M vernachlässigt
werden, man erhält die Inverse der verbliebenen 2 × 2 Matrix:
M
−1
1
=
D
1 − Ωvx vy Ω(1 − vy2 )
−Ω(1 − vx2 ) 1 + Ωvx vy
,
(C.14)
mit der Determinante D = det |M| = 1 + Ω2 (1 − vx2 − vy2 ). Durch eine weitere Aufspaltung
der Inversen in
1
Ω −vx vy −vy2
1
Ω
−1
M = R1 + R2 =
+
(C.15)
vx vy
vx2
D −Ω 1
D
erkennt man, dass für R2 gilt:
R2 · (v × B) = 0
Ω
R2 · E = E · v
D
vy
−vx
.
(C.16)
Das Produkt R1 · f verschwindet nicht und man erhält durch Zusammenfassen der nicht
verschwindenden Anteile von M−1 die Darstellung (3.51).
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Hiermit bestätige ich, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig verfasst habe
und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Des Weiteren habe ich alle Zitate und evtl. entnomme Abbildungen kenntlich gemacht.
Sebastian Gomm
Aachen, den 02.06.2010