Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

Physik-Department LS für Funktionelle Materialien
WS 2015/16
Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Dr. Neelima Paul, Nitin Saxena,
Daniel Moseguí González, Johannes Schlipf
Vorlesung 25.11.2015, Übungen 30.11. und 02.12.2015
(am Do 03.12.2015: Dies academicus)
Blatt 7
1. Radioaktiver Zerfall
Ein ruhender Kern von Plutonium-240 (Masse 240 u) zerfällt in einen Kern von Uran-236 (Masse
236 u) und emittiert dabei ein Alphateilchen der Masse 4,00 u (siehe Skizze der Situation nach
dem Zerfall). Die kinetische Energie des Alphateilchens wird mit 6,00 MeV gemessen. Wie hoch
ist die kinetische Energie des entstehenden Urankerns?
Der Zerfall eines Teilchens in zwei Partikel lässt sich als ein zeitlich rückwärts laufender Stoß auffassen. Es treten keine äußeren Kräfte auf, daher bleibt der Gesamtimpuls
des Systems erhalten.
2
Ekin,U = 1/2 mU vU
Ekin,α = 1/2 mα v2α
m α v α = − mU vU
)1
(
2 Ekin,U 2
vU =
mU
)1
(
2 Ekin,α 2
vα =
mα
(
)1
(
)1
2 Ekin,α 2
2 Ekin,U 2
mα
= − mU
mα
mU
Ekin,U =
mα
4,00 u
Ekin,α =
· 6,00 MeV
mU
236 u
= 0,102 MeV
2. Pendelkette
Mehrere Stahlkugeln sind an Schnüren nebeneinander und auf gleicher Höhe aufgehängt (Vorlesungsexperiment, siehe Zeichnung). Die Länge der Schnüre sei so groß, dass die Pendelbewegungen (kleine Auslenkungen) als lineare Bewegung in horizontaler Richtung betrachtet werden
können. Stöße zwischen den Kugeln seien vollkommen elastisch.
a) Die linke Kugel der Masse m1 werde ausgelenkt und stoße mit der Geschwindigkeit v1 zentral
auf die vorher ruhende Kugel der Masse m2 . Drücken Sie die Geschwindigkeiten v1′ und v2′
der beiden Kugeln nach dem Stoß in Abhängigkeit des Massenverhältnisses α = m2 /m1 aus!
1-D-Bewegung, keine Vektoren
” ′ ” bedeutet: entsprechende Größe nach dem Stoß.
Impulserhaltung (IES): p1 = p1′ + p2′ ; p2 = 0
Energieerhaltung (EES):
p21
2m1
=
p1′2
2m1
+
p2′2
2m2
⇒ p21 = p1′2 +
m1
m2
p2′2
mit IES: p21 = ( p1′ + p2′ )2 = p1′2 + 2p1′ p2′ + p2′2
m 1 ′2
IES und EES: p1′2 +
p = p1′2 + 2p1′ p2′ + p2′2
m2 2
m
⇒ 2p1′ p2′ = 1 p2′2 − p2′2
m2
(
)
1 m1
′
⇒ p1 =
− 1 p2′
2 m2
Mit Impulserhaltung:
p1 =
p1′
+
p2′
(
=
1 m1 1
−
2 m2 2
)
p2′
+
p2′
1
=
2
(
)
m1
+ 1 p2′
m2
es gilt p1 = m1 v1 und p2′ = m2 v2′
(
(
)
)
1
m2
1
m2 ′
1 m1
v2 =
1+
v2′ = (1 + α)v2′
+1
⇒ v1 =
2 m2
m1
2
m1
2
⇒ v2′ =
2
2v1
1+α
müssen noch v1′ in Abhängigkeit von v1 berechnen:
Impulserhaltung: m1 v1 = m1 v1′ + m2 v2′
⇒ v1′ = v1 −
2v1
m2 ′
v2 = v1 − α
=
m1
1+α
|{z}
=α
(
)
(
)
2α
1+α
2α
= v1 1 −
= v1
−
1+α
1+α 1+α
⇒ v1′ = v1
1−α
1+α
b) Die Massen aller beteiligten Kugeln seien nun gleich m. Kugeln 2 und 3 befinden sich in Ruhe,
Kugel 1 werde ausgelenkt. Sie stoße mit der Geschwindigkeit v1 auf Kugel 2, unmittelbar
danach stoße letztere auf Kugel 3. Geben Sie die Geschwindigkeiten aller Kugeln nach dem
Stoß an.
• K1 stößt K2 : v1 = v; v2 = 0; v3 = 0
⇒ v1′ = 0; v2′ = 1+2 1 v1 = v; v3′ = 0
• K2 stößt K3 : v1′ = 0; v2′ = v; v3′ = 0
⇒ v1′′ = 0; v2′′ = 0; v3′′ = v
• usw.
3
c) Kugel 1 habe nun die doppelte Masse als die Kugeln 2 und 3 einzeln. Geben Sie die Geschwindigkeiten aller Kugeln nach dem analogen Versuch zu Aufgabenteil b) an. Beachten
Sie, dass Kugel 1 nach dem ersten Stoß nicht ruht.
m1 = 2m2 = 2m3 ; v1 = v; v2 = v3 = 0
• Stoß 1: (K1 → K2 ; α = 12 )
v1′ =
1−
1+
v2′ =
1
2
1
2
v=
1
2
3
2
v=
1
v
3
4
2v
= v
1
3
1+ 2
v3′ = 0
• Stoß 2: v1′ = 31 v; v2′ = 43 v; v3′ = 0 (K2 → K3 , α = 1)
(Situation aus Aufgabe b)
1
v (unbeteiligt an Stoß 2)
3
4
v2′′ = 0
;
v3′′ = v
3
v1′′ =
• Stoß 3 : v1′′ = 13 v; v2′′ = 0; v3′′ = 43 v (K1 → K2 , α = 21 )
v1′′′ =
v2′′′ =
v3′′′ =
• Keine weiteren Stöße, da v3′′′
1−
1+
1
2
1
2
2
1+
1
2
1
1
v= v
3
9
1
4
v= v
3
9
4
v (unbeteiligt an Stoß 3)
3
> v2′′′ > v1′′′
d) Nun seien 4 Kugeln gleicher Masse beteiligt. Die Kugeln 1 und 2 werden ausgelenkt und
bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit v = v1 = v2 auf die ruhenden Kugeln 3 und 4 zu.
Überlegen Sie sich die zeitliche Abfolge der Einzelstöße. Welche Geschwindigkeit haben die
Kugeln jeweils am Schluss? Worin liegt der Unterschied zur Situation in Teilaufgabe c)?
Alle Massen gleich ⇒ α = 1; v1 = v2 = v; v3 = v4 = 0
• Stoß 1: (K2 → K3 ):
v1′ = v; v2′ = 0; v3′ = v; v4′ = 0
• Stoß 2: (K1 → K2 ) :
v1′′ = 0; v2′′ = v; v3′′ = v; v4′′ = 0
• Stoß 3: (K3 → K4 ):
v1′′′ = 0; v2′′′ = v; v3′′′ = 0; v4′′′ = v
4
• Stoß 4: (K2 → K3 ):
v1iv = 0; v2iv = 0; v3iv = v; v4iv = v
⇒ Keine weiteren Stöße, da v1iv ≤ v2iv ≤ v3iv ≤ v4iv
Obwohl die bewegten Kugeln zusammen die gleiche Masse haben, wie Kugel 1 aus Teilaufgabe c), können sie nicht als ein Objekt mit doppelter Masse
betrachtet werden.
3. Eisstockschießen
Beim Eisstockschießen trifft der weiße Eisstock eines Spielers mit v0 = 4,50 m/s auf einen sich
in Ruhe befindenden silbernen Eisstock. Beide Eisstöcke haben die gleiche Masse und stoßen
elastisch. Reibungseffekte werden vernachlässigt. Nach dem Stoß bewege sich der silberne
Eisstock unter einem Winkel von ϕs = 36,0◦ zur Einfallsrichtung des weißen Eisstocks (siehe
Abbildung).
a) Bestimmen Sie die Bewegungsrichtung des weißen Eisstocks nach dem Stoß, d. h. bestimmen Sie die Winkelablenkung ϕw des weißen Eisstocks gegenüber der Einfallsrichtung!
5
Impulserhaltung:
→
→
→
p0 = ps + pw
→
→
→
m v0 = m vs + m vw
→
→
→
v0 = vs + vw
Energieerhaltung:
1
1 2
1
mv0 = mv2s + mv2w
2
2
2
v20 = v2s + v2w
Pythagoras: a2 = b2 + c2
→
→
→ 90,0◦ Winkel zwischen vs und vw
Winkelsumme im Dreieck: ϕs + ϕw + 90,0◦ = 180◦
ϕs + ϕw = 90,0◦
ϕw = 90,0◦ − 36,0◦ = 54,0◦
→
Der weiße Eisstock wird um ϕw = 54,0◦ in die entgegengesetzte Richtung abgelenkt wie der silberne Eisstock.
b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten vs und vw beider Eisstöcke nach dem Stoß durch
Nutzung der Impuls- und Energieerhaltung.
Gesucht: vs = |⃗
vs | und vw = |v⃗w |
Impulserhaltungssatz:
x-Richtung: mv0 = mvsx + mvwx
y-Richtung: 0 = vsy + vwy
vsy = sin ϕs · vs
;
vwy = − sin ϕw · vw
sin ϕw
sin ϕs
(
)
sin2 ϕw
sin2 ϕw
2
2
2
2
→ v0 = vw ·
+ vw = vw 1 +
sin2 ϕs
sin2 ϕs
v0
vw = √
= 2,65 m/s
sin2 ϕw
1 + sin2 ϕ
→ vs = vw ·
s
(
)
sin2 ϕs
sin2 ϕs
2
2
+
v
=
v
1
+
s
s
sin2 ϕw
sin2 ϕw
v0
vs = √
= 3,64 m/s
sin2 ϕs
1 + sin2 ϕ
v20 = v2s ·
w
6
c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten vs und vw geometrisch mit den Winkeln ϕs und ϕw .
Aus a) und b) ist bekannt:
→
→
→
v0 = vs + vw
vs
v0
vw
sin ϕs =
v0
sin ϕw =
;
vs = v0 sin ϕw = 3,64 m/s
;
vw = v0 sin ϕs = 2,65 m/s
7