Einführung in die Teilchenphysik - Theoretisch

FRIEDRICH
SCHILLER
UNIVERSITÄT
J E N A
PD A. Maas
Theoretisch-Physikalisches
Institut
Einführung in die Teilchenphysik
WS 2013/14,
1. Übungsblatt
28.10.2013 (Abgabe bis 13.11.2013)
Präsenzaufgaben:
Aufgabe P1: Bewegungsgleichungen
Bewegunsgleichungen spielen eine grosse Rolle in der Teilchenphysik, da mit ihrer Hilfe
viele hilfreiche Identitätn abgeleitet werden können.
a) Bestimmen Sie aus der Lagrangafunktion L = m/2(dx/dt)2 des freien, nicht-relativstichen
Teilchens die Bewegunsgleichungen mit Hilfe der Lagrangegleichungen
0=
d ∂L
∂L
.
−
dt ∂ dx
∂x
dt
Wie ändern sie sich für den harmonischen Oszillator?
b) Was ändert sich für ein relativistisches Teilchen? Verwenden Sie hierzu die Eigenzeit
zur Parametrisierung
der zugehörigen Weltlinie xµ (τ ). Die Lagrangefunktion ist dann
p
µ
τ
L = −m −∂τ x ∂ xµ .
c) Für m = 0 macht diese Wirkung keinen Sinn. Um diese Möglichkeit zu betrachten,
benötigt es einer alternatien Formulierung. Dazu wird am besten eine Hilfsvariable
η(τ ) eingeführt (das sogenannte Tetrad), mit der Lagrangefunktion
1 ∂τ xµ ∂ τ xµ
− ηm2 .
L=
2
η
Zeigen Sie die Äquivalenz für massive Teilchen, und bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen für den Fall m = 0.
d) Ein Beispiel für ein skalares Feld φ(x) ist die Lagrangedichte
m2 2 λ 4
1
φ − φ
L = ∂µ φ∂ µ φ −
2
2
4!
Bestimmen Sie die Bewegungsgelichungen, und lösen Sie sie für λ = 0. Zeigen Sie,
dass die relativistische Energieimpulsrelation erfüllt wird, und damit m tatsächlich
eine Masse ist.
1
Aufgabe P2: Spin und Gruppen
Der Spin, und auch andere Drehimpulse, spielen eine wichtige Rolle in der Teilchenphysik.
Für Spin 1/2, also den einfachsten Fermionen, erfüllen die Spinoperatoren si die Algebra
[si , sj ] = iǫijk sk ,
wobei ǫijk total antisymmetrisch st mit ǫ123 = 1. Für die meisten Zwecke ist es nützlich
ein Darstellung in Form von Matrizen zu haben.
a) Zeigen Sie, dass mit den Paulimatrizen
0 1
0 −i
τ1 =
τ2 =
1 0
i 0
τ3 =
1 0
0 −1
mit der Identifikation si → τi /2 die Algebra erfüllt ist, und damit die Paulimatrizen
eine Darstellung der Algebra sind.
b) Zeigen Sie, dass die drei Matrizen exp(iαi τi ) zusammen mit der Einheitsmatrix eine
Gruppe unter der Matrixmultiplikation bilden.
c) Zeigen Sie, daß alle Gruppenelemente die Determinante 1 haben, und unitär sind,
und es sich somit um die spezielle unitäre Gruppe SU(2) handelt, mit 2 wegen der
Anzahl an möglichen Spineinstellungen, zwei.
Aufgabe P3: Streuung und Zerfälle
Es gibt elektrisch neutrale Elementarteilchen namens Pionen π 0 der Masse mπ0 . Sie zerfallen nach 8.4 × 10−17 s hauptsächlich in zwei masselose Photonen. Berechnen Sie die
Viererimpulse der beiden emittierten Photonen für ein in Ruhe zerfallendes π 0 .
Hausaufgaben:
Aufgabe H1: Mandelstamvariablen
An vielen Hochenergieexperimenten werden zwei Teilchen mit Ruhemassen m1 und m2 zur
Kollision gebracht. Die Teilchen werden in der Reaktion vernichtet, und es entstehen neue
Teilchen. Als Beispiel sollen zwei neue Teilchen entstehen mit den Ruhemassen m3 und
m4 . Die vier Teilchen besitzen die Viererimpulse pµi mit i = 1, ..., 4. Es ist sehr bequem,
die Reaktion durch Lorentzskalare zu charakterisieren, die sich als Skalarprodukte aus den
vier Impulsen pµi bilden lassen. Speziell definiert man die Mandelstam-Variablen
s = (p1 + p2 )2
a) Zeigen Sie, daß s + t + u =
t = (p1 − p3 )2
P
2
i mi
u = (p1 − p4 )2 .
gilt.
b) Stellen Sie die Skalarprodukte pi · pj durch s und t sowie durch die Ruhemassen dar.
2
Aufgabe H2: Zerfälle
Ein ∆+ ist ein instabiles Teilchen und zerfällt in ∼ 2 · 10−24 s in ein Proton p und ein
neutrales Pion π 0 ,
∆+ → p + π 0 .
Die Ruheenergien dieser Teilchen sind m∆ = 1232 MeV, mp = 938.3 MeV und mπ = 135.0
MeV. Berechnen Sie die Energie und den Betrag des Dreierimpulses der beiden Teilchen
(Pion und Proton) im Endzustand für ein in Ruhe zerfallendes ∆.
Aufgabe H3: Lichtkegelkoordinaten
In vielerlei praktischen Anwendungen, z. B. tiefinelastische Streuung von Elektronen an
Protonen oder in der Stringtheorie, sind sogenannte Lichtkegelkoordinaten nützlich. Diese
sind definiert durch
1
x+ = √ (x0 + x1 )
2
1 0
−
x
= √ (x − x1 )
2
i
i
x⊥ = x
Hierbei läuft dann i von 2 bis 3 im normalen Minkowskiraum und in der Stringtheorie bis
zur Anzahl der übrigen Dimensionen, etwa in der einfachsten Stringtheorie bis 25. Dieser
Teil der Koordinaten wird auch transverse Koordinaten genannt.
a) Wie ist der Zusammenhang zwischen ko- und kontravarianten Komponenten?
b) Das Skalarprodukt soll von dieser Umschreibung unabhängig sein. Wie sieht dann
der zugehörige metrische Tensor aus?
c) Wie stellen sich Ableitungen in den neuen Koordinaten dar?
d) Was sind die Lorentztransformationen für die neuen Koordinaten für Geschwindigkeiten in x1 - und in x2 -Richtung?
Aufgabe H4: Streuung
In niedrigster (Bornscher) Näherung gilt für die elastische Streuung eines (spinlosen) Teilchens (Masse m vernachlässigbar) mit der Geschwindigkeit v ∼ 1 und Impuls p im Anfangszustand und Impuls q im Endzustand an einem anderen, sehr viel schwerern Teilchen
(Masse M ), das im Anfangszustand in Ruhe ist, in der Quantenmechanik die Formel
dσ
dΩ
Mi f
1 |~
p|2 dp
|Mif |2
(2π)2 |~v | dEf
Z
=
ei(~p−~q)~r V (~r)d3 r
=
wobei Ef die Gesamtendenergie ist. Berechnen Sie diesen Wirkungsquerschnitt als Funktion der (auf 1 normierten) Ladungsverteilung des schwerern Teilchens ρ(~r), der Masse
M , und dem Impuls p und q, wenn die Wechselwirkung ausschliesslich elektromagnetisch
abläuft, und beide teilchen eine Elementarladung tragen. Betrachten Sie nur den Fall
großer Impulsänderungen, d. h. |~
p − q~| groß gegenüber alle anderen Skalen.
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