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1
Grundbegriffe und Grundgleichungen der Elektrodynamik
1.1
1.1.1
Ladungen und Ströme
Ladung und Ladungsdichte
Mikroskopische Beschreibung durch Angabe der Orte rα (t) von Punktladungen
(Elektronen, Kerne) und deren Ladungsmenge qα .
Normalerweise sind die qα nicht zeitabhängig.
Kontinuumsmodell: Angabe einer Ladungsdichte ̺(r, t) = ̺(x, y, z, t) mit
folgender physikalischer Bedeutung:
Z
̺(x, y, z, t) dV = Q(t)
∆V
ist die in ∆V befindliche Gesamtladung zur Zeit t.
Eine Verknüpfung beider Beschreibungen erfolgt durch die sogenannte δFunktion. Die Distribution δ(x) ist als Grenzwert einer stetigen Folge von Funktionen definiert, z.B. durch eine Lorentzkurve mit verschwindender Linienbreite
δ(x) =
lim δγ (x) ,
γ→0
γ
1
.
π x2 + γ 2
δγ (x) =
δγ (x) hat ein Maximum bei x = 0 , d.h. δγ (0) =
Breite γ , d.h.
δγ (γ) =
1
.
2πγ
1
und die (Halbwerts-)
πγ
Ferner gilt unabhängig von γ
Z∞
−∞
γ
δγ (x) dx =
π
Z∞
−∞
dx
1
x ∞
= 1
=
arc
tan
x2 + γ 2
π
γ −∞
δ(x) hat folglich die Eigenschaften
δ(x) =
Z∞
(
0
für x 6= 0
∞ für x = 0
δ(x) dx = 1 =
−∞
0+ε
Z
δ(x) dx
0−ε
Für ein System von Punktladungen qα , rα (t) gilt
̺(r, t) =
X
qα δ[r − rα (t)] ,
α
5
dabei ist δ(r) = δ(x) δ(y) δ(z) .
Tatsächlich z.B. repräsentiert
(
̺(r) = qδ(r − r0 ) =
Z
qδ(r − r0 )dV =
∆V
(
0
für r 6= r0
∞ für r = r0
q falls
r = r0
in ∆V
liegt
0 sonst
die Ladungsdichte einer Punktladung bei r0 .
Wiederholung zum Begriff des Volumenintegrals:
Z
V
̺(r)d3 r =
Z
̺(x, y, z) dx dy dz = lim
∆Vi →0
N→∞
V
N
X
̺(ri ) ∆Vi
i=1
Rechnen mit δ−Funktionen:
1. Es gilt
δ(αx) =
1
δ(x) .
|α|
Beweis (auf Vorzeichen von α achten):
Z∞
dx δ(αx) =
−∞
±∞
Z
∓∞
1
dy
δ(y) =
α
|α|
2. Es gilt für eine Funktion f (x) mit Nullstellen xi
δ [f (x)] =
X
i
1
δ(x − xi ) .
|f (xi )|
Beweis: Es genügt, f (x) in einer beliebig kleinen Umgebung von xi zu beschreiben, also f (x) = f ′ (xi )(x − xi ) . Dann kann (1.) mit f ′ (xi ) = α verwendet
werden.
3. Für eine (weitgehend) beliebige Funktion f (x) gilt
Z∞
dx f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 )
−∞
6
1.1.2
Strom und Stromdichte
Strom wird durch bewegte Ladungen erzeugt und ist also bei einer mikroskopischen Beschreibung durch qα , rα (t) vollständig erfaßt.
Kontinuumsmodell: Angabe einer Stromdichte j(r, t) mit folgender physikalischer Bedeutung:
Z
j(r, t)df = I(t)
F
ist die durch die Fläche F durchtretende Ladungsmenge pro Zeit.
Folglich hat j die Dimension Ladung/Fläche·Zeit.
Wiederholung zum Begriff des Flächenintegrals:
Z
j(r)df =
lim
∆Fi →0
N→∞
.
F
N
X
j(ri ) ∆Fi
.
| {z }
Skalarprodukt
i=1
Dabei ist ei der Einheitsvektor in Richtung der Normalen von ∆Fi und
∆Fi = ∆Fi · ei ein orientiertes Flächenelement.
Die Stromdichte eines Systems bewegter Punktladungen qα , rα (t) ist
j(r, t) =
X
qα ṙα (t) δ[r − rα (t)] .
α
Tatsächlich (anschaulich): j(r, t) von Null verschieden dort (r = rα (t)) , wo sich
gerade ein Teilchen befindet. Richtung durch Geschwindigkeit, Stärke durch
Dichte qα δ(r − rα (t)) mal Geschwindigkeit gegeben. Dimension stimmt.
Beachte:
Stromdichte ist nicht aus Ladungsdichte bestimmbar! Gegenbeispiel: eine rotierende, homogen geladene Kugel. Für sie gilt
̺(r, t) = ̺(r) =
(
̺0 innerhalb
0
außerhalb
aber natürlich: j(r, t) 6= 0 (Wirbelströme)
7
zeitlich konstant
1.1.3
Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung
Ladungserhaltung: Betrachten ein Volumen V mit der Oberfläche O
• Ladung in V zur Zeit t
Q(t) =
Z
̺(r, t) dV
V
• Änderung von Q pro Zeit
dQ
dt
• Strom (d.h. Ladung pro Zeit) durch die Oberfläche O des Volumens V
I
j(r, t)df = I(t)
Oberfläche
O
• Erhaltung
Z
d
dt
̺(r, t)dV +
V
I
j(r, t)df = 0
O
Satz von Gauß: Umwandlung eines Integrals über eine geschlossene Fläche in
Volumenintegral
I
Z
j(r, t)df =
O
div j (r, t)dV
V
Divergenz (Definition):
div j (r, t) =
∂jx (r, t) ∂jy (r, t) ∂jz (r, t)
+
+
∂x
∂y
∂z
Plausibilitätsbetrachtung zum Satz von Gauß: Betrachten dazu Parallelepiped
∆V = ∆x · ∆y · ∆z zwischen r und r + ∆r . Dann ist z.B.
I
I
jz dfz =
x+∆x,y+∆y
Z
′
′
′
′
jz (x , y , z + ∆z)dx dy −
x,y
jz dfz =
x+∆x
Z
′
x+∆x
Z
′
dx
=
dx
x
jz (x′ , y ′ , z)dx′ dy ′
x,y
y+∆y
Z
dy ′
y
x
x+∆x,y+∆y
Z
y+∆y
Z
dy
′
y
jz (x′ , y ′ , z) +
(
∂jz (x′ , y ′ , z)
∆z − jz (x′ , y ′ , z)
∂z
∂jz (x, y, z)
∂ 2 jz (x, y, z)
∆z +
∆z (x′ − x) + . . .
∂z
∂z ∂x
∂jz (x, y, z)
∂jz (x, y, z)
∆x ∆y ∆z =
∆V
∂z
∂z
=
Analoge Betrachtung für jx dfx und jy dfy ergibt insgesamt
I
j(x, y, z) df =
∂jz
∂jx ∂jy
+
+
∂x
∂y
∂z
8
∆V = div j · ∆V
)
Strenger Beweis: (1) Zerlegung eines beliebigen Volumens in ∆Vi , (2) für jedes
∆Vi gilt obiges Ergebnis, (3) bei Addition heben sich Beiträge innerer Stirnflächen heraus, (4) Grenzübergang ∆Vi → 0 , N → ∞ .
Umformung der Ladungserhaltung mit Gaußschem Satz ergibt
Z
V
dV
∂̺
+ div j(r, t)
∂t
=0 .
Da dies für jedes beliebige Volumen gilt, folgt die Kontinuitätsgleichung
∂̺
+ div j = 0 .
∂t
Die anschauliche Bedeutung der Divergenz folgt aus dem Gaußschem Satz:
I(t) =
I
0
j df =
Z
div j dV ist die Quellstärke, d.h. die Ladung, die pro Zeit
V
aus dem Volumen ein- bzw. ausströmt. Dann kann div j als Quelldichte (d.h.
pro Volumen) der Ladung interpretiert werden.
Für die mikroskopische Beschreibung gilt
∂̺(r, t)
∂t
=
X
∂δ(r − rα )
∂ X
qα
qα δ (r − rα [t]) =
ṙα
∂t α
∂rα
α
= −
∂ X
qα ṙα δ (r − rα ) = −div j(r, t) .
∂r α
Damit ergibt sich also der oben angegebene Ausdruck für j(r, t) zwangsläufig
aus der Forderung der Ladungserhaltung für die Mikroteilchen.
9
Zusammenfassung:
Ladungen und Ströme: eα , rα (t) , ṙα (t)
Dichte ̺(r, t) :
Z
̺ dV = Q ;
̺=
X
eα δ(r − rα [t])
α
Stromdichte j(r, t) :
Z
j(r, t) df = I(t)
;
j=
X
eα ṙα δ(r − rα [t])
α
Ladungserhaltung
→
d
dt
Z
Kontinuitätsgleichung
̺ dV = −
I
j df
→
̺˙ + div j = 0
Mathematische Hilfsmittel: Volumen- und Flächenintegral, δ−Funktion, Gaußscher Satz, Divergenz.
10
1.2
Mathematische Beschreibung von Feldern
Betrachten beliebiges Vektorfeld F(r)
Feldfluß durch Fläche F
Z
F df = φ
F
Quellstärke durch geschlossene Fläche O um Volumen V
I
Z
F df =
O
div F dV
(Gauß!)
V
Physikalische Bedeutung: div F = Quelldichte (pro Volumen)
Spannung entlang Weg L (wegabhängig!)
−
Z
F dr = U
(Vorzeichen historisch)
C
Wirbelstärke (Ringspannung) auf einem geschlossenen Weg C, der Fläche F
umschließt
I
Z
F dr =
rotF df
(Stokes!)
C
F
Physikalische Bedeutung: rot F = Wirbeldichte (pro Fläche)
Wegintegral (Definition)
Z
F (r) dr =
lim
∆ri →0
N→∞
C
N
X
Zs
F(ri )∆ri =
i=1
F(r(s))
s0
dr(s)
ds
ds
Plausibilitätsbetrachtung zum Satz von Stokes:
Betrachten Flächenelement in x-y-Ebene (z fest)
Z
=
(rotF)z dfz =
dy
y
′
dfz =
dx
′
x+∆x
Z
x
y+∆y
Z
Z
x+∆x
Z
dx
y+∆y
Z
′
dy ′
x
y+∆y
Z
dy
y
′
y
∂Fy (x′ , y ′ , z) ∂Fx (x′ , y ′ , z)
−
∂x′
∂y ′
′
′
Fy (x + ∆x , y , z) − Fy (x, y , z) −
11
x+∆x
Z
dx′ Fx (x′ , y + ∆y, z) − Fx (x′ , y, z)
x
Berechnen andererseits Wegintegral
I
F dr =
x+∆x
Z
′
′
Fx (x , y, z) dx +
x
Fy (x + ∆x, y ′ , z) dy ′
y
Zx
+
y+∆y
Z
′
′
Fx (x , y + ∆y, z) dx +
x+∆x
Zy
Fy (x, y ′ , z) dy ′
y+∆y
Terme identisch (1=2 ; 2=4; 3=3 : 4=1)
Strenger Beweis: (1) Zerlegung einer beliebigen Fläche in entsprechende
Flächenstücke, (2) Summation und Grenzübergang.
Wirbelfreie Felder und Potential
Falls rot F = 0 (F wirbelfrei) folgt
Z
rot F df =
Dann ist
F dr = 0
C
F
R
I
F(r) dr wegunabhängig!
Beweis: Vergleichen zwei Wege C1 und C2
Z
F dr −
Z
F dr =
F dr =
C
C2
C1
I
Z
rot F df = 0
F
Potential eines wirbelfreien Feldes (Def.)
U (r) = −
Zr
F(r′ ) dr′
eindeutig, da wegunabhängig
r0
Umkehrung:
F(r) = −grad U (r)
Beweis: Wählen Weg entlang Achsen
U (x, y, z) = −
Zx
′
′
Fx (x , y0 , z0 ) dx −
x0
Zy
′
′
Fy (x, y , z0 ) dy −
y0
⇒
Zz
Fz (x, y, z ′ ) dz ′
z0
∂U (x, y, z)
= −Fx (x, y, z)
∂x
usw.
Satz: F steht senkrecht auf Aquipotentialfläche U (r) = U0
Beweis: dr liege in Aquipotentialfläche, d.h.
U (r) = U (r + dr) = U0
→
12
∂U
dr = −F dr = 0
∂r
Fundamentalsatz der Vektoranalysis:
Jedes Vektorfeld, welches im Unendlichen nebst seinen ersten Ableitungen verschwindet (physikalische Forderung!), läßt sich eindeutig aus einem quellenfreien
und einem wirbelfreien Feld zusammensetzen.
F = Fq + Fw
Fq quellenfreier Anteil, ”trägt” alle Wirbel von F
div Fq = 0
→
div F = div Fw
Fw wirbelfreier Anteil, ”trägt” alle Quellen von F
rot Fw = 0
→
rot F = rot Fq
Hilfsmittel für Beweis:
(1) div grad U = ∇(∇U ) = ∇2 U
= ∆U , mit ∆ =
∂2
Laplace-Operator
∂z 2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
(2) rot rot F = ∇ × (∇ × F) = ∇(∇F) − (∇∇) F = grad div F − ∆ F
Dabei sinngemäß benutzt (C muß ”hinten” bleiben)
A × (B × C) = B(AC) − C(AB) = B(AC) − (AB)C
⇒ ∇ × (∇ × F) = ∇(∇ F) − (∇∇) F
(3) div rot F = ∇(∇ × F) ≡ 0
verwende:
A (B × C) = B (C × A) = C (A × B) = (A × B) C
zyklische Vertauschbarkeit, C muß hinten bleiben
→ ∇(∇ × F) = (∇ × ∇) F
beachte:
∇ × ∇ = ex
ey
∂
∂x
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂y
ez ∂
∂z
∂
∂z


2
2
∂
∂
= ex 
 + ey ...
−
∂y ∂z ∂z ∂y
{z
}
|
= 0 nach ”Satz von Schwartz”
(4) Es gilt Satz (Beweis später): Die Lösung der ”Poissongleichung”
∆ U (r) = ̺(r) ,
U
gesucht
̺
gegeben
die einschließlich ihrer 1. Ableitungen im Unendlichen verschwindet (ist
physikalisch zu fordern!), existiert und ist eindeutig definiert.
13
Nunmehr Beweis des Fundamentalsatzes (konstruktiv)
F = Fq + Fw
& div Fq = 0 , rot Fw = 0
(a) Konstruieren Fq aus gegebenem F
rot Fq = rot F , da rot Fw = 0
rot rot Fq = grad div Fq − ∆ Fq
= −∆ Fq
wegen (2)
wegen div Fq = 0
Andererseits: rot rot Fq = rot rot F
→ −∆ Fq = rot rot F
besitzt eindeutige Lösung Fq für gegebennes F
(b) Konstruieren Fw aus gegebenem F analog
div Fw = div F
da
div Fq = 0
grad div Fw = grad div F
grad div Fw = rot rot Fw + ∆Fw
= ∆Fw
da
rot Fw = 0
→ ∆ Fw = grad div F
besitzt eindeutige Lösung Fw für gegebenes F
Folglich:
Ein beliebiges Vektorfeld F ist durch Angabe seiner Quellen (= div F) und
Wirbel (= rot F) eindeutig bestimmt → Programm zur Aufstellung der Maxwellgleichungen: Suche Quellen und Wirbel des elektromagnetischen Feldes.
14
Zusammenfassung:
Feldfluß
R
F df
Quelldichte div F
Spannung
R
F dr
Wirbeldichte rot F
Fundamentalsatz: F = Fq + FW
Mathematische Hilfsmittel: Wegintegral, Rotation, Satz von Stokes, Vektoranalysis (div grad = ∆ , rot rot = grad div −∆ , div rot = 0), Poissongleichung
∆U = ̺
15
1.3
Die Maxwellschen Gleichungen
Wir gehen aus von elementaren experimentellen Erfahrungen und verallgemeinern diese geeignet mittels des erarbeiteten mathematischen Apparats.
1.3.1
Quellen des elektrischen Feldes
Erfahrung: Kraftwirkung zwischen Punktladungen q, Q (Coulombgesetz)
F(r) =
q·Q r
4πε0 r 2 r
Elektrisches Feld der Ladung Q (Def.)
E(r) =
Q r
F
=
q
4πε0 r 2 r
Eigenschaften: Zentralkraftfeld; wirbelfrei (rot E = 0)
R
Potential U = − E dr ∼
1
r
Aquipotentialflächen ∼ Kreise
Feldfluß (Feldlinien)
dφ = E df
Für Kugelfläche gilt df = e df =
dφ =
r
r
r 2 sin ϑ dϑ dϕ
Q
r 2 sin ϑ dϑ dϕ
4πε0 r 2
Feldfluß pro Raumwinkelelement dΩ = sin ϑ dϑ dϕ ist konstant.
dφ
Q
=
dΩ
4πε0
Quellstärke des E-Feldes: Betrachten Fluß durch Kugel (R) um Q
I
Q
E(r) df =
4πε0
Z
r
Q
1 r 2
r dΩ =
r2 r
r
ε0
hängt vom Radius der Kugel nicht ab.
Folglich: Quellstärke von E (r) durch die erzeugende Ladung Q bestimmt (ε0
Maßfaktor, im cgs-System z.B. 1).
Feststellung gilt bisher nur für Kugel, die Q im Ursprung enthält →
Verallgemeinerung
16
(1) Feststellung gilt für beliebige geschlossene Fläche, die Q enthält
Beweis: Betrachten beliebige Fläche F und Kugel K, die Q einschließen.
H
Bilden
E df über die Oberfläche des schraffierten Volumens: 0 = F − K
I
E df
I
=
0
E df −
F
E df
K
Z
=
I
dV div E
(Gauß)
V (0)
(minus, da K innere Fläche)
Berechnen div E in V (0), (d.h. r 6= 0!)
∇E =
Q
∇
4πε0
=
Q
4πε0
I
E df =
r
r3
Q
4πε0
=
3
3
+ r − 4 ∇r
r3
r
1
∇r
+r·∇ 3
3
r
r
= 0
Folglich:
I
F
E df =
K
Q
ε0
→
unabhängig von Gestalt F
Zwischenfrage: div E ≡ 0 ? Natürlich nicht! Richtig ist
Q
δ(r)
ε0
div E(r) =
Tatsächlich: Gleichung für r 6= 0 erfüllt.
Für r = 0 : Betrachte Gleichung
I
E df =
K
Q
=
ε0
Z
div E · dV
V (K)
für Kugelradius R → 0.
(2) Für System von Punktladungen Qα (α = 1 , . . . , N ) gilt entsprechend
I
E df =
1 X
Qα
ε0 (α)
Summe erstreckt sich über alle eingeschlossenen Punktladungen.
Beweis:
Benutzen Tatsache, daß sich Kräfte (vektoriell) addieren → Additivität
der Felder verschiedener Punktladungen
E (r) =
X
α
17
Eα (r)
(a) Zerlegen F in Teilflächen Fα um jede der Punktladungen Qα
I
E df =
X I
E df
(α) Fα
F
da sich alle Integrale über alle inneren Flächen kompensieren.
(b) Können Flächen Fα durch Kugeln Kα ersetzen,
I
E df =
Fα
I
E df
Kα
da die Differenz zwischen beiden entsprechend (1) gleich dem Volumenintegral von div E über das eingeschlossene Volumen ist und
div E = 0 außerhalb der Ladungen.
(c) Lassen Radius von Ki ”sehr klein” werden (Ri → 0) . Auf Ki gilt
dann
Eα (r) ≫ Eβ6=α (r) & E(r) ⇒ Eα (r)
Folglich
I
I
E df =
Fα
I
E df =
Kα
Kα (Rα →0)
Eα df =
Qα
ε0
(3) Verallgemeinerung auf kontinuierliche Ladungsverteilungen
X
Qα ⇒
(α)
Z
̺(r) dV
Damit 1. Maxwellgleichung in integraler Form
ε0
I
E df =
F
Z
̺ (r) dV
V (F )
Feldfluß durch geschlossene Fläche = Gesamtladung
Differentielle Form: Satz von Gauß
ε0
für beliebiges Volumen
→
I
Z
E df = ε0
Z
div E dV
dV [ε0 div E − ̺] = 0
ε0 div E = ̺
Ladungen = Quellen von E
18
1.3.2
Quellen des Magnetfeldes
Analogie zum E-Feld? Keine magnetischen Ladungen (jedenfalls bisher) gefunden! Stattdessen: immer nur magnetische Dipole, die Felder mit geschlossenen
Feldlinien erzeugen (Stabmagnet, Hufeisen, Leiterschleife).
Folglich (Postulat): B-Feld besitzt keine Quellen
I
1.3.3
B df = 0 &
div B = 0
Wirbel des elektrischen Feldes
Betrachten bewegte Leiterschleife im inhomogenen Magnetfeld (etwa eines Stabmagneten)
Magnetischer Fluß durch Leiterschleife
φm =
Z Z
|
B df
{z
}
F Leiterschleife
Bei Verschiebung der Schleife ändert sich B auf F und damit φm .
Exp. Befund:
(1) In Schleife wird ”Ringspannung” (= EMK) induziert
URing = −
I
E dr ,
infolgedessen ein
(2) Kreisstrom durch die Schleife fließt, dessen
(3) Richtung so, daß das durch ihn erzeugte Magnetfeld dem ursprünglich
vorhandenen entgegenwirkt (Lenzsche Regel).
Quantitative Formulierung
URing = −
dφm
dt
I
&
Verallgemeinerung (z.B. experimentell)
E dr = −
d
dt
Z
B df
→
(1) Gilt unabhängig davon, wie die Änderung des Magnetflusses erzeugt wird
(Leiter bewegen, Magneten bewegen, Feldstärke z.B. durch Elektromagnete ändern)
(2) Gilt unabhängig von Anwesenheit der Leiterschleife (diese nur als Meßinstrument → Stromfluß
19
(3) Unabhängig von Gestalt des geschlossenen Weges
→ Maxwellgleichung in integraler Form
I
E dr = −
d
dt
Z
B df
Differentielle Formulierung mit Stokesschem Satz
I
E dr =
Z
rot E df
→
rot E = −Ḃ
Wirbel des elektrischen Feldes entstehen durch zeitliche Änderungen des Magnetfeldes → Induktionsgesetz, erstmals Verkettung von elektrischen und magnetischen Erscheinungen → Elektromagnetismus als einheitlicher Begriff
1.3.4
Wirbel des Magnetfeldes
Experimentelle Befunde
(1) Magnetnadel wird in der Nähe von stromführenden Drähten abgelenkt
(Oersted)
(2) Für einen ”langen”, geraden Leiter gilt
(a) Feldlinien konzentrisch um Durchstoßpunkt
µ0 I
(b) Betrag B =
2πr
I - Strom, r - senkrechter Abstand, µ0 - Maßfaktor
Berechnen magnetische Ringspannung für einen Kreis (Radius R) senkrecht zur
Stromrichtung
I
I
B dr =
B dr
= B(R)
I
da B || dr
dr = µ0 I
Verallgemeinerung dieses Resultats (analog früher)
(1) Gilt für beliebige Kontur L
(2) Für mehrere Leiter I →
P
α
Iα
(3) Für kontinuierliche Stromdichte
X
⇒
Iα
α
20
Z
j df
Maxwellgleichung (vorläufig, Amperesches Gesetz)
I
B dr = µ0
Z
Stokes
j df
−→
rot B = µ0 j
Frage: Ist diese Gleichung allgemein gültig ?
Antwort: Nein (!), denn
rot B = µ0 j
→
div rot B = µ0 div j ≡ 0
Andererseits aus Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung)
̺˙ + div j = 0
Folglich Konsistenz nur, falls ̺˙ = 0
Verallgemeinern durch Einführung des sogenannten ”Verschiebungsstroms”
(Maxwell, rein deduktiv)
Verlangen einerseits
rot B = µ0 j′
Andererseits
j′ quellenfrei (div j′ − 0)
div j = −̺˙
̺ = ε0 div E
)
div j + ε0 Ė = 0
Ersetzen also im Ampereschen Gesetz j → j′
Letzte Maxwellgleichung
rot B = µ0 (j + ε0 Ė)
Wirbel von B sind elektrische und/oder Verschiebungsströme.
Verschiebungsstrom ε0 Ė kann ohne Ladungstransport fließen, z.B. durch oszillierende Punktladungen, Polarisation eines Dielektrikums etc.
21
Zusammenfassung:
Maxwellsche Gleichungen
diff. Form
integr. Form
ε0 div E = ̺
ε0
div B = 0
H
rot E = −Ḃ
1
rot B = j + ε0 Ė
µ0
H
E df =
B df = 0
elementarer, experimenteller Befund
R
Coulomb-Pot.
̺ dv
keine magn. Ladungen
Z Z
d
B df
dt
I
Z Z
1
B dr =
(j + ε0 Ė) df
µ0
H
B dr = −
Induktion
Magn. Wirbel durch (Ladungsund Verschiebungs-) Ströme
Konsistenzbetrachtungen
div rot E = −div Ḃ = 0
2. und 3. Maxwellgleichung
1
div rot B = div (j + ε0 Ė) = 0 1. und 4. Maxwellgleichung
µ0
Überbestimmt?
8 gekoppelte, partielle, lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung zur Bestimmung von 6 Funktionen E(r, t) und B(r, t)
Antwort ist ”nein”!
z.B. ist E durch Vorgabe von rot E nicht eindeutig bestimmt, denn
E′ = E + grad φ , φ (r, t) beliebig, hat dieselben Wirbel rot E′ = rot E
Sachverhalt mathematisch präzis
durch Einführung der elektromagnetischen Potentiale (→ später)
22
1.4
Energie- und Impuls des elektromagnetischen Feldes
Allgemeines Vorgehen: Energie und Impuls bisher nur aus Mechanik bekannt:
Kinetische (mechanische!) Energie
T =
X mα
2
α
Impuls
P =
X
ṙ2α
→
Ṫ =
X
Fα ṙα
α
mα ṙα
→
Ṗ =
X
Fα
α
Beachte: Potentielle Energie ist nicht mechanischer Natur, sondern beschreibt
(konservative) Kraftfelder. E und B sind nicht konservativ im üblichen Sinne
(rot E 6= 0 , rot B 6= 0) . Lorentzkraft ließ sich aber im Lagrange Formalismus
erfassen. Gehen Problem der Feldenergie (und des Feldimpulses) jetzt systematisch unter Nutzung der Maxwellschen Gleichungen an. Dazu folgende Schritte
(1) Führen in Analogie zur Elektrodynamik auch in mechanische Betrachtung
Kontinuumsbeschreibung ein (elektrische Ladungsdichte /Stromdichte →
Massendichte und Stromdichte).
(2) Betrachten Energie- und Impulsbilanz speziell für den Fall, daß Teilchen
geladen und Kräfte ausschließlich elektromagnetischer Natur sind.
(3) Untersuchen die dabei auftretenden Feldgrößen unter Verwendung der
Maxwellschen Gleichungen.
1.4.1
Kontinuumsbeschreibung von mechanischer Energie und
Impuls
Dichte der mechanischen (= kinetischen) Energie (Definition): Schreiben formal
um
Z
X mα
ṙ2α =
dV τ (r , t)
T (t) =
2
α
Mechanische Energiedichte (Definition)
τ (r , t) =
X mα
2
α
ṙ2α δ (r − rα [t])
Mechanische Energiestromdichte (Definition) entsprechend
jτ (r , t) =
X mα
2
α
ṙ2α
ṙα δ (r − rα [t])
Bilden Zeitableitung. Für ”festes” Volumen (zeitl.)
Ṫ (t) =
Z
dV
23
∂τ (r, t)
∂t
∂τ (r, t)
∂t
=
X
α
=
X
α
=
X
(
mα ṙα r̈α δ (r − rα [t]) +
(
"
"
mα ṙ2α
2
mα ṙ2α
Fα ṙα δ (r − rα ) − ∇
2
#
#
)
(−ṙα ∇) δ (r − rα )
)
ṙα δ (r − rα )
Fα ṙα δ (r − rα ) − div jτ (r , t)
α
Erhalten ”Kontinuitätsgleichung” der mechanischen Energie
X
∂τ (r , t)
Fα ṙα δ (r − rα )
+ div jτ (r , t) =
∂t
α
Entsprechendes Vorgehen für Impuls
P =
X
mα ṙα =
α
Z
dV ~π (r , t)
Mechanische Impulsdichte (Definition)
~π (r , t) =
X
mα ṙα · δ (r − rα [t])
α
Ṗ =
∂~π
∂t
=
X
Z
dV
∂~π (r , t)
∂t
{mα r̈α δ (r − rα [t]) + [mα ṙα ] (−ṙα ∇) δ (r − rα )}
α
=
X
{Fα δ (r − rα ) − ∇ mα (ṙα ⊗ ṙα ) δ (r − rα )}
Dabei dyadisches Produkt zweier Vektoren (= Tensor 2. Stufe) (a ⊗ b)ij =
ai bj und Tensordivergenz eingeführt
∇i Tij = (Div T̂ )j
Impulsstromdichte (Definition)
ĝ (r , t) =
X
(mα ṙα ) ⊗ ṙα δ (r − rα )
α
Ergebnis
X
∂~π
Fα δ (r − rα )
+ Div ĝ =
∂t
α
1.4.2
Mechanische Energie und Impuls im elektromagnetsichen Feld
Spezifizieren F (r , t) als Lorentzkraft, d.h. auf Teilchen α mit Ladung eα wirkt
Fα = eα [E(rα , t) + ṙα × B(rα , t)]
24
Setzen dies in die rechten Seiten der Kontinuitätsgleichungen für τ und ~π ein:
X
Fα ṙα δ (r − rα ) =
X
eα [E (rα , t) + ṙα × B (rα , t)] ṙα δ (r − rα )
α
α
= E (r , t)
X
eα ṙα δ (r − rα ) = E (r , t) j (r , t)
α
Dabei benutzt: (1) E kann wegen δ−Funktion herausgezogen werden;
(2) Zweiter Term verschwindet, da (v × B) v = 0 ;
(3) Definition des elektrischen Stromdichtevektors
Entsprechend
X
Fα δ (r − rα ) =
X
eα [E (rα , t) + ṙα × B (rα , t)] δ (r − rα )
α
α
= E (r , t)
X
eα δ (r − rα ) +
α
(
X
)
eα ṙα δ (r − rα ) × B (r , t)
α
= ̺ (r , t) E (r , t) + j (r , t) × B (r , t)
Können folglich Energie- und Impulsbilanz schreiben
∂τ
+ div j τ
∂t
= j·E
∂~π
+ Div ĝ = ̺ E + j × B
∂t
1.4.3
Feldenergie und -impuls
Formen die rechte Seite der Kontinuitätsgleichungen geeignet um; benutzen
dazu Maxwellgleichungen.
(1) Energie: Erzeugen Ausdruck j · E aus Maxwellgleichungen

1

rot B = j + ε0 Ė → Multiplikation mit E
µ0
Subtraktion
rot E = −Ḃ
→ Multiplikation mit µ10 B 
1
1
(E rot B − B rot E) = j E + ε0 E · Ė +
B · Ḃ
µ0
µ0
Umformungen:
div (E × B) = ∇(E × B) = ∇ (E × B) + ∇(E × B)
= B (∇ × E) − ∇(B × E)
= B rot E − E (∇ × B) = B rot E − E rot B
∂ 1 2
E = E Ė
∂t 2
25
;
∂ 1 2
B = B Ḃ
∂t 2
Ergebnis
∂ 1
1
div (E × B) = j E +
−
µ0
∂t 2
1 2
B
ε0 E +
µ0
2
Schreiben dies als Kontinuitätsgleichung für Feldgrößen
∂u
+ div S = −j E
∂t
Erkennen daraus
Energiedichte des Feldes (Definition)
u =
1
1 2
B (r , t)
ε0 E2 (r , t) +
2
µ0
Energiestromdichte des Feldes (Definition, Pointing Vektor)
S = E×
1
B
µ0
Folglich: j · E > 0 heißt, Feld verliert Energie an Teilchen, aber es gilt
Erhaltungssatz für Summe aus mechanischer und Feldenergie, denn
∂τ
∂u
+ div S = −j · E = −
+ div j τ
∂t
∂t
∂ (u + τ )
+ div (S + jτ ) = 0
∂t
Integrale Formulierung: Integration über festes Volumen und Gaußscher
Satz
Z
I
d
dV [u (r , t) + τ (r , t)] +
df [S + jτ ] = 0
dt
In Worten: Energie im Volumen ändert sich nur durch Zufluß bzw. Abfluß
durch die Oberfläche, kann aber nicht neu entstehen!
(2) Impuls: Drücken ̺ E + j × B allein durch Feldgrößen aus, ersetzen
̺ = ε0 div E
j =
1
rot B − ε0 Ė
µ0
Behauptung: Der entsprechende Ausdruck läßt sich schreiben als
”Vektor-Kontinuitätsgleichung”
̺E + j × B = ε0 (div E) E +
= −
1
rot B × B − ε0 Ė × B
µ0
∂ 1
S + Div T̂
∂t c2
26
1
,
ε0 µ0
Dabei eingeführt: Lichtgeschwindigkeit c2 =
1
Impulsdichte des Feldes: bis auf Faktor 2 mit Poyntingvektor idenc
tisch
Impulsstromdichte/Maxwellscher Spannungstensor (Definition):
1
Bi Bk
µ0
!
T̂ = Tik = δık u − ε0 Ei Ek −
Beweis in Schritten
!
(a) Div T̂ = ∇i Tik
= ∇k u − ε0 ([∇i Ei ] Ek + Ei ∇i Ek ) −
1
Verwenden u =
2
⇒
1
([∇i Bi ] Bk + Bi ∇i Bk )
µ0
1
Bi Bi
ε0 Ei Ei +
µ0
∇k u = ε0 Ei ∇k Ei +
1
Bi ∇ k Bi
µ0
Ferner: ∇i Ei = div E ; ∇i Bi = div B = 0
⇒ ∇i Tik = −ε0 (div E) Ek +ε0 Ei (∇k Ei − ∇i Ek ) +
(b)
1
Bi (∇k Bi − ∇i Bk )
µ0
1
S = ε0 E × B
c2
∂
ε0 E × B = ε0 Ė × B + ε0 E × Ḃ
∂t
Zwischenergebnis:
1 ∂S
+ Div T̂
c2 ∂t
= −ε0 (div E) E + ε0 Ė × B
+ ε0 E × Ḃ + ε0 Ei (∇k Ei − ∇i Ek ) +
= −̺E − j × B
= −ε0 div E −
1
rot B − ε0 Ė × B
µ0
Müssen also noch zeigen:
{. . .} =
1
rot B × B
µ0
(c) Zunächst ist
E × Ḃ = −E × rot E = −E × (∇ × E)
27
1
Bi (∇k Bi − ∇i Bk )
µ0
Unterscheiden formal
E1 × (∇ × E2 ) = ∇ (E1 E2 ) − E2 (E1 ∇)
!
= Ei ∇k Ei − Ei ∇i Ek = Ei (∇k Ei − ∇i Ek )
Hebt sich auf!
(d) Wiederholen Ableitung mit E → B
!
B × rot B = Bi (∇k Bi − ∇i Bk )
→ ergibt verbleibenden Term
Haben damit gezeigt
∂ S
+ Div T̂ = −(̺ E + j × B)
∂t c2
Folglich gilt (komponentenweise!): Falls ̺ E + j × B > 0 verliert das Feld
Impuls an Teilchensystem, keine Erhaltung des Feldimpulses. Aber es gilt
ein Erhaltungssatz für die Summe aus Teilchen und Feldimpuls, denn
∂ S
+ Div T̂ = −(̺ E + j × B) = −
∂t c2
oder
∂
∂t
∂ ~π
+ Div ĝ
∂t
S
+ ~π + Div (T̂ + ĝ) = 0
c2
R
Integrale Formulierung: ( dV , Gaußscher Satz)
d
dt
Z
dV
S (r , t)
+ ~π (r , t) +
c2
I
i
h
df T̂ (r , t) + ĝ (r , t) = 0
In Worten: Impuls in einem betrachteten Volumen ändert sich nur durch
Zu- bzw. Abfluß von/nach außen.
Zusammenfassung:
Energiesatz
τ̇ + div jτ = j · E = −
τ (r, t) =
X mα
α
u=
2
1
2
ṙ2α δ (r
− rα )
∂u
+ div S
∂t
;
jτ =
X mα
α
ε0 E2 +
1 2
B
µ0
28
;
S=
2
ṙ2α
ṙα δ (r − rα )
1
(E × B)
µ0
Impulssatz
~π =
∂ S
+ Div T̂
π̇ + Div ĝ = ̺E + j × B = −
∂t c2
X
mα ṙα δ (r − rα )
;
ĝ =
X
mα (ṙα ⊗ ṙα ) δ (r − rα )
α
α
T̂ = uδ̂ − ε0 E ⊗ E −
1
B⊗B
µ0
Erhaltung für Summe aus mechanischer und elektromagnetischer Größe
∂
(τ + u) + div (jτ + S) = 0
∂t
∂
∂t
S
~π + 2 +Div Ĝ + T̂ = 0
c
∂
∂t
→
→
29
Z
∂
∂t
(τ + u)dV +
Z I
(jτ + S) df = 0
S
~π + 2 dV +
c
I ĝ + T̂
df = 0
1.5
Elektromagnetische Potentiale und Eichung
Allgemeines Vorgehen: Versuchen teilweise Lösung der Maxwellschen Gleichungen per Ansatz. Beginnen mit
div B = 0
⇒
B = rot A .
Damit für beliebiges Feld A(r, t) Maxwellgleichung identisch erfüllt, da
div rot A ≡ 0
Führen verbleibende Maxwellgleichungen in solche für A (r, t) (und zunächst
E) über. Betrachten als nächste Maxwellgleichung
rot E = −Ḃ = − rot Ȧ
rot (E + Ȧ) = 0
⇒
E + Ȧ = −grad φ .
Damit für beliebiges Feld Φ (r, t) Maxwellgleichung identisch erfüllt
rot grad Φ ≡ 0
Zwischenergebnis:
E = −grad Φ − Ȧ
B = rot A

 definieren Vektorpotential A (r , t)
 und skalares Potential Φ (r , t)
Führen verbleibende Maxwellgleichungen in solche für A und Φ über
ε0 div E = ̺
⇒
ε0 div (−grad Φ − Ȧ) = ̺
1
rot B = j + ε0 Ė
µ0
⇒
1
rot rot A = j + ε0 (−grad Φ̇ − Ä)
µ0
Haben 4 partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung für 4 Potentiale A und Φ
erhalten!
−ε0 ∆Φ + div Ȧ = ̺
1
(grad div − ∆) A + ε0 gradΦ̇ + Ä = j
µ0
Behauptung: Potentiale nicht eindeutig bestimmt durch obige Definition
Beweis:
(1) Mit jeder Lösung A führt auch A′ = A + grad f ; f (r , t) beliebig,
auf dasselbe B−Feld, denn
B′ = rot A′ = rot (A + grad f ) = rot A = B , (rot grad ≡ 0)
(2) A′ führt auch auf dasselbe Feld E , wenn gleichzeitig Φ ersetzt wird durch
Φ′ = Φ − f˙
E′ = − grad Φ′ − Ȧ′ = − grad Φ − Ȧ = E
30
Folglich:
Eichinvarianz der Potentialgleichungen! Können von einem ’Satz’ von Potentialen A , Φ immer zu anderem Satz übergehen
A′ = A + grad f
Φ′ = Φ − f˙
(Eichtransformation)
ohne an den physikalischen Verhältnissen (fixiert durch E und B als meßbare
Größen) etwas zu ändern; dabei f (r , t) beliebig wählbar.
Mathematischer Vorteil:
Können diese Willkür in verschiedener Hinsicht ausnutzen, um bequem handhabbare Differentialgleichungen zu erhalten → spezielle Eichungen
(1) Aspekt ”Entkopplung”: Lorentz-Konvention
Schreiben Potentialgleichungen folgendermaßen
1
div A + 2 Φ̇
c
1
Ä + grad
c2
ε0 µ0 =
1
c2
:
− ∆ A = µ0 j
−ε0 div Ȧ + ∆ Φ
= ̺
Behauptung: Durch geeignete Eichtransform. kann immer erreicht werden
div A +
1
Φ̇ = 0
c2
Beweis:
Seien A′ und Φ′ nicht geeicht, d.h.
div A′ +
1 ′
Φ̇ = g (r , t) 6= 0
c2
Umeichung: A′ = A + grad f ; Φ′ = Φ − f˙
→
div A +
1
Φ̇ = g (r , t) −
c2
∆f −
1 ¨
f
c2
Ohne Beweis (später): Die inhomogene Wellengleichung
∆f −
1 ¨
f = g
c2
(g gegeben, f gesucht) besitzt eine Lösung.
Benutzen Lösung dieser Gleichung zur Umeichung und erhalten Potentiale
A , Φ , die der Lorentzkonvention genügen
div A +
31
1
Φ̇ = 0 .
c2
1 ∂2 A
c2 ∂t2
1 ∂2 Φ
∆Φ − 2
c ∂t2
Damit
∆A −
= − µ0 j
= −
1
̺
ε0
4 mathematisch identische Gleichungen vom Typ ’Wellengleichungen’; c2
später interpretiert als Lichtgeschwindigkeit, d’Alembertscher Operator
(Wellenoptik & Quabla)
2 = ∆−
1 ∂2
c2 ∂t2
(2) Möglichkeit: ’transversale’ oder Coulomb-Eichung
Wenn div A = 0 , d.h. A quellenfrei ≡ transversal (vorläufig nur Sprechweise, später: hängt mit transversalen Wellen zusammen) gewählt wird,
folgt
∆Φ = −
1 ∂2
∆− 2 2
c ∂t
!
̺
ε0
(wie in Elektrostatik!)
A = − µ0 j +
1
grad Φ̇
2
}
|c {z
stört, macht aber die
linke Seite ’transv.’
Tatsächlich ist
div (j + ε0 grad Φ̇) = −̺˙ + ε0 ∆ Φ̇ = 0
Beweis, daß Eichung div A = 0 möglich ist: Sei A′ ungeeicht, d.h.
div A′ = g (r t) 6= 0
Umeichung A = A′ + grad f
→
div A = g + ∆f
Wählen f als Lösung der Poissongleichung ∆ f = −g
32
→
div A = 0
Zusammenfassung:
Potentiale
Eichung
E = − grad φ − Ȧ
A′ = A + grad f
Lorentz-Eichung
,
,
B = rot A
φ′ = φ − f˙
1
div A + 2 φ̇ = 0
c
→
2φ
div A = 0
̺
ε0
2 A = −µ0 j
∆φ
Coulomb-Eichung
= −
→
= −
̺
ε0
2 A = −µ0 j +
33
1
grad φ̇
c2