Klausur 2

Aufgabe K5: Kurzfragen (9 × 1 = 9 Punkte)
Beantworten Sie nur, was gefragt ist.
(a) Wie transformiert das Vektorpotential bzw. das magnetische Feld unter Eichtransformationen? Wie ist die Coulomb-Eichung definiert?
~ x) → A
~ 0 (~x) = A(~
~ x) + ∇Λ(~
~ x) führt auf das gleiche
Lösung: Die Transformation A(~
0
0
~
~
~
~
~
~
~
~ = 0.
Magnetfeld B = ∇ × A → B = ∇ × A = B. In der Coulomb-Eichung gilt divA
[Es kann auch die relativistische Form diskutiert werden.]
1
(b) Wie ist das magnetische Dipolmoment einer stationären Stromdichte definiert? Geben
Sie den Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstärke, der magnetischen Induktion und der Magnetisierung im Medium an.
Lösung: Das magnetische Dipolmoment lautet
Z
h
i
1
µ
~=
d3 x0 ~x0 × ~j(~x0 ) .
2c
~ =B
~ − 4π M
~.
Es gilt H
1
(c) Was versteht man unter Lorentz-Eichung? Welcher Wellengleichung genügt das Viererpotential der Elektrodynamik in Lorentz-Eichung?
Lösung: Die Lorentz-Eichung ist durch ∂µ Aµ (~x, t) = 0 definiert. In Lorentz-Eichung
erfüllt das Vierpotential die DGL
Aµ =
4π µ
j
c
1
(d) Welche Bedingung erfüllt der Polarisationsvektor des Vektorpotentials in CoulombEichung? Was ist der Unterschied zwischen linearer und zirkularer Polarisation?
Lösung:
In Coulomb-Eichung gilt ~k · ~e = 0. Für lineare Polarisation und ~k in
z-Richtung wählt man z.B. 1 = (1, 0, 0) und 2 = (0, 1, 0). Für zirkulare Polarisation benutzt man komplexe Linearkombinationen mit relativer Phase π/2, also ± =
√
~ und B
~ diskutieren.]
(1, ±i, 0)/ 2. [Oder alternativ das Verhalten von E
1
(e) Wie lautet das Poynting-Theorem? — Was ist die physikalische Interpretation? Wie
ist der Poynting-Vektor definiert?
Lösung:
Das Poynting-Theorem hat die Form einer Kontinuitätsgleichung zwischen der zeitlichen Änderung der Energiedichte (Feld und Materie) und der räumlichen
Divergenz der Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes, welche durch den
~= c E
~ ×H
~ gegeben ist,
Poynting-Vektor S
4π
~ x, t) = 0 .
∂t [ωm (~x, t) + ωf (~x, t)] + divS(~
1
(f) Wie lauten die retardierte bzw. avancierte Lösung für das skalare Potential einer Ladungsverteilung in Lorentz-Eichung? Interpretieren Sie den Unterschied physikalisch, und
vergleichen Sie mit dem Coulomb-Potential.
1
Lösung: Die beiden speziellen Lösungen der inhomogenen Wellengleichung lauten
Z
1
|~x − ~x0 |
3 0
0
0
φret./av. (~x, t) = d x
ρ ~x , t = t ∓
|~x − ~x0 |
c
Im retardierten Fall ist die Wirkung nach der Ursache t > t0 , entspricht einer mit Lichtgeschwindigkeit radial von den Quellpunkten ~x0 auslaufenden Kugelwelle. Im avancierten
Fall umgekehrt t < t0 , d.h. radial von außen einlaufende Kugelwelle. Das CoulombPotential (in Coulomb-Eichung) ist dagegen instantan.
1
(g) Was versteht man unter der Dualitätstranformation in der Elektrodynamik? Warum
beschreiben diese Transformationen keine Symmetrie der Natur?
Lösung: Die Transformation vertausche elektrische und magnetische Felder gemäß
~ → B,
~ B
~ → −E
~ (bzw. F αβ → F̃ αβ ). Damit das eine Symmetrie der MaxwellE
Gleichungen wäre, müsste es magnetische Monopole (und entsprechende magnetische
Ströme) geben.
1
(h) Drücken Sie den Viererimpuls eines relativistischen Teilchens durch dessen Geschwindigkeit
~v und c aus. Wie ergibt sich daraus die relativistische Energie-/Impulsbeziehung?
Lösung:
pµ (τ ) = muµ (τ ) = γm (c, ~v )T
mit γ = 1/
p
1 − v 2 /c2
Die Energie-Impulsbeziehung folgt durch die Identifikation pµ = (E/c, p~), so dass
pµ pµ = m2 c2 = E 2 /c2 − p~2 .
1
(i) Was ist die allgemeine Voraussetzung dafür, dass ein geladenes Teilchen Energie in
Form von elektromagnetischer Strahlung aussendet? Wie lautet der Energieverlust des
Teilchens pro Zeit im nicht-relativistischen Grenzfall?
Lösung: Das Teilchen muss beschleunigt werden (Richtung und/oder Betrag). Im NR
2
Limes ist die Strahlungsleistung P = 2q
(~v˙ )2 .
1
3c3
2
Aufgabe K6: Aufladen eines Plattenkondensators (1 + 4 + 2 + 2 = 9 Punkte)
Ein Plattenkondensator aus zwei parallelen kreisförmigen Platten mit (großem) Radius R,
deren Mittelpunkte auf der x3 –Achse liegen, wird gleichförmig aufgeladen, so dass sich das
~
zeitabhängige (homogene) elektrische Feld zwischen den Platten als E(t)
= Ė0 t ~e3 θ(t) beschreiben lässt (d.h. der Abstand d der Platten ist klein gegen ihren Radius R, und Randeffekte sind vernachlässigbar).
(a) Wie lautet das modifizierte Ampèresche Gesetz in Integralform? – Welchen Term darin
bezeichnet man als Maxwellschen Verschiebungsstrom?
Lösung: Das Ampèresche Gesetz stellt eine der Maxwell-Gleichung dar,
~ × B(~
~ x, t) = 1 ∂t E(~
~ x, t) + 4π ~j(~x, t)
∇
c
c
In Integralform
I
~ =
d~s · B
∂F
1
c
Z
~ x, t) + 4π~j(~x, t) .
d2 f~ · ∂t E(~
F
Der Verschiebungsstrom entspricht dem Term mit der zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes.
1
~ als Funktion des Ab(b) Berechnen Sie das zwischen den Platten induzierte Magnetfeld B
standes ρ von der Symmetrieachse des Kondensators.
Lösung:
– Strom ~j(~x, t) verschwindet zwischen den Platten. Wähle Kreisfläche F senkrecht
zur ~e3 –Achse mit Radius ρ ≤ R. Symmetrie/Vernachlässigung von Randeffekten:
~ = B ~eρ
B
1
– linke Seite des Faraday Gesetz integriert (über Kreisumfang mit Radius ρ)
I
2π
Z
~ · d~s =
B
∂F
~ · ~eϕ = 2π ρ B
ρ dϕ B
0
– rechte Seite integriert (mit d2 f~ = ρ0 dρ0 dϕ ~e3 , t > 0):
1
c
Z
F
1
Ė ~e3 · d f =
c
~ =
– Gleichsetzen: ⇒ B
2~
Ė0 ρ
2c
1
Z
ρ
0
0
Z
ρ dρ
0
2π
dϕ Ė0 =
0
1
πρ2 Ė0
c
1
~eϕ
(c) Berechnen Sie den Poynting–Vektor. Skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen und
magnetischen Feldlinien und die (lokale) Richtung des Poynting-Vektors im Kondensator.
1
Lösung:
c ~
~
~ = Ė0 ρ E(t)(~e3 × ~eϕ ) = − Ė0 ρ E(t)~eρ
S(ρ)
=
E×B
4π
8π
8π
~ parallel zu ~e3 . B
~ konzentrisch um z-Achse. S
~ radial nach innen.
Skizze: E
3
1
(d) Berechnen Sie den Poynting’schen Energiefluss in den Kondensator bei ρ = R, sowie die
zeitliche Änderung der im Kondensator ρ ≤ R gespeicherten elektrischen Feldenergie
und zeigen Sie, dass diese übereinstimmen.
Lösung:
– Energiefluss in den Kondensator hinein (über Zylinderoberfläche R dϕ dz):
Z
−
∂V
~ · d2 f~ = −R
S
Z
2π
0
d/2
dR2 Ė0
~
dz S(R)
· ~er =
E(t)
4
−d/2
Z
dϕ
– im Kondensator gespeicherte elektrische Feldenergie:
∂We
1 ∂
=
∂t
8π ∂t
Z
V
4
1
E(t)2 d3 x =
dR2 Ė0
E(t)
4
1
Aufgabe K7: Elektromagnetische Dipolstrahlung (2 + 3 + 4 = 9 Punkte)
Eine (unendliche dünne) lineare Antenne in x3 -Richtung trägt einen mit der Frequenz ω
oszillierenden Strom, dessen Amplitude in der Mitte der Antenne I0 beträgt und nach außen
gemäß einer Gaußverteilung abfällt:
x23
I(x3 , t) = I0 exp − 2 e−iωt .
2a
(a) Wie unterscheidet man die Nah- und die Fernzone für die Aussendung elektromagnetischer Wellen von räumlich kompakten Ladungs- bzw. Stromquellen? Wie lautet
die zeitlich gemittelte Winkelverteilung der Strahlungsleistung eines elektrischen Dipolstrahlers mit der Frequenz ω in der Fernzone? Welche charakteristischen Eigenschaften
hat diese?
Lösung: Nahzone: Abstand r ist sehr viel kleiner als Wellenlänge λ = 2π/k. Fernzone:
r λ.
1
Die gemittelte Strahlungsleistung eines elektrischen Dipols in der Fernzone lautet
dP̄
dΩ
=
c 4
k |~er × p~|2 ,
8π
wobei p~ das elektrische Dipolmoment der Ladungsverteilung bezeichnet.
Sie geht mit der 4. Potenz der Frequenz bwz. Wellenzahl und verhält sich wie sin2 θ, mit
Polarwinkel θ zwischen Dipolrichtung und Abstandsvektor.
1
(b) Bestimmen Sie für den angegebenen Fall die Stromdichte und die daraus resultierende
Ladungsdichte.
Lösung:
1
– Stromdichte
x2
~j(~x, t) = ~e3 δ(x1 ) δ(x2 ) I0 e− 2a32 e−iωt
~ ~j + ∂t ρ = 0:
– Kontinuitätsgleichung ∇
x3 − x232
∂3 j3 = I0 δ(x1 ) δ(x2 ) − 2 e 2a e−iωt = −∂t ρ
a
iI0
x3 − x232 −iωt
⇒ ρ(~x, t) =
δ(x1 ) δ(x2 ) 2 e 2a e
ω
a
2
(c) Bestimmen Sie das dazugehörige Dipolmoment, und berechnen Sie damit die zeitlich
gemittelte Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung in der Fernzone. Geben Sie
auch die über den gesamten Winkelbereich gemittelte Strahlungsleistung an.
Hinweis:
Z ∞
1 2
1
√
x2 e− 2 x dx = 1
2π −∞
Lösung:
– Dipolmoment:
Z
Z ∞
x2
√
3
x2
iI0 −iωt
3
−iωt iI0
p~ = d x ~x ρ(~x, t) = ~e3 e
dx3 23 e− 2a2 = 2πa2 ~e3
e
ω −∞
a
ω
5
2
1
– |~er × ~e3 | = sin θ (s.o.)
⇒
cI 2 a2
dP̄
= 0 2 k 4 sin2 θ .
dΩ
4ω
1
Z
P̄ =
cI 2 a2
dP̄
= 0 2 k 4 2π
dΩ
dΩ
4ω
6
Z
+1
−1
d cos θ sin2 θ =
2π cI02 a2 4
k
3 ω2
Aufgabe K8: Aberration und Doppler-Verschiebung (2 + 2 + 5 = 9 Punkte)
Vom Ursprung eines Inertialsystems K 0 aus werde Licht (als ebene Welle mit Frequenz ω und
Wellenzahlvektor ~k) unter dem Winkel θ0 gegenüber der x01 –Achse emittiert.
(a) Wie ist die Rapidität in der speziellen Relativitätstheorie definiert? Drücken Sie die
Matrix für Lorentz-Boosts in x1 -Richtung durch die Rapidität aus. Welchen Wert hat
die Determinante dieser Matrix?
Lösung: Die Rapidität ist durch tanh η = v/c definiert.
Die entsprechende Lorentz-Matrix lautet

cosh η − sinh η 0 0

 − sinh η cosh η 0 0
Λ=

0
0
1 0

0
0
0 1
1






Die Determinante ergibt sich zu cosh2 η − sinh2 η = 1.
1
(b) Begründen Sie: Die Größe k µ = (ω/c, ~k) ist ein licht-artiger Lorentz-Vektor.
Lösung: Die Phase der ebenen Welle wird durch ~k · ~x − ωt = −k µ xµ beschrieben.
Da die Dispersionsrelation zwischen ω und k in jedem Bezugsystem gleich ist, muss
ω 2 /c2 − k 2 = 0 = k µ kµ ein Lorentz-Skalar sein.
2
(c) Wie lautet die Frequenz ω des Lichts im System K, wenn sich K 0 relativ zu K mit der
0
konstanten Geschwindigkeit ~v = v ~e1 bewegt (~e1 k ~e1 ) (Doppler-Verschiebung)?
Unter welchem Winkel θ erscheint der Strahl im Inertialsystem K (Abberation)?
Lösung:
– Lege x3 –Achse senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wellenzahlvektor:
~k 0 ∝ (cos θ0 , sin θ0 , 0)
Wellenzahl–Vierervektor (kµ k µ = 0):
k 0µ =
1
ω0
(1, cos θ0 , sin θ0 , 0)
c
– Lorentz–Boost (cosh η = γ, sinh η = γβ):

cosh η sinh η

0

ω  sinh η cosh η
ν
k µ = (Λ−1 )µ ν k 0 =
c 
0
 0
0
0




γ + γβ cos θ0
1




γβ + γ cos θ0 
cos θ
ω0 
ω




=
 ≡ c  sin θ 
0
c 
sin
θ




0
0
2
0
0
1
0


1
0




0 cos θ0 


0
0
  sin θ 
0
1
– Aus der ersten Zeile folgt ω = ω 0 (γ + γβ cos θ0 )
– Mit der zweiten (oder dritten) Zeile ergibt sich cos θ =
7
1
β+cos θ0
1+β cos θ0 .
1