Physikalisches Praktikum I

Physikalisches Praktikum I
Versuchsvorbereitung : Resonanz
Tim IJsselstein
Allgemeines:
Dieser Versuch, welcher als Folgeversuch zu „Pendel“ angesehen werden kann, hat zum Ziel die Verdeutlichung
von freien und mechanischen Schwingungen. Hierzu wird das Verhalten verschiedener Größen ( Amplitude ,
Phase , Resonanzschärfe ) in verschiedenen Situationen ( Dämpfung , Güte ) mit Hilfe des Messprogramms
CASSY untersucht. Im Rahmen des Versuches werden sowohl mechanische als auch elektrische Schwingungen
betrachtet.
Aufgaben
Versuch 1
Dieser erste Aufgabenteil ist im Grunde genommen nur dazu gedacht CASSY kenne zu lernen. Hierzu werden
an einem Drehpendel Messungen durchgeführt und die unterschiedlichen Größen-Diagramme in CASSY
dargestellt.
-
Phasenwinkel – Zeit : Hier ist in CASSY der Winkel als zu messende Größe einzustellen und dann das
Diagramm über der Zeit zu zeichnen.
-
Winkelgeschwindigkeit – Zeit : Die Phasengeschwindigkeit definiert sich als Ableitung der
Winkelfunktion und eben diese „ Ableitung des Winkels“ ist in CASSY einzugeben und über der Zeit
aufzutragen.
-
Energie – Zeit : Da die Energie nicht direkt messbar ist, muss hier in CASSY eine Formel als
Messgröße angegeben werden, wobei gilt : E = 0,5 * Θ * ϕ& ² . Für das Trägheitsmoment Θ ist eine
einfache Nährung von Θ = m * r ² = 6kg * (0,085m)²
ergebende Wert ist wiederum über die Zeit aufzutragen
-
= 0,043m ² kg anzunehmen. Der sich so
Phasenraum : In diesem Fall ist einfach die Ableitung des Winkels gegenüber dem Winkel selbst
aufzutragen.
In all diesen betrachteten Fällen ist zu berücksichtigen, dass keine reale Schwingung als völlig Dämpfungsfrei
betrachtet werden kann. Die Luftreibung und die Reibung der einzelnen Komponenten erzeugt auch hier eine
Dämpfung, welche als proportional zur Winkelgeschwindigkeit angesehen wird ( möglich, da hier nur
verhältnismäßig kleine Geschwindigkeiten betrachtet werden ). In unseren Diagrammen wird sich dieses
ungewollte Abklingen der Amplitude durch eine e-Funktion zu erkenne geben, welche in der Form e-βt, mit β als
Dämpfungskonstante, beschrieben werden kann. Die Ermittlung dieser e-Funktion ist wichtig um bei den
folgenden Versuchen entsprechende Fehler zu erkennen und möglichst zu korrigieren. ( Fit-Kurven ).
Versuch 2
Im Vergleich zu Aufgabe 1, wo durchweg frei Schwingungen untersucht wurden, kommt nun eine Dämpfung ins
Spiel. Diese wird über eine Wirbelstrombremse erzeugt und ist über die angelegte Stromstärke steuerbar. Die so
erzeugten Dämpfungen β für die unterschiedlichen Stromstärken sollen nun über zwei verschieden Methoden
ermittelt werden :
1.
2.
Analog zu Aufgabe 1 wird an den sich ergebenden Schwingungsverlauf eine e-Funktion der Form e-βt
angelegt und β bestimmt
Das Dämpfungsverhältnis k wird über folgende Formel bei optimal vielen Schwingungen angewandt
und aud der Formel k = eβT β ermittelt.
k=
1 n ϕi−1
∑
n i=1 ϕi
Dies kann angewendet werden, da sich im Verlaufe der Messungen keine Abhängigkeit der
Schwingungszeit von der Dämpfung ( Dämpfungsstrom )ergeben sollte. ( Die Dämpfung wirkt nur auf
die Amplitude, nicht jedoch auf die Frequenz ).
Nach der Berechnung der jeweiligen Dämpfung ist es nun möglich diese in einem Diagramm gegenüber der
jeweiligen Stromstärke aufzutragen. Um jedoch auch wirklich nur die Stromabhängige Dämpfung zu betrachten,
ist es hier notwendig den in Aufgabe 1 ermittelten, verfälschenden Dämpfungswert zu berücksichtigen.
β korr ( I ) = β ( I ) − β (o)
Nun sollte sich eine quadratische Abhängigkeit der Dämpfung gegenüber dem Strom ergeben, was auch
theoretisch zu Begründen ist. Die Kraft der Wirbelstrombremse beschreibt sich durch :
r r
F = I *l × B
Nun ist jedoch auch das Magnetfeld selbst nochmals vom Strom abhängig, wodurch sich die I² Abhängigkeit
ergibt.
Aus dieser sich ergebenden Abhängigkeit lässt sich nun die Grenzdämpfung für den Fall der Resonanz
extrapolieren ( β=ω0) und der zugehörige Stromstärkewert angeben.
Dieser gesuchte Grenzwert soll auch noch einmal experimentell verifiziert werden, indem man misst, wie schnell
das Pendel, bei der jeweiligen eingestellten Dämpfung, wieder in die Ruhelage kommt. Diese Ruhelage wird am
schnellsten wieder im Resonanzfall erreicht.
Als Abschluss dieses Versuchsteils soll nun noch die jeweilige Güte des Systems angegeben werden. Diese Güte
gibt letztendlich die Energie an, welche das System pro Schwingung „verliert“ und ist somit eindeutig von der
Dämpfung abgängig. Die Güte ist umso geringer, je größer die Dämpfung ist.
Q=
ω0
2* β
Aufgabe 3
Hier soll die Winkelrichtgröße D* de verwendeten Drehpendel auf statische Weise gemessen werden. Hierzu
wird die Achse des Drehpendels mit einem Kraftmesser verbunden, welcher nun bei den folgenden Ausschlägen
die wirkende Kraft anzeigt. Aus
F = ( D*) * ϕ
Kann jetzt D* ermittelt werden und zusammen mit der Schwingungsdauer; T kann nun über die Formeln
ω0 =
2 *π
T
;
ω0 ² =
D*
Θ
das Trägheitsmoment bestimmt und mit der Nährung aus Aufgabe 1 verglichen werden.
Aufgabe 4
Als weitere Art der Schwingung soll nun die erzwungene Schwingung mit Dämpfung betrachtet werden. Die
folgenden Aufgeben sollen bei zwei verschiedenen Dämpfungsströmen durchgeführt werden. Unser Drehpendel
wird im nun vorliegenden Fall durch eine Erregerfrequenz angeregt, welche durch eine Stoppuhr ( leider nicht
über CASSY ) ermittelt werden muss. Es muss darauf geachtet werden, vor den relevanten Messungen die
Einschwingzeit abzuwarten. Ist diese überschritten, ist vorrangig die Phasenverschiebung zwischen
Erregerschwingung und Schwingung zu ermitteln und zwar im Bereich weit über, weit unter, in der Nähe der
Resonanzfrequenz.
Aus den Diagrammen könne jetzt die Werte bei einer Amplitude von 2 abgelesen und aus ihnen die
Bandbreite ∆ω bestimmt werden. Hieraus kann nun analog zu Aufgabe 2 wiederum die Güte des System
angegeben und mit obigen Werten verglichen werden.
Aufgabe 5
In diesem letzten Aufgabenteil wird nun von den mechanischen Schwingungen zu elektrischen Schwingungen
übergegangen.
Über Power-CASSY ist es uns möglich einem System eine Sinus-förmige Erregerspannung mit der Frequenz ω
anzulegen. Gleichzeitig kann die an Kondensator und Spule angelegte Spannung gemessen werden. Im
folgenden ist es uns möglich die beiden Frequenzabhängigen Größen der Impendanz; Z und der Amplitude; I0
durch eingabe der Formel in CASSY in einem Diagramm darstellen zu lassen.
Z = R ² + (ω * L −
1
)²
ω *C
;
I0 =
U0
Z
Wie im vorangegangenen Versuch ist es auch hier möglich die Bandbreite zu messen um damit die Güte
angeben zu können.
Stellt man nun alle abgegriffenen Spannungen als Funktion der Frequenz in einem Diagramm dar, so ist deutlich
eine Resonanzüberhöhung an Spule und Kondensator ablesbar, was bedeutet, das die Spannung an den einzelnen
Bauteilen größer wird als die maximal angelegte Erregerspannung. Aus den nun folgenden Verhältnissen kann
nu noch einmal die Güte Q der Schwingungen bestimmt werden.
Q *U
0
= U
(ω 0 )
;
Q *U 0 = U c (ω0 )
Zur abschließenden Veranschaulichung kann noch einmal die Phasenverschiebung gegenüber der Frequenz
aufgetragen werden.
1
ωC
R
ωL −
tan Φ =