1 Zur Vorbereitung

Labor Physik und Photonik
Labor zur Vorlesung Physik
Versuch 7: Schwingungen
1 Zur Vorbereitung
Die folgenden Begriffe sollten Sie kennen und erklären können:
Freie und erzwungene harmonische Schwingungen, Eigenfrequenz, Schwingungsdauer, Dämpfungsgrad, Abklingkonstante, logarithmisches Dekrement, Auslenkung, Erregerfrequenz, Resonanz
2 Gerätebeschreibung
Das Pohlsche Rad
Das schwingende System ist ein kugelgelagertes Rad aus Kupfer. An dessen Achse ist eine Spiralfeder befestigt, deren anderes Ende mit einem Hebel verbunden ist. Über diesen Hebel wird mit einem Exzenter und einer Schubstange die Drehbewegungen eines Gleichstromgetriebemotors in
periodische Druck- und Zugbewegungen der Spiralfeder umgesetzt. Der Motor wird mit einer Gleichspannung von 24V und 650mA betrieben. Die Regelung der Drehzahl und damit der Erregerfrequenz geschieht durch 2 Potentiometer für die Grob- bzw. Feineinstellung.
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Versuch 7: Schwingungen
Die Drehfrequenz des Motors kann mittels einer Reflexionslichtschranke und eines Digitalzählers
bestimmt werden. Eine zweite Reflexionslichtschranke ist in der Nähe des schwingenden Kupferrades angebracht, um die Frequenz bei freien Schwingungen zu ermitteln. Die Amplitude des Erregers
läßt sich durch Verschieben der Schubstange in der Führung des Hebels einstellen. Die eigentliche
Dämpfung des schwingenden Systems, von der Lager- und Luftreibung einmal abgesehen, wird
durch eine Wirbelstrombremse über einen Elektromagneten, zwischen dessen Pole das Rad
schwingt, bewirkt.
Durch Änderung der Stromstärke im Elektromagneten läßt sich die Dämpfung kontinuierlich regeln.
Wir arbeiten mit den Strömen 0.2A, 0.3A und 0.4A.
3 Theoretische Grundlagen
3.1 Beschreibung des Effekts
Wirkt auf ein schwingungsfähiges Drehsystem (in unserem Fall das Pohlsche Rad) von außen periodisch ein Drehmoment mit der Frequenz E, so stellt sich nach Abklingen des Einschwingvorgangs
ein stabiler Schwingungszustand ein. Die Antwort des Systems ist eine erzwungene Schwingung mit
der Kreisfrequenz E des Erregers. Die sich einstellende Schwingungsamplitude ist stark von E
abhängig. Sie erreicht bei schwacher Dämpfung ein stark ausgeprägtes Maximum. Dieses Verhalten
heißt Resonanz, die zum Maximum gehörigende Frequenz Resonanzfrequenz. Bei starker Dämpfung wird das Maximum flacher und die Resonanzfrequenz wird kleiner.
3.2 Differentialgleichung der freien harmonischen Drehschwingung
Zunächst stellen wir die Differentialgleichung für eine freie gedämpfte harmonische Schwingung
eines Drehpendels auf. Lenken wir das Pohlsche Rad um einen bestimmten Auslenkungswinkel β
ngen
ausführen.
Auf das Kupferrad wirken während der Schwingung folgende Drehmomente:
das Drehmoment M1, das von der Spiralfeder mit der sogenannten Winkelrichtgröße c* erzeugt wird:
(1)
M1 = -c* β
das Drehmoment M2, das von der Wirbelstrombremse mit der Dämpfungskonstante b erzeugt
wird und proportional der Winkelgeschwindigkeit β ist:
(2)
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M2 = - b β
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Das resultierende Drehmoment bewirkt eine Winkelbeschleunigung. Daraus folgt:

M1 + M2 = J β
(3)
wobei J das Massenträgheitsmoment des Schwingungssystems bedeutet.
Somit erhalten wir die DGL einer freien gedämpften harmonischen Drehschwingung:
(4)
 + b β + c * β = 0 oder
Jβ
(5)
 + 2 δ β + ω02 β = 0
β
mit
2δ=
b
J
*
und
2
ω0 =
c
J
ω0
δ
3.2.2).
3.2.1 Lösung der DGL
Mit den Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen aus Mathematik 2 (Exponentialansatz)
kann die DGL (5) wie folgt gelöst werden:
(6)
p 2 + 2 δ p + ω02 = 0
(charakteristische Gleichung)
(7)
p 1,2 = - δ ±
(Lösungen der char. Gleichung)
δ 2 - ω 02
Wir beschränken uns auf den Fall δ 2  ω 2 (schwache Dämpfung), d.h. die Lösungen p1 und
0
p2 sind in diesem Fall komplex und führen zu (gedämpften) Schwingungen als Lösungen der DGL:
p1,2 = - δ ± j ω 02 - δ 2 .
Die Lösung der DGL (5) hat somit folgende Form:
(t) = e-t (c1 cos t + c2 sin t)
oder (t) = A e-t cos (t +) mit ω 2 = ω 02 - δ 2
und A und  werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
Mit den Bezeichnungen der Physik
(8)
β (t ) = β̂0 e δt cos ωd t + γ  mit ωd = ω02 - δ 2
3.2.2 Dämpfungsgrad D
Der Dämpfungsgrad ist wie folgt definiert:
(9)
D =  / 0
Wir unterscheiden 4 Fälle:
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a) Die ungedämpfte harmonische Schwingung bei D = 0 (d.h.  = 0)
Die Lösung nimmt folgende Form an:
(10)
β ( t ) = β̂0 cos (ω 0 t + γ)
d.h. 0 ist die Frequenz der freien ungedämpften Schwingung. 0 heißt Eigenfrequenz.
b) Die gedämpfte harmonische Schwingung bei 0 < D < 1
Die Lösung ergibt sich aus (8) mit (9) zu
(11)
β = β̂ 0 e -D ω0 t cos ω d t + γ  mit der Frequenz ω d = ω 0 1 - D 2
c) Der aperiodische Grenzfall bei D = 1
Die Lösung ist eine abklingende Exponentialfunktion (charakteristische Gleichung hat eine doppelte
reelle Nullstelle).
d) Der Kriechfall bei D > 1 (charakteristische Gleichung hat zwei reelle Nullstellen).
Die Lösung ist eine abklingende Exponentialfunktion.
3.2.3 Das logarithmische Dekrement
Das Dämpfungsverhältnis k ist definiert als
(12)
k=
βn
βn+1
wobei n und n+1 zwei aufeinanderfolgende gleichsinnige Amplituden bei der Dämpfung  bedeuten.
D.h. n und n+1 unterscheiden sich zeitlich um eine Schwingungsdauer Td = 2/d.
Mit Gleichung (11) folgt:
(13)
k=
βn
β(t )
=
= eδ Td
βn+1 β(t + Td )
d.h. der Quotient zweier aufeinanderfolgenden Amplituden ist konstant.
Gleichung (13) aufgelöst nach  ergibt:
(14)
δ=
 β 
ln  n 
Td  βn +1 
1
Daraus ist das logarithmische Dekrement definiert zu:
(15)
Λ  ln
βn
 δTd
βn 1
Durch Umformen von Gleichung (15) mit den Logarithmenregeln folgt:
 = ln β n - ln β n+1 = δTd
bzw.
(16)
ln βn+1 - ln βn = - 
d.h. der Abstand zwischen 2 aufeinanderfolgenden logarithmierten Amplituden ist immer konstant.
Daraus folgt: Trägt man ln  n über n auf, entsteht eine Gerade mit der Steigung -, das negative
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Dekrement. Der Achsenabschnitt dieser Geraden kann aus Gleichung (11) bestimmt werden.
3.3 Erzwungene harmonische Drehschwingungen
3.3.1 Lösung der Differentialgleichung
Analog zu 3.2 kann man die DGL einer erzwungenen Schwingung aufstellen. Für ein Erregersystem, das ein harmonisches Moment auf das System ausübt, ergibt sich folgende Gleichung:
 + b β + c * β = M0 cos ωE t
Jβ
(17)
mit M0
E
- maximal "erzwungenes" Drehmoment
- Frequenz der erzwungenen Schwingung
Division mit J ergibt:
 + 2δ β + ω2 β = A cos ωE t
β
0
0
(18)
b
mit 2 δ =
J
*
c
, ω =
J
2
0
und
A0 =
M0
J
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung, deren Lösung eine Summe aus homogener Lösung und partikulärer Lösung ist. Der homogene Anteil ist flüchtig und verschwindet nach dem
Einschwingvorgang. Der partikuläre Anteil kann z.B. mit Hilfe des Störgliedansatzes bestimmt
werden:

β ( t ) = β A cos (ωE t - α)
(19)
Durch Einsetzen in die DGL müssen β̂A und  (die Phasendifferenz zwischen Erreger und Resonator) bestimmt werden. Es ergibt sich:

βA 
(20)
A0
1
 ωE   δωE  ω 0
1 
   2

ω
ω
ω
0 
0
0 


2
2
2
2δωE
und α  arctan
ω 0  ωE
2
2
Setzen wir :
D=
δ
ω0
Dämpfungsg rad und
η = ωE normierte Kreisfrequenz 
ω0
so vereinfacht sich die Lösung zu:
(21)
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
βA 
1
1 η 
2 2
A0
 (2Dη)2 ω0
2
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und α  arctan
2Dη
1 η2
Im folgenden Diagramm ist der Phasenwinkel  für verschiedene Dämpfungsgrade D über  darge-
Phasenwinkel
1,0 Pi
D=0,2
D=0,4
0,5 Pi
D=0,6
D=1,0
D=2,0
0,0 Pi
0
1
2
3
4
wE/w0
stellt:
Für kleine E ist die Phasenverschiebung nahe bei 0, bei der Eigenfrequenz 0 /2 und für große E
nahe .
3.3.2 Resonanzfrequenz

Offensichtlich hängt die Amplitude der erzwungenen Schwingung β A von der Erregerfrequenz
ωE ab. Unter der Resonanzfrequenz res verstehen wir die Erregerfrequenz, bei der die Amplitude
maximal wird. Diese erhalten wir durch Ableiten der Wurzelfunktion nach .
(Maximum der Amplitude ergibt sich beim Minimum der Wurzelfunktion)
Die Lösung lautet:
η = 1 - 2 D2
und daraus folgt für res
(22)
2
ωres = ω0 1 - 2 D
Je größer der Dämpfungsgrad, desto kleiner wird die Resonanzfrequenz.

Im folgenden Diagramm ist die Amplitude β A der erzwungenen Schwingung für verschiedene
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Dämpfungsgrade D über  dargestellt:
Amplitude
3
2,5
D=0,2
D=0,4
D=0,6
D=1,0
D=2,0
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
wE/w0
4 Versuchsdurchführung
4.1 Freie harmonische Schwingungen
4.1.1 Eigenfrequenz-Messung
Für die gemessene Frequenz f gilt:
f
(23)
ω
2π
Um freie Schwingungen mit dem Pohlschen Rad zu erzeugen, muß lediglich das Rad auf circa. 18
Skalenteile ausgelenkt und danach losgelassen werden. Das System schwingt frei und harmonisch.
Um die Eigenfrequenz zu messen, ist eine Reflexionslichtschranke in der Nähe des Schwingers angebracht. Das Kabel (fr) der Lichtschranke für freie Schwingungen wird mit dem Frequenzzähler
verbunden. Ein Reflektor befindet sich bei Ruhelage unmittelbar vor der Lichtschranke und erzeugt
einen Reflex. Bei jeder vollständigen Schwingung wird 2-mal die Reflexionslichtschranke ausgelöst.
Der Frequenzzähler zeigt daher die doppelte Frequenz an.
4.1.2 Bestimmung des logarithmischen Dekrements
Das logarithmische Dekrement ist nach Gleichung (15) wie folgt definiert:
  ln(
βn
).
βn1
Um die statistischen Fehler der Messung zu verringern, bietet sich hier eine graphische Lösung an.
Man liest für verschiedene Dämpfungen immer auf der gleichen Seite 6 aufeinanderfolgende
Amplituden ab und logarithmiert die Werte. Danach trägt man für jede Dämpfung ln n über n
auf.Die Punkte konstanter Dämpfung liegen alle auf einer Geraden. Ermittelt man die Steigung der
Geraden mit linearer Regression, so ist die negative Steigung der Geraden nach Gleichung (16) das
logarithmische Dekrement.
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4.2 Erzwungene Schwingungen
4.2.1 Resonanzkurven
Mit einem Gleichstrommotor wird über eine Schubstange das Pohlsche Rad zum Schwingen angeregt. Die Erregerfrequenz wird direkt über eine Reflexionslichtschranke am Motor und einem Reflektor auf der Welle mit einem Frequenzzähler analog 4.1 gemessen. Das entsprechende Kabel
(erz) muss mit dem Frequenzzähler noch verbunden werden. Nun lassen sich die Frequenzen im
Meßbereich 0.4 bis 0.8Hz einstellen.
Nach Erreichen der Meßfrequenz beginnt der sog. Einschwingvorgang; erst nach dessen Ende (d.h.
nach Abklingen des homogenen Anteiils der Lösung, siehe 3.3.1) stellt sich eine konstante Amplitude ein, die erfasst wird.
Um die Lage der Resonanzfrequenz graphisch gut auflösen zu können, müssen in der Nähe der
Resonanz mehrere Meßpunkte gesetzt werden. Die Resonanzkurve entsteht, wenn die Amplitude
über der Frequenz aufgetragen wird.
Dies ist für die Dämpfungsströmen 0.2A, 0.3A und 0.4A durchzuführen.
Zeichnet man alle 3 Resonanzkurven in ein Diagramm ein, so kann man die Verlagerung der Kurven
bei höherer Dämpfung zu kleineren Frequenzen gut erkennen.
4.2.2 Phasenlage
Die Phasenlage bei kleinen bzw. bei hohen Frequenzen läßt sich leicht erkennen.
Die Phasenlage bei 0 ermittelt man am besten aus der Gleichung 20 durch Limesbildung E
nach 0.
5 Arbeitsprogramm
Finden Sie in der Excel-Datei Schwingungen.xls
6 Literatur
1. Hering, Martin, Stohrer; Physik für Ingenieure; VDI-Verlag
2. Bergmann, Schäfer; Band 1, Mechanik, Akustik, Wärme; Walter de Gruyter-Verlag
3. Hauger, Schnell, Gross; Technische Mechanik 3; Springer Verlag
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