Skript zur Vorlesung “Theoretische Physik II

Skript zur Vorlesung “Theoretische Physik II Elektrodynamik”
Dozent: Prof. Dr. rer. nat. M. Bonitz
Druckfassung: Christopher Hinz
23. April 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Gegenstand der ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
6
2 Grundbegriffe und Grundgleichungen der Elektrodynamik
2.1 Ladungen und Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ladung und Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mathematischer Einschub: Distributionen, δ-Funktion und
Θ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Ladungserhaltung. Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . .
2.1.5 Math. Einschub: “Vektoranalysis I”: Satz von Gauß, Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern . . . . . . . . . .
2.2.1 Satz von Stokes, Rotation, Potential . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Fundamentalsatz der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Mathem. Einschub: wichtige Eigenschaften von div, grad,
rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die Maxwell - Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Quellen des elektrischen Feldes, Coulomb - Gesetz . . . .
2.3.2 Technischer Einschub: Einheitensysteme der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
1
8
11
13
14
16
16
19
19
22
22
23
1
Einführung
1.1
Gegenstand der ED
• Erinnerung – Gegenstand der klassischen Mechanik:
– Bewegung von Körpern bei vorgegebener (Gesamt-)Kraft gegeben
durch Newtonsche Gleichung
¨ = F~ ,
m ·~r
(1)
oder alternative Formen der mechanischen Bewegungsgleichungen (Hamilton etc.).
Dabei zwei Fälle:
1. F - äußere Kraft, z.B. Erdanziehung - freier Fall, Wurf, etc. oder
2. F - “innere” Kraft - Wechselwirkungskraft der Teilchen o. Körper
untereinander (z.B. Gravitation, Anziehungskraft zwischen Elektron und Atomkern etc.).
Bei Fehlen externer Kräfte, gekoppelte Bewegungsgleichungen
(Beispiel N = 3):
¨ 1 = F~1 = F~12 + F~13
m1 ∗~r
¨ 2 = F~2 = F~21 + F~23
m2 ∗~r
¨ 3 = F~3 = F~31 + F~32
m3 ∗~r
(2)
zusätzlich erforderlich: Anfangsbedingungen ~ri (0), ~vi (0), i = 1 . . . N .
2
1
F~ij = −F~ji
3
Abbildung 1: innere Kräfte (Wechselwirkung)
Allgemeines Resultat:
– Trajektorien ~ri (t), ~vi (t), i=1 . . . N
– Mechanik: nimmt Kräfte als gegeben an und macht keine Aussage
über Ursache der Kräfte, keine Herleitung ihrer Entstehung aus mikroskopischen Eigenschaften der Materie.
• Gegenstand der Elektrodynamik:
– Untersuchung besonderer Kräfte: aller Kraftwirkungen (extern und
intern) elektromagnetischer Natur
2
– einschließlich der Ursache der Kraft, Rückwirkung der Bewegung der
Körper auf die Quelle der Kraft etc.
Definition(vorläufig): “elektromagnetische” Kräfte: durch Ladungen und Ströme (= bewegte Ladungen) verursachte Kräfte und ihre
Wirkung auf andere Ladungen/Ströme
Ladung: fundamentale Eigenschaft der Grundbestandteile der Materie
(Elementarteilchen p, n, e, etc.) wie Masse, Spin usf. Erfahrung: ∃
Elementarladung e0 , Ladungen treten nur als Vielfaches von e0 auf.
Bemerkung: Standardmodell der Elementarteilchen: Protonen und Neutronen bestehen aus Quarks, die Ladungen ± 31 e0 , ± 23 e0 tragen. Quarks
treten aber nicht frei (einzeln) auf (sog. confinement), eine Ausnahme
bildet das sog. “Quark-Gluon-Plasma”, das aber nicht Gegenstand dieser Vorlesung ist (es wird nicht durch rein elektromagnetische Kräfte
beschrieben sondern durch die Quanten-Chromodynamik, die aber viele
Ähnlichkeiten mit der Elektrodynamik besitzt.)
– Bsp. (2) oben: Massen mi , Ladungen ei Punktladungen:
m1 e1
F~12
m2 e2
Abbildung 2: Coulomb-Kraft zwischen zwei Punktladungen
Erfahrung 1: Kraft zwischen zwei Punktladungen: F12 ∝ e1 ∗ e2 Coulombkraft
Erfahrung 2: F12 ∝ 1r , sehr langsamer Abfall, daher Kraftwirkung
über großen Abstand r
– Erfahrung 3: Kraftwirkung erstreckt sich auch durch “Medium” zwischen Körpern hindurch (welchen Einfluss hat das Medium?)
– Problem I: “Fernwirkung”: wie schnell breitet sich diese Kraftwirkung aus? (Beispiel: Ionisation zweier Atome, die mehrere Lichtjahre
entfernt sind – wie schnell “spüren” sie die gegenseitige CoulombWechselwirkung?) Bild der Coulombkraft erlaubt keine Aussagen zur
Endlichkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Steht im Widerspruch
zur Speziellen Relativitätstheorie.
– Problem II: im allgemeinen Fall ist geladener Körper ausgedehnt
(nicht punktförmig), Ladung über Körper verteilt. Kraft zwischen
beliebiger Ladung und diesem Körper i.a. wesentlich komplizierter
als Coulomb - Kraft, s. Abb. 3.
Elektrisches Feld. Aus diesen Problemen resultiert Versuch einer alternativen Vorstellung elektrischer (und magnetischer) Prozesse: Jede Ladung (z.B. Ladung e2 ) ist Quelle eines (elektro-magnetischen) Feldes unabhängig davon, ob eine andere Ladung anwesend ist.
3
m1 e1
F~12
m2 e2
Abbildung 3: Kraftwirkung einer räumlich ausgedehnten Ladungsverteilung auf
ein Punktladung genügt i.a. nicht dem Coulombgesetz.
~r − ~r2
m2 e2
~r
~r2
Abbildung 4: Ladung e2 als Quelle des elektrischen Feldes E2 (r) = E(e2 , r − r2 )
4
Bemerkungen:
– EM - Feld ist eigenständige Realität, bedarf keines weiteren Trägers
(existiert auch im Vakuum)
– Kraftwirkung entsteht, wenn andere Ladung (Masse m1 , Ladung e1 )
am Ort ~r in Feld E2 von Ladung 2 gebracht wird. In dieser Vorstellung befindet sich das Feld E2 überall im Raum, also auch am Ort
von Ladung 1, und in ihrer unmittelbaren Nähe, daher spricht man
bei dieser Feldtheorie auch von Theorie der “Nahwirkung” (im Unterschied zur “Fernwirkung”, s.o.).
– Doppelfunktion der Ladung: sie erzeugt Wirkung (el. Feld) und erfährt
selbst Wirkung im Feld anderer Ladungen.
– Feldkonzept wird analog ausgedehnt auf Strom einer Ladung [I~ ∝
e · ~v ]), führt zu Magnetfeld mit Feldstärke B.
Test durch Experiment: Nur Kraft (auf Probeladung 1) F~12 messbar →
Kriterium der Gültigkeit aller Theorien, insbes. der Feldtheorie: Reproduktion der korrekten Kräfte.
sehen in Kürze: EM-Feld produziert Lorentzkraft
~ r, t) + e1 ~v1 × B
~
F~1 (~r, t) = e1 ∗ E(~
c
(3)
E - Gesamt-El.-Feld aller Ladungen, B - Gesamt-Magnetfeld aller Ströme
im System. Reproduziert Coulombgesetz zwischen Punktladungen als Spezialfall.
Aktualisierte Definition der Elektrodynamik:
~ B)
~ und seiner Bewegungsgleichungen (MaxwellTheorie des EM-Feldes (E,
Gleichungen), völlig allgemeine Theorie, bestens durch Experimente bestätigt
– Grenzfall: unbewegte (statische) Ladungen: Entkopplung in:
∗ “Elektrostatik” (Ladungen, reines E-Feld)
∗ “Magnetostatik” (Magnete/Ströme, reines B-Feld)
~ B
~
∗ zeitunabhängige und voneinander unabhängige Felder E,
– Allgemeiner Fall: Bewegung der Ladungen
∗ zeitabhängige Felder
∗ E und B nicht mehr unabhängig
∗ neue Phänomene, z.B. Propagation des Feldes, EM-Wellen etc.
– Spezielle Relativitätstheorie: Einteilung in E und B - Feld willkürlich
(abhängig vom Koordinatensystem des Beobachters) - es existiert nur
ein einheitliches EM - Feld
– Relativistische Quanten-Elektrodynamik: Ladungen und Felder untrennbar (Paarerzeugung/-vernichtung, etc.) Äquivalenz von Masse
und Energie, Feldenergie und -Impuls quantisiert etc.
5
1.2
Historische Bemerkungen
wichtige Grundlagen wurden über viele Jahrhunderte geschaffen. Hervorzuheben
vor allem:
• 1785: Coulomb: Kraft zwischen Punktladungen
• 1820: Oersted: Ablenkung von Magneten durch Ströme
• 1822: Ampere: Strom als Ursache des Magnetismus
• 1831: Faraday: Induktion (Strom durch Bewegung von Magneten), Feldbegriff
• 1864: Maxwell: Feldgleichungen, Vorhersage EM-Wellen
• 1880: H. Hertz: Nachweis EM-Wellen
• 1900: M. Planck: Quanten-Natur des EM-Feldes
• 1905: Einstein: spezielle Relativitätstheorie, Äquivalenz von E und B; endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit (v ≤ c) der Kraftwirkung/Felder
• ca. 1950: Quanten-Elektrodynamik (Feynman, Tomonaga, Dyson, Schwinger,...)
zusätzliche Informationen sind im Buch von Greiner[Gre02] zu finden
6
2
Grundbegriffe und Grundgleichungen der Elektrodynamik
2.1
Ladungen und Ströme
2.1.1
Ladung und Ladungsdichte
1. Diskrete Beschreibung: Kräfte zwischen Punktladungen mit ~ri (t) - Trajektorie (bei großen Körpern - nicht Elementarteilchen-)
möglich auch: ei = ei (t) = Ni (t) ∗ e0 , Ni ∈ N
SI-Einheit [e] = 1 C = 1 A*s
~r1
e2
e1
~r2
e3
~r3
×
Abbildung 5: Feld mehrerer Punktladungen
Elementarladung (Elektron): e0 = 1.6 ∗ 10−19 C
Betrachten jetzt ausgedehnten geladenen Körper (allgemeiner Fall):
Ladung über ∆V verteilt
Gesamtladung∆Q(t)
V olumen∆V
~r
o×
Abbildung 6: Verteilung der Ladung über einen ausgedehnten Körper
2. Zweckmäßig: Kontinuums-Beschreibung:
ersetzen Ladung → Ladungsdichte am Ort ~r zur Zeit t
ρ(~r, t) = ρ(x, y, z, t)
(4)
Gesamtladung:
∆Q(t) =
Z
ρ(x, y, z, t) dV
∆V
7
(5)
3. Verknüpfung beider Beschreibungen:
benötigen Ladungsdichte für Punktladungen, Fall 1) → 2) durch
∆V → 0:
∆Q
ρ(~r, t) = lim
∆V →0 ∆V
Definition folgt aus (5)
Resultat:
N
X
ρ(~r, t) =
ei ∗ δ[~r − ~ri (t)]
(6)
(7)
i=1
Beweis von (7): s.u., S
wenn ∆V ≈ atomare Ausdehnung (∆x, ∆y, ∆z ≈ 1Å)
(
e0 Ladung ∈ ∆V (r), ρ → ∞
∆Q(t) =
0 Ladung 6∈ ∆V (r), ρ → 0
(8)
aber in Physik ist alles endlich
3
2
N
1
4
Abbildung 7: Ladungsdichte für System von Punktladungen (peaks). In einem
realen physikalischen System haben die peaks eine endliche Höhe und Breite.
Dies ist eine Konsequenz der Quantennatur der Mikroteilchen.
2.1.2
Mathematischer Einschub: Distributionen, δ-Funktion und ΘFunktion
Definition δ-Funktion (Distribution):
3-dimensionale Deltafunktion:
δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z)
(
0,
mit δ(x) =
∞,
x 6= 0
und
x=0
R∞
−∞
δ(x) dx = 1.
δ ist nicht stetig, Distribution
8
(9)
2
γ
δ
y
2γ
y
x0
x0 − γ
1
y
x
x0 + γ
x
Θ
x0
Abbildung 8: δ - Distribution Darstellung durch Cauchy - Folgen, Formel (10)
x
Abbildung 9: Heaviside - Funktion
Θ(x − x0 ) und ihre Ableitung, δ(x − x0 )
Wichtige Eigenschaftender δ-Funktion:
1. δ(x) kann als Grenzwert stetiger Funktionen dargestellt werden, z.B.
lim
γ→0
siehe Abbildung 8
2γ
= δ(x − x0 )
(x − x0 )2 + γ 2
2.
Z
∞
−∞
Z
dxδ(x − x0 )f (x) = f (x0 )
∞
−∞
dxδ 0 (x − x0 )f (x) = −f 0 (x0 )
3. δ(x) = δ(−x)
4. f (x)δ(x) = f (0)δ(x), z.B. xδ(x) = 0
P δ(x−x0 )
5. δ[h(x)] = i |h
0 (x )| , h(x0i ) = 0
0i
Beispiel 1: δ[a ∗ x] =
δ(x)
|a|
Beispiel 2.: δ(x2 − a2 ) =
6. δ(x − x0 ) =
7.
Rx
−∞
1
2∗π
R∞
δ(x−a)
2|a|
+
δ(x+a)
2|a|
dk eik(x−x0 )
−∞
(
0, x < x0
dx δ(x − x0 ) = Θ(x − x0 ) =
1, > x0
0
0
Θ : Heaviside-Funktion
damit δ(x − x0 ) = Θ0 (x − x0 ), siehe Abbildung 9
8. “Einheiten”: [δ(x)] =
1
[x] ,
[Θ(x)] = 1,
folgt aus Defintion von δ durch Integral sowie 7.
damit folgt für die 3D-Deltafunktion: [δ(r)] =
9
1
m3
(10)
∆V
~ri
∆Vi
Abbildung 10: diskretisiertes Volumen: ∆V = N ∆Vi
Beweis von Formel (7):
für eine Punktladung e1 bei ~r1 (t): ρ(~r, t) = e1 δ[~r − ~r1 (t)]
(
Z
e1 , ~r1 (t) ∈ ∆V
ρ(~r, t) dV =
0, sonst
∆V
wegen der Definition der δ - Distribution
Verwende dabei Definition des Volumenintegrals:
Sei ei im Folgenden die Ladung in der Zelle mit Index i.
Z
∆V
ρ(~r) dV =
lim
N
X
∆Vi →0
i=1
N →∞
N ∗∆Vi =const.
ρ(~ri )∆Vi =
||
0 + 0 + ... + e1 + 0 + ...
nur i-te Zelle trägt zum i-ten Summanden bei
ei
∆Vi
oder, direkt durch Einsetzen:
Z
XZ
X
ρ dV =
ei δ [~r − ~ri (t)] =
ei = ∆Q
∆V
i
i
Bemerkung: lim physikalisch nicht realisierbar: ∃ min. Längenskala, z.B. ato∆V →0
mare Längenskala ∆xA . Wenn wir makroskopische Längenskalen verwenden,
d.h x >> ∆xA (typisch in der Elektrodynamik) sind Rechnungen mit ∆xA → 0
und ∆Vi → 0 möglich und mathematisch oft vorteilhaft. δ(x) und θ(x) bilden
hierfür einen geeigneten Apparat.
Einheit der Ladungsdichte: [ρ] =
[Q]
[V ]
=
C
m3 ,
10
da [δ(x)] = m−1
2.1.3
Strom und Stromdichte
Abbildung 11: Schnappschuss
des Volumenelements mit Ladungstrajektorien
~ 1 (t), ~v1(t)
e1 , r1
Ladung: verknüpft mit Anzahl der Elementarladungen im Volumenelement
Strom: Ladungsfluss pro Zeiteinheit durch
Fläche → Abhängig von Ladungszahl
und Geschwindigkeit also von ~ri und ~vi
∆F
∆I(t) : Strom durch Fläche ∆F
∆Fi
∆I(t) = lim
∆t→0
Abbildung 12: Fluss von Ladungen durch Fläche ∆F
11
∆Q(∆F )
∆t
• a.) N Punktladungen: diskrete Beschreibung
PN ei
∆I = lim
i=1 ∆t
∆t→0
• b.) kontinuierliche Verteilung des Stromes über Fläche ∆F :
Kontinuumsbeschreibung mittels Stromdiche ~j (Vektorfeld)
Z
~j(~r, t) df~ = I(t)
(11)
∆F
Hierbei ist ~j(~r, t) df~ als Skalarprodukt aufzufassen, mit df~||~n - lokale
Flächennormale
Verwende Def. des Flächenintegrals: Zerlege ∆F = N ∗ ∆Fi
PN
~ r, t)∆F~i
Damit folgt: I(t) =
lim
i=1 j(~
∆Fi →0
N →∞
∆F =N ∗∆Fi
• Stromdichte ist allgemeines Konzept (wie Ladungsdichte). Benötigen daher auch Stromdichte für ein System von N Punktladungen, Fall a.):
Resultat:
N
X
˙ i (t)δ[~r − ~ri (t)]
~j(~r, t) =
ei~r
(12)
i=1
• Dimension: aus Einheit von [I] = A =
[j] =
[I]
[F ]
=
A
m2
C
s
und Definition (11) folgt:
1
= cm
s m3
Bemerkung: ~j = in (12) bestimmt durch ~ri (t), ~vi (t) - Phasenraumtrajektorien
aller Ladungen
˙ i sind unabhängig
→ ~ri , ~vi =~r
→ ~j nicht aus ρ bestimmbar! (im allgemeinen j 6= ρ̇)
selbst bei ρ = const. ist Stromfluss möglich
Beispiel: rotierende, homogen geladene Kugel
(
ρ0 innen
ρ(~r, t) = ρ(~r) =
0 außen
dennoch ~j(~r, t) 6= 0 (Wirbelstrom)
ρ̇ ≡ 0
12
2.1.4
Ladungserhaltung. Kontinuitätsgleichung
Betrachten Volumen V
F
• Ladung in V zur Zeit t:
R
QV (t) = V ρ(~r, t) dV
~jin
~jout
• Zeitliche Änderung der Ladung in
V
V: dQ
dt
Abbildung 13: Strom
• Strom (Ladungen pro Zeit) durch durch die Randfläche F
von Volumen V
Oberfläche F von V:
Integral über gesamte Oberfläche
IF (t) =
I
~j(~r, t) df~
F (V )
(
Vorzeichen des Gesamtstroms =
+ = in
− = out
df~||~nout Normale aus V heraus (Konvention)
Satz von der Erhaltung der Ladung:
wenn in V keine Ladungen erzeugt oder vernichtet werden (z.B. durch Ionisation,
Rekombination, chem. Reaktionen, etc.):
dQV
+ IF = 0
dt
V
mit dQ
dt > 0 bei IF < 0 (Zufluss von Ladungen nach V überwiegt) bzw.
bei IF > 0 (Abfluss überwiegt)
daraus folgt nach Einsetzen der Definition von Ladung und Strom:
Z
I
d
~j(~r, t) df~ = 0
ρ(~r, t) dV +
dt
F
(13)
dQV
dt
<0
(14)
Bemerkungen:
• integrale Aussage über Eigenschaft des Gesamtvolumens
• Ladungserhaltung ist ähnlich Teilchenerhaltung, aber nicht äquivalent!
z.B. Änderung der Teilchenzahl möglich und gleichzeitig dQ
dt = 0
Beispiel: s. Abbildung 14
Betrachten jetzt Ableitung der lokalen Ladungserhaltung mit Hilfe des Satzes
von Gauß.
13
−e
e
V
Zahl positiv und negativ geladener Teilchen je um 1 verringert
Abbildung 14: Entfernen einer positiven
und negativen Ladung aus V verringert
Teilchenzahl, aber Gesamtladung bleibt
unverändert.
2.1.5
Math. Einschub: “Vektoranalysis I”: Satz von Gauß, Divergenz
Satz von Gauß:
I
~j(~r, t) df~ =
Z
F (V )
div ~j(~r, t) dV,
(15)
V
hier ist F (V ) die Oberfläche des Volumens V und div die Divergenz eines
beliebigen Vektorfeldes ~j(~r) = (jx , jy , jz ):
mit der Definition:
div ~j(~r, t) =
∂jx (~r) ∂jy (~r) ∂jz (~r)
+
+
∂x
∂y
∂z
(16)
Plausibilitätsbetrachtung (Beweis s. Analysis):
~z
~n
Fz2
z + ∆z
y + ∆y
(x, y, z)
~j = jx ∗ ~ex + jy ∗ ~ey + jz ∗ ~ez
∆V
~y
x + ∆x
~n
Fz1
~ez ↑↑ ~z
I
~x
~j df~ =
I
jx dfx + jy dfy + jz dfz
F (∆V )
betrachten z - Komponente:
Abbildung 15: Volumenelement ∆V zur
Illustration der Integration in Glg. (15)
I
jz dfz =
Z
jz (x̄, ȳ, z + ∆z) dx̄ dȳ
Fz2
Z
x+∆x
Z
dx̄
x
y
=
∆x, ∆y klein,
∂j
∂z ∝const.
y+∆y
dȳ{jz (x̄, ȳ, z) +
−
~jz ↑↓ ~
n
Z
jz (x̄, ȳ, z) dx̄ dȳ
Fz1
=
∆z klein
∂jz (x̄, ȳ, z)∆z
+ O((∆z)2 ) − jz (x̄, ȳ, z)}
∂z
∂jz (x, y, z)
∂jz (x, y, z)
∆x∆y∆z =
∆V
∂z
∂z
14
Gesamtintegral:
I
~j(x, y, z) df~ = ( ∂jx (~r) + ∂jy (~r) + ∂jz (~r) )∆V = div ~j ∗ ∆V
∂x
∂x
∂x
F (∆V )
Für beliebiges Volumen V:
∆Vi+1
~jz
1. Zerlegung in Quader ∆Vi , N ∗ ∆Vi = V
2. ∀∆Vi gilt obiges Resultat
R
P
~
3.
→
dV div ~j
i Vi ∗ div j
∆V →0
N →∞
N ∗Vi =V =const.
Fz
~ni
~ni+1
4. Bei Addition hebenH sich Beiträge innerer Randflächen heraus → erstreckt sich nur über die
Außenflächen von V → (15) bewiesen
∆Vi+1
Abbildung 16: aneinandergrenzende Teilvolumina
Umformung der Ladungserhaltung (14) mit (15):
Z
∂ρ(~r, t)
dV
+ div ~j(~r, t) = 0.
∂t
V
~
Gilt unabhängig von der Form des Volumens, d.h. ∀V (sofern ∂ρ
∂t , div j stetig
integrierbar in V) → Integrand = 0
Damit folgt Kontinuitätsgleichung (differentielle/lokale Ladungserhaltung)
∂ρ(~r, t)
+ div ~j(~r, t) = 0
∂t
Bedeutung von div ~j aus (15) anschaulich:
IF (t) =
H
F
(V )~j df~ =
R
V
div ~j dV - “Quellstärke”,
d.h. Ladung, die pro Zeit aus dem Volumen V “quillt”
→ div ~j - Quelldichte (pro Volumen) der Ladung
15
(17)
2.2
Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern
2.2.1
Satz von Stokes, Rotation, Potential
~ H,
~ B,
~ D,
~ ~j, ... → Vektorfelder
Elektrodynamik: zentrale Größen: E,
~
Betrachten allgemeines Vektorfeld F (~r)
Eigenschaften:
• Flächenintegral → untersucht in Kapitel 2.1.5
• betrachten jetzt Linienintegral entlang Kontur L
L
B
∆~ri
F~ (~ri )
R
F~ (~r) d~r =
L
~ri
A
lim
PN
∆ri →0
N →∞
N ∗∆ri =const.
i=1
F~ (~ri )∆~ri
→ Integral abhängig vom Weg L, selbst bei gleichen Endpunkten A,B (im Allgemeinen)
o
Abbildung 17: Diskretisierung
des Weges
• Betrachte jetzt Ringintegral über geschlossenen Weg:
H
F~ (~r) d~r - “Wirbelstärke” des Feldes
L(A)
in der von L umschlossenen Fläche A
• Stokesscher Satz:
I
F~ (~r) d~r =
L(A)
Z
rot F~ (~r) df~
(18)
A
mit Definition des Rotors des
~ex ~ey
~
~
~
rot F (~r) = ∇× F = ∂x ∂y
Fx Fy
Vektorfeldes:
~ez ∂z = ~ex ∗(∂y Fz −∂z Fy )+2 P ermutationen
Fz (19)


1,
i
<
j
<
k

oder mit antisymmetrischen Tensor ijk = 0, i = j ∧ i = k ∧ j = k


−1 i < k < j
P
~
(rot F )i = j,k ijk ∂xj Fk , i, j, k = 1, 2, 3
W irbelstärke
rot F~ = “Wirbeldichte” =
F läche
Beweis des Satzes von Stokes (Plausibilitätsbetrachtung)
rot F~ = (rot F~ )x ∗ ~ex + ... + (rot F~ )z ∗ ~ez
df~ = dfx ∗ ~ex + ... + dfz ∗ ~ez
16
∂Fy
∂Fx
(x̄, ȳ, z) −
(x̄, ȳ, z)} =
∂ ȳ
∂ x̄
∆Fz
∆Fz
Z y+∆y
Z x+∆x
dȳ{Fx (x + ∆x, ȳ, z) − Fx (x, ȳ, z)} =
dx̄{Fx (x̄, y + ∆y, z) − Fx (x̄, y, z)} −
y
x
Z
Z
Z
Z
Fy (x, ȳ, z) dȳ +
Fx (x̄, y + ∆y, z) dx̄ +
Fy (x + ∆x, ȳ, z) dȳ +
Fx (x̄, y, z) dȳ ≡
Z
(rot F~ )z dfz =
Lz1
Z
dx̄ dȳ{
Lz2
I
Lz3
Lz4
F~ (~r) d~r
L(∆Fz )
Linienintegral um Rechteck ∆Fz in der x-y-Ebene
→ analog Beiträge von (rot F~ )x und (rot F~ )y
→ Ausdehnung auf beliebige Fläche durch Zerlegung in N Rechtecke ∆Fi
~y
y + ∆y
~ z1
L
B
1
~ z2
L
~r
2
~ z3
L
~ z4
L
~x
(x, y, z) x + ∆x
~r0
A
o
∆Fz , ∆Fz ||x − y − Ebene
Abbildung 19: zwei Pfade von A
nach B bilden einen geschlossenen
Pfad
Abbildung 18: Pfad Rechteck ∆Fz
in der x-y-Ebene
• Potential eines wirbelfreien Feldes:
H
bei rot F~ = 0 → F~ d~r = 0 → für beliebige 2 Punkte A, B ist
(18)
RB
R
R
F~ (~r) d~r wegunabhängig, z.B. L1 F~ (~r) d~r = L2 F~ (~r) d~r
A
• Definition Potential: bei rot F~ = 0
−
Z
~
r
~
r0
F~ (r~0 ) dr~0 ≡ U (~r)
(20)
bzw.
F~ (~r) = −grad U (~r)
(21)
mit Definition Gradient:
3
X
∂U
grad U (~r) ≡ ∇U =
~ei
=
∂x
i
i=1
∂U ∂U ∂U
,
,
∂x ∂y ∂z
wir nennen U - Potential des (wirbelfreien) Vektorfeldes F~
17
Satz: F~ (~r) steht senkrecht auf der durch den Punkt ~r gehenden Äquipotentialfläche
Definition Äquipotentialfläche: Oberfläche mit U (~r) = const.
Beweis: Vektor δ~r liege in der Äquipotentialfläche, d.h. → U (~r) = U (~r+δ~r) = U0
Differenz
∂U (~
r)
∂~
r
U (~r + δ~r) − U (~r) '
∂U (~
r)
r
∂~
r δ~
=0
= ∇U (~r) = −F~ (~r) ⊥ δ~r
da δ~r beliebig → Beweis für gesamte Äquipotentialfläche qed.
Schlussfolgerung: grad U —— Richtung der stärksten Änderung von U
Definition Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche (A beliebig):
φ≡
Z
F~ (~r) df~
(22)
A
Sonderfall: Fluss durch geschlossene Fläche. Mit Satz von Gauss folgt
Z
I
F~ (~r) df~ =
div F~ (~r) dV
V
A(V )
Im Folgenden benötigt: Eigenschaften von div, grad, rot → s. Übung und Abschnitt 2.2.3.
18
2.2.2
Fundamentalsatz der Vektoranalysis
Satz: Jedes Vektorfeld F~ (~r) mit lim F~ (~r) = 0 und lim ∂xi F~ (~r) = 0
|~
r |→∞
|~
r |→∞
lässt sich eindeutig in eine Summe aus einem quellenfreien und einem wirbelfreien
Anteil zerlegen, d.h.
F~ (~r) = F~q (~r) + F~w (~r),
(23)
mit divF~q (~r) = 0, d.h. F~q (~r) ist quellenfrei
und rotF~w (~r) = 0, d.h. F~w (~r) ist wirbelfrei
Bemerkungen:
1. daraus folgt für das Gesamtfeld: div F~ ≡ div F~w (~r), also F~w trägt alle
Quellen von F ,
2. analog gilt: rot F~ ≡ rot F~q (~r), d.h. F~q trägt alle Wirbel von F~ ,
3. Das Verschwinden der Funktion F und ihrer Ableitungen im Unendlichen
ist physikalisch motiviert, da jedes Feld begrenzte Ausdehnung besitzt
(Energieerhaltung).
Beweise: s.u.
2.2.3
Mathem. Einschub: wichtige Eigenschaften von div, grad, rot
1. Laplace - Operator
div grad U (~r) = ∆U (~r)
mit Laplace - Operator ∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y 2
+
(24)
∂2
∂z 2
Beweis: verwende Notation “Nabla”:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇ = ~ex ∂x
+ ~ey ∂y
+ ~ez ∂z
= ∂x
, ∂y
, ∂z
damit: ∇U (~r) ≡ grad U (~r) = Vektor (U - Skalar)
∇F~ (~r) ≡ div F~ (~r) = Skalar(F~ − V ektor) (24) lässt sich schreiben als
∇(∇U (~r)) =
˙
(∇∇)
↑
Skalarprodukt
U (~r) ≡ ∆U (~r)
q.e.d
2. Es gilt
rot rot F~ (~r) = grad div F~ (~r) − ∆F~ (~r)
(25)
Beweis: rot F~ ≡ ∇ × F~ , rot rot F~ ≡ ∇ × (∇ × F~ )
aus Vektoranalysis bekannt (bac - cab):
~a × (~b × ~c) = ~b(~a~c) − ~c(~a~b) = ~b(~a~c) −
19
(~a~b)
~c
↑
Skalarprodukt
in Vektoranalysis zwei äquivalente Ausdrücke
hier: ~a, ~b → Differentialoperatoren, wirken auf F~
→ F~ muss rechts stehen, d.h. der letzte Ausdruck ist zu verwenden
damit: ∇ × (∇ × F~ ) = ∇ · (∇F~ ) − (∇∇)F~
↑
grad
q.e.d
↑
div(Skalar)
↑
∆
3. Es gilt
div rot F~ ≡ 0
Beweis: div rot F~ = ∇(∇ × F~ )
=
↑
Eigenschaf tSpatprodukt
(F musshieraberrechtsbleiben!
~ex
∇ × ∇ = ∂x
∂x
~ey
∂y
∂y
(26)
= (∇ × ∇)F~
~ez ∂z = 0
∂z da Determinante mit 2 identische Zeilen.
4. Für gegebene Funktion ρ(~r) existiert eindeutige Lösung U (~r) der PoissonGleichung
∆U (~r) = ρ(~r) ,
für die lim U = 0 und lim
∂U
|~
r |→∞ ∂r
|~
r |→∞
=0
Beweis später in Kapitel ...
[Bemerkung: Poissongleichung ist DGL 2. Ordnung; Lösung enthält 2 Konstanten, die durch Asymptotenbedingungen festgelegt sind]
Beweis des Fundamantalsatzes (Fortsetzung)
1. Konstruiere F~q aus gegebenem F~
rot F~q = rot F~
rot rot F~ = rot rot F~q == grad div F~q − ∆F~q = −∆F~q
2
||
0
→ besitzt eindeutige Lösung F~q für gegebenes F~
2. Konstruiere F~w aus gegebenem F~
div F~w = div F~
grad div F~ = grad div F~w == rot rot F~w + ∆F~w
2
||
0
→ besitzt eindeutige Lösung F~w für gegebenes F~
∆F~w = grad div F~ ∆F~q = −rot rot F~
20
Fazit: beliebiges Vektorfeld F~ durch seine Quellen (div F~ ) und Wirbel
(rot F~ ) eindeutig bestimmt.
→ Bestimmung des EM - Feldes erfordert Bestimmung seiner Quellen und
Wirbel
→ suche Quellen und Wirbel des EM - Feldes
3. → Programm zur Aufstellung der Maxwell - Gleichungen
21
2.3
Die Maxwell - Gleichungen
Ausgangspunkt: experimentelle Erfahrung
→ 2.Schritt: Verallgemeinerung mit Hilfe des mathematischen Apparates der
Vektorfelder
Bemerkung: M - Gl. nicht ableitbar
2.3.1
Quellen des elektrischen Feldes, Coulomb - Gesetz
Erfahrung:
• Kraft zwischen zwei Ladungen q,Q (Punktladungen) F = Kq Q∗q
r 2 (Betrag)
→ C.A. Coulomb 1785, attraktiv oder repulsiv!
• Coulombkraft - 1 der 4 fundamentalen Wechselwirkungen (Spezialfall der
EM - WW)

schwache

elektroschwache (Leptonen, β - Zerfall) 

elektromagnetische
Vereinigung Leptonen/Quarks
Gravitation



starke
Bemerkungen:
elektromagnetische: → Photonen
8 M eV
Gravitation:
attraktiv
starke:
Ē
∼
B
h
Kernkraft ∼ 102 stärker bei r ≤ 1 f m = 10−15 m → attraktiv
~
r
• Coulombkraft analog zu F~G = −G m·M
r2 r
Vergleich der Beträge für Elektron-Proton
1
|F |
Kq |QP qe |
Kq e20 1
≈
=
=
2
FG
G MP me
G me 1836
4π0 G
Kq =
1.6 · 10−19 C
10−30 kg
2
1
≈ 103 9!
1836
1
(SI)
4π0
0 = 8.85 · 10−12
G = 6.67 · 10−11
As
Vm
m3
kgs2
• Richtung: Zentralkraft, F~ ||~r = ~r1 − ~r2 d.h.
Q · q ~r
F~ = Kq 2
r r
1. 2 - Teilchen - Wechselwirkung
2. erfüllt Superpositionsprinzip (Kraftaddition)
22
(27)
2.3.2
Technischer Einschub: Einheitensysteme der Elektrodynamik
Unterschiedliche Wahl der Konstante Kq im Coulombgesetz
Kq =
(
1
1
4π0
≈9·
, Gaußsystem o. CGS
, MKSA(SI)
m2
109 N
A2 s2
Def. für später:
(
K̄q ≡ 4πKq =
4π
1
0
Problem: Koexistenz beider Systeme
• Forschungsliteratur CGS
entspricht der intuitiven Symmetrie E-B-Feld (gleiche Einheit), entspricht
der relativistischen Natur der Theorie
• Technischer Standart: i.a. SI
Verbreitete Maßeinheiten, aber ”künstliche”Faktoren in Gleichungen ⇒
Überblick über beide Systeme nötig
Theorie: CGS [Einheiten z.T. unbrauchbar]
Anwendungen, zahlenbasierte Abschätzungen: SI
Formel CGS → Formel, SI → einzelne Zahlen
qQ
1 q ∗ Q∗
1C
z.B. F~ = 3 ~r =
~r , [Q∗ ] = 1 C = 1 As, [Q] = √epsilon
; die ünnatürlicheËin[
0]
r
4π0 r3
(CGS)
(SI)
heit ist der Preis fr die ”natürliche”Formel
Vollständiges Maßsystem festgelegt durch alle Kräfte (Messgrößen)
1. Coulombkraft → Kraft zwischen Ladungen → Kq
2. Kraft zwischen Strömen (Ampere - Gesetz) → KI
3. Lorentzkraft auf bewegte Ladung im B - Feld → KB
1.
vecFc = Kq · qQ r~r3
d~s1 × (d~s2 × ~r12 )
2. dF~12 = KI · I1 I2
3
|{z}
r12
2 |
{z
}
dim A
dim los
h i
[q]2
KI
1
s2
2
Kq [r]
2 = KI [I] ;
Kq = m2 → Geschwindigkeit Quadrat
Wahl:
(
KI =
23
1
c2
µ0
4π
, CGS
, SI
(28)
(
, CGS
0 µ0 , SI
Konistenz der Systeme: 0 µ0 =
Test:
KI
Kq
=
1
c2
c = 2.99792458 · 108
1
c2
erfüllt
m
- Lichtgeschwindigkeit
s
1
1
AsV −1 m−1 - Dieleektrizittskonstante des Vakuums
4π 9 · 109
µ0 = 4π · 107 V sA−1 m−1 - magn. Permeabilität des Vakuums
0 =
(29)
~ bei q > 0
3. F~L = KB q · ~v × B
Wahl:
(
KB =
1
c
1
, CGS
, SI
(30)
• Grundeinheiten der Mechanik:
[l] = 1 m, [m] = 1 kg, [t] = 1 s (MKS)
abgeleitet: [F ] = 1 kg ms−2 ≡ 1 N
• Einheiten der Größen der Elektrodynamik
Krafteinheit universell: [F ] = 1 N
→ Vergleich der Kräfte 1-3 mit diesen Einheiten legt (im jeweiligen Maßsystem) die Einheiten aller Größen fest.

→ Einheit von Q 
→ Eiheit von I
vollständig bestimmt durch (mechanische) Grundeinheiten

→ Einheit von B
CGS: EM -pGrößen mechanisch festgelegte Einheiten
z.B. [Q] = [F ][r]2
1
SI: Besondere ED - Einheiten festgelegt durch Def. einer 4. Grundeinheit: [I] = 1 A
→ = MKSA - System
[Q] = [I] · [t] = As = C
aus 3 [B] =
[F ]
[Q][V ]
=
Ns
Asm
=
V As
||
Nm
Am2
=
Vs
m2
≡ 1T
Einheitensystem → s. Tabelle → download
24
Index
δ - Distribution, 8
wichtige Eigenschaften, 9
antisymmetrischen Tensor, 16
Coulombkraft, 3
Distribution, 8
Divergenz, 14
Elektrostatik, 5
Fernwirkung, 3
Flächenintegral, 15
Gesamtladung, 7
Heaviside-Funktion, 9
Kontinuitätsgleichung, 15
Kraft, 2
Ladung, 3
Ladungsdichte, 7, 8
Punktladungen, 8
Ladungserhaltung, 13
Linienintegral, 16
Lorentzkraft, 5
Magnetostatik, 5
Mechanik, 2
Potential, 17
des (wirbelfreien) Vektorfeldes, 17
Punktladung, 3
Rotation, 16
Rotor des Vektorfeldes, 16
Satz von Gauß, 14
Stokesscher Satz, 16
Strom, 5, 11
Stromdichte, 12
Vektorfeld, 16
Wirbeldichte, 16
Wirbelstärke des Feldes, 16
25
Literatur
[Gre02] Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik - Theoretische Physik,
Band 3 der Reihe Greiner - Theoretische Physik. Harri Deutsch, 6.
Auflage, 2002.
26