8. Wahrscheinlichkeitsrechnung 8.1 Begriffe 8.1.1 Zufallsexperiment

Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 09/10
Bürker 27. 1. 11
8. Wahrscheinlichkeitsrechnung
8.1 Begriffe
8.1.1 Zufallsexperiment
Was ist ein Zufallsexperiment?
a) Mehrere Ergebnisse möglich
b) Ergebnis nicht vorhersagbar
c) Ein Ergebnis muss beliebig oft wiederholbar
sein.
1.2 Beispiele:
Würfelwurf, Münzwurf, Urnenziehung, Glücksrad,
Zufallsgenerator, Qualitätskontrolle
8.1.3 Begriffe:
S = Ergebnismenge,
Ereignis = Teilmenge von S
Das Ereignis S ist das sichere Ereignis
{} ist das unmögliche Ereignis
8.1.4 Begriff der Wahrscheinlichkeit
(Kolmogoroff)
Es sei S = {e1,…en} eine endliche Ergebnismenge.
Die Wahrscheinlichkeit wird als Funktion
eingeführt, die jedem Ergebnis ei eine Zahl (die
Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses ei) zuordnet.
Es gilt 0 ≤ P(ei) ≤ 1. Besteht das Ereignis A aus den
Ergebnissen e1, ... er, so ist P(A) = P(e1)+ ... + P(er).
In der Schulmathematik: Endliche Ergebnismengen
8.1.5 a)
Empirische Festlegung der
Wahrscheinlichkeit: Das empirische Gesetz
der großen Zahlen
Die W. dafür, dass ein Reißnagel „schräg“ (auf der
Seite) liegt, ist etwa gleich 0,6, die W. für „gerade“
(Kopf) etwa gleich 0,4.
In Fällen wie beim Reißnagel legt man
Wahrscheinlichkeiten auf Grund von sehr oft
durchgeführten Experimenten und deren Ausgang
(relative Häufigkeiten) fest.
Dagegen Lotto:
8.1.6 Theoretische Festlegung von
Wahrscheinlichkeiten
Wichtiger Sonderfall: Gleichverteilung
Laplace-Wahrscheinlichkeit:
Zu unterscheiden: Ergebnis und Ereignis
Allerdings wird z. B. im LS neu, Bd 4 die Pfadregel vor
dem „Ereignis“ eingeführt.
Unabhängig von empirischer oder theoretischer
Festlegung von Wahrscheinlichkeiten hat Kolmogoroff
1933 eine axiomatische Festlegung des Begriffs
„Wahrscheinlichkeit“ eingeführt.
Diese Festlegung wurde den Gesetzen der relativen
Häufigkeit „nachgebaut“.
Beispiel:
Im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten kann
handlungsorientiert Partnerarbeit oder Gruppenarbeit
durchgeführt werden.
8.2 Die Pfadregel
Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten längs eines
Pfades werden multipliziert und anschließend die
Produkte addiert.
Beispiel:
a) Julia knobelt gegen Ben (Papier, Schere, Stein)
Gewinnregel: Wer zuerst dreimal gewonnen hat,
hat insgesamt gewonnen.
Nach der 1. Runde liegt Julia in Führung. Wie groß
ist die W., dass Julia gewinnt?
b) Das Ziegenproblem:
Bei einer Quizsendung darf der Kandidat eine von 3
Türen wählen. Hinter einer der Türen verbirgt sich
der Hauptgewinn: Ein Auto. Hinter den beiden
anderen Türen befindet sich je eine Ziege.
Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, bleibt
diese zunächst geschlossen. Der Quizmaster öffnet
eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Nun
wird der Kandidat gefragt, ob seine zuerst
gewählte Türe geöffnet werden soll oder ob er die
noch verbleibende geschlossene Tür wählt.
Soll der Kandidat bei seiner Türe bleiben oder soll
er wechseln?
Nähere Informationen:
http://www.remote.org/frederik/projects/ziege/e
mpirie.html
8.3 Das Urnenmodell
Gegeben sei eine Urne mit n Kugeln, man zieht
a) k Mal mit Zurücklegen mit Berücksichtigung
der Reihenfolge
b) k Mal ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung
der Reihenfolge
c) n Mal ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der
Reihenfolge (Spezialfall von c, d. h. k = n,
Permutation)
d) k Kugeln mit einem Griff (ohne Zurücklegen
und ohne Berücks. der Reihenf.)
e) k Mal mit Zurücklegen ohne Berücks. der
Reihenfolge
1. Allgemeine Formeln (beziehen sich jeweils auf 1.)
a) z = n ∙ … ∙ n = nk
n!
 n−k !
c) z = n ∙ (n - 1) ∙… ∙ (n – k + 1) ∙(n – k) ∙ … ∙ 1 = n!
n
d)z =
k
nk −1
e) z =
k
b)z = n ∙ (n - 1) ∙… ∙ (n – k + 1) =



2. Beispiele:
a) Wie groß ist die W. für 6 (5) Richtige im Lotto
(ohne Zusatzzahl)?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
einer Lottoziehung mindestens ein Paar von
Nachbarn auftritt?
8.2 Die Pfadregel
Beispiel:
a) Julia knobelt gegen Ben (Papier, Schere, Stein)
Gewinnregel: Wer zuerst dreimal gewonnen hat,
hat insgesamt gewonnen.
Nach der 1. Runde liegt Julia in Führung. Wie groß
ist die W., dass Julia gewinnt?
b) Das Ziegenproblem:
Bei einer Quizsendung darf der Kandidat eine von 3
Türen wählen. Hinter einer der Türen verbirgt sich
der Hauptgewinn: Ein Auto. Hinter den beiden
anderen Türen befindet sich je eine Ziege.
Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, bleibt
diese zunächst geschlossen. Der Quizmaster öffnet
eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Nun
wird der Kandidat gefragt, ob seine zuerst
gewählte Türe geöffnet werden soll oder ob er die
noch verbleibende geschlossene Tür wählt.
Soll der Kandidat bei seiner Türe bleiben oder soll
er wechseln?
Nähere Informationen:
http://www.remote.org/frederik/projects/ziege/e
mpirie.html
Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten längs eines
Pfades werden multipliziert und anschließend die
Produkte addiert.
8.4 Additionssatz
8.4.1
Beispiel:
8.4.2
8.4.3
8.4.4
Mit welcher W. zieht man beim Skatspiel eine
Dame oder eine schwarze Karte?
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen:
Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn
P(A ∩ B) = P(A)∙P(B) gilt.
Beispiel:
DeMorgan’sche Regeln
8.5 Zufallsvariable
Beispiel (Arbeitsblatt)