Ubung 2 - moodle2 fhwn
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Übung 2 1) Zwei Schiffe S1 , S2 bewegen sich auf geradlinigen Kursen mit den Geschwindigkeiten 2 0 0 ~v1 = und ~v2 = . Zu Beginn befinden sich S1 im Punkt und S2 im 1 −2 0 4 Punkt . 3 • Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden geradlinigen Bahnen. • Zu welchem Zeitpunkt t0 ist der Abstand der Schiffe minimal? • Berechnen Sie den minimalen Abstand d der Schiffe. 2) Zwei Flugzeuge A und annähernd geradlinigen Kursen mit den Ge Bfliegen auf 6 −4 schwindigkeiten v~1 = 4 und v~2 = 6 . Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich A 2 0 3 20 im Punkt 7 und B im Punkt 2 . 2 5 • Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden geradlinigen Flugbahnen. • Zu welchem Zeitpunkt t0 ist der Abstand der Flugzeuge minimal? • Wird der minimale Sicherheitsabstand von 2 Längeneinheiten unterschritten? 7 2 geht. und Q = 3) Bestimmen Sie die Gerade, welche durch die Punkte P = 2 3 Geben Sie diese Gerade in der Form y = kx + d, in Parameterform, sowie in Normalform an. 4) Gegeben sind die beiden Vektoren 1 0 ~a = −3 , 1 2 ~b = −1 3 2 des R4 . Berechnen Sie ~a + ~b, ~a − ~b, ~a · ~b, |~a|, |~b|, den Winkel zwischen ~a und ~b. Stehen die beiden Vektoren orthogonal aufeinander? 5) Sie kennen bestimmt das Gesetz Arbeit ist Kraft in Wegrichtung mal Weg“. ” 1 a) Im einfachstenFall Kraft f~ genau in Wegrichtung ~s. Ange wirkt diegegebene 2 4 nommen f~ = und ~s = . Berechnen Sie die Arbeit längs des Weges ~s. 1 2 Alle Größen sind in SI-Einheiten angegeben. b) Im allgemeinen Fall stimmen die Richtungen von f~ und ~s nicht überein. Leiten Sie die Formel für die Arbeit W = f~ · ~s her. Gehen Sie dabei wie folgt vor und verwenden Sie Abbildung 1: • Stellen Sie eine Formel für cos α auf. • Nutzen Sie cos α = erhalten. |f~s | |f~| und die vorherige Formel, um eine Formel für |f~s | zu • Sie kennen nun den Betrag der Kraft in Wegrichtung |f~s |. Wenden Sie die Formel Arbeit ist Kraft in Wegrichtung mal Weg“ an, um eine Formel für ” die Arbeit zu erhalten. Abbildung 1: Arbeit 2 10 c) Berechnen Sie für f~ = 2 und ~s = 11 die verrichtete Arbeit. Die Größen 1 110 sind wieder in SI Einheiten angegeben. 0 1 ~ . 6) Gegeben seien die Vektoren ~a = und b = 1 2 n o a) Zeigen Sie, dass B = ~a, ~b eine Basis des R2 bildet. 3 −2 b) Geben Sie die Koordinaten der Vektoren ~x = und ~y = in der Basis 3 4 B an. 2 7) Bestimmen Sie die Dimension des von den Vektoren 1 1 3 1 , 0 , 1 0 1 2 aufgespannten Raums. Bilden diese drei Vektoren eine Basis des R3 ? 8) In der Informatik werden neben dem uns geläufigen Dezimalsystem (Basis 10) auch noch andere Zahlensysteme verwendet. Nennenswert sind hier das Dual- (Basis 2), Oktal- (Basis 8) und Hexadezimalsystem (Basis 16). Der Begriff Basis ist hier nicht mit einer Vektorraumbasis zu verwechseln, dennoch gibt es einige Gemeinsamkeiten. Mit Hilfe der Basiszahl und deren Potenzen können alle anderen Zahlen als Linearkombination dargestellt werden, z.B. gilt für das Dezimalsystem: (2681)10 = 2 · 103 + 6 · 102 + 8 · 101 + 1 · 100 . Wie bei Vektorräumen kann auch hier die Zahl in einer anderen Basis dargestellt werden. Die Dezimalzahl (2681)10 hätte im Dualsystem die Darstellung (101001111001)2 , denn es gilt (101001111001)2 = 1 · 211 + 1 · 29 + 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 20 = (2681)10 . Auf die Zahlen kommt man durch folgenden Algorithmus: 2681 : 2 = 1340 und 1 Rest 1340 : 2 = 670 und 0 Rest 670 : 2 = 335 und 0 Rest 335 : 2 = 167 und 1 Rest 167 : 2 = 83 und 1 Rest 83 : 2 = 41 und 1 Rest 41 : 2 = 20 und 1 Rest 20 : 2 = 10 und 0 Rest 10 : 2 = 5 und 0 Rest 5:2= 2 und 1 Rest 2:2= 1 und 0 Rest 1:2= 0 und 1 Rest Ihre Aufgabe ist es, diese Umrechnungen zu verstehen und bei den folgenden Punkten anzuwenden. Verwenden Sie 3 http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm, falls Sie Schwierigkeiten haben. a) Stellen Sie die Zahl (3027)10 zur Basis 2 dar. b) Stellen Sie die Binärzahl (Dualzahl) (101101)2 im Dezimalsystem dar. c) Bonus: Addieren Sie (101100101)2 und (110001)2 ohne in ein anderes Zahlensystem zu wechseln. 4
