Ohne Lösungsweg

Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik
Brückenkurs Mathematik
Teil IV: Aufgaben zu Komplexen Zahlen
Ohne Lösungsweg
1. Aufgabe:
Berechnen Sie:
i)
Z = Z 1Z 2 (Addition)
ii) Z = Z 1−Z 2 (Subtraktion)
iii) Z = Z 1⋅Z 2 (Multiplikation)
iv) Z = Z 1÷Z 2 (Division)
für folgende Zahlen:
a) Z 1 = 22i
Z 2 = 1 3i
b) Z 1 = 1 3i
Z 2 = 1− 3i
Z 2 = −1−i
c) Z 1 =  3i
Lösung:
a) i)
Z = Z 1Z 2 Z = 32 3i
ii) Z = Z 1−Z 2 Z = 12− 3 i
iii) Z = Z 1⋅Z 2 Z = 21− 321  3i
−i
iv)

12
Z = Z 1÷Z 2 Z =  2 e
oder :
Nenner und Zähler mit der konjugiert
komplexen Zahl des Nenners multiplizieren :
1
1
Z = 1 3 1− 3i
2
2
b) i)
Z = Z 1Z 2 Z = 2
ii) Z = Z 1−Z 2 Z = 2  3i
iii) Z = Z 1⋅Z 2 Z = 4
iv)
4
−i 
3
Z = Z 1÷Z 2 Z = e
oder :
1 1
Z = −   3i
2 2
c) i)
Z = Z 1Z 2 Z =   3−1
ii) Z = Z 1−Z 2 Z =   312 i
iii) Z = Z 1⋅Z 2 Z = − 31− 3−1i
iv)
−i
13

Z = Z 1÷Z 2 Z =  2 e 12
31  3−1
i
oder :
Z = −

2
2
1
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2
2. Aufgabe:
Bestimmen Sie die Lösungen und stellen sie diese in der komplexen Ebene dar:
1 2
a) 5 x 220 x−60=0
b)
x −2 x4=0
2
Lösung:
a)
x1 = 2
x 2 = −6
b)
x 1 = 22i
x 2 = 2−2i
Dabei ist x2 die zu x1 konjugiert komplexe Zahl.
3. Aufgabe:
Berechnen Sie Z Z * und Z⋅Z * für folgende Zahlen:
a) 25i
b) 5−3i
c) abi
Diskutieren Sie die Ergebnisse!
Lösung:
a) Z Z * = 4
Z ⋅ Z * = 29
b) Z Z * = 10
Z ⋅ Z * = 34
c) Z Z * = aa
Z ⋅ Z * = a 2b 2
Das Ergebnis der Addition bzw. der Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert
komplexen Zahl ist immer reell.
4. Aufgabe:
Berechnen Die folgende Quotienten und vergleichen Sie die Ergebnisse:
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a)
23i
1−i
b)
3
2−3i
1i
Lösung:
a)
23i
1 5
= −  i
1−i
2 2
b)
2−3i
1 5
= − − i
1i
2 2
Diskussion:
– Die Ergebnisse von a) und b) sind zueinander konjugiert komplexe Zahlen.
– Der Quotient in Aufgabe b) besteht aus den konjugiert komplexen Zahlen im Quotienten
aus Aufgabe a).
5. Aufgabe:
Vergleichen Sie e i  und e i i 2  k für k ∈ℤ .
Lösung:
Die Eulersche Identität lautet:
e i  = cos i sin 
Damit ergibt sich:
e i  = cos i sin 
= cos2 k i sin 2 k 
=
=
i  2  k 
e
e i i 2  k
6. Aufgabe:
Berechnen Sie:
a) 43i3
b)
 43i
c)
ln43i
Lösung:
a)
43i3 = −44117i
b)
Es gibt zwei Lösungen:
k =0 ⇒  5 e i 0,3217 = 2,120,71 i ⇒ =18,4 °
k =1 ⇒  5 ei 3,4633 = −2,12−0,71i ⇒ =198,4 °
c)
ln 43i = 1,610,64k 2i
Der Hauptwert des Logarithmus ist:
ln 43i = = 1,610,64 i
Zur Veranschaulichung stellen wir einige Lösungen in der komplexen Ebene dar:
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7. Aufgabe:
Leiten Sie das Additionstheorem für sin− her!
Lösung:
Ausgangspunkt der Herleitung:
ix
e = cos xi sin x
e i −
=
=
=
cos −  isin −
1
i  −i 
e ⋅e
cos i sin ⋅{cos −isin −}
8. Aufgabe:
Berechnen Sie und stellen Sie das Ergebnis in der komplexen Ebene dar:
Lösung:
Wir erhalten 6 Lösungen für k = 0, 1, ... 5 :
6 −1
.
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x k =0 = e
1
i 
6
1
i 
2
x k =1 = e
x k =2 = e
x k =3 = e
x k =4 = e
5
i 
6
7
i 
6
3
i 
2
5
 = 30 ° 
 = 90 ° 
 = 150° 
 = 210 ° 
 = 270 ° 
11
i

6
x k =5 = e
 = 330 ° 
Die Lösungen liegen auf einem Kreis mit dem Radius 1. Es gibt keine reelle Lösung:
9. Aufgabe:
Stellen Sie die beiden Zahlen
Sie diese für A=6−3 i .
A bzw. A⋅i in der komplexen Ebene dar und vergleichen
Lösung:
Beide Zahlen haben den gleichen Betrag r, jedoch ist das Argument  um den Betrag

= 90 ° verschieden.
2
Vergleich für A=6−3 i :
A = 6−3 i
A⋅i = 36 i
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