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Fachbereich: Mathematik
Thema: Lineare Funktionen
Das ganze Leben besteht daraus, dass
Dinge voneinander abhängen.
Im mathematischen Sinne bezeichnen wir diese
Dinge als „Größen“. Es handelt sich also um
messbare Größen. Nicht messbare Dinge gibt es
auch. Sie können sogar sehr wichtig sein, aber für
die Mathematik sind sie nicht brauchbar.
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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die
Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir
verschieden Fälle:
Das Körpergewicht eines Menschen ist messbar,
seine Körpergröße ist auch messbar, sein Alter ist
auch messbar.
Berechenbar sind diese Größen ...
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NICHT !
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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die
Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir
verschieden Fälle:
Wenn man einkauft, muss man für sieben
Brötchen mehr bezahlen als für drei.
Berechnen kann man diese Größen ....
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Sehr gut !
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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die
Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir
verschieden Fälle:
Wenn mehr bei einer Arbeit mit anfassen, dann ist
man schneller fertig.
Berechnen kann man diese Größen ....
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Sehr gut !
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Klassisches Beispiel für voneinander abhängige Größen
ist das Kaufen von Speiseeis!
Je mehr Kugeln jemand kauft,
desto mehr muss er auch
bezahlen.
Eine Kugel kostet 80 Cent.
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Die Eisdiele macht daraus ein Preisschild:
Preistafel:
1 Kugel = 0,80 €
2 Kugeln = 1,60 €
3 Kugeln = 2,40 €
4 Kugeln = 3,20 €
jede weitere Kugel
kostet 0,80 €
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Schülerinnen und Schüler machen daraus eine
Wertetabelle ....
Kugeln
Preis
1
2
3
4
5
6
0,80 €
1,60 €
2,40 €
3,20 €
4,00 €
4,80 €
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... und einen Graphen (Zeichnung):
y 7
Preis in Euro
6
5
4
3
2
1
Anzahl_der_Kugeln
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
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Aus diesem Graphen kann man – genau wie bei der Wertetabelle – alle
Eispreise ablesen. Und das geht so:
y
Die grünen
Pfeile zeigen
den Preis für
vier Kugeln –
7
Preis in Euro
6
5
4
die hellblauen
Pfeile zeigen,
was sieben
Kugeln kosten.
3
2
1
Anzahl_der_Kugeln
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
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Wir merken uns:
Es gibt eine Größe, die ich nach Belieben – oder
nach vorhandenem Taschengeld – auswählen kann.
Das ist die Anzahl der Eiskugeln.
Und es gibt eine Größe, die dann berechnet wird.
Das ist der Preis.
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Unser Eisverkäufer hat eine Idee:
Er bietet jetzt sein Eis auf Wunsch des Kunden
mit Sahne an. Wenn man Sahne zu seinem Eis
haben möchte, so kostet das
1,00 Euro
extra.
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Die Eisdiele macht ein neues Preisschild:
Preistafel:
1 Kugel = 0,80 €
2 Kugeln = 1,60 €
3 Kugeln = 2,40 €
4 Kugeln = 3,20 €
jede weitere Kugel kostet 0,80 €
Mit Sahne 1,00 Euro mehr
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Schülerinnen und Schüler machen daraus eine neue
Wertetabelle ....
Kugeln
Preis
1
2
3
4
5
6
1,80 €
2,60 €
3,40 €
4,20 €
5,00 €
5,80 €
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... und einen neuen Graphen (Zeichnung):
y
7
Dieser Graph sieht ganz ähnlich aus. Er
geht allerdings nicht mehr durch den
Nullpunkt des Koordinatensystems,
sondern schneidet die Preisachse bei
EINS.
Preis in Euro
6
5
4
In normalen deutschen Worten heißt
das: Wenn man nur Sahne ohne Eis
kaufen will, so kostet das einen Euro.
3
2
Ist zwar Unsinn – ist aber möglich!
1
Anzahl_der_Kugeln
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
11
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Auch aus diesem Graphen kann man – genau wie ohne Sahne alle Eispreise ablesen. Wie es geht, wissen wir schon:
y 8
Preis in Euro
7
6,60 Euro
6
5
4
4,20 Euro
3
2
1
Anzahl_der_Kugeln
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
12
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Wir fangen jetzt damit an, aus dem Eisverkauf ein
bisschen Mathematik zu machen:
Der Gesamtpreis hängt natürlich von der
Anzahl an Kugeln ab. Diese Anzahl kann jeder
Käufer für sich frei wählen!
Anzahl  Preis
Der Mathematiker sagt: x  y
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Nicht wählen kann der Kunde aber, wie teuer eine Kugel ist
und was die Sahne kostet.
Wir schauen uns das einmal ganz genau an:
Zuerst lassen wir den Preis einer Kugel bei 0,80 €
-so wie das in Hameln üblich ist –
und nehmen verschiedene Preise für die Sahne.
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y
5
PREIS
4
Und jetzt erkläre bitte:
3
Was unterscheidet diese vier Geraden?
Was ist bei den vier Geraden gleich?
2
1
ANZAHL DER KUGELN
1
-1
2
3
4
5
6
7
x
8
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Sie unterscheiden sich nur den Preis der Sahne. Sie
verlaufen parallel.
Der SAHNEPREIS wird auf der y-Achse angezeigt.
Logisch: Wenn man NULL Kugeln kauft, aber Sahne
haben möchte, muss man auch nur die Sahne
bezahlen.
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Alle Eisdielen haben vereinbart,
für Sahne grundsätzlich nur einen
Euro zu nehmen.
Aber der Kugelpreis ist unterschiedlich:
In Hameln – ECE – nimmt man 0,80 €
In Berlin – Zeno am Hbf – nimmt man 1,20 €
In Amsterdam – Guiseppe an der Damstrat – nimmt 1,75 €
Und in Frankreich ist Eis sowieso idiotisch teuer,
dort nimmt man überall inzwischen 2,50 € pro Kugel.
Da würde
ich kein Eis
essen!
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y
Wo ist Hameln?
Wo ist Frankreich?
5
PREIS
4
3
2
1
ANZAHL DER KUGELN
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
x
8
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Auf mathematisch:
GESAMTPREIS = EINZELPREIS MAL ANZAHL PLUS SAHNE
oder
y = m ● x + b
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Gut, jetzt haben wir bereits vieles über lineare Funktionen gelernt.
Wir wissen, dass zu einem Wert „x“ ein Wert „y“ errechnet wird.
x y
Wie dort gerechnet wird, bestimmt die Funktionsgleichung
y = m ● x + b
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Bei der Funktionsgleichung
y = m ● x + b
entscheiden
m und b
über den Verlauf der Geraden
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y = m ● x + b
„b“ legt fest, wo die Gerade
die y-Achse schneidet:
Die Gerade schneidet
die y-Achse bei dem
Wert „+3“.
y 5
Also lautet ihre
Funktionsgleichung:
4
3
2
y= m●x+3
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
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Der Wert für „b“ kann in jeder Zeichnung einfach abgelesen werden:
y
8
7
y = mx + 7
6
5
4
y = mx + 4
3
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
2
3
y = mx + 1
4
y = mx - 2
-3
-4
-5
-6
y = mx - 4
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y = m ● x + b
„m“ legt fest, wie die Gerade
verläuft.
Ob sie steil oder
flach ist.
Ob sie steigt oder fällt.
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y = m ● x + b
Wir wollen zuerst zeichnen, dann genau
beobachten und dann unsere
Beobachtungsergebnisse aufschreiben.
Es sei b = -2 und für m wählen wir die Werte
-0,5 / +0,5 / -2,5 / +2,5
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Das ergibt dann die Funktionsgleichungen:
y
y
y
y
=
=
=
=
- 0,5 x - 2
+ 0,5 x - 2
- 2,5 x - 2
+ 2,5 x - 2
Und dazu machen wir eine kleine Wertetabelle:
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Wertetabelle:
x
y = - 0,5 x - 2
y = + 0,5 x - 2
y = - 2,5 x - 2
y = + 2,5 x - 2
0
-2
2
5
-2
-2
-2
-2
-1
-3
-5
-3
-1
1
3
-7
-15
-7
3
11
-8
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y
y
y
y
y
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2
3
4
5
6
7
8
=
=
=
=
- 0,5 x
+ 0,5 x
- 2,5 x
+ 2,5 x
-
2
2
2
2
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y
2
1
x
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
Ergebnisse :
-2
-3
-4
-5
negatives m
positives m
m>|1|
steil - fallend
steil - steigend
m<|1|
flach - fallend
flach - steigend
-6
-7
y
y
y
y
=
=
=
=
- 0,5 x
+ 0,5 x
- 2,5 x
+ 2,5 x
-
2
2
2
2
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Wir prüfen gleich am die Geraden von Folie 29 auf ihre Eigenschaften:
y
8
7
6
flach – fallend
5
4
steil – steigend
3
2
flach – fallend
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
flach – steigend
-1
-2
-3
-4
-5
-6
steil - fallend
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Thema:
Lineare Funktionen – Bestimmung der Funktionsgleichung
Gegeben sei der Graph einer Funktion:
y
3
2
Zu dieser Geraden
gehört eine Funktion
-4
-3
der Form
1
x
-2
-1
1
-1
y = mx + b
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
6
7
8
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y
1
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
Hier lesen wir das „b“
einfach ab!
-3
-4
-5
2
3
4
5
6
7
8
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Thema: Lineare Funktionen
Die Funktionsgleichung lautet also:
y = mx - 3
Wie groß ist „m“?
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y 4
Zur Berechnung von3 "m" suche ich
2 f Kreuzungslinien
Punkte, die genau auf
1
des Koordinatensystems
f llen.
fa
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
6
7
x
8
9
10
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y
3
2
Hier sind solche Punkte:
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2
x
3
4
5
6
7
8
9
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y
1
Der Weg zwischen zwei solcher Punkte:
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
2 nach oben: +2
-3
3 nach rechts: +3
-4
-5
-6
x
8
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Berechnung
 2
 m
3
2
y  x3
3
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Woher weiß ich, welche Punkte ich nehmen soll?
y
Es ist egal!
3
2
1
x
-8 -7
-6
-5
-4
-3 -2
Alle Punkte sind
geeignet
um
die-1
Größe m zu berechnen.
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
2
3
4
5
6
7
8
9
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y
-7
-6
-5
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
6 nach
oben:
+
+6
6 2
 m
9 3
9 nach rechts: +9
-8
also:
2
y 
x3
3
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Es funktioniert sogar rückwärts
WAS FÜR DIE DEUTSCHE SPRACHE NICHT GILT:
sträwkcür ragos treinoitknuf sE
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y 3
2
Der Weg zwischen zwei
1
Punkten rückwärts:
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
12 nach links: -12
-5
6
7
8
8 nach
9 unten:
10 11
-8
x
12
8
2
 m
 12
3
-6
ALSO:
2
y 
x3
3
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Dieses Verfahren funktioniert natürlich auch dann, wenn
die Gerade nicht durch Punkte mit glatten Werten
verläuft.
In diesem Fall muss gemessen werden!
Wir führen das ganz genau vor.
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y
7
6
Diese Gerade ist ziemlich
schwer zu bearbeiten.
5
4
3
2
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Wir markieren die Punkte,
an denen die beiden
Achsen geschnitten
werden.
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Thema: Lineare Funktionen
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Thema: Lineare Funktionen
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y
5
4
3,7 cm nach
unten: - 3,7
y  m x  3,7
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6,3 cm nach
rechts: + 6,3
6
7
-3
... Und das „m“?
-4
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y 6
 3,7
3,7
m

 0,6
 6,3
6,3
5
4
3,7 cm nach
unten: - 3,7
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6,3 cm nach
rechts: + 6,3
6
7
8
-3
y  0,6 x  3,7
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Die folgenden Folien enthalten
Standardaufgaben, die
jede/r beherrschen sollte und
die auch bei Klassenarbeiten
gebräuchlich sind.
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1.
Zeichne den Graphen der Funktion
y = - 0,75 x + 3
Zu dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege auf den folgenden Folien
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1. Zeichne den Graphen der Funktion
y = - 0,75 x + 3
Lösungsweg a)
Der Graph verläuft durch
den Punkt P1 (0/3).
Ein weiterer Punkt wird
benötigt. Ich wähle
x = 4
Und berechne y:
Y = -0,75●4 + 3 = 0
(bitte mit TR nachrechnen.)
Der zweite Punkt ist also
P2 (4/0).
Punkte eintragen, Gerade
zeichnen, fertig
y
4
P1 (0 | 3)
3
2
1
-1
P2 (4 | 0)
x
1
-1
2
3
4
5
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1. Zeichne den Graphen der Funktion
y = - 0,75 x + 3
Lösungsweg b)
Der Graph verläuft auch
durch den Punkt P1 (0/3).
y
4
+4
3
Dann brauche ich ein
Steigungsdreieck für die
Steigung m = - 0,75.
Natürlich ist die
Lösung bei beiden
Lösungswegen die
Gleiche.
P1 (0 | 3)
Dieses Verfahren ist nur
brauchbar, wenn du sofort
weißt, dass zu 0,75 der Bruch -2
¾ gehört. Also 4 nach rechts
(+4) und 3 nach unten (-3).
Gerade zeichnen, fertig!
2
-3
1
x
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
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2.
Vorhanden ist der Graph einer Funktion.
Stelle die Funktionsgleichung auf.
y
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Zu dieser Aufgabe gibt es nur einen Lösungsweg auf der folgenden Folie
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y
5
b ablesen (grüner Pfeil): b = -2
4
Geeigneten Punkt suchen, Dreieck
zeichnen, Werte einfach abzählen
und aus den Werten die Steigung m
berechnen:
3
2
(auch
einfa
f ch
zählen)
+7
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
m
7
2
1
 1,4
5
5
-1
-2
-3
-4
+5
(einfach zählen)
Also:
y = 1,4 x - 2
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3.
Gegeben sind die Punkte A ( -2 / 4 ) und B ( 4 / -5 ).
Zeichne die Gerade durch A und B.
Gib die Funktionsgleichung an.
Zu dieser Aufgabe gibt es einen Lösungsweg auf den folgenden Folien
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y
5
A
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
B
6
Trage die
Punkte in ein
Koordinatensystem ein.
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y 6
Zeichne eine
Gerade durch die
Punkte A und B.
5
A
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
Nicht etwa von A nach B – das
wäre eine Strecke und damit
falsch!
-2
-3
-4
-5
-6
-7
B
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b bestimmen:
b = 1
y 5
A
4
Dreieck zeichnen; Werte auszählen:
3
+4 in x-Richtung
2
-6 in y-Richtung
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
M berechnen:
5
-1
-2
6 6 3
m       1,5
4 4 2
-3
-4
-5
-6
B
Also:
y = - 1,5 x + 1