Ein ausführlicheres Inhaltsverzeichnis des Vorlesungsstoffes kann

Vorlesung Experimentalphysik II
R.Schieder
Stoff, Stand 15.07.2008
Elektrostatik
2 Ladungsarten
Ladung quantisiert
Satz von der Erhaltung der Gesamtladung
Ladungseinheit: Coulomb (SI Maßsystem)
Kraftgesetz: Coulombkraft
Superpositionsprinzip
Potentielle Energie
Definition Elektrisches Feld
Potential, Äquipotentialfläche
Konservatives Potential: Wegintegral von A nach B unabhängig vom Weg
Wirbelfreiheit (∇xE = 0)
Elektrisches Feld E als Gradient von Potential U: E = -∇U
Poisson-Gleichung: ∆U = -1/ε0 · ρ ( ∆ = ∇ 2)
Elektrischer Kraftfluß:
Satz von Gauß: integral und differentiell (1. Maxwell-Gleichung)
Elektrischer Dipol
Elektrisches Dipolmoment (z.B.: Wasser-Molekül)
Drehmoment auf elektrischen Dipol
Kraft auf elektrischen Dipol im inhomogenen Feld
Influenz
Plattenkondensator
Kapazität, Einheit [Farad]
Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
Kapazität mit Dielektrikum
Energie im elektrischen Feld: wel = ½·E·D
= ½·C·U2
Polarisation, dielektrische Suszeptibilität (χe)
Relative Dielektrizitätskonstante ε = 1 + χe
dielektrische Verschiebungsdichte D = ε ·ε0 · E
Tangential, Normal-Komponenten von E und D
Mechanismen der Stromleitung
Definition Strom = Ladung pro Zeit
Widerstand: Das Ohmsche Gesetz
Zeitlicher Verlauf bei Entladung eines Kondensators über Widerstand
Spezifischer Widerstand
Stromdichte j
Kontinuitätsgleichung für Strom und Ladung: ∇·j = - ∂ρ/∂t
Kirchhoffs Knoten- und Maschenregel
Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen
Energie und Leistung elektrischer Ströme
Elektronenvolt als Energieangabe von Elementarteilchen
Leistungsanpassung an Spannungsquelle mit Innenwiderstand
Elektronentransport in Metallen
Leitfähigkeit und Beweglichkeit der Ladungsträger
Magnetostatik
Feldlinien von geradem Leiter, Leiterschleife, Spule, Stabmagnet
Lorentz-Kraft als Folge der relativistischen Lorentztransformation
Lorentz-Kraft auf Strom-durchflossenen Leiter
Definition des „Magnetfeldes“ B als magnetisches Kraftfeld
Einheiten des Magnetfeldes: „Tesla“
Bewegung einer Ladung im Magnetfeld, Kreisbahn im homogenen Feld,
Zykloide im Erdmagnetfeld (Nordlichter)
Definition der Vakuum-Permeabilität µ0 durch Definition
der Einheiten des Stroms (Ampère) als Kraft zwischen parallelen Leitern
im Abstand von 1 m bei 1 A
Hall-Effekt
Gesetz von Biot-Savart
Magnetfeld beliebiger Stromverteilungen
Magnetischer Kraftfluß durch geschlossene Oberfläche: Es gibt keine
magnetischen Monopole! (differentiell: ∇B = 0)
Ampèresches Gesetz
integral und differentiell ∇× B = µ0 · j
Anwendung auf symmetrische Stromverteilungen (Gerader Leiter, Spule)
Vereinfachung von Berechnung durch Einführung des Vektorpotentials
Vektropotential A (B = ∇× A) Coulomb-Eichung (∇ A = 0)
Laplace-Gleichung ∆A = -µ0 · j
wie bei elektr. Potential: (Poisson-Gleichung)
Materie im Magnetfeld
Magnetische Dipole
Drehmoment und Kraft auf magnetischen Dipol
Atomare Dipolmomente
Magnetisierung von Materie als Summe von vielen atomaren Dipolen
Makroskopische Polarisation
Magnetische Suszeptibilität (χm), relative magnetische Permeabilität µ = 1 + χm
Diamagnetismus (χm<1), Paramagnetismus (χm>1), Ferromagnetismus (χm»1)
Curie-Temperatur
Magnetische Hysterese
Einführung des H-Feldes als „magnetische Erregung“, H = 1/(µ·µ0) · B
Modifizierte Gleichungen: ∇× H = j (analog ∇× E = 0)
∇·B = 0 (analog ∇·D = ρ)
Parallel- und Normalkomponenten von B und H an Grenzflächen
Beispiel: Elektromagnet mit Eisenkern
Induktion
Halleffekt
Bewegte Leiter im Magnetfeld
Induzierte Spannung
Farady`sches Induktionsgesetz: Uind = - ∂Φ/∂t, Φ = ∮B·dA
oder differentiell: ∇× E = - ∂B/∂t
Lenzsche Regel: Das Magnetfeld B, das von dem durch die induzierte Spannung
verursachten Stromfluß erzeugt wird, wirkt der Änderung des
erregenden B-Feldes entgegen.
Strom-, Spannungsverlauf von Schaltkreis mit Widerstand und Spule
Selbstinduktivität L, Einheit [Henry]
Parallel- und Reihenschaltung von Spulen
Energiedichte im Magnetfeld: wmagn = ½·B·H
= ½·L·I2
Wirbelströme
Stationäre Wechselströme
Wechselspannung und –strom mit definierter Frequenz ω
Wechselstromwiderstand von R, L und C
Komplexe Widerstände ZC = 1/iωC ZL = iωL, ZR = R
Phaseverschiebung bei Kondensator und Spule
Strom läuft der Spannung am Kondensator um π/2 voraus,
Strom läuft Spannung an Spule um π/2 hinterher.
LC-Schwingkreis, Eigenfrequenz ω = 1/LC
Dämpfung durch Widerstand R
Lösung der Differentialgleichung des Schwingkreises
Einschwingvorgang
Phasenverschiebung
Dimensionierung des Schwingkreises beim Mittelwellenradio
Schwingkreis im Oszillator, Rückgekoppelter Verstärker
Wirkstrom und Wirkleistung, Blindstrom und Blindleistung
Effektivspannung, Effektivstrom
Transformator, Wirk- und Blindleistung
Maxwellsche Gleichungen
Verschiebestrom jV = ∂D/∂t
Modifizierung von ∇× H = j mit j = jreal + jV
∇× H = j +∂D/∂t
Komplette Maxwell-Gleichungen
Integral
Differentiell
∮D·dA = ∫ρ·dV
∇D = ρ, D = ε·ε0·E
∮B·dA = 0
∇B = 0, B = μ·μ0·H
∮E·ds = - ∂ /∂ t∫B·dA
∇× E = - ∂B/∂ t
∮H·ds = ∫j·dA + ∂ /∂ t ∫D·dA
∇× H = j +∂D/∂ t
Die Ladungen sind die Quellen des
elektrischen Feldes
Das Magnetfeld ist quellenfrei
Induktionsgesetz: Die induzierte
Spannung ist die negative zeitliche
Ableitung des vom Weg umrandeten
magnetischen Kraftflusses
Ampèresches Durchflutungsgesetz mit
Verschiebestrom: Das entlang eines
geschlossenen Weges aufintegrierte HFeld ist identisch mit dem Stromfluß
durch die vom Weg umrandete Fläche
plus der zeitlichen Ableitung des dort
ebenfalls aufintegrierten Verschiebestroms.
Wellengleichung im homogenen Medium:
∆E = 1/c2 · ∂2/∂t2 E, c = 1/√(ε·ε0·μ·μ0), cVakuum = 1/√(ε0·μ0)
bzw. ∆B = 1/c2 · ∂2/∂t2 B
Ebene Wellen
E = E 0 · cos(kr - ωt), │ k│ = 2π/λ, k = (kx,ky,kz), r = (x,y,z), ω = 2π·ν, c = ω/ │
k│
B = B0 · cos(kr - ωt), B- und E-Feld in Phase bei Freiraumwelle
B0 = 1/c · E0
(Auch komplex: E = E0 · exp{i(kr - ωt)})
Ausbreitung in k-Richtung
E- und B-Feld haben keine Komponente in Ausbreitungsrichtung im ladungsund stromfreien Raum
E und B stehen senkrecht zueinander und senkrecht auf k.
E·B = E·k = B·k = 0
Es gibt zwei unabhängige Polarisationen, deren E-Felder senkrecht zueinander
stehen.
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
wges = wel + wmagn = ½ · E · D + ½ · B · H = ε·ε0 · │ E│2 = 1/(μ·μ0) ·│ B│2
Poynting-Vektor beschreibt Energieflußdichte: S = E× H
[S] = [Energie/(Fläche·Zeit)] = [Leistung/Fläche] = Intensität
E und H stehen senkrecht auf k, S zeigt somit in Richtung k
│ S│ = wges·c
E und H bei freier Welle in Phase, deshalb:
<│ S│ > = ε·ε0 ·│ E0│2 · <cos2(kr – ωt)> = ½ · ε·ε0 ·│ E0│2 = ½ ·│ E0× H0│
< S > = ½ ·( E0× H0)
(Vollständige Lorentz-Transformation von E und B)
Lichtdruck: Elektromagnetische Welle trägt Impuls und übt somit Druck aus
Impulsdichte p [Impuls/Volumen] p = w/c · k/│ k│ = S / c2
Impuls eines Photons:
Impuls = Impulsdichte·Volumen = Energie/Lichtgeschwindigkeit
│ P│ = h·ν/c = h/λ
Eigenschaften von ebenen Wellen
Freie Welle: E und B sind in Phase!
Stehende Welle: E und B sind um π/2 phasenverschoben!
Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium
Brechungsindex n = √(ε·μ) ≈ √ε, c = cVak/n, cVak = 1/√(ε0·μ0)
Ausbreitung im leitenden Medium mit Leitfähigkeit σ: Skineffekt
∇× H = j +∂D/∂ t, j = σ·E → 1/(μμ0) ·∇× B = σ·E + ε·ε0 · ∂E/∂ t
→ neue Wellengleichung ∆E = 1/c2 · ∂2/∂t2 E + μ·μ0·σ·∂E/∂ t
→ Ebene Welle mit: E = E0·exp{i·(α·z - ω·t)} mit α2 = (ω/c)2 + i·μ·μ0·σ·ω
→ α = k + i/δ mit k ≈ ω/c und δ ≈ 2/(μ·μ0·σ·c) für σ klein
δ ist Eindringtiefe der Welle: E = E0 · exp{i·(k·z - ω·t)} · exp(-z/δ)
Superpositonsprinzip
Elektromagnetische Felder sind Summe von vielen Teilkomponenten
unterschiedlicher Frequenz und k-Vektoren
E(r,t) = Σ En · exp[i(kn·x – ωn·t)}
Fourier-Analyse: Gegeben sei beliebige Funktion F(t) von im Intervall [-T/2,T/2]
Dann kann die Funktion beschrieben werden durch die Fourier-Summe:
F(t) = Σ Gn · exp{2·π·i·n·t/T}, n = -∞,….,-1,-1-0,1,2,…,∞
Die Koeffizienten Gn lassen sich berechnen durch:
Gn = 1/T · ∫ F(t) · exp{-2·π·i·n·t/T} · dt
Die Integrationsgrenzen gehen von –T/2 bis +T/2.
Das gilt ebenso, wenn man die Zeit t durch die Ortsvariable x im Intervall
[-L/2,+L/2] ersetzt und man erhält die Fourier-Transformierte G(n·k) mit
k = 2π/L (Beispiel: Schwingende Saite)
Für ein unendlich großes Intervall gilt:
G(ν) = ∫F(t) · exp{2·π·i·ν·t} · dt und F(t) = 1/(2·π) · ∫G(ν) · exp{-2·π·i·ν·t} · dν
Die Integrationsgrenzen erstrecken sich von -∞ bis +∞.
Aufgrund des Superpositionsprinzips können so beliebige Signalformen, deren
Komponenten alle die Wellengleichung erfüllen, konstruiert werden.
Dipolstrahlung
Dipol als Erzeuger von Elektromagnetischer Strahlung
Elektrostatik: Dipolfeld: E ~ p / r3 · sin(φ)
und wegen der Maxwell-Gleichungen: H ~ p·ω / r2 · sin(φ)
Der Poynting Vektor wäre also dann proportional zu
S = E x H ~ sin2(φ)/r5 !
Das kann aber nicht sein, da die Leistung, die durch eine Kugeloberfläche
insgesamt fließt, unabhängig vom Radius der Kugel sein muß
(Energieerhaltung).
P = ∫S·dA = ∫r·dr∫dφ S(r) = S(r) · π·r2 = konstant.
→ S(r) ~ 1/r2, E(r) ~ 1/r
Heinrich Hertz fand: P = p2·ω4/(6·π·ε0·c3)
und für den Betrag des Poynting-Vektors: S = p2·ω4/[(4·π)2·ε0·c3) · sin2(φ)/r2
Da für eine schwingende Ladung (q = e0) gilt: p·ω2 = e0 · dv/dt, kann man dies
umformen:
S = (e0 · dv/dt)2/[(4·π)2·ε0·c3) · sin2(φ)/r2
Jede beschleunigte Ladung erzeugt elektromagnetisches Wechselfeld.
Elektromagnetisches Spektrum
Wellen- bzw. Teilcheneigenschaften.
Plancksches Strahlungsgesetz
Dichte der Resonanzfrequenzen in Kasten: w(ω) · dω = ω2/(π2·c3) · dω
Mittlere Energie pro Oszillator:
ε(ω) = ħ·ω / [exp{ħ·ω/(kB·T)} – 1]
→ Plancksche Strahlungsformel:
ρ(ω) = ε(ω) · w(ω) = ħ·ω3/(π2·c3) / [exp{ħ·ω/(kB·T)} – 1]
Maximum bei dρ(ω)/dω = 0 → Wiensches Verschiebungsgesetz
Kleine Frequenzen: Rayleigh-Jeans: ρ(ω) = ω2/(π2·c3) · kB·T
Große Frequenzen: Wien
: ρ(ω) = ħ·ω3/(π2·c3) · exp{-ħ·ω/(kB·T)}
Gesamte Strahlungsdichte:
Stefan-Boltzmann (1879) ∫ ρ(ω) · dω = π2·kB4/(15·c3·ħ3) · T4
Ebene Wellen an Grenzflächen
Gleiche Phase an Grenzfläche für reflektierte und gebrochene Welle:
sin(β) = sin(α) ·n1/n2 α = Einfallswinkel, β = Brechwinkel, ni = √εi
Totalreflexion tritt beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere
Medium (n1 > n2) auf, wenn sin(β) = sin(α) ·n1/n2 > 1 wird. Dann breitet sich die
Welle entlang der Oberfläche aus, die allerdings senkrecht zur Oberfläche stark
gedämpft ist.
Fermatsches Prinzip
Allgemein lassen sich die Amplituden der reflektierten und der gebrochenen
Welle aus den Bedingungen des E, D, B, und H-Feldes an der Grenzfläche
bestimmen. → Fresnel-Formeln
Eparallel, Hparallel sind kontinuierlich, ebenso Dsenkrecht und Bsenkrecht
Für den senkrechten Einfall gilt: Der Reflexionskoeffizient für die einfallende
Feldamplitude ist: Erefl = Eeinfall · (n1-n2) / (n1+n2)
Bei Reflexion am dichteren Medium (n2>n1) tritt Phasensprung um π für die
elektrische Feldamplitude ein.
Die Intensität ist dann: IRefl = Ieinfall · [(n1-n2) / (n1+n2)]2
In der Einfallsebene polarisierte Strahlung wird unter dem Brewster-Winkel
nicht reflektiert. Für den Brewster-Winkel αBr gilt: tg(αBr) = n2/n1
Beugung:
Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt von
Kugelwellen!
Fraunhofer-Beugung: Öffnung der Lichterregung ist sehr klein gegenüber
Abstand des Beobachters.
Fraunhofer-Beugung am Einfach-Spalt:
Amplitude entspricht einer SINC-Funktion
SINC(x) = sin(x)/x. Intensität ~ SINC2[k·d·sin(α)], d = Spaltbreite
Beugung an kreisförmiger Blende: Airy-Schiebe. Abstand Zentrum-erstes
Minimum Δθ ≈ 1.22 · λ/D, D Durchmesser der Lochblende
Doppelspalt: I ~ SINC2[k·d/2·sin(α)] · cos2[k·D/2·sin(α)],
D = Spaltabstand
Gitter:
I ~ SINC2[k·d/2·sin(α)] · sin2[N·k·D/2·sin(α)] / {N·sin[k·D/2·sin(α)]}2
Auflösungsvermögen des Gitters:
R = λ/Δλ = L/λ·sin(α) = N·m L = Breite des Gitters, m= Ordnung
Vielstrahl-Interferenz im Fabry-Perot-Resonator
2 Spiegel mit Reflexionsvermögen r (Intensität) und Transmission t (t+r = 1)
Amplitude: Egesamt = EEinf · t · exp{i·δ} / [1 - r·exp{2·i·δ}],
δ = 2·π·s/λ, s = Spiegelabstand
Intensität: Igesamt = IEinf · t2 / [(1-r)2 +4·r·sin2(δ)], Airy-Funktion
Freier Spektralbereich: FSR = c/(2·l)
Auflösungsvermögen: Finesse = FSR/Halbwertsbreite der Resonanz
= π·√r / (1-r)
Erratische Vielstrahl-Interferenz von irregulärer Oberfläche: „Speckles“
Nur sichtbar mit monochromatischem Licht. Bei weißem Licht verschmieren die
Speckles verschiedener Farben. Flackern von Sternenlicht.
Kohärenzbegriff: Interferenzfähigkeit von Feld mit sich selbst bei
Weglängenunterschied Δ (Kohärenzlänge) und Zeitunterschied τ (Kohärenzzeit)
Spektrum in Michelson-Interferometer (Fourier-Analyse) von nichtmonochromatischem Licht
Fresnel-Beugung: Öffnung der Lichterregung ist vergleichbar oder kleiner als
der Abstand des Beobachters.
Beugung an Kante, breitem Spalt (Übergang zu Fraunhofer-Beugung)
Konstruktion von Fresnel-Zonen. Fresnel-Linsen
Hologramm
Geometrische Optik
Mikroskopische Erklärung der Änderung der Phasengeschwindigkeit in
dielektrischem Medium: Phasenverschiebung der Polarisation.
Brechungsgesetz
Reflexion an Hohlspiegel, Abbildungsgesetz
Ablenkung an einem Prisma
Paraxiale Strahlen an Kugeloberfläche eines Mediums mit Brechungsindex n
Linsengesetz
Fernrohr, Lupe, Mikroskop: Vergrößerung
Abbildungsfehler
Linsensysteme
Matrizenoptik, Darstellung des optischen Strahls durch Abstand x von Achse
und Steigung m durch „Vektor“
 x
x =  
 m
. Transformation bei linearer Fortpflanzung
T
 1 d


 0 1
=
oder beim Durchgang durch Linse:
T
 1
 − 1 / f

=
0

1 
Es gilt dann: x' = T ⋅ x
Jede Optik kann in paraxialer Näherung aus Produkten dieser Matrizen
dargestellt werden.
Gaußsche Strahlen (Laser)
Gaußsche Strahlen aus Huygensschem Prinzip (hier 2-dimensional):
Gauß-förmige Erregung ~ E0(ξ,z=0) ~ exp[-ξ2/w02] mit ebenen Phasenfronten
Berechnung bei z im Abstand x von z-Achse nach Huygens:
∞
∫ E (ξ , z =
E ( x, z ) ~
0
0) ⋅ exp[i ⋅ k ⋅ R ] ⋅ dξ
−∞
x2 − 2 ⋅ x ⋅ ξ + ξ 2
für x, ξ « z
z




x2 
x2 
x2  


E ( x, z ) ~ exp[i ⋅ k ⋅ z ] ⋅ exp  i ⋅ k ⋅
=
exp
−
⋅
exp
i
⋅
k
⋅
z
+

 w2 ( z ) 

2 ⋅ q ( z ) 
2 ⋅ R ( z )  





mit R =
( x − ξ )2 + z 2 ≈ z +
1
2
⋅
Gaußscher Strahl als Kompromiß zwischen ebenen und kugelförmigen Wellen
Ebene Phasenfronten bei kleinem z, Kugel-Phasenfronten bei großem z
Verallgemeinerung für 3-dimensionale Darstellung in Zylinderkoordinaten:
z, r, φ: Ersetze x durch r!
Gaußscher Parameter q(z), q = z - i·zR, zR = Rayleigh-Länge = k/2·w02
w0 = Waist in Strahltaille
1
q( z )
=
1
2/ k
+ i⋅ 2
R( z)
w ( z)
Waist als Funktion von z: w(z) = w0·[1+(z/zR)2]1/2
Krümmung der Phasenfronten: Radius R(z) = z + zR2/z
Öffnungswinkel: tg(Ω/2)·w0 = λ/π
A⋅ q + B
C⋅q+ D
Anwendung für Materialbearbeitung, Fernerkundung, Kommunikation, LaserResonator etc.
Abbildung von Gaußschen Strahlen:
ABCD-Gesetz: q ' =