¨Ubungen zur Vorlesung SS 2006 Elektrodynamik (Theoretische

Übungen zur Vorlesung
Elektrodynamik (Theoretische Physik III)
Aufgabe 29
SS 2006
Blatt 10
Abgabedatum: 18.07.2006
(Votier) Polarisation I
2 Punkte
Für die Feldstärke E einer sich in z-Richtung ausbreitenden elektromagnetischen Welle gilt:
E = Ex ex + Ey ey mit
(1)
Ex = |E0x | cos(kz − ωt + φ)
(2)
Ey = |E0y | cos(kz − ωt + φ + δ)
(3)
(a) Zeigen Sie, dass sich für δ = 0 oder δ = ±π eine linear polarisierte Welle ergibt. Welcher
Winkel besteht bei gegebenen |E0x | und |E0y | zwischen dem Feldstärkevektor und der
y-Achse?
(b) Zeigen Sie, dass sich für δ = ±π/2 und |E0x | = |E0y | zirkular polarisierte Wellen ergeben.
Für welches δ ergibt sich eine links-zirkular polarisierte Welle?
(c) Zeigen Sie, dass sich für δ = ±π/2 und |E0x | =
6 |E0y | elliptisch polarisierte Wellen
ergeben. Wie unterscheidet sich die Ellipse in diesem Fall vom allgemeinen Fall mit
beliebigem δ?
(d) Zeigen Sie, dass jede beliebige elliptisch polarisierte Welle aus zwei entgegengesetzt zirkular polarisierten Wellen aufgebaut werden kann.
√ (Hinweis: Verwenden Sie zur Berechnung von E die komplexen Vektoren e± = 1/ 2(ex ± iey ).) Unter welcher Bedingung
erhält man durch die Überlagerung zweier entgegengesetzt zirkular polarisierten Wellen
linear polarisierte Wellen?
Aufgabe 30
(Votier) Polarisation II
3 Punkte
Gegeben seien zwei sich in z-Richtung in einem ungeladenen, nicht-leitenden Medium ausbreitende elektromagnetische Wellen:
Linear polarisiert:
E = E 0 sin(kz − ωt).
(4)
E = E 0 [sin(kz − ωt)ex + cos(kz − ωt)ey ].
(5)
Zirkular polarisiert:
Berechnen Sie für die beiden Fälle:
(a) die magnetische Induktion B(r, t);
(b) den Poynting-Vektor S(r, t);
(c) den Strahlungsdruck auf eine um den Winkel θ gegen die Ausbreitungsrichtung geneigte
Ebene.
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Aufgabe 31
(Votier) Bewegung eines Teilchens
2 Punkte
Eine zirkular polarisierte monochromatische elektromagnetische Welle im Vakuum sei durch
das Feld
E(r, t) = E(cos (kz − ωt), sin (kz − ωt), 0)T
(6)
gegeben.
(a) Berechnen Sie die zugehörige magnetische Induktion B(r, t).
(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines punktförmigen Teilchens der Ladung q und
Masse m auf, das sich in diesem elektromagnetischen Feld (E, B) bewegt. Das Teilchen
befinde sich zur Zeit t = 0 im Koordinatenursprung, seine Energie bleibe konstant.
(c) Lösen Sie die Bewegungsgleichung. Welche Bahn beschreibt das Teilchen?
Aufgabe 32
(Schriftlich) Reflexion und Brechung
3 Punkte
Leiten Sie das Reflexionsgesetz
θ1 = θ1r
(7)
k2
n2
sin θ1
=
=
sin θ2
k1
n1
(8)
und das Snelliussche Brechungsgesetz
für elektromagnetische
Wellen an ebenen Grenzflächen in einem Dielektrikum ab. Hierbei
q
(1,2) (1,2)
seien n1,2 = µr εr , k1,2 und θ1,2 gemäß folgender Abbildung definiert:
z
k2
θ2
µ(2) ε (2)
r
r
11111111111111111111111
00000000000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
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11111111111111111111111
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11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
(1)
µ(1)
r εr
θ1
θ1r
k1
x
k1r
(a) Welche Stetigkeitsbedingungen außer n · (B2 − B1 ) = 0 müssen erfüllt sein? Leiten Sie
diese her. Wie vereinfachen sie sich für ungeladene Isolatoren?
(b) Bestimmen Sie das elektrische Feld und die magnetische Induktion der ebenen Wellen
mit den Wellenvektoren k1 , k1r und k2 . Wie lautet die zugehörige Wellengeschwindig√
keit? Hinweis: B = µr µ0 εr ε0 ( kk × E).
(c) Benutzen Sie die Randbedingungen aus (a) um die Gleichungen (7) und (8) zu erhalten.
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