Lösungen zu Blatt 02 - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. Martin Müser, Dr. Dmitriy Shakhvorostov
Lehrstuhl für Materialsimulation
Universität des Saarlandes
Lösung zum Übungsblatt Nr. 2, WS 2010/11
1. Feld von Dipolen
(a) Potenzgesetz für das elektrische Feld vom Dipol p.
Für eine Punktladung gilt:
[E] =
1 Q
1
⇒ E ∼ 2.
2
4π0 R
r
Das Feld eines Dipols muss dieselbe Einheit haben, also:
1 p
1 Q
=
.
4π0 R2
4π0 Rα
Der Faktor 4π0 kann gekürzt werden. Somit ergibt sich:
p
Q
=
2
R
Rα
⇒
C
C·m
=
2
m
mα
⇒
α=3
⇒
EDipol ∼
1
.
R3
(b) Kraft eines Dipols auf eine Probeladung
Bezeichne die Bindungslänge des Moleküls mit d = 1Å. Die Ladungen sind
q±1 = ±e, x1,2 = ±d/2. Damit ist das Dipolmoment: p = d · e. Die Ladung des
Protons bezeichnen wir mit q3 = ep und seine Lage als r. Es gilt wie üblich das
Superpositionsprinzip, also:
(
e
−e
+
4π0 F~3
= q3 ·
2
x
(r + d/2)
(r − d/2)2
bringe auf gemeinsamen Nenner →
)
=p
= q3 ·
z }| {
2·r·d·e
(r2 − d2 /4)2
(1)
Somit können durch Einsetzen Zahlenwerte für die Kraft in x-Richtung bestimmt werden, woraus dann die Beschleunigung a = F/m folgt. Ergebnis:
m
a = 5, 640 · 1016 2 für r = 1 nm
s
13 m
a = 5, 528 · 10 2 für r = 10 nm.
s
(c) Wenn r d kann der Ausdruck d2 im Zähler der Gleichung (1) vernachlässigt
werden. Man erhält dann in führender Näherung das Ergebnis: E = 2 · r · p/r 3 .
Die Überprüfung des Potenzgesetzes kann auch über die numerischen Werte
erfolgen. Bei Verzehnfachung des Abstandes muss sich die Kraft bei einem R −3
Gesetz um einen Faktor 1,000 reduzieren. Die numerischen Werte geben diese
Gesetzmäßigkeit in guter Näherung her.
Wenn aber r d ist, dann gilt das R−3 Potenzgesetz natürlich nicht. Dort
findet man dann E ∝ r.
1
2. Geladene Atome und neutrale Moleküle in externen Feldern
(a) Ladung vor Metall
Freie Ladungen im Metall müssen so verteilt werden, dass die transversale Komponente des E-Feldes an der Metalloberfläche verschwindet. Künstlich kann man
sich ein E-Feld mit dieser Eigenschaft mit Hilfe einer Spiegelladung herstellen.
Das resultierende Feld ist dann das eines Dipols. Die Ladung wechselwirkt mit
dem Metall dann so als säße eine Punktladung im Inneren des Metalls, die ein
Spiegelbild der ursprünglichen Ladung ist. In Wirklichkeit wird allerdings die
Ladung in der Oberfläche induziert, deren E-Feld außerhalb (und nur außerhalb)
aber identisch ist mit der der gedachten Spiegelladung.
Somit hat sich das Problem reduziert auf ein einfaches Coulombgesetz. Die
Anziehungskraft F ist parallel zur Oberflächennormalen.
1 −Q2
4π0 (2 · r)2
QC+ = e; mC ≈ 20 · 10−27 kg
= −5, 77 · 10−13 N
m
F
= −2, 9 · 1015 2
a =
m
s
F =
(b) Dipol im externen E-Feld
Der Dipol liegt auf der x-Achse und das Feld hängt nur von x ab, daher kann
die Kraft keine y oder z Komponente haben.
Die Lage der beiden Punktladungen im Atom sei X ± d/2, wobei in der Abbildung in 1(b) für die Schwerpunktkoordinate X = 0 gilt.
Die Kraft auf die Punktladungen (als Funktion von X) sind somit jeweils
F1,2 = ±e · E(X ± d/2)
!
X ± d/2
= ±e · E0 · 1 +
a
E0
⇒ F1 + F2 =
· (e · d) .
a | {z }
=p
Wir sehen also, dass ein elektrisches Feld einen Dipol nicht beschleuningt. Die
Beschleunigung des Dipols ist stattdessen proportional zur Ableitung des EFeldes, b.z.w. dem Gradienten des E-Feldes.
Gleiches gilt übrigens für Magneten. Diese lassen sich nur durch inhomogene
magnetische Felder beschleunigen. Ein homogenes elektrisches bzw. magnetisches Moment übt lediglich ein Drehmoment auf einen Dipol aus.
2
(c) Zusatzaufgabe
Prinzipiell genügt Gleichung (1) für unsere Zwecke. Wie bereits diskutiert
können wir im Nenner dieser Gleichung d im Vergleich zu r vernachlässigen
und haben somit die Dipolnäherung. Wenn man über viele Ladungen summiert ist ein solches Verfahren jedoch schlecht, weil das Erweitern auf einen
gemeinsamen Nenner mit zunehmender Anzahl von Ladungen sehr aufwendig
wird, insbesondere dann wenn eine kontinuierliche Ladungsverteilung vorliegt.
Stattdessen “entwickelt” man in einem solchen Problem nach kleinen Variablen.
Betrachte die Funktion V (x) = 1/x2 :
V (x + ∆x) = V (x) + V 0 (x) · ∆x + O(∆x2 )
(vorausgesetzt ∆x → 0, V (x) und V 0 (x) sind stetig und differenzierbar)
V 0 (x) = −2/x3
⇒
vorausgesetzt r >> d:
⇒
!
d
1
1
2
+ O(d2 )
d 2 = 2 + − 3 · ±
r
r
2
(r ± 2 )
Eingesetzt in (1):
4π0 Ex = (−e) ·
1
d
1
d
2ed
2
−
+
(e)
·
+
+
O(d
)
=
+ O(d2 )
r2 r3
r2 r3
r3
Nach dem Einsetzen von Dipol p = e · d erhalten wir:
4π0 Ex =
2p
r3
Wir haben in unserer Rechnung einen Term der Ordnung O(∆x2 ) unterschlagen.
Allerdings beinhaltet dieser den Term, der in p = e·d zum Dipol führt. Damit ist
der relative Fehler in führender Ordnung proportional zu ∆x. Da r die einzige
andere Größe mit der Einheit Meter ist kann der relative Fehler ≈ d/r. ⇒
Relativer Fehler bei Abstand r = 1 nm ⇒ 0, 1nm/1nm ≈ 10%.
Relativer Fehler bei Abstand r = 10 nm ⇒ 0, 1nm/10nm ≈ 1%.
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