Elektrodynamik WS 2013/14 - Goethe

Elektrodynamik
WS 2013/14
Claudius Gros
Institut für Theoretische Physik
Goethe Universität Frankfurt
1
Inhaltsverzeichnis
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
I
Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . .
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . .
Konzept des elektromagnetischen Feldes
Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . .
Materie im elektromagnetischen Feld . .
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Elektrostatik
11
1 Coulomb’sches Gesetz
1.1 Coulomb-Kraft . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Das elektrische Feld von Punktladungen
1.3 Kontinuierliche Ladungsverteilungen . .
1.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . .
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2 Grundlagen der Elektrostatik
2.1 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Differentialgleichungen für das elektrische
2.3 Anwendungen des Gauß’schen Satzes . .
2.4 Energie des elektrostatischen Feldes . . .
2.5 Multipole im elektrischen Feld . . . . . .
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Feld
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21
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3 Randwertprobleme der Elektrostatik
3.1 Eindeutigkeitstheorem . . . . . . . .
3.2 Spiegelungsmethode . . . . . . . . . .
3.3 Trennung der Variablen . . . . . . . .
3.4 Übersicht Elektrostatik . . . . . . . .
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II
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Magnetostatik
35
4 Ampère’sches Gesetz
4.1 Elektrischer Strom und Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ampère’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Formel von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
36
36
38
40
4.4
Kraft und Drehmoment auf einen Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . 41
5 Grundgleichungen der Magnetostatik
5.1 Divergenz der magnetischen Induktion
5.2 Rotation von B . . . . . . . . . . . . .
5.3 Vektor-Potential und Eichung . . . . .
5.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . .
5.5 Übersicht über die Magnetostatik . . .
III
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Grundlagen der Elektrodynamik
45
45
46
49
50
52
54
6 Die
6.1
6.2
6.3
6.4
Maxwell’schen Gleichungen
Faraday’sches Induktionsgesetz . . . . . . . .
Diskussion des Induktionsgesetzes . . . . . . .
Erweiterung des Ampère’schen Gesetzes . . .
Übersicht über die Maxwell’schen Gleichungen
7 Die
7.1
7.2
7.3
elektromagnetischen Potentiale
61
Skalares Potential und Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Coulomb Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Energie und Impuls elektromagnetischer
8.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Zusammenfassung - Photonen . . . . . .
IV
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Felder
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Elektromagnetische Strahlung im Vakuum
9 Das
9.1
9.2
9.3
9.4
55
55
57
59
60
elektromagnetische Feld im Vakuum
Homogene Wellengleichungen . . . . . . .
Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . .
Monochromatische ebene Wellen . . . . . .
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
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74
74
75
78
81
10 Wellenpakete im Vakuum
10.1 Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen . . . . . . . . .
10.2 Fourier-Reihen und Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 δ-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
84
86
89
V
92
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Quellen elektromagnetischer Strahlung
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11 Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen
93
11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
Green’sche Funktion für den statischen Fall . .
Green’sche Funktion für zeitabhängige Quellen
Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . .
Liénard-Wiechert Potentiale . . . . . . . . . .
Strahlung bewegter Punktladungen . . . . . .
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97
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12 Multipolstrahlung
12.1 Langwellen-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Elektrische Dipol-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Magnetische Dipol-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
. 104
. 106
. 108
13 Systematik der Multipolentwicklung
13.1 Eigenschaften der Kugelfunktionen . . .
13.2 Legendre Polynome . . . . . . . . . . . .
13.3 Multipolentwicklung statischer Felder . .
13.4 Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes
112
. 112
. 117
. 120
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VI
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Das elektromagnetische Feld in Materie
125
14 Makroskopische Felder
14.1 Makroskopische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Freie und gebundene Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Mikroskopische Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
. 126
. 127
. 129
15 Energie und Impuls des makroskopischen Feldes
132
15.1 Energie makroskopischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15.2 Impuls makroskopischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15.3 Die Kirchhoff’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
16 Elektrische und magnetische Eigenschaften der
16.1 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Para- und Diamagnetismus . . . . . . . . . . . .
16.4 Ohm’sches Gesetz; elektrische Leitfähigkeit . . .
Materie
. . . . . .
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17 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
17.1 Allgemeine Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . .
17.2 Lineare, isotrope Medien . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Reflexion und Brechung von Licht . . . . . . . . . .
17.4 Elektromagnetische Wellen in leitenden Materialien
17.5 Wellen in einem metallischen Hohlleiter . . . . . . .
4
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. 141
. 143
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146
. 146
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. 150
. 153
. 155
VII
Relativistische Invarianz der Elektrodynamik
18 Spezielle Relativitätstheorie
18.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 Darstellung der Lorentztransformationen . . . . . . . . . .
18.5 Spezielle Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . .
18.6 Addition von relativistischen Geschwindigkeiten . . . . . .
18.7 Vektorkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.8 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.9 Relativistisches Teilchen in einem elektromagnetischen Feld
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19 Lorentz-invariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen
19.1 Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum . . . . . . . . . .
19.2 Gauß’sches cgs-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Ströme, Dichten, Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Maxwell-Gleichungen in Vakuum und Materie . . . . . . . . .
19.5 Transformation der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
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. 162
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. 166
. 168
. 169
. 170
. 172
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175
. 175
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. 182
Einführung in die Elektrodynamik
0.1
Elektrische Ladung
Während in der Mechanik die Eigenschaft Masse im Vordergrund steht, ist die Ladung
von Massenpunkten Ausgangspunkt der Elektrodynamik. Sie besitzt eine Reihe von fundamentalen Eigenschaften, die durch vielfältige experimentelle Messungen gesichert sind:
Vorzeichen Es gibt 2 Sorten (Typen) von Ladungen. Es hat sich eingebürgt diese als
positiv und negativ zu bezeichnen. Man hätte auch auch andere Bezeichnungen
wählen können, wie z.B. Hänsel und Gretel.
Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen verschiedenen Vorzeichens
ziehen sich an.
Transformationseigenschaften Die Gesamtladung eines Systems von Massenpunkten
ist die algebraische Summe der Einzelladungen; die Ladung ist ein Skalar. Diese
Bezeichnung leitet sich aus den Transformationseigenschaften der Ladung im euklischen Raum ab.
Ladungserhaltung Die Gesamtladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant, d.h.
eine Erhaltungsgröße. Ihr Zahlenwert unabhängig vom Bewegungszustand (Geschwindigkeite, Beschleunigung) des Systems.
Quantisierung Ladung kommt nur als Vielfaches der Elementarladung e (eines Elektrons) vor,
q = ne;
n = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Der klassischer Nachweis für die Quantisierung der Ladung ist der Millikan-Versuch
(1910). Die Steig-/Fallgeschwindigkeit geladener Öltröpchen wird mit ein-/ausgeschaltetem
elektrischem Feld gemessen.
Den Elementarteilchen Quarks ordnet man zwar drittelzahlige Ladungen zu, d.h.
q = ±(1/3)e bzw. q = ±(2/3)e, jedoch sind diese Quarks im uns hier interessierenden
Energiebereich nicht als freie Teilchen beobachtbar.
0.2
Elektrostatik
Elektrostatik Behandelt das einfachste Problem der Elektrodynamik, der Fall ruhender
Ladungen,
Elektrische Kräfte Bringt man in die Umgebung einer (oder mehrerer) räumlich fixierter Punktladungen eine Probeladung q, so wirkt auf diese Probeladung eine Kraft K,
welche im allgemeinen vom Ort r der Probeladung abhängt:
K = K(r) .
6
Ersetzt man q durch eine andere Probeladung q 0 , so findet man für die auf q 0 wirkende
Kraft K0 :
K0 /q 0 = K/q ,
d.h. die Kraft is proportional zur Größe der Probeladung.
Elektrisches Feld Diese Erfahrung legt es nahe, den Begriff des elektrischen Feldes
E(r) =
1
K(r)
q
einzuführen. Dieses von den ruhenden Punktladungen erzeugte Feld ordnet jedem Raumpunkt r ein Tripel reeller Zahlen zu, welches sich wie ein Vektor transformiert.
Aufgabe der Elektrostatik Gegeben eine Ladungsverteilung ρ(r): Finde das elektrischem Feld E(r).
0.3
Magnetostatik
Magnetostatik Behandelt stationärer Ströme. Bewegte Ladungen sind i.A. der Ursprung magnetostatischer Felder, da es keine magnetischen Ladungen gibt.
Lorentz-Kraft Bringt man in die Umgebung eines von einem stationären Strom durchflossenen Leiters eine Probeladung q, so kann die auf q am Ort r wirkende Kraft geschrieben werden als
K(r) = q v × B(r) .
Dabei ist v die Geschwindigkeit der Probeladung und B(r) ein (von v unabhängiges)
Vektorfeld, der magnetischen Induktion, hervorgerufen durch den vorgegebenen stationären Strom.
Aufgabe der Magnetostatik Gegeben eine stationären Stromverteilung j(r): Finde
das magnetischen Feld B(r).
0.4
Konzept des elektromagnetischen Feldes
Das elektrische und das magnetische Feld sind keine von einander unabhängige Größen.
Beispiele:
Lorentz-Transformation Alle gleichmäßig bewegten Referenzsysteme nenn man Inertialsysteme da sich die Form der Naturgesetze nicht bei einer Transformation zwischen
ihnen ändert.
Eine ruhende Punktladung Q in einem Inertialsystem Σ erzeugt für einen Beobachter
in Σ nur ein elektrisches Feld E 6= 0, jedoch kein Magnetfeld.
7
Für einen anderen Beobachter in einem gegenüber Σ bewegten Inertialsystem Σ0 ist
die Ladung bewegt. Der Beobachter in Σ0 misst daher sowohl ein elektrisches Feld
E0 6= 0 als auch ein magnetisches Feld B0 6= 0.
Da die Naturgesetzte jedoch in Σ wie in Σ0 die gleich Form haben müssen (Postulat
der Forminvarianz), muss dass elektrisches und magnetisches Feld als eine Einheit
ansehen werden, als elektromagnetisches Feld.
Kontinuitätsgleichung Die wechselseitige Abhängigkeit von elektrischem und magnetischem Feld tritt unvermeidbar dann zu Tage, wenn wir beliebige Ladungs- und
Stromverteilungen ρ(r, t) und j(r, t) zulassen. Die Forderung der Ladungserhaltung
ergibt dann die Verknüpfung von ρ und j via der Kontinuitätsgleichung
d
ρ(r, t) + ∇ · j(r, t) = 0 ,
dt
da die Ladung in einem bestimmten Volumen V nur ab(zu)-nehmen kann, indem
ein entsprechender Strom durch die Oberfläche von V hinaus(hinein)-fließt. Dann
können aber E und B nicht mehr unabhängig voneinander berechnet werden.
0.5
Maxwell’sche Gleichungen
Maxwell-Gleichungen Sind die allgemeinen dynamischen Bewegungsgleichungen des
elektromagneitschem Feld E, B in Zusammenhang mit den Quellen des elektromagnetischen Feldes (Ladungen, Ströme).
Formulierung Die Maxwell-Gleichungen werden Schritt für Schritt in der Vorlesung
eingeführt, formulieren und experimentell begründet.
Transformationseigenschaften Licht wird als propagierendes elektromagnetisches Feld
beschrieben, die Invarianzeigenschaft der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen ist daher äquivalent mit der speziellen Relativitätstheorie ergibt.
Erhaltungsgrößen Aus der Energie-, Impuls- und Drehimpuls-Bilanz für ein System
geladener Massenpunkte im elektromagnetischen Feld lassen sich dem elektromagnetischen Feld Energie, Impuls und Drehimpuls zuzuordnen.
Lösungstheorie der Maxwell-Gleichungen Beispiele sind die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen oder die Strahlung eines schwingenden elektrischen Dipols
(Antenne).
0.6
Materie im elektromagnetischen Feld
Die Maxwell-Gleichungen bestimmen im Prinzip die Felder E(r, t) und B(r, t) vollständig,
wenn die Ladungsverteilung ρ(r, t) und die Stromverteilung j(r, t) bekannt sind. Diese sind
jedoch i.A. nicht berechenbar.
8
mikro- vs. makroskopisch Für ein System von N geladenen Massenpunkten müsste
man die Newton’schen Bewegungsgleichungen lösen, um ρ(r, t) und j(r, t) mikroskopisch berechnen zu können.
Für ein Stück Materie von makroskopischen Dimensionen haben wir es mit N ≈
1020 − 1025 Massenpunkten zu tun.
Variabilität Die mikroskopisch berechneten Funktionen ρ(r, t) und j(r, t) werden im
allgemeinen starke Schwankungen über kleine räumliche und zeitliche Distanzen
aufweisen.
Gemittelte Felder Der Übergang von der mikroskopischen zur makroskopischen Formulierung findet über gemittelte Felder statt. Wir verzichten auf die Kenntnis des elektromagnetischen Feldes in mikroskopischen Dimensionen
(Volumina von 10−24 cm3 , Zeiten von 10−8 sec) und geben uns mit Mittelwerten in
(Volumina von 10−6 cm3 , Zeiten von 10−3 sec) zufrieden.
Anstelle von ρ(r, t), j(r, t), E(r, t) und B(r, t) treten dann Mittelwerte der Form
1 Z 3
d xdτ ρ(r + x, t + τ )
∆V ∆t
und entsprechend für hj(r, t)i, hE(r, t)i und hB(r, t)i. Aus den Maxwell-Gleichungen der
mikroskopischen Felder ergeben sich dann Gleichungen ähnlicher Struktur für das makroskopische elektromagnetische Feld.
hρ(r, t)i =
Matieralgleichung Der Zusammenhang zwischen den gemittelten Feldern wird dann
durch die Materialkonstanten , µ und σ bestimmt, der
Dielektrizitätskonstante , der
magnetischen Permeabilität µ und der
elektrischen Leitfähigkeit σ.
9
0.7
Literatur
An begleitender Literatur werden die folgenden Monographien empfohlen:
1. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics,
(Wiley, New York, 1962)
2. W. Greiner, Klassische Elektrodynamik,
(Harri Deutsch, Thun, 1982)
3. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics,
(Prentice Hall, Upper Saddle River, 1999)
4. W. Nolting, Elektrodynamik,
(Zimmermann-Neufang, Ulmen, 1993)
5. G. Ludwig, Einführung in die Grundlagen der Theoretischen Physik, Band 2: Elektrodynamik, Zeit, Raum, Kosmos,
(Bertelsmann, Düsseldorf, 1974)
6. W. Panofsky, M. Phillips, Classisal Electricity and Magnetism,
(Addison-Wesley, Reading, 1962)
7. L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Klassische Feldtheorie,
(Akademie-Verlag, Berlin, 1973)
8. E. Rebhan, Theoretische Physik
(Spektrum-Verlag, Heidelberg, 1999)
10
Teil I
Elektrostatik
11
Kapitel 1
Coulomb’sches Gesetz
Erhaltungsgrößen spielen in der Physik eine zentrale Rolle. Aus der Mechanik kennen
wir das Theorem von Noether, welches besagt dass es zu jeder Erhaltungsgröße eine
zugeordnetete Symmetrie gibt. In der Feldtheorie (siehe QM-II) wird gezeigt werden,
dass die Ladungserhaltung mit der sog. U (1) Eichinvarianz verbunden ist.
Erhaltung der Ladung - Paarerzeugung Ein besonders eindrucksvoller Beweis für
die Ladungserhaltung ist die Paar-Erzeugung und Paar-Vernichtung. So zerstrahlen z.B.
ein Elektron (e− ) und ein Positron (e+ ) in ein hochenergetisches massives Photon (γQuant), welches ungeladen ist; umgekehrt entsteht bei der Paar-Erzeugung (z.B. in π + , π −
Mesonen) stets gleich viel positive wie negative Ladung.
+e + (−e) = 0
q=0
+ e + (−e) = 0
Die Ladungsinvarianz zeigt sich auch darin, dass Atome und Moleküle neutral sind,
wie z.B. das Helium-Atom (4 He) und das Deuterium-Molekül (D2 ). Beide bestehen aus
2 Protonen und 2 Neutronen sowie 2 Elektronen und sind damit elektrisch neutral.
12
1.1
Coulomb-Kraft
Als experimentell gesicherte Grundlage für die Elektrostatik benutzen wir das Coulomb’sche Kraftgesetz zwischen 2 Punktladungen:
K12 = Γe
q1 q2
r12
3
r12
,
ist die von Ladung q1 auf Ladung q2 ausgeübte Kraft. Hierbei ist r12 = r2 − r1 der gerichtete Verbindungsvektor, r12 = |r12 | und
Γe eine noch zu bestimmende Proportionalitätskonstante.
[K] =
kg m
s2
(1.1)
q2
q1
r12
Eigenschaften der Coulomb-Kraft Die Eigenschaften der Coulomb-Kraft sind identisch mit denen der Gravitation, abgesehen davon dass es keine negativen Massen gibt.
• Richtung: Anziehung (Abstoßung) für ungleichnamige (gleichnamige) Ladungen.
• Actio = Reactio: K12 = −K21 :
• Zentralkraft: Da eine Punktladung im Raum keine Richtung auszeichnet.
• Superpositionsprinzip: Es gilt
K1 = K21 + K31
(1.2)
für die von 2 Punktladungen q2 und q3 auf q1 ausgeübte Kraft.
Messvorschrift für Ladung Vergleicht man 2 Ladungen q, q 0 anhand der von einer
festen Ladung Q auf sie ausgeübten Kraft, so findet man für Punktladungen gemäß (1.1):
q
K
=
.
0
q
K0
(1.3)
Damit sind Ladungsverhältnisse durch Kraftmessung zu bestimmen: Nach Wahl einer
Einheitsladung (Ladung des Elektrons oder Positrons) können wir Ladungen relativ zu
dieser Einheitsladung messen.
Maßsysteme Für die Festlegung der Proportionalitätskonstanten Γe betrachten wir 2
gebräuchliche Maßsysteme.
• Gauß’sches cgs-System: Hier wählt man Γe als dimensionslose Konstante; speziell
Γe = 1 ,
13
(1.4)
dann ist über (1.1) die Dimension der Ladung bestimmt zu
[q] = [ Kraft]1/2 [Länge] = dyn1/2 × cm .
(1.5)
Die elektrostatische Einheit ist dann diejenige Ladung, die auf eine gleich große im
Abstand von 1 cm die Kraft 1 dyn ausübt. Das Gauß’sche cgs-System wird in der
Grundlagenphysik bevorzugt.
• MKSA-System. Zusätzlich zu den mechanischen Einheiten (Meter, Kilogramm,
Sekunde) wird Mit Coulomb die Einheit für elekrische Ladungen definiert,
Coulomb ≡ Ampère ∗ Sekunde
Ladung = Strom ∗ Zeit
C = A s,
(Einheiten)
definiert. Dabei ist 1 Ampère definitionsgemäß der elektrische Strom, der aus einer
Silbernitratlösung pro Sekunde 1.118 mg Silber abscheidet. Schreibt man
Γe =
1
,
4π0
K12 =
1 q1 q2
r12 ,
3
4π0 r12
(1.6)
so nimmt die Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) 0 den Wert
−12
0 = 8.854 · 10
Coulomb2
Newton · Meter2
(1.7)
an. Das MKSA-System hat sich in der angewandten Elektrodynamik (Elektrotechnik) durchgesetzt.
1.2
Das elektrische Feld von Punktladungen
Die von N ruhenden Punktladungen qi an den Orten ri auf eine Probeladung q am Ort r
ausgeübte Kraft ist nach (1.6) und dem Superpositonsprinzip
K =
N
q X
qi (r − ri )
.
4π0 i=1 |r − ri |3
(1.8)
Elektrisches Feld Mit
K = q E(r) ,
E(r) =
N
X
qi (r − ri )
,
3
i=1 4π0 |r − ri |
[E] =
kg m
C s2
(1.9)
definieren wir das (statische) elektrisches Feld, welches von den Punktladungen qi am
Ort r erzeugt wird.
• Vektorfeld: Es ist gemäß (1.8) ein Vektorfeld. D.h. es gilt die Zuordnung
r → E(r),
14
∀r ∈ R3 .
• Messvorschrift: Bei vorgegebener Ladung q zeigt (1.8), wie man ein elektrisches Feld
messen kann. Dabei ist darauf zu achten, dass die Probeladung q so klein ist, dass
man ihren Einfluß auf das auszumessende Feld vernachlässigen kann.
Elektrisches Potential Analog dem Fall der Gravitationstheorie in der Mechanik kann
man die Vektor-Funktion E(r) aus dem (skalaren) elektrischen Potential
Φ(r) =
N
X
1
qi
i=1 4π0 |r − ri |
(1.10)
durch Differentiation gewinnen:
E ≡ −∇Φ
.
(1.11)
Die Einheit des elektrischen Potentials ist das Volt V
V =
W
kg m2
kg m2
J
=
,
=
=
2
3
As
A
Cs
As
mit den (aus der Mechanik) bekannten Einheiten für die
Energie Joule (J = kg m2 /s2 ) und
Leistung Watt (J = J/s = kg m2 /s3 ).
Potentielle Energie Die potentielle Energie U (r) der Probeladung q in einem elektrischen Potential ist
N
X
qi
1
(1.12)
U (r) ≡ q Φ(r) = q
i 4π0 |r − ri |
wobei Φ(ri ) das Potential am Ort ri ist, welches die Ladungen dort erzeugen.
1.3
Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Streng genommen gibt es nur Punktladungen, denn alle Elementarteilchen sind Punktladungen. Doch ist es unpraktisch alle 1023 Elektronen in einem Kupferdraht einzeln zu
zählen.
Ladungsdichte Die Ladungsdichte ρ(r) ist die Anzahl Ladung pro Volumen, mit der
Einheit
C
Coulomb
[ρ] =
.
=
3
m3
Meter
Übergang zu kontinuielichen Ladungsdichten Wir ersetzen
X
qi . . .
Z
−→
i
15
dV ρ(r) . . . ,
(1.13)
Abbildung 1.1: Beispiele für statische elektrische Felder.
wobei ρ(r) die Ladungsdichte am Ort r ist, mit der Gesamtladung
Q =
X
qi =
Z
(1.14)
dV ρ(r) .
i
Damit tritt anstelle von (1.9) und (1.10),
E(r) =
1 Z
(r − r0 )
dV 0 ρ(r0 )
4π0
|r − r0 |3
(1.15)
Φ(r) =
1 Z
1
dV 0 ρ(r0 )
.
4π0
|r − r0 |
(1.16)
und
Beispiel: Homogen geladene Kugelschale Wir betrachten eine Kugelschale mit homogener Ladungsverteilung,
ρ(r0 ) = σ0 δ(R − r0 )
r
und der Gesamtladung Q = 4πσ0 R2 . Für die Integration von (1.16) verwenden wir Kugelkoordinaten mit
Z
dxdydz =
Z φ
sin θ dθ
0
Z ∞
0
(r0 )2 dr0
Z 2π
r−r’
dϕ .
0
θ
Der Verbindungsvektor ist durch
|r − r0 | =
r’
q
r2 + (r0 )2 − 2rr0 cos θ
gegeben.
Die Integration über den Azimutwinkel ϕ liefert 2π, die Integration über den Polarwinkel θ ergibt
Z π
0
π
1 q 2
|r + r0 | − |r − r0 |
0 )2 − 2rr 0 cos θ dθ q
=
r
+
(r
=
,
rr0
rr0
θ=0
r2 + (r0 )2 − 2rr0 cos θ
sin θ
16
wobei nur noch die Beträge r und r0 der Vektoren vorkommen. Zudem gilt r0 → R,
aufgrund der intergration über den Radius r0 . Wir finden
(
0
0
|r + r | − |r − r | =
r + r0 − (r0 − r) = 2r
r + r0 − (r − r0 ) = 2r0
for r < r0
for r > r0
und somit
σ0 R
for r < r0
0
Φ(r) =
(1.17)

4πσ0 R2
Q 1

0


=
for r > r
4π0 r
4π0 r
für das Potential einer homogen geladenen Kugelschale. Außerhalb der Kugelschale ist das
Potential also identisch mit dem einer Gesamtladung, nach dem Coulomb Gesetz (1.10),
innerhalb konstant. Das elektrisch Feld verschindet daher innerhalb der Kugelschale.





1.4
Multipolentwicklung
Wir betrachten eine auf ein endliches Volumen V begrenzte Ladungsverteilung und wollen
eine Näherungsmethode entwickeln um das Potential Φ in einem Punkt P weit außerhalb
von V zu bestimmen.
1/r-Entwicklung Solange die ri r, können wir das Potential (1.10) durch eine TaylorReihe in 1/r darstellen,
Φ = Φ0 + Φ1 + Φ2 + Φ3 + ... ,
(1.18)
mit Φn ∼ O((1/r)n+1 ). Um diese Entwicklung herzuleiten benutzen wir die Formulierung
1
1
1
1
q
= q
=
2
|r − ri |
r 1 − (2 r · ri − ri2 ) /r2
r2 − 2 r · ri + ri
≡
1
1
√
,
r 1−x
x =
2 r · ri − ri2
.
r2
(1.19)
Damit ergibt sich
"
#
1
1
1
1
x
3x2
√
=
=
1+
+
+ O(x3 )
|r − ri |
r 1−x
r
2
8
(1.20)
2
=
1
1 (2 r · ri − ri2 )
3 (2 r · ri − ri2 )
+
+
+ ... .
r
2
r3
8
r5
17
Wenn wir nun noch die Terme geeignet nach Potenzen von xi /r zusammenfassen, finden
wir
1
1
r · ri
1 3 (r · ri )2 − ri2 r2
=
+ 3 +
+ ... .
(1.21)
|r − ri |
r
r
2
r5
Für das elektrostatische Potential Φ(r) finden wir somit
Φ(r) =
1 Q
1 d·r
1 X qi
1 1 rk Qkl rl
=
+
+
+ ... .
4π0 i |r − ri |
4π0 r
4π0 r3
4π0 2 r5
(1.22)
Wir diskutieren nun die einzelnen Terme.
Elektrischer Monopol Der erste Term in der 1/r Entwicklung des Potentials (1.22) ist
Φ0 (r) =
X
i
qi
Q
=
4π0 r
4π0 r
.
(1.23)
Die Gesamtladung, auch das Monopolmoment genannt,
Q =
X
qi
i
erzeugt in 0. Näherung der Taylor-Entwicklung ein Feld, welches aus genügend großer
Entfernung dem einer im Ursprung lokalisierten Punktladung entspricht.
Elektrischer Dipol Der zweite Term in der 1/r Entwicklung des Potentials (1.22) ist
Φ1 (r) =
d cosθ
d·r
=
,
4π0 r3
4π0 r2
(1.24)
mit dem Dipolmoment d,
d =
X
qi ri
.
i
und dem Winkel θ zwischen r und d,
Abhängigkeit des Dipolmoments vom Koordinatenursprung Verschiebt man den
Ursprung um a, so wird
d0 =
X
qi (ri − a) = d − Qa.
i
Falls Q 6= 0, kann man a so wählen, dass
d’ = 0 wird. Wenn dagegen Q = 0 ist, so
wird d = d0 unabhängig vom Ursprung und
das Dipolmoment beschreibt eine echte innere Eigenschaft des betrachteten Systems.
Dieses ist beim Wassermolekül H2 O der Fall,
nicht aber beim Kohlendioxid CO2 .
18
(1.25)
Abbildung 1.2: Das Potential eines elektrischen Dipols und Quadrupols.
Quadrupol-Moment Der dritte Term in der 1/r Entwicklung des Potentials (1.22) ist
Φ2 (r) =
1 1 rk Qkl rl
,
4π0 2 r5
rk Qkl rl =
X
h
i
qi 3 (r · ri )2 − ri2 r2 .
(1.26)
i
Für die Elemente Qkl des Quadrupoltensors Q finden wir
Qkl =
X
qi 3rik ril − δkl ri2
(1.27)
.
i
Einige Bemerkungen.
• Indizes: In (1.27) sind die Indizes k, l = x, y, z, mit r = (rx , ry , rz ) und ri =
(rix , riy , riz ).
• Einstein’sche Summenkonvention: Die Einstein’sche Summenkonvention gilt in (1.26),
d.h. über gleiche Indizes wird automatisch summiert.
• Symmetrie: Der Quadrupol-Tensor Q ist symmetrisch und reell und kann daher
stets diagonalisiert werden.
Es besteht hier eine weitgehende Analogie zum Trägheitstensor in der Mechanik.
Hauptachsensystem Mittels einer unitären Transformation läss t sich der QuadrupolTensor diagonalisieren, dann ist Qkl = Qk δkl . Man spricht auch, analog zur Mechanik, von
einer Transformation ins Hauptachsensystem. Im Hauptachsensystem ist der QuadrupolTensor diagonal,
Wir finden, z.B. für Qx ≡ Q11 ,
Qx =
X
qi 3x2i − ri2
=
i
X
qi 2x2i − yi2 − zi2
.
(1.28)
i
(1.28) zeigt, dass die Eigenwerte Qk die Abweichungen von der Kugelsymmetrie beschreiben, denn für sphärische Ladungsverteilungen wird
X
i
qi x2i =
X
i
qi yi2 =
X
qi zi2
i
19
→
Qm = 0 .
(1.29)
Spezialfall: Axialsymmetrie Wir betrachten im Hauptachsensytem Rotationsinvarianz um die z-Achse. Dann wird nach (1.28)
Qx = Qy =
X
qi x2i − zi2 ,
Qz =
X
qi 2zi2 − x2i − yi2
i
i
= 2
X
qi zi2 − x2i
.
i
und somit
1
(1.30)
Qx = Qy = − Qz ,
2
d.h. der Quadrupol-Anteil Φ2 (r) ist durch eine Zahl, das Quadrupolmoment Q0 ≡
Qz /2, bestimmt.
Für diesen Fall ist die Winkelabhängigkeit von Φ2 leicht anzugeben (wir verwenden
Qz = 2Q0 , Qx = Qy = −Q0 ):
Φ2 (r) =
1 Qx x2 + Qy y 2 + Qz z 2
Q0 2z 2 − x2 − y 2
=
4π0
2r5
4π0
2r5
Q0 (3z 2 − r2 )
Q0 (3 cos2 θ − 1)
·
=
=
.
4π0
2r5
4π0
2r3
(1.31)
Gleichung (1.31) zeigt die für den Quadrupol-Anteil charakteristische r-Abhängigkeit; die
Winkelabhängigkeit ist deutlich verschieden von der des Dipol-Terms (1.24).
Kontinuierliche Ladungsverteilungen Analog zu Abschnitt 1.4 ergibt sich das Dipolmoment für eine kontinuierliche (räumlich begrenzte) Ladungsverteilung zu
d =
Z
dV ρ(r) r .
(1.32)
Analog für die Quadrupol Momente, z.B. wird Gleichung (1.28) zu
Qx =
Z
dV ρ(r)(2x2 − y 2 − z 2 ) .
Beispiel Eine ganze Reihe von Atomkernen ist (axialsymmetrisch) deformiert und
elektrostatisch durch ein Quadrupolmoment
charakterisiert. Die Abweichungen von der
Kugelsymmetrie können dabei sowohl positiv, Q0 > 0, als auch negativ, Q0 < 0,
sein, was anschaulich einer Zigarre bzw. einer Scheibe entspricht.
20
(1.33)
Kapitel 2
Grundlagen der Elektrostatik
2.1
Satz von Gauß
Elektromagnetische Felder sind Vektorfelder; in jedem Punkt des Raumes gibt es ein
gerichtetes elektrisches und magnetisches Feld. Zentral für die Mathematik von Vektorfeldern ist der Satz von Gauß, welcher vor allem in der Elektrostatik zur Anwendung kommt,
sowie der Satz von Stokes, welcher für die Magnetostatik wichtig ist. Wir beschäftigen
uns daher nun zuerst mit der Mathematik von Vektorfeldern.
Der Fluss von Vektorfeldern Den Fluß Φ des Vektorfeldes A durch die Fläche F
definieren wir als das Oberflächenintegral
Φ =
Z
A · dF
Z
=
F
F
F
wobei An = A · n die Komponente von A in Richtung der Flächennormalen n ist. Das gerichtete Flächenelement dF ist parallel zu n,
dF = |dF|.
(2.1)
An dF ,
n
A
Fluss von Strömungen Zur Interpretation von (2.1) verlassen wir kurzzeitig die Elektrodynamik und betrachten eine Flüssigkeitsströmung mit der Geschwindigkeit v(r) und
der Dichte ρ(r). Die Stromdichte j ist dann
j(r) = ρ(r)v(r) ,
und somit ist
Z
F
j · dF =
Z
ρ(r) [ v(r) · dF ]
F
21
(2.2)
(2.3)
die pro Zeiteinheit durch F fließende Menge Flüssigkeit. Wegen des Skalarproduktes v(r)·
dF in (2.3) ist nur die senkrecht zur Strömung stehende Fläche wirksam.
Der Satz von Gauß Wir wählen nun für F eineR geschlossene Fläche, welche ein
Volumen V umschließt. Dann gilt für den Fluss Φ = F A · dF der Satz von Gauß:
Z
A · dF =
Z
F
∇ · A dV
(2.4)
.
V
Beweis des Satzes von Gauß Für den Beweis des Satzes von Gauß teilen wir den
Raum in ein Summe von vielen kleinen Würfeln auf und beweisen den Satz für einen
kleinen (infinitesimalen) Würfel. Dieses genügt, da sich die Flüsse an den gemeisamen
Würfelflächen wegheben.
∆V
F
x+ ∆x
x
Für einen einzelnen kleinen Würfel gilt mit A = (Ax , Ay , Az )
Z
A · dF ≈
Ax (x + ∆x, y, z) − Ax (x, y, z) ∆y∆z
+
Ay (x, y + ∆y, z) − Ay (x, y, z) ∆x∆z
+
Az (x, y, z + ∆y) − Az (x, y, z) ∆x∆y
F
!
=
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∆V
∂x
∂y
∂z
= ∇ · A ∆V ≈
Z
∇ · A dV ,
V
wobei wir die Definition der Ableitung f 0 (x) und des ∇–Operators
f (x + ∆x) − f (x)
f (x) = lim
,
∆x→0
∆x
0
verwendet haben.
22
∇ =
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂y
!
2.2
Differentialgleichungen für das elektrische Feld
Wir wenden nun den Satz von Gauß auf das elektrische Feld E(r) an, um die Beziehung
zur Ladungsverteilung ρ(r) in differentieller Form zu gewinnen.
Divergenz des Feldes einer Punkladung
Divergenz ∇ · E des elektrischen Feldes
Als Vorbetrachtung berechnen wir die
q r
(x, y, z)
q
=
3
2
4π0 |r|
4π0 (x + y 2 + z 2 )3/2
E(r) =
einer Punktladung q. Wir finden mit ∇ · r = 3 und ∇r2 = 2r
4π0
3
3 1
3
3
∇·E =
−
r · r2 =
−
= 0.
3
5
3
q
|r|
2 |r|
|r|
|r|3
(2.5)
Somit verschwindet die Divergenz des elektrischen Feldes überall dort wo es keine Ladung
gibt
∀r
∇·E = 0
mit
ρ(r) = 0 ,
(2.6)
denn die Herleitung (2.5) ist natürlich nicht am Ursprung gültig, wo E divergiert. Die
Verallgemeinerung von dem Fall einer Punktladung zu dem Fall einer kontinuierlichen
Ladungsverteilung ρ(r) ist nach dem Superpositionsprinzip trivial.
Fluß einer Punktladung Wie ist (2.6) für
Orte r zu modifizieren an denen ρ(r) 6= 0 ist?
Dazu betrachten wir eine Kugel mit Radius
R um eine Punkladung q. Für den Betrag von
E = |E(r)| gilt
E =
q
.
4π0 R2
Somit finden wir für den Fluss Φ durch die Oberfläche der Kugel
Φ =
Z
q
q Z
q
2
R dΩ =
dΩ =
,
2
4π0 R
4π0
0
(2.7)
unabhängig vom Radius R der Kugel.
Ladungen als Quellen des elektrischen Feldes Nun ist nach dem Satz von Gauß
(2.4) der Fluss (2.7) gleich dem Volumenintegral der Divergenz,
Φ =
Z
E · dF =
F
Z
∇ · E dV =
V
q
.
0
Für einen sehr kleinen Radius R → 0 finden wir daher
q
≈ (∇ · E)∆V,
0
∇·E ≈
23
1 q
ρ
≈
,
0 ∆V
0
wobei ∆V hier das Volumen 4πR3 /3 der kleinen Kugel ist. Damit haben wir die Gauß’sche
Gleichung in differentieller Form
∇·E =
ρ
0
(2.8)
hergeleitet. Sie belegt, dass die Ladungsverteilung ρ = ρ(r) die Quelle des elektrischen
Feldes ist.
Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes Eine weitere differenzielle Beziehung für E
erhalten wir aus (vgl. (1.11))
E = −∇Φ,
(2.9)
wobei Φ hier das elektrische Potential ist. Gleichung (2.9) ist über die Vektorindentität
∇ × (∇f ) = 0,
∇×∇
i
= ijk ∂j ∂k = 0 ,
(2.10)
äquivalent zur Wirbelfreiheit
∇×E = 0
(2.11)
des elektrischen Feldes. Wie wir später sehen werden, gilt die dieses Aussage nur wenn
zusätzlich keine zeitabhängigen Magnetfelder auftreten.
Poisson’sche Gleichung Aus dem Gauss’schen Gesetz (2.8) gwinnte man zusammen
mit (2.9) direkt eine Differentialgleichung für das elektrische Potential,
∆Φ = −
ρ
0
,
∇ · (∇Φ) = ∆Φ
(2.12)
die Poisson’sche Gleichung mit der Abkürzung
∆ =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(2.13)
für den Laplace-Operator ∆.
Laplace Gleichung Hat man eine Lösung von (2.12) gefunden, so kann man dazu eine
beliebige Lösung der homogenen Gleichung, der Laplace-Gleichung,
∆Φ = 0
(2.14)
addieren und erhält eine neue Lösung von (2.12). Diese Mehrdeutigkeit kann man durch
Vorgabe von Randbedingungen beseitigen. Für die weitere Diskussion sei auf Kapitel 3
verwiesen.
24
2.3
Anwendungen des Gauß’schen Satzes
Für symmetrische Ladungsverteilungen bietet (2.12) die Möglichkeit, das Potential Φ und
die Feldstärke E = −∇Φ mit geringem Aufwand zu berechnen. Wir betrachten 2 Beispiele.
Feld einer homogen raumgeladenen Kugel Sei
(
ρ(r) =
für
für
ρ(r)
0
r≤R
r>R
,
(2.15)
mit r = |r|. Aufgrund der Kugelsymmetrie ist E radial gerichtet, mit
Qr
,
Φ = 4πr E(r) =
0
2
Qr = 4π
Z R
r2 ρ(r) dr ,
(2.16)
0
wobei Qr die in einer konzentrischen Kugel mit Radius r enthaltene Ladung ist.
Für r ≥ R ist Qr = Q die Gesamtladung und es folgt aus (2.16):
E(r) =
Q
4π0 r2
für
r ≥ R.
(2.17)
Für r ≤ R hängt das Ergebnis von der speziellen Form von ρ(r) ab. Als Beispiel wählen
wir
ρ(r) = ρ0 = const,
(2.18)
dann wird:
Qr =
4π 3
r ρ0 ,
3
also
E(r) =
1 Qr
ρ0
=
r.
2
4π0 r
30
(2.19)
Diese Ergebnis erhält man auch wenn man das Potential (1.17) für eine Kugelschale über
die radiale Ladungsverteilung integrieren würde.
Homogen geladene, unendlich
ausgedehnte Ebene Aus Symmetriegründen steht E senkrecht zur
Ebene, der Betrag E ist gleich für
die Punkte 1 und 2, welche von der
Ebene den Abstand r haben mögen.
Der Gauß’sche Satz ergibt dann
Φ =
Z
E · dF = aE(1) + aE(2) =
F
25
Q
σa
=
,
0
0
(2.20)
wenn a die Zylindergrundfläche ist und σ die Flächenladungsdichte. Vom Zylinder-Mantel
erhält man keinen Beitrag, da E keine Komponente in Richtung der Normalen auf dem
Zylinder-Mantel hat. Das Ergebnis
σ
E =
(2.21)
20
ist unabhängig von r, wie von der Theorie des Kondensators bekannt.
2.4
Energie des elektrostatischen Feldes
Um eine Punktladung q1 aus dem Unendlichen an eine Ladung q2 auf den Abstand
r12 heranzubringen, benötigt (oder gewinnt)
man die Energie
U =
q1 q 2
.
4π0 r12
(2.22)
Will man aus N Punktladungen qi eine bestimmte (durch die Abstände der Ladungen qi charakterisierte) Ladungsanordnung aufbauen, so benötigt (oder gewinnt) man
entsprechend die Energie
1 X qi q j
;
(2.23)
U =
2 i6=j 4π0 rij
der Faktor 1/2 sorgt dafür, dass Doppelzählungen vermieden werden, die Einschränkung
i 6= j schließt Selbstenergien der Punktladungen aus.
Punktladungen vs. Feldenergie Stellt man das Bild der Punktladungen in den Mittelpunkt der Betrachtungen, so interpretiert man U als die potentielle Energie eines Systems
von geladenen Massenpunkten. Man kann auch das Bild des elektrischen Feldes in den
Mittelpunkt stellen. Dann ist die zum Aufbau des elektrischen Feldes benötigte Energie U im elektrischen Feld gespeichert in Form von Feldenergie. Da die Coulomb-Kraft
konservativ ist, geht die beim Aufbau des Feldes (also der Herstellung einer bestimmten
Ladungsanordnung) geleistete Arbeit nicht verloren.
Energie des elektrischen Feldes Um den Zusammenhang der beiden Betrachtungsweisen quantitativ zu fassen, formen wir (2.23) um (vgl. Kapitel 1):
1Z
1X
qi Φ(ri ) =
ρ(r)Φ(r)dV ,
U =
2 i
2 V
(2.24)
wobei Φ(ri ) das Potential am Ort ri der i-ten Punktladung ist, welches die anderen
Punktladungen dort erzeugen. Gleichung (2.24) können wir mit der Poisson Gleichung
∆Φ = −ρ/0 , siehe (2.12), umschreiben zu:
U = −
0 Z
Φ(r)∆Φ(r) dV .
2 V
26
(2.25)
Gleichung (2.26) beschreibt die Energie U vollständig durch das Potential Φ, d.h. durch
das elektrostatische Feld ohne Bezug auf die Ladungen, die dieses Feld erzeugt haben.
Man kann U , statt durch das Potential Φ, durch die Feldstärke E ausdrücken, wenn man
die Identität
∇ · (f ∇g) = (∇f ) · (∇g) + f ∆g
(2.26)
für f = g = Φ benutzt:
0 Z
0 Z
2
U =
(∇Φ(r)) dV −
∇ · (Φ∇Φ) dV
2 ZV
2 ZV
0
0
=
(∇Φ(r))2 dV −
Φ∇Φ · dF ,
2 V
2 F
(2.27)
wobei wir den Satz von Gauß (2.4) verwendet haben, mit F als Oberfläche von V .
Wenn sich nun alle Ladungen im Endlichen befinden, so verschwindet in (2.27) das
Oberflächenintegral mit zunehmendem Volumen V , da Φ∇Φ mit wachsendem Abstand
vom Ladungszentrum wie R−3 abfällt, während die Oberfläche nur mit R2 anwächst. Im
Limes V → ∞ bleibt also:
2
0 Z
0 Z ∇Φ(r) dV =
E 2 dV
(2.28)
U =
2 V
2 V
als die im Feld gespeicherte Energie.
0 2
E (r)
2
ist somit die Energiedichte des elektrischen Feldes.
2.5
Multipole im elektrischen Feld
Wir betrachten eine räumlich lokalisierte Ladungsverteilung ρ in einem äußeren elektrostatischen Feld, erzeugt durch das Potential Φa . Die Energie der Ladungsverteilung ist
dann, entsprechend den Überlegungen von Abschnitt 2.4),
U =
Z
V
ρ(r)Φa (r) dV .
(2.29)
Dabei sollen die Ladungen, welche das äußere Feld Φa hervorrufen sich außerhalb des
Gebietes V befinden, auf welches ρ beschränkt ist. Damit erklärt sich das Fehlen des
Faktors 1/2 in (2.29) verglichen mit (2.24).
Taylor Entwicklung Weiter sei Φa in V langsam veränderlich, so dass wir Φa bzgl. des
Ladungsschwerpunktes von ρ(r) in eine Taylor-Reihe entwickeln können:
Φa (r) = Φa (0) +
3
X
i=1
xi
3
1 X
∂ 2 Φa (0)
∂Φa (0)
+
xi xj
+ ... .
∂xi
2 i,j=1
∂xi ∂xj
(2.30)
Da im Gebiet V für das äußere Feld
∇ · Ea = 0,
Ea = −∇Φa
27
(2.31)
nach Annahme gilt, können wir (vgl. Abschnitt 1.4) Gleichung (2.30) wie folgt umformen:
Φa (r) = Φa (0) −
3
X
xi Eia (0) −
i=1
3 ∂E (0)
1 X
ia
+ ... .
3xi xj − r2 δij
6 i,j=1
∂xj
(2.32)
Die ersten beiden Terme (Monopol und Dipol) ergeben sich direckt aus dem Vergleich mit
(2.30). Den dritten Term (Quadrupol) haben wir erzeugt indem wir eine Null hinzugefügt
haben:
X
X ∂Eia
∂Eia
(−r2 )δij
= −r2
= −r2 ∇ · Ea = 0 .
∂x
∂x
j
i
i,j
i
Die Kombination von (2.29) und (2.32) ergibt zusammen mit
Q =
Z
dV ρ(r),
d =
Z
dV ρ(r) r,
V
Qij =
Z
V
dV ρ(r) 3xi xj − r2 δkl
,
siehe (1.14), (1.32) und (1.27), erhalten wir
U = QΦa (0) − d · Ea (0) −
3
∂Eia (0)
1 X
+ ... .
Qij
6 i,j=1
∂xj
(2.33)
Gleichung (2.33) zeigt, wie die Multipolmomente einer Ladungsverteilung ρ mit einem
äußeren Feld Ea in Wechselwirkung treten.
– die Gesamtladung Q mit dem Potential Φa ,
– das Dipolmoment d mit der Feldstärke Ea ,
– der Quadrupoltensor Qij mit dem Feldgradienten ∂Eia /∂xj , etc.
Anwendungsbeispiele Atomare Dipole in äußeren elektrischen Feldern, Wechselwirkung des Kern-Quadrupolments mit der Elektronenhülle.
28
Kapitel 3
Randwertprobleme der Elektrostatik
3.1
Eindeutigkeitstheorem
Im Kapitel 2.2 haben wir darauf hingewiesen, dass die Poisson- bzw. die Laplace Gleichung
ρ
∆Φ = − ,
0
∆Φ = 0 ,
für das elektrische Potential Φ(r) keine eindeutigen Lösungen besitzen. Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen wissen wir, dass wir für diese die Anfangsbedingungen spezifizieren müssen, damit die Lösungen eindeutig werden. Für partielle
Differentialgleichung sind es analog die Randbedingungen.
Randbedingungen Wir wollen im folgenden zeigen, dass die Poisson-Gleichung bzw.
die Laplace-Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, wenn eine der beiden folgenden
Randbedingungen erfüllt ist.
• Dirichlet - Bedingung
Φ ist auf einer geschlossenen Fläche F vorgegeben .
(3.1)
• von Neumann-Bedingung
∇Φ ist auf einer geschlossenen Fläche F vorgegeben .
(3.2)
Beweis für die Eindeutigkeit Wir nehmen an, dass es 2 Lösungen Φ1 bzw. Φ2 von
∆Φ = −
ρ
0
(3.3)
gibt, die beide die gleichen Randbedingungen, (3.1) oder (3.2), erfüllen. Dann gilt für die
Differenz U = Φ1 − Φ2 :
∆U = 0
(3.4)
in dem von F umschlossenen Volumen V . Weiter gilt wegen der Randbedingungen
U = 0
29
auf F
(3.5)
oder
∇U = 0
auf F .
(3.6)
Mit der Kettenregel
∇ · (U ∇U ) = (∇U )2 + U ∆U
(3.7)
und (3.4) wird


Z
(∇U )2 dV =
V
Z
V
∇ · (U ∇U )

− U ∆U
|{z} dV =
=0
Z
F
U
| ∇U
{z } ·dF = 0
(3.8)
=0
mit Hilfe der Formel von Gauß, falls eine der beiden Bedingungen (3.5) oder (3.6) gilt.
Also:
Z
(∇U )2 dV = 0 ,
(3.9)
V
d.h. es ist in V :
∇U = 0 ,
(3.10)
U = const
(3.11)
2
da (∇U ) ≥ 0. Damit wird
und Φ1 und Φ2 unterscheiden sich höchstens um eine (physikalisch unwesentliche) Konstante, dem Energie-Nullpunkt.
Sonderfall V → ∞ Wenn V der gesamte R3 ist, so ist die Lösung der Poisson-Gleichung
eindeutig, falls ρ auf einen endlichen Bereich beschränkt ist und Φ(r) asymptotisch so
schnell abfällt, dass
∂Φ(r)
r2 Φ(r)
→ 0
für r → ∞,
(3.12)
∂n
wo ∂Φ/∂n die Normalen-Ableitung von Φ bezeichnet. Der obige Beweis überträgt sich
direkt, wenn man beachtet, dass die Oberfläche bei festem Rauminhalt wie r2 wächst.
Die Bedingung (3.12) ist für eine Punktladung erfüllt, für welche Φ ∼ 1/r und E ∼
2
1/r . Nach dem Superpostionsprinzip ist daher auch (3.12) für alle Ladungsverteilungen
mit einer endlichen Gesamtladung erfüllt.
3.2
Spiegelungsmethode
Diese Methode zur Lösung des Randwertproblems besteht darin, außerhalb des zu untersuchenden Bereichs sogenannte Spiegel-Ladungen geeigneter Größe so anzubringen, dass
mit ihrer Hilfe gerade die geforderten Randbedingungen erfüllt werden. Dieses Verfahren ist deshalb erlaubt, weil man zur Lösung der (inhomogenen) Poisson-Gleichung jede
Lösung der (homogenen) Laplace-Gleichung addieren darf (vgl. Abschnitt 2.2). Durch
die Spiegelungsmethode wird diejenige Lösung der Laplace-Gleichung ausgewählt, die
zusammen mit der gewählten speziellen Lösung der Poisson-Gleichung die geforderten
Randbedingungen erfüllt.
Punktladung vor leitender Ebene Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Punktladung q im Abstand a von einer leitenden Ebene (der yz-Ebene), welche geerdet sei (d.h.
Φ = 0 auf der Ebene). Die Spiegelladung q’ denken wir uns bzgl. der Ebene spiegelsymmetrisch zu q angebracht.
30
Φ =0
r
r−a’
r−a
q’
q
a’
a
Die Positionen der Ladung und die Spiegelladung seien also
a0 = (−a, 0, 0) .
a = (a, 0, 0),
Dann beträgt das Potential im Punkt r
(4π0 ) Φ(r) =
q
q0
+ 0
|r − a|
|r − a0 |
(3.13)
und wir erhalten wie gefordert Φ = 0 für alle Punkte der leitenden Ebene, x = 0, wenn
wir
q 0 = −q
(3.14)
wählen. In dem (uns interessierenden) Bereich x > 0 ist q/(4π0 r) eine spezielle Lösung
der Poisson-Gleichung, q 0 /(4π0 r0 ) eine Lösung der Laplace-Gleichung, die gerade dafür
sorgt, dass für x = 0 die geforderte Randbedingung gilt.
Elektrisches Feld Das elektrische Feld E erhält man dann aus (3.13) und (3.14)
q
∂Φ
=
E(r) = −
∂r
4π0
r+a
r−a
−
3
|r − a|
|r + a|3
!
.
(3.15)
Für die Ebene x = 0 gilt mit a = (a, 0, 0)
|r − a|2 = |r + a|2 = a2 + y 2 + z 2 ≡ r2
und somit
2q a
.
(3.16)
4π0 r3
Das elektrische Feld steht somit senkrecht auf die leitende Ebene, da a = (a, 0, 0). Die
Komponenten des elektrischen Feldes in der x = 0 Ebene verschwinden, andernfalls würde
ein Strom in der Ebenenoberfläche fliessen bzw. das Potential auf der Fläche nicht konstant
sein.
E(x = 0) = −
Flächenladungs-Dichte Das das elektrische Feld im linken Halbraum x < 0 verschwindet bedeutet Gleichung (3.16) nach dem Gauß’schen Satz, und dem Ergebnis (2.21), dass
in der Ebene x = 0 eine ortsabhängige Flächendichte
qa
σ = 0 Ex (x = 0) = −
(3.17)
2πr3
durch die Anwesenheit der Punktladung q induziert wird. Beachte den Faktor 2 zwischen
(3.17), und (2.21), da im Falle der Spiegelladung E(x < 0) = 0 ist, und in der Anwendung
des Satzes von Gauss damit nur die Hälfte des elektrischen Flusses auftritt.
31
3.3
Trennung der Variablen
Eine Trennung der Variablen kann für viele Differentialgleichungen durchgeführ werden,
für welche die einzelnen Freiheitsgrade entkoppelt sind. Die Methode wird in der Physik
sehr häufig verwendet.
Laplace-Gleichung Wir suchen nach Lösungen der Laplace-Gleichung
∆Φ = 0
(3.18)
und nehmen dabei der Einfachheit halber an, daß Φ von z nicht abhängt,
Φ = Φ(x, y) .
(3.19)
Dann vereinfacht sich (3.18) in kartesischen Koordinaten zu:
!
∂2
∂2
Φ(x, y) = 0 .
+
∂x2
∂y 2
(3.20)
Separationsansatz In (3.20) sind die Freiheitsgrade x und y nicht gekoppelt, es gibt
keine Mischterme wie ∂ 2 /∂x∂yΦ. Daher können wir den Separationsansatz
Φ(x, y) = f (x) g(y)
(3.21)
machen. Dann geht (3.20) über in:
g(y)
∂2
∂2
f
(x)
+
f
(x)
g(y) = 0 .
∂x2
∂y 2
(3.22)
Mit Ausnahme der Nullstellen von f und g ist (3.22) äquivalent zu:
1 ∂ 2f
1 ∂ 2g
+
= 0.
f (x) ∂x2
g(y) ∂y 2
(3.23)
Der erste Term in (3.23) hängt nur von x, der zweite nur von y ab; da x und y unabhängige
Variablen sind, folgt aus (3.23):
1 ∂ 2g
1 ∂ 2f
=
const
=
−
.
f (x) ∂x2
g(y) ∂y 2
(3.24)
Wählen wir die Konstante in (3.24) z.B. positiv reell (= k 2 ), so erhalten wir folgende
Differentialgleichungen:
∂ 2f
− k 2 f (x) = 0;
∂x2
∂ 2g
+ k 2 g(y) = 0
∂y 2
(3.25)
mit den Lösungen
f (x) = ak exp(kx) + bk exp(−kx);
g(y) = ck sin(ky) + dk cos(ky) .
32
(3.26)
Die Integrationskonstanten ak , bk , ck , dk und die Separationskonstante k werden durch
Randbedingungen festgelegt.
Rechteck-Zylinder Als Beispiel betrachten wir einen in z-Richtung unendlich ausgedehnten Rechteck-Zylinder (mit den Kantenlängen x0 und y0 ) mit den Randbedingungen:
(0,b)
(a,b)
V(y)
Φ(x, b) = 0
Φ(0, y) = 0
Φ(a, y) = V (y)
Φ(x, 0) = 0
(3.27)
Hierbei ist V (y) eine beliebige, vorgegebenen
Funktion.
(0,0)
(a,0)
Wir müssen nun die Parameter der Lösungen (3.26) von Φ(x, y) = f (x)g(y) so wählen
dass die Randbedingungen (3.27) erfüllt werden.
• Aus Φ(x, 0) = 0 folgt g(y = 0) = 0 und somit dk = 0. Wir können also auch ck = 1
wählen.
• Aus Φ(x, b) = 0 folgt g(y = b) = 0 und somit sin(kb) = 0. Also
nπ
≡ kn .
k =
b
(3.28)
• Aus Φ(0, y) = 0 folgt f (y = 0) = 0 und somit bk = −ak . Also
f (x) = ak { exp(kn x) − exp(−kn x) } = 2ak sinh(kn x) .
(3.29)
Fourier Transformation Der Wellenvektor kn in (3.29) ist beliebig. Um die Bedingung
Φ(b, y) = V (y) auch noch zu erfüllen, entwickeln wir nach Fourier,
Φ(x, y) =
∞
X
n=1
An sinh(kn x) sin(kn y)
|
{z
f (x)
}|
{z
g(y)
An = 2ak
kn = nπ/b ,
(3.30)
}
und bestimmen die Koeffizienten An aus der Forderung
Φ(a, y) = V (y) =
∞
X
An sinh(kn a) sin(kn y) .
(3.31)
n=1
Nach dem Umkehrtheorem für Sinus-Fourier-Reihen erhält man:
Z b
2
An =
V (y) sin(kn y) dy .
b sinh(kn a) 0
(3.32)
Allgemeine Randbedingungen Nich für alle Geometrien kann mann die Lösungen
so einfach lösen wie beim Rechteck, i.A. muss man auf numerische Methoden zurückgreifen. Hat man Randbedingungen von sphärischer Symmetrie, so wird man die LaplaceGleichung lösen durch einen Separationsansatz in Kugelkoordinaten; entsprechend verfährt man bei axialer Symmetrie.
33
3.4
Übersicht Elektrostatik
1.) Coulomb-Gesetz (die Basis)
K = qE
E(r) =
mit
X
i
qi (r − ri )
4π0 |r − ri |3
2.) Feldgleichungen:
a) integral:
I
I
E · ds = 0;
S
E · dF =
F
b) differentiell:
∇ × E = 0;
∇·E =
Q
0
ρ
0
3.) Elektrostatisches Potential:
E = −∇Φ
→
∆Φ = −
ρ
:
0
Poisson-Gleichung
4.) Feldenergie:
1 X qi qj
2 i6=j 4π0 rij
→
1Z
ρΦ dV
2 V
→
0 Z
E 2 dV
2 V
Potentielle Energie der Punktladungen → elektrostatische Feldenergie
34
Teil II
Magnetostatik
35
Kapitel 4
Ampère’sches Gesetz
4.1
Elektrischer Strom und Ladungserhaltung
Elektrische Ströme werden durch bewegte Ladungsträger hervorgerufen. Ladungsträger
können dabei z.B. sein: Ionen in einem Teilchenbeschleuniger, einem Elektrolyten oder
einem Gas, Elektronen in einem Metall etc. Ursache für die Bewegung der Ladungen sind
in erster Linie elektrische Felder, es kann sich aber auch um materiellen Transport von
Ladungsträgern handeln.
Stromstärke Als elektrische Stromstärke I definieren wir diejenige Ladungsmenge, die
pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt fließt,
Ladung
.
I =
Zeit
Als einfachsten Fall betrachten wir zunächst identische Ladungsträger.
• q Ladung
• v Geschwindigkeit
a
• a Vektor senkrecht zum Querschnitt des leitenden Mediums, mit der Querschnittsfläche a = |a|
• n Dichte der Ladungsträger.
∆tv
• ∆t Zeitintervall
• ∆V = (a · v)∆t überstrichens Volumen
a
• n∆V Anzahl Ladungsträger im Volumen ∆V
Damit folgt für die Stromstärke
n∆V
nq(a · v)∆t
I(a) =
=
= nq(a · v).
(4.1)
∆t
∆t
Haben wir allgemein pro Volumeneinheit ni Ladungsträger qi mit der Geschwindigkeit vi ,
so wird
!
I(a) = a ·
X
i
36
ni q i v i
.
(4.2)
Stromdichte Die Gleichungen (4.1) und (4.2) legen es nahe, die Stromdichte j einzuführen, als
X
j =
ni qi vi ,
(4.3)
i
welche sich für qi = q mit der mittleren Geschwindigkeit
hvi =
1X
ni vi ,
n i
n = hni i
(4.4)
verknüpfen lässt:
j = nqhvi = ρ < v >
(4.5)
.
Im allgemeinen Fall ist Ladungsträgerdichte ρ = ρ(r, t) und das Geschwindigkeitsfeld hvi
orts- und zeitabhängig, also
j = j(r, t).
(4.6)
v
q
q
v
j
v
q
q
v
V
Kontinuitätsgleichung Ladung ist erhalten und kann nicht verloren gehen. Die differentielle Formulierung dieses Erhaltungssatzes ist die eminent wichtige Kontinuitätsgleichung.
• In einem kleinen Volumen V verändert sich die Ladung Q(t) wie
Z
∂ρ(r, t)
dQ(t)
=
dV,
dt
∂t
V
Q(t) =
Z
ρ(r, t) dV .
(4.7)
V
• Ladungströme j(r, t) durch die Oberfläche Volumens V verändern die Gesamtladung
innerhalb von V gemäß dem Satze von Gauß,
Z
j · dF =
F
Z
∇ · j dV .
(4.8)
V
• Damit lautet die Ladungsbilanz
−
Z
V
Z
∂ρ
dV =
∇ · j dV .
∂t
V
37
(4.9)
Da wir das Volumen V beliebig wählen können, erhalten wir somit aus (4.8) und (4.9) die
Kontinuitätsgleichung
∇·j+
∂ρ
= 0
∂t
(4.10)
.
Während (4.9) die Ladungserhaltung in integraler Form beschreibt, bedeutet (4.10) die
Ladungserhaltung in differentieller Form.
Spezialfälle der Kontinuitätsgleichung Stationäre Ladungen und Ströme zeichnen
die Elektrostatik bzw. die Magnetostatik aus.
• Elektrostatik: Stationäre Ladungen mit
j = 0
→
∂ρ
= 0
∂t
→
ρ = ρ(r) .
(4.11)
• Magnetostatik: Stationäre Ströme mit
j = j(r)
und
∂ρ
= 0
∂t
→
∇·j = 0 ,
(4.12)
denn für einen stationären Strom ist ∇ · j zeitlich konstant, und diese Konstante
muss überall Null sein, da Ladung auch lokal nicht erzeugt oder vernichtet wird.
4.2
Ampère’sches Gesetz
Naturgesetze Die Grundlagen der Elektrodynamik, welche wir uns Schritt für Schritt
erarbeiten, sind die Maxwell-Gleichungen. Wie alle fundamentalen Naturgesetze kann
man diese nicht herleiten sondern nur motivieren und experimentell üperprüfen.
Wir werden nun Grundgleichungen der Magnetostatik als experimentell gegebene Beziehungen aufschreiben und diese dann nach und nach physikalisch untersuchen.
Lorentz-Kraft und magnetische Induktion Um Felder definieren zu können, muss
man diese auch messen können. Für das elektromagnetische Feld haben wir hierzu die
experimentell gut bestätigte Lorentz-Kraft,
K = q E + q [v × B]
.
(4.13)
Den ersten Teil kennen wir aus der Elektrostatik. Der zweite Teil in (4.13) beschreibt
die Kraft, welche auf eine Probeladung q wirkt, wenn diese mit einer Geschwindigkeit v
durch ein Magnetfeld B fliegt. Dabei nennen wir B präzise die magnetische Induktion,
umgangsprachlich einfach das Magnetfeld.
Ampère’sches Gesetz Magnetfelder werden durch bewegte Ladungen erzeugt, also
durch Ströme j. Wir betrachten hier stationäre Ströme, also j = j(r).
38
Experimentell finden wir das Ampère’sche Gesetz, mit
B(r) = Γm
Z
V
j(r0 ) × (r − r0 )
dV 0
|r − r0 |3
(4.14)
,
analog zur Grundgleichung (1.15) der Elektrostatik,
E(r) = Γe
Z
V
ρ(r0 )(r − r0 )
dV 0 .
|r − r0 |3
(4.15)
Die Lorentz-Kraft (4.13) stellt dabei die Messvorschrift für das elektrostatische Feld E
wie auch für die magnetische Induktion B dar.
Superpositionsprinzip Gleichung (4.14) enthält - wie (4.15) - das Superpositionsprinzip: Die Felder zweier Stromverteilungen j1 und j2 überlagern sich linear, da j = j1 + j2
die resultierende Stromverteilung ist.
Maßsysteme Mit Γe wird auch die Einheitsladung festgelegt, siehe Abschnitt 1.1. Dann
sind auch alle in (4.13) und (4.14) auftretenden Größen bzgl. ihrer Einheiten fixiert. Γm
kann also nicht mehr frei gewählt werden. Wir erhahlten:
• cgs-System:
Γe = 1,
Γm =
1
c2
(4.16)
mit der Lichtgeschwindigkeit c.
• MKSA-System:
Γe =
1
,
4π0
Γm =
µ0
4π
mit
C2
,
N m2
µ0 ist die magnetische Permeabilität.
0 = 8.854 · 10−12
µ0 = 4π · 10−7
(4.17)
m kg
.
C2
(4.18)
Dimensionsanalyse Unabhängig vom Maßsystem ist das Verhältnis Γm /Γe eine Konstante, da das Verhältnis der beiden Terme in der Lorentz-Kraft (4.13),
1E
q |E|
=
,
q |v × B|
v B
[E] = [v] [B]
(4.19)
dimensionslos ist. Hier bezeichnen die eckigen Klammern [.] die Einheiten für diejeweilge
physikalische Größe. Mit den Dimensionen für die Ladungsdichte ρ und der Stromdiche
j = |j|,
C
C m
C
[ρ] =
,
[j] = [ρ] · [v] =
=
3
3
m
m s
m2 s
finden wir für die Dimensionsanalyse der Felder (4.15) und (4.14)
[E] = [Γe ] · [ρ] · [r] = [Γe ] ·
C
,
m2
[B] = [Γm ] · [j] · [r] = [Γm ] ·
39
C
,
ms
und somit
[E]
[Γe ] s
[Γe ] 1
=
·
=
·
[B]
[Γm ] m
[Γm ] [v]
für das Verhältnis der Felder. Zusammen mit 4.19 haben wir
[Γe ] 1
[Γe ]
[E]
=
· ,
= [v 2 ] .
[v] =
[B]
[Γm ] [v]
[Γm ]
(4.20)
Relativistische Invarianz Mit den Festlegungen (4.16) und (4.17) für das cgs- und das
MKSA-System erhalten wir die Beziehung
Γe
1
= c2 =
,
Γm
0 µ0
0 µ0 =
1
c2
,
(4.21)
in Einklang mit unserer Dimensionsanalyse (4.20).
Die fundamentale Beziehung (4.21) weist bereits auf einen Zusammenhang mit der
speziellen Relativitätstheorie hin. In der Tat hatte Lorentz zuerst festgestellt, dass die
sog. Lorentz-Transformationen die Maxwell-Gleichung invariant lassen, später hat dann
Einstein dieselben Transformationen aus dem Relativitätsprinzip hergeleitet. Das ist nicht
verwunderlich, denn das Relativitätsprinzip beruht auf der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und die Ausbreitung des Lichtes wird durch die Maxwell Gleichungen beschrieben.
4.3
Formel von Biot-Savart
Im Folgenden soll das Vektorfeld B(r) für verschiedene einfache Stromverteilungen berechnet werden.
Magnetfeld dünner Leiter Für einen dünnen Leiter können wir über den Leitungsquerschnitt f integrieren und erhalten aus (4.14)
µ0 I Z dl0 × (r − r0 )
B(r) =
4π L |r − r0 |3
mit
I =
Z
f
als die Stromstärke.
40
j · dF0
(4.22)
(4.23)
Ist der Leiter weiterhin gerade, so folgt aus (4.22) oder auch (4.14), dass die Feldlinien
von B konzentrisch um den Leiter verlaufen. Wir brauchen also nur noch den Betrag B
zu berechnen, da alle Beiträge zum Integral (4.22) für einen geraden Leiter die gleiche
Richtung haben:
µ0 I Z sinθ
dz .
(4.24)
B =
4π L d2
Die verbleibende Integration führen wir für einen unendlich langen Leiter aus. Mit
R
,
d
sin θ =
tan θ =
R
z
z = R
cos θ
sin θ
folgt für das Differential
"
#
cos2 θ
dz = R − 2 − 1
sin θ
=
−R
−d2
dθ
=
dθ
sin2 θ
R
folgt mit sin θdθ = d(cos θ) für die Feldstärke im Punkt P :
µ0 I Z 1
µ0 I
d(cosθ) =
B =
4πR −1
2πR
.
(4.25)
Dieses ist die Formel von Biot und Savart für das Magnetfeld um einen dünnen,
geraden, unendlich langen Leiter.
4.4
Kraft und Drehmoment auf einen Strom im Magnetfeld
Kraft auf Ströme Die Lorentzkraft
h
i
Ki = qi vi × B(ri )
(4.26)
beschreibt die Kraft, welche eine bewegte Ladung qi erfährt, die sich mit der Geschwindigkeit vi im Magnetfeld B bewegt.
Da Ströme nichts anderes als bewegte Ladungen sind, erhält man somit für die Kraft
auf einen Strom mit der Stromdichte j
K =
X
qi ni [vi × B(ri )] =
i
Z
j(r) × B(r) dV .
(4.27)
V
Das Volumen V ist so zu wählen, daß es den Strom vollständig erfasst.
Kraft auf einen dünnen Draht Wir betrachten einen dünnen Draht, über dessen
Querschnitt sich das B-Feld nicht (wesentlich) ändert. Somit können wir (wie in Kap. 4.3)
2 der 3 Integrationen in (4.27) ausführen,
K = I
Z
L
41
dl × B .
(4.28)
Das verbleibende Kurvenintegral längs des Leiters L lässt sich für einen geraden Leiter
ausführen, wenn B sich längs L nicht ändert:
F
I
(4.29)
K = (I × B) L
_
wobei L die Länge des Leiters angibt. Die
Kraft ist also senkrecht zur Stromrichtung
und zum B-Feld; sie ist maximal, wenn I
senkrecht zu B verläuft und verschwindet,
wenn I paralell zu B ist.
B
+
Drehmoment Auf eine einzelne Ladung qi mit Geschwindigkeit vi im Feld B wirkt das
Drehmoment
Ni = ri × Ki = ri × [qi vi × B(ri )] ,
(4.30)
und entsprechend auf einen Strom der Stromdichte j
N =
X
ri × [ni qi vi × B(ri )] =
Z
r × (j × B) dV .
(4.31)
V
i
Wir werden diesen allg. Ausdruck nun in eine handlichere Form bringen.
Homogenes Magnetfeld Für die praktische Auswertung ist es zweckmäßig (4.31) mit
der Identität (’bac-cab Regel’)
a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c = b(a · c) − c(a · b)
(4.32)
umzuformen,
N =
Z h
i
(r · B)j − (r · j)B dV .
(4.33)
V
Diese Darstellung ist besonders nützlich im Falle eines räumlich homogenen Magnetfeldes,
welches sich dann aus dem Integral herausnehmen läßt.
Räumlich begrenzte stationäre Ströme Für einen stationären, räumlich begrenzten Strom verschwindet der 2. Term in (4.33). Zunächst formulieren wir eine allgemeine
Beziehung, für n, m = 1, 2, 3,
∇ · (xn xm j) = xm jn + xn jm + xn xm ∇ · j = xm jn + xn jm ,
(4.34)
wobei wir verwendet haben dass die Divergenz der Stromdichte ∇ · j für stationäre Ströme
verschwindet. Wir integrieren nun (4.34) über ein Volumen V ,
0 =
Z
F
Z
xn xm j · dF =
V
∇ · (xn xm j) dV =
Z
V
xn jm dV +
Z
V
xm jn dV ,
wobei wir den Satz von Gauß verwendent haben und die Voraussetzung, dass die Ströme
räumlich begrenzt sind, das Oberflächenintegral also für ein genügend großes Volumen V
verschwindet. Damit haben wir
Z
V
xn jm dV = −
42
Z
V
xm jn dV
(4.35)
gefunden. Summieren wir nun diese Ergebnisse über n = m so erhalten wir
Z
(r · j) dV = −
V
Z
(r · j) dV = 0 ,
(4.36)
V
so dass für ein homogenes Feld in (4.33) der 2. Term verschwindet.
Magnetisches Dipolmoment Wir multiplizieren (4.35) mit Bn , summieren über n,
und erhalten
Z
Z
(r · B) j dV = − (j · B) r dV ,
(4.37)
V
V
und mit der bac-cab Regel (4.32)
Z
i
1
1Z h
(B · r) j − (B · j) r dV = − B × (r × j) dV .
(B · r) j dV =
2 V
2
V
V
Das Drehmoment N auf die Stromverteilung hat also die Form
Z
(4.38)
,
N = m×B
mit dem magnetischen Dipolmoment
1Z
r × j dV
m =
2 V
.
(4.39)
Für einen ebenen Strom (z.B. Kreisstrom) steht m senkrecht zur Stromebene.
000000
111111
dr
000000
r111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
I
Magnetisches Dipolmoment für eine dünne Schlaufe Ist der stromführende Leiter dünn, so erhalten wir für das magnetische Dipolmoment nach Integration über den
Leiterquerschnitt
II
m =
r × dl .
(4.40)
2 L
Da nun |r × dl| gleich 2-mal der Flächeninhalt des von r und dl aufgespannten Dreieckes
ist, entspricht das Integral in (4.40) dem doppelten Flächeninhalt F , welcher von der
Leiterschlaufe aufgespannt wird,
m = IF
43
,
(4.41)
wobei I die Stromstärke ist.
Anwendungen, Kräfte zwischen Strömen Die hier hergeleiteten Gleichungen sind
die Basis aller Elektromotoren, welche i.W. aus rotierenden Leiterschlaufen in äußeren
Magnetfeldern bestehen. Dabei kann das äußere Magnetfeld von Permanentmagneten
erzeugt werden, oder durch Spulen.
Allgemein üben zwei Strom-führende Leiter aufeinander gegenseitig Kräfte aus. Dazu
muss man nur in den Ausdruck (4.27) für die Kraft K auf eine Stromverteilung j in einem
Magnetfeld B die Formel (4.22) für das Magnetfeld einsezten, welches von einem anderen
Leiter erzeugt wird.
44
Kapitel 5
Grundgleichungen der Magnetostatik
5.1
Divergenz der magnetischen Induktion
Vektor Potential Das Amperè’sche Gesetz (4.14))
B(r) =
µ0 Z j(r0 ) × (r − r0 )
dV 0
4π V
|r − r0 |3
(5.1)
kann mit
h
∇r × j(r0 )
i
h
i
1
1
r − r0
0
0
=
−
j(r
)
×
∇
=
j(r
)
×
r
|r − r0 |
|r − r0 |
|r − r0 |3
wie folgt umgeschrieben werden:
1
µ0
µ0 Z
∇r × j(r0 )
=
∇r ×
B(r) =
0
4π V
|r − r |
4π
Z
V
j(r0 )
dV 0
|r − r0 |
!
.
(5.2)
Also können wir das Magnetfeld B in der Form
(5.3)
B = ∇×A
schreiben, mit dem Vektor-Potential A(r),
µ0 Z j(r0 )
A(r) =
dV 0
0
4π V |r − r |
.
(5.4)
Divergenz der magnetischen Induktion Mit (5.3) erhalten wir
∇ · B = ∇ · (∇ × A) = 0
45
,
(5.5)
denn die Divergenz einer Rotation verschwindet immer. Mit dem antisymmetrischen Tensor ijk , ∂i = ∂/∂xi und der Summenkonvention gilt
∇×A
i
= ijk ∂j Ak ,
ijk =



0
1


−1
ijk nicht alle verschieden
ijk gerade Permuation von 123
ijk ungerade Permuation von 123
und somit
∇ · B = ∂i Bi = ijk ∂i ∂j Ak = 0 ,
da ijk + jik = 0.
Gauss’schen Gesetz des Magnetismus Gleichung (5.5) entspricht formal
∇·E =
ρ
,
0
(5.6)
und zeigt, dass es keine magnetischen Ladungen gibt. Bilden wir nämlich die zu (5.5)
korrespondierende integrale Aussage
Z
Z
∇ · B dV =
V
B · dF = 0 ,
(5.7)
F
so sehen wir, dass der Fluss der magnetischen Induktion durch eine geschlossene Fläche
F verschwindet. Der Vergleich mit
Z
E · dF =
F
Q
,
0
(5.8)
erklärt die obige Aussage.
5.2
Rotation von B
Kurvenintegrale Mit
I =
Z B
F
ds
F(r) · ds
A
A
definiert man ein Kurvenintegral, entlang eines Pfades von A nach B, über ein Vektorfeld
F(r). Dabei ist ds ein gerichtetes Linienelement entlang des Pfades.
B
Kurvenintegrale werden ausgewertet indem die Kurve parametrisiert,
r = r(t),
r(0) = rA ,
r(1) = rB ,
t ∈ [0, 1] .
Damit wird aus dem Kurvenintegral ein gewöhnliches Integral,
Z B
A
F(r) · ds =
Z 1
F(r) · ṙ dt,
0
46
ds = ṙ dt
da ṙ parallel zur lokalen Tangenten ist.
Beispiel Das elektrische Feld E ist in der Elektrostatik als negativer Gradient des Potentials Φ definiert,
Z B
E(r) · ds = −
A
Z 1
0
∇Φ(r) · ṙ dt = −[ Φ(xB ) − Φ(xA ) ],
E = −∇Φ .
H
Mit
S bezeichnet man Integrale über eine geschlossene Kurven, mit xA = xB . Daher gilt
H
S E · ds = 0, wie für alle Gradienten-Felder. Dieses Ergebnis wurde schon im Abschnitt
3.4 aufgeführt.
Die gesamte komplexe Analysis beruht auf Linienintegralen, wie z.B. der Residuensatz
H
S dz/(z − z0 ) = 2πi, für jede geschlossene Kurve S um den Pol z0 heraum.
Satz von Stokes Zwei Integralsätze sind von zentraler Bedeutung in der Elektrodynamik. Den Satz von Gauss für Oberflächenintegrale, welchen wir im Abschnitt 2.1 kennengelernt haben.
z
n
Für Kuvenintegrale kommt der Satz von Stokes zu tragen,
I
B · ds =
S
Z
F
(∇ × B) · dF
(5.9)
S
F
welcher besagt,
dass das geschlossene LinienH
integral S einesR Vektorfeldes B gleich dem
Flächenintegral F seiner Rotation ist.
0
x
y
Beweis Jedes beliebige Kurvenintegral kann in eine Summe kleiner Schleifen aufgeteilt
werden, da sich die Randbeiträge gegenseitig wegheben. Daher genügt es ein kleines quadratisches Kurvenintegral in zwei Dimensionen zu betrachten.
(x,y+∆y)
(x+∆x,y+ ∆y)
(x,y)
(x+∆x,y)
Wir nähern die vier Teil-Integrale durch die jeweiligen Mittelwert,
I
B · ds ≈ ∆xBx (x + ∆x/2, y) + ∆yBy (x + ∆x, y + ∆y/2)
− ∆xBx (x + ∆x/2, y + ∆y) − ∆yBy (x, y + ∆y/2)
47
By (x + ∆x, y + ∆y/2) − By (x, y + ∆y/2)
∆x
Bx (x + ∆x/2, y + ∆y) − Bx (x + ∆x/2, y)
− ∆x∆y
∆y
= ∆x∆y
"
∂Bx
∂By
−
≈ ∆x∆y
∂x
∂y
#
≈
∆x∆y ∇ × B
≈
z
Z
∇ × B · dF ,
F
wobei die Richtung der 4 Teil-Kurvenintegrale in die jeweiligen Vorzeichen eingegangen
sind.
Langer, dünner Leiter Wir betrachten nun das Linienintegral entlang der magnetischen Feldlinien eines unendlich langen, dünnen, geraden Leiters. Dafür hatten wir in
Abschnitt 4.3
Iµ0
B(r) =
eφ
(5.10)
2πr
für die magnetische Induktion B(r) gefunden, wobei r der Abstand vom Leiter ist, I die
Stromstärke und eφ die Richtung angibt; die Feldlinien laufen konzentrisch um den Leiter.
Als Weg S betrachten wir zunächst eine geschlossene Kurve in der Ebene senkrecht zum Leiter, welche
den Leiter umfasst. Dann wird mit |ds| = rdφ das
Linienintegral
Iµ0 I
Iµ0 I eφ · ds
=
B · ds =
dφ = Iµ0 .
2π S r
2π
S
(5.11)
I
Wenn S den Strom nicht umfasst, so gilt:
I
B · ds = 0 ,
(5.12)
S
Der Beweis dieser Beziehung erfolgt analog zum Beweis des Satzes von Stokes indem man
ein beliebiges Wegintegral in kleine Teil-Integrale aufteilt und sich überlegt dass sich die
Wegstücke mit entgegengesetzter Richtung gegenseitig kompensieren.
Allgemeine Stromverteilung Die obigen Ergebnisse lassen sich verallgemeinern, indem
man Ströme vom oben diskutierten Typ superponiert und geschlossene Raumkurven S aus
ebenen Wegstücken zusammensetzt. Ohne auf Beweis-Details einzugehen - was Aufgabe
der Mathematik ist - halten wir als generelles Ergebnis
I
S
B · ds = µ0 I
(5.13)
fest, wobei I die Stromstärke des von S umschlossenen Stromes ist.
Rotation von B Der Satz von Stokes (5.9) gestattet das obige Linienintegral (5.13) in
ein Oberflächenintegral umzuformen,
Z
F
(∇ × B) · dF =
I
S
B · ds = µ0 I = µ0
48
Z
F
j · dF ,
(5.14)
wobei F eine beliebige, in dem geschlossenen Weg S eingespannte, Fläche ist. Da nun F
beliebig gewählt werden kann, erhalten wir
∇ × B = µ0 j
.
(5.15)
Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld E mit ∇ × E = 0 ist also das B-Feld nicht
wirbelfrei. Die Beziehung (5.15) besagt, dass die Stöme die Quellen des magnetischen
Feldes sind.
5.3
Vektor-Potential und Eichung
Man kann die magnetische Induktion B bei gegebener Stromverteilung j direkt mittels
(5.1) berechnen. Dieses ist jedoch i.Allg. aufwendig. Analog zur Poisson-Gleichung (2.12)
für das elektrische Potential Φ wollen wir nun eine Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential A herleiten, welche erlaubt dieses direkt aus einer gegebenen Verteilung von
Strömen zu berechnen.
Eichtransformationen Das Vektorpotential A ist über (5.3), ∇ × A = B, nicht eindeutig definiert. Das Feld B ändert sich nicht, wenn man die Eichtransformation
A
⇒
A0 = A + ∇χ
(5.16)
durchführt, wobei χ = χ(r) eine beliebige (mindestens 2-mal partiell differenzierbare)
skalare Funktion ist. Denn
B0 = ∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × (∇χ) = ∇ × A = B .
(5.17)
Die Lorentz-Kraft (4.13) kommt nur durch die magnetische Induktion B zustanden, welches damit das physikalisch wirksame Feld ist. Die Freiheit Eichtransformationen durchzuführen ist jedoch für viele theoretische Überlegungen von eminenter Bedeutung und
auch von praktischer Relevanz, wie wir nun sehen werden.
Coulomb-Eichung Mit ∇ × B = µ0 j und ∇ × A = B erhalten wir mit
µ0 j = ∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∆A
(5.18)
die Ausgangsgleichung unserer weiteren Überlegungen. Denn
ijk ∂j klm ∂l Am = ijk klm ∂j ∂l Am =
ijk lmk ∂j ∂l Am = ∂i (∂m Am ) − (∂l ∂l )Ai .
| {z }
δil δjm −δim δjl
Ist nun
∇ · A 6= 0 ,
49
(5.19)
so wählen wir das Eichpotential χ in (5.16) so, dass
∇ · A0 = ∇ · A + ∇ · (∇χ) ≡ 0
(5.20)
wird. Diese Wahl von χ nennt man die Coulomb-Eichung. Das gesuchte χ finden wir
also durch Lösen von (5.20), also von
∆χ = −∇ · A .
(5.21)
Dieses ist eine Laplace-Gleichung (2.14) für χ, wobei −∇ · A als eine gegebene Inhomogenität anzusehen ist.
Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential in Coulomb-Eichung Es lässt
sich also stets erreichen (ohne die Physik, d.h. das B-Feld in irgendeiner Weise einzuschränken), dass der erste Term auf der rechten Seite von (5.18) wegfällt. Damit gilt
(5.22)
∆A = −µ0 j
Coulomb-Eichung
∇·A=0
in Coulomb-Eichung. Die vektorielle Gleichung (5.22) zerfällt in ihre 3 Komponenten,
welche mathematisch gesehen wieder vom bekannten Typ der Poisson-Gleichung (2.14)
sind.
5.4
Multipolentwicklung
Analog zu der in Abschnitt 1.4 besprochenen Multipolentwicklung für das elektrische
Potential Φ interessieren wir uns nun für das B-Feld in großer Entfernung einer räumlich
lokalisierten Stromverteilung j.
Entwicklung des Vektor-Potentials Dann empfiehlt es sich, das Vektor-Potential A
(analog zur Entwicklung von Φ in der Elektrostatik) in eine Taylorreihe zu entwickeln.
Unter Vewendung von (5.4) und (1.21), 1/|r − ri | = 1/r + r · ri /r3 + . . . , erhalten wir
!
1
r · r0
µ0 Z
0
0
dV j(r )
+ 3 + . . . = A0 (r) + A1 (r) + . . .
A(r) =
4π V
r
r
(5.23)
mit den entsprechenden Multipolen An (r).
Magnetischer Monopol Der Term ∝ 1/r in der Taylor-Entwicklung (5.23),
µ0 Z
A0 (r) =
j(r0 ) dV 0 ≡ 0 ,
4πr V
(5.24)
verschwindet, da es keine magnetischen Monopole gibt. Um das zu sehen betrachten wir
die lte Komponente von (5.24), l = 1, 2, 3, und erhalten
Z
V
jl (r0 )dV 0 =
Z
V
∇0 · (x0i j(r0 )) dV 0 =
50
I
F
x0i j(r0 ) · dF0 = 0 ,
mit ∇ · j = 0, da die Ströme räumlich begrenzt sein sollen, da j 6= 0 nur innerhalb von V
ist, und auf der Oberfläche von V verschwindet.
Magnetischer Dipol Der Term ∝ 1/r2 in der Taylor-Entwicklung (5.23) ist
µ0 Z
A1 (r) =
(r · r0 ) j(r0 ) dV 0 .
4πr3 V
(5.25)
Das Integral in (5.25) formen wir gemäß (4.37) um (mit B ↔ r),
Z
0
0
(r · r ) j(r ) dV
1Z
=
2 ZV
1
=
2 V
0
V
n
o
(r · r0 ) j(r0 ) − (r · j(r0 )) r0 dV 0
n
o
r × (j(r0 ) × r0 ) dV 0
1Z 0
= −r ×
r × j(r0 ) dV 0 = −r × m ,
2 V
mit dem magnetischen Dipolmoment m = 12 V (r × j) dV , siehe (4.39). Damit erhalten
wir für den magnetische Dipolanteil A1 des Vektorpotentials
R
µ0 r
A1 (r) = m ×
4π r3
(5.26)
.
Man vergleiche das Ergebnis mit dem ensprechenden Ausdruck (1.24), Φ1 (r) = d·r/(4π0 r3 ),
für den Dipolanteil des elektrischen Potentials.
Feldlinien des magnetischen Dipols Differenziem
ren wir (5.26) so erhalten wir
3r(m · r) m
− 3
r5
r
µ0
Br (r) = ∇ × A1 (r) =
4π
!
N
.
S
B
Zur Herleitung betrachtet man die i-te Komponente,
ijk ∂j kls
ri
ml rs
rs
= mi ∂s 3 −(ml ∂l ) 3 .
3
r
r
| {z r }
=0
Magnetisches Moment vs. Bahndrehimpuls Es gibt einen wichtigen Zusammenhang zwischen dem magnetischem Moment m, welches von bewegten Ladungen erzeugt
wird, und deren Bahndrehimpulus L. Wir betrachten Punktladungen der Masse mi und
Geschwindigkeiten vi ,
1Z
1 X
m =
(r × j) dV =
qi (ri × vi ) ,
2 V
2 i
j(r) =
X
qi vi δ(r − ri ) .
i
Seien nun alle Teilchen identisch, mit Massen mi = m und Ladungen qi = q, dann folgt
m =
q
L,
2m
L=
X
i
51
mi (ri × vi ) .
(5.27)
Mit dem Bahndrehimpuls L eines Systems geladener (identischer) Teilchen ist also ein
magnetisches Moment in Richtung von L verknüpft. Diese Aussage gilt auch im atomaren
Bereich, z.B. für die Elektronen eines Atoms.
Magnetisches Moment und der Spin der Elektronen Umgekehrt lässt sich jedoch
nicht jedes magnetische Moment auf einen Bahndrehimpuls gemäß (5.27) zurückführen.
Elementarteilchen (wie z.B. Elektronen) besitzen ein inneres magnetisches Dipolmoment,
welches nicht mit dem Bahndrehimpuls, sondern mit dem Spin s dieser Teilchen durch
ms = g
q
s,
2M
(5.28)
verknüpft ist, wobei g das gyromagnetische Verhältnis ist. Es ist g ≈ 2.0024 für
Elektronen.
Energie eines Dipols in einem Magnetfeld Für die Kraft K auf einen magnetischen
Dipol m in einem räumlich schwach veränderlichen Feld B findet man
K = ∇ (m · B) .
(5.29)
Zum Beweis greife man zurück auf (4.27) und verfahre entsprechend der Berechnung von
N in Abschnitt 4.4. Aus (5.29) ergibt sich für die potentielle Energie des Dipols im B-Feld
U = −(m · B),
(5.30)
analog zu −(d · E) als Energie eines elektrischen Dipols im elektrostatischen Feld (2.33).
Der Dipol wird sich also bevorzugt in Feldrichtung einstellen, da dies der niedrigst möglichen Energie entspricht.
5.5
Übersicht über die Magnetostatik
1.) Ampère’sches Gesetz (Basis)
K = q(v × B)
B =
mit
µ0 Z j(r0 ) × (r − r0 )
dV 0
4π V
|r − r0 |3
für stationäre Ströme, wobei ∇ · j = −∂ρ/∂t = 0.
2.) Feldgleichungen: Aus
B = ∇×A
mit
µ0 Z j(r0 )
dV 0
A =
0
4π V |r − r |
folgt
a) differentiell:
∇ · B = 0;
∇ × B = µ0 j
b) integral
Z
B · dF = 0;
F
I
S
52
B · ds = µ0 I
3.) Vektor-Potential:
∇ × (∇ × A) = µ0 j
für ∇ · A = 0 (Coulomb-Eichung).
53
→
∆A = −µ0 j
Teil III
Grundlagen der Elektrodynamik
54
Kapitel 6
Die Maxwell’schen Gleichungen
Konzept des elektromagnetischen Feldes Im Folgenden sollen die Grundgleichungen
für das elektrische Feld E(r, t) und für das magnetische Feld B(r, t) für den Fall beliebiger
Ladungs- und Stromverteilungen
j = j(r, t)
ρ = ρ(r, t),
(6.1)
aufgestellt werden. Als Definition der Felder benutzen wir die Lorentz-Kraft (4.13),
K = q [ E + (v × B) ] .
(6.2)
Da ρ und j nun durch die Kontinuitätsgleichung (4.10)
∂ρ
+∇·j = 0
(6.3)
∂t
verknüpft sind, ist klar, daß elektrisches und magnetisches Feld nicht mehr separat behandelt werden können: Die Maxwell’schen Gleichungen, welche wir nun Schritt für Schritt
motivieren wollen, sind ein System gekoppelter Differentialgleichungen für die Felder E
und B.
6.1
Faraday’sches Induktionsgesetz
Induzierte elektrische Felder und Spannungen Wir gehen Rvon folgender experimenteller Erfahrung aus: Wenn sich der magnetische Fluss Φ(t) = F B · dF durch einen
geschlossenen Leiterkreis S ändert, wird längs des Leiterkreises ein elektrisches Feld E0 (t)
induziert.
.
Φ (t)
E ’(t)
0000000000000000000
1111111111111111111
1111111111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
B
F2
F1
55
S
Wenn wir das induzierte Feld längsH der Leiterschlaufe integrieren, erhalten wir eine induzierte Spannung der Größe U 0 = S E0 · ds, welche experimentell mit der Änderung des
Flusses Φ̇(t) via
I
d Z
−k
B · dF =
E0 · ds
(6.4)
dt F
S
verbunden ist. Hierbei ist F eine beliebige in den Leiterkreis S eingespannte Fläche. Die
induzierte Spannung ist also nach dem Faraday’schen Induktionsgesetz (6.4) proportional
zur zeitlichen Änderung des eingeschlossenen magnetischen Flusses.
Lenz’sche Regel Das Vorzeichen in (6.4) spiegelt die Lenz’sche Regel wider. Das Elektrische Feld E0 in der Leiterschlaufe erzeugt einen Strom, welcher wiederum nach dem
Ampère’schen Gesetz (4.14) ein Magnetfeld erzeugt, welches der Änderung des magnetischen Flusses durch die Schlaufe entgegenwirkt.
Bewegte Koordinatensysteme Der magnetische Fluss Φ(t) kann sich im Faraday’sche
Induktionsgesetz (6.4) auf zweierlei Arten ändern:
• B(t) ist variabel, die Leiterschlaufe S ortsfest.
• B(t) ist zeitlich konstant, die Leiterschlaufe beweglich. Daher bezeichnen wir in
(6.4) mit E0 die induzierte elektrische Feldstärke, bezogen auf ein mit dem Leiter S
mitbewegtes Koordinatensystem Σ0 .
Mehr hierzu im nächsten Abschnitt.
Maßsysteme In (6.4) ist k eine vom Maßsystem abhängige Konstante,
k = 1
im MKSA-System;
k =
1
c
im cgs-System .
(6.5)
Wir bemerken noch, dass die Lorentz-Kraft (6.2) sich auf das MKSA-System bezieht und
im cgs-System durch
K = q E + (β~ × B)
(6.6)
zu ersetzen ist, mit β~ = v/c. Alle folgenden Formeln beziehen sich auf das MKSA-System.
Quellenfreiheit von B Die Fläche F , welche die Leiterschlaufe S einspannt ist beliebig im Faraday’schen Induktionsgesetz. Daraus folgt auch für zeitabhängige Felder die
Quellenfreiheit
∇·B = 0
(6.7)
der magnetischen Induktion, welche wir schon in der Magnetostatik gefunden hatten.
Zum Beweis betrachten wir mit F1 und F2 irgendwelche in S eingespannte Flächen.
Somit folgt aus (6.4)
d Z
d Z
B · dF1 =
B · dF2 .
(6.8)
dt F1
dt F2
56
Unter Beachtung der Orientierung der Flächen ergibt der Satz von Gauß für das durch
F1 und F2 definierte Volumen V
const =
Z
F1
B · dF1 −
Z
F2
Z
B · dF2 =
∇ · B dV .
V
Diese Beziehung gilt auch für F1 = F2 und somit muss die Konstante auf der linken
Seite verschwinden. Die universelle Gültigkeit von ∇ · B = 0 war schon aufgrund der
in Abschnitt 5.1 gegebenen Interpretation (Nicht-Existenz magnetischer Monopole) zu
erwarten.
6.2
Diskussion des Induktionsgesetzes
Wir diskutieren nun zwei Möglichkeiten den magnetischen Fluss Φ(t) im Induktionsgesetz (6.4) zu verändern.
Zeitlich veränderliches B-Feld bei ruhendem Leiterkreis S Dann ist E0 = E die
induzierte Feldstärke im Laborsystem Σ und es folgt nach der Formel von Stokes
I
E · ds =
S
Z
(∇ × E) · dF = −
Z
F
F
∂B
· dF ,
∂t
(6.9)
oder
∇×E = −
∂B
∂t
(6.10)
,
da eingeschlossenen Fläche F beliebig ist. Gleichung (6.10) zeigt die erwartete Verknüpfung der Felder E und B.
• Gleichung (6.10) gilt unabhängig davon, ob der Leiterkreis tatsächlich vorhanden
ist, er dient nur zum Nachweis des induzierten Feldes!
• In dem von einem zeitlich veränderlichen B-Feld induzierten elektrischen Feld E
werden geladene Teilchen beschleunigt (Betatron), bzw. ein Strom induziert wenn
die Leiterschlaufe vorhanden ist (Spule).
S
N
t
bewegter
Permanentmagnet
F2
S2
u(t)
F1
Richtung des
magnetischen
Flusses Ф
S1
57
F3
Bewegter Leiterkreis S bei zeitlich konstantem B-Feld F1 und F2 seien beliebige
in S1 bzw. in S2 eingespannte Flächen, F3 die Mantelfläche, welche S1 und S2 verbindet.
Dann gilt nach der Formel von Gauß
−
Z
F1
B · dF1 +
Z
F2
B · dF2 +
Z
F3
Z
B · dF3 =
(∇ · B) dV = 0,
(6.11)
V
wenn man (6.7) beachtet.
Elektromotorische Kraft
Wir betrachten nun eine infinitesimale Bewegung. Für die zeitliche Änderung des Flusses
folgt somit
d Z
B · dF =
dt F
1
lim
∆t→0 ∆t
Z
F2
Z
B · dF2 −
F1
B · dF1
I
1 Z
B · dF3 =
B · (v × ds) ,
∆t→0 ∆t F3
= − lim
da der Normalenvektor auf auf die Mantelfläche durch (−v × ds) gegeben ist. Das Induktionsgesetz (6.4) nimmt somit die Form
I
E0 · ds = −
I
B · (v × ds) =
I
ds · (v × B)
(6.12)
S
S
S
an. S E0 · ds bezeichnet man in diesem Zusammenhang auch als elektromotorische Kraft,
als Quellenspannung der bewegten Leiterschlaufe (Wechselstrom-Generator).
H
Transformation elektrischer Felder Wir betrachten nun den allg. Fall einer beweglichen Leiterschlaufe in einem zeitlich veränderlichen Feld. Die elektromotorische Kraft hat
daher zwei Komponeten, jeweils durch (6.9) und (6.12) gegeben,
I
∂B
E · ds = −
· dF + ds · (v × B)
S
S
I h
I
I F ∂t
i
E + (v × B) · ds ,
E · ds + (v × B) =
=
I
Z
0
S
S
S
wobei wir mit ∇ × E = −ḂR das Induktionsgesetz
in differentieller Form benutzt haben
H
sowie den Satz von Stokes [∇ × E] · dF = S E · ds. Da die Leiterschleife S beliebig
gewählt werden kann, folgt:
E0 = E + (v × B).
(6.13)
Dieser Zusammenhang zwischen der (induzierten) elektrischen Feldstärke E0 im mitbewegten System Σ0 und der (induzierten) Feldstärke E sowie der magnetischen Induktion
B im Laborsystem Σ lässt sich für v c im Rahmen des Galilei’schen Relativitätsprinzips
verstehen.
Transformation der Kraft Um den Zusammenhang (6.13) nicht-relativistisch (in niedrigster Näherung in v/c) zu motivieren, betrachten wir die Kraft K, welche auf einen
Ladungsträger q des Leiterkreises S im Laborsystem Σ wirkt,
K = q [ E + (v × B) ] .
58
(6.14)
Im mitbewegten System Σ0 gilt dagegen
K0 = qE0 ,
(6.15)
da q in Σ0 ruht, also vq0 = 0. Für v = const ist der Zusammenhang von Σ und Σ0 durch
eine Galilei-Transformation gegeben und es ist (6 ∃ Scheinkräfte)
K = K0 ,
(6.16)
woraus direkt (6.13) folgt.
6.3
Erweiterung des Ampère’schen Gesetzes
Das Ampère’sche Gesetz der Magnetostatik (5.15)
∇ × B = µ0 j
(6.17)
gilt nur für stationäre Ströme. Denn aus (6.17) folgt mit ∇ · (∇ × a) = 0
µ0 ∇ · j = ∇ · (∇ × B) = 0 .
(6.18)
Die Ströme sind also quellenfrei und somit nach der Kontinuitätsgleichung ρ̇ + ∇ · j = 0
stationär.
Kontinuitätsgleichung Wir wollen nun (6.17) so erweitern, dass diese allg. gültig wird.
Hierzu gehen wir von der Kontinuitätsgleichung
∇·j +
∂ρ
= 0,
∂t
(6.19)
aus und verwenden das Gauß’sche Gesetz der Elektrostatik ∇ · E = ρ/0 ,
∂ρ
∂
∂E
0 = ∇·j +
= ∇ · j + 0 ∇ · E = ∇ · j + 0
∂t
∂t
∂t
!
.
(6.20)
Ersetzt man daher in (6.17)
j
→
j + 0
∂E
,
∂t
(6.21)
so erfüllt
∇ × B = µ0 j + µ0 0
∂E
∂t
(6.22)
die Kontinuitätsgleichung (6.19) für allg. zeitliche Ladungs- und Stromverteilungen.
Gleichung (6.22) nennt man das Durchflutungsgesetz oder auch das Maxwell-AmpèreGesetz.
59
6.4
Übersicht über die Maxwell’schen Gleichungen
Wir haben nun alle Grundgleichungen der Elektrodynamik zusammen, die vier Maxwellgleichungen.
Homogene Gleichungen Die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen sind
∇·B = 0 ,
(6.23)
welche dem Fehlen magnetischer Monopole entspricht und
∇×E+
∂B
= 0,
∂t
(6.24)
welche dem Faraday’schen Induktionsgesetz entspricht.
Inhomogene Gleichungen Die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen sind
∇·E =
ρ
,
0
(6.25)
welche dem Gauß’schen Gesetz entspricht und
∇ × B − µ0 0
∂E
= µ0 j ,
∂t
(6.26)
welche dem Ampère-Maxwell’schen Gesetz entspricht.
In (6.25) und (6.26) ist die Ladungserhaltung (6.19) schon implizit enthalten. Gleichungen
(6.24) und (6.26) zeigen, daß ein zeitlich sich änderndes Magnetfeld B ein elektrisches Feld
E bedingt und umgekehrt.
Lorentz-Kraft Die Gleichungen (6.23) – (6.26) beschreiben zusammen mit der LorentzKraft
h
i
K = q E + (v × B)
(6.27)
vollständig die elektromagnetische Wechselwirkung geladener Teilchen im Rahmen der
klassischen Physik. Die Elekrodynamik ist nichts anderes als die Lösungstheorie für die
Maxwell-Gleichungen.
60
Kapitel 7
Die elektromagnetischen Potentiale
7.1
Skalares Potential und Vektorpotential
Statt die gekoppelten Differentialgleichungen (6.23) - (6.26) für E und B direkt zu lösen,
ist es meist bequemer - analog dem Vorgehen in der Elektrostatik und Magnetostatik elektromagnetische Potentiale einzuführen.
Das Vektorpotential Wir errinnern uns an die Magnetostatik. Die Quellenfreiheit der
magnetischen Induktion, ∇ · B = 0 erlaubt die Darstellung (5.3)
(7.1)
B = ∇×A
mit dem Vektorpotential A = A(r, t).
Das skalare Potential Wir schreiben das Induktionsgesetz (6.24) mit Hilfe des Vektorpotentials (7.1) als
∂
∂A
∂B
= ∇×E+ ∇×A = ∇× E+
0 = ∇×E+
∂t
∂t
∂t
Hieraus folgt, daß sich die Vektorfunktion
Funktion Φ = Φ(r, t) darstellen lässt,
E+
E + ∂A/∂t
∂A
= −∇Φ ,
∂t
!
.
als Gradient einer skalaren
(7.2)
oder
E = −
∂A
− ∇Φ
∂t
.
(7.3)
Damit sind E und B auf das Vektorpotential A und das skalare Potential Φ zurückgeführt.
Bestimmungsgleichungen für Φ Wir müssen nun die Differentialgleichungen aufstellen, aus denen A und Φ berechnet werden können, wenn die Quellen ρ und j vorgegeben
sind.
61
Um die Bestimmungsgleichung für das skalare Potential herzuleiten benutzen wir das
Gauß-Gesetz sowie (7.3),
"
#
ρ
∂A
= ∇·E = ∇· −
− ∇Φ
0
∂t
= −
∂
∇ · A − ∆Φ ,
∂t
also
∂A
∆Φ + ∇ ·
∂t
!
= −
ρ
0
(7.4)
.
Wir können also das skalare Potential Φ i. Allg. erst dann bestimmen, wenn das Vektorpotential A bekannt ist.
Bestimmungsgleichungen für A Um die Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential herzuleiten, benutzen wir das Ampère-Maxwell Gesetz (6.26) sowie (7.3),
∂
∂E
= ∇ × (∇ × A) + µ0 0
µ0 j = ∇ × B − µ0 0
∂t
∂t
!
∂A
+ ∇Φ
∂t
,
wobei wir (7.1) und (7.3): verwendet haben. Mit der Identität
∇ × (∇ × A) = −∆A + ∇(∇ · A)
erhalten wir
∂ 2A
∂Φ
∆A − µ0 0 2 = −µ0 j + ∇ ∇ · A + µ0 0
∂t
∂t
!
.
(7.5)
Damit haben wir die 8 Maxwell-Gleichungen für E und B überführt in 4 Gleichungen,
(7.4) und (7.5), für die Potentiale A und Φ, die jedoch untereinander gekoppelt sind.
Eichinvarianz Zur Entkopplung der Bestimmungsgleichungen ((7.4) und (7.5)) für
die elektromagnetischen Potentiale machen wir im Folgenden davon Gebrauch, dass die
Maxwell-Gleichungen under den Eichtransformationen
A
→
Φ
→
A0 = A + ∇χ
∂χ
Φ0 = Φ −
∂t
(7.6)
(7.7)
invariant sind, denn die physikalischen Felder bleiben unter (7.6) und (7.7) invariant.
B0 = ∇ × A0 = ∇ × (A + ∇χ) = ∇ × A = B ,
und
E0 = −
∂A0
∂A ∂∇χ
∂χ
− ∇φ0 = −
−
− ∇φ + ∇
∂t
∂t
∂t
∂t
∂A
= −
− ∇φ = E .
∂t
Hierbei ist χ(r, t) eine beliebige (2-mal stetig differenzierbare) Funktion.
62
7.2
Lorentz-Eichung
Die Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential (7.5) legt nahe, χ so zu wählen, daß
∇ · A + µ0 0
∂Φ
= 0
∂t
(7.8)
,
was der Lorentz-Konvention entspricht. Man erhält dann aus (7.5) und (7.4) entkoppelte Gleichungen,
∂ 2A
∆A − µ0 0 2 = −µ0 j
(7.9)
∂t
∆Φ − µ0 0
ρ
∂ 2Φ
=− ,
2
∂t
0
(7.10)
welche jeweils die gleiche mathematische Struktur inhomogener Wellengleichungen besitzen.
• Für zeitunabhängige Felder vereinfachen sich (7.9) und (7.10) zu den Poisson-Gleichungen
(2.12) und (5.22) der Elektrostatik bzw. Magnetostatik.
• Im Vakuum mit ρ = 0 und j = 0 beschreiben (7.9) und (7.10) die Ausbreitung von
Licht. Daher muss µ0 0 = c−2 sein.
• Die Lorentz-Eichung (7.8) wird bei der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik unter Verwendung von µ0 0 = c−2 benutzt.
Wir werden in späteren Kapiteln die Lösungstheorie für die Gleichungen (7.9) und (7.10)
ausführlich besprechen.
Konstruktion von χ Wie erreichen wir die Lorentz-Eichung wenn die aktuellen elektromagnetischen Potentialle diese noch nicht erfüllen? Falls
∇ · A + µ0 0
∂Φ
6= 0
∂t
(7.11)
ist, so führen wir eine Eichtransformation
A
→
A + ∇χ,
Φ
→
Φ−
∂χ
∂t
durch und fordern
∂Φ
∂ 2χ
− µ0 0 2 = 0 .
(7.12)
∂t
∂t
Gleichung (7.12) ist eine inhomogene, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung der Form
∇ · A + ∆χ + µ0 0
∆χ − µ0 0
∂ 2χ
= f (r, t) ,
∂t2
63
(7.13)
für die Eichfunktion χ = χ(r, t), mit einer gegebenen Inhomogenität
f (r, t) = −∇ · A − µ0 0
∂Φ
.
∂t
(7.14)
Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung (7.13) ist mehrdeutig, da zu jeder Lösung
von (7.13) noch eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung
∆χ − µ0 0
∂ 2χ
= 0
∂t2
(7.15)
addiert werden kann.
7.3
Coulomb Eichung
In der Atom- und Kernphysik wird χ meist so gewählt, dass
(7.16)
.
∇·A=0
Dann geht die Bestimmungsgleichung (7.4) für das skalare Potential in die PoissonGleichung
ρ
∆Φ = −
(7.17)
0
über, mit der schon bekannten (partikulären) Lösung:
1 Z ρ(r0 , t)
Φ(r, t) =
dV 0 .
4π0 V |r − r0 |
(7.18)
aus (7.5) wird
!
∂ 2A
∆A − µ0 0 2 =
∂t
∂Φ
−µ0 j + ∇ ∇ · A + µ0 0
∂t
∂Φ(r, t)
= −µ0 j(r, t) + 0 µ0 ∇
∂t
0 µ0 Z ∂ρ(r0 , t)/∂t (r − r0 )
dV 0
= −µ0 j(r, t) −
4π0 V
|r − r0 |3
µ0 Z (∇ · j(r0 , t))(r − r0 )
= −µ0 j(r, t) +
dV 0 ,
4π V
|r − r0 |3
(7.19)
wobei wir die Kontinuitätsgleichung ρ̇ + ∇ · j = 0 verwendet haben. Diese Gleichung
ist damit eine Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential A, in Abhängigkeit der
Stromverteilung j = j(r, t).
Konstruktion von χ Erfüllt das Vektorpotential A nicht die Eichbedingung (7.16), so
führen wir die Eich-Transformationen (7.6), (7.7) durch und fordern
0 = ∇ · A0 = ∇ · A + ∇χ
64
= ∇ · A + ∆χ ,
(7.20)
oder
∆χ = −∇ · A .
(7.21)
Dieses ist die Poisson-Gleichung mit −∇·A als Inhomogenität. Wie gewohnt ist die Lösung
für χ mehrdeutig. Zu jeder Lösung von (7.21) kann man noch eine beliebige Lösung der
homogenen Gleichung
∆χ = 0
(7.22)
addieren.
65
Kapitel 8
Energie und Impuls
elektromagnetischer Felder
8.1
Energie
In Abschnitt 2.4 hatten wir dem elektrostatischen Feld eine Energie zugeordnet, charakterisiert durch die Energiedichte
0 2
ωel =
E .
(8.1)
2
Analog kann man dem magnetostatischen Feld eine Energie zuordnen. Wir wollen diesen
Schritt überspringen und direkt die Energiebilanz für ein beliebiges elektromagnetisches
Feld aufstellen.
Arbeit an äußeren Ladungen Wir betrachten dazu zunächst eine Punktladung q, die
sich mit der Geschwindigkeit v in einem elektromagnetischen Feld {E, B} bewegt. Die an
dieser Ladung vom Feld geleistete Arbeit ist durch
h
i
dW
= K · v = q E + (v × B) · v = q E · v
(8.2)
dt
gegeben, denn das Magnetfeld leistet keine Arbeit. Entsprechend gilt für einen Strom der
Stromdichte j:
Z
dW
=
E · j dV.
(8.3)
dt
V
Die an den bewegten Punktladungen vom Feld geleistete Arbeit geht auf Kosten des
elektromagnetischen Feldes.
Energiedichte Um den allgemeinen Ausdruck für die Energiedichte eines elektromagnetischen Feldes herzuleiten, müssen wir die Stromdichte j in (8.3) in die Maxwellgleichungen
einbeziehen, mit Hilfe des Ampère-Maxwell’schen Gesetzes (6.26)
∂E
= µ0 j .
∂t
Wir eliminieren in (8.3) zunächst die Stromdichte j,
∇ × B − µ0 0
Z
V
E · j dV =
Z
V
1
∂E
E · (∇ × B) − 0 E ·
µ0
∂t
66
!
dV .
(8.4)
Diesen Ausdruck, der nur noch die Felder E und B enthält, können wir bzgl. E und B
symmetrisieren. Wir verwenden
∇ · (E × B) = ∂i ijk Ej Bk = ijk (∂i Ej ) Bk + ijk Ej (∂i Bk )
= B · (∇ × E) − E · (∇ × B) ,
sowie das Induktionsgesetz ∇ × E = −Ḃ und finden
E · (∇ × B) = B · (∇ × E) − ∇ · (E × B) = −B ·
∂B
− ∇ · (E × B) .
∂t
(8.5)
Setzen wir nun (8.5) in (8.4) ein, so erhalten wir:
1
1 ∂B 2 0 ∂E 2
+
+ ∇ · (E × B)
2µ0 ∂t
2 ∂t
µ0
Z
Z
dW
=
E · j dV = −
dt
V
V
!
dV .
(8.6)
Wir betrachten nun die zwei Fälle von endlich/unendlich großem Volumen V .
Enendlich großes Volumen, Feldenergie Für V → ∞ verschwindet, unter Verwendung des Satzes von Gauß(siehe unten), der dritte Term in (8.6) und somit erhalten wir
für die Feldenergie W
W =
Z
V
1 2 0 2
B + E
2µ0
2
!
dV
.
(8.7)
Voraussetzung ist, dass die Felder asymptotisch schnell genug abfallen, so dass der ∇· Term in (8.6) verschwindet. Mit Hilfe des Satzes von Gauß,
Z
∇ · (E × B) dV =
I
(E × B) · dF ,
(8.8)
F
V
mit F als Oberfläche des (zunächst als endlich angenommenen) Volumes V , findet man,
dass die Felder E und B stärker als 1/R abfallen müssen, da dF mit R2 anwächst. (vgl.
Abschnitt 2.4). Für statische Felder ist die obige Voraussetzung erfüllt, nicht dagegen für
Strahlungsfelder, wie wir später noch diskutieren werden.
Energiedichte In (8.7) können wir nun die Energiedichte ωF des elektromagnetischen
Feldes
1 2 0 2
ωF =
B + E
(8.9)
2µ0
2
einführen, welche sich aus einem elektrischen Anteil (vgl. (8.1))
ωel =
0 2
E
2
(8.10)
1 2
B
2µ0
(8.11)
und einem magnetischen Anteil
ωmag =
67
zusammensetzt.
Endliches Volumen, Poynting Vektor Wir behalten die Interpretation von (8.9)
als Energiedichte bei und schreiben, da V beliebig wählbar ist, (8.6) als (differentielle)
Energiebilanz,
E·j+
∂ωF
+∇·S = 0
∂t
,
(8.12)
mit dem Poynting-Vektor
S =
1
E×B
µ0
.
(8.13)
Gl. (8.12) ist die grundlegende Kontinuitätsgleichung für die Energiedichte elektromagnetischer Felder.
Energieerhaltung Die Feldenergie in einem Volumen V kann sich via Gl. (8.12) dadurch
ändern,
• dass Energie in Form elektromagnetischer Strahlung hinein- (hinaus-) strömt, beschrieben durch den Term ∇ · S, und/oder
• dass an Punktladungen Arbeit geleistet wird, beschrieben durch E · j.
In Analogie zur Ladungserhaltung (Abschnitt 4.1) nennen wir S die Energiestromdichte,
bzw. den Poynting-Vektor. Die Energiebilanz zeigt, dass die Energie des abgeschlossenen
Systems (Punktladungen plus elektromagnetisches Feld) eine Erhaltungsgröße ist.
8.2
Impuls
Dem elektromagnetischen Feld kann man außer Energie auch einen Impuls zuordnen. Wir
beginnen mit der Impulsbilanz für eine Punktladung q mit der Geschwindigkeit v.
Impulsbilanz von Landungen Nach Newton gilt dann für die Änderung des Impulses
pM der Punktladung:
h
i
dpM
= q E + (v × B) ,
(8.14)
dt
wobei wir hier der Index M für mechanisch steht. Für N Punktladungen, charakterisiert
durch eine Stromdichte j und Ladungsdichte ρ erhalten wir entsprechend
Z h
i
dPM
=
ρ E + (j × B) dV
dt
V
für den Gesamtimpuls PM der Ladungen.
68
(8.15)
Impulsbilanz der Felder Analog zu Abschnitt 8.1 versuchen wir ρ und j zu eliminieren,
so daß die rechte Seite in (8.15) nur noch die Felder E und B enthält. Wir benutzen dazu
das Gauß’sche Gesetz
ρ = 0 ∇ · E
(8.16)
und das Ampère-Maxwell Gesetz
j =
∂E
1
∇ × B − 0
.
µ0
∂t
(8.17)
Wir finden mit
!#
Z "
dPM
1
∂E
=
0 E (∇ · E) + (∇ × B) × B − 0
× B dV
dt
µ0
∂t
V
(8.18)
einen noch recht unübersichtlichen Ausdruck.
Symmetrisierung der Impulsbilanz Wir können die Impulsbilanz (8.18) noch deutlich
schöner schreiben indem wir bzgl. E und B symmetrisieren.
Zunächst addieren wir in (8.18) den verschwindenden Term
1
B (∇ · B) = 0
µ0 | {z }
=0
und formen den letzten Term um,
−0
∂E
×B
∂t
!
!
∂
∂B
= −0
E × B + 0 E ×
∂t
∂t
∂
= −0
E × B − 0 E × (∇ × E) ,
∂t
wobei wir das Induktionsgesetz
∇×E = −
∂B
∂t
(8.19)
benutzt haben. Das Ergebnis ist
Z (
dPM
1
1
=
0 E (∇ · E) + B (∇ · B) − B × (∇ × B) − 0 E × (∇ × E)
dt
µ0
µ0
V
∂
E×B
−0
∂t
)
dV .
(8.20)
Maxwell’scher Spannungstensor und Implusdichte Wir verwenden die Abkürzung
∂m ≡ ∂/∂xm und fassen für die Interpretation von (8.20) einige Terme wie folgt zusammen:
h
E (∇ · E) − E × (∇ × E)
i
i
= Ei ∂m Em − ijk klm Ej ∂l Em =
= Ei ∂m Em − (δil δjm − δim δjl ) Ej ∂l Em = Ei ∂m Em − Em ∂i Em + Em ∂m Ei
69
3
X
1
∂
1 2
2
= − ∂i Em + ∂m Em Ei =
Ei Em − E δim .
2
2
m=1 ∂xm
(8.21)
Entsprechend verfahren wir für die B-Terme. Wir erhalten also
Z X
3
d
∂
(PM + PF )i +
Tim dV = 0
dt
V m=1 ∂xm
(8.22)
,
wobei der Maxwellsch’sche Spannungstensor Tim durch
!
Tim = 0
1
E2
δim − Ei Em +
2
µ0
B2
δim − Bi Bm
2
!
gegeben ist. Der Gesamtimpuls PF des elektromagnetischen Feldes ist PF =
mit der Impulsdichte
~πF = 0 E × B
(8.23)
R
V
~πF dV
(8.24)
.
Wir unterscheiden wieder, wie im Falle der Energiebilanz, die Fälle von endlichem/unendlichem
Volumen V .
Fall 1 : V → ∞
Wie unter Abschnitt 8.1, überzeugt man sich, dass der dritte Term in (8.22) verschwindet, falls die Felder E und B schneller als 1/R abfallen. Dann lautet die
Impulsbilanz
PM + PF = const .
(8.25)
Gleichung (8.25) legt nahe, PF als Impuls des elektromagnetischen Feldes zu interpretieren. Für das abgeschlossene System (Punktladungen plus Feld) ist dann der
Gesamtimpuls, der sich additiv aus Teilchen- und Feldimpuls zusammensetzt, eine
Erhaltungsgröße.
Fall 2 : allg. Volumen
Da das Volumen V in (8.22) beliebig ist, finden wir für T
Impulserhaltung
ρE + j × B +
im
≡ Tim die differentielle
∂~πF
+ ∇·T = 0
∂t
wobei wir (8.15) für ṗM = q [ E + (v × B) ] verwendet haben.
70
,
(8.26)
Fall 3 : V endlich
Wir formen die rechte Seite in (8.22) mit dem Gauß’schen Satz um:
Z X
3
d
PM + PF
= −
Tim dFm ,
i
dt
F m=1
(8.27)
wobei dfm = nm dA das gerichtete Oberflächen-Element und F die Oberfläche von
V sind. Da auf der linken Seite von (8.27) nach Newton eine Kraft steht, können
wir Tim nm als Druck des Feldes (Strahlungsdruck) interpretieren. Das elektromagnetische Feld überträgt auf einen Absorber also nicht nur Energie, sondern auch
Impuls.
Der Strahlungsdruck des Lichts wurde von Lebedev und Hull direkt an einer Drehwaage nachgewiesen. An den Balkenenden angebrachte Metallplättchen wurden im Takt der
Eigenschwingung jeweils belichtet; es wurden in Resonanz gut beobachtbare Ausschläge
erhalten.
Bemerkung Die Tatsache, dass sich die Impulsdichte ~πF und die Energiestromdichte S
nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, siehe Gl. (8.13),
~πF = 0 µ0 S =
1
S,
c2
(8.28)
ist kein Zufall, sondern ergibt sich zwangsläufig im Rahmen der relativistischen Formulierung. Für eine einzelnes Teilchen mit der Ruhemasse m gilt nach der speziellen Relativitätstheorie die Energie-Impuls Beziehung
E =
q
p2 c2 + m2 c4
und damit die Beziehung (Ec)/c2 = p für ein Teilchen mit verschwindender Ruhemasse
m → 0, zwischen dem Energiestrom Ec und dem Impuls p.
8.3
Zusammenfassung - Photonen
Bei Abwesenheit anderer Kräfte gelten für das abgeschlossene System (Punktladungen
plus Feld) die Erhaltungssätze für Energie, Impuls und Drehimpuls. Für Energie und
Impuls haben wir das in den beiden vorherigen Abschnitten gezeigt, für den Drehimpuls
geht man analog vor.
Da sich Energie, Impuls und Drehimpuls der Punktladungen zeitlich ändern, müssen
wir dem Feld selbst Energie, Impuls und Drehimpuls zuordnen, um die Erhaltungssätze
für das Gesamtsystem zu garantieren. Die Grundgrößen
• Energiedichte
ωF =
0 2
1 2
E +
B
2
2µ0
(8.29)
• Impulsdichte
~πF = 0 E × B
71
(8.30)
• Drehimpulsdichte
~λF = 0 r × E × B
= r × ~πF
(8.31)
findet man aus den jeweiligen Bilanzen unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen. Die
Tatsache, daß man dem Maxwell-Feld mechanische Größen wie Energie, Impuls und Drehimpuls zuordnen kann, bietet die Grundlage für die im atomaren Bereich benutzte Beschreibung elektromagnetischer Phänomene durch Teilchen, welche als Photonen bezeichnet werden.
72
Teil IV
Elektromagnetische Strahlung im
Vakuum
73
Kapitel 9
Das elektromagnetische Feld im
Vakuum
9.1
Homogene Wellengleichungen
In diesem Kapitel untersuchen wir die Maxwell-Gleichungen
∇ · E = 0;
∇ · B = 0;
∇×E = −
∂B
;
∂t
∇ × B = 0 µ0
∂E
.
∂t
(9.1)
im Vakuum (ρ = 0; j = 0).
Entkopplung von magnetischem und elektrischem Feld Im Vakuum lassen sich
elektrisches Feld E und magnetische Induktion B vollständig entkoppeln. Wir bilden die
zeitliche Ableitung des Induktionsgesetzes ∇ × E = −Ḃ,
∂ 2B
−0 µ0 2 =
∂t
∂
0 µ0
∂t
!
∂B
−
∂t
!
!
=
∂
∂E
0 µ0
∇×E = ∇× 0 µ0
∂t
∂t
!
= ∇ × (∇ × B)
|
{z
∇(∇·B)−∆B
}
und daher, zusammen mit ∇ · B = 0,
∆B = 0 µ0
∂ 2B
.
∂t2
Wir erhalten also die homogene Wellengleichung
1 ∂2
∆− 2 2
c ∂t
!
1
= 0 µ0 ,
c2
B = 0;
(9.2)
wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist. Analog verfährt man mit dem E-Feld.
D’Alambert Operator Mit der Abkürzung
= ∆−
74
1 ∂2
c2 ∂t2
(9.3)
für den d’Alambert-Operator lassen sich die Maxwell-Gleichung (9.1) im Vakuum
äquivalent als
∇·B = 0
∇·E = 0
B = 0;
E = 0;
(9.4)
darstellen. Für die zugehörigen Potentiale findet man nach Kapitel 7.3
∇·A = 0
A = 0;
Φ = 0
(9.5)
(9.6)
in der Coulomb-Eichung ∇ · A = 0. Hierzu braucht man nur in den Bestimmungsgleichungen (7.17) und (7.19) für die elektromagnetischen Potentiale für verschwindenden Quellen
ρ und j zu betrachten.
Wellengleichungen Wir haben also Differentialgleichungen vom Typ
f (r, t) = 0
(9.7)
zu lösen, wobei f für irgendeine Komponente von E, B oder A steht. Die Lösungen für
E, B und A sind dann noch der Nebenbedingung unterworfen, dass die Divergenz verschwindet (Transversalitätsbedingung).
9.2
Elektromagnetische Wellen
Ebene Wellen Ein wichtiger Lösungstyp der Wellengleichung (9.7) sind ebene Wellen,
welche durch einen Wellenvektor q gekennzeichnet sind,
f = f (q · r ∓ ct);
75
|q| = 1 ,
(9.8)
wobei f () eine beliebige Funktion ist, welche mindestens zweifach differenzierbar ist.
Nachweis Zum Nachweis, daß (9.8) die Wellengleichung (9.7) erfüllt, verwenden die
Abkürzung
ξ = q · r ∓ ct
(9.9)
und bilden:
∇f = q
und somit
df
;
dξ
∆f = q2
d2 f
;
dξ 2
∓
df
1 ∂f
=
c ∂t
dξ
(9.10)
1 ∂ 2f
d2 f
=
.
c2 ∂t2
dξ 2
(9.11)
B = B0 f (r, t)
(9.12)
Damit ist
Lösung von (9.2); analog für E und A. Wir diskutieren nun die Eigenschaften der Lösung
(9.8).
Ebene Wellen Funktionen vom Typ (9.8) beschreiben Wellen, deren Wellenfronten
Ebenen sind: Die Punkte r, in denen f (r, t) zu einer festen Zeit t den gleichen Wert
annimmt, liegen auf einer Ebene (Hesse’sche Normalform)
q · r = const ,
(9.13)
welche senkrecht zu q steht. Je nach Wahl des Vorzeichens in (9.8) erhält man Wellen,
die in ±q-Richtung laufen.
Transversalität elektromagnetischer Wellen Aus ∇·B folgt mit B(r, t) = B0 f (r, t) =
B0 f (ξ)
df
0 = ∇ · B = B0 · ∇f (ξ) = B0 · q
;
ξ = q · r ± ct ,
(9.14)
dξ
also
B·q = 0 ;
(9.15)
entsprechend für E und A. Das elektrische und das magnetischeFeld einer ebenenen Welle
steht also senkrecht zur der Ausbreitungsrichtung q.
76
λ
E
k
B
k
Orthogonalität von E und B Aus
∇×E=−
∂B
∂t
(9.16)
folgt für die ebenen Wellenlösungen
E = E0 f (q · r − ct);
B = B0 g(q · r − ct)
(9.17)
die Beziehung
q × E0
df
dξ
= cB0
dg
,
dξ
(9.18)
also E ⊥ B mit der Transversalitätsbedingung (9.15). E, B und q bilden also ein orthogonales Dreibein.
Elektromagnetische Wellen und das Durchflutungsgesetz Die Existenz von elektromagnetischen Wellen (z.B. Lichtwellen, Radiowellen, Mikrowellen, γ-Strahlung etc.)
beweist die Richtigkeit des Durchflutungsgesetzes
∇ × B = 0 µ0
∂E
∂t
im Vakuum, welches entscheidend in die Herleitung der Wellengleichungen eingegangen
ist. Sie stellt die experimentelle Bestätigung für das Maxwell-Ampère-Gesetz (6.22) dar.
Kugelwellen Neben den ebenen Wellen sind Kugelwellen wichtige Lösungstypen der Wellengleichung (9.7); sie haben die Form
f (r, t) =
g(r − ct)
,
r
(9.19)
wobei f eine beliebige (mindestens zweifach differenzierbare) Funktion ist. Der
Beweis verläuft analog zu (9.10) in Kugelkoordinaten.
77
Kugelkoordinaten Von den karthesischen Koordinaten x = (x, y, z) geht man via
x = r cos ϕ sin θ
y = r sin ϕ sin θ
z = r cos θ
z
θ
3/2 π
(9.20)
P(r,φ,θ)
π
r
r0
φ
zu den Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ) über, mit dem
Radius r, den Azimutwinkel ϕ und dem Polarwinkel θ.
x
0
1/2 π
y
Der Laplace Operator hat die Form
∂
1 ∂
∆ = 2
r2
r ∂r
∂r
!
1
∂
∂
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
!
+
1
∂2
.
r2 sin2 θ ∂ 2 ϕ
(9.21)
Kugelwellen Lösung Damit gilt
∂
∂r
g(r − ct)
r
!
g0
g
=
− 2,
r
r
∂
r
∂r
2
g(r − ct)
r
!
= rg 0 − g
für Kugelwellen der Form (9.19) und somit
g(r − ct)
∆
r
!
=
1 ∂ 0
1 0
g 00
00
0
.
rg
−
g
=
g
+
g
−
g
=
r2 ∂r
r2
r
Also erfüllt f (r, t) = g(r − ct)/r die Wellengleichung (9.7).
9.3
Monochromatische ebene Wellen
Dispersionsrelation Eine spezielle Form der ebenen Welle (z.B. für die elektrische
Feldstärke) sind in Zeit und Raum periodisch harmonische Lösungen der Gestalt
A = A0 exp(i(k · r ∓ ωt)) .
(9.22)
Dabei ist
|q| = 1
k = k q,
(9.23)
und ω und k hängen über die Dispersionsrelation
ω 2 = k 2 c2
(9.24)
zusammen, wie man durch Einsetzen von (9.22) in die Wellengleichung (9.4) sofort sieht,
(9.11). Eine ebene Welle vom Typ (9.22) nennt man monochromatisch (zu deutsch einfarbig).
Komplexe vs. reele Felder E, A und B sind als Messgrößen reelle Vektorfelder. Die
komplexe Schreibweise in Gleichung (9.22) ist verabredungsgemäß so zu verstehen, dass
78
das physikalische Vektorfeld durch den Realteil von (9.22) beschrieben wird. Die komplexe
Schreibweise ist oft (z.B. beim Differenzieren) bequemer als die reelle; sie ist problemlos,
solange nur lineare Operationen durchgeführt werden.
Zeitliche Mittelwerte Häufig ist man an zeitlich gemittelten Größen interessiert, wie
z.B. die im Mittel auftreffenden Energgie elektromagnetischer Strahlung. Für eine Funktion z(t) definiert man den zeitlichen Mittelwert z̄ als
1 ZT
z(t)dt .
z̄ = lim
T →∞ 2T −T
(9.25)
Bei der Berechnung physikalischer Größen wie etwa der Energiestromdichte treten Produkte von Vektorfeldern auf. Zeitliche Mittelwerte . . . solcher Produkte kann man in
komplexer Schreibweise wie folgt berechnen: Für zwei Vektorfelder
a(r, t) = a0 (r) exp(−iωt);
b(r, t) = b0 (r) exp(−iωt)
(9.26)
gilt für den zeitlichen Mittelwert des Produktes
(Rea) · (Reb) =
1
Re(a · b∗ )
2
,
(9.27)
denn in
(Rea) · (Reb) =
1
a0 exp(−iωt) + a0∗ exp(iωt) b0 exp(−iωt) + b∗0 exp(iωt)
4
verschwinden die gemischten Terme mit den Zeitfaktoren exp(±2iωt) nach Zeitmittelung
und es bleibt
1
1
(Rea) · (Reb) = (a · b∗ + a∗ · b) = Re(a · b∗ ) .
(9.28)
4
2
Terminologie Monochromatische ebene Wellen sind so wichtig, daß es für alle Größen
feste Begriffe gibt.
Wellenvektor
Wellenzahl
Kreisfrequenz
Frequenz
Wellenlänge
Schwingungsdauer
k
k
ω
ν
λ
T
k
ω
ν
λ
T
=
=
=
=
=
|k|
ck
ω/(2π)
(2π)/k
(2π)/ω
Anhand von (9.22) sieht man, dass die Schwingungsdauer T die zeitliche Periodizität der
Welle bei festgehaltenem Ort r beschreibt,
exp(iω(t + T )) = exp(iωt + 2πi) = exp(iωt);
79
(9.29)
analog gibt die Wellenlänge λ die räumliche Periodizität an:
exp(ik(z + λ)) = exp(ikz + 2πi) = exp(ikz)
(9.30)
für eine Welle in z-Richtung zu fester Zeit t.
Phasengeschwindigkeit Die Größe
φ = k · r − ωt
(9.31)
nennt man die Phase der Welle. Unter der Phasengeschwindigkeit vph versteht man die
Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpunkt mit vorgegebener fester Phase bewegt. Um
vph zu bestimmen, betrachten wir wieder eine ebene Welle in z-Richtung und bilden das
totale Differential von φ(z, t):
dφ = kdz − ωdt.
(9.32)
Für φ = const. folgt dann:
ω
dz
=
= c;
dt
k
die Phasengeschwindigkeit ist also gleich der Lichtgeschwindigkeit c.
(9.33)
vph =
Beziehung zwischen E und B Feld Ausgehende von der Definition (9.22) für das
Vektorpotential findet man für monochromatische ebene Wellen die Felder, siehe (7.1)
und (7.3):
∂A
B = ∇ × A;
E = −
− ∇Φ .
(9.34)
∂t
Im Vakuum verschwindet das skalare Potential, Φ → 0, für die Coulomb Eichung ∇ · A =
0. Die Coulomb Eichung ist für A0 · k = 0 erfüllt, siehe (9.22). Damit erhalten wir
B = i(k × A);
E = iωA .
(9.35)
Mit ω = ck finden wir die einprägsame Beziehung
E
B = i k×
iω
1k
1
× E = n̂ × E
ck
c
=
,
(9.36)
wobei n̂ = k/k die Ausbreitungsrichtung ist.
Energiedichte Der zeitliche Mittelwert der Energiedichte (reelle Darstellung) ist:
ωF =
1 ZT
ωF dt ,
2T −T
(9.37)
wobei die Energiedichte ωF (mit µ0 0 = 1/c2 ) durch
ωF =
0 2
1 2
0 2
E +
B =
E + c2 B 2
2
2µ0
2
80
(9.38)
gegeben ist. Mit A · k = 0 finden wir:
ωF =
0
0 2
0
Re(ω 2 A · A∗ + c2 k 2 A · A∗ ) =
ω |A0 |2 =
|E0 |2 ,
4
2
2
(9.39)
wobei der extra Faktor 1/2 durch die zeitliche Mittelung, siehe (9.27) zustande kommt.
Energiestromdichte Entsprechend zur Zeit-gemittelten Energiedichte (9.39) gilt (mit
n̂ = k/|k| für die Zeit-gemittelte Energiestromdichte S̄, siehe (8.13),
S = (E × B)/µ0 =
ω
ωk |E0 |2
0 c
k |E0 |2
|A0 |2 k =
=
|E0 |2 n̂ ,
=
2µ0
2µ0 ω 2
2µ0 ck
2
(9.40)
wobei wir µ0 0 = 1/c2 verwendet haben. Vergleicht man (9.39) mit (9.40), so findet man
|S| = c ω F ;
(9.41)
die Energie des elektromagnetischen Feldes wird also mit der Lichtgeschwindigkeit c transportiert.
Impulsdichte Die Impulsdichte ~πF lässt sich direkt über die Beziehung (8.28) aus dem
Poynting-Vektor S herleiten.
~π F =
1
0
S =
|E0 |2 n̂,
2
c
2c
c ~π F = ωF .
(9.42)
Die Beziehung rechter Hand ist mit der relativistischen Energie-Impuls Beziehung
E=
q
m2o c4 + p2 c2 ,
(E = cp)m0 =0
für Ruhemasse-lose Teilchen (Photonen) konsistent.
Ebene Wellen als Approximationen Streng genommen ist eine ebene Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt; jede praktisch realisierbare Welle
ist dagegen begrenzt. Die ebene Welle ist jedoch eine sinnvolle Approximation, wenn die
Ausdehnung der realen Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung groß ist im Vergleich zu
irgendwelchen Hindernissen (z.B. Spalte), durch die sie gestört werden kann.
9.4
Polarisation
Orthogonales Dreibein Wegen der Transversalität und der Orthogonalität von E und
B können wir eine monochromatische ebene Welle der Form (9.22) durch
E = e1 E0 exp(i(k · r − ωt));
B = e2 B0 exp(i(k · r − ωt))
(9.43)
beschreiben. Da nach (9.36) bilden k, E und B mit B = n̂×E/c ein orthogonales Dreibein,
also gilt
ei · ej = δij ;
ei · k = 0 .
(9.44)
81
Eine solche Welle nennt man linear polarisiert. Eine zu (9.43) gleichberechtigte, linear
unabhängige ebene Welle zu gleichem Wellenvektor k erhält man, indem man E in e2 Richtung und B in e1 -Richtung wählt.
Allgemeine Polarisation Der allgemeine Polarisationszustand einer monochromatischen ebenen Welle ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip, z.B. für das elektrische
Feld,
E = (e1 E1 + e2 E2 ) exp(i(k · r − ωt));
El = |El | exp(iφl ) ,
(9.45)
mit El (l = 1,2) als beliebigen komplexen Zahlen. Gleichung (9.45) beschreibt alle möglichen Polarisationszustände, welche wir nun diskutieren.
λ
E
k
B
k
Lineare Polarisation Die elektromagnetische Welle ist linear polarisiert wenn in (9.45)
φ1 = φ2
(9.46)
der Fall ist. Richtung und Betrag von E sind dann durch
E2
;
θ = arctan
E1
E=
q
E12 + E22
(9.47)
gegeben.
Zirkuläre Polarisation Gibt es eine Phasendifferenz von ±π/2 in (9.45),
E1 = E2 ;
φ1 − φ2 = ±
π
,
2
(9.48)
dann wird das elektrische Feld zu
E = E0 (e1 ± ie2 ) exp(i(k · r − ωt)) .
82
(9.49)
In reeller Darstellung
Ex = E0 cos(kz − ωt);
Ey = ∓E0 sin(kz − ωt) ,
(9.50)
wenn k in z-Richtung zeigt. Der Drehsinn ist durch die Wahl des Vorzeichens in (9.49)
festgelegt; man erhält links- bzw. rechts-zirkulare Polarisation.
Elliptische Polarisation Für allgemeine Koeffizienten
E1 6= E2 ;
φ1 − φ2 6= 0
(9.51)
haben wir elliptische Polarisation. Das elektrische Feld E beschreibt dann für festes z eine
Ellipsenbahn, deren Lage relativ zu e1 durch φ1 − φ2 und deren Hauptachsenverhältnis
durch E1 /E2 bestimmt wird.
83
Kapitel 10
Wellenpakete im Vakuum
10.1
Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen
Ein wichtiger Anwendungsbereich elektromagnetischer Strahlung ist die Informationsübertragung. Monochromatische ebene Wellen sind dazu ungeeignet, da sie keine Information
außer ihrer Periode, oder der Frequenz, vermitteln können.
Amplitudenmodulation Man kann monochromatische ebene Wellen jedoch modulieren und so Information übertragen. Im einfachsten Fall bildet man eine Überlagerung aus
2 monochromatischen Wellen,
h
i
f (t) = f0 cos(ω1 t) + f0 cos(ω2 t) = f0 cos(ω1 t) + f0 cos(ω2 t) .
Mit
ωm = (ω1 − ω2 )/2
ω0 = (ω1 + ω2 )/2
(10.1)
ω1 = ω0 + ωm
ω2 = ω0 − ωm
und cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β kann (10.1) alternativ auch als amplitudenmodulierte Schwingung dargestellt werden:
f (t) = 2f0 cos(ωm t) cos(ω0 t) ,
(10.2)
Wenn ω1 ≈ ω2 gewählt wird, dann ist (10.2) eine fast harmonische Schwingung der Trägerfrequenz ω0 deren Amplitude sich mit der Modulationsfrequenz ωm ändert. Man
erhält das Bild einer Schwebung.
84
Kompliziertere Schwingungsformen und damit mehr Möglichkeiten zur Informationsübertragung ergeben sich durch Überlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen.
Gruppengeschwindigkeit
Wir betrachten nun die Überlagerung zweier orts- und zeitabhängiger ebener Wellen mit
einer allg. Dispersionsrelation ω = ω(k),
f (x, t) = f0 cos(k1 x − ω(k1 ) t) + f0 cos(k2 x − ω(k2 ) t) .
(10.3)
Analog zu (10.2) benutzen wir die Darstellung
f (x, t) = 2f0 cos(km x − ωm t) cos(k0 t − ω0 t) ,
(10.4)
mit
ωm =
ω(k1 ) − ω(k2 )
;
2
ω0 =
ω(k1 ) + ω(k2 )
2
und
km =
k1 − k2
;
2
k0 =
k1 + k2
.
2
Für k1 ≈ k2 bewegt sich das Maximum km x − ωm t = 0 der Einhüllenden mit der Gruppengeschwindigkeit vg fort,
vg ≡
ωm
ω(k1 ) − ω(k2 )
∂ω(k) x
=
=
≈
.
t
km
k1 − k2
∂k k=k0
(10.5)
Die Gruppengeschwindigkeit ist somit auch die Geschwindigkeit der Informationsübertragung.
Im Vakuum fällt für Licht die Gruppengeschwindigkeit vg = ω 0 (k) mit der Phasengeschwindigkeit vph = ω/k, siehe (9.33), zusammen, dank der linearen Dispersionsrelation
ω(k) = ck. Wenn sich Licht in Materie ausbreitet gilt i.Allg. vg < c = vph .
85
10.2
Fourier-Reihen und Fourier-Integrale
Die überlagerung elektromagnetischer Wellen läßt sich systematisch mit dem jeweiligen
Fourierspektrum beschreiben. Wir wiederholen daher hier die grundlegenden Begriffen
und betrachten eine periodische Funktion,
f (t);
f (t) = f (t + T ) .
(10.6)
Alternativ können wir jede Funktion auf dem Intervall t ∈ [0, T ] periodisch forsetzen, so
daß (10.6) erfüllt ist.
Fourier-Reihen Jede periodische Funktion läßt sich nun in eine Fourier-Reihe
f (t) =
∞
X
fn exp(−iωn t)
ωn = nω
n=−∞
ω =
2π
.
T
(10.7)
entwickeln.
• Man nennt ω = 2π/T die Grundfrequenz. Es gilt f (t) = f (t + T ), da
exp(−iωn (t + T )) = exp(−iωn t) exp(−i(2nπ/T )T ) = exp(−iωn t)
für jeden Koeffizienten.
• Die Fourier-Reihe (10.7) konvergiert gleichmäßig (und damit auch punktweise),
wenn f (t) periodisch mit der Periode T und stückweise glatt (beliebig oft differenzierbar) ist.
• Die (schwächere) Forderung der Konvergenz im quadratischen Mittel ist erfüllt für
periodische, in [0, T ] stetige Funktionen f (t).
√
• Die ebenen Wellen exp(iωn t)/ T bilden ein vollständiges orthonormales Funktionensystem auf dem Intervall [0, T ], siehe weiter unten. Die Fourier-Reihe (10.7)√ist
damit nichts anderes als eine Entwicklung nach den Basisfunktionen exp(−iωn t)/ T .
Funktionenräume Für zwei Funktionen f (t) und g(t) auf [−T /2, T /2] können wir das
Skalarprodukt
(f, g) ≡
Z T /2
f ∗ (t)g(t) dt
(10.8)
−T /2
definieren, als direkte Verallgemeinerung des üblichen Skalarproduktes j x∗j yj zweier
komplexer Vektoren x = (x1 , x2 , . . .) und y = (y1 , y2 , . . .). Insbesondere sind die Basisfunktionen
exp(−iωnt)
2πn
√
en (t) =
,
ωn =
(10.9)
T
T
P
im Intervall [−T /2, T /2] orthonormiert bezüglich des des Skalarproduktes (10.8).
86
Orthogonalitätsrelationen Um die Orthogonalitätsrelation
(em , en ) =
1 Z T /2
exp(iω(m − n)t) dt = δmn
T −T /2
(10.10)
zu beweisen, brauchen wir nur die Fälle m = n und m 6= n zu unterscheiden,
1 Z T /2
1 Z T /2
exp(iω(m − n)t) dt =
dt = 1
T −T /2
T −T /2
(m = n) ,
und
t=T /2
1 Z T /2
1
1
dt
exp(iω(m − n)t) dt =
exp(iω(m − n)t)
t=−T /2
T −T /2
T iωn (m − n)
1
2π
T
2π
T
=
exp i (m − n)
− exp −i (m − n)
iωn T (m − n)
T
2
T
2
2i
sin π(m − n) = 0
=
iωn T (m − n)
für m 6= n.
Fourier-Koeffizienten Die Fourier-Koeffizienten fn in (10.7) sind durch
fn
1ZT
1 Z T /2
=
f (t) exp(iωn t) dt =
f (t) exp(iωn t) dt
T 0
T −T /2
(10.11)
gegeben, wobei wir die Periodizität von f (t) verwendet haben. Für den Beweis verwenden
wir die Orthogonalitätsrelation (10.10) und finden
1
1 Z T /2
√ (em , f ) =
exp(iωm t)f (t) dt
T −T /2
T
1 X Z T /2
=
fn
exp(iωm t) exp(−iωn t) dt
T n
−T /2
=
X
n
fn (em , en ) = fm .
|
{z
δm,n
}
Die Fourier-Reihe ist schlussendlich nichts anderes als die Entwicklung nach einer speziellen Menge vollständiger Basis-Funktionen. In anderen Zusammenhängen ist es günstiger
andere Basis-Funktionen zu verwenden, wie z.B. Legendre Funktionen oder die Kugelflächenfunktionen.
Fourier-Integrale Wir betrachten nun Funktionen f (t) welche nicht periodisch sind.
Formell können wir dazu in der Dastellung (10.7) für die Fourier-Reihe, zusammen mit
(10.11) für die Koeffizienten, die Periodie T divergieren lassen.
Für den Grenzübergang T → ∞ betrachten wir mit ∆ω = 2π/T den Abstand benachbarter Frequenzen ωn ,
f (t) =
X
n
∆ω
fn exp(−iωn t) =
∆ω
∞
X
n=−∞
87
f˜(ωn ) exp(−iωn t) ∆ω
(10.12)
mit
fn
∆ω
f˜(ωn ) = lim
T →∞
!
= lim
T →∞
T
fn
2π
(10.13)
.
Also kann man (10.12) als Riemann-Summe des Fourier-Integrals
f (t) =
Z ∞
f˜(ω) exp(−iωt) dω
(10.14)
−∞
auffassen. Für die Umkehrung von (10.14) zeigt der Vergleich von (10.11) und (10.13):
1 Z∞
f (t) exp(iωt) dt
f˜(ω) =
2π −∞
(10.15)
.
f˜(ω) heißt die Fourier-Transformierte zu f (t). Sie existiert und (10.14) konvergiert im
quadratischen Mittel für alle quadratintegrablen Funktionen f (t), für die
Z ∞
|f (t)|2 dt < ∞;
(10.16)
−∞
f˜(ω) dann auch quadratintegrabel ist.
~
f(ω)
f(t)
t
−T/2
ω
−T/2
Rechteckimpuls - Unschärferelation Wir berechnen nun die Fourier-Transformierte
für den Rechteckimpuls
f (t) = 1
für
−
T
T
≤t≤ ;
2
2
f (t) = 0
sonst .
(10.17)
Dann wird
1 exp(iωt) T /2
1 Z T /2
sin(ωT /2)
exp(iωt) dt =
f˜(ω) =
=
.
−T /2
2π −T /2
πω
2i
πω
(10.18)
Die Breite ∆ω von f˜(ω) schätzt man aus obiger Figur ab zu:
∆ω ≈
2π
T
oder
∆ω∆t ≈ 2π.
(10.19)
Je schmaler (breiter) das Signal f (t) werden soll, desto breiter (schmaller) ist das Frequenzspektrum, das man benötigt.
Die Unschärferelation (10.19) ist nicht an das Beispiel (10.17) gebunden, sondern ist
ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation.
Die Unschärferelation (10.19) wird sich in der Quantenmechnik (mit einem Faktor ~
verziert) als ein Spezialfall der Heisenberg’schen Unschärferelation wiederfinden.
88
Frequenz-Raum
Amplitude
Fourier
Transformation
Amplitude
Orts-Raum
Raumfrequenz
Strecke
Bemerkung Jede andere Variable kann eine Fourier-Transformation verwendet werden,
z.B. Funktionen f (x) des Ortes.
Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form
1 Z∞ ˜
f (ω) exp(−iωt) dω
f (t) = √
2π −∞
(10.20)
mit
1 Z∞
˜
√
f (ω) =
f (t) exp(iωt) dt
2π −∞
benutzt. Die Koeffizienten f˜(ω) sind entsprechend zu reskalieren.
10.3
(10.21)
δ-Distribution
Distributionen Die Fourier-Transformation (10.14), (10.15) führt auf das folgende mathematische Problem: Setzt man (10.15) in (10.14) ein, so muss (nach Vertauschung der
Integrationsreihenfolge)
f (t) =
Z ∞
1 Z∞Z∞
f (t0 )δ(t − t0 ) dt0
f (t0 ) exp(−iω(t − t0 )) dω dt0 =
2π −∞ −∞
−∞
mit
(10.22)
1 Z∞
δ(t − t ) =
exp(−iω(t − t0 )) dω
(10.23)
2π −∞
für beliebige quadratintegrable Funktionen f (t) gelten. Die hier eingeführte Größe δ(t−t0 )
ist offensichtlich keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution, welche streng
genommen nicht für sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbindung mit der Integration
in (10.22) erklärt ist.
0
x
x
89
Darstellungen der Delta-Funktion Die δ-Distribution (als deren Definition wir im
folgenden (10.22) betrachten wollen), kann durch jede Folge stetiger Funktionen δn , für
die
Z ∞
f (t0 )δn (t − t0 ) dt0 = f (t)
(10.24)
lim
n→∞
−∞
gilt, dargestellt werden. Beispiele:
• Rechteck
δn (t) = n
für
|t| <
1
;
2n
δn (t) = 0
sonst.
(10.25)
• Gauß-Funktion („Glockenkurve“)
δn (t) = n exp(−πt2 n2 ).
(10.26)
• Die Darstellung
1 sin(nt)
1 Zn
=
exp(iωt) dω
π
t
2π −n
führt direckt auf die Schreibweise (10.23).
δn (t) =
(10.27)
Vorsicht: Die Gleichungen (10.24) - (10.27) sind so zu verstehen, dass die t0 -Integration
vor der Limes-Bildung n → ∞ auszuführen ist!
Rechenregeln für die Delta-Funktion Wie man sich leicht selber überzeugen kann
gelten die Beziehungen
1.) δ(t) = δ(−t),
90
2.) δ(at) = δ(t)/|a| und
3.) δ(t2 − a2 ) =
h
i
δ(t + a) + δ(t − a) / (2|a|);
91
a 6= 0 .
Teil V
Quellen elektromagnetischer
Strahlung
92
Kapitel 11
Lösungen der inhomogenen
Wellengleichungen
11.1
Problemstellung
Bei Anwesenheit von Ladungen haben wir die inhomogenen Gleichungen (vgl. (7.9),
(7.10))
1 ∂2
(11.1)
∆A − 2 2 A = −µ0 j,
c ∂t
1 ∂2
ρ
∆Φ − 2 2 Φ = −
(11.2)
c ∂t
0
mit der Nebenbedingung (Lorentz-Eichung)
1 ∂Φ
= 0
c2 ∂t
zu lösen. Das Problem ist also die Lösung einer inhomogenen Wellengleichung
∇·A+
Ψ(r, t) = −γ(r, t),
=∆−
1 ∂2
,
c2 ∂t2
(11.3)
(11.4)
wobei Ψ für Φ, Ai und γ für ρ/0 , µ0 ji steht.
Green’schen Funktionen Die allgemeine Lösung von (11.4) setzt sich aus der (siehe Abschnitt 10) allgemeinen Lösung der homogenen Wellengleichung (9.8) und einer
speziellen Lösung der inhomogenen Wellengleichung zusammen. Zur Konstruktion einer
speziellen Lösung von (11.4) benutzen wir die Methode der Green’schen Funktionen. Mit
der Definition der Green’schen Funktion,
G(r, r0 ; t, t0 ) = −δ(r − r0 ) δ(t − t0 )
(11.5)
können wir als (formale) Lösung
Ψ(r, t) =
Z
G(r, r0 ; t, t0 ) γ(r0 , t0 ) d3 r0 dt0
93
(11.6)
angeben, wie man durch Einsetzen von (11.6) in (11.4) direkt bestätigt. Dabei haben wir
die Reihenfolge von Integration bzgl. r0 , t0 und Differentiation bzgl. r, t vertauscht.
Symmetrien und Kausalität Die Green’sche Funktion hat zwei fundamentale Eigenschaften,
G(r, r0 ; t, t0 ) = G(r − r0 ; t − t0 )
(11.7)
aufgrund der Invarianz von (11.5) gegen Raum- und Zeit-Translationen, sowie
G(r − r0 ; t − t0 ) = 0
für t < t0
(11.8)
wegen des Kausalitätsprinzips: Die Wirkung kann nicht vor der Ursache kommen.
11.2
Green’sche Funktion für den statischen Fall
Wir betrachten als Vorübung den (schon bekannten) Fall statischer Felder, z.B. des elektrostatischen Feldes. Die Poisson-Gleichung
∆Φ(r) = −
ρ(r)
0
(11.9)
hat als (spezielle) Lösung
1 Z ρ(r0 ) 3 0
dr ,
4π0 |r − r0 |
Φ(r) =
(11.10)
das Coulomb-Potential einer Ladungsverteilung ρ(r). (11.10) können wir als
Φ(r) =
Z
G(r, r0 )
ρ(r0 ) 3 0
dr
0
(11.11)
schreiben, mit der Green’schen Funktion
1
,
4π|r − r0 |
(11.12)
∆G(r, r0 ) = −δ(r − r0 )
(11.13)
G(r, r0 ) =
welche die Differentialgleichung
erfüllt.
Beweis für r 6= r0 Mit R = r − r0 und R = |R| finden wir
∆
1
R
R
R3
1
3
R
3
3
= − 3∇ · R + 4 R ·
= − 3 + 3 = 0.
R
R
R
R
R
= ∇· ∇
1
R
= −∇ ·
Damit ist die Definitionsgleichung (11.13) für die Green’sche Funktion im statischen Fall
für R 6= 0 erfüllt.
94
Beweis für |r − r0 | → 0 Man kann in einem Volumenintegral vom Typ
Z
f (R)∆
1
R
d3 R
(11.14)
den Integrationsbereich auf eine kleine Kugel vom Radius a mit Mittelpunkt bei R = 0
beschränken,
Z
1
f (R)∆
R
1
d R = lim
f (R)∆
a→0 Kugel(a)
R
Z
3
d3 R .
(11.15)
Ist nun f stetig um 0, so kann man f aus dem Integral herausziehen
Z
1
f (R)∆
R
1
d R = lim f (R = 0)
∆
a→0
R
Kugel(a)
Z
3
d3 R ,
(11.16)
und erhält nach dem Gauß’schen Satz
1
∆
R
Kugel(a)
Z
Also ist mit
1
dR =
d3 R
∇· ∇
R
Kugel(a)
Z
Z
1 2
1
· df = −
R dΩ = −4π .
=
∇
R
F (a) R2
F (a)
Z
3
1
d3 R = −4πf (0)
(11.17)
R
die Definitionsgleichung (11.13) für die Green’sche Funktion im statischen Fall für allgemeine R = r − r0 erfüllt.
11.3
Z
f (R)∆
Green’sche Funktion für zeitabhängige Quellen
Laufzeit Da (11.5) die Wellengleichung für eine zeitlich und räumlich punktförmige
Quelle darstellt, muss G(r − r0 ; t − t0 ) eine Kugelwelle darstellen, welche den Ort r zur
Zeit t = t0 + |r − r0 |/c erreicht, wenn die sie auslösende Störung zur Zeit t0 am Ort r0
stattfindet. Dabei ist
|r − r0 |
c
die Zeit welche das Licht braucht um von r0 nach r zu gelangen.
Kugelwellen Eine Kugelwelle ist nur vom Radius R = |R| abhänging und muss quadratintegrabel sein, wenn die Gesamtenergie endlich sein soll. Wir machen daher den
Ansatz
g(τ − R/c)
G(R, τ ) =
,
(11.18)
R
mit τ = t − t0 . Hier ist also R/c die Laufzeit.
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Wir verwenden die Dastellung
∆ =
∂2
2 ∂
+
+ Winkelanteil
2
∂R
R ∂R
95
(11.19)
des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten und bestimmen g in (11.18) indem wir (11.18)
in (11.5) einsetzen,
1
R
1
∆g + 2∇
R
1 ∂2
= −4πg δ(R) +
g +
R ∂R2
1 ∂2
= −4πg δ(R) +
g.
R ∂R2
∆G = g∆
+
1
· ∇g
R
2 ∂
2 ∂
g − 2
g
2
R ∂R
R ∂R
(11.20)
Die erhaltene einfach Form ist der Grund bei der Definition der Green’sche Funktion in
(11.18) den Faktor 1/R explizit herauszuziehen. Wir haben
∇g = êr
∂g
+ Winkelanteil ,
∂r
(11.21)
verwendet, wobei ê = r/r der radiale Einheitsvektor ist.
Green’sche Funktionen für zeitabhängige Quellen Wir setzen nun (11.20) in die
Bestimmungsgleichung (11.5) für die Green’sche Funktion ein und erhalten
!
1 ∂2
−δ(R)δ(τ ) ≡ G(R, τ ) = ∆ − 2 2 G(R, τ )
(11.22)
c ∂τ
1 ∂ 2 g(τ − R/c)
1 ∂2
g(τ
−
R/c)
−
.
= −4πg(τ − R/c) δ(R) +
R ∂R2
c2 ∂τ 2
R
Diese Bestimmungsgleichung für g(τ − R/c) können wir lösen indem wir die δ-Funktionen
auf der linke Seite umschreiben,
δ(R)δ(τ ) = δ(R)δ(τ − R/c) .
Das ist möglich da ja δ(R) auch R = 0 impliziert. Damit erhalten wir
h
1 ∂2
1 ∂ 2 g(τ − R/c)
g(τ
−
R/c)
−
R ∂R2
c2 ∂τ 2
R
i
δ(R) 4πg(τ − R/c) − δ(τ − R/c) =
für (11.22), mit der Lösung
1
R
!
∂2
1 ∂2
−
g(τ − R/c) = 0,
∂R2 c2 ∂τ 2
4πg(τ − R/c) = δ(τ − R/c) .
Dabei ist die erste Gleichung trivialerweise erfüllt da g nur eine Funktion von τ − R/c ist.
Mit der Kausalitätsforderung G(r, r0 ; t − t0 ) = 0 für t < t0 erhalten wir also
G(r, r0 ; t − t0 ) =
δ(t − t0 − |r − r0 |/c)
4π|r − r0 |
(11.23)
für
96
t>t0
und damit nach (11.6) die allgemeine formale Lösung
Ψ(r, t) =
Z
3 0
dr
Z t
dt0
−∞
δ(t − t0 − |r − r0 |/c)
γ(r0 , t0 )
4π|r − r0 |
für die elektromagnetischen Potentiale.
Retardierte Green’sche Funktionen Die Inhomogenität in (11.5) stellt eine punktförmige Quelle dar, welche zur Zeit t0 am Ort r0 für eine (infinitesimal) kurze Zeit angeschaltet wird. Die von dieser Quelle hervorgerufene Störung breitet sich als Kugelwelle
mit der Geschwindigkeit c aus. Es muss also gelten:
• Die Kugelwelle G muss für t < t0 nach dem Kausalitätsprinzip verschwinden. Man
nennt Green’sche Funktionen welche das Kausalitätsprinzip erfüllen auch retardierte
Green’sche Funktionen.
• Sie muss am Ort r zur Zeit t = t0 + |r − r0 |/c ankommen, da elektromagnetische
Wellen sich mit der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ausbreiten.
• Da die Energie der Welle auf einer Kugeloberfläche verteilt ist, sollte G asymptotisch
wie R−1 verschwinden.
Die Green’sche Funktion (11.23) erfüllt genau diese Forderungen. Gleichung (11.6) zeigt,
wie man die Potentiale A, Φ zu gegebener Quellen-Verteilung ρ, j aus den Beiträgen für
punktförmige Quellen aufbauen kann.
11.4
Retardierte Potentiale
Mit (11.6) und (11.23) lauten die Lösungen von (11.1) und (11.2) für lokalisierte Ladungsund Strom-Verteilungen
1
1 Z
ρ(r0 , t0 ) δ(t − t0 − |r − r0 |/c)
d3 r0 dt0
Φ(r, t) =
4π0
|r − r0 |
und
A(r, t) =
1
µ0 Z
j(r0 , t0 ) δ(t − t0 − |r − r0 |/c)
d3 r0 dt0 .
4π
|r − r0 |
(11.24)
(11.25)
Die Lösungen (11.24) und (11.25) sind über (11.3) bzw. die Ladungserhaltung (6.3) miteinander verknüpft. Die Ausführung der Integrationen in (11.24) und (11.25) wollen wir
anhand von zwei praktisch wichtigen Spezialfällen untersuchen; dabei werden wir besonders auf die im Argument der δ-Distribution enthaltene Retardierung achten.
Quasistationäre Felder Vernachlässigt man die Retardierung in (11.24) und (11.25),
|r − r0 |
δ t−t −
c
!
0
→
97
δ(t − t0 ) ,
(11.26)
so erhält man quasistationäre Felder:
Φ(r, t) =
1 Z ρ(r0 , t) 3 0
d r,
4π0 |r − r0 |
(11.27)
µ0 Z j(r0 , t) 3 0
d r,
(11.28)
4π |r − r0 |
welche in der Theorie elektrischer Netzwerke und Maschinen auftreten. Die Näherung
(11.26) ist gerechtfertigt, wenn ρ und j sich während der Zeit, die eine elektromagnetische
Welle braucht, um die Distanz |r − r0 | zurückzulegen, (praktisch) nicht ändert.
A(r, t) =
Zeitlich periodische Quellen-Verteilungen Als erste Anwendung betrachten wir
zeitlich periodische Ströme und Ladungsverteilungen, wie sie typischeweise in Antennen
auftreten.
ρ = ρ(r) exp(−iωt);
j = j(r) exp(−iωt) .
(11.29)
Dann folgt aus (11.24), (11.25):
A = A(r) exp(−iωt) ,
Φ = Φ(r) exp(−iωt);
(11.30)
mit (k = ω/c) und
Φ(r) =
1 Z ρ(r0 ) exp(ik|r − r0 |) 3 0
d r,
4π0
|r − r0 |
µ0 Z j(r0 ) exp(ik|r − r0 |) 3 0
d r.
A(r) =
4π
|r − r0 |
(11.31)
(11.32)
Die zugehörigen Differentialgleichungen ergeben sich aus (11.1), (11.2) und (11.29) zu:
(∆ + k 2 )Ψ(r) = −γ(r),
(11.33)
wo Ψ für Φ, Ai und γ für ρ/0 , µ0 ji steht. Die Lösungen (11.31) und (11.32) können wir
dann mit der zu (11.33) gehörenden Green’schen Funktion
G(r, r0 ; k) =
als
Ψ(r) =
Z
exp(ik|r − r0 |)
4π|r − r0 |
γ(r0 ) G(r, r0 ; k) d3 r0
(11.34)
(11.35)
schreiben. Die Diskussion der Integrale (11.31), (11.32) werden wir später wieder aufgreifen.
11.5
Liénard-Wiechert Potentiale
Potentiale bewegte Punktladungen In vielen Anwendung ist es wichtig die retardierten Potential einer einzelnen Punktladung q zu kennen, welche sich auf der Bahn r0 (t)
bewegt. Die bewegte Punktladung wird durch
ρ(r, t) = q δ(r − r0 (t));
j(r, t) = q v(t) δ(r − r0 (t))
98
(11.36)
beschrieben. In (11.24) kann die r0 - Integration ausgeführt werden,
q Z
δ(t − t0 − |r − r0 |/c) 3 0 0
δ(r0 − r(t0 ))
d r dt
Φ(r, t) =
4π0
|r − r0 |
q Z δ(t − t0 − |r − r(t0 )|/c) 0
=
dt ,
4π0
|r − r(t0 )|
und analog
µ0 q Z v(t0 )δ(t − t0 − |r − r(t0 )|/c) 0
A(r, t) =
dt .
4π
|r − r(t0 )|
(11.37)
(11.38)
Rechnen mit δ-Funktionen Die Integrale (11.37), (11.38) haben die Form
Z
g(x) δ(f (x)) dx =
Z
Z
1
g(x) δ(x − x0 ) dx ,
g(x) δ(f (x0 )(x − x0 )) dx =
|f 0 (x0 )|
0
wobei wir f (x) um die Nullstelle x0 entwickelt haben, f (x0 ) = 0. Falls es mehr als eine
Nullstelle gibt, so ist eine Summe über alle Nullstellen durchzuführen. In unserem Falle
hat
f (t0 ) = (t0 − t) + |r − r(t0 )|/c
(11.39)
nur eine Nullstelle als Funktion von t0 , da das Teilchen sonst an verschiedenen Orten
gleichzeitig sein würde. Damit erhalten wir
Z
g(t0 ) δ(f (t0 )) dt0 =
g(t00 )
;
|f 0 (t00 )|
f (t00 ) = 0 .
(11.40)
Hierbei ist zu beachten, dass die Nullstelle t00 implizit eine Funktion der Zeit t ist.
Nullstelle Um die Nullstelle t00 von f (t0 ) zu berechnen führen wir die Entwicklung um
t00 explizit durch:
f (t0 ) = (t0 − t00 ) + (t00 − t) +
|
1 1 ∂ 0 r − r(t00 ) + (t0 − t00 )
r
−
r(t
)
0 0 ,
t =t0
c
c ∂t0
{z
}
=0
wobei wir t00 addiert und subtrahiert haben. Mit den Abkürzungen
R(t0 ) = r − r(t0 );
v(t00 ) = ṙ(t00 )
für den Abstand R lässt sich somit f (t0 ) für t0 in der Nähe von t00 als
0
0
f (t ) = (t −
t00 )
R(t00 ) · v(t00 )
1−
c |R(t00 )|
!
≡ (t0 − t00 ) κ(t00 )
(11.41)
schreiben, mit
κ(t00 ) = 1 −
R(t00 ) · v(t00 )
n·v
= 1−
;
0
c |R(t0 )|
c
wobei die Nullstelle t0 von t abhängt.
99
n =
R
,
R
(11.42)
Liénard-Wiechert Potentiale Also erhalten wir aus (11.37) und (11.38) die elektromagnetischen Potentiale bewegter Ladungen
Φ(r, t) =
q
q
1
1
=
0
0
0
4π0 R(t0 )κ(t0 )
4π0 R(t0 ) − R(t00 ) · v(t00 )/c
(11.43)
und analog
A(r, t) =
v(t00 )Φ(r, t)
qµ0 v(t00 )
0
=
µ
v(t
)Φ(r,
t)
≡
0
0
0
4π R(t00 )κ(t0i )
c2
(11.44)
.
Die Ausdrücke (11.43) und (11.44) nennt man Liénard-Wiechert Potentiale.
Relativistische Verkürzung Der „effektive Abstand“ zur Ladung ist durch die Projektion der Geschwindigkeit v des Teilchens
auf den momentanen Verbindungsvektor R
zum Beobachter relativistisch verkürzt,
1
R → R 1− n·v ;
c
n=
r
R
v
r(t´)
R
.
R
Statischer Grenzfall Der Grenzfall v → 0 für die Liénard-Wiechert Potentiale (11.43)
und (11.44) ergibt
q
,
(11.45)
A → 0;
Φ(r, t) →
4π0 R
das elektrische Potential einer unbewegten Punktladung.
11.6
Strahlung bewegter Punktladungen
Von Abstrahlung elektromagnetischer Wellen durch lokalisierte Ladungs- und StromVerteilungen sprechen wir, wenn der Energiefluss S durch die unendlich ferne Oberfläche
nicht verschwindet,
Z
E×B
lim S · dF 6= 0;
S =
.
(11.46)
R→∞
µ0
Das bedeutet, dass die Felder E, B nicht stärker als R−1 abfallen dürfen, da die Oberfläche
wie R2 anwächst. Solche Felder nennt man Strahlungsfelder, im Gegensatz zu den
statischen Feldern, welche mit R−2 abfallen.
Fernfelder Wir sind nun an dem Verhalten der elektromagnetischen Felder bewegter
Ladungen im Limes großer Distanzen interessiert. Dort breitet sich die Stahlung frei aus
und werden ebenen Wellen immer ähnlicher, für welche nach (9.36)
B =
n̂ × E
c
100
gilt, wobei n̂ die Ausbreitungsrichtung ist. Daher betrachten wir bis auf weiteres nur das
elektrische Feld.
Integraldarstellung der Felder bewegter Punktladungen Wir wollen nun zeigen,
dass beschleunigte Punktladungen strahlen. Dazu müssen wir die zu den Liénard-Wiechert
Potentialen (11.43) und (11.44) gehörenden Felder über
B = ∇ × A;
E = −∇Φ −
∂A
∂t
(11.47)
berechnen, wobei wir für Φ, A die Form (11.37), (11.38) benutzen wollen. Mit den Abkürzungen
∇f (R) = n
∂f
;
∂R
R(t0 ) = r − r(t0 );
n =
R
(≡ êr )
R
erhält man
Z
−q
δ(t − t0 − |r − r(t0 )|/c) 0
−∇Φ(r, t) =
∇r
dt
4π0
|r − r(t0 )|
(
!
!)
q Z 0 n(t0 )
R(t0 )
n(t0 ) 0 0
R(t0 )
0
=
dt
δ t −t+
−
δ t −t+
4π0
R2 (t0 )
c
cR(t0 )
c
und
∂
−µ0 q ∂ Z v(t0 )δ(t − t0 − |r − r(t0 )|/c) 0
− A(r, t) =
dt
∂t
4π ∂t
|r − r(t0 )|
!
µ0 q Z 0 v(t0 ) 0 0
R(t0 )
=
δ t −t+
dt
.
4π
R(t0 )
c
Dabei bedeutet δ 0 (t0 −t+R(t0 )/c) die Ableitung nach ihrem Argument ξ = t0 −t+R(t0 )/c.
Mit µ0 0 = 1/c2 erhalten wir für das elektrische Feld
(
!
!)
0
0
0
0
q Z 0 n(t0 )
R(t
)
v(t
)/c
−
n(t
)
R(t
)
E(r, t) =
dt
δ t0 − t +
+
δ 0 t0 − t +
4π0
R2 (t0 )
c
cR(t0 )
c
!
Z
0
0
0
q
v(t )/c − n(t ) 0 0
R(t )
≈
dt0
δ t −t+
,
(11.48)
0
4π0
cR(t )
c
wobei der Term ∼ 1/R2 nicht zur Abstrahlung beiträgt.
Felder bewegter Punktladungen Zur Ausführung der t0 - Integration in den Integraldarstellungen (11.48) benutzen wir
1
d
R(t0 )
0
δ (ξ) =
δ
t
−
t
+
,
κ(t0 ) dt0
c
!
0
ξ = t0 − t + R(t0 )/c
(11.49)
mit κ(t0 ) aus (11.42). Somit wir der Ausdruck (11.48) für das elektrische Feld im Fernfeld
mit Hilfe einer partiellen Integration zu
−q d
E(r, t) ≈
4π0 dt0
101
v(t0 )/c − n(t0 )
κ(t0 )R(t0 )
!
(11.50)
im Fernfeld. Um die Differentiation nach t0 auszuführen bilden wir
dn
R
1
d r − r0 (t0 )
v
=
=
(n
·
v)n
−
v
.
=
(n
·
v)
−
dt0
dt0 |r − r0 (t0 )|
R2
R
R
(11.51)
Also können wir ṅ vernachlässigen, da es wie ∼ 1/R abfällt. Weiterhin haben wir
d
R·v
d
R
−
(κR)
=
dt0
dt0
c
v2
R
−n·v −
n·b
c
c
=
mit R = |r − r(t0 )| und der Beschleunigung b und
b =
dv
;
dt0
Ṙ =
1
R · (−v) = −n · v .
R
Somit finden wir den führenden Term
d
1
−1 −R n·b
≈
n
·
b
=
0
0
0
2
2
dt κ(t )R(t )
κR c
cκ2 R
(11.52)
im Fernfeld.
Entwicklung der Felder nach großen Entfernungen Setzen wir (11.51), (11.52) in
(11.50) ein und ordnen wir nach Potenzen von R−1 , so erhalten wir
E(r, t) =
q
4π0
v
1
n
·
b
n
−
c2 κ3 R
c
+ O(R−2 ) .
− κb
(11.53)
ret
Die letzteren Terme sind im Hinblick auf die Ausstrahlungsbedingung (11.46) uninteressant. Dieser Ausdruck läßt sich mit Hilfe der Identität
v
v
v·n
2
n× n−
× b = (n · b) n −
−b n −
c
c
c
v
= (n · b) n −
− κb ,
(11.54)
c
umformen, wobei wir x × (y × z) = (x · z)y − (x · y)z benutzt haben.
Energiestromdichte Wie Eingangs erwähnt erhalten wir die magnetische Induktion
aus der Relation
n×E
,
(11.55)
B =
c
welche generell für den asymptotischen Bereich gilt. Wir finden dann für den PoyntingVektor
S =
E×B
n 2
E × (n × E)
1 2
=
=
nE − E(n · E) =
E ,
µ0
µ0 c
µ0 c
µ0 c
(11.56)
da n · E = 0 im Fernfeld. Mit (11.53) und (11.54):
q2n
S=
n×
16π 2 0 c3 κ6 R2
102
2
v
n−
×b
c
.
(11.57)
Da |S| ∼ R−2 , ist die Ausstrahlungsbedingung (11.46) erfüllbar.
Nur beschleunigte Ladungen strahlen Unser Ergebnis (11.57) besagt, dass nur
beschleunigte Punktladungen mit b 6= 0 strahlen.
Dass gradlinig, gleichförmig bewegte Punktladungen (b = 0) nicht strahlen, folgt ohne
jede Rechnung aus dem Relativitätsprinzip: Das Ruhe-System der Punktladung ist dann
ein Inertialsystem, in dem das elektrische Feld das Coulomb-Feld ist und das magnetische
Feld, per Definition, verschwindet, so dass S = 0 wird.
Anwendungen Unser Ergebnis (11.57) für die Strahlung beschleunigter Ladungen für
viele Phänomene und Anwendungen von Bedeutung.
• Bremsstrahlung
Wenn ein geladenes Teilchen (z.B. Elektron) in einem äußeren Feld abgebremst wird
(z.B. beim Aufprall auf ein Target), dann entsteht Bremsstrahlung. Daraus resultiert
das kontinuierliche Röntgenspektrum.
• Synchrotron-Strahlung
Die Bewegung geladener Teilchen auf Kreisbahnen ist auch eine beschleunigte Bewegung. Die dabei entstehende Strahlung ist ein wesentliches Problem bei zyklischen
Teilchenbeschleunigern (Synchrotron); ein Teil der zugeführten Energie geht durch
Strahlung verloren.
• Strahlungsdämpfung
Im klassischen Atommodell bewegen sich die gebundenen Elektronen auf Kreis- bzw.
Ellipsenbahnen um den Atomkern. Dabei strahlen sie als beschleunigte Ladungen
kontinuierlich elektromagnetische Wellen ab. Der resultierende Energieverlust führt
zu instabilen Bahnen und schließlich zum Kollaps des Atoms im klassischen Modell.
Dieser Widerspruch zur experimentellen Beobachtung wird erst in der Quantentheorie bzw. Quantenelektrodynamik (QED) aufgelöst.
103
Kapitel 12
Multipolstrahlung
12.1
Langwellen-Näherung
Antennen emitieren Strahlung aufgrund zeitlich oszillierender Ströme. Wir sind nun daran
interessiert zu berechnen in welche Richtung abgestrahlt wird. Wir beschränken uns also
auf harmonisch oszillierende Strahlungsquellen.
Lorentz Eichung für oszillierende Quellen Für eine Quellen-Verteilung der Form
ρ = ρ(r) exp(−iωt);
j = j(r) exp(−iωt)
(12.1)
A = A(r) exp(−iωt)
(12.2)
hatten wir in Abschnitt 11.4
Φ = Φ(r) exp(−iωt);
gefunden, sowie (mit k = ω/c)
1 Z ρ(r0 ) exp(ik|r − r0 |) 3 0
dr ,
Φ(r) =
4π0
|r − r0 |
(12.3)
µ0 Z j(r0 ) exp(ik|r − r0 |) 3 0
A(r) =
dr .
4π
|r − r0 |
Bei der Diskussion von (12.3) können wir uns im Folgenden auf A(r) beschränken, da A
und Φ direkt über die Lorentz-Konvention
∇·A+
1 ∂Φ
= 0
c2 ∂t
(12.4)
zusammenhängen. Also, zusammen mit (12.2),
Φ(r) =
c2
∇ · A(r) .
iω
(12.5)
Alternativ können wir für die Felder auch die Beziehungen
B =
e×E
;
c
E = cB × e
104
(12.6)
benutzen, welche allg. für Strahlungsfelder in der Lorentz-Eichung gelten, wobei e die
Ausbreitungsrichtung ist.
Langwellen - Näherung Zur weiteren Behandlung von (12.3) machen wir die Langwellen - Näherung
2π
,
(12.7)
d0 λ =
k
wobei d0 den Radius einer Kugel angibt, welche die Ladungs- und Stromverteilung umfasst.
• Für die optische Strahlung von Atomen ist
d0 ≈ 1 Å = 10−10 m;
λ ≈ 5000 Å = 5 · 10−7 m
• Für die γ-Strahlung von Atomkernen:
d0 ≈ 10−15 m;
λ ≈ 10−13 m .
Bei der Diskussion von (12.3) sind nun die Längen d, λ und r wesentlich.
Nahzone: d0 < r λ In der Nahzone gilt
k|r − r0 | =
2π
|r − r0 | 1 ,
λ
(12.8)
und wir erhalten:
1 Z ρ(r0 ) 3 0
Φ(r) =
d r;
4π0 |r − r0 |
µ0 Z j(r0 ) 3 0
A(r) =
dr .
4π |r − r0 |
(12.9)
Der Ortsanteil der Potentiale zeigt nach (12.9) die gleiche Struktur wie in Elektro- und
Magnetostatik.
Angesichts der Zeitabhängigkeit (12.2) spricht man von quasistatischen Feldern,
für die E, B wie R−2 abfallen, so dass die Ausstrahlungsbedingung (11.46) nicht erfüllt
ist.
Das bedeutet nur, dass die Nahfelder nicht zur Abstrahlung beitragen, und nicht dass
es keine Abstrahlung gäbe, welche durch die Fernfelder zustande kommt.
Fernzone: d0 λ r Wegen
kr =
2πr
1
λ
(12.10)
können wir dann die Taylor-Reihe in (r0 /r)
0
|r − r | =
X
n
(−)n 0
r · r0
r · r0
(r · ∇)n r ≈ r −
= r 1− 2
n!
r
r
105
!
(12.11)
in (12.3) benutzen:
A(r) = A0 (r) + A1 (r) + · · ·
=
(12.12)
µ0 Z 3 0
exp(ikr)
r · r0
d r j(r0 )
exp(−ikr · r0 /r) 1 − 2
|
{z
}
4π
r
r
{z
|
r·r0
1−i r k
0
1 + r·r
r2
µ0 exp(ikr) Z 3 0
d r j(r0 ) 1 +
=
4π
r
|
!−1
}
1
− ik (e · r0 ) + · · ·
r
{z
}
n
o
ω
0
≈ 1 − i c (e · r )
mit k = ω/c und dem Richtungsvektor
r
.
r
e =
(12.13)
Multipole Zu beachten ist, daß für das Strahlungsfeld nur der Term ∼ O(r−1 ) für das
Vektorpotential relevant ist. Dieser Term hat viele Beiträge mit jeweils unterschiedlichen
Winkelabhängigkeiten, den sog. Multipolen. Wir analysieren nun die wichtigsten Multipole
und werden in Kapitel 13 dann die systematische Gruppierung der einzelnen Term in der
Form von Multipolen diskutieren.
12.2
Elektrische Dipol-Strahlung
Inversionssymmetrie Zum ersten Term in (12.12)
µ0 exp(ikr) Z 3 0 0
A0 (r) =
d r j(r )
4π
r
(12.14)
trägt nur die Komponente des Stromes bei, welche inversionssymmetrisch ist.
js (r0 ) =
1 0
j(r ) + j(−r0 ) ;
2
ja (r0 ) =
1 0
j(r ) − j(−r0 ) ,
2
mit
js (r0 ) = js (−r0 );
ja (r0 ) = −ja (−r0 ) .
(12.15)
Zum Integral in (12.14) trägt nur der inversionssymmetrische Anteil js der Stromverteilung
bei.
Elektrisches Dipolmoment Analog zu der Diskussion im Abschnitt 5.4 fomen nun
(12.14) um. Allerdings ist gilt nun ∇ · j = −ρ̇ 6= 0.
Z
V
ji d3 r0 =
=
Z
ZV
F
∇0 · (x0i j) d3 r0 −
x0i (j · df 0 ) −
Z
V
Z
V
x0i (∇0 · j) d3 r0
x0i (−ρ̇) d3 r0 = −iω
106
(12.16)
Z
V
x0i ρ(r0 ) d3 r0 ,
Da die Ladungs- und Stromverteilung räumlich begrenzt sind sowie unter Ausnutzung der
Kontinuitätsgleichung
∇ · j − iωρ = 0 .
(12.17)
Mit der Definition
d =
Z
r ρ(r) d3 r
V
für das elektrische Dipolmoment wird A0 (r) dann zu
A0 (r) = −iω
µ0 exp(ikr)
d
4π
r
,
(12.18)
der Strahlung welche durch einen oszillierenden elektrischen Dipol erzeugt wird.
Felder der elektrischen Dipolstrahlung Für die Felder folgt mit
∇ × exp(ikr) d = ik exp(ikr)
r
ω
× d = i exp(ikr) e × d ,
r
c
und
B0 (r) = ∇ × A0 =
µ0 2 exp(ikr)
ω
(e × d) ,
4πc
r
(12.19)
wobei wir uns auf die Terme ∼ r−1 beschränkt haben.
Energiestromdichte Das entsprechende elektrische Feld für die elektrische Dipolstrahlung (12.19) folgt aus (12.6),
E0 (r) = c (B0 × e) .
(12.20)
Damit können wir nun die Energiestromdichte
S =
E×B
c
c 2
c
=
(B0 × e) × B0 =
eB0 − B0 (B0 · e) =
e B02
µ0
µ0
µ0
µ0
berechnen (vergl. (11.56)), wobei wir benutzt haben dass B0 · e = 0 im Strahlungsfeld ist.
Wir benutzen die Realteile von (12.19) und (12.20) und finden mit (12.2)
S0 =
cos2 (kr − ωt)
µ0
4 2
2
ω
d
sin
θ
e,
16π 2 c
r2
(12.21)
wobei θ der von e und d eingeschlossene Winkel ist. Für den zeitlichen Mittelwert folgt:
2
µ0
4 2 sin θ
S0 =
ω d
e
16π 2 c
2r2
.
(12.22)
Der Dipol strahlt also nicht in Richtung von d (θ = 0), sondern maximal senkrecht zu d
(θ = 900 ). Die sin2 θ - Abhängigkeit ist charakteristisch für Dipolstrahlung.
107
Bemerkungen
• Charakteristisch für Strahlungsfelder ist ihre Eigenschaft, dass E, B und S ein
orthogonales Dreibein bilden (vgl. Abschnitt 9.3).
• Ein (mit der Frequenz ω) oszillierender Dipol ist nur durch beschleunigte Punktladungen realisierbar. (12.22) ist also konform mit der allgemeinen Aussage (11.57).
• Die Strahlung niedrigster Multipolarität ist Dipol-Strahlung (l=1), nicht MonopolStrahlung (l=0)! In der Quantentheorie wird gezeigt, wie die Multipolarität der
Strahlung und der Drehimpuls der Photonen zusammenhängen. Da Photonen einen
Eigendrehimpuls haben (Spin 1), gibt es keine drehimpuls-freie Strahlung, d.h.
Monopol-Strahlung. Der Spin der Photonen ist direkt mit der Tatsache verknüpft,
dass Strahlungsfelder Vektor-Felder sind.
12.3
Magnetische Dipol-Strahlung
Der 2. Term der Entwicklung (12.12) lautet
µ0 exp(ikr) Z
j(r0 )(e · r0 ) d3 r0 ;
A1 (r) = −iω
4πc
r
e =
r
.
r
(12.23)
In diesem Fall trägt nur der antisymmetrische Anteil ja (r0 ) = (j(r0 ) − j(−r0 ))/2 der
Stromverteilung, siehe (12.15), bei.
Magnetisches Dipolmoment vs. elektrisches Quadrupolmoment Das verbleibende Integral in (12.23) ist durch das magnetische Dipolmoment und den elektrischen
108
Quadrupoltensor bestimmt. Diese Namensgebung wird sich in Kapitel 13 klären, wenn
wir die systematische Entwicklung des Fernfeldes nach Kugelfunktionen diskutieren.
An dieser Stelle benutzen wir die Identität,
(e · r0 ) j =
o
1n
1 0
(r × j) × e +
(e · r0 ) j + (e · j) r0 ,
2
2
(12.24)
und stellen fest, daß sich die Integranden in (12.23) bei einer formellen Vertauschung
r0 ↔ j(r0 ) in einen antisymmetrischen und symmetrischen Anteil aufteilen.
Magnetischer Dipol Mit der Definition
1Z
m =
(r × j) dV
2 V
(4.39) des magnetischen Dipolmoments wird der antisymmetrische Anteil zu
(m)
A1 (r) = −iω
µ0 exp(ikr)
(m × e) .
4πc
r
(12.25)
Der magnetische Dipol-Anteil des Vektorpotentials geht formal in den elektrischen DipolAnteil (12.18) über, wenn man
1
(m × e)
c
→
d
(12.26)
ersetzt. Damit kann man aus (12.19) und (12.20) für die Feldstärken sofort ablesen,
(m)
B1 (r) =
µ0 2 exp(ikr) ω
e
×
(m
×
e)
4πc2
r
(12.27)
und
(m)
(m)
E1 (r) = c (B1
× e) .
(12.28)
Abstrahlung und Vergleich Analog zu (12.22) findet man für die im Zeitmittel abgestrahlte Energie
2
µ0
(m)
4 2 sin θ
S1 =
ω
m
e,
(12.29)
16π 2 c3
2r2
wobei θ der Winkel zwischen m und e ist.
• Der Vergleich von (12.29) und (12.22) zeigt, dass sich elektrische und magnetische
Dipol-Strahlung in ihrer Frequenz- und Winkelabhängigkeit nicht unterscheiden.
• Der einzige Unterschied zwischen elektrischer und magnetischer Dipol-Strahlung
liegt in der Polarisation:
– Für einen elektrischen Dipol liegt der Vektor des elektrischen Feldes
E || (e × d) × e = e2 d − (e · d) e
in der von e und d aufgespannten Ebene.
109
– Für einen magnetischen Dipol liegt der Vektor des elektrischen Feldes
E ||
e × (m × e) × e =
e2 m − (e · m) e × e = m × e
senkrecht zu der von e und m aufgespannten Ebene.
• Die elektrische Dipolstrahlung wird durch oszillierende inversionssymmetrische Ströme hervorgerufen, die magnetische Dipolstrahlung typischerweise durch oszillierende
Kreisströme.
js
ja
Elektrische Quadrupol-Strahlung Der 2. Term in (12.24) hat die Form
(e)
A1 (r)
o
µ0 exp(ikr) Z n
= −iω
j(e · r0 ) + r0 (e · j) d3 r0 .
4πc
2r
(12.30)
Ohne auf die Einzelheiten einzugehen bemerken wir, dass sich (12.30) wie folgt umschreiben läßt:
µ0 2 exp(ikr) Z
(e)
ω
(e · r0 ) r0 ρ(r0 ) d3 r0 .
(12.31)
A1 (r) = −
4πc
2r
Dieses Integral hat die Form von Quadrupolmomenten, vgl. (1.26)), d.h. der Integrand ist
proportional zur Ladungsdichte und quadratisch in den Ortskoordinaten. Für die Systematik verweisen wir auf Kapitel 13.
Anwendung in der Atom- und Kernphysik Atome und Kerne können unter Emission bzw. Absorption von elektromagnetischer Strahlung ihren Zustand ändern. Die Multipolentwicklung ist die für diese Situation passende Beschreibung des elektromagnetischen
Feldes. In der Atomphysik dominiert in der Regel die elektrische Dipolstrahlung:
• Die Energieflüsse der elektrischen Dipolstrahlung S̄0 , siehe (12.22), und der magne(m)
tischen Dipolstrahlung S̄1 skalieren wie
S̄0 ∼ ω 4
d2
;
c
(m)
S̄1
∼ ω4
m2
.
c3
Da das magnetische Dipolmoment m durch bewegte Ladungen bewirkt wird, ist somit die Abstrahlung der magnetischen Dipolstrahlung um den Faktor (v/c)2 kleiner
als die Abstrahlung der elektrischen Dipolstrahlung.
110
(e)
• Berechnet man den Energiefluss S̄1 der elektrischen Quadrupolstrahlung so findet
man im Vergleich
ω 4 d2
ω 6 Q2
(e)
S̄0 ∼
;
S̄1 ∼
,
c
c3
wobei das elektrische Dipolmoment linear zu den atomaren Abmessungen d0 ist, das
elektrische Quadrupolmoment dagegen ∼ d20 . Somit ist
(e)
S̄1
S̄0
ω 2 d20
d0
∼
= k 2 d20 = (2π)2
2
c
λ
!2
1.
Die Verhältnisse sind in der Kernphysik komplizierter. Eine genaue Diskussion ist hier
nur im Rahmen der Quantentheorie möglich.
111
Kapitel 13
Systematik der Multipolentwicklung
13.1
Eigenschaften der Kugelfunktionen
Wir wollen ein vollständiges Funktionensystem in den Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ), mit
r = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ)
(13.1)
entwickeln. Dieses Funktionensystem, die Kugelfunktionen, ist für viele Problemstellungen
von essentieller Bedeutung, wie z.B. für
• die systematische Entwicklung des elektromagnetischen Fernfelds;
• die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms in der Quantenmechanik;
• die Formulierung von Streuprozessen in der Kern- und Teilchenphysik;
und vieles mehr.
Kugelflächenfunktionen Die Lösungen von Differentialoperatoren bilden i.Allg. ein
vollständiges Funktionensystem. Warum dieses so ist wird in der Quantenmechanik näher
besprochen werden.
Wir betrachten Ansätze ψ(r, θ, ϕ) der Form
ψ (l) ∼
1
rl+1
Ylm (ϑ, ϕ);
ψ(l+1) ∼ rl Ylm (ϑ, ϕ)
l = 0, 1 . . . ,
(13.2)
wobei sich die Ylm (ϑ, ϕ) als die Kugelflächenfunktionen herausstellen werden.
• Mit den ψ (l) lassen sich die Fernfelder beschreiben und entwickeln.
• Mit den ψ(l+1) lassen sich Funktionen, welche im Ursprung regulär sind, nach Kugelfunktionen entwickeln.
Die Lösungsansätze (13.2) sollen die Laplace-Gleichung ∆ψ = 0 erfüllen,
∆
1
rl+1
Ylm (ϑ, ϕ)
∆ rl Ylm (ϑ, ϕ)
= 0;
112
= 0.
(13.3)
Laplace-Operator Der Laplace-Operator hat in Kugelkoordinaten die Form
!
1
∂2
∂
∂
1
∂2
2 ∂
+ 2
∆ =
sin ϑ
+ 2 2
,
+
2
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
|∂r {z r ∂r}
{z
|
= ∆r
= ∆θ,ϕ
(13.4)
}
wobei ∆r und ∆θ,ϕ den radialen und den Winkel-abhängigen Anteil des Laplace Operators
bezeichnen. Führt man die r-Differentiationen in (13.2) aus, siehe unten, so bleibt in
beiden Fällen
(
1 ∂
∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
!
)
1 ∂2
+
+ l(l + 1) Ylm (ϑ, ϕ) = 0
sin2 ϑ ∂ϕ2
;
(13.5)
dieses ist der Grund für die Wahl der r-Abhängigkeiten in (13.2). Mit (13.4) kann man
(13.5) auch als
l(l + 1)
∆θ,ϕ Ylm (ϑ, ϕ) = −
Ylm (ϑ, ϕ) .
(13.6)
r2
schreiben.
Radialer Laplace-Operator Wie holen die radiale Differentiation nach:
"
l
∆r r =
#
h
i
∂2
2 ∂
l
+
r
=
l(l
−
1)
+
2l
rl−2 = l(l + 1) rl−2
2
∂r
r ∂r
und
"
∆r r−l−1 =
#
h
i
2 ∂
∂2
−l−1
+
r
=
(l
+
1)(l
+
2)
−
2(l
+
1)
r−l−3 = (l + 1)l r−l−3
∂r2 r ∂r
Seperation des Azimutwinkels Mit dem Separationsansatz
Ylm (ϑ, ϕ) = exp(imϕ) Flm (ϑ)
(13.7)
für die Kugelflächenfunktionen (sphärisch Harmonischen) Ylm (ϑ, ϕ) reduziert sich (13.5)
auf
(
!
)
∂
m2
1 ∂
sin ϑ
−
+ l(l + 1) Flm = 0 .
(13.8)
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ
Der Index m in (13.7) muss ganzzahlig sein, da ϕ eine eineindeutige Funktion ist
→
ϕ(r, ϑ, ϕ) = ϕ(r, ϑ, ϕ + 2π)
m = 0, ±1, ±2, . . . .
(13.9)
Die erlaubten Werte für m werden wir noch bestimmen.
Lösung via Rekursion Zur Lösung von Gleichung (13.8) führen wir
ξ = cos ϑ;
1 d
d
= −
sin ϑ dϑ
dξ
113
(13.10)
ein, so dass (13.8) in
(
d
d
(1 − ξ 2 )
dξ
dξ
!
)
m2
−
+ l(l + 1) Flm = 0 .
1 − ξ2
(13.11)
übergeht.
• Für l = m kann man die Lösung (bis auf einen Normierungsfaktor) sofort angeben,
Fll ∝ (1 − ξ 2 )l/2 = (sin ϑ)l
,
(13.12)
denn dann gilt
!
d
l d
d
(1 − ξ 2 )l/2 (−2ξ)
(1 − ξ 2 )
(1 − ξ 2 )l/2 =
dξ
dξ
2 dξ
(1 − ξ 2 )l/2 2
ξ
−
1
+
1
− l(1 − ξ 2 )l/2
1 − ξ2
"
#
l2
2
= (−l − l) +
(1 − ξ 2 )l/2
1 − ξ2
= l2
und (13.11) ist erfüllt.
• Die Lösungen zu m 6= l erhält man dann rekursiv (bis auf einen Normierungsfaktor)
aus
!
Flm−1 =
d
−
− m cot ϑ Flm .
dϑ
(13.13)
Der Beweis (durch Einsetzen von (13.13) in (13.8)) ist ebenso elementar wie langwierig. Damit sind die Flm Polynome in cos ϑ und sin ϑ der Ordnung l sind, da
die Differentiation nach ϑ und Multiplikation mit cot ϑ die Ordnung von Fll nicht
ändern.
• Man kann mit analogen Methoden zeigen, daß Flm für alle m-Werte mit |m| > l
verschwindet. Also folgt
−l ≤ m ≤ l
114
.
Einige Kugelfunktionen niedriger Ordnung Zur Illustration führen wir die ersten
Kugelfunktionen explizit auf,
Y00 =
√1
4π
Y11 = −
Y10 =
Y22 =
q
1
4
3
8π
3
4π
q
Y21 = −
Y20 =
q
cos ϑ
15
q2π
q
5
4π
sin ϑ eiϕ
(13.14)
sin2 ϑ e2iϕ
15
8π
sin ϑ cos ϑ eiϕ
3
2
cos2 ϑ −
1
2
∗
mit Yl−m (ϑ, ϕ) = (−)m Ylm
(ϑ, ϕ).
Skalarprodukt Eine wichtige Eigenschaft der Kugelfunktionen ist die Orthogonalität.
Um sie zu formulieren müssen wir ein Skalarprodukt definieren.
Wir betrachten zwei quadrat-integrable Funktionen fn (x) und fm (x) auf dem Intervall
[a, b]. Wir definieren dann durch
(fm , fn ) =
Z b
a
∗
fm
(x)fn (x) dx
(13.15)
das Skalarprodukt (fn , fm ). Als Norm von fn wird
(fn , fn ) =
Z b
a
|fn (x)|2 dx ≥ 0
(13.16)
wie üblich definiert. Das Skalarprodukt im Raum der quadrat-integrablen Funktionen hat
dieselben Eigenschaften wie das Skalarprodukt in Vektoräumen mit endlichen Dimensionen.
• Linearität
Das Skalarprodukt ist linear im zweiten Argument und anti-linear im ersten Argument,
(f1 + λf2 , g) = (f1 , g) + λ∗ (f2 , g);
(f, g1 + λg2 ) = (f, g1 ) + λ(f, g2 ) .
• Orthogonalität
Man nennt 2 Funktionen f (x) und g(x) orthogonal wenn
(f, y) = 0 .
(13.17)
Hilberträume Ein Funktionenraum mit einem Skalarprodukt nennt man auch einen
Hilbertraum. Mehr hierzu in der Quantenmechanik.
115
• Abgeschlossenheit
Ein Hilbertraum ist abgeschlossen. Wenn zwei Funktionen f (x) und g(x) Elemente
des Hilbertraumes sind, dann auch jede Linearkombination
λ1 f (x) + λ2 g(x) .
• Null-Element
Die Norm einer Funktion f (x)
⇔
(f, f ) = 0
f (x) ≡ 0
verschwindet dann und nur dann wenn die Funktion selber verschwindet. Jeder
Hilbertraum hat ein Null-Element.
• Orthonormalsystem
Eine Menge von Funktionen fn (x) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem wenn
(fn , fm ) = δnm
gilt und wenn jede Funktion f (x) als Linearkombination
X
f (x) =
cn fn (x)
(13.18)
n
der Basisfunktionen fn (x) dargestellt werden kann. Dabei nennt man die cn die
Entwicklungskoeffizienten. Diese sind durch
(fm , f ) =
X
cn (fm , fn ) =
n
X
cn δmn = cm
(13.19)
n
bestimmt.
Orthogonalität der Kugelfunktionen Die Kugelfunktionen sind auf der Einheitskugel
orthonormiert,
(Ylm , Yl0 m0 ) ≡
Z 2π
0
dϕ
Z π
0
∗
sin ϑ dϑ Ylm
(θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ) = δll0 δmm0 .
(13.20)
Wegen
Z 2π
(
0
dϕ exp(i(m − m )ϕ) =
0
2π
0
für m = m0
für m =
6 m0
(13.21)
ist die Orthogonalität bzgl. m sofort klar. Die normierten Funktionen auf dem Einheitskreis sind enstprechend
1
√ exp(imϕ) .
(13.22)
2π
Unter Zuhilfenahme der Bestimmungsgleichung (13.11) für die Flm (ϑ) kann man leicht
deren Orthogonalität bzg. θ nachweisen. Wir verzichten hier auf den expliziten Nachweis. Damit sind dann die Kugelfunktionen Ylm (ϑ, ϕ) = exp(imϕ) Flm (ϑ), siehe (13.7)
vollständig normiert.
116
Entwicklung nach Kugelfunktionen Die Kugelfunktionen sind auf der Einheitskugel
vollständig, d.h. jede Funktion
f (~r, r = 1) = f (r = 1, ϑ, ϕ) = g(ϑ, ϕ) .
(13.23)
lässt sich nach Kugelfunktionen entwickeln. Analog zu (13.18) und (13.19) gilt daher die
Darstellung
g(ϑ, ϕ) =
∞ X
l
X
alm Ylm (ϑ, ϕ) ,
(13.24)
l=0 m=−l
mit den Entwicklungskoeffizienten alm
alm =
Z
∗
dΩ Ylm
(ϑ, ϕ) g(ϑ, ϕ) ≡ (Ylm , g) .
(13.25)
In (13.24) haben wir verwendent, daß l = 0, 1, . . . ist, siehe (13.2).
Wir bemerken noch, dass ~2 l(l + 1) in der Quantenmechanik dem Quadrat des Gesamtdrehimpulses entspricht und ~m dem Drehimpuls für Rotationen um die z-Achse.
Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung Die allgemeine Lösung der LaplaceGleichung
∆ψ(r, ϑ, ϕ) = 0
(13.26)
können wir daher in sphärischen Koordinaten durch eine Reihenentwicklung in Kugelfunktionen darstellen
ψ(r, ϑ, ϕ) =
l
∞ X
h
X
i
alm rl + blm r−l−1 Ylm (ϑ, ϕ) .
(13.27)
l=0 m=−l
13.2
Legendre Polynome
Die Legendre Polynome bilden ein wichtiges Basissystem auf dem Intervall x ∈ [−1, 1].
Es gibt viele Darstellungsmöglichkeiten für die Legendre Polynome, hier interessieren wir
uns für den Zusammenhang mit den Kugelfunktionen. Dafür betrachten wir die Variabeltransformation
x = cos θ;
dx = − sin θ dθ ,
Z 1
. . . dx =
−1
Z π
. . . sin θ dθ ,
0
mit θ ∈ [0, π].
Legendre- und Kugelfunktionen Wir betrachten nun Funktionen g(ϑ, ϕ) auf der
Einheitssphäre, welche nicht vom Azimutwinkel ϕ abhängen,
g(ϑ, ϕ) ≡ g(ϑ) .
Dieses ist für die Kugelflächenfunktionen Ylm für m = 0 der Fall. Wir definieren mit
s
Yl0 (ϑ, ϕ) =
2l + 1
Pl (cos ϑ) .
4π
117
(13.28)
die Legendre Polynome Pl (cos ϑ). Diese sind nicht auf eins normiert, es gilt
Z π
0
sin θ dθPl (cos ϑ)Pl0 (cos ϑ) =
2
δll0 ,
2l + 1
(13.29)
was sofort aus der Orthonormalität (Ylm , Yl0 m0 ) = δll0 δmm0 der Kugelfunktionen folgt. Eine
allgemeine Funktion g(ϑ) läßt sich daher in Legendre Polynome entwickeln,
g(ϑ) =
∞
X
s
l=0
2l + 1
al0 Pl (cos θ)
4π
(13.30)
mit den Entwicklungskoeffizienten
s
al0 =
2l + 1 Z
dΩ Pl (cos ϑ) g(ϑ, ϕ) .
4π
(13.31)
Einige Legendre-Polynome niedriger Ordnung Mit x = cos θ haben die ersten
Legendre-Polynome die folgende Gestalt:
P0 (x) = 1
Pl (x) = x
P2 (x) = 3x2 − 1 /2
P3 (x) =
(13.32)
5x3 − 3x /2
Diese Polynome kann man sich in niedrigster Ordnung schnell selber rekursiv ausrechen.
Man geht von P0 (x) = 1 aus und verwendet die Orthonormierung (13.29) um P1 (x) zu
bestimmen, usw.
Entwicklung von 1/r nach Legendre Polynomen Wir betrachten nun die Entwicklung von
1
r0
1
q
=
;
1,
(13.33)
|r − r0 |
r
r2 + (r0 )2 − 2 r · r0
nach Potenzen von r0 /r, welche die Grundlage für die Multipolentwicklung darstellt. Wir
verwenden Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos ϕ
x = r0 sin ϑ0 cos ϕ0
y = r sin ϑ sin ϕ
y 0 = r0 sin ϑ0 sin ϕ0
z = r cos ϑ
z 0 = r0 cos ϑ0
(13.34)
und legen den Beobachtungspunkt r auf die z-Achse,
r = (0, 0, r);
r · r0 = rr0 cos θ0 .
Damit wird (13.33) zu
r0
=
r
1
1
= (1 + )−1/2 ;
0
|r − r |
r
118
r0
− 2 cos θ0
r
!
.
(13.35)
Wir betrachten nun die Terme niedrigster Ordnung,
1
1
1
3
5
=
1 − + 2 − 3 + . . .
0
|r − r |
r
2
8
16

1 r0
1
1−
=
r
2r
5
+
16
r0
r
r0
− 2 cos θ0
r
!3
!
r0
− 2 cos θ0
r
3
+
8
r0
r
!3

!2
r0
− 2 cos θ0
r
!2
...
und ordnen nach Potenzen von r0 /r:

1
1
r0
=
1
+
cos θ0 +
|r − r0 |
r
r
+
r0
r
!3
r0
r
!2
3 cos2 θ0 − 1
2
(13.36)

5 cos3 θ0 − 3 cos θ0
+ ...
2

1
r0
≡
P0 (cos θ0 ) + P1 (cos θ0 ) +
r
r
r0
r

!2
0
P2 (cos θ ) + . . .  ,
wie ein Vergleich mit (13.32) zeigt. Damit finden wir mit
∞
1
1X
r0
=
|r − r0 |
r n=0 r
!n
Pn (cos γ))
(13.37)
die Entwicklung des Coulomb-Potentials nach Legendre Polynomen Pn (x), wobei nun allg.
γ der Winkel zwischen r und r0 ist, also
cos(γ) =
r · r0
= cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 (cos ϕ cos ϕ0 + sin ϕ sin ϕ0 )
r r0
= cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ) ,
(13.38)
siehe (13.34).
Additionstheorem Aus (13.38) folgt, dass man die Legendre Polynome Pl (cos γ) nach
Kugelfunktionen in (θ, ϕ) und (θ0 , ϕ0 ) entwickeln kann. Das wichige Additionstheorem
l
4π X
∗
Pl (cos γ) =
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
2l + 1 m=−l
(13.39)
wollen wir an dieser Stelle nicht beweisen. Wir merken nur an, dass der Beweis darüber
erfolgt, dass man Pl (cos γ) zunächst als Funktion von (θ, ϕ) ansieht und in Ylm (θ, ϕ)
entwickelt und dann zeigt, dass die Koeffizienten dieser Entwicklung proportional zu den
∗
Ylm
(θ0 , ϕ0 ) sind.
119
13.3
Multipolentwicklung statischer Felder
Wir können nun unsere Kenntnisse der Kugelfunktionen und der Entwicklung (13.37)
benutzen um in einem ersten Schritt die Entwicklung elektrostatischer Felder, wie wir sie
schon in Abschnitt 1.4 in niedrigster Ordnung betrachtet haben, zu systematisieren.
Entwicklung des elektrischen Potentials Für eine lokalisierte Ladungsverteilung
ρ(r) können wir das Potential
1 Z ρ(r0 ) 3 0
dr
Φ(r) =
4π0 |r − r0 |
(13.40)
mit Hilfe der Multipolentwicklung (13.37) des Coulomb Potentials und des Additionstheorems (13.39) nach Legendre Polynomen entwickeln,
!l
∞
1 Z 3 0 0 1X
r0
Φ(r) =
d r ρ(r )
Pl (cos γ))
4π0
r l=0 r
!l
∞
l
1 Z 3 0 0 1X
r0
4π X
d r ρ(r )
=
Y ∗ (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
4π0
r l=0 r 2l + 1 m=−l lm
∞
l
X
1
1
1 X
qlm Ylm (ϑ, ϕ) ,
≡
0 l=0 rl+1 2l + 1 m=−l
(13.41)
mit den Entwicklungskoeffizienten
qlm =
Z
l
∗
d3 r0 ρ(r0 ) (r0 ) Ylm
(ϑ0 , ϕ0 ) .
(13.42)
Die Entwicklung (13.41) ist mit (13.42) die Multipolentwicklung des elektrostatischen
Potentials einer lokalisierten Ladungsverteilung.
• Der Index l ≥ 0 klassifiziert das asymptotische Verhalten der einzelnen Terme in
der Taylor-Reihe für große Abstände r.
• Der Index m numeriert die Komponenten der Multipolmomente zu festem l. Zu
jedem l treten 2(l + 1) Werte −l, −l + 1, ...., l − 1, l von m auf.
• Es gilt
∗
Yl−m (ϑ, ϕ) = (−)m Ylm
(ϑ, ϕ) .
(13.43)
Die in (13.41) auftretende Kombination
∗
∗
(ϑ0 , ϕ0 )
Ylm (ϑ, ϕ) Ylm
(ϑ0 , ϕ0 ) + Yl−m (ϑ, ϕ) Yl−m
ist somit reell und bzgl. (ϑ, ϕ) und (ϑ0 , ϕ0 ) symmetrisch.
Entwicklungskoeffizienten Die niedrigsten Entwicklungskoeffizienten qlm für die Multipolentsicklung des Potentials lauten, siehe (13.42) und (13.14),
120
l=0 :
s
q00 =
mit
Q =
Z
1
Q
4π
ρ(r0 ) d3 r0
(13.44)
als der Gesamtladung.
l=1 :
s
3 Z 3 0
3
d r ρ(r0 )(x0 − iy 0 ) = −
(dx − idy );
= −
8π
8π
s
q11
s
s
3 Z 3 0
3
q10 =
d r ρ(r0 )z 0 =
dz ,
4π
4π
wobei dx , dy , dz die Komponenten des Dipolmoments d sind.
l=2 :
s
q22 =
s
1
15 Z 3 0
15
d r ρ(r0 )(x0 − iy 0 )2 =
(Q11 − Q22 − 2iQ12 ) ;
32π
3 32π
s
q21
s
−1
15 Z 3 0
15
= −
d r ρ(r0 )z 0 (x0 − iy 0 ) =
(Q13 − iQ23 ) ;
8π
3 8π
s
s
3 5 Z 3 0
r02
1 5
q20 =
d r ρ(r0 )(z 02 − ) =
Q33 ,
2 4π
3
2 4π
mit den Komponenten des Quadrupoltensors Qij , i, j = 1, 2, 3.
Ein Vergleich mit Kapitel 1.4 zeigt, dass wir mit diesen Ergebnissen die Multipolentwicklung des elektrostatischen Potentials damit auf systematische Weise reproduziert
haben.
13.4
Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes
Wir betrachten zeitlich periodische Felder A(r, t) = exp(iωt)A(r) und die Wellengleichung
im quellenfreien Raum,
∆A(r, t) −
1 ∂2
A(r, t) = 0;
c2 ∂t2
∆A(r) + k 2 A(r) = 0 ,
(13.45)
mit der Dispersionsrelation des Lichtes ω = ck. In Abschnitt 9.2 haben wir mit den ebenen
Wellen ein vollständiges Funktionensystem beschrieben, welches (13.45) löst.
Kugelwellen im freien Raum Außer den ebenen Wellen besitzt die Wellengleichung
(13.45) auch Kugelwellen als Lösungen. Wir machen den Ansatz
A(r) = alm
gl (r)
Ylm (ϑ, ϕ) ,
r
121
(13.46)
wobei alm ein Koeffizienten-Vektor ist und die radialen Funktionen gl (r) noch zu bestimmen sind. Mit (13.4) und (13.6)
∆ = ∆r + ∆θ,ϕ ;
∆θ,ϕ Ylm (ϑ, ϕ) = −
l(l + 1)
Ylm (ϑ, ϕ)
r2
geht (13.45) mit (13.46) in
−k 2
gl (r)
gl (r)
Ylm (ϑ, ϕ) = (∆r + ∆θ,ϕ )
Ylm (ϑ, ϕ)
r
r
!
gl (r)
gl (r)
= ∆r
Ylm (ϑ, ϕ) +
∆θ,ϕ Ylm (ϑ, ϕ)
r
r
!
gl (r)
gl (r) l(l + 1)
= ∆r
Ylm (ϑ, ϕ) −
Ylm (ϑ, ϕ)
r
r
r2
über. Der erste Term auf der rechten Seite formen wir zu
!
d2
2 d gl
+
2
dr
r dr r
!
gl
2
d gl0
− 2 +
=
dr r
r
r
gl
=
∆r
r
gl0
gl
− 2
r
r
!
=
1 00
g
r l
um. Damit finden wir mit
(
)
l(l + 1)
d2
+ k2 −
gl (r) = 0
2
dr
r2
(13.47)
die Laplace Gleichung für den Radialanteil einer Kugelwelle.
Othonormale Funktionensysteme Für l = 0 sind die Lösungen g0 (r) von (13.47)
sofort ersichtlich,
g0 (r) ∝ sin(kr);
g0 (r) ∝ cos(kr);
g0 (r) ∝ exp(±ikr) .
(13.48)
Aus diesen drei Ansätzen kann man rekursiv die gl (r) konstruieren und so drei Funktionensysteme gewinnen. Dafür verwendet man meist die dimensionslose Variable ρ = kr.
g0 (ρ)
(−)l gl (ρ)/ρ
Symbol
sin ρ
sphärische Bessel-Funktionen
jl (ρ)
− cos ρ
sphärische Neumann-Funktionen
nl (ρ)
exp(±iρ)
sphärische Hankel-Funktionen
h±
l (ρ)
122
Die sphärischen Bessel- und Neumann-Fuktionen sind Lösungen von (13.45) bei endlichen
Volumina und entsprechenden Randbedingungen.
Allgemeine Lösung Die allgemeine Lösung der Wellengleichung (13.45) für Kugelwellen
im freien Raum kann nun als
A(r) =
Xn
o
−
alm h+
l (ρ) + blm hl (ρ)
Ylm (ϑ, ϕ)
(13.49)
l,m
geschrieben werden. Für Abstrahlungsprobleme ist blm = 0, da h−
l eine einlaufende Kugelwelle beschreibt. Die Koeffizienten alm der auslaufenden Kugelwelle h+
l werden bestimmt
aus den Multipolmomenten durch Vergleich von (13.49) und (12.12) für ρ = kr 1.
Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelfunktionen Die Funktionen
h±
l (ρ)Ylm (ϑ, ϕ)
bilden wie die ebenen Wellen exp(ik · r) eine vollständige Basis. Welche Basis man wählt,
hängt von der Problemstellung ab.
Da beide Funktionensysteme vollständig sind, lassen sich ebene Wellen nach Kugelfunktionen entwickeln. Der Einfachheit halber wählen wir k = (0, 0, k), dann tritt in
exp(ik · r) = exp(ikz) = exp(ikr cos ϑ)
(13.50)
der Winkel ϕ nicht mehr auf und die Entwicklung hat die Form
exp(ikz) =
X
al jl (kr) Yl0 (ϑ)
,
(13.51)
l
wobei die jl die sphärischen Bessel-Funktionen sind. Die Koeffizienten lauten
s
al = il (2l + 1)
4π
.
2l + 1
Die Beziehung (13.51) ist von zentraler Bedeutung für die Formulierung von Streuexperimenten in der Atom-, der Kern- und der Teilchenphysik. Eine ebene Welle (Licht,
Elektron, Teilchen) streut an einer lokalisierten Ladungs-/Masseverteilung, welche durch
ihre Multipolmomente beschrieben wird.
123
124
Teil VI
Das elektromagnetische Feld in
Materie
125
Kapitel 14
Makroskopische Felder
Im Prinzip erlauben die Maxwell-Gleichungen von Teil III das elektromagnetische Feld
beliebiger Materieanordnungen zu berechnen, sobald die Ladungsdichte ρ(r, t) und die
Stromdichte j(r, t) exakt bekannt sind. In einer solchen mikroskopischen Theorie wird
die gesamte Materie in dem betrachteten Raumbereich in Punktladungen (Elektronen
und Atomkerne) zerlegt, deren Bewegungszustand dann Ladungsdichte ρ(r, t) und Stromdichte j(r, t) definiert. Für Materieanordnungen von makroskopischen Dimensionen (z.B.
Kondensator mit Dielektrikum oder stromdurchflossene Spule mit Eisenkern) ist eine mikroskopische Rechnung in der Praxis weder durchführbar noch erstrebenswert, da experimentell doch nur räumliche und zeitliche Mittelwerte der Felder kontrollierbar sind. Wir
werden uns daher im Folgenden mit raum-zeitlichen Mittelwerten befassen.
14.1
Makroskopische Mittelwerte
Integrale der Form
h f (r, t) i =
Z
1
~ t + τ)
d3 ξdτ f (r + ξ,
∆V ∆T
(14.1)
sind makroskopische Mittelwerte, wobei
• ∆V das Volumen und ∆T das Zeitintervall angibt, über das gemittelt wird,
• f für die Ladungs- oder Stromdichte und die Komponenten der Feldstärken steht.
Wir wollen im Folgenden Zusammenhänge zwischen den Mittelwerten (14.1) für Ladungsund Stromdichte einerseits und den Feldern andererseits herstellen. Ausgangspunkt sind
die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen.
Mikroskopische Maxwell-Gleichungen Homogene Gleichungen
∇ · B = 0;
∇×E +
126
∂B
= 0
∂t
(14.2)
Inhomogene Gleichungen
∇·E =
ρ
;
0
∇ × B − 0 µ0
∂E
= µ0 j
∂t
.
(14.3)
Makroskopische Felder Wenn wir annehmen, dass in (14.1) Differentiationen nach r
und t unter dem Integral ausgeführt werden dürfen,
∂
hf i =
∂t
*
∂f
∂t
+
∂
hf i =
∂x
;
*
+
∂f
;
∂x
etc.,
(14.4)
so erhalten wir aus (14.2) und (14.3) folgende Gleichungen für die Mittelwerte:
∇ · h B i = 0;
und
∇ · hEi =
hρi
;
0
∇ × hEi +
∂h B i
= 0
∂t
(14.5)
∂h E i
= µ0 h j i .
∂t
(14.6)
∇ × h B i − 0 µ0
Die homogenen Gleichungen (14.5) bleiben beim Übergang von den mikroskopischen Feldern E, B zu den makroskopischen Feldern
E~ ≡ h E i;
B~ ≡ h B i
(14.7)
erhalten. In den inhomogenen Gleichungen (14.6) müssen wir nun hρi und hji geeignet
aufteilen, die eigentliche Herausvorderung.
14.2
Freie und gebundene Ladungsträger
Wir befassen uns zunächst in (14.6) mit dem Zusammenhang zwischen dem makroskopischem elektrsichem Feld E~ und seinen Quellen. Dazu zerlegen wir die gemittelte Ladungsdichte,
hρi = ρb + ρf ,
(14.8)
wobei ρb die im Sinne von (14.1) gemittelte Dichte der gebundenen Ladungsträger (b steht
für ‘bound’) darstellt, ρf die gemittelte Dichte der freien Ladungsträger (f steht für ‘free’).
• Gebundene Ladungsträger, ρb , sind z.B. die Gitterbausteine eines Ionen-Kristalls
(wie N aCl mit den Gitterbausteinen N a+ und Cl− ) oder die Elektronen von Atomen und Molekülen. Gebunden bedeutet dabei nicht, dass die Ladungsträger total
unbeweglich sind, sondern nur, dass sie durch starke rücktreibende Kräfte an bestimmte Gleichgewichtslagen gebunden sind, um die herum kleine Schwingungen
möglich sind.
• Frei bewegliche Ladungsträger, ρf , sind z.B. Leitungselektronen in Metallen, Ionen
in Gasen oder Elektrolyten. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie unter dem Einfluß
eines äußeren Feldes einen makroskopischen Strom bilden.
127
Polarisations-Ladungen Die Dichte der freien Ladungsträger, ρf , ist eine im Experiment direkt kontrollierbare Größe. Z.B. können die Ladungen auf den Platten eines
Kondensators von außen vorgegeben werden. Sie erzeugen ein elektrisches Feld, welches
in einem Dielektrikum zwischen den Platten elektrische Dipole erzeugen oder ausrichten
kann.
• Die elektrischen Dipole im Dielektrikum werden
dabei durch mikroskopische Verschiebungen der
gebundenen Ladungsträger erzeugt.
• Der Effekt für den Beobachter sind Polarisationsladungen auf den Oberflächen des Dielektrikums, welche von den speziellen Gegebenheiten
(Art des Dielektrikums, Temperatur der Umge~
bung, Stärke des E-Feldes)
abhängen.
Dielektrische Polarisation Es liegt daher nahe, das von den (gebundenen) Polarisationsladungen resultierende zusätzliche elektrische Feld mit dem Feld zusammenzufassen,
~ die dielektrische
welches von den Ladungen ρf auf den Platten herrührt. Das Zusatzfeld P,
Polarisation wählen wir so, dass
(14.9)
~ = −ρb
∇·P
und
~ = 0
P
wenn
ρb = 0 .
(14.10)
Der Ausdruck (14.9) entspricht, bis auf einen Faktor −1/0 , dem Gauss’schen Gesetz.
Dann wird mit (14.6)
~
∇ · 0 E~ + P
= (ρb + ρf ) − ρb = ρf
(14.11)
~
oder nach Einführung der dielektrischen Verschiebung, D,
~ = 0 E~ + P
~
D
~ = ρf
∇·D
;
.
(14.12)
~ gerade die Dichte des (makroskopiWir werden weiter unten zeigen, dass das Hilfsfeld P
schen) Dipolmoments des betrachteten Dielektrikums ist (dielektrische Polarisation).
128
14.3
Mikroskopische Ströme
Wir wollen nun noch die zweite inhomogene Gleichung in (14.6) umformen. Analog zu
(14.8) teilen wir auf:
h j i = jf + jb ,
mit
jb = jP + jM .
(14.13)
Dabei ist:
jf
die von der Bewegung der freien Ladungsträger herrührende, gemäß (14.1) gemittelte, Stromdichte.
jb
die von der Bewegung der gebundenen Ladungsträger herrührende (gemittelte)
Stromdichte. Es ist zweckmäßig jb nochmals aufzuteilen:
jP Nach (14.6) erzeugt ein zeitlich veränderliches makroskopisches elektrisches
Feld einen Strom, nach (14.12) auch die
~ bzw. P:
~
dielektrische Verschiebung D
jP ≡
jM
~
∂P
.
∂t
(14.14)
Molekulare Kreisströme, d.h. solche
welche magnetische Dipole erzeugen.
Wir diskutieren diesen Anteil später.
Magnetfeld und magnetische Induktion Wir betrachten nun die Kontinuitätsgleichung für die freien Ladungsträger,
∂ρf
= 0.
∂t
∇ · jf +
(14.15)
Dann folgt aus (14.12) und (14.15)


~
~
∂D
∂D
∂ρf
∂
~ − ρf = 0 ,
∇·
+ jf  = ∇ ·
−
=
∇·D
∂t
∂t
∂t
∂t
(14.16)
~
so dass der Vektor ∂ D/∂t
+ jf sich als Rotation eines Vektors darstellen lässt, dem ma~
kroskopischen Magnetfeld H,
~ ≡
∇×H
~
∂D
+ jf
∂t
129
.
(14.17)
Magnetfeld und magnetische Induktion Mit (14.12), (14.13) und (14.14) schreiben
wir die zweite inhomogene Gleichung (14.6) wie folgt um:
∇ × B~ − µ0
∂ ~
∂ ~ ~
0 E + P
D = ∇ × B~ − µ0
∂t
∂t
= µ0 (jf + jP + jM ) − µ0 jP = µ0 (jf + jM ) .
(14.18)
~
Mit (14.17) und (14.18) finden wir den Zusammenhang von B~ und H:

~
∇ × B~ − µ0 H

~
∂D
= ∇ × B~ − µ0 
+ j f  = µ0 j M .
∂t
(14.19)
~ führen wir hier die Magnetisierung M
~ ein:
Analog zur dielektischen Verschiebung P
~ = B~ − µ0 H
~
µ0 M
,
(14.20)
so dass entsprechend (14.9):
~ = jM
∇×M
~ = 0 wenn jM = 0 .
M
;
(14.21)
~ lässt sich also konsistent als Dichte des (makroskopischen) magnetischen DipolmoM
ments (Magnetisierung) interpretieren, erzeugt durch die mikroskopischen Kreisströmen
jM . Einige Bemerkungen:
~ B,
~ nämlich E, B (vgl.
• Ein mikroskopisches Analogon besitzen nur die Felder E,
~ und H
~ sind nur Hilfsfelder, die wir einführen, um komplizierte elektrische
(14.7)). D
und magnetische Eigenschaften der Materie pauschal zu erfassen.
• Eine makroskopische Polarisation (oder Magnetisierung) kann durch zweierleich Mechamismen zustande kommen.
– Schon vorhandene (permanente) elektrische (oder magnetische) Dipole werden
in einem elektrischen (magnetischen) Feld ausgerichtet.
– Das äußere elektrische (magnetische) Feld induziert elektrische (magnetische)
Dipole.
Ohne äußeres Feld sind permanente Dipole statistisch verteilt und ergeben nach
Mittelung über ein makroskopisches Volumen keine Polarisation (oder Magnetisierung).
• Aus der Linearität der Kontinuitätsgleichung ∇ · j + ρ̇ = 0 und der (postullierten)
Kontinuitätsgleichung (14.16) für die freien Ladungsträger gilt auch die Kontinuitätsgleichung für die gebundenen Ladungsträger:
∇ · jb +
130
∂ρb
= 0.
∂t
Makroskopischen Feldgleichungen Wir fassen nun die Ergebnisse unserer Analysen
zusammen.
• Homogene Gleichungen
∇ · B~ = 0;
∂ B~
= 0
∇ × E~ +
∂t
(14.22)
~
~ − ∂ D = jf
∇×H
∂t
(14.23)
• Inhomogene Gleichungen
~ = ρf ;
∇·D
• Verknüpfungen
~ = 0 E~ + P;
~
D
~ = 1 B~ − M
~
H
µ0
.
(14.24)
Die Gleichungen (14.22), (14.23) haben formal die gleiche Struktur wie die Maxwell Gleichungen (14.2), (14.3). Sie können daher mit den gleichen Methoden gelöst werden.
Materialgleichungen Die Gleichungen (14.22), (14.23) reichen nicht aus, um - bei
~ D,
~ B,
~ H
~ eindeutig zu bestimmen. Dazu müssen wir die
gegebenen ρf , jf - die vier Felder E,
formalen Verknüpfungen (14.24) mit Hilfe spezieller Modelle für die betrachtete Materie
in explizite Materialgleichungen umwandeln. Einfache Beispiele werden in den nächsten
Kapiteln dazu diskutiert. Formell könnte man auch die konstituierenden Definitionen
jP =
~
∂P
∂t
~ = jM
∇×M
(14.25)
für die Ströme jb = jP + jM gebundenen der gebundenen Landungsträger verwenden. Da
jedoch im Allgemeinen weder jP noch jM direkt bekannt sind lässt sich (14.25) i.A. nicht
direkt verwenden.
131
Kapitel 15
Energie und Impuls des
makroskopischen Feldes
In Kap. 8 haben wir Energie, Impuls und Drehimpuls des mikroskopischen Feldes eingeführt und dieses Konzept in Teil IV auf das Strahlungsfeld im Vakuum angewendet.
Wir wollen im Folgenden die Betrachtungen von Kap. 8 auf das makroskopische Feld
übertragen.
15.1
Energie makroskopischer Felder
Ausgangspunkt für die Energiebilanz in Kap. 8 war die von einem (mikroskopischen) Feld
(E, B) an einem System geladener Massenpunkte pro Zeiteinheit geleistete Arbeit
Z dWM
=
j · E dV .
dt
(15.1)
Grundlage von (15.1) ist die Lorentz-Kraft, z.B. für eine Punktladung q:
K = q E + (v × B) ,
(15.2)
deren magnetischer Anteil zu (15.1) keinen Beitrag liefert. Aus (15.2) erhält man, mit
~ B)
~ auf eine mit der
Mittelung der Felder(14.1), für die vom makroskopischen Feld (E,
Geschwindigkeit v bewegte Probeladung q ausgeübte (mittlere) Kraft
~ = q E~ + (v × B)
~ .
K
(15.3)
Arbeit der freien Ladungen Arbeit wir sowohl an den gebundenen wie an den freien
Ladungen verrichtet, wir betrachten hier nur die an den freien Ladungen, mit der Dichte
ρf , vom makroskopischen Feld pro Zeiteinheit geleistete Arbeit, vergleiche (15.1),
Z dWM
=
jf · E~ dV .
dt
132
(15.4)
Die rechte Seite von (15.4) können wir mit Hilfe der inhomogenen makroskopischen
~ − ∂ D/∂t,
~
Maxwell-Gleichung (14.23), j = ∇ × H
zu


Z
~
dWM
~ · (∇ × H)
~ − E~ · ∂ D  dV
E
=
dt
∂t
(15.5)
umformen. Wie in Kap. 8 können wir (15.5) symmetrisieren, indem wir die Identität
~
~ = ∇ · (H
~ × E)
~ +H
~ · (∇ × E)
~ = −∇ · (E~ × H)
~ −H
~ · ∂B
E~ · (∇ × H)
∂t
(15.6)
~
benutzen sowie die homogene makroskopische Maxwell-Gleichung (14.22), ∇×E~ = −∂ B/∂t.
Wir erhalten


Z

~
~
dWM
~ + E~ · ∂ D + H
~ · ∂B .
= − dV ∇ · (E~ × H)

dt
∂t
∂t 
(15.7)
Der Vergleich mit dem entsprechenden Ausdruck (8.6) für die mikroskopischen Felder
zeigt, dass
~
S~ = E~ × H
(15.8)
als Energiestromdichte des makroskopischen Feldes (Poynting-Vektor) zu deuten ist.
Lineare, isotrope Medien Zur Interpretation der restlichen Terme betrachten wir die
Näherung linearer, isotroper Medien,
~ = E;
~
D
~ ,
B~ = µ H
(15.9)
wobei die Dielektrizitätskonstante und µ Permeabilität ist. Diese beiden Konstanten
werden wir im Kapitel 16 noch ausführlich besprechen. Dann gilt
~
~
1∂ ~ ~
2 ~ ∂D
∂D
∂ ~ ~
E ·D =
D·D = D
·
= 2 E~ ·
∂t
∂t
∂t
∂t
und somit
~
~
∂D
~ · ∂ B = 1 ∂ E~ · D
~ +H
~ · B~
E~ ·
+H
∂t
∂t
2 ∂t
(15.10)
und wir können analog zu (8.9) die Größe
1 ~ ~
~ · B~
E ·D+H
2
als Energiedichte des makroskopischen Feldes interpretieren.
133
(15.11)
15.2
Impuls makroskopischer Felder
Aus der Newton’schen Bewegungsgleichung und der Lorentz-Kraft (15.3) wird die Änderung des Impulses der Probeladung q in den Feldern E~ und B~ durch
dPM
~
= q E~ + (v × B)
dt
(15.12)
gegeben. Für die Impulsänderung eines Systems freier Ladungen, beschrieben durch ρf
~ folgt somit
und jf , in den Feldern E~ und B,
Z
dPM
~ .
=
dV ρf E~ + (jf × B)
dt
(15.13)
Analog zu Abschnitt 8.2 formen wir (15.13) mit Hilfe der inhomogenen makroskopischen
Maxwell-Gleichungen
~
~ = ρf ; ∇ × H
~ − ∂ D = jf
∇·D
(15.14)
∂t
um und gelangen zu
dPM
=
dt
Z




~
~ · D)
~ + (∇ × H)
~ × B~ − ∂ D × B~ .
dV E(∇

∂t
(15.15)
Wir symmetrisieren (15.15) mit Hilfe der homogenen makroskopischen Maxwell-Gleichungen
∂ B~
∇ × E~ = −
∂t
∇ · B~ = 0;
(15.16)
und erhalten
dPM
dt
=
Z
(
dV
~ · D)
~ + H(∇
~
~ + (∇ × H)
~ × B~ + (∇ × E)
~ ×D
~
E(∇
· B)
)
∂ ~
~ .
− (D
× B)
∂t
(15.17)
Wie in Kap. 8 lässt sich dann
~ × B~
D
(15.18)
als Impulsdichte des makroskopischen elektromagnetischen Feldes interpretieren (vgl. (8.30).
15.3
Die Kirchhoff’schen Regeln
Die elektromagnetischen Felder in elektrischen Leitern, wie z.B. Kupferdrähten, sind für
alle Belange der Elektrotechnik makroskopischer Natur. Die Theorie elektrischer Schaltkreise beruht auf einigen einfachen Regeln.
134
1. Kirchhoff’scher Satz (Knotenregel)
An einer Stromverzweigung gilt für stationäre und quasistationäre Ströme
N
X
Ii = 0
(15.19)
,
i = 1
d.h. die Summe der fließenden Ströme verschwindet, eine Konsequenz der Ladungserhalten.
Für stationäre und quasistationäre Ströme folgt aus
~
∂D
+ jf ,
∂t
~ =
∇×H
~
siehe (14.17), dass ∂ D/∂t
vernachlässigt werden darf. Damit gilt
~
0 = ∇· ∇×H
= ∇ · jf .
(15.20)
Ii = 0 .
(15.21)
Mit Hilfe des Gauß’schen Integralsatzes folgt
Z
F
N
X
jf · dF =
i = 1
2. Kirchhoff’sche Regel (Maschenregel)
Die Summe der Spannungsabfälle längs eines geschlossenen Weges in einem Schaltkreis
(Masche) verschwindet,
X
j
R1
V1
+
–
Uj = 0
.
R2
V4
V2
R3
(15.22)
V3
Dabei kann Uj für eine Batteriespannung stehen, oder für
• Ohm’schen Spannungsabfall (Widerstand R)
UR = IR ,
(15.23)
• Kondensatorspannung (Kapazität C)
UC =
1 Z
Idt ,
C
(15.24)
• induzierte Spannung (Induktivität L)
UL = L
135
dI
.
dt
(15.25)
Zum Nachweis der Maschenregel (15.22) verwenden wir die homogene makroskopische
Maxwell-Gleichung
∂ B~
∇ × E~ = −
.
(15.26)
∂t
Mit dem Stoke’schen Integralsatz folgt
Z
F
~ · dF =
(∇ × E)
∂
E~ · ds = −
∂t
S
I
Z
B~ · dF.
(15.27)
F
Die rechte Seite von (15.27) verschwindet, wenn durch die Masche kein zeitlich veränderliches Magnetfeld dringt.
Bemerkung Grundlage der 2. Kirchhoff’schen Regel ist das Induktionsgesetz bzw. der
Energiesatz. Führt man nämlich eine Ladung q auf einem geschlossenen Weg durch den
Schaltkreis, so ist (15.22) nach Multiplikation mit q gerade die Energiebilanz.
136
Kapitel 16
Elektrische und magnetische
Eigenschaften der Materie
16.1
Materialgleichungen
Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen
∂ B~
= 0
∇ × E~ +
∂t
(16.1)
~
~ − ∂ D = jf
∇×H
∂t
(16.2)
∇ · B~ = 0;
und
~ = ρf ;
∇·D
~ B,
~ D
~ und H
~
reichen (wie in Abschnitt 14.3 schon erwähnt) nicht aus, um die Felder E,
zu bestimmen, solange nicht explizite Materialgleichungen zur Verfügung stehen, welche
~ B,
~ D
~ und H
~ untereinander verknüpfen. Oft sind auch die makroskopischen Quellen
E,
ρf und jf nicht als Funktion von r und t vorgegeben, sondern funktional von den zu
berechnenden Feldern abhängig.
~ und M
~ als Funktionale der Felder E~ und B~ darzustellen.
Überblick Es ist üblich ρf , jf , P
Sie können auch von äußeren Parametern wie z.B. der Temperatur T abhängen,
~ = P[
~ E,
~ B,
~ T] ,
P
(16.3)
~ und jf . Über die Kontinuitätsgleichung
entsprechend für M
∇ · jf +
∂ρf
= 0
∂t
(16.4)
ist dann ρf durch jf bestimmt. In seiner allgemeinen Form (16.3) beinhaltet das Funktional
u.a. folgende Effekte:
• Depolarisationsfelder
An der Oberfläche eines Dielektrikums in einem äußeren elektrischen Feld wird im
Allgemeinen lokal begrenzte Polarisation induziert, das Depolarisationsfeld. Analog
hierzu ist die Oberflächenladung eines Leiters in einem Feld.
137
• Nicht-lokale Effekte
~
Die Polarisation P(x)
kann eine nicht-lokale Abhängigkeit
~
P(x)
= 0
Z
~
dy χ̂(x − y) E(y)
(16.5)
~
vom makroskopischen Feld E(y)
haben. Dabei ist der Integralkern χ̂(x − y), die
elektrische Suszeptibilität, eine 3 Matrix.
• Nicht-lineare Effekte
Der funktionale Zusammenhang (16.5) war zwar nicht-lokal aber linear. Ein allgemeiner lokaler, aber nicht-linearer Zusammenhang lässt sich als
Pi /0 = χij Ej + χijk Ej Ek + χijkl Ej Ek El + . . .
schreiben. Dabei ist χij der lineare Suszeptibilitätstensor (2ter Stufe) und χijk bzw.
χijkl die nicht-linearen Suszeptibilitätstensoren 3ter- und 4ter Stufe. Sie beschreiben verschiedene optische Effekte wie die SHG (second-harmonic-generation): Erzeugung von Licht mit der Frequenz 2ω mit einem Laserstrahl der Frequenz ω, etc.
Im Folgenden werden wir für eine Reihe einfacher Modelle lineare und lokale Materialgleichungen diskutieren.
16.2
Dielektrika
Unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes E~ stellt sich in einem nichtleitenden, pola~ ein. Wir unterscheiden zwei
risierbaren Medium (einem Dielektrium) eine Polarisation P
Typen.
unpolarisiert
Orientierungspolarisation Schon vorhandene (permanente) elektrische Dipole werden
~
im E-Feld
ausgerichtet, denn die Energie ei~
nes elektrischen Dipols d im Feld ist −d · E,
siehe (2.33).
Dem ordnenden Einfluss des Feldes wirkt die
polarisiert durch ein angelegtes elektisches Feld
thermische Bewegung entgegen und die resultierende makroskopische Polarisation ist
temperaturabhängig. Für E~ = 0 sind die
Richtungen der elementaren Dipole statis~ = 0.
tisch verteilt und es ist P
~
Induzierte Polarisation Durch das E-Feld
können Elektronen und Kerne in Atomen
oder Molekülen relativ zueinander verschoben und Dipole in Feldrichtung erzeugt (induziert) werden. Auf diese Weise entsteht eine temperaturunabhängige Polarisation.
138
Elektrische Suszeptibilität Bei niedrigen Feldstärken und/oder hohen Temperaturen
ist die lineare Beziehung
~ = χe 0 E~
P
(16.6)
eine gute Näherung für die Materialgleichung (16.3); dabei ist die elektrische Suszeptibilität
χe im Allgemeinen temperaturabhängig. Mit (14.12)
~ = 0 E~ + P
~ ≡ E~
D
(16.7)
für die dielektrische Verschiebung, gilt dann für die Dielektrizitätskonstante = 0 (1 + χe )
.
(16.8)
Einige Bemerkungen:
• (16.6) und (16.7) setzen ein isotropes Material voraus. Für anisotrope Medien ist χe
bzw. durch entsprechende Tensoren zu ersetzen.
• Für Wasser, H2 O, gilt bei Raumtemperatur /0 ≈ 40, wenn man für ω die Frequenz
der gelben N a-Linie wählt.
• Für schnell oszillierende Felder erweist sich (bzw. χe ) als frequenzabhängig,
= (ω) ,
(16.9)
wobei ω die Frequenz des angelegten Feldes ist.
Lorentz-Modell Die Frequenzabhängigkeit von (ω), auch Dispersion genannt, lässt
sich anhand des folgenden (vereinfachten) Modells für die Struktur von Atomen und
Molekülen verstehen, dem Lorentz-Modell.
Wir nehmen an, dass die Elektronen in einem Atom oder Molekül gedämpfte harmonische Schwingungen ausführen. Dann lautet die Bewegungsgleichung für das n-te
~
Elektron eines Atoms (oder Moleküls) unter dem Einfluss eines periodischen E-Feldes
~ = E~0 exp(−iωt)
E(t)
d
e ~
d2
rn + γn rn + ωn2 rn =
E0 exp(−iωt) ,
2
dt
dt
M
(16.10)
wobei rn = rn (t) die Ortskoordinate des n-ten Elektrons ist. Mit dem Ansatz
rn = r0n exp(−iωt)
(16.11)
findet man als Lösung der Bewegungsgleichung (16.10)
rn (t) =
1
e
E~0 exp(−iωt)
M ωn2 − ω 2 − iωγn
139
(16.12)
und daraus für das Dipolmoment d
d =
Z
X
Z
X
e2 ~
1
E0 exp(−iωt)
,
=
2
2
|
{z
}
M
n = 1 (ωn − ω − iωγn )
e rn
n = 1
(16.13)
~
= E(t)
~ = nd und P
~ = χe 0 E~ folgt somit
wenn Z Elektronen im Atom (Molekül) sind. Mit P
χe =
ne2 X
1
2
2
0 M n ωn − ω − iωγn
(16.14)
für die elektrische Suszeptibilität, wobei n die Dichte der Atome (Moleküle) ist.
• Für ω → ωn kommt es zu Resonanzen, welche man mit Infrarot-Spektroskopie direkt
beobachten kann.
• Der Dämpfungsterm in (16.10) trägt pauschal der Tatsache Rechnung, daß die atomaren Oszillatoren durch Stöße zwischen den Atomen oder Molekülen Energie verlieren. Dies hat zur Folge, dass χe bzw. komplex werden. Als Beispiel werden wir im
nächsten Kapitel die Absorption elektromagnetischer Wellen in Materie betrachten.
ε=ε'+iε''
ε'
dipolar
ε''
molekular
ionisch
103
106
109
1012
Mikrowelle
atomar
1015
infrarot VIS UV
Frequenz in Hz
Wir bemerken, dass die Dielektrizitätskonsante = 0 (1 + χe ) nach (16.14) i.A. einen
Realteil 0 und einen Imaginärteil 00 aufweist, = 0 + i00 . Die Bedeutung der beiden
Komponenten wird in den Abschnitten 16.4 und 17.4. noch weiter diskutiert werden.
140
Meta-Materialien Für Frequenzen ω knapp oberhalb einer Resonanz ωn kann die
Dielekriziätskonstante nach dem Lorentz-Modell (16.14)
= 0 1 + χe ,
χe ∼
1
ωn2
−
ω2
− iωγn
(16.15)
auch negativ werden, falls die Dämpfung γn klein ist. In diesem Fall sind dielektrische
Verschiebung und das elektrische Feld entgegengesetzt,
~ = E~ ∼ −E~ .
D
Ein solches Verhalten wird in natürlich vorkommenden Materialien nicht beobachtet kann
aber in künstlichen Meta-Materialien erzeugt werden. Beispiele von Meta-Materialien sind
Packungen dielektrischer Kugel oder von Resonatoren. Analog kann man auch negative
Permabilitäten µ < 0 erreichen. Meta-Materialien mit < 0 and µ < 0 haben effektiv
einen negativen Brechnungsindex.
16.3
Para- und Diamagnetismus
~ kann (analog dem Fall der Polarisation P)
~ auf folgende Weise
Eine Magnetisierung M
entstehen:
• Orientierungsmagnetisierung (Paramagnetismus)
Permanente elementare magnetische Dipole werden in einem äußeren Magnetfeld
gegen die thermische Bewegung ausgerichtet und führen zu einer makroskopischen
~ Ohne Magnetfeld sind die elementaren Dipolmomente m bzgl.
Magnetisierung M.
~ =
ihrer Richtung statistisch verteilt und man erhält im makroskopischen Mittel M
0.
• Induzierte Magnetisierung (Diamagnetismus)
Im Magnetfeld ändern sich die Bahnen der Elektronen, insbesondere ihr Drehimpuls. Eine solche Änderung des Drehimpulses ist nach (5.27) mit einer Änderung
des magnetischen Dipolmoments des Atoms verbunden. Atome, die kein permanentes magnetisches Dipolmoment haben, erhalten also im äußeren Magnetfeld ein
induziertes Dipolmoment. Diese induzierten molekularen Ringströme sind dissipationsfrei. Aufgrund der Lenz’schen Regel erzeugen sie ein induziertes Moment welches
dem des äußeren Feldes entgegengesetzt ist.
141
~ hängt also im Allgemeinen vom äußeren Feld und der Temperatur
Die Magnetisierung M
~
ab. Da das fundamentale Feld das B-Feld
ist, sollten wir entsprechend (16.3) eigentlich
~ = M[
~ B,
~ T]
M
(16.16)
betrachten. Es ist jedoch üblich, (16.16) durch
~ = M[
~ H,
~ T]
M
(16.17)
~ über die Stromdichte jf = ∇ × H
~ − ∂ D/∂t
~
zu ersetzen, da H
praktisch leichter kontrol~
lierbar ist als B.
Vergleich mit elektrischem Fall Im elektrischen Fall betrachtet man - im Einklang
mit der mikroskopischen Theorie ~ = P[
~ E,
~ T] ,
P
(16.18)
~ und das damit verda Potentialdifferenzen bequemer kontrollierbar sind als ρf = ∇ · D
~
bundene D-Feld.
Magnetische Suszeptibilität Für genügend schwache Felder und/oder hohe Temperaturen ist zu erwarten, dass
~ = χm H
~
M
(16.19)
eine gute Näherung von (16.17) ist; dabei ist χm die magnetische Suszeptibilität. Mit
~ +M
~ wird dann
(16.19) und der Definition (14.24), B~ = µ0 H
~
B~ = µH
,
(16.20)
wobei die Permeabilität µ mit χm über
µ = µ0 (1 + χm )
(16.21)
zusammenhängt.
• Für Paramagnete ist χm > 0, für Diamagnete χm < 0.
• Ein Supraleiter verdrängt aktiv das Magnetfeld B aus seinem Inneren und ist daher
durch µ = 0 und χm = −1 charakterisiert. Supraleiter sind also perfekte Diamagnete.
Modellrechnung für Diamagnetismus
Abschließend wollen wir das Zustandekommen des Diamagnetismus quantitativ näher
formulieren. Als einfachstes, klassisches Modell betrachten wir ein um den Atomkern
kreisendes Elektron mit Ladung q, unter dem
Einfluss eines äußeren Magnetfeldes B =
(0, 0, B). Zur Vereinfachung betrachten wir
eine kreisförmige Bahn.
142
v
r
Wenn die Geschwindigkeit des Elektrons v ist, dann ist die gesamte Zentripetalkraft K
K =
mv 2
= K0 − qvB ,
r
(16.22)
wobei K0 die Anziehungskraft (Coulomb-Kraft) des Kernes ist und qvB der Betrag der
Lorentz-Kraft. Wir sind an der Änderung der Geschwindigkeite v des Elektrons durch das
Magnetfeld interessiert,
∂v
2mv ∂v
= −qB
− qv ;
r ∂B
∂B
∂v
rq
= −
+ O(B) ,
∂B
2m
wobei wir angenommen habe, dass die Anziehung des Kernes nicht vom Magnetfeld beeinflußt wird, ∂K0 /∂B = 0. Ein kleines Magnetfeld B induziert daher eine Änderung
∆L = (0, 0, ∆Lz ) des Bahndrehimpulses Lz = mrv von
∆Lz
!
r2 qB
∂v B
=
−
= mr∆v ≈ mr
∂B B=0
2
(16.23)
Mit einem Bahndrehimplus L ist nach (5.27) ein magnetisches Moment m = qL/(2m)
verbunden. Daher induziert das Magnetfeld B nach (16.23) ein zusätzliches Moment
∆m = (0, 0, ∆mz )
∆mz =
r2 q 2
q
∆Lz = = −
B;
2m
4m
∆m = −
r2 q 2
B.
4m
Nun ist die induzierte Magnetisierung M nichts anderes als die induzierte Dichte magnetischer Momente, also
a20 q 2 n
B,
(16.24)
4m
wobei wir den Radius r durch den Bohr’schen Radius a0 genähert haben; n ist die Elektronendichte. Nach der Lenz’schen Regel steht die induzierte Magnetisierung dem Einfluss
des äußeren Feldes entgegen.
M ≈ −
16.4
Ohm’sches Gesetz; elektrische Leitfähigkeit
In Metallen ist die Leitfähigkeit auf die Existenz freier Elektronen zurückzuführen. Die
Bewegungsgleichung für Leitungselektron i mit der Masse m und der Ladung e lautet
m
dvi
+ ξvi = eEi ,
dt
(16.25)
wobei Ei das auf das Elektron i wirkende elektrische Feld ist und der Reibungsterm ξvi
der Tatsache (pauschal) Rechnung tragen soll, dass die Leitungselektronen durch Stöße
mit den Schwingungen der Gitterionen (Phononen) Energie verlieren.
P
P
Aus (16.25) folgt mit jf = i ni qi vi und n = i ni für die Stromdichte jf
ξ
e2
djf
+ jj = n E~ ,
dt
m
m
143
(16.26)
wobei wir den Mittelwert über Ei mit dem makroskopischen Feld E~ identifiziert haben.
~
Gleichstrom-Leitfähigkeit Für statische E-Felder
besitzt (16.26) die stationäre Lösung:
jf = σ0 E~
(16.27)
mit der Gleichstrom-Leitfähigkeit (auf engl: DC conductance)
ne2
ξ
σ0 =
.
(16.28)
Die Leitfähigkeit ist also proportional zur Dichte n der Ladungsträger und inverse-proportional
zur Dämpfung ξ der Elektronen.
Wechselstrom-Leitfähigkeit Für ein zeitlich periodisches Feld
E~ = E~0 exp(−iωt)
(16.29)
erwarten wir als Lösung von (16.26)
jf = j0 exp(−iωt) .
(16.30)
Gleichung (16.26) ergibt dann die Beziehung
jf = σ(ω)E~
(16.31)
mit der Drude Formel für die frequenzabhängigen Leitfähigkeit (auf engl: AC conductance)
σ(ω) =
σ0
1 − iωτ
.
(16.32)
Dabei ist die Dämpfungskonstante τ durch
τ =
m
ξ
(16.33)
bestimmt.
• Für niedrige Frequenzen ωτ 1 wird σ(ω) reell, σ(ω) ≈ σ0 .
• Für hohe Frequenzen, ωτ 1, σ(ω) wird die Leitfähigkeit rein imaginär, so dass
jf und E~ um π/2 gegeneinander phasenverschoben sind. Die Elektronen schafe es
nicht mehr dem schnellen Wechsel des elektrsichen Feldes zu folgen.
Leitfähigkeit und Dielektrizitätskonstante Wenn die Ladungsträger unter dem Einfluss einer Wechselspannung in einem Metall oszillieren, dann bewegen sie sich nur über
kurze Distanzen hin und her. Der Beitrag gebundener und freier Ladungsträger kann dann
nicht mehr eindeutig getrennt werden.
144
~
~ eine Stromdichte
Nach (14.14), jP = ∂ P/∂t,
ist jeder zeitlich variablen Polarization P
jP zuzuordnen. Im Frequenzraum ergibt sich somit
~;
jP = −iω P
jP =
~
∂P
;
∂t
~ =P
~ 0 exp(−iωt) .
P
(16.34)
Mit der Definition (16.7) der Dielektrizitätskonstanten ,
~ = ( − 0 ) E~
P
erhalten wir mit j = jP
~ = −iω( − 0 ) E~ .
σ E~ = j = −iω P
Die Frequenz-abhängige Dielektrizitätskonstante = (ω) hängt also mit der elektrischen
Leitfähigkeit σ via
(ω) = 0 +
iσ
ω
(16.35)
zusammen.
• Der Realteil der Dielektrizitätskonstante verändert die Dispersion des Lichtes in
Materie, also die Ausbreitungsgeschwindigkeit, siehe Abschnitt 17.3.
Der Imaginärteil der Dielektrizitätskonstante beschreibt dagegen die Absorbtion
von Licht, siehe Abschnitt 17.4.
• Da man die Dielektrizitätskonstante mittels Infrarotmessungen direkt bestimmen
kann, lässt sich dann mittels (16.35) auch die AC-Leitfähigkeit bestimmen.
• Isolatoren mit limω→0 σ(ω) = 0 und Leiter mit limω→0 σ(ω) = σ0 > 0 haben ein
unterschiedliches Verhalten der Dielektrizitätskonstante für kleine Frequenzen, sie
divergiert nach (16.35) für leitfähige Materialien.
145
Kapitel 17
Elektromagnetische Felder an
Grenzflächen
17.1
Allgemeine Stetigkeitsbedingungen
Aus den makroskopischen Maxwell-Gleichungen ergeben sich eine Reihe von Konsequenzen für das Verhalten der Felder an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedenen elektrischen und magnetischen Eigenschaften. Der Einfachheit halber sei im Folgenden
angenommen, dass die Grenzfläche eben sei.
Normalkomponente von B~ Wir verwenden
∇ · B~ = 0
(17.1)
und wenden den Gauß’schen Integralsatz auf B~ an, siehe Skizze.
Die Deckflächen (F1 , F2 ) einer Schachtel mit Volumen V und Oberfläche F mögen symmetrisch zur Grenzfläche liegen; Größe und Gestalt der Deckflächen seien beliebig. Macht
man die Höhe h der Schachtel beliebig klein, so folgt aus (17.1)
0 =
Z V
∇ · B~ dV =
Z
B~ · dF =
F
Z
F1
B~n(1) − B~n(2) · dF ,
(17.2)
da für die Flächennormalen gilt n1 = n = −n2 . Da F1 beliebig gewählt werden kann,
muss für den Normalkomponente
Bn(1) = Bn(2)
146
(17.3)
gelten. Die Normalkomponente von B~ geht also stetig durch die Grenzfläche hindurch.
~ Wir verwenden
Normalkomponente von D
~ = ρf
∇·D
und wenden den Gauß’schen Integralsatz nun auf E~ an. Wir erhalten
Z
Qf =
V
ρf dV =
Z ~ dV =
∇·D
Z
V
~ · dF =
D
F
Z
F1
~ n(2) · dF ,
~ n(1) − D
D
~ gilt somit
wobei Qf die Ladung in der Schachtel ist. Für die Normalkomponente von D
Dn(1) − Dn(2) = σf
,
(17.4)
wobei σf die Flächenladungsdichte freier Ladungsträger in der Grenzfläche ist.
~ stetig.
• Für Dielektrika mit σf = 0 ist die Normalkomponente von D
~ n dagegen um σf .
• Beim Übergang Leiter–Nichtleiter springt D
Tangentialkomponente von E~ Wir benutzen
∇ × E~ = −
∂ B~
∂t
und wenden den Integralsatz von Stokes auf E~ an (siehe Skizze).
Eine Rechteckschleife S habe Kanten der Länge l parallel zur Grenzfläche und der Länge
~
h senkrecht dazu. Da die magnetische Induktion B~ und ∂ B/∂t
überall endlich ist gilt im
Limes h → 0
0 = −
Z
F
Z
I
Z l
∂ B~
(1)
(2)
~
~
· dF =
(∇ × E) · dF =
E · ds =
ds · E~t − E~t
= 0
∂t
F
S
0
bei Integration über die in S eingespannte ebene Fläche F . Da l beliebig gewählt werden
kann, folgt mit
(1)
(2)
E~t
= E~t
~
di Stetigkeit der Tangentialkomponente von E.
147
(17.5)
~ Wir betrachten
Tangentialkomponente von H
~
~ = ∂ D + jf
∇×H
∂t
~ an. Der Beitrag von ∂ D/∂t
~
und wenden den Integralsatz von Stokes auf H
zum Flächenintegral verschwindet wieder im Limes h → 0. Wir definieren mit
If =
Z
j · dF =
Z l
F
0
~ t(1) − H
~ t(2)
ds H
(17.6)
die Stromstärke If der in der Grenzfläche fließenden (freien) Ströme, senkrecht zur Tan~ t von H,
~ und via
gentialkomponente H
If =
Z l
0
(17.7)
if dl
die Dichte der Oberflächenströme if (die Flächenstromdichte). Aus (17.6) folgt dann
(1)
Ht
(2)
− Ht
= if
.
(17.8)
~ t springt in Anwesenheit von Oberflächenströmen.
Die Tangentialkomponente H
17.2
Lineare, isotrope Medien
Medien werden als linear und isotrop bezeichnet falls
~
B~ = µ H;
~ = E~
D
(17.9)
gilt. Man findet dann
µ1 Hn(1) = µ2 Hn(2)
1 En(1) − 2 En(2) = σf
(17.10)
~ t(1)
~ t(2)
D
D
=
1
2
(1)
(2)
B~t
B~
− t
= if
µ1
µ2
(17.11)
und
aus (17.3), (17.5), (17.4) und (17.8). Wir betrachten nun verschiedene Typen von Grenzflächen.
Grenzfläche zwischen Metallen Gilt das Ohm’sche Gesetz,
jf = σ E~ ,
148
(17.12)
~ siehe
mit der Leitfähigkeit σ, so folgt aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente von E,
(17.5),
(2)
(1)
jf t
jf t
(1)
(2)
~
~
=
(17.13)
Et
= Et ,
σ1
σ2
für die Tangentialkomponente jf t von jf . Für die Normalkomponente folgt über die Kontinuitätsgleichung
∂ρf
∇ · jf +
= 0
(17.14)
∂t
bei Anwendung des Gauß’schen Satzes
(1)
(2)
jf n − jf n = −
∂σf
,
∂t
(17.15)
wobei σf die Flächenladungsdichte ist. Speziell für stationäre Ströme gilt ∇ · jf = 0 und
σ̇f = 0 und somit
(1)
(2)
jf n = jf n .
(17.16)
Die Normalkomponente der Stromdichte ist für stationäre Ströme an der Grenzfläche
zwischen zwei Metallen stetig.
Übergang Leiter (1) - Nichtleiter (2) Da im Nichtleiter kein Strom fließen kann,
gilt nach (17.16)
(2)
(1)
(17.17)
jf n = jf n = 0 ,
für den stationären Fall. Auch im Leiter muss im stationären Fall die Normalkomponente
(1)
jf n der Stromdichte verschwinden sonst würde sich eine immer größer Flächenladungsdichte σf aufbauen. Aufgrund des Ohm’schen Gesetzes (17.12) gilt daher
(1)
jf
= σ (1) E~ (1) ,
E~n(1) = 0 ,
(17.18)
da die Leitfähigkeit im Metall σ (1) 6= 0 nicht verschwindet. Die normalkompoenten des
makroskopischen elektrischen Feldes verschwindet also im Metall und muss daher im Dielektrikum endlich sein falls eine nicht-verschwindende Oberflächenladungsichte σf vorhanden ist. Daher folgt für E~n(2) aus (17.10):
1 En(1) − 2 En(2) = σf ,
2 En(2) = −σf .
(17.19)
Insbesondere verschwinden in der Elektrostatik, alle Ströme, jf = 0, und somit folgt aus
(17.18)
(1)
E~t
= 0
(17.20)
dass auch die Tangentialkomponente des makroskopischen elektrischen Feldes im Leiter
verschwindent. Wegen der allgemeinen Stetigkeitsbedingung (17.5) für die tangentialkompomente folgt daher
(1)
(2)
(2)
E~t
= E~t ,
E~t
= 0.
(17.21)
~
Somit steht das E-Feld
senkrecht zur Leiteroberfläche und verschwindet innerhalb des
Leiters.
149
17.3
Reflexion und Brechung von Licht
Wir betrachten nun die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in linearen und isotropen
Medien mit
~
B~ = µH
~ = E~
D
(17.22)
,
In Abwesenheit freier Ladungen lauten die makroskopischen Maxwell-Gleichungen
∇ · B~ = 0;
~ = 0;
∇·D
∇ × E~ = −
∂ B~
;
∂t
~ =
∇×H
~
∂D
∂t
und nehmen mit (17.22) die Gestalt
~ = 0;
∇·H
~
∂H
∇ × E~ = −µ
;
∂t
∇ · E~ = 0;
~
~ = ∂E
∇×H
∂t
an. Wie in Kap. 9, lassen sich die Gleichungen bezüglich des elektrischen und magnetischen
Anteils entkoppeln. Man erhält die Wellengleichungen
1 ∂2 ~
~
∆E − 02 2 E = 0;
c ∂t
1 ∂2 ~
~
∆H − 02 2 H = 0,
c ∂t
(17.23)
wobei c0 die Phasengeschwindigkeit im Medium ist (vgl. Abschnitt 9.3):
1
= µ
c02
.
(17.24)
Ebene Wellen Da wir im Folgenden das Verhalten des elektromagnetischen Feldes an
ebenen Grenzflächen untersuchen wollen, betrachten wir spezielle Lösungen von (17.23)
in Form ebener Wellen, z.B.:
E~ = E~0 exp{i(k · r − ωt)} ,
(17.25)
wobei zwischen ω und k die Beziehung
k
ω = c0 k = √
µ
(17.26)
~ H
~ und k senkrecht zueinander stehen.
gelten muss. Wie in Kap. 9, findet man, dass E,
• Gleichung (17.26) unterscheidet sich von der Dispersionrelation im Vakuum ω = ck,
siehe (9.24), dadurch, dass dort c eine Konstante ist, während c0 von ω abhängt, via
= (ω). Siehe (16.8) und die Modellrechnung (16.14) sowie den entsprechnenden
Ausdruck (16.35) für Metalle.
150
• Die Komponenten verschiedener Frequenzen ω in einem Wellenpaket laufen also
mit verschiedener Geschwindigkeit c0 = c0 (ω); das Wellenpaket behält seine Form
im Laufe der Zeit nicht bei, die Welllenpakte zerfließen. Vgl. hierzu Abschnitt
10.1).
Phasen- vs. Gruppengeschwindigkeit Je nach Verlauf von (ω) kann c0 > c werden.
Dies bedeutet keinen Widerspruch zur Relativitätstheorie, da die Phasengeschwindigkeit
vph = c0 nicht identisch ist mit der Gruppengeschwindigkeit, siehe (10.5),
dω
dk
vg =
!
(17.27)
k=k0
eines Wellenpaketes, dessen Amplitude auf die Umgebung der Wellenzahl k0 konzentriert
ist; der Energietransport in einem solchen Wellenpaket ist durch vg und nicht durch vph
bestimmt.
Lichtwellen an Grenzflächen Wir untersuchen nun das Verhalten einer Lichtwelle,
beschrieben durch (17.25), an einer ebenen Grenzfläche.
Die Grenzfläche sei die (x, y, 0)-Ebene, das elektrische Feld ist dann
(
~ t) =
E(r,
E~e0 ei(ke ·r−ωe t) + E~r0 ei(kr ·r−ωr t)
E~d0 ei(kd ·r−ωd t)
für einen beliebigen Ortsvektor r = (x, y, z).
151
(z > 0)
,
(z < 0)
(17.28)
• E~e : elektrische Feldstärke der einfallenden Lichtwelle, mit der Amplitude E~e0 .
• E~r : Feldstärke des reflektierten Lichts.
• E~d : Feldstärke der durchgehenden (transmittierten) Lichtwelle.
Erhaltung der Frequenz Aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente E~t des elektrischen Feldes (17.5) folgt
~τ · E~e + E~r
= ~τ · E~d ;
~τ · E~e0 + E~r0
= ~τ · E~d0
(17.29)
für alle Zeiten t, für alle Vektoren r = (x, y, 0) der Grenzfläche und für alle (Einheits)Vektoren ~τ = (xτ , yτ , 0) parallel zur Grenzfläche.
Da die Tangentialkomponente für alle Zeiten t stetig sind, so folgt aus (17.29) und
(17.28), z.B. für r = 0, die Erhaltung der Frequenz
ωe = ωr = ωd ;
ke = kr ;
kd
ke
= √
,
√
1 µ1
2 µ2
(17.30)
√
wobei wir die Dispersionsrelation ω = c0 k = k/ µ verwendet haben.
Koplanarität Für t=0 ergibt sich (∀r in der Grenzfläche) aus der Phasengleichheit der
stetigen Tangentialkomponente
k e · r = k r · r = kd · r
(17.31)
die Koplanarität von ke , kr und kd . Wählt man speziell r = r0 in der Grenzfläche so, dass
ke · r0 = 0, so müssen gemäß (17.31) die 3 Vektoren ke , kr und kd senkrecht zu r0 sein,
was nur möglich ist, wenn ke , kr und kd in einer Ebene liegen.
Reflexionsgesetz Betrachten wir nun einen Vektor r in der Grenzfläche, welcher parallel zur Projektion von ke auf die Grenzfäche ist, dann folgt aus der Bedingung für die
Phasengleichheit (17.31)
ke sin θe = kr sin θr ,
(17.32)
aus (17.31). Nach (17.30) ist ωe = ωr , also auch ke = kr und damit ist (17.32) zum
Reflexionsgesetz
(17.33)
θe = θr
äquivalent.
Brechungsgesetz
√
√
Nach (17.30) gilt ke / 1 µ1 = kd / 2 µ2 , also
√
1 µ1
ke
n1
= √
=
;
kd
2 µ2
n2
n =
152
√
µ
,
(17.34)
wobei wir mit n den Brechungsindex definiert haben. Da nach (17.31) die Tangentialkomponenten von ke und kd identisch sind, gilt ke sin θe = kd sin θd . Damit folgt das
Brechungsgesetz
sin θe
n2
=
sin θd
n1
.
(17.35)
• Wertet man die in (17.29) noch enthaltenen Bedingungen für die Amplituden aus,
so erhält man
– die Fresnel’schen Formeln,
– das Brewster’sche Gesetz (Erzeugung linear polarisierten Lichts) und
– die Totalreflexion (Faser-Optik).
Die Stetigkeitsbedinung der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes bestimmt
also vollständing die relative Intensität von Refektion und Transmission,sowie die
zugehörigen Polarisierungsrichtungen.
• Nach (16.35) ist (ω) im Allgemeinen komplex, also auch k komplex. Eine elektromagnetische Welle wird also im Medium geschwächt (Absorption), wie wir im
nächsten Abschnitt diskutieren werden.
17.4
Elektromagnetische Wellen in leitenden Materialien
Wir betrachten einen Ohm’schen Leiter mit ebener Grenzfläche und Leitfähigkeit σ. Solange kein Ladungsstau auftritt, ist ρf = 0 (vgl. Abschnitt 4.2) und es exisitiere ein
stationäre Stromverteilung
jf = σ E~ =
6 0.
(17.36)
Die makroskopichen Maxwell-Gleichungen (14.22) und (14.23) lauten dann
∇ · E~ = 0;
~ = 0;
∇·H
~
∂H
∇ × E~ + µ
= 0
∂t
~
~ − ∂ E − σ E~ = 0 .
∇×H
∂t
(17.37)
Gedämpfte ebene Wellen Als Lösung von (17.37) setzen wir
E~ = E~0 exp{i(k · r − ωt)};
~ = H
~ 0 exp{i(k · r − ωt)}
H
(17.38)
~ = 0 (folgt aus ∇ · E~ = 0 = ∇ · H).
~ Wir erhalten
an, mit k · E~ = 0 und k · H
~ =
H
1
~
(k × E);
µω
~ + iω E~ − σ E~ = 0 .
i(k × H)
153
(17.39)
Benützt man k × k × E~ = k k · E~ − E~ k2 = −E~ k2 und eliminiert man im letzten
~ so erhält man:
Ausdruck von (17.39) E~ oder H,
−ik 2
+ iω − σ = 0,
µω
k
2
σ
= ω µ 1 + i
ω
2
.
(17.40)
Wir sehen, dass nicht sowohl die Kreisfrequenz ω als auch die Wellenzahl k reel sein kann.
Da ω von außen vorgegeben ist, haben wir es demnach komplexe Wellenzahlen, welche zu
einer Dämpfung der Welle im Leiter führen.
Komplexe Wellenzahlen Man spaltet den Wellenvektor via Setzt man
k 2 = α2 − β 2 + 2iαβ
k = α + iβ;
(17.41)
in einen Realteil α und einen Imaginärteil β auf. Somit folgt aus (17.40)
σ 0 + iσ 00
α − β + 2iαβ = ω µ 1 + i
;
ω
!
2
2
σ = σ 0 + iσ 00 ,
2
wobei σ 0 und σ 00 der Real- und der Imgaginärteil der dynamischen Leitfähigkeit ist.
α2 − β 2 = µω 2 − ωµσ 00 ;
2αβ = µωσ 0 ;
α =
µωσ 0
.
2β
(17.42)
Wir betrachten zunächst reele Leitfähigkeiten σ = σ 0 , was für kleine Frequenzen ω i.A.
der Fall ist. Eliminiert man in der ersten Gleichung α mit Hilfe der dritten Gleichung, so
erhalten wir dann
µωσ 0
2β
!2
− β 2 − µω 2 = 0;
β 4 + µω 2 β 2 −
1
2
(µωσ 0 ) = 0 .
4
(17.43)
Da β reell sein soll, kommt als Lösung für β 2 nur
s
β2
µω 2 
σ0
=
1+
2
ω
2

− 1
(17.44)
in Frage. Analog:
s
α
2
µω 2 
σ0
=
1+
2
ω

2
+ 1 .
(17.45)
Für σ 0 → 0 folgt:
β → 0;
√
in Einklang mit (17.26), ω = k/ µ.
α2 → µω 2
(17.46)
Exponentielle Dämpfung Da µωσ 0 ≥ 0, müssen α und β nach (17.42) gleiches Vorzeichen haben. Für β 6= 0 (d.h. σ 0 6= 0) wird eine auf eine Metalloberfläche einfallende
Lichtwelle im Metall exponentiell gedämpft, mit einer Eindringtiefe ∼ 1/β. Für eine in
positiver x-Richtung laufende ebene Welle wird nämlich
exp{i(kx − ωt)} = exp{i(αx − ωt)} exp{−βx},
wobei mit α > 0 auch β > 0 sein muss.
154
(17.47)
• Hohe Leitfähigkeit (σ 0 → ∞).
√
Die Lichtwelle wird praktisch total reflektiert, da die Eindringtiefe d ∼ β −1 ∼ 1/ σ 0
verschwindet (Spiegel).
• Hohe Frequenzen (ω → ∞).
Nach der Drude Formel σ(ω) = σ0 /(1 − iωτ ), siehe (16.32), ist die Leitfähigkeit
σ frequenzabhängig und komplex. σ wird für ω → ∞ rein imaginär, also k 2 in
(17.40) reell; das Material wird durchsichtig. Diesen Effekt kann man mit harter
Röntgenstrahlung nachweisen.
• Skin-Effekt
Als Folge der Dämpfung β können wegen (17.36) Wechselströme nur in einer Oberflächenschicht des Leiters fließen, deren Dicke durch β −1 bestimmt ist (Skin-Effekt).
17.5
Wellen in einem metallischen Hohlleiter
Wir betrachten die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem unendlich langen
leeren Rohr mit rechteckigem Querschnitt
(Seiten a und b).
Die Rohrwand bestehe aus ideal leitendem
Material (σ → ∞). Die Lösung der Feldgleichungen ist von der Form einer propagierenden Welle, also pro Komponente wie
g(r, t) = f (x, y)ei(kz−ωt) ,
b
wobei f eine noch zu bestimmende Funktion
ist und r = (x, y, z).
a
Randbedingungen Die Randbedingungen für die Komponenten von E und B an den
Wänden folgen aus der Tatsache, dass im Metall kein elektrisches Feld existieren kann.
• Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind nach (17.5) stetig und im
Metall nicht vorhanden. Demzufolge muss die Tangentialkomponente von E verschwinden.
• Die Normalkomponente von B muss nach (17.3) stetig sein. Da es aber im Metall
kein elektrisches Feld gibt, kann dort das Magnetfeld allenfalls statisch sein, und
das ist bei einer sich ausbreitenden Welle nicht möglich. Also verschwindet auch die
Normalkomponente von B.
Wir erhalten also die Randbedingungen
Ey = Ez = Bx = 0
Ex = Ez = By = 0
155
(
x = 0
x = a
(
y = 0
y = b
für
für
Für die einzelnen Komponenten macht man jetzt einen Ansatz, dessen Berechtigung
durch Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen und Bestimmung von freien Konstanten entsteht:




Ex
α cos( nπx
) sin( mπy
)
a
b



mπy  i(kz−ωt)
nπx
(17.48)
 Ey  =  β sin( a ) cos( b )  e
mπy
nπx
γ sin( a ) sin( b )
Ez
und
α0 sin( nπx
Bx
) cos( mπy
)
a
b



mπy  i(kz−ωt)
nπx
 By  =  β 0 cos( a ) sin( b )  e
Bz
γ 0 cos( nπx
) cos( mπy
)
a
b




m, n ∈ N0 ;
= 0 ;
(17.49)
µ = µ0 .
Innerhalb des Hohlleiters herrsche Vakuum.
Minimale Frequenz Die Ansätze (17.48) und (17.49) müssen die Wellengleichung
!
1 ∂2
∆ − 2 2 g(~r, t) = 0
c ∂t
(17.50)
~ und B.
~ Durch Einseterfüllen, und zwar für jede einzelne Komponente g(~r, t) von E
zen lässt sich bestätigen, dass die Ansätze wirklich (17.50) erfüllen, und zwar unter der
Bedingung
ω(k)
nπ
a
2
mπ
+
b
2
+k
2
ω2
= 2 .
c
Hohlzylinder
Vakuum
k
Aus dieser Gleichung kann man sofort eine “Ausbreitungsbedingung“ für Wellen im Hohlleiter herleiten: k ist nur dann reell, wenn
s
ω > ωnm ,
mit
ωnm = c
nπ
a
2
mπ
+
b
2
gilt. Man sieht, dass sich die Dispersionsbeziehung im Hohlleiter von jener im freien Vakuum unterscheidet, solange a und b endlich sind. Das war zu erwarten. Unterhalb einer
gewissen Grenzfrequenz ω10 (für a > b) ist überhaupt keine Wellenausbreitung möglich!
Diese Frequenz geht mit wachsendem a gegen 0.
156
Ausbreitungs-Moden Für ebene Wellen im Vakuum ist sowohl das elektrische, als auch
das magnetische Feld transversal zur k, also zur Ausbreitungsrichtung, siehe Abschnitt
9.2. Dieses ist, aufgrund der Randbedingungen, für die Ausbreitung von Mikrowellen im
Hohlleiter nicht mehr der Fall.
Man spricht von Ausbreitungs-Moden, welche sich aus der Bestimmung der Konstanten
0
0
0
α, β, γ, α , β und γ in (17.48) und (17.49) ergeben. Man findet:
• TM-Welle
Das Magnetfeld ist transversal, Bz = 0. Die niedrigste ausbreitungsfähige Frequenz
für eine TM-Welle im Hohlleiter ist durch
s
ωT M = cπ
1
1
+ 2
2
a
b
gegeben.
• TE-Welle
Das elektrische Feld ist transversal, Ez = 0. In diesem Fall hat man schon nichttriviale Lösungen, falls einer der beiden Indizes n und m von Null verschieden ist. Die
niedrigste ausbreitungsfähige Frequenz ist
ωT E =
cπ
,
a
falls a > b.
• TEM-Welle
In Hohlleitern sind Wellen, die transversal als auch im elektrischem sowie im magnetischen Anteil (TEM-Wellen) sind, nicht ausbreitungsfähig.
Allg. ist die Bestimmung der propagierenden Moden in Wellenleitern, wie Hohleiter für
Mikrowellen oder Glasfaser für Licht, für technische Anwendungen essentiell.
157
158
Teil VII
Relativistische Invarianz der
Elektrodynamik
159
Kapitel 18
Spezielle Relativitätstheorie
Wir werden im Kap. 19 die Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen nachweisen. Historisch ist dieses vor der Entwicklung der relativistischen Mechanik geschehen. Diese ist
jedoch anschaulicher und wir werden daher zunächst eine Einführung in die spezielle Relativitätstheorie geben.
Die Newton’schen Bewegungsgleichungen sind invariant unter Galilei-Transformationen,
nicht jedoch unter Lorentz-Transformationen. Das Relativitätsprinzip verlangt daher eine
Modifikation der Newton’schen Gleichungen, und zwar derart, daß bei Geschwindigkeiten
v c die Newton’schen Gleichungen gültig bleiben.
18.1
Einleitung
Einige experimentelle Tatsachen zeigen, dass die Galileiinvariante Mechanik nur begrenzte
Gültigkeit haben kann.
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die beobachtete Invarianz der Lichtgeschwindigkeit,
c = 2, 99992458 × 105 km/s
steht in Widerspruch zum Additionstheorem
~v 0 = ~v1 + ~v2
für Geschwindigkeiten. Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit folgt, wie besprochen, auch
direkt aus den Maxwellgleichungen.
Radioakiver Zerfall bewegter Teilchen Das Myon, eine Art „schweres Elektron“mit
Masse mµ ' 207 me , zerfällt spontan in ein Elektron und zwei Neutrinos,
µ → e + ν1 + ν2 ,
mit einer Zerfallszeit (im Labor)
τ (0) (µ) = (2.19703 ± 0.00004) × 10−6 s .
Misst man nun die Zerfallszeit von bewegten Myonen (an einem Strahl), so findet man
eine Zerfallszeit, welche via
160
1
,
γ=q
1 − v 2 /c2
τ (v) (µ) = γ τ (0) (µ),
(18.1)
von der Geschwindigkeit v der Myonen abhängt. Nun ist aber der Zerfallsvorgang eines
Elementarteilchens ein intrinsischer Vorgang, der also ohne äußeren Einfluss nur nach
der inneren Uhr des Elementarteilchens abläuft. Gleichung (18.1) bedeutet nun, dass die
innere Uhr bei erhöhten Geschwindigkeiten um den Faktor γ langsamer läuft.
18.2
Wellengleichung
~ B,
~
Die Ausbreitung des Lichts, d.h. der 6 Komponenten des elektromagnetischen Feldes E,
wird durch die Wellengleichung
!
1 ∂2
− ∆ u(~x, t) =
c2 ∂t2
"
1 ∂2
∂2
∂2
∂2
−
+
+
c2 ∂t2
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
#!
u(~x, t) = 0
beschrieben. Wir betrachten erst einmal eine Raumdimension, d.h.
∂2
1 ∂2
−
c2 ∂t2 ∂x2
!
u(x, t) = 0 ,
(18.2)
mit der allgemeinen Lösung
u(x, t) = u1 (x + ct) + u2 (x − ct),
(18.3)
wobei die u1 () und u2 () beliebige Funktionen sind, die sich aus den Anfangsbedingungen
bestimmen lassen.
Lichtkegel Nach (18.3) ist somit c die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts. Insbesondere breitet sich das Licht von einem Ereignis zur Zeit t0 und Ort xo auf dem „Lichtkegel“
u(x, t) = δ(x − x0 + c(t − t0 )) + δ(x − x0 − c(t − t0 ))
aus. Wegen der (experimentell festgestellten) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit muss
daher die Kugelwellenfront
t
Lichtkegel
x
161
(18.4)
c2 (t − t0 )2 − (~x − ~x0 )2 = 0
invariant unter einer noch zu findenden Klasse von Transformationen sein. Diese Klasse
von Transformationen soll dann nicht nur für die Wellengleichung, d.h. für die Elektrodynamik, sondern auch für die Mechanik gelten; man nennt sie „Lorentztransformationen“.
Postulate der speziellen Relativitätstheorie Die Gesetze der Mechanik müssen
demnach gegenüber der Newton’schen Mechanik modifiziert werden, da diese unter der
Gruppe der Galileitransformationen invariant sind und eine Galileitransformation mit
~v 6= 0 (18.4) nicht invariant lässt. Bei der Bestimmung der neuen Gesetze der Mechanik
lässt Einstein sich vom „Trägheitsprinzip“leiten, welches besagt, dass für freie Teilchen
¨ = 0 invariant sein soll. Die Relativitätstheorie beruht also auf drei
das Trägheitsgesetz ~x
Postulaten:
• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Aufgrund der experimentellen Evidenz, z.B. durch
Michelson und Morley (1887).
• Relativitätsprinzip
Alle Gesetze der Mechanik (und der Elektrodynamik) müssen invariant unter der
Gruppe der Lorentztransformationen sein, d.h. alle Naturgesetze obliegen den gleichen Transformationseigenschaften.
• Trägheitsprinzip
¨ soll für freie Teilchen (Lorentz-)invariant sein, ein Spezialfall des
Die Gleichung ~x
Relativitätsprinzips.
18.3
Lorentztransformationen
In der speziellen, wie auch in der allgemeinen Relativitätstheorie, gibt es eine strenge
Vorschrift wie Koordinaten zu schreiben sind. Hoch- oder tiefgestellte Indizes haben verschiedene Bedeutungen, welche wir später genauer definieren werden, und dürfen nicht
verwechselt werden.
• Vierer-Vektoren
Wir beschreiben die Raum-Zeit durch den R4 mittels des Vierer-Vektors
x = (x0 , x1 , x2 , x3 );
x0 = ct;
~x = (x1 , x2 , x3 ) .
Wir nennen x0 = ct die Zeitkoordinate und (x1 , x2 , x3 ) = ~x die kartesische Raumkoordinate.
• Weltlinie
Die Bewegung eines Teilchens ist eine Kurve im R4 , welche jede Ebene x0 = konst.
nur einmal schneidet („Weltlinie“).
162
ct
ct
x
x(t)
Koordinatentransformationen Für freie Teilchen sind die Weltlinien Geraden. Die gesuchten Transformationen A müssen also nach dem Trägheitsgesetz geradentreu sein und
sogar affin (Geraden werden auf Geraden abgebildet, parallele Geraden bleiben parallel,
Teilverhältnisse bleiben erhalten), wenn kein Ereignis ins Unendliche abgebildet werden
soll,
x0 = Ax + a;
(detA 6= 0; a ∈ R4 ) .
(18.5)
Koordinatendifferenzen ξ = x − x0 transformieren sich homogen,
ξ 0 = Aξ .
Metrischer Tensor Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit verlangt nach (18.4) die
Invarianz von
0 = c2 (t − t0 )2 − (~x − ~x0 )2 = (ξ 0 )2 −
3
X
(ξ i )2 = ξ T g ξ ,
(18.6)
i=1
unter Lorentz-Transformationen, wobei ξ T der transponierte 4-er Vektor ist und wir mit


g = 


1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1





(18.7)
den „metrischen Tensor“ g im R4 definiert haben.
Minkowski-Raum Der metrische Tensor g führt via
(ξ1 , ξ2 ) ≡ ξ1T g ξ2
(18.8)
zu einem Skalarprodukt (ξ1 , ξ2 ), welches allerdings nicht positiv definit ist. Den R4 mit
dem Skalarprodukt (18.8) bezeichnet man als den Minkowski-Raum.
Invarianz der Lichtgeschwindigkeit Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit ist mit
der Invarianz von (18.6) unter einer Lorentz-Transformation ξ → ξ 0 = Aξ äquivalent,
0 = (ξ 0 )T g ξ 0 = ξ T AT g A ξ ,
| {z }
h
163
dass heißt der Tensor h muss proportional zu g sein, also
h = AT g A = µ2 g ,
(18.9)
wobei die Proportionalitätskonstante i.Allg. positiv ist (betrachte z.B. ξ 0 = µξ).
Feste Maßstäbe Reine Dilatationen ξ 0 = µξ (µ > 0) beschreiben simultane Maßstabsänderungen für Länge und Zeit; sie sind mit allen Postulaten verträglich. Im Allgemeinen
wollen wir jedoch die physikalischen Gesetze unter der Annahme formulieren, dass wir in
jedem Bezugssytem mit den gleichen (festen) Maßstäben messen. Dann sind Dilatationen
nicht zugelassen und
µ2 ≡ 1.
Damit definieren wir die Gruppe der Lorentztransformationen Λ durch
x0 = Λx + a;
a ∈ R4 .
ΛT gΛ = g
(18.10)
Lorentz-Transformationen lassen per Definition den metrischen Tensor invariant.
18.4
Darstellung der Lorentztransformationen
Die allgemeine Lorentztransformation ist durch 6 Parameter bestimmt.
• Rotationen
Drei Parameter ϕ
~ = |~
ϕ| ϕ̂ beschreiben Rotationen um eine Achse ϕ̂ um den Winkel
ϕ = |~
ϕ|.
• Eigentliche Lorentz-Transformationen
~ = |φ|
~ φ̂ beschreiben die Transformation auf ein bewegtes BezugsDrei Parameter φ
~
system mit der Geschwindigkeit ~v = −cφ̂ tanhφ, mit φ = |φ|.
Die allgemeine, homogene Lorentztransformation ist durch
~ ϕ
~·K
~ +ϕ
Λ(φ,
~ ) = exp φ
~ · J~
(18.11)
~ = (Kx , Ky , Kz ) und J~ = (Jx , Jy , Jz ) in
gegeben, wobei die infinitesimalen Erzeugenden K
Komponenten durch




Kx = 
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0



,





Jx = 
164
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 −1
0
0
1
0



,

(18.12)



Ky = 





Kz = 
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0



,



,




Jy = 





Jz = 
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0
0 −1 

,
0 0 
0 0

0 0 0
0 0 1
0 −1 0
0 0 0
0
0
0
0
(18.13)



,

(18.14)
~ schreiben
gegeben sind. Den Nachweis, dass sich räumliche Rotationsmatrizen als exp(~
ϕ·J)
lassen, können wir an dieser Stelle nicht geben. Für Rotationen um die z-Achse läßt sich
dieses schnell nachrechnen.
Gruppeneigenschaft Die homogenen Lorentztransformationen bilden eine Gruppe, es
gilt also stets
~ ϕ
~ 0, ϕ
~ 00 , ϕ
Λ(φ,
~ ) · Λ(φ
~ 0 ) = Λ(φ
~ 00 ),
~ ϕ
~ 0, ϕ
~ 00 , ϕ
wobei allerdings der Zusammenhang zwischen (φ,
~, φ
~ 0 ) und (φ
~ 00 ) i.Allg. kompli~ ~0) bezeichnet man
ziert ist. Lorentztransformationen ohne einen Rotationsanteil, also Λ(φ,
als „spezielle“oder “eigentliche” Lorentztransformationen.
Kommutatoren Der Kommutator zweier Operatoren (Matrizen) A und B ist als [A, B] :=
AB − BA definiert. Der Kommutator zweier Erzeugenden ist wieder eine Erzeugende, somit bilden die Erzeugenden eine sog. „Lie-Algebra“.
Die Kommutatorrelationen der Erzeugenden lassen sich als (Übung)
[Ki , Kj ] =
ijk Jk
[Ji , Kj ] = −ijk Kk
[Ji , Jj ] = −ijk Jk
schreiben, wobei i, j, k über x, y, z laufen. Insbesondere sieht man aus [Ki , Kj ] = ijk Jk ,
dass die speziellen Lorentztransformationen keine Gruppe bilden: Zwei spezielle Lorentztransformationen in verschiedenen Richtungen hintereinander beinhalten auch eine Rotation.
Quantenmechanik Nur der Vollständigkeits halber bemerken wir, dass Rotationen
allgemein in exponentieller Form geschrieben werden, wobei im Exponenten stets die
jeweiligen Erzeugenden stehen. In der Quantenmechanik sind Rotationen durch
~
R(~
ϕ) = ei~ϕ·J/~ ,
J~ = ~r × p~,
[Jk , Jl ] = i~ klm Jm
gegeben. Datei ist R(~
ϕ) die 3 × 3 Matrix für Rotationen um die Achse ϕ
~ /|~
ϕ| um den
~
Winkel |~
ϕ|, und L der Drehimpuls-Operator.
Der Faktor i/~ im Exponenten ist notwendig um den ensprechenden Faktor in der
Defintion des Impulsoperators, p~ = (~/i)∇ zu kürzen.
165
18.5
Spezielle Lorentztransformationen
Drehungen sind auch Lorentztransformationen, doch sie bringen keine neue Physik mit
sich. Wir betrachten daher im Folgenden nur die speziellen Lorentztransformationen und
können uns hier, o.B.d.A. auf einen „Boost“entlang der x-Koordinaten beschränken, d.h.
Λ = exp[φKx ].
Boosts Wir wollen nun die explizite Form von (18.11) für einen Boost berechnen. Wir
bemerken zunächst, dass



Kx2 = 

0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0







·


0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0







= 


1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0





≡ 10
und somit Kx2m = 10 und Kx2m−1 = Kx (m ≥ 1). Wir berechnen nun explizit die Exponentialreihe für einen Boost in x-Richtung,
φKx
e
∞
X
∞
X
φn n
=
Kx = 1 +
n=0 n!
∞
X
!
φ2m
10 +
(2m)!
m=1
|
{z
cosh φ−1
}
!
φ2m−1
Kx .
m=1 (2m − 1)!
|
{z
sinh φ
}
In Komponenten finden wir also




Λ(φ) = eφKx = 
cosh φ sinh φ 0 0
sinh φ cosh φ 0 0
0
0
1 0
0
0
0 1



,

oder, mit x0 = Λ(φ)x,
ct0
x0
y0
z0
= cosh(φ) ct + sinh(φ) x
= sinh(φ) ct + cosh(φ) x
=
y
=
z
(18.15)
Geschwindigkeit Bisher ist der Parameter φ in der Lorentz-Transformation ein formeller
Parameter ohne physikalische Bedeutung. Um diese zu finden betrachten wir einen Punkt,
welcher im bewegten Koordinatensystem ruht. Für diesen ist x0 = const., seine Bewegung
wird im Laborsystem durch
sinh(φ) ct + cosh(φ) x = 0 ,
beschrieben. Seine Geschwindigkeit ist also
v =
x
sinh φ
= −c
= −c tanh φ .
t
cosh φ
166
(18.16)
Damit haben wir den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v des bewegten Systems und dem Parameter φ der Lorentztransformation gefunden. Aus
2
2
cosh φ − sinh φ = 1;
tanh2 φ
sinh φ =
1 − tanh2 φ
1
;
cosh φ =
1 − tanh2 φ
2
2
finden wir mit β ≡ v/c
cosh φ = √
1
≡ γ,
1 − β2
sinh φ = −βγ,
(18.17)
und somit wird (18.15) zu
ct0 =
cγ t − βγ x
0
x = −vγ t + γ x
(18.18)
Invarianz des Lichtkegels Wir können nun nachweisen, dass (18.18) tatsächlich eine
Lorentztransformation ist, das heißt, dass der Lichtkegel (18.4) invariant ist,
c2 (t0 )2 − (x0 )2 = γ 2 (ct − vx)2 − γ 2 (−vt + x)2
= γ 2 (1 − β 2 ) c2 t2 − x2
.
Die Wellengleichung ist im bewegten Bezugssystem genau dann erfüllt wenn sie auch im
Laborsystem gilt.
Kausalität Wir bemerken noch, dass der Lichtkegel (18.4) die „Kausalität“ erfüllt.
• zeitartige Ereignisse
Man bezeichnet zwei Ereignisse (ct1 , ~x1 ) und (ct2 , ~x2 ) als zeitartig, wenn
c2 (t2 − t1 )2 > (~x2 − ~x1 )2
erfüllt ist.
• raumartige Ereignisse
Man bezeichnet zwei Ereignisse (ct1 , ~x1 ) und (ct2 , ~x2 ) als raumartig, wenn
c2 (t2 − t1 )2 < (~x1 − ~x1 )2
gilt.
Für t1 < t2 kommt bei zwei zeitartigen Ereignissen ein Lichtsignal vom ersten Ereignis vor
dem zweiten Ereignis an, bei zwei raumartigen Ereignissen erst danach. Bei zeitartigen
Ereignissen kann das erste also das zweite Ereignis auslösen, bei raumartigen Ereignissen
ist dies nicht möglich.
Nach (18.4) bleibt die die Kausalität durch Lorentztransformationen erhalten.
167
18.6
Addition von relativistischen Geschwindigkeiten
Wir betrachten zwei Boosts hintereinander in x-Richtung, den ersten mit Geschwindigkeit
v1 , den zweiten mit Geschwindigkeit v2 . Die Endgeschwindigkeit sei v3 und tanh φi =
−βi , (i = 1, 2, 3). Man findet aus der Exponentialdarstellung
eφ3 Kx = eφ2 Kx · eφ1 Kx = e(φ2 +φ1 )Kx ,
die Beziehung1
vi
tanh φi = − ;
c
φ3 = φ2 + φ1 ;
i = 1, 2, 3 ,
oder
tanh−1 β3 = tanh−1 β2 + tanh−1 β1 .
(18.19)
Aus dieser Gleichung lässt sich die Endgeschwindigkeit v3 als Funktion der beiden einzelnen Geschwindigkeiten v1 und v2 berechnen. Wir formen um:
h
β3 = tanh tanh−1 β2 + tanh−1 β1
=
i
=
sinh tanh−1 β2 + tanh−1 β1
cosh tanh−1 β2 + tanh−1 β1
sinh(tanh−1 β2 ) cosh(tanh−1 β1 ) + cosh(tanh−1 β2 ) sinh(tanh−1 β1 )
.
cosh(tanh−1 β2 ) cosh(tanh−1 β1 ) + sinh(tanh−1 β2 ) sinh(tanh−1 β1 )
q
Jetzt verwenden wir sinh = tanh / 1 − tanh
2
β
sinh tanh−1 β = √
,
1 − β2
q
und cosh = 1/ 1 − tanh2 . Damit wird
cosh tanh−1 β = √
1
1 − β2
und wir erhalten mit
β3 =
β2 + β1
,
1 + β2 β1
v3 =
v2 + v1
1 + v2 v1 /c2
(18.20)
die gewünschte Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten.
• Für v1 /c 1 und v2 /c 1 wird (18.20) zu v3 = v1 + v2 + O(v1 v2 /c2 ). Im nichtrelativistischen Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten erhalten wir also die übliche
Formel der Galilei’schen Mechanik.
• Man kann leicht zeigen (Übung), dass v3 nach (18.20) nie größer als die Lichtgeschwindigkeit sein kann.
1
Beachte: für [A, B] 6= 0 ist exp(A) exp(B) 6= exp(A + B).
168
18.7
Vektorkalkül
In der relativistischen Mechanik spielt der Begriff eines „4-er Vektors“eine zentrale Rolle.
Kontravariante Vektoren Man nennt (ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) einen „kontravarianten“ 4-er Vektor, falls sich die Komponenten unter Lorentztransformationen wie Koordinatendifferenzen verhalten, d.h. wenn
ξ 0µ = Λµν ξ ν
(18.21)
gilt. Nicht alle Quardrupel von Zahlen sind 4-er Vektoren; ganz entscheidend sind ihre
Transformationseigenschaften. Z.B. ist (xµ ) = (ct, x, y, z) ein 4-er Vektor, aber (ct, x, y, z 3 )
ist kein 4-er Vektor.
Kovariante Vektoren Lorentztransformationen sind so definiert, dass der metrische
Tensor g invariant bleibt. Somit ist das Skalarprodukt (18.8)
(ξ, η) = ξ µ gµν η ν ≡ ξ µ ην = ξ 0 η0 − ξ~ · ~η
auch Lorentz-invariant, falls ξ und η 4-er Vektoren sind, sich also wie (18.21) transformieren. Hierbei haben wir mit
(xµ ) = (ct, −x, −y, −z)
ηµ ≡ gµν η ν
die kovarianten Komponenten von η definiert. Mit g µν = gµν kann man das Skalarprodukt
auch als
(ξ, η) = g µν ξµ ην
schreiben.
Kovariante Ableitungen Die Differenzierung nach der Raum-Zeit, x = (ct, x, y, z), ist
kovariant,
∂µ ≡
∂
∂xµ
(18.22)
und das Skalarprodukt
ξµ
∂
= ξ µ ∂µ
∂xµ
ein invarianter Differentialoperator.
Die Kovarianz von ∂µ lässt sich folgendermaßen zeigen: Für eine skalare Funktion f (x)
(skalare Funktionen sind Lorentz-invariant) ist die Differenzierung entlang ξ,
d
∂f
f (x + λξ)
= ξ µ µ = (ξ µ ∂µ ) f (x)
dλ
∂x
λ=0
169
Lorentz-invariant, und somit auch ξ µ ∂µ . Damit muss also ∂µ kovariant sein.
Wellenoperator Natürlich ist der Wellenoperator
g µν ∂µ ∂ν =
1 ∂2
−∆
c2 ∂t2
invariant; dies war ja unser Ausgangspunkt. Ferner ist für jedes Vektorfeld A(x) die Divergenz
∂µ Aµ =
∂Aµ
∂xµ
eine Invariante (Skalarfeld).
18.8
Relativistische Mechanik
Wir suchen eine Lorentz-invariante Bewegungsgleichung für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld, welche für kleine Geschwindigkeiten den bekannten nichtrelativistischen Grenzfall haben soll. Wir fangen mit einem freien Teilchen an.
Differentielle Bogenlänge Die differentielle Bogenlänge ds auf einer Weltlinie x(t) ist
ein Skalar,
ds
2
µ
= gµν dx dx
ν
= c2 dt2 − dx2 + dy 2 + dz 2
,
(18.23)
oder, mit der „3-er Geschwindigkeit“~v = d~x/dt,
ds2 =
c2 − vx2 + vy2 + vz2
dt2
und somit Lorentz-invariant.
Eigenzeit Die „Eigenzeit“τ ist via c dτ = ds definiert, also
dτ =
q
1
ds = 1 − ~v 2 /c2 dt
c
.
(18.24)
Da τ Lorentz-invariant ist und im Limes kleiner Geschwindigkeiten mit der Laborzeit t
übereinstimmt, ist τ die Eigenzeit, also die „Uhr“in dem bewegten Bezugssystem.
Zeitdilatation Der in der Einleitung diskutierte radioaktive Zerfall ist als physikalischer
Prozess Lorentz invariant und läuft daher nach (18.24) n der Laborzeit dt gemäß
dt = γ dτ
q
um den Faktor γ = 1/ 1 − v 2 /c2 langsamer ab (Zeitdilation), in Einklang mit dem
Experiment, siehe (18.1).
4-er Geschwindigkeit Als „4-er Geschwindigkeit“bezeichnet man
170

dx
u =
;
dτ
(uµ ) =  q
c
1 − v 2 /c2
,q

~v
1 − v 2 /c2

(18.25)
mit (u, u) = c2 . Anlog ist der „4-er Impuls“via

mc
m~v


(pµ ) =  q
,q
2
2
2
2
1 − v /c
1 − v /c
p = mu;
(18.26)
definiert, wobei m die Ruhemasse ist. Er erfüllt stets
(p, p) = m2 c2 .
(18.27)
Lagrangefunktion Um die Lagrangefunktion für ein freies Teilchen herzuleiten gehen
wir vom Prinzip von Euler-Maupertuis (siehe Mechanik) aus, welches besagt, dass für ein
freies Teilchen die Variation der Lorentz-invarianten Wirkung
Z (2)
ds
(1)
für feste Endpunkte (1) und (2) verschwindet (Die Endzeiten sind jedoch variabel). Wir
postulieren also, dass das Prinzip von Euler-Maupertuis auch relativistisch gilt, wenn man
wie mit s einen Lorentz-invarianten Kurvenparameter wählt.
Wir multiplizieren mit (−mc) und erhalten
Z
(−mc) ds =
Z
2
(−mc ) dτ =
Z
q
(−mc2 ) 1 − v 2 /c2 dt.
|
{z
}
≡L
Das Variationsprinzip
δ
Z (2)
L dt = 0,
(1)
führt zur Definition der Lagrangefunktion
q
L = (−mc2 ) 1 − v 2 /c2 ≈ −mc2 +
m 2
v + O(v 2 /c2 ) .
2
Bewegungsgleichungen Die Lagrange-Gleichungen,
∂L
d ∂L
−
= 0,
dt ∂ ẋi
∂xi
(i = 1, 2, 3)
(18.28)
werden somit zu den Bewegungsgleichungen
d
m~v
q
= 0
dt 1 − ~v 2 /c2
welches den relativistischen 3-er Impuls
171
,
(18.29)
p~ = q
m~v
1 − ~v 2 /c2
definiert, in Einklang mit (18.26). Die Lösung von (18.29) ist natürlich ~v = konst..
Relativistische Energie Aus der Mechanik wissen wir, dass für zeitunabhängige LaP
grangefunktionen die verallgemeinerte Energie α pα q̇α − L erhalten ist. In unserem Fall
ist die Energie E
E =
3
X
m~v 2
i i
p ẋ − L =
q
i=1
=
2
1 − ~v 2 /c2
q
− (−mc ) 1 − v 2 /c2
m~v 2 + (mc2 )(1 − v 2 /c2 )
q
1 − ~v 2 /c2
,
also
E = q
mc2
E(~v = 0) = mc2 ,
1 − ~v 2 /c2
(18.30)
mit der „Ruheenergie“ E(~v = 0) = mc2 .
Energie-Impuls-Beziehung Ein Vergleich der relatistischen Energie (18.30) mit der
Definition des 4-er Impulses (18.26) zeigt, dass der 4-er Impuls die Form
E
, p~
c
hat und die Relation (p, p) = E 2 /c2 − p~ 2 = m2 c2 , siehe (18.27), somit zu
pµ =
E =
q
p~ 2 c2 + (mc2 )2
(18.31)
(18.32)
wird. Gl. (18.32) ist die berühmte Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie.
Masselose Teilchen Aus (18.32) folgt, dass auch Teilchen ohne Masse, wie z.B. Photonen, einen Impuls
p = E/c
haben.
18.9
Relativistisches Teilchen in einem elektromagnetischen Feld
~ ~x)
Mit den Definitionen für das skalare Potential Φ(t, ~x) und für das Vektorpotential A(t,
aus Abschnitt 7.1,
~
~ = ∇ × A,
~
~ = − ∂ A − ∇Φ
(18.33)
B
E
∂t
172
können wir das kovarianten 4-er Potential
(Aµ ) :=
~
φ, A
(18.34)
definieren, wie in Kapitel 19 noch näher erläutert werden wird.
Lagrange Funktion für ein Geladenes Teilchen Mit der
der 4-er Geschwindigkeit
R
u = γ(c, ~v ), nach (18.25), könne wir die Wirkung I = (−mc2 ) dτ für eine freies Teilchen
Lorentz-invariant zu
I =
Z q
1
e
2
2
2
~
−m c − (u, A) dτ =
−mc 1 − v /c − e(φ − ~v · A) dt
c
c
|
{z
}
Z 2 2
L(~
x,~v ,t)
verallgemeiner, wobei wir die Lagrange
Funktion L(~x, ~v , t) definieren haben und dτ = dt/γ
q
verwendete haben, mit 1/γ = 1 − (v/c)2 .
Lagrange Gleichungen Für die Lagrange Gleichungen (18.28) brauchen wir


e k
e ∂Ak e X ∂Ak i
d ∂L
d 
mv k
d
mv k
q
q
+
+
=
A
=
+
v
dt ∂ ẋk
dt
dt 1 − v 2 /c2 c ∂t
c i ∂xi
1 − v 2 /c2 c
und
∂Φ
e X ∂Ai i
∂L
=
−e
+
v .
∂xk
∂xk c i ∂xk
Wir erhalten somit mit (18.33) die Bewegungsgleichungen
∂φ
1 ∂Ak
mv k
d
q
= e − k−
dt 1 − v 2 /c2
∂x
c ∂t
|
{z
!
}
Ek
k
e X i ∂Ai
i ∂A
−
v
v
,
+
c i
∂xk
∂xi
!
|
{z
~ k
(~v ×B)
}
für eine relativistisches Teilchen in einem äußerm elektromagnetischem Feld. Die Rechte
Seite entspricht der Lorrentz Kraft. Hier haben wir
~ k = klm vl mop ∂o Ap = (δko δlp − δkp δlo )vl ∂o Ap
(~v × B)
verwendet.
Kanonischer Impuls und Energie Der kanonische Impuls ist
p~ =
∂L
e~
=
mγ~
v
+
A,
c
∂ ~x˙
wie aus der klassischen Mechanik im nicht-relativistischem Limes γ → 1 schon bekannt.
Die erhaltene Gesamtenergie ist nach dem Satz von Noether dann
E = p~ · ~v − L = mγc2 + eΦ ,
173
~ e/c heben sich weg, die Lorentz-Kraft
wobei wir (18.30) verwendet haben. Die Terme ±~v ·A
ist keine Potentialkraft.
Teilchen im konstanten elektrischen Feld Wir haben
m~v
d
~ ,
~ + e ~v × B
q
= eE
dt 1 − v 2 /c2
c
(18.35)
~ = E0 x̂ und B
~ = 0. Mit
zu lösen, für den Fall eines konstanten elektrischen Feldes E
~v = vx̂ wird dann die Bewegungsgleichung (18.35) zu
mv
q
1 − v 2 /c2
= eE0 t ,
oder
2 2
0 = m v − (eE0 t)
2
v2
1− 2
c
!
= v
2
(eE0 t)2
m +
c2
2
!
− (eE0 t)2 .
Für die Geschwindigkeit v = v(t) erhalten wir
eE0 t
.
v = v(t) = q
m2 + (eE0 t)2 /c2
Für kleine Zeiten ist v ' eE0 t/m, für große Zeiten ist limt→∞ v = c, die Lichtgeschwindigkeit c hat also die Bedeutung einer asymptotischen Grenzgeschwindigkeit.
174
Kapitel 19
Lorentz-invariante Formulierung der
Maxwell-Gleichungen
19.1
Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum
Das Ziel dieses Abschnittes wird es sein, einen Formalismus zu entwickeln, mit dessen
Hilfe die Gesetze der Elektrodynamik auf eine Weise geschrieben werden können, die
ihre Invarianz bezüglich Lorentz-Transformationen (LT) evident macht. Als ersten Schritt
errinnern wir an die Viererschreibweise, welche wir im Kapitel 18 eingeführt haben.
Vektorkalkül Seien ct, x, y und z Koordinaten im Minkowski-Raum. Es gelten die
folgenden Definitionen und Konventionen:
• Kontravariante Vierervektoren xµ
xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z);
µ = 0, 1, 2, 3 .
• Kovariante Vierervektoren xµ
xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, −x, −y, −z);
µ = 0, 1, 2, 3 .
• Lateinische und griechische Indizes
Per Konvention steht ein griechischer Index für 0...3, ein lateinischer für 1...3.
• Summenkonvention
Die Einstein-Konvention, wie wir sie bisher verwendeten, wird nun eingeschränkt.
Summiert wird nur noch über gleichnamige Indizes, wenn sie auf verschiedenen
Ebenen stehen, d.h.
xµ xµ ≡
3
X
xµ xµ = s 2 ;
µ=0
xi xi ≡
3
X
xi x i .
i=1
• Metrik
Die Beschaffenheit, d.h. die Geometrie eines Raumes ist durch seine Metrik und damit durch sein Linienelement eindeutig festgelegt. Nach (18.23) ist die differentielle
Bogenlänge ds mit
175
ds2 = gµν dxµ dxν
(19.1)
Lorentz-invariant, wobei gµν der metrische Tensor ist.
Metrischer Tensor Im euklidischen vierdimensionalen Raum lautet die Metrik



gµν → 

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1





.
Im Minkowski-Raum der Relativitätstheorie gilt dagegen
1
0
0
0
0 −1
0
0
0
0 −1
0
0
0
0 −1




gµν = 





(19.2)
.
Die Form des metrischen Tensors folgt unmittelbar aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, wie im Kapitel 18 diskutiert.
• Mit der Metrik (19.2) ist es möglich, Indizes zu heben bzw. zu senken und damit
kovariante in kontravariante Vektoren zu verwandeln und umgekehrt. Es gilt
xµ = gµν xν
xµ = g µν xν ,
und
wobei g µν die zu gµν inverse Metrik darstellt.
• Es gilt g µν = gµν denn
0
0
g µν = g µµ g νν gµ0 ν 0 .
• Die 4er-Einheitsmatrix δ µλ (das 4er Kronecker-δ) ist durch
(
g µλ
µν
= g gνλ =
δ µλ
=
0
1
µ 6= λ
µ=λ
gegeben.
• Die vertikale Positionierung der Indizes ist wichtig. Die Lorentztransformationen
Λµν und Λνµ sind i.Allg. nicht gleich, die Schreibweise Λµν unzulässig. Der erste Index
eines Tensor indiziert die Reihe, der zweite die Spalte.
Rechnen mit Tensoren Als Beispiel betrachten wir einen Tensor
Mµ
ν
=
A B
C D
!
;
(gµν ) =
176
1
0
0 −1
!
für den vereinfachten Fall von einer räumlichen und einer zeitlichen Dimension. In Klartext
haben wir
M0 0 = A
M1 0 = C
M0 1 = B
M1 1 = D
in Komponenten-Schreibweise. Es gilt
ν0
Mµν = gνν 0 Mµ ;
(Mµν ) =
A −B
C −D
!
A −B
−C
D
!
und
M µν
= g
µµ0
(M µν )
Mµ0 ν ;
=
.
Diese Beziehung zwischen (Mµν ) und (M µν ) läßt sich ohne Probleme auf den Fall dreier
räumlicher Dimensionen verallgemeinern.
Lorentz-Transformationen Wie transformieren sich Vektoren beim Übergang in ein
anderes Koordinatensystem? Was macht einen kovarianten Vektor aus? Man betrachte
die ko- bzw. kontravarianten Vierervektoren
Aµ = (A0 , A1 , A2 , A3 ) .
Aµ = (A0 , −A1 , −A2 , −A3 );
Ein Vektor ist nun dann und nur dann ko- bzw. kontravariant wenn er sich unter einer
Lorentz-Transformation Λ vom Laborsystem Σ zu einem bewegten Bezugssystem Σ0 wie
(A0 )µ = Λµν Aν ;
µ
(A0 )
0
0
Λµν = gµµ0 g νν Λµν 0
= Λµν Aν ;
(19.3)
transformiert, vergl. (18.21). Nun ist die Lorentz-Transformation eine lineare Abbildung
und daher gilt
∂x0µ
∂x0µ
ν
Λµν =
;
Λ
=
(19.4)
µ
∂xν
∂xν
wenn wir mit xµ die 4er Koordinaten im Laborsystem Σ bezeichnen und mit x0µ die im
bewegten Bezugssystem Σ0 , vgl. (18.18) und (18.22). Aus einem Vergleich der rechten und
linken Seite von (19.4) ist klar dass die Ableitung nach einem kontravarianten Vektor
kovariant sein muss und umgekehrt,
∂µ
∂
≡
=
∂xµ
!
∂ ~
,∇ ;
∂x0
∂µ
∂
≡
=
∂xµ
!
∂
~
, −∇
∂x0
,
siehe auch (18.22).
Invarianz des Skalarproduktes Lorentz Transformationen lassen per Definition die
Metrik invariant, als
(x0 |x0 ) = (x|x)
µ
ν
(x0 ) gµν (x0 )
= xσ gσρ xρ ,
was ausgeschrieben
xσ gσρ xρ = Λµσ xσ gµν Λνρ xρ
177
ergibt, vergl. auch (18.10). Diese Beziehung gilt für alle xσ und wir finden daher mit
δ λρ = g λσ gσρ = g λσ gµν Λµσ Λνρ = (Λ−1 )λν Λνρ
gσρ = gµν Λµσ Λνρ ;
|
{z
=: (Λ−1 )λν
}
einen Ausdruck für die inverse Lorentz-Transformation Λ−1 .
Wellengleichung Die Viererdivergenz
µ
∂µ A
µ
= ∂ Aµ
∂A0
:=
+
∂x0
∂A1 ∂A2 ∂A3
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
!
1 ∂A0
=
+ ∇·A
c ∂t
(19.5)
führt via
=
:= ∂µ ∂ µ
∂2
1 ∂2
−
∆
=
−∆ .
2
∂x0
c2 ∂t2
zur Wellengleichung, welche per Definition Lorentz-invariant ist und damit ein Skalar.
Rotationen Einfache Rotationen des Koordinatensystems lassen die Minkowski-Metrik
invariant und gehhören also auch zur Gruppe der Lorentz-Transformationen.
1 0 0 0

0



0
R
0





Lµν = 
Die Untermatrix R beschreibt dabei eine Rotation, also eine orthogonale Transformation
im euklidischen 3d-Unterraum, mit
(
detL = detR = 1
detL = −1
)
(
eigentlichen
uneigentlichen
:
)
Rotationen.
Boosts Lorentz Transformationen welche (ohne eine zusätzliche Rotation des Koordinatensystems) auf ein Bezugssystem transformieren, welche sich mit der Relativgeschwindigkeit v zum Laborsystem bewegt, nennt mann Boosts. Für v = (v, 0, 0) und β = v/c
gilt
x1 − βx0
x0 − βx1
01
√
,
x
=
,
x02 = x2 ,
x03 = x3 ,
(19.6)
x00 = √
1 − β2
1 − β2
also

√1
√−β
0
0






√−β
√1
0

0 

1−β 2
(Lµν )
=
1−β 2
1−β 2
0
0
1−β 2
0
0
1 0
0 1




.
Für kovariante Ortsvektoren lautet das Transformationsgesetz
x0µ = Lµν xν ,
mit
178
Lµν = gµρ Lρλ g λν ,
(19.7)
also

Lµν






=
√1
1−β 2
√β
1−β 2
√β
1−β 2
√1
1−β 2
0
0

0
0
0
0 




0
0
(19.8)
.
1 0 
0 1
Drei Rotationen um und drei Boots entlang der Raumachsen ergeben sechs unabhängige Parameter für die eindeutige Bestimmung einer LT. Man sieht das auch auf eine
alternative Weise ein.
19.2
Gauß’sches cgs-System
Für die relativistische Formulierung ist es vorteilhaft, nicht das bisher benützte MKSASystem für die elektromagnetischen Einheiten zu benützen, sondern das Gauß’sche cgsSystem. Die Maxwell-Gleichungen haben im Gauß’schen cgs-System (im Vakuum) die
Form:
∇ · E = 4πρ
∇·B = 0
(19.9)
1 ∂E
1 ∂B
∇ × B = 4π
j
+
∇
×
E
+
= 0.
c
c ∂t
c ∂t
Die Lorentz-Kraft lautet im Gauß’schen cgs-System: q E + 1c v × B .
Aus den Potentialen A und φ gewinnt man die physikalischen Felder im cgs-System via
B = ∇ × A,
E=−
1 ∂A
− ∇φ ,
c ∂t
(19.10)
die Lorentz-Eichung hat die Form
∇·A +
19.3
1 ∂
φ = 0.
c ∂t
(19.11)
Ströme, Dichten, Potentiale
Der in den letzten Abschnitten entwickelte Formalismus stellt eine leistungsfähige Methode zur Formulierung der Elektrodynamik dar. Im Folgenden werden die Gleichungen der
Elektrodynamik so geschrieben, dass diese unter LT forminvariant bleiben.
Kontinuitätsgleichung Die Viererdivergenz (19.5) legt einen Zusammenhang mit der
Kontinuitätsgleichung nahe. Setzt man den Viererstrom
(j µ ) = (cρ, ~j)
in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhählt man
1∂
(cρ) + ∇ · ~j;
0 = ρ̇ + ∇ · ~j =
c ∂t
179
∂µ j µ = 0
.
(19.12)
Da dies einen Skalar darstellt, ist die Gleichung Lorentz-invariant. Alle physikalischen
Gesetze müssen invariant sein, so wie die Kontinuitätsgleichung (19.12).
4er-Strom Bei der Herleitung von (19.12) haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass
j µ ein 4er-Vektor ist. Dafür muss sich seine nullte Komponente cρ wie eine zeitartige
Variable transformieren.
Die im Volumenelement d3 x eingeschlossene Ladung ist ρ d3 x. Das Minkowski-Volumenelement d4 x transformiert sich auf folgende Weise:
d 4 x0 =
∂(x00 , x01 , x02 , x03 ) 4
d x
∂(x0 , x1 , x2 , x3 ) {z
}
|
d3 x0 d(x0 )0 = d3 x dx0 ,
= d4 x ,
= |detL| = 1
also ist d4 x eine Lorentz-Invariante. Andererseits ist wegen der Invarianz der elektrischen
Ladung
ρ0
ρ
ρ0 d3 x0 = ρ d3 x;
=
.
(19.13)
0
0
d(x )
dx0
Damit ist gezeigt, dass ρ eine zeitartige Variable ist: Sie transformiert sich wie dx0 .
Lorentz-Eichung Die Lorentz-Eichbedingung lautet
∇·A +
1∂
φ = 0.
c ∂t
Mit der Definition
(Aµ ) := (φ, A)
(19.14)
∂µ Aµ = 0 ,
(19.15)
wird diese zu
welche als Skalar wieder invariant unter Lorentz-Transformationen ist. Das gilt offensichtlich nicht für die Coulomb-Eichung ∇ · A = 0.
Vektor- und Skalarpotential in Lorentz-Eichung Die Feldgleichungen (7.9) und
(7.10)) für die Potentiale φ und A können nun in Lorentz-Eichung kompakt hingeschrieben
werden. Sie lauten zusammen einfach
4π µ
j
c
Aµ =
(19.16)
.
Die inhomogenen Wellengleichungen sind zu den Maxwell-Gleichungen äquivalent und die
Lorentz-Invarianz von (19.16) impliziert somit auch die Lorentz-Invarianz der klassischen
Elektrodynamik.
E- und B-Felder Mit ∂ µ =
1 ∂
, −∇
c ∂t
∂φ
∂x
∂Ay
∂z
x
Ex = − 1c ∂A
−
∂t
Bx =
∂Az
∂y
−
ergibt sich beispielsweise für die x-Komponenten
= − ∂ 0 A1 − ∂ 1 A0
= − ∂ 2 A3 − ∂ 3 A2
180
(19.17)
19.4
Maxwell-Gleichungen in Vakuum und Materie
Die Darstellung (19.17) der elektromagnetischen Felder legt nahe den kontravarianten
antisymmetrischen Feldstärkentensor




F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ = 
0 −Ex −Ey −Ez
Ex
0 −Bz
By 


Ey
Bz
0 −Bx 
Ez −By
Bx
0

(19.18)
zu definieren. Seine kovariante Form erhält man durch



Fµν = gµρ F ρλ gλν = 

0
Ex
Ey
Ez
−Ex
0 −Bz
By
−Ey
Bz
0 −Bx
−Ez −By
Bx
0





.
(19.19)
Aus diesem gewinnt man den sogenannten dualen Feldstärketensor F µν über

F µν :=

1 µνλρ
ε
Fλρ = 


2
0 −Bx −By −Bz
Bx
0
Ez −Ey 

 .
By −Ez
0
Bx 
Bz
Ey −Ex
0

(19.20)
Analog zum dreidimensionalen Fall ist hier
µνλρ



+1 falls µ, ν, λ, ρ zyklisch
= −1 falls µ, ν, λ, ρ antizyklisch


0 sonst
.
(19.21)
Man sieht, dass man von F µν direkt nach F µν gelangt, wenn man B für E und −E für
B einsetzt. Mit diesen Definitionen können die Maxwell-Gleichungen äußerst kompakt
aufgeschrieben werden.
Inhomogene Maxwell-Gleichungen Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen lauten
unter Verwendung des Feldstärketensors einfach
∂µ F µν =
4π ν
j
c
,
(19.22)
und diese Formulierung ist, wie man leicht zeigen kann, Lorentz-invariant. Also gilt in
jedem anderen Inertialsystem Σ0 die Gleichung
∂µ0 F 0µν =
4π 0ν
j .
c
Homogene Maxwell-Gleichungen Die homogenen Maxwell-Gleichungen haben die
Form
∂µ F µν = 0
181
,
(19.23)
wobei F µν hier der duale Feldstärketensor ist. Man kann die homogenen Gleichungen auch
mit Hilfe des Feldstärketensors F µν schreiben,
∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0 .
(19.24)
Diese Gleichung heißt auch Jacobi-Identität (der Beweis erfolgt einfach durch das Einsetzen der Definition (19.18)). Da aber die Null auf der rechten Seite ganz automatisch allein
durch die Definition von F µν herauskommt, sind die homogenen Gleichungen ohne jede
weitere Annahme automatisch erfüllt!
Mit anderen Worten:
Schreibt man (19.18) hin, so sind die homogenen Gleichungen bereits impliziert und damit trivial!.
Beispielsweise erhält man für µ = 0, ν = 1 und λ = 2 die z-Komponente der Induktionsgleichung,
"
1∂
∂
∂
1∂ ~ ~
~
−
Bz −
Ey +
Ex = −
B+∇×E
c ∂t
∂x
∂y
c ∂t
#
=0.
z
Für µ = 1, ν = 2, und λ = 3 ergibt sich
∂
∂
∂
Bx +
By +
Bz = ∇ · B = 0 .
∂x
∂y
∂z
19.5
Transformation der Felder
Es stellt sich die Frage, wie sich elektrische und magnetische Felder bzw. der Feldstärketensor unter Lorentz-Transformationen verhalten. Die universelle Transformationsvorschrift
für Tensoren zweiter Stufe lautet
(F 0 )µν = Lµλ Lνρ F λρ .
Das gestrichene System bewege sich mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Richtung. Die
zwischen dem Laborsystem Σ und dem bewegten Bezugssystem Σ0 vermittelnde Transformation ist ein Boost der Form (19.7) und bewirkt, dass im gestrichenen System die
Felder die Form
Ex0 = Ex ,
√
Ey0 = (Ey − βBz )/√1 − β 2 ,
Ez0 = (Ez + βBy )/ 1 − β 2 ,
Bx0 = Bx
√
By0 = (By + βEz )/√1 − β 2
Bz0 = (Bz − βEy )/ 1 − β 2
(19.25)
annehmen. Die Transformationsvorschrift (19.25) vermischt die elektrischen und die magnetischen Komponenten des Feldstärketensors. Der Feldstärketensor F µν , nicht die getrennten Felder E und B, liefert die relativistisch konsequente Beschreibung des elektromagnetischen Feldes.
Transformation der Felder Die korrekte Verallgemeinerung von (19.25) für allgemeine
Geschwindigkeiten ~v lautet
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B0
=
E0
=
γ − 1
γ
B
·
v
v
−
v
×
E
v2
c
γ − 1
γ
γE−
E
·
v
v
+
v
×
B
v2
c
γB−
mit
γ := √
1
.
1 − β2
Die obigen Formeln machen deutlich, dass beispielsweise ein in einem bestimmten Inertialsystem rein magnetisches Feld nicht in allen anderen Inertialsystemen auch rein
magnetisch zu sein braucht. Bei der Transformation treten plötzlich elektrische Feldkomponenten auf! Das darf aber nicht zu der Annahme verführen, die Lorentz-Kraft
Fl =
e
v×B
c
erwachse rein aus der Transformation des Magnetfeldes in das Bezugssystem eines bewegten Teilchens. Wie man sich mit Hilfe von (19.25) leicht überzeugt, gilt diese Aussage nur
in niedrigster Ordnung in v/c.
Transformation der Koordinaten Zu beachten ist, dass zu einer Transformation in ein
neues Bezugssystem immer auch eine Transformation der Raumzeit-Koordinaten gehört,
denn andere Koordinaten hat der dortige Beobachter ja nicht zur Verfügung. In Σ0 müssen
also die Felder als
E0 = E0 (x0 , t0 );
B0 = B0 (x0 , t0 )
ausgedrückt werden. In den Formeln (19.25) wird dieses impliziet vorrausgesetzt.
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