Physik I/II - Zusamenfassung

Physik I/II - Zusamenfassung
Patrick Pletscher
19. Oktober 2003
1. Einleitung
Gleichförmige, geradlinige Bewegung
v(t) = Konst ⇒ a(t) = 0
x(t) = x0 + v0 (t − t0 )
1.1. Koordinatensysteme
Kugelkoordinaten
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
Gleichförmig beschleunigte, gradlinige Bewegung
a(t) = a0
v(t) = v0 + a0 (t − t0 )
x(t) = x0 + v0 (t − t0 ) + 21 a0 (t − t0 )2
6
θ
r φ@
@
p
r = x2 + y 2 + z 2
tan φ = xy
cos θ = zr
Beschleunigung durch die Gravitation
g ≈ 9.8m/s2
gM ond ≈ 1.67m/s2
0≤θ≤Π
0 ≤ φ ≤ 2Π
1.2. Vektoren
2.2. Bewegung in mehreren Dimensionen
Skalarprodukt
~a· ~b = ab cos ϕ = |~a| |~b| cos ϕ
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey
ähnlich wie Bewegung in einer Dimension: Geschwindigkeit und Beschleunigung aufspalten.
Vektorprodukt
Das Vektorprodukt von zwei Vektoren a und b wird
als der Vektor c definiert, dessen Betrag gleich der
Fläche des Parallelogramms ist, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Richtung von c wird mit der
Rechte-Hand-Regel bestimmt und ist immer senkrecht auf a und b.
~c ≡ ~a × ~b
2.3. Gleichförmige Kreisbewegung
~v (t) =
~a(t) =
1. Die Winkelgeschwindigkeit ω:
ω = 2Π
T
wobei T die Periode des Umlaufs ist.
2. Kinematik
2. Die (tangentiale) Geschwindigkeit:
~v = rω~eφ |~v | = v = rω
2.1. Bewegung in einer Dimension
x(t2 )−x(t1 )
mittlere Geschw.: vm = ∆x
∆t =
t2 −t1
momentane Geschw.: v(t) = dx
dt
mittlere Beschl.: am =
∆v
∆t
v(t) =
rt
t0
3. Die (zentripetale) Beschleunigung:
2
~a = −ω 2~r |~a| = a = ω 2 r = vr
v(t2 )−v(t1 )
t2 −t1
dv
d2 x
=
dt
dt2
3. Masse, Impulserhaltung und die
Mechanik
=
momentane Beschl.: a(t) =
a(t)dt + v0 und x(t) =
rt
t0
er
dr
dr
er + r d~
er + r dφ
eφ
dt ~
dt = dt ~
dt ~
2
2
dφ 2
dr dφ
d r
( dt2 − r( dt ) )~er + (2 dt dt + ddtφ2 )~ep hi
3.1. Impuls und Impulserhaltung
v(t)dt + x0
p~ = m~v [p] =
1
kgm
s
In einem isolierten (keine Wechselwirkung mit anderen Körpern) System ist der Gesamtimpuls erhalten.
p~tot = Konst
Berechnung der Masse der Erde
2
2
vM
ond
|~aM ond | = rM
= 4Π TrM2 ond
ond
mM ond mErde
mM ond aM ond = G r2
3.2. 1. Newtonsche Gesetz: Trägheit
4Π2 r 3
M ond
M ond
Trägheitsprinzip: Ein Körper bleibt in Ruhe oder mErde = GT 2
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, wenn
er isoliert (oder frei) ist.
Bewegung mit Rollen
Gesetz von Newton: mg − S = ma
3.3. 2. Newtonsche Gesetz:
Aktionsprinzip
Masse M auf horizontaler Fläche und Masse m über
Die resultierende Kraft, die auf einen Körper wirkt, Rolle damit verbunden, aber vertikal.
~
~
wird als die zeitliche Änderung des Impulses des |S1 | = |S2 | ≡ S
S = M a : mg − S = ma
Körpers definiert:
d~
p
~
F ≡ dt
F~ ≡ m~a(t) [F ] = kgm
s2 = N
Atwoodsche Maschine
Zwei Massen m1 und m2 hängen über eine Rolle an
einem Faden.
Kraftstoss
rt
S − m1 g = m1 a1 S − m2 g = m2 a2
I~ = t0 F~ (t)dt = p~(t) − p~(t0 )
3.4. 3. Newtonsche Gesetz:
Aktion=Reaktion
3.6. Reibungskräfte
Aktions-Reaktions-Prinzip: Zu jeder Aktion Haftreibungskraft: FH = µH N
~ + m~g + F~R = 0
gehört eine gleich grosse Reaktion, die denselben z.B. bei schiefer Ebene: N
Betrag besitzt aber in die entgegengesetzte Richtung
zeigt.
Gleitreibungskraft: FR = µG N
~ + m~g + F~R = m~a
z.B. bei schiefer Ebene: N
Isoliertes System mit zwei Körpern A und B:
ax = g(sin α − µG cos α)
F~A = −F~B : Aktion = Reaktion
Luftwiderstand
F~ = −Kη~v
mg = Kηve ⇒ ve =
3.5. Anwendungen
Laufen auf dem Eisenbahnwagen
Eisenbahnwagen mit Masse M und Geschw. v0 .
Mensch der Masse m läuft in entgegenges. Richtung
mit vrel
mg
Kη
Masse m die nach unten fällt.
3.7. Das Newtonsche Gravitationsgesetzt
Bevor zu Laufen beginnt: ptot = mv0 + M v0
Nachher: ptot = m(v1 − vrel ) + M v1
mvrel
∆v = v1 − v0 = (m+M
)
r12
1 m2 ~
F~12 = − Gmr12
r12
−11
G = 6.67 ∗ 10 N m2 /kg 2
Schiefe Ebene
~ + M~g = F~resultierende = M~a
N
M ax = M g sin θ und N = M g cos θ
ax = −g sin θ
Gravitationskraft eines homogenen Rings
Ring mit Radius a und Masse m, zweite Masse m0
im Abstand x auf Achse des Rings.
x
0 √ x
Fx (x) = − Gmm
x2 +a2 x2 +a2 = −Gmm0 (x2 +a2 )3/2
Rückstellkraft: Die Federkraft
F = −k(x − x0 ) = −k∆x
N
k=Federkonstante, [k] = m
E = k2 ∆x2
z.Bsp. bei Federpendel ∆x = A
3.8. Zentripetalkraft
mv 2
r
2
= mrω 2
4. Energie
Die gesamte zwischen den Punkten 1 und 2 geleistete
Arbeit W12 wird berechnet als das Linienintegral
von F~ entlang der Bahn zwischen den Punkten 1
und 2.
4.1. Allgemeines
Bei allen Vorgängen muss die Gesamtenergie eines
Systems und seiner Umgebung erhalten werden.
Arbeit der Gewichtskraft:
W12 = −mg(y2 − y1 )
Lichtgeschwindigkeit c ≈ 3 ∗ 108 m/s
Der Geschwindigkeitsparameter ≡ vc
Arbeit rder Federkraft:
x
W12 = x12 F (x)dx = − 21 k(x22 − x21 )
Die Masse eines Teilchens ändert sich mit seiner
Geschwindigkeit. m0 =Ruhemasse des Teilchens.
Leistung
m
m ≡ γm0 γ = m
≈ q 1 v2 ≥ 1
0
1− c2
P = dW
dt =
γ wird als Lorentzfaktor bezeichnet.
F ds
dt
4.6. Allgemeine potentielle Energie
Der relativistische Impuls: p~ = m~v = γm0~v
konservative Kräfte, wie Grav.kraft oder Federkraft. Die geleistete Arbeit entlang einem
geschlossenen Weg ist gleich null. Wir können eine
Relativistische (Gesamt-)Energie E = Ekin + m0 c2 = entsprechende potentielle Energie der Kraft definieγm0 c2
ren.
E0 wird als Ruheenergie bezeichnet. E0 = m0 c2
v
c
=
pc
E
nicht-konservative Kräfte, wie die Reibungskraft.
Geleistete Arbeit hängt vom Weg ab. Wir können
keine entsprechende potentielle Kraft definieren.
E 2 = p2 c2 + (m0 c2 )2
4.2. Die Masse-Energie Äquivalenz
4.7. Das Arbeit-Energie Theorem
Strahlungsenergie der Sonne ≈ 4 ∗ 1026 Joule pro
Die Arbeit, die an einem Körper zwischen zwei
Sekunde
Punkten (1) und (2) geleistet wird, ist gleich der
Änderung seiner kinetischen Energie zwischen diesen
Punkten.
2
r ~r
E = mc (Masse ist eine Form von Energie)
W12 = ~r12 F~ · d~r = 21 m~v22 − 12 m~v12
4.3. Die kinetische Energie
Schiefe Ebene mit Reibung:
Masse
p zuerst aufµGHöhe h, gefragt Geschw. zuunterst
v = 2gh(1 − tan
θ)
Ekin = (γ − 1)m0 c2
für langsam bewegte Körper (v < 0.1c) ist sie
4.8. Die mechanische Energie
ungefähr gleich:
Ekin ≈ 12 m0 v 2
Emech = Ekin + Epot = konst
die mechanische Energie wird erhalten, wenn nur
Ruhemasse-Energie: E = m0 c2
konservative Kräfte wirken.
4.4. Potentielle Energie der Gravitation
Die potentielle Energie eines Körpers, der sich auf Wnk = ∆Ekin + ∆Epot = ∆(Ekin + Epot ) = ∆E
die Änderung der mechanischen Energie ist gleich der
einer Höhe h befindet, ist gleich
Arbeit die von nicht-konservativen Kräften geleistet
Epot (h) = m0 gh
wird.
4.5. Die Arbeit, die eine Kraft leistet
4.9. Beziehung zwischen Kraft und
potentieller Energie: Der Gradient
W = F~ · ∆~r [Joule (J)]
~ pot
F~ = −∇E
~
∇f (x, y, z) ≡
Bewegung in mehreren Dimensionen:
r ~r
r ~r
W12 = ~r12 dW = ~r12 F~ (~r)· d~r
3
∂f
ex ∂f
ey ∂f
ez
∂x ~
∂y ~
∂z ~
4.10. Allgemeine potentielle Energie der
Gravitationskraft
Für das
q Federpendel gilt:
k
ω= m
pm
T = 2Π
ω = 2Π
k
GM m
m
Epot (~r) = − GM
|~
r| = − r
Fluchtgeschwindigkeit:
Emech = Ekin (~v ) + Epot (~r) = 12 mv 2 −
auf Erdoberfläche:
m
A
Emech
= 12 mv 2 − GM
rE
im Unendlichen:
B
Emech
= 21 mv 2 −
GM m
r
A
Emech
= 12 mv 2 −
GM m
rE
5.4. Das Fadenpendel
GM m
r
Die Auslenkung s ist gleich q
s = lθ
p
l
ω = gl und T = 2Π
=
2Π
ω
g
Für kleine Auslenkungen sin θ = θ → harmonische
Schwingung
= 0 mit r → ∞, v → 0
q
B
= Emech
= 0 ⇒ v = 2GM
rE
5.5. Energieerhaltung bei harmonischen
Schwingungen
E = Ekin + Epot =
2
1
2
2 kA sin (ωt + φ)
5. Schwingungen und Resonanz
1
2 2
2 mA ω
cos2 (ωt + φ) +
5.1. Harmonische Schwingungen
Die gesamte mechanische Energie des Systems
verändert sich nicht während der Schwingungsbewegung. Die Energie ist erhalten.
x(t) = A sin(ωt + φ)
A=Amplitude
ω=Kreisfrequenz
φ=Phasenkonstante
φ ist die ursprüngliche Phase zur Zeit t=0
5.6. Gedämpfte harmonische
Schwingungen
Periode
ωT = 2Π ⇒ T =
diff. Bewegungsgl:
d2 x
b dx
k
dt2 + m dt + m x = 0
x(t) = A sin(ωt + φ)
v(t) = −Aω cos(ωt + φ)
a(t) = −Aω 2 sin(ωt + φ)
Lösung:
x(t) = Ae−δt sin(ωt + φ)
δ: Dämpfungsfaktor
N
b: Dämpfungskonst. [b] = m
, b· v = F0
q
k
b
− δ 2 und δ = 2m
ω= m
ω0 die Kreisfrequenz der freien Schwingung (=Eigenfrequenz):
q
p
k
ω0 = m
und ω = ω02 − δ 2
5.2. Die Kraft bei der harmonischen
Bewegung
5.7. Erzwungene Schwingungen und
Resonanz
2Π
ω
Frequenz f
ω
f = T1 = 2Π
[Hertz (Hz)]
Bei der harmonischen Bewegung ist die Beschleu- Wir betrachten eine auf das schwingende System wirnigung proportional und entgegengesetzt zur kende, äussere periodische Kraft, die kosinusförmig
Auslenkung.
ist
Fäussere = F0 cos(ωt)
ω ist die Kreisfrequenz der äusseren Kraft. Die
F (t) = ma(t) = m(−ω 2 )x(t) = (−mω 2 )x(t)
Kreisfrequenz der freien Schwingung ist ω0
F (t) = −kx(t) wobei k = mω 2
Bei der harmonischen Bewegung ist die Kraft proportional und entgegengesetzt der Auslenkung.
Der stationäre Ansatz der erzwungenen Schwingung
wird geschrieben als
x(t) = A cos(ωt − α)
5.3. Differentialgleichung der
ω = Kreisfreq. äussere Kraft, A = Amplitude, α =
harmonischen Bewegung
Phasenkonst.
2
2
k
−kx = m ddt2x ⇒ ddt2x + m
x=0
A = √ 2 2 F0 2 2 2 2 und tan α = m(ωbω
2
2
m (ω0 −ω ) +b ω
0 −ω )
Ansatz: x(t) = A sin(ωt + φ)
4
Resonanzbedingung
(Amplitude maximal):
q
b2
2
ωR = ω0 − 2m2 Resonanzfrequenz
für schwache Dämpfungen: ω ≈ ω0
M: Masse des Körpers, V: Volumen
Longitudinale
elastische Welle im Festkörper
q
Y
v=± ρ
Y: Konstante[N/m2 ]=Elastitätsmodul
Die Resonanzamplitude kann man berechnen, indem
man die Resonanzfrequenz in Formel für Amplitude
einsetzt.
F = Y A ∆l
l
A: Querschnitt
6. Mechanische Welle
6.5. Wellen in zwei oder drei
Dimensionen
6.1. Beschreibung der eindimensionalen
Wellenausbreitung
ξ(~r, t) = f (~r· ~u − vt)
stellt eine mehrdimensionale Welle dar, die sich in
der Richtung u ausbreitet.
Wellenfunktion:
ξ(x, t)
x: Raumkoordinate, t: Zeit
Wellenvektor k:
~
Im Allgemeinen betrachten wir die Ausbreitung k ≡ k~u
ω
2Π
~
einer Welle nach rechts oder links. Die Ausbreitung |k| = λ = v
harmonische Welle wird so ausgedrückt:
kann dann so geschrieben werden:
ξ = ξ0 sin(~k· ~r − ωt)
ξ(x, t) = ξ(x ± vt)
v: Ausbreitungsgeschw.
λ=
v
f
6.6. Prinzip der Superposition
[λ] = m
Wenn sich zwei Wellenberge treffen, ist die gesamte
Auslenkung gleich der Summe der Auslenkungen der
einzelnen Wellenberge. Dieses Eigenschaft wird das
Prinzip der Superposition genannt.
ξ(x, t) = ξ1 (x − vt) + ξ2 (x + vt)
6.2. Harmonische Wellen
ξ(x, t) = ξ0 sin(k(x ± vt)) = ξ0 sin(kx ± ωt)
k: Wellenzahl, ξ0 : Amplitude
Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Superposition harmonischer Wellen
ξ(x, t) = A sin(kx1 − ωt) + A sin(kx2 − ωt + δ)
Wellenbergen wird λ genannt.
δ: Phasenunterschied der Quellen; x1,x2: Abstände
2Π
∆x = x2 − x1
k(x + λ) = kx + 2Π ⇒ kλ = 2Π ⇒ k = λ
ω
ξ = A sin(kx1 − ωt) + A sin(kx1 − ωt + (δ + k∆x)) =
ω = kv oder v = k
2A cos( 21 (δ + k∆x)) sin(kx1 − ωt + 21 (δ + k∆x))
∂2ξ
Transversale Kraft = F = S
t
∂x2
6.3. Berechnung der
Ausbreitungsgeschwindigkeit
∂2ξ
∂t2
Für 21 (δ + k∆x) = nπ n = 0, 1, 2, · · · doppelte Amplitude
Für 12 (δ + k∆x) = (n + 21 )π n = 0, 1, 2, · · · Amplitude
null
2
∂
− v 2 ∂x
2 = 0
Diese partielle Diff.gl. nennt man Wellengleichung,
wobei v die Ausbreitungsgeschw. ist.
6.7. Stehende Wellen
n λ2 = L n = 1, 2, 3, · · ·
Ausbreitungsgeschw. transversaler elastischer
λn = 2L
n n = 1, 2, 3, · · ·
Seilwellen
v
fn = λvn = n 2L
n = 1, 2, 3, · · ·
Längendichte ρ
bei
einer
Saite:
q
ρ= M
1
S
L [kg/m]
q
f1 = 2L
ρ und fn = nf1
S
S
2
v = ρ ⇒ v=± ρ
Bewegungsgleichung: ξ(x, t) = ξ0 sin kn x· cos ωn t
S: Spannung des Seils, ρ: Längendichte
kn = λ2πn , ωn = 2πfn
6.4. Wellen im Festkörper
6.8. Energieübertragung
Dichte (oder Volumendichte) ρ wird definiert als
3
ρ= M
V [kg/m ]
Intensität: Die Intensität einer Welle ist als die
5
7.6. Der Schwerpunkt eines
Teichensystems
Energie definiert, die pro Zeiteinheit durch eine
Flächeneinheit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
fliesst.
p~tot ≡ M~vSP
P
P
ri =
i=1,N mi~
i=1,N
I(t) =
= −Sξ0 k cos(kx − M~rSP ≡ P
I =
Pmi (xi~ex + yi~ey +
2
2
z
~
e
)
=
(
m
x
)~
e
)
+
(
ey ) +
i
z
i
i
x
i=1,N
i=1,N mi yi )~
ωt)ξ0 (−ω) cos(kx − ωt) = Skωξ0 cos (kx − ωt)
P
r
( i=1,N mi zi )~ez )
1 T
1
2 2
hIi = T 0 I(t)dt = v( 2 ρω ξ0 )
bei kontinuierlicher
Massenverteilung:
r
1
~rdm
~rSP ≡ M
mittlere Intensität = Ausbreitungsgeschw. * Energiedichte
7.7. Die reduzierte Masse
hIi = v, = 12 ρω 2 ξ02
hP i
A
dW
dt
Zwei Massen mit Feder verbunden:
µ~a12 = F~12 und µ1 = ( m11 + m12 )
Die Massen
schwingen mit einer Frequenz:
q
k
ω= µ
6.9. Kugelwellen
dE
dt
= IA = I(4πr2 )
Die Intensität nimmt umgekehrt mit dem Quadrat
des Abstands von der Quelle ab.
ξ(r, t) = 1r f (r − vt) wobei f für eine Funktion steht.
7.8. Bewegung bezüglich des
Schwerpunkts
7. Teilchensysteme
~vi = ~vSP + ~vi,SP
p~i,SP = mi~vi,SP
Der Gesmatimpuls des Teilchensystems relativ zu ih7.1. Teilchensysteme mit zwei Massen
rem SP-Koordinatensystem ist gelcih null
ballistisches Pendel: Ein Geschoss wird auf eine P
~i,SP ≡ 0
i=1,N p
aufgehängte Kugel abgefeuert.
7.9. Kinestische Energie eines
Teilchensystems
Impulserhaltung:
√
mvG + 0 = (m + M )vGK [vGK = 2gh]
P
P
Ekin = i=1,N Ekin,i = i=1,N 21 mi~vi2
~vi = ~vSP + ~vi,SP
7.2. Teilchensysteme mit variierender
Masse
7.10. Gesamtenergie eines
Teilchensystems
Raketengleichung
dm
FSch = u· | dM
dt | = u· dt
v = Geschw. Rakete, u = Ausstossgeschw. des Gases
relativ zur Rakete, m = Masse ausgest. Gas
0
v = uln( MM
)
0 −m
innere Energie U
U = Ekin + Epot,interne
Epot,interne
Gesamtenergie:
E = U + Epot,externe
7.3. Teilchensysteme mit mehreren
Massen
mi~vi2 +
Der Wert der Änderung der kinetischen Energie des
Teilchensystems heisst Q-Wert der Reaktion:
P
Q ≡ Ekin (nach) − Ekin (vor) = 21 i=1,N 0 mi~vi02 −
P
1
2
vi,vor
i=1,N mi~
2
Elastischer Stoss: Q=0
sonst Inelastischer Stoss: Q > 0: exoenergetisch, Q
< 0: endoenergetisch
d~
pi
dt
7.5. Gesamtimpuls des Teichensystems
i=1,N
d~
ptot
dt
i=1,N
Erhaltung
desPGesamtimpulses
P
0
p
~
=
~i
i=1,N i
i=1,N p
7.4. Bewegung des Teilchensystems
P
P
8.1. Erhaltungsgesetze bei
Stossvorgängen
Koninuierlicher
Fall
r
M = dm
p~tot ≡
F~ext =
1
2
8. Stossvorgänge
Diskreter
Fall
P
M = i=1,N mi = m1 + m2 + m3 + · · ·
F~i ≡ F~i,int + F~i,ext
P
P
F~ext ≡ i=1,N F~i,ext = i=1,N
=
p~i
6
Ekin = 12 m~v 2 =
1
v )2
2m (m~
p
~2
2m
=
und der Kraft F definiert.
~ ≡ ~r × F~
M
M = Iα = F R
Beachte, dass das Drehmoment vom gewählten Ursprung O abhängt.
2
[M ] = N m = kgm
s2
8.2. Schwerpunkt beim Stoss
Streuwinkel
Zwei Massen aufeinander (m1 ,v1 und m2 , v2 = 0)
θ : Winkel im SP
tan θ1 =
9.3. Erhaltung des Drehimpulses
sin θ
+cos θ
m1
m2
linearer Impuls:
d~
p
~
dt = F
8.3. Hochenergetische Stossvorgänge
Teilchen bewegen sich relativistisch
Drehimpuls:
~
p
dL
~
r × d~
r × F~ = M
dt = ~
dt = ~
E = γm0 c2
p~ = γm0~v
M = rF sin θ = (r sin θ)F = bmg = Konst.
Impulserhaltung und Energieerhaltung gelten so
wieder.
9.4. Zentrale Kräfte
Gravitationskraft ist z.B. eine zentrale Kraft.
Die gesamte Energie kann als die Summe der kin.
Energie und der Ruhemasse dargestellt werden.
(E = m0 c2 + Ekin )
~
dL
dt
Massenveränderung ∆m ein:
10. Die Bewegung starrer Körper
∆m ≡ m01 +m02 −m1 −m2 =
Q ≡ −(∆m)c2
P
i=1,N 0
m0i −
P
i=1,N
~ =0 ⇒ L
~ = Konst.
=M
10.1. Der starre Körper
mi
Ein starrer Körper wird definiert als ein Körper,
bei dem die Änderung der Abstände zwischen allen
seinen Massenelementen bei Anwendung einer Kraft
oder eines Drehmoments vernachlässigt wird.
Ein starrer Körper behält seine Form, wenn er sich
bewegt.
9. Drehbewegung
9.1. Der Drehimpuls eines Teilchens
Der Drehimpuls bezüglich einem bestimmten Punkt
O wird durch das Vektorprodukt des Ortsvektors r
und des (linearen) Impuls p, d.h.
~ ≡ ~r × p~ ≡ m(~r × ~v )
L
definiert, wobei m die Masse des Teilchens ist.
Der Ortsvektor r wird bezüglich O definiert. Der
Drehimpuls hängt vom gewählten Ursprung O ab.
2
[L] = kg.m
s
L = mvr = Iω = mr2 ω
Translationsbewegung: alle Teilchen des Körpers beschreiben parallele Bahnen.
Drehbewegung: alle Teilchen beschreiben kreisförmige Bahnen um eine Gerade, die man als Drehachse
bezeichnet.
10.2. Vektorielle Beschreibung der
Drehbewegung
Der Drehwinkel θ entspricht der Winkelverschiebung
1 Der Drehimp. ist senkr. zur Ebene, die durch den des rotierenden Körpers, die der Körper bei der
Ortsvektor und den Impuls definiert ist. Er ist Rotation um die Drehachse überstreicht.
senkrecht zur Bewegungsrichtung der Masse.
2 Der Betrag des Drehimpulses ist gleich
Der Winkelgeschwindigkeitsvektor
~ = |~r||~
|L|
p| sin θ
~
θ
−1
~ ≡∆
oder Radian pro Sekunde]
wobei θ der von r und p eingeschlossene Winkel ω
∆t [s
ist.
Der Winkelbeschleunigungsvektor
α
~ ≡ ddtw~ [s−2 oder Radian pro Sekunde im Quadrat]
9.2. Das Drehmoment
Das Drehmoment bezüglich einem bestimmten Punkt
O wird durch das Vektorprodukt des Ortsvektors r
7
∆~r = ∆θ~ × ~r
Verschiebung des Ortsvektors kann dals das Kreuzprodukt des Drehwinkels und des Ortsvektors geschrieben werden.
Zylinder auf schiefer Ebene
Die Beschleunigung hängt vom Trägheitsmoment des
Zylinders ab. Je grösser das Trägheitsmoment des Zylinders ist, desto kleiner ist die Beschleunigung.
10.3. Winkelgeschwindigkeit eines
starren Körpers
10.7. Drehimpuls eines starren Körpers
und Erhaltungsgesetz des
Drehimpuls
~vi = ω
~ × ~ri
10.4. Energie des starren Körpers
Der Drehimpuls eines starren Körpers ist gleich dem
der Teilchen des Körpers.
Wenn der starre Körper sich bewegt, wird seine Gesamtdrehimpuls
P
~
~
L
=
L
Bewegung in eine Translation des Schwerpunkts und
i=1,N i
eine Rotation um den Schwerpunkt aufgeteilt.
Erhaltungsgesetz:
~
~
Das Trägheitsmoment des Körpers I relativ zur ddtL
=M
Rotationsachse
∆
ist
definiert
als
~ =0 ⇔ L
~ = Konst.
M
P
2
I∆ = i=1,N mi r∆,i
Für eine
r kontinuierliche Masseverteilung ist es gleich: 10.8. Allgemeine Dynamik der starren
I∆ = r2 dm [kgm2 ]
Körper
Energiesatz: E = Epot + Etrans + Erot ,
Etrans = 21 M (~vSP )2
Erot = 21 I∆,SP ω 2
2
falls Rollbedingung: ω =
dE
dt
Drehimpulssatz:
P
~
dL
~ ext
ri × F~i,ext = M
i=1,N ~
dt =
d~
p
= M~aSP = F~ext
=0
dt
~
dL
dt
2
vSP
R2
10.9. Drehung des starren Körpers um
eine Hauptachse
10.5. Berechnung des Trägheitsmoments
eines starren Körpers
I∆ =
P
2
mi r∆,i
I∆ =
r
~ ext
=M
Im Allgemeinen sind der Drehimpuls und der Winkelgeschwindigkeitsvektor nicht parallel zueinander.
2
r dm
Trägheitsmoment eines homogenen Ringes Für jeden Körper gibt es mindestens drei zueinander
senkrechte Richtungen, für die der gesamte Drehimmit Radiusr R
r
puls parallel zur Winkelgeschwindigkeit ist, falls die
2
2
2
I∆ (Ring) = r dm = R dm = M R
Rotation um eine dieser Achsen erfolgt.
Diese Achsen heissen die Hauptachsen.
Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders Für die Rotation um eine Hauptachse gilt:
~ = I∆ ω
L
~
I (Zylinder) = 1 M R2
∆
2
(Drehachse = Zylinderachse)
zweite Newtonsche Gleichung der Drehbewegung:
~
dL
~ ext
~ =M
Der Satz von Steiner
dt = I∆ α
dies
gilt
aber
nur, wenn Vektoren L und ω parallel.
Wenn a der Abstand zwischen den beiden parallelen
Achsen ist, gilt die folgende Beziehung:
I = ISP + M a2
wobei I und ISP die Trägheitsmomente relativ zu ∆ Atwoodsche Maschine mit massiver Rolle
mg
und ∆SP sind und M die Masse des Körpers darstellt. a = (m+ M2 ) < g
M: Masse der Rolle
10.6. Rollende Körper
Rollbedingung Wenn der Körper sich ohne zu Physikalisches Pendel
gleiten bewegt, gilt:
vSP = Rω
starrer Körper, der unter der Wirkung der Gravitaω = vSP
tionskraft frei um eine horizontale Achse schwingen
R
8
11.2. Die Avogadro-Zahl
kann. q
2
T = 2Π Kgb
b: Abstand SP von Drehachse, K: Trägheitsradius
] Mole einer Masse m mit N Nukleonen: ]M ole = m
N
NA ≈ 6.02214· 1023
1 Mol einer bel. Substanz enthält so viele Teilchen
wie die Avogadro-Zahl NA angibt.
10.10. Die Kreiselbewegung
~ =M
~ ∆t
∆L
Liegen n mol einer Substanz vor, dann enthält sie
die folgende Anzahl an Teilchen: N = nNA .
Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession Ω wird definiert als die Winkeländerung pro Zeiteinheit mit der
die Achse rotiert.
mgl
Ω = mgl
L = Iω
l: Länge des Stabs
Die Masse eines Mols einer Substanz nennt man molare Masse M. Was im Periodensystem unter relativer
Atommasse steht.
11.3. elektr. Ladung
qe = −e, qp = +e, qn = 0
11. Materie, Atome und Moleküle
Ladungsquantisierung: Ladung immer nur Vielfaches von e
11.1. Atome
Elementarteilchen: Protonen, Neutronen und Elektronen
mp = 1.6726· 10−27 kg
mn = 1.6749· 10−27 kg
me = 9.1097· 10−31 kg
e = 1.60217· 10−19 C [Coulomb]
Ladungserhaltung: Gesamtladung bleibt erhalten.
11.4. elektrostatische Wechselwirkung
Nukleonen=Protonen+Neutronen Protonenmasse ≈ F~12 = K q12q2 r~12
r12 r12
Neutronenmasse = NUKLEONEN
9
K
=
9·
10
N m2 /c2
→ Nukleonenmasse mN ≈ 1.67· 10−27 kg
Dielektrizitätskonstante des Vakuums 0
1 q1 q2 r~12
1
↔ F~12 = 4Π
K = 4Π
2
r12
0
0 r
ρ
Teilchendichte: N = m
1
m
Volumen: V = n = ρ
In gewöhnlicher Masse Ne = Np ≈ Nn
12
0 = 8.854· 10−12 C 2 N −1 m−2
Die elektr. potentielle Energie
Das Elektronenvolt
1 q1 q2
e
(~r) = 4Π
Epot
r
0
selbe Vorzeichen: abstossen
unterschied. Vorzeichen: anziehen
1eV = 1.60217· 10−19 J
Das Atom und die Elemente
11.5. Das klassische Atom-Modell
Jedes Atom besitzt Z Protonen, ebensoviele Elektronen und N Neutronen.
A=Z+N
Z=Ordnungszahl=Protonenzahl=Elektronenzahl
α-Teilchen: 2 Protonen, 2 Neutronen
Wasserstoff-Spektrum
1
λ
Typischer Abstand der Elektronen vom Kern:
rElektronen ≈ 1Armströng = 10−10 m = 10000f m
= R( m12 − n12 ) Balmer-Rydberg-Formel
R = 1.097· 107 m−1
m,n: ganze Zahlen
m=2: Balmer-Serie, m=1: Lyman-Serie,
Paschen-Serie
f = λc
Seriengrenze: n = ∞ → λ1 = R m12
Isotope
Energie eines Wasserstoffatoms
Struktur der Atome
Durchmesser Kern:
dKern = 1f m = 10−15 m
1 e2
4Π0 r
1
e2
1 e2
1
2 ( 4Π0 ) r − 4Π0 r
E = 12 me~ve2 −
Atome mit gleichen Ordnungszahl A können versch.
Massenzahl A besitzen.
E(r) =
9
2
1 e
= − 12 ( 4Π
)
0 r
m=3:
12. Temperatur, Gase und das
Konzept der Wärme
Zustandsübergang (nach Bohr)
f = h1 (En − Em )
1
oder: λ1 = C( m12 + n12 ), C = −E
hc
h=Plancksche Konstante=6.63· 10−34 Js
En =Anfangszustand
Em =Endzustand
Em < En
E = h· f f = Freq. des emit. Lichts
12.1. thermische Ausdehnung
∆L = α(T )L∆T
α(T ): lin. Ausdehnungskoeff.
L: urspr. Länge
12.2. Der Druck p
Drehimpuls des Elektrons
nh
L = rp = rme v ≡ 2Π
= n~
h
−34
~ = 2π 1.05045· 10
Js
N
p≡ F
A [ m2 = 1 P ascal]
1 atm = 1.013· 105 Pa
1 bar = 105 Pa
n = 1, 2, 3, . . .
Bohrsche Radius:
für Elektron und Proton gilt:
r = a0 n2 a0 = 5.292· 10−11 m
V = C1 T bei konst. p
p = C2 T bei konst. Vol.
n = 1, 2, 3, . . .
sonst (z.Bsp Myon und Elektron)
2
2
0~
r = 4π
µe2 n
Energie im n-ten Zustand (allgemein):
µe4
1 1
En = − 21 (4Π
2 2
2
0) ~ n
z.Bsp. µ1 = m1e + m1p → µ ≈ me
12.3. absolute Nullpunkt
−273.16o C
Kelvin-Skala: 0K = 273.16o C
11.6. Bindungsenergie
innere Energie U = Ekin + Epot
Bindungsenergie EB = −U
U > 0, EB < 0: System ist instabil
U < 0, EB > 0: System ist stabil
12.4. Wärmestrahlung
Stefan-Boltzmann-Gesetz:
S(T ) = σT 4 [W/m2 ]
S(T): nach aussen ausgesandte, über alle Wellenlängen summierte Ausstrahlung
σ = 5.670· 10−8 (W/m2 )/K 4 für ”idealen Strahler”
Bindungsenergie der Kerne:
EB = ∆mc2 = (ZmH − (A − Z)mn − MA )c2
Bindungsenergie pro Nukleon = EAB
für ”realen Körper”
S(T ) = εσT 4
ε = 1 (Emissionsgrad) für schwarzen Körper, sonst
<1
Kernreaktionen
n → p + e− + ν
n → p + e− + ν
ν: Neutrino
Fusion zweier Protonen:
1
1
2
+
1 H +1 H →1 H + e ν + 0.42M eV
11.7. Antimaterie
Antiteilchen:
p̄, n̄, e+ : Antiproton, Antineutron, Positron
Nettowärmestrahlung
Snetto = Semittiert − Sabsorbiert = εσT 4 − εσT04
T0 : Umgebungstemperatur
Spektralverteilungsfkt. der Hohlraumstrahlung S(λ, T )
Wellenlängenabhängigkeit der Hohlraumstrahlung
bei best. Temp.
[J]
S(λ, T )dλ S(λ, T ) = [s/m]
3
r
S(T ) = S(λ, T )dλ
Vernichtung:
e+ + e− → Licht(γ-Strahlen)
Wiensche Verschiebungsgesetz
E = 2me c2
λmax T = 2898µmK
Dasselbe gilt auch für Proton-Antiproton und
Neutron-Antineutron.
10
Strahlungsgesetz von Planck
2
h
1
S(λ, T ) = 2Πc
λ5 ehc/λkT −1
k: Boltzmann-Konst. ≈ 1.381· 10−23 J/K
pro Masse:
∆Q
[J/g/K]
c ≡ m∆T
12.5. ideale Gase
Wärmekapazität eines einatomigen idealen Gases
Energie
U = N hEkin i + 0 = N ( 32 kT )
∆Uideal
d 3
= dT
( 2 N kT ) = 32 N k ≈ 12.5
CV = ∆Q
∆T =
∆T
bei idealem Gas
pV = Konst bei konst. Temp
V = C1 T bei konst. Druck
p = C2 T bei konst. Vol
Cp = Cv + nR
Zustandsgeleichung des idealen Gases
pV = N kT = nRT
Dulong-Petitsche Regel
N: Anz. Gasmoleküle
J
]
k: Boltzmann-Konst [ K
n: Mol eines Gases
R ≡ NA k = 8.314 J/mol/K
Wärmekapazität von Festkörpern
CV ≈ 25 J/mol/K
CF estkoerper = 3RJ/mol/K
12.8. Latente Wärme
Standardbedingungen:
T = 0 ◦ C = 273.15 K
N
p = 1 atm = 1.01325· 105 m
2
Q = LM
benötigte Wärme Q, um Phasenübergang (flüssig,
fest, Gas) zu machen, ist zu L (=latente Wärme)
proportional.
1 Mol eines Gases hat folgendes Volumen:
V = nRT
p = 22.4 l
12.6. Mikroskopische Betrachtung der
Materie
Äquipartitionstheorem
jeder Freiheitsgrad eine mittlere Energie von
( 12 )kT pro Molekül (( 12 RT ) pro Mol)
innere Energie
U = f ( 21 nRT )
f: Freiheitsgrade
n: Anz. Mole
Bei zwei-atomiger Schwingung: 2 Freiheitsgrade!
Mittlere kin. Energie des Gases:
pV = 23 N hEkin i
hEkin i = 32 kT für ein Gasmolekül
hEkin i = 23 N kT = 32 nRT für alle Gasmoleküle
(N=Anz. Moleküle)
CV = f ( 12 R)
Freiheitsgrade von Festkörpern
CV ≈ 25 J/mol/K = f ( 21 R) ⇔ f = 6
12.7. Wärmeenergie und -kapazität
J
C ≡ ∆Q
∆T [ K ]
∆Q: Energie(Wärme) um Körper um ∆T
erhöhen.
13. Thermodynamik
zu
13.1. Definition der inneren Energie
U = U (p, V, T, . . .)
∆U ≡ UE − UA
bei konst. P:
CP ≡ ∆Q
∆T
13.2. Der erste Hauptsatz
bei konst. V:
CV ≡ ∆Q
∆T
Die innere Energie U eines Körpers kann sowohl
durch Zufuhr von Wärme als auch durch Leistung
von mech. Arbeit verändert werden (drückt eine
Energieerhaltung aus)
pro Mol:
∆Q
[J/mol/K]
c ≡ n∆T
11
13.5. Thermische Prozesse des idealen
∆U ≡ UE − UA Änderung der inneren Energie
dU = dQ + dW
Gases
du = (infinitesimale) Änderung der inneren Energie
1. Isobare Zustandsänderung
U
Bei isobaren Zustandsänderungen wird der
dQ = zugeführte Wärme
Druck p konstant gehalten.
dW = vom Körper geleistete mech. Arbeit
rV
W = −p Vae dV = −p(Ve − Va )
13.3. Mechanische Arbeit eines
expandierenden Gases
Aus dW = −F dx = −(pA)dx folgt:
dW = −pdV
13.4. Die Wärmekapazitäten CV und CP
1. Wärmezufuhr bei konst. Volumen
Wird einem Gas bei konst. Volumen eine Wärme
dQV zugeführt, so tritt keine mechanische Volumenarbeit −pdV auf, d.h.
dW = −pdV = 0
Die ganze Wärme dQV wird benutzt um die
Temperatur des Gases zu erhöhen. Es folgt, dass
die Wärme dQV gleich der Änderung der inneren
Energie U ist.
2. Isotherme Ausdehnung und Umwandlung
von Wärme in mech. Arbeit
Die Temperatur T des Gases wird in einer isothermen Expansion konstant gehalten.
Um die Temperatur des Gases während der Expansion konstant zu halten, müssen wir gleichzeitig Wärme zuführen.
Da die innere Energie des idealen Gases nur von
der Temperatur abhängt, folgt
T = Konst ⇒ U ≡ U (T ) = Konst ⇒ dU = 0
und mit der Energieerhaltung
dU = dQ + dW = 0 ⇒ dQ = −dW
Die gesamte zugeführte Wärme ist gleich:
r
r
rV
Q = dQ = − dW = −W = V12 pdV =
rV
V2
nRT V12 dV
V = nRT ln( V1 )
3. Adiabatische Ausdehnung
Während der adiabatischen Ausdehnung des Gases wird keine Wärme ausgetauscht.
dQ ≡ 0
dU = dQ + dW ⇒ dU = dQV
Man schreibt
dQV = dU = CV dT
2. Wärmezufuhr bei konst. Druck
Wenn wir dem Gas bei konstantem Druck
Wärme zuführen, dehnt sich das Gas aus, und
deshalb wird das Gas eine Arbeit −pdV leisten.
Eine Konsequenz ist, dass nur ein Teil der zugeführten Energie zur Erhöhung der inneren
Energie benutzt werden kann.
Um dieselbe Temperaturerhöhung wie bei konst.
Volumen zu bewirken, muss bei konst. Druck
mehr Energie zugeführt werden, d.h.
Weil das Gas keine Wärme aufnehmen oder abgeben kann, ist die geleistete Arbeit gleich der
Abnahme der innerenr Energie U:
dU = dW ⇒ ∆U = dW = W
Bei der adiabatischen Expansion wird die
Wärmeenergie, die im Gas gespeichert ist, in
mech. Arbeit umgewandelt.
Wir definieren den Koeffizienten γ:
CP
γ≡C
V
γ−1
TV
= Konst
pV γ = Konst
R
W = γ−1
(TE − TA ) = CV (TE − TA )
13.6. Wärmemaschine
Cp > CV
Qisotherm = −Wisotherm = nRT ln( VV12 )
Die Wärmekapazität bei konst. Druck wird definiert als:
dQP = CP dT
Eine Maschine, die Wärme in mechanische Arbeit
umwandelt, heisst eine Wärmemaschine.
Wegen der Energieerhaltung muss die Erhöhung
der inneren Energie dU gleich der Summe der zugeführten Wärmeenergie dQp und der vom Gas In einer Wärmemaschine nimmt diese Substanz
bei der höheren Temperatur TW die Wärme QW auf,
geleisteten mech. Arbeit sein
verrichtet eine Arbeit W und gibt bei der tieferen
dQP + dW = dU ⇒ dQP = dU + pdV
Temperatur TK die Wärme QK ab.
Es folgt:
Eine Wärmepumpe ist eine Wärmemaschine mit
umgekehrter Arbeitsrichtung: die Substanz nimmt
bei der tieferen Temperatur TK eine Wärme QK auf,
und gibt unter Ausnutzung der Arbeit W die Wärme
CP dT = CV dT + pdV
Für ein ideales Gas folgt: CP = CV + nR
12
QW an das wärmere Reservoir der Temperatur TW
ab.
Ein Stück Eis wird in eine Tasse mit Wasser eingetaucht. Das Eis schmilzt. Die Temperatur des
Wassers in der Tasse sinkt. Ein solcher Prozess ist irreversibel. Es gibt nur eine Richtung für den Vorgang.
13.7. Der zweite Hauptsatz der
Thermodynamik
Der Carnotsche Kreisprozess
Der Prozess der freien Expansion wird als nicht reCarnot hat gefunden, dass es eine (theoretische)
versibel bezeichnet, weil die W’keit, dass alle GasmoWärmemaschine gibt, deren Wirkungsgrad nur von
leküle sich zu einer späteren Zeit wieder im ersten
der Temperatur der Wärmereservoirs abhängt und
Volumen befinden ist extrem klein.
dass dieser Wirkungsgrad für gegebene Temperaturen der maximal mögliche ist.
14. Relativität
14.1. Transformation von einem
Bezugssystem ins andere
t = t0
~v (t) =
~a(t) =
~
dR
v 0 (t)
dt + ~
2~
d R
a(t)
dt2 + ~
14.2. Inertialsysteme
Wenn die zwei Beobachter eine unterschiedliche
Beschleunigung messen, kann das zweite Newtonsche
Gesetz nicht für beide Beobachter gelten (wenn sie
beide dieselbe Kraft messen)
Ein Bezugssystem, in dem die Newtonschen Gesetze
gelten, heisst Inertialsystem.
Der Wirkungsgrad einer Wärmemaschine ist defi- Verschiedene Inertialsysteme bewegen sich relativ
niert als Verhältnis der geleisteten Arbeit und der zueinander mit konstanter Geschwindigkeit.
zugeführten Wärme
|W |
|QK |
K|
= |Q
= |QW|Q|−|Q
= 1 − |Q
W|
W|
W|
14.3. Rotierendes Bezugssystem
Bei einer Wärmepumpe ist der Wirkungsgrad wie
folgt def:
cL = QWK
Winkelgeschwindigkeit:
ω(t) ≡ dΘ(t)
dt
Zentrifugalkraft
Der Wirkungsgrad der Carnotschen Wärmemaschine
2
T1 ln(V2 /V1 )
T1 ln(V2 /V1 )
QW
T1
2
FZentrif ugal ≡ mv
QK = T3 ln(V4 /V3 ) = − T3 ln(V3 /V4 ) = − T3
r = mω r
Der Wirkungsgrad der Wärmemaschine von Carnot
ist dann gleich
Corioliskraft
|QK |
|W |
T3
=
1
−
=
1
−
Carnot = |Q
|QW |
T1
W|
aCoriolis=2ωv
Der Wirkungsgrad aller zwischen zwei Temperaturen
reversibel arbeitenden Wärmemaschinen ist gelich
gross, und alle irreversiblen Wärmemaschinen haben
einen kleineren Wirkungsgrad.
reale < Carnot = 1 − TT31 < 1
ωx = ωE · sin(φX )
ωX : Winkelgeschwindigkeit mir der sich Laborsystem
in X (mit geog. Breite φX ) dreht.
14.4. Die Galileische Transformation
O’ bewegt sich mit Geschw. V in x-Richtung relativ
zu O. x0 = x − V t
Konzept der Irreversibilität
y0 = y
Ein irreversibler Prozess ist ein Prozess, der nicht in z 0 = z
t0 = t x0 = x − V t
umgekehrter Reihenfolge ablaufen kann.
13
stattfinden, heisst Eigenzeitintervall ∆τ .
∆t0 bzgl. O’ gemessene Zeit, ∆τ bzgl. O gemessene
Zeit
Geschwindigkeitsparameter β:
β ≡ Vc
∆t0 = γ∆τ
inverse Galileische Transformation von O’ nach O:
x = x0 + V t0 = x0 + βct0
y = y0
z = z0
t = t0
Längenkontraktion
Die räumliche Entfernung zwischen zwei Punkten
(oder die Länge eines Gegenstandes) erscheint geringer, wenn sich der Beobachter relativ zu diesen Punkten bewegt als wenn er relativ zu ihnen ruht.
∆x0 bzgl. O’ gemessene Länge, ∆λ bzgl. O gemessene
Länge
∆x0 = ∆λ
γ
14.5. Bestimmung der
Lichtgeschwindigkeit
c=
√1
0 µ0
= 3 × 108 m/s
Gleichzeitigkeit
Werden zwei Uhren in ihrem Ruhesystem synchronisiert, so sind sie in keinem anderen Bezugssystem
synchron. In dem Bezugssystem, in dem die Uhren
sich bewegen, geht die führende Uhr um einen Betrag
v
∆ts = lR 2
c
vor (zeigt eine spätere Zeit an), wobei lR der Ruheabstand der Uhren ist.
Jeder Beobachter misst in allen Richtungen für die
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum denselben Wert c.
D.h. die Lichtgeschwindigkeit ist gleich in alle Richtungen und unabhängig von der Bewegung des Beobachters.
14.6. Die Lorentz-Transformation
Die Galileische Transformation entspricht einer
Näherung, die nur gilt, wenn die Geschw. viel kleiner 14.8. Der Raumzeit 4-Vektor
als die Lichtgeschw. sind.
xµ ≡ (ct, x, y, z)
Lorentz-Faktor:
γ ≡ √ 1 2, β =
1−β
14.9. Der relativistische Energie-Impuls
Vektor
v
c
Energie-Impuls 4-Vektor:
pµ ≡ (E, p~c)
E 0 = γm0 c2
cp0x = −γm0 βc2
cp0y = cpy
cp0z = cpz
Lorentz-Transformation:
x0 = γ(x − βct)
y0 = y
z0 = z
ct0 = γ(ct − βx)
x: Strecke in x-Richtung die zurückgelegt (+/-) beachten.
14.7. spezielle Relativitätstheorie
Prinzip der Relativität:
Man kann eine gradlinige Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit nicht fühlen.
Raumzeitintervall ∆s
(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2
Die Raumzeit ist für alle Beobachter gleich.
Ruhemasse
als
Invariante
Transformation
E 2 = (m0 c2 )2 + (~
pc)2
der
Lorentz-
Energie-Impulserhaltung:
P
P µ = i pµi
Dieser Gesamt-Energie-Impuls 4-Vektor wird erhalten, falls das System isoliert ist.
14.10. Die Rot- und Blauverschiebung
des Lichts
∆s = c· ∆τ ∆τ : Eigenzeitintervall
Blauverschiebung
Wenn sich die Quelle in Richtung des Beobachters
Die zeitliche Entfernung zwischen zwei Ereignissen, bewegt, wir die vom Beobachter gemessene Weldie bezüglich einem Bezugssystem am selben Ort lenlänge kleiner als sie im Quellensystem erscheint.
Eigenzeit und Zeitdilatation
14
1. eine Punktladung ein elektr. Feld E in jedem
Punkt des Weltraums um sie erzeugt. Das elektr. Feld übt die elektr. Kraft qE auf eine zweite
Ladung q an deren Ort aus.
D.h., das Verhältnis
der Frequenzen ist gleich:
q
1+β
λ0
ν
ν0 = λ =
1−β ≥ 1
Rotverschiebung
Im Fall einer sich vom Beobachter wegbewegenden
Quelle finden
q wir β → −β
ν
ν0
=
λ0
λ
=
1−β
1+β
≤1
2. eine bewegte Punktladung ein magnetisches Feld
B in jedem Punkt des Weltraums erzeugt. Das
magnetische Feld übt die magnetische Kraft qv×
B auf eine zweite bewegte Ladung q aus.
Einheiten:
Hubble-Gesetz
~ =N
[E]
C
v = Hr
4
~
v Geschw. relativ zur Erde, r die Entfernung von der [V ] = T 1T = 10 G
Erde, und H die Hubble-Konstante
Magnetische Kraft
H = 72 ± 8(km/s)/M pc
Wir bemerken, dass
1. Die Kraft proportional zur Geschw. ist. Auf
ein ruhendes Teilchen wirkt keine magnetische
Kraft.
15. Elektromagnetismus
15.1. Elektr. und magnetische Felder
2. Die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und
zur Richtung des Feldes wirkt.
Das elektrische Feld
Wenn wir eine Punktladung Q und, in einem bestimmten Abstand r von ihr, eine Punktladung q be3. Der Betrag der magnetischen Kraft ist gleich
trachten, so übt die Punktladung Q eine Kraft auf
~ sin α (Lorentzkraft)
|F~B | = |q||~v ||B|
die Punktladung q aus. Sie wirkt entlang der Verbindungslinie zwischen q und Q.
Die elektr. Kraft, die die Ladung Q auf eine Ladung 15.2. Feldlinien
q ausübt, ist gleich
elektr. Feldlinien
1
~
r
qQ
F~ =
Die Feldlinien folgen in allen Punkten des Raumes
4Π0 r2 r
der Richtung des Feldes.
Wir definieren das elektr. Feld der Punktladung Q
als
~
~ r) ≡ F (~r) = 1 Q ~r
E(~
q
4Π0 r2 r
Regeln für die elektr. Feldlinien:
1. Die elektr. Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen Ladungen oder
im Unendlichen.
2. Um einen einzelne Punktladung sind die Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt.
Die Lorentz-Kraft
Die allgemeine elektromagnetische Kraft wird als
Funktion zweier Vektorfelder, des elektr. und des
magnetischen Feldes ausgedrückt.
3. Die Anzahl der Feldlinien um eine Punktladung
ist zur Grösse der Ladung proportional.
Magnetische Feldlinien
~ + ~v × B)
~
F~ ≡ F~E + F~B = q(E
Es gibt keine Punkte im Raum, an denen die magnetischen Feldlinien anfangen oder enden. Deshalb
wobei E das elektr. Feld und B das magnetische Feld
bilden die magnetischen Feldlinien geschlossene
Schleifen.
~
FB = q~v × B
Die Feldlinien zeigen immer von N nach S.
~
FL = I~l × B
Die Wechselwirkung zwischen gleichen Magnetpolen
ist abstossend, die zwischen ungleichen Polen anziehend.
Wir bemerken, dass
15
15.3. Elektr. potentielle Energie und
elektr. Potential
Wir betrachten zwei Ladungen q und Q im Abstand
r voneinander, die elektr. pot. Energie ist gleich:
e
Epot
(~r) =
Konvention, dass die positive Stromrichtung der
Flussrichtung der positiven Ladungen folgt.
Einheit 1A = 1C/s
Driftgeschw. vD , bei Dichte der beweglichen Ladungsqn(AvD ∆t)
= qnAvD
träger gleich n: I ∆Q
∆t =
∆t
1 qQ
4Π0 r
Die Stromdichte und die Leitfähigkeit
Das elektr. Potential wird definiert als:
Stromdichte j:
I
j=A
= σE
wobei
σ die Leitfähigkeit des Leiters ist. Die StromV (~r) ≡
q
dichte ist zum elektr. Feld proportional.
A
Wir können daher den elektr. Potentialunterschied Einheit: [σ] = V m
V
zwischen zwei Punkten als die Arbeit definieren, die Ohm Ω = A
ein elektr. Feld leistet, wenn es eine Einheitsladung
von einem Punkt zu einem anderen bewegt.
Das Ohmsche Gesetz
e
Epot
(~r)
L
U = RI = ( σA
I)
R: Widerstand des Leiters, L: Länge
Potentialdifferenz
∆V = Vb − Va =
wb
∆Epot
=
Edl
a
q
Die elektr. Leistung
P = U I = RI 2
Kinetische Energie, die eine Ladung q gewinnt, wenn
sie durch eine Potentialdifferenz ∆V beschleunigt
Spezifischer Widerstand
wird: ∆Ekin = |q∆V |
R = ρ Al
Einheit:
[V ] = J/C = V
15.5. Berechnung der elektr. und
magnetischen Felder
Kontinuierliche Ladungsverteilung
w 1 dq
V =
4π0 r
Raumladungsdichte ρ:
dq
ρ(~r) ≡ dV
V
Flächenladungsdichte σ:
dq
Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung findet σ ≡ dA
man das Potential durch Integration über die La- Linienladungsdichte λ:
dungsverteilung.
λ ≡ dq
dl
Der Gradient des Potentials
Das elektr. Feld ist der negative Gradient des elektr.
Berechnung des E-Feldes
Potentials:
~
~
E = −∇V
Coulomb-Gesetz:
Einheit des elektr. Feldes:
Eine Punktladung dq erzeugt ein elektr. Feld in
~ = N/C = V /m
[E]
einem bestimmten Punkt r gleich
~ r) = 1 dq3 ~r
dE(~
4Π0 r
Wobei sich die Ladung im Ursprung des Koordinaelektr. Potential des elektr. Dipols
tensystems befindet.
q
θ
V (r) ≈ 4Π
( a cos
r2 )
0
Wenn sich die Ladung in einem Punkt r’ befindet,
dann ist das E-Feld gleich:
dq
elektr. Spannung
~ r) = 1
dE(~
r − ~r0 )
4Π0 |~
r −~
r 0 |3 (~
UAB ≡ V (~rA ) − V (~rB )
15.4. Elektr. Strom
I(t) ≡ dQ
dt
wobei dQ die Ladungsmenge ist, die in der Zeit dt
durch die Fläche A tritt. Man benutzt die historische
16
Für
eine
kontinuierliche
Ladungsverteilung
(dq = ρdV ), gilt:
r r r 1 ρ(~r0 )
~ r) =
E(~
r − ~r0 )d3~r0
4Π0 |~
r −~
r 0 |3 (~
wobei dA ein Vektor ist, der dem infintesimalen
Flächenelement dA entspricht.
Für einen unendlichen Stab gilt:
~ |= 2λ 1
|E
4Π0 r
Für eine endliche Fläche von beliebiger Form wird
der Fluss durch Integration der infintesimalen ebenen
Eine Punktladung q, die sich mit der Geschwindigkeit Flächenelemente gewonnen. Der gesamte Fluss durch
v bewegt, erzeugt im Raum ein Magnetfeld B, das die Oberfläche A ist deshalb gleich
gegeben ist durch
x
~
φ≡
F~ · dA
µ0 qv × r/r
A
B=
4π
r2
(Integration über die Fläche A)
Das Feld in einem Punkt r ist gleich:
~ r) = µ0 dq2 (~v × ~r )
dB(~
Häufig sind wir am Fluss durch eine geschlossene
4Π r
r
Berechnung des B-Feldes (Bio-Savart)
Oberfläche interessiert. Definitionsgemäss zeigen in
diesem Fall die infinitesimalen Flächen dA an jedem
Punkt der Oberfläche nach aussen.
{
~
φ≡
F~ · dA
Das Feld das durch das Stromelement Idl erzeugt
~
v dt) = I dl
wird, ist gleich (dq)~v = ( dq
dt )(~
µ0 I
~
r
~
~
dB(~r) = 4Π r2 (dl × r )
~ r) =
B(~
r
~
dB
geschlossene A
Der elektr. und magnetische Fluss
s
~ dA
~ (Elektr. Fluss)
φE ≡ E·
A
s
~ dA
~ (Magn. Fluss)
Bewegung einer Punktladung in einem elektr. Feld φB ≡ B·
A
~ = m~a ⇒ ~a = q E
~
F~ = q E
m
oft müssen wir die relativistische Masse benutzen:
Die Divergenz des Feldes
~
~a = q E
15.6. Bewegte Ladungen in elektr. und
magnetischen Feldern
γm0
Die Divergenz des Feldes in jedem Punkt (x,y,z)
ist gleich dem Fluss, der das Volumenelement im
Punkt (x,y,z) des Volumens dxdydz verlässt pro
Volumeneinheit.
~ F~ (x, y, z))dxdydz
dφtot (x, y, z) = (∇·
wobei wir den Nabla-Operator für die Divergenz des
Feldes im Punkt (x,y,z) verwendet haben.
~ F~ (x, y, z) = ( ∂F (x,y,z) ∂F (x,y,z) ∂F (x,y,z) )
∇·
∂x
∂y
∂z
Bewegung einer Punktladung in einem
magnetischen Feld
Zyklotron:
qB
ω = γm
0
T =
f=
2Πγm0
2Π
ω =
qB
qB
1
=
T
2Πγm0
15.7. Kraft auf einen elektr. Strom
Theorem der Divergenz/ Theorem v. Gauss
Ein elektr. Strom besteht aus einer Ansammlung Theorem der Divergenz für den gesamten Fluss φtot
sich bewegender Ladungen. Wir erwarten daher, der ein Volumen V verlässt:
{
y
dass ein Magnetfeld auch auf einen Leiter durch den
~
~
~ F~ )dV
φ
≡
F
·
d
A
=
(∇·
tot
ein Strom fliesst, eine Ablenkungskraft ausübt. Die
V
A=∂V
Gesamtkraft auf einen Leiter der Querschnittsfläche
A und Länge L ist.
wobei A die Oberfläche ist, die das Volumen V um~
F~ = LI~ × B
schliesst.
für ein differentielles Element des Stroms:
~ = IdL
~ ×B
~
dF~ = LdI~ × B
15.9. Das Gauss’sche Gesetz
Gesetz von Gauss für das elektr. Feld:
~ E(~
~ r)) = ρ(~r)
0 (∇·
15.8. Der Fluss und die Divergenz des
Flusses
Diese Beziehung zwischen der Divergenz des elektr.
Der Fluss dφ eines Vektorfeldes F durch eine infini- Feldes und der Ladungsdichte in jedem Punkt des
tesimale Fläche dA wird definiert als (der Fluss ist Raumes entspricht einem fundamentalen Gesetz des
eine Skalargrösse):
Elektromagnetismus.
~ =| F~ || dA
~ | cos θ
dφ ≡ F~ · dA
17
Es folgt v
daraus:
t
~ dA
~=
~ E)dV
~
φtot ≡
E·
(∇·
=
V
A=∂V
Qinnerhalb
0
1
0
t
V
15.13. Das Ampersche Gesetz
ρ(~r)dV = u ~
Bd~r = µ0 IC
C
Wobei IC der Strom ist, der durch die Fläche
hindurchtritt, die durch die Kurve begrenzt wird.
15.10. Divergenz des magnetischen
Feldes
Es wird nie magnetischer Fluss erzeugt oder vernichtet. Es gibt keine Punkte im Raum, an denen die
magnetischen Feldlinien anfangen oder enden.
Die Divergenz des magnetischen Feldes muss deshalb
in jedem Punkt des Raumes gleich null sein:
Es muss in jedem Punkt des Raumes gelten:
~ × B)(~
~ r) = µ0~j(~r)
(∇
Gesetz von Ampere für das magnetische Feld
Wobei j(r) die Stromdichte und µ0 die magnetische
Feldkonstante ist.
15.14. Maxwellsche Gleichungen
~ V
~ (~r) = 0
∇·
Die Maxwellschen Gleichungen fassen in einer kompakten mathematischen Formulierung die beiden
Gesetz von Gauss für das magnetische Feld
Gesetze von Gauss für das elektr. und magnetische
Feld sowie die Gesetze von Ampere zusammen.
Zusätzlich wurden auch das sogenannte Gesetz von
15.11. Stromdichte und
Faraday und eine Erweiterung des Gesetzes von
Ladungserhaltung
Ampere, die mit der zeitlichen Änderung der Felder
Wenn die gesamte Ladung, die im Volumen V zu tun hat, von Maxwell hinzugefügt.
enthalten ist, sich ändert, muss ein Strom durch die
Oberfläche des Volumens fliessen.
~ ~
Die zeitliche Änderung der gesamten Ladung inner- 0 (∇· E) = ρ
~
~
halb des Volumens ist deshalb gleich dem Strom, der (∇· B) = 0 ~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
durch die Obefläche des Volumens fliesst:
∂t
dQ
~ ×B
~ = µ0~j + 0 µ0 ∂ E~
− dt = I(t)
∇
∂t
Wir verwenden nun die Stromdichte j(r), so dass die
Summe der Stromdichte über eine endliche Fläche A
gleich der gesamten Stromstärke ist, die durch die Im Fall der Elektrostatik und Megnetostatik sind die
Fläche
Felder von der Zeit unabhängig, und die Gleichungen
s A fliesst:
~
I ≡ ~j(~r)· dA
vereinfachen sich zu:
A
Die Stromdichte ist die Stromstärke pro Flächeneinheit. Die Stromstärke durch eine ebene Fläche dA
ist gleich
~
iA = ~j· dA
Einheit: [~j] = mA2
~ E)
~ =ρ
0 (∇·
~
~
(∇· B) = 0
~ ×E
~ =0
∇
~
~ = µ0~j
∇×B
Kontinuitätsgleichung:
∂ρ(~
r)
~ ~ r) = 0
∂t + ∇· j(~
Diese Gleichung gilt in jedem Punkt des Raumes.
Sie sagt, dass wenn sich die Ladung in einem Punkt
ändert, in diesem Punkt ein elektr. Strom fliessen
muss.
Aus den ursprünglichen zeitabhängigen Gleichungen
folgt eine wichtige physikalische Regel:
Ein zeitveränderliches magnetisches (bzw. elektr.)
Feld erzeugt ein elektr. (bzw. magnetisches) Feld.
15.12. Das Linienintegral eines Feldes
Uinduziert =
u
C=∂A
Theorem von Stokes
u
s
~ × F~ · dA)
~
F~ · d~r = (∇
C=∂A
15.15. Gesetz von Faraday
(Induktionsgesetz)
~ d~r = − d
E·
dt
s
A
~ dA
~ = − dφB
B·
dt
wobei φB der magnetische Fluss durch die Fläche A
ist, und C die Kurve, die die Fläche A einschliesst.
A
Wenn die Rotation des Feldes in jedem Punkt des
Raumes verschwindet, ist das Linienintegral vom
Punkt A zum Punkt B unabhängig vom Weg. In diesem Fall ist das Feld konservativ (oder ein Potentialfeld).
Wenn die Leiterschleife einen geschlossenen Stromkreis bildet, werden sich die beweglichen Elektronen
in der Schleife bewegen. Man spricht von induziertem Strom. Im Falle von Metallen kann man das
18
~ r, t) = E
~ 0 sin(~k· ~r − ωt)
E(~
~ r, t) = B
~ 0 sin(~k· ~r − ωt)
B(~
wobei E0 und B0 die Amplitudenvektoren sind. Sie
besitzen einen Betrag und eine Richtung, die der
Lenzsche Regel:
Polarisation der Welle entspricht.
die induzierten Ströme sind so gerichtet, dass sie ihrer ω =| ~k | c
Ursache, d.h. der Änderung des magnetischen Flusses Wellenzahl |k| = 2π
λ
entgegenwirken.
Ohmsche Gesetz benutzen:
B
Iinduziert = Uinduziert /R = − R1 dφ
dt
16. Elektromagnetische Wellen
16.1. Felder eines bewegten geladenen
Drahtes
~ = (0 µ0 v)|E|
~ = (0 1 2 v)|E|
~ = ( v2 |E|)
~
|B|
0 c
c
Die Felder müssen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung sein:
~k· E
~ 0 = ~k· B
~ 0 = 0 ⇒ ~k ⊥ E
~ 0 und ~k ⊥ B
~0
Und mit Hilfe der Maxwellschen Gl. gilt:
~ = (~k × E
~ 0 ) 1 sin(~k· ~r − ωt) = 1 (~k × E)
~
B
ω
ω
16.2. Die elektromagnetischen Wellen
16.4. Das elekromagnetische Spektrum
Im Allgemeinen werden elektromagnetische Wellen
erzeugt, wenn geladene Teilchen beschleunigt werden. c = λν
E = hν
Wellengleichung und Ausbreitungsgeschw.
Laplace-Operator:
~ ∇
~ =∇
~ 2 = ∂ 22 +
∇·
∂x
∂2
∂y 2
+
16.5. Die Polarisation
∂2
∂z 2
Wir definieren die Polarisation der Welle als die
Richtung des elektrischen Feldes.
Wellengleichung der elektromagnetischen Wellen:
~
~
Der Polarisator: es gibt bestimmte Platten aus
∂2B
~ = 0 µ0 ∂ 2 E
~ 2E
~2~
∇
∂t2 und ∇ B) = 0 µ0 ∂t2
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist gleich einem polarisierenden Material, die nur die Wellen
hindurchlassen, deren Polarisation parallel zu einer
c.
bestimmten Transmissionsrichtung sind. Die Wellen,
die senkrecht zu dieser Richtung polarisiert sind,
Die Beziehung zwischen den Beträgen der Felder ist werden von der Platte absorbiert.
die folgende:
~ = ( v2 )|E|
~ = 1 |E|
~ oder |E|
~ = c|B|
~
|B|
c
c
~ ⊥B
~
• E
Gesetz von Malus:
Wenn der Winkel zwischen den Transmissionsrichtungen gleich θ ist, ist die Intensität der durchgelassenen Welle
I = I0 cos2 θ
wobei I0 das Maximum der hindurchgelassenen Intensität ist.
~ B
~ ⊥ ~v (Ausbreitungsrichtung)
• E,
~
~ zeigt in Ausbreitungsrichtung
E×B
~
~ ~v bilden ein Rechtssystem
→ E, B,
16.6. Energie und Impuls der
elektromagnetischen Wellen
Für eine elektromagnetische Welle im Vakuum
(Luft) gilt
~ = c|B|
~ → B 0 = 1 E0
• |E|
c
~ = c|B|
~ schwingen E
~ und B
~ in Phase Energiestromdichte (od. Leistungsdichte) der Welle:
• wegen |E|
W
z.B. ist für Ex = Ey = 0, Ez = E0 sin(ky − ωt) Einheit: m2
und Bewegungsrichtung y-Achse
Poynting-Vektor
By = Bz = 0 Bx = B0 sin(ky − ωt), B0 = 1c E0
~≡ 1E
~ ×B
~
S
µ0
16.3. Ebene Wellen
Dieser Vektor zeigt in die Richtung, in die Energie
transportiert wird.
Harmonische
~ = J3 m
[S]
m s
~k ≡ (kx , ky , kz ) = W ellenvektor
Die Felder einer ebenen, elektromagnetischen Welle
werden dann geschrieben als:
Für eine harmonische Welle gilt:
I = 2µ10 c E02 = 20 E02 c [ Wmatt
2 ]
19
Intensität als Funktion der Distanz
4. n1 sin θ1 = n2 sin θ2
Ein Beobachter befindet sich in einer Entfernung r
Wobei n21 die Brechzahl des Mediums 2 gegen das
von einer Punktquelle der Energie pro Zeiteinheit (=
Medium 1 ist.
Strahlungsleistung) P0 .
q
µ0 c
und B0 = E0 /c
E0 = 1r P02Π
Totalrefelxion
Elektromagnetischer Druck
Wir betrachten eine elektromagnetische Welle, die
auf eine Fläche fällt und vollständig absorbiert
wird. Wir nehmen an, dass die absorbierte Energie
(während einem Zeitintervall) gleich E ist.
pem−Druck = Ec
E = I· t· A → hF i = Pt
[p] = [Impuls] = kg· m
s
Wird die Welle vollständig von der Fläche reflektiert,
so ist der übertragene Impuls doppelt so gross:
pem−Druck = 2E
c
Für Einfallswinkel grösser als dieser Grenzwinkel θg
existiert kein gebrochener Strahl mehr.
sin θg
n2
sin 90 = sin θg = n1 mit n2 > n1
Beugung an einem Spalt
Leistung
Wir betrachten eine ebene Welle der Wellenlänge λ,
die auf einen Spalt mit der Breite a fällt. a ≈ λ
Nach dem Prinzip von Huygens wirkt jeder Punkt
des Spaltes als eine Quelle einer sich ausbreitenden
Elementarwelle. Weil die Breite des Spaltes ungefähr
so gross wie die Wellenlänge ist, entspricht der Spalt
einer einzelnen Quelle.
Es folgt daraus, dass die ebene Welle die auf den Spalt
fällt, sich nachher als konzentrische Kreise ausbreiten
wird.
P = A· I
16.7. Wellentheorie der
elektromagnetischen Wellen
Prinzip von Huygens
Ausbreitung des Lichtes durch einen Einzelspalt
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt für eine kugelförmige Elementarwelle betrachtet werden.
Erstes Minimum:
a
λ
2 sin θ = 2 ⇒ a sin θ = λ
Kein Minimum, falls a λ, da sin θ =
Reflexion und Brechung
λ
a
→∞
Beugung verschwindet, falls a λ
Fällt ein Lichtstrahl auf eine Oberfläche, so wird er
dort sowohl reflektiert als auch gebrochen.
Der Einfallwinkel θ1 , der Reflexionswinkel θ10 und der
Brechungswinkel θ2 werden relativ zur Normalen der
Grenzoberfläche definiert.
@
@
0
@ θ1 θ1
Medium
@ 1
@
A
Medium 2 A
θ2A
A
Beugung am Doppelspalt
d: Abstand zw. den Spalten
∆x: Gangunterschied
∆x =
2Πn
k
= nλ n = 0, 1, 2, . . .
Damit im Punkt P ein Maximum der Intensität
entsteht, muss gelten:
∆x = d sin θ = nλ n = 0, 1, 2, . . .
und für Minima:
∆x = d sin θ = (n + 21 )λ n = 0, 1, 2, . . .
Es gilt:
1. Der reflektierte und der gebrochene Strahl liegen
in der vom einfallenden Strahl und der Normale
der Grenzfläche gebildeten Ebene.
16.8. Röntgenbeugung
2. Reflexionsgesetz:
Licht fällt auf die Oberfläche eines Kristalls. Das Gitθ1 = θ10
ter soll eine kubische Symmetrie aufweisen.
a: Abst. zw. 2 benachbarten Atomen
3. Brechungsgesetz:
sin θ1
=
n
Es gilt: θeinf allende = φgebeugte
21
sin θ2
20
A. Physikalische Konstanten
Gravitationskonstante
Lichtgeschwindigkeit
Magnetische Feldkonstante
Elektr. Feldkonstante
Elementarladung
Plancksches Wirkungsquant.
Ruhemasse Elektron
Ruhemasse Proton
Ruhemasse Neutron
Boltzmann Konstante
Univ. Gaskonstante
G
c
µ0
0 = 1/µ0 c2
e
h
~ = h/2Π
me
mp
mn
k
R
2
6.67· 10−11 Nkgm2
3· 108 m
s
Vs
4Π· 10−7 Am
As
−12
8.854· 10
Vm
1.602· 10−19 C
6.602· 10−34 Js
1.0546· 10−34 Js
9.109· 10−31 kg
1.6726· 10−27 kg
1.6749· 10−27 kg
J
1.381· 10−23 K
8.314 J/mol/K
B. Trigonometrie
PP
α PPP
PP
b
PP
PcP
PP
PP
βPPP
a
sin α = ac = cos β cos α = cb = sin β
tan α = ab = cot β cot α = ab = tan β
21