Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
12. Übung
26./27. Januar 2017
Aufgabe 1 Neutrino-Oszillationen
Wir nehmen an, dass man ein Neutrino in zwei Zuständen beobachten kann,
1
ν =
(Elektron-Neutrino)
e ˆ
0
¶
0
ˆ
(Myon-Neutrino) .
und νµ =
1
Der Hamiltonoperator für ein ruhendes Neutrino habe die approximative Form
E1 g
Ĥ =
, E1 , E2 , g ∈ R .
g E2
a) Bestimmen Sie die Eigenenergien m± des Systems, wobei m+ > m− sei.
b) Zeigen Sie, dass m− ≤ Ei ≤ m+ für i ∈ {1, 2} .
c) Zeigen Sie, dass Ĥ hermitesch ist.
d) Beweisen Sie allgemein, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten eines hermiteschen
Operators orthogonal sind.
e) Wie müssen physikalische Zustände normiert sein und warum?
f) Folgern Sie aus den Aufgabenteilen d) und e), dass die Eigenvektoren ~x ± zu den Eigenenergien
m± (bis auf Phasen) durch den Ansatz
cos θ
− sin θ
~x + =
,
~x − =
sin θ
cos θ
parametrisiert werden können. Der Winkel θ wird als Mischungswinkel bzeichnet. Warum?
g) Bestätigen Sie, dass θ durch
sin 2θ =
2g
m+ − m−
=p
2g
(E1 − E2 )2 + 4g 2
(1)
gegeben ist.
HINWEIS: Benutzen Sie die Eigenwertgleichungen und beachten Sie, dass
sin 2θ = 2 sin θ cos θ .
1
h) Sei Ĥ ein Hamiltonoperator mit zeitunabhängigem
Potential. Zeigen Sie mithilfe der Schrödinger Gleichung, dass sich der Zustand ψ t bei t > 0 durch Anwendung des Zeitentwicklungsoperators
Û(t) = exp −i Ĥ t/ħ
h
auf den Anfangszustand ψ0 ergibt.
i) Die Energien m± werden als Massen der beiden stationären Neutrinozustände interpretiert, da Ĥ
eine Vereinfachung des kompletten Hamiltonoperators für das Ruhesystem darstellt. Ein Neutrino
mit Impuls p m± c in den stationären Zuständen zu m± hat somit die Gesamtenergie
E± =
Æ
p2 c 2
+
m2± c 4
≈ pc +
1 m2± c 4
2
pc
.
Verwenden Sie ab sofort die Energien E± als neue Eigenenergien der Neutrinozustände ν± =
ˆ ~x ± .
Zum Zeitpunkt t = 0 werde ein Neutrino im Zustand νe erzeugt. Wie hoch ist die Wahrschein ¶
lichkeit p(t) , das Neutrino zum Zeitpunkt t > 0 im Zustand νµ zu detektieren?
¶
HINWEIS: Stellen Sie die Zustände νe und νµ durch die Eigenvektoren dar.
2
4. Hausübung
Abgabe: Donnerstag, 26. Januar 2017 in Vorlesung
Regelung:
• 4 Hausübungen, jeweils eine Woche Bearbeitungszeit, Abgabe in Donnerstag-Vorlesung
• keine Besprechung, Lösungsvorschläge nach Abgabe online verfügbar
• Notenbonus von 0,3/0,4 ab 50 % der Gesamtpunktzahl
Aufgabe 1 Drehimpulskopplung (6 Punkte)
Wir betrachten zwei ortsfeste Teilchen mit den Spin-Quantenzahlen s1 = 3/2 und s2 = 1/2 . Die zugehörigen Hilberträume seien H3/2 und H1/2 . Ein Zustand des Gesamtsystems befindet sich dann im
Hilbertraum H ≡ H3/2 ⊗ H1/2 mit zugehöriger Tensorbasis (auch ungekoppelte Basis)
¨
«
3
1
s = , m s = , m
⊂H .
1 2
2
1 2
2
Diese besteht aus allen möglichen Tensorprodukten der Basiszustände von H3/2 und H1/2 . Ziel der
Aufgabe ist es, die Elemente der gekoppelten Basis zu bestimmen.
a) Welche Wertebereiche durchlaufen m1 und m2 jeweils? Welche Dimensionen besitzen die Hilberträume H3/2 , H1/2 und H folglich?
~ˆ ≡ ~ˆ
b) Sei nun S
s1 + ~ˆ
s2 der Gesamtdrehimpuls mit Quantenzahlen S und m . Die gekoppelte Basis sei
gegeben durch die Menge


3 1
=
|S, m⟩ ≡ S, m; ,

2 2
X
m1 , m2
m1 +m2 =m


3
1
3 1
C
, , S; m1 , m2 , m , m1 , m2
⊂H ,

2 2
2
2
wobei wir im Folgenden alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten C(. . . ) reell wählen.
Welche Werte können S und m annehmen? Stellen Sie den maximalen Zustand S = Smax , m = Smax
als Superposition von Zuständen der ungekoppelten Basis dar und normieren Sie ihn.
HINWEIS: Wählen Sie das globale Vorzeichen derart, dass der Clebsch-Gordan-Koeffizient mit dem
größten m1 positiv ist.
c) Konstruieren Sie sukzessive alle Zustände der Form Smax , m aus dem maximalen Zustand. Diese
Menge bezeichnet man als Multiplett zu S = Smax . Verwenden Sie hierfür den Leiteroperator
Ŝ− ≡ ŝ1,− + ŝ2,− ≡ ŝ1,− ⊗ 1̂ + 1̂ ⊗ ŝ2,− .
HINWEIS: Für beliebigen Drehimpuls ~ˆj mit Quantenzahlen j, m gilt
p
ĵ− j, m = ħ
h j( j + 1) − m(m − 1) j, m − 1 .
Durch das Verfahren werden die Zustände Smax , m automatisch normiert. Benutzen Sie diese
Tatsache zur Verifizierung der Zwischenresultate.
3
d) Nun müssen wir die Zustände des zweiten Multipletts
(zu S = Smax − 1) konstruieren. Wir begin
nen wiederum mit dem maximalen Zustand S = Smax − 1, m = Smax − 1 . Stellen Sie diesen als
Superposition von Zuständen der ungekoppelten Basis dar und normieren Sie ihn.
S
HINWEIS:
Der
Zustand
max − 1, Smax − 1 muss insbesondere auf dem aus c) bekannten Zustand
S , S
− 1 (mit gleichem m) senkrecht stehen. Wählen Sie das globale Vorzeichen derart, dass
max
max
der Clebsch-Gordan-Koeffizient mit dem größten m1 positiv ist.
e) Konstruieren Sie die verbleibenden Zustände des Multipletts zu S = Smax − 1 .
Aufgabe 2 Unitäre Zeitentwicklung im gekoppelten System (4 Punkte)
Wir betrachten noch einmal das System aus Aufgabe 1 mit s1 = 3/2 und s2 = 1/2. Der zugehörige
Hamiltonoperator sei gegeben durch
Ĥ = α ~ˆ
s1 · ~ˆ
s2 ,
α > 0.
Das System befände sich zum Zeitpunkt t = t 0 im Zustand
¶ 3 1 1 1
ψ
,
.
t0 = ,
2 2 2 2
a) Bestimmen Sie den Zustand ψ t für t > t 0 mithilfe des Zeitentwicklungsoperators
Û(t − t 0 ) = exp −i Ĥ(t − t 0 )/ħ
h .
HINWEIS: Der Operator ~ˆ
s1 · ~ˆ
s2 ist nicht diagonal bzgl. der ungekoppelten
Basis, sehr wohl jedoch
¶
bzgl. der gekoppelten Basis. Drücken Sie daher Ĥ bzw. ψ t 0 durch Operatoren bzw. Zustände des
gekoppelten Systems aus.
Falls Sie Aufgabe 1 nicht lösen konnten, finden Sie eventuell benötigte Clebsch-GordanKoeffizienten auf der Webseite http://pdg.lbl.gov/2002/clebrpp.pdf.
Dass die Aufgabe in der ungekoppelten Basis ungleich schwerer zu rechnen ist, belegt folgendes
Zitat des japanischen Physikers Jun John Sakurai (1933–1982)1 :
„You have to be either a fool or a masochist to use the Lz , Sz eigenkets as the base kets for
this problem.“
In unserem Fall bezieht sich das Zitat auf die ŝ1,z , ŝ2,z -Eigenkets der ungekoppelten Basis.
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das System zum Zeitpunkt t > t 0 im Zustand
3 3 1 1
φ ≡ ,
2 2 2, 2
vorzufinden? Zu welchen Zeitpunkten ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 1 bzw. gleich 0 ?
1
J. J. Sakurai and J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 2nd Ed., (Addison-Wesley, 2011), Chapter 5
4