Kräfte in unserer Umgebung
Werbung
Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Quellen: www.1000steine.com, www.professorbeaker.com, http://andrea2007.files.wordpress.com, www.zum.de, www.morgenweb.de, www1.pictures.gi.zimbio.com Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Quellen: www.1000steine.com, www.professorbeaker.com, http://andrea2007.files.wordpress.com, www.zum.de, www.morgenweb.de, www1.pictures.gi.zimbio.com Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräfte in unserer Umgebung C. Hauck, F. Stefanica Universität Stuttgart 14. Juli 2011 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Agenda 1 Theoretische Einleitung Kräfte sind Vektoren Kräfteüberlagerung Kräftezerlegung Beispiel Kräftezerlegung 2 Fachwerkbrücken Theorie Beispiel 3 Parabelbrücken Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräfte sind charakterisiert durch ... Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräfte sind charakterisiert durch ... Betrag (Länge, Größe) Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräfte sind charakterisiert durch ... Betrag (Länge, Größe) Orientierung Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräfte sind charakterisiert durch ... Betrag (Länge, Größe) Orientierung : Richtung + Richtungssinn Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräfte sind charakterisiert durch ... Betrag (Länge, Größe) Orientierung : Richtung + Richtungssinn ⇒ Kräfte können als Vektoren dargestellt werden. Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Vektordarstellung einer Kraft Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Vektordarstellung einer Kraft Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Vektordarstellung einer Kraft ~ = F Fx Fy Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Vektordarstellung einer Kraft ~ = F Fx Fy Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Vektordarstellung einer Kraft Fx Fy Fx = F · cos α, Fy = F · sin α ~ = F Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Vektordarstellung einer Kraft Fx Fy Fx = F · cosα, Fy = F · sin α Fx F~x = 0 ~ = F Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Vektordarstellung einer Kraft Fx Fy Fx = F · cosα, Fy = F · sin α Fx F~x = 0 0 F~y = Fy ~ = F Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Vektordarstellung einer Kraft Fx Fy Fx = F · cosα, Fy = F · sin α Fx F~x = 0 0 ~ Fy = F q y F = Fx2 + Fy2 ~ = F Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung Auf einen punktförmigen Gegenstand wirken die folgenden zwei Kräfte: F1 = 8N F2 = 8N. Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung Auf einen punktförmigen Gegenstand wirken die folgenden zwei Kräfte: F1 = 8N F2 = 8N. Wie groß ist die resultierende Kraft? Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, gleichen Richtungssinn: Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, gleichen Richtungssinn: Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, gleichen Richtungssinn: FR = 8N + 8N = 16N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, gleichen Richtungssinn: FR = 8N + 8N = 16N F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, entgegengesetzten Richtungssinn: Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, gleichen Richtungssinn: FR = 8N + 8N = 16N F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, entgegengesetzten Richtungssinn: Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, gleichen Richtungssinn: FR = 8N + 8N = 16N F~1 und F~2 haben gleiche Richtung, entgegengesetzten Richtungssinn: FR = 8N − 8N = 0N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: F1x = 4N, F1y ≈ 6, 928N F2x ≈ 6, 928N, F2y = 4N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: F1x = 4N, F1y ≈ 6, 928N F2x ≈ 6, 928N, F2y = 4N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: F1x F2x FRx FRy = 4N, F1y ≈ 6, 928N ≈ 6, 928N, F2y = 4N ≈ 10, 928N, ≈ 10, 928N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: F1x F2x FRx FRy = 4N, F1y ≈ 6, 928N ≈ 6, 928N, F2y = 4N ≈ 10, 928N, ≈ 10, 928N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Beispiel Kräfteüberlagerung F~1 und F~2 haben verschiedene Richtungen: = 4N, F1y ≈ 6, 928N ≈ 6, 928N, F2y = 4N ≈ 10, 928N, ≈ 10, 928N q FR = FR2x + FR2y ≈ 15, 454N F1x F2x FRx FRy Theoretische Einleitung Kräfteüberlagerung Allgemeines Vorgehen: Fachwerkbrücken Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Kräfteüberlagerung Allgemeines Vorgehen: Zerlegung der Kräfte in Richtung der Koordinatenachsen Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Kräfteüberlagerung Allgemeines Vorgehen: Zerlegung der Kräfte in Richtung der Koordinatenachsen Addition der Komponenten entlang jeder einzelnen Achse ⇒ Komponenten der resultierenden Kraft Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Kräfteüberlagerung Allgemeines Vorgehen: Zerlegung der Kräfte in Richtung der Koordinatenachsen Addition der Komponenten entlang jeder einzelnen Achse ⇒ Komponenten der resultierenden Kraft Berechnung der Resultierenden als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Kräfteüberlagerung Allgemeines Vorgehen: Zerlegung der Kräfte in Richtung der Koordinatenachsen Addition der Komponenten entlang jeder einzelnen Achse ⇒ Komponenten der resultierenden Kraft Berechnung der Resultierenden als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck Im Dreidimensionalen: FR ist Diagonale im Quader. Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Es ist die Kraft FR gegeben, deren Betrag und Orientierung bekannt sind. Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Es ist die Kraft FR gegeben, deren Betrag und Orientierung bekannt sind. Diese soll in zwei sich überlagernde Komponenten zerlegt werden, wobei die Komponenten mit F~R die Winkel α und β bilden. Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms - Berechnen des dritten Winkels im Dreieck ABC: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms - Berechnen des dritten Winkels im Dreieck ABC: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms - Berechnen des dritten Winkels im Dreieck ABC: γ = 180◦ − α − β Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms - Berechnen des dritten Winkels im Dreieck ABC: γ = 180◦ − α − β - Berechnen der gesuchten Komponenten mit Hilfe des Sinussatzes: Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms - Berechnen des dritten Winkels im Dreieck ABC: γ = 180◦ − α − β - Berechnen der gesuchten Komponenten mit Hilfe des Sinussatzes: β AB AC = sin ⇒ AB = AC·sin = F1 sin β γ sin γ Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Kräftezerlegung in vorgegebene Richtungen Allgemeines Vorgehen: - Einzeichnen von F~R - Einzeichnen der vorgegebenen Richtungen - Einzeichnen des Parallelogramms - Berechnen des dritten Winkels im Dreieck ABC: γ = 180◦ − α − β - Berechnen der gesuchten Komponenten mit Hilfe des Sinussatzes: β AB AC = sin ⇒ AB = AC·sin = F1 sin β γ sin γ analog: α BC = AC·sin = F2 sin γ Parabelbrücken Theoretische Einleitung Gleichgewichtszustand Fachwerkbrücken Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Gleichgewichtszustand Problematik Körper bzw. Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn P~ F = 0. Zerlegung in die Komponenten: X X X Fx = 0 , Fy = 0 , FZ = 0 Die z-Komponente entfällt bei ebenen Probleme. Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräftezerlegung: Straßenlaterne Problematik Straßenlaterne 100N ist an einem Seil mittig über der Straße gespannt. Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräftezerlegung: Straßenlaterne Problematik Straßenlaterne 100N ist an einem Seil mittig über der Straße gespannt. Seil hat einen Scheitelwinkel von 140◦ . Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Beispiel Kräftezerlegung: Straßenlaterne Problematik Straßenlaterne 100N ist an einem Seil mittig über der Straße gespannt. Seil hat einen Scheitelwinkel von 140◦ . Wie groß ist die Kraft im Seil? Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Freikörperbild Vorgang Koordinatensystem festlegen. Freilegen der Reaktionskräfte und innere Kräfte durch gedankliches Aufschneiden. Freikörperbild = Darstellung aller eingeprägten und inneren Kräfte am freigeschnittenen Körper. Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Gleichgewichtsgleichung Aufstellen des Gleichgewichts P~ F =0 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsgleichung Aufstellen des Gleichgewichts P~ F =0 S1 · cos(α) −S2 · cos(β) 0 0 + − = S1 · sin(α) S2 · sin(β) G 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsgleichung Komponentenweise Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS): α = β (Symmetrie) X Fx = 0 ←: S1 · cos(α) − S2 · cos(α) =0 X Fy = 0 ↑: S1 · sin(α) + S2 · sin(α) − G = 0 Aus 1: S1 = S2 · cos(α) = S2 cos(α) =S (1) (2) (3) Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsgleichung Komponentenweise Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS): α = β (Symmetrie) X Fx = 0 ←: X Fy = 0 ↑: S1 · cos(α) − S2 · cos(α) =0 (1) S1 · sin(α) + S2 · sin(α) − G =0 (2) =S (3) cos(α) = S2 cos(α) Mit 3 in 2: 2 · S · sin(α) G 100N S= = 2 · sin(α) 2 · sin(20◦ ) Aus 1: S1 = S2 · =G = 146N Theoretische Einleitung Fachwerkbrücke Informationen Alte Eisenbahnbrücken Fachwerkbrücken Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücke Informationen Alte Eisenbahnbrücken Gute Montierbarkeit Fachwerkbrücken Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Fachwerkbrücke Informationen Alte Eisenbahnbrücken Gute Montierbarkeit Einfache Berechnung ⇒ Knotenpunktverfahren Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Knotenpunktverfahren Grundidee Koordinatensystem festlegen Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Knotenpunktverfahren Grundidee Koordinatensystem festlegen An einem Knoten kommen mehrere Stäbe zusammen Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Knotenpunktverfahren Grundidee Koordinatensystem festlegen An einem Knoten kommen mehrere Stäbe zusammen Nummerierung Stäbe und Knoten Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Knotenpunktverfahren Grundidee Koordinatensystem festlegen An einem Knoten kommen mehrere Stäbe zusammen Nummerierung Stäbe und Knoten Freischneiden jedes Knotens (Stäbe auf Zug belastet) Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Knotenpunktverfahren Grundidee Koordinatensystem festlegen An einem Knoten kommen mehrere Stäbe zusammen Nummerierung Stäbe und Knoten Freischneiden jedes Knotens (Stäbe auf Zug belastet) P~ Aufstellen der Gleichgewicht für jeden Knoten F =0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Knotenpunktverfahren Grundidee Koordinatensystem festlegen An einem Knoten kommen mehrere Stäbe zusammen Nummerierung Stäbe und Knoten Freischneiden jedes Knotens (Stäbe auf Zug belastet) P~ Aufstellen der Gleichgewicht für jeden Knoten F =0 Bestimmung Stab- und Lagerkräfte mittels LGS Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Besteht aus 5 Stäbe und 4 Knoten (A, B, I und II) Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Besteht aus 5 Stäbe und 4 Knoten (A, B, I und II) Die Stäbe 1 und 2 haben die Länge 2a Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Besteht aus 5 Stäbe und 4 Knoten (A, B, I und II) Die Stäbe 1 und 2 haben die Länge 2a Der Stab 3 hat die Länge a Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Anwendungsbeispiel Informationen Lagerung durch Festlager A und Loslager B Besteht aus 5 Stäbe und 4 Knoten (A, B, I und II) Die Stäbe 1 und 2 haben die Länge 2a Der Stab 3 hat die Länge a Belastung Knoten I mit 2F = 30000N; Knoten II mit F Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Geometrie Für den Winkel α gilt: a 1 = ⇒ α ≈ 26, 565◦ 2a 2 √ tan(α) 5 sin(α) = q = 5 1 + tan2 (α) √ 1 5 =2· cos(α) = q 5 1 + tan2 (α) tan(α) = Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsbedingung Knoten A: Ax Ay + S1 0 + S4 · cos(α) S4 · sin(α) = 0 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsbedingung Knoten I: − S1 0 + S2 0 + 0 S3 − 0 2F = 0 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsbedingung Knoten II: F 0 − S4 cos(α) S4 sin(α) + S5 cos(α) −S5 sin(α) − 0 S3 = 0 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichgewichtsbedingung Knoten B: 0 By − S2 0 + −S5 · cos(α) S5 · sin(α) = 0 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichungssystem Knoten A: Knoten I: Knoten II: Knoten B: →: Ax + S1 + S4 · cos(α) = 0 (1) ↑: (2) Ay + S4 · sin(α) = 0 →: −S1 + S2 = 0 (3) ↑: (4) S3 − 2F = 0 →: F − S4 · cos(α) + S5 · cos(α) = 0 (5) ↑: (6) −S4 · sin(α) − S5 · sin(α) − S3 = 0 →: S2 − S5 · cos(α) = 0 (7) ↑: (8) By + S5 · sin(α) = 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichungssystem LGS Matrizendarstellung: Ax 1 0 0 0 0 0 0 0 Ay 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 S3 S4 S5 By 1 0 0 cos(α) 0 0 0 0 0 sin(α) 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 − cos(α) cos(α) 0 0 0 −1 − sin(α) − sin(α) 0 0 −1 0 0 − cos(α) 0 0 0 0 0 sin(α) 1 Kraft 0 0 0 2F −F 0 0 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Lösung des Gleichungssystem Lösung Matrizendarstellung: Ax 1 0 0 0 0 0 0 0 Ay 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 S3 S4 S5 By 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Kraft [N] −15000 −11250 37500 37500 30000 −25156 −41926 18750 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Gleichungssystem Knoten A: Knoten I: Knoten II: Knoten B: →: Ax + S1 + S4 · cos(α) = 0 (1) ↑: (2) Ay + S4 · sin(α) = 0 →: −S1 + S2 = 0 (3) ↑: (4) S3 − 2F = 0 →: F − S4 · cos(α) + S5 · cos(α) = 0 (5) ↑: (6) −S4 · sin(α) − S5 · sin(α) − S3 = 0 →: S2 − S5 · cos(α) = 0 (7) ↑: (8) By + S5 · sin(α) = 0 Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Lösen des Gleichungssystems Aus 4: S3 − 2F = 0 S3 = 2F = 30000N Aus 6: −S4 · sin(α) − S5 · sin(α) − S3 = 0 S3 S4 = −S5 − sin(α) (9) Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Lösen des Gleichungssystems Mit 9 in 5: S4 = −S5 − S3 · cos α + S5 · cos α = 0 sin(α) S3 2 · S5 · cos α = −F − · cos(α) sin(α) F S3 S5 = − − = −41926N (10) 2 · cos(α) 2 · sin(α) S4 = −25156N (11) F + S5 · cos(α) + Mit 10 in 9: S3 sin(α) Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Lösen des Gleichungssystems Mit 10 in 7: S2 − S5 · cos(α) = 0 S2 = −S5 · cos(α) = 37500N Mit 12 in 3: −S1 + S2 = 0 S1 = S2 = 37500N Mit 10 in 8: (12) By + S5 · sin(α) = 0 By = −S5 · sin(α) = 18749N (13) Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Lösen des Gleichungssystems Mit 11 und 13 in 1: Ax + S1 + S4 · cos(α) = 0 Ax = −S1 − S4 · cos α = −15000N Mit 11 in 2: Ay + S4 · sin(α) = 0 Ay = −S4 · sin(α) = 11250N Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Übersicht über die Kräfte Stab bzw. Lager Ax Ay By S1 S2 S3 S4 S5 Kraft [N] −15000 11250 18749 37500 37500 30000 −25156 −41926 Belastung Zug Zug Zug Druck Druck Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Quellen: www.zum.de, http://de.structurae.de/, www.millionface.com/, http://upload.wikimedia.org Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Parabelbrücke und Kräfte Im Punkt P0 wirkt die Kraft 0 ~ F = . −F Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Parabelbrücke und Kräfte Im Punkt P0 wirkt die Kraft 0 ~ = F . −F Welche Kräfte wirken in den anderen Stützpunkten? Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Ähnlichkeit der Dreiecke: Kräfte im Punkt P1 : Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 = Fx a 2 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : − → − → − → F1 = F0 + F Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : − → − → − → F1 = F0 + F 1 0 F = 2a + −a −F Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : − → − → − → F1 = F0 + F 1 0 F = 2a + −a −F 1 0 F F = 2a + 2a −a −2a Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : − → − → − → F1 = F0 + F 1 0 F = 2a + −a −F 1 0 F F = 2a + 2a −a −2a 1 F = 2a −3a Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : − → − → − → F1 = F0 + F 1 0 F = 2a + −a −F 1 0 F F = 2a + 2a −a −2a 1 F = 2a −3a − → − −− → F1 ist parallel zu P1 P2 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Parabelbrücke und Kräfte Kräfte im Punkt P1 : Ähnlichkeit der Dreiecke: 1 F = Fx ⇒ x = 2a a 2 F − → 1 F 2a F0 = = 2a −a − F2 Resultierende im Punkt P1 : − → − → − → F1 = F0 + F 1 0 F = 2a + −a −F 1 0 F F = 2a + 2a −a −2a 1 F = 2a −3a − → − −− → F1 ist parallel zu P1 P2 = 2 1 1 − = −4a −a −3a Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F 1 0 F = 2a + −3a −F Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F 1 0 F = 2a + −3a −F 1 0 F F = 2a + 2a −3a −2a Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F 1 0 F = 2a + −3a −F 1 0 F F = 2a + 2a −3a −2a 1 F = 2a −5a Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F 1 0 F = 2a + −3a −F 1 0 F F = 2a + 2a −3a −2a 1 F = 2a −5a − → −−−→ 3 2 1 − = F2 ist parallel zu P2 P3 = −9a −4a −5a Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F 1 0 F = 2a + −3a −F 1 0 F F = 2a + 2a −3a −2a 1 F = 2a −5a − → −−−→ 3 2 1 − = F2 ist parallel zu P2 P3 = −9a −4a −5a Parallelität Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücken Parabelbrücke und Kräfte Resultierende im Punkt P2 : − → − → → − F2 = F1 + F 1 0 F = 2a + −3a −F 1 0 F F = 2a + 2a −3a −2a 1 F = 2a −5a − → −−−→ 3 2 1 − = F2 ist parallel zu P2 P3 = −9a −4a −5a Parallelität ⇒ keine Biegemomente Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte F1 < F2 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte F1 < F2 < F3 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte F1 < F2 < F3 < F4 Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte F1 < F2 < F3 < F4 < ... Parabelbrücken Theoretische Einleitung Fachwerkbrücken Parabelbrücke und Kräfte F1 < F2 < F3 < F4 < ... Parabelbrücken
