Lösung 1

Physik I
Übung 1 - Lösungshinweise
Moritz Kütt
Stefan Reutter
Franz Fujara
WS 2011/12
Stand 22.12.2012
Aufgabe 1 Wer war das noch mal?
Viele physikalische und mathematische Gesetze, Funktionen und Größen sind nach bekannten
Physikern und Mathematikerinnen benannt. Möglicherweise sind sie auch nur deshalb bekannt,
weil man etwas nach ihnen benannt hat. Kennst du die folgenden Namen auch? Ordne zu, und
versuche, die Bedeutung Gesetze in der Übungsgruppe zu diskutieren.
1) Satz von Pythagoras
a) F~ (~r) =
2) Coulomb-Gesetz
b)
∞
P
n=0
q1 q2
~e
4πε0 r 2 r
f (n) (a)
n!
(x − a)n
3) 2. Newtonsches Gesetz
c) e iϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
4) 3. Keplersches Gesetz
d) a2 + b2 = c 2
5) Taylor-Reihe
6) Eulersche Formel
d~p
e) F~ = dt
2 3
a
T
f) T1 = a1
2
2
Lösungshinweise:
1 – d Der Satz von Pythagoras beschreibt die Verhältnisse der Seitenlängen im rechtwinkligen
Dreieck, c ist dabei die Länge der Hypothenuse, a und b sind die Längen der Katheten.
2 – a Das Coulomb-Gesetz beschreibt die Kraft, die zwei Punktladungen q1 und q2 im Abstand
~r aufeinander ausüben, ~e r ist Einheitsvektor in Richtung des Abstandes, r der Betrag des
Abstandes.
3 – e Das 2. Newtonsche Gesetz besagt, dass einen Kraft auf einen Körper dessen Bewegung
verändert (Geschwindigkeit dargestellt durch Impuls ~p = m~a).
4 – f Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass das quadratische Verhältnis der Umlaufzeiten von
zwei Planeten T1 und T2 gleich dem kubischen Verhältnis der großen Halbachsen a1 und
a2 der Ellipsenbahnen sein muss.
5 – b Mit der Taylorreihe können unendlich differenzierbare Funktionen f dargestellt, oft genügt die Nutzung weniger Summationsterme als Vereinfachung für das Rechnen mit einer
Funktion.
1
6 – c Die Eulersche Formel ist sehr nützlich beim Rechnen mit komplexen Zahlen und trigonometrischen Funktionen, sie lässt sich über Taylorreihenentwicklung beweisen.
Aufgabe 2 Theoristen
Physikalische Theorien sind entgegen der landläufigen Vorstellung keine unumstößlichen und in
Stein gemeißelten Tatsachen - ganz im Gegenteil hat es in der Physik schon mehrfach gewaltige
Umwälzungen gegeben.
Die alten Griechen dachten beispielsweise, dass während einer Bewegung ständig eine Kraft
nötig wäre, damit der Gegenstand nicht langsamer wird und schließlich stehen bleibt, was ja
durchaus der Alltagserfahrung entspricht. Newton hat das dann über den Haufen geworfen und
behauptet, dass ein Körper so lange seinen Bewegungszustand (seinen Impuls) beibehält, wie
keine Kräfte auf ihn wirken. Ein Körper wird dadurch langsamer, dass er eine Reibungskraft
erfährt.
Im 20. Jahrhundert hat Einstein dann die Relativitätstheorie aufgestellt und mit ihr die sogenannte klassische Physik auf großen Längenskalen korrigiert. Andere Wissenschaftler, Bohr,
Heisenberg, Schrödinger, usw. haben ungefähr zur gleichen Zeit die Quantenphysik formuliert,
die die Physik auf winzigen Längenskalen innerhalb von Atomen und Atomkernen revolutionierte.
Überlege dir für die genannten Übergänge jeweils ein Experiment, das mit der alten Theorie
nicht zu erklären ist, mit der neuen aber schon.
Lösungshinweise:
Dies sollen nur einige Beispiele für Experimente sein:
Griechen - Newton: Raumfahrt, Himmelsmechanik.
Nicht funktioniert Glatteis o.ä., da die Griechen die Situation dort so interpretiert hätten, dass
das Eis beim Schieben helfen würde.
Relativität: GPS, Optischer Dopplereffek, Michelson-Morley-Experiment, Lebensdauer von Teilchen in der Atmosphäre, Gravitationslinse
Quantenphysik: Photoeffekt, Nullpunktsenergie (Casimir-Effekt), Linienspektren
Aufgabe 3 Ein Grabmal für die Ewigkeit
Dein Pharao hat dir als Bauherr den Auftrag gegeben, eine Pyramide zu errichten, die seine
Unsterblichkeit garantieren soll. Das Werk ist beinahe vollendet, jedoch musst du zur Krönung
des Ganzen noch einen Stein bewegen, der ein Gewicht von 2 t hat. Du hast leider nur 20
Sklaven zur Verfügung, von denen jeder mit Hilfe eines Seils ein Gewicht von 50 kg ziehen
kann. Die rettende Idee: du schüttest eine schiefe Ebene auf, die du den Stein hochziehen kannst
(“du” heißt hier “deine Arbeiter”). Welchen Winkel darf die Ebene maximal haben, damit deine
Untergebenen den Stein auf die Spitze ziehen können? Die Reibung soll vernachlässigt werden.
Die Höhe der Pyramide beträgt 10 m
2
Lösungshinweise:
Fk = mg sin α
F⊥ = mg cos α
Bedingung für Hochziehen: Fk ≤ FA
Jeder Arbeiter kann ein Gewicht von mA = 50kg ziehen, es gibt NA = 20 Arbeiter. Damit ist
FA = mA NA g
Umformen und einsetzen ergibt α ≤ 30◦
Aufgabe 4 Mechanik
a) Ein Massenpunkt, an dem drei Kräfte ziehen, bewegt sich auf a)
einer geradlinigen Bahn. Zwei der Kräfte sind in der Skizze eingezeichnet: konstruiere und zeichne auch die dritte Kraft hinein.
b) Ein Massenpunkt vollführt die gezeigte Sprungbewegung im
Gravitationsfeld der Erde. Welche Beschleunigung wirkt jeweils
an den Punkten A, B, C und D?
Bewegungsrichtung
C
b)
c) Betrachte ein konisches Pendel, das heißt, einen Massenpunkt,
der an einem Faden hängt und im Kreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert. In welche Richtung zeigt die resultierende
Kraft, die auf die Masse wirkt:
A
B
D
c)
- nach oben
- nach unten
- in den Kreis hinein
- aus dem Kreis hinaus
- tangential zum Kreis
- in Richtung des Aufhängepunkts
- vom Aufhängepunkt weg
Lösungshinweise:
3
a) Man kann einfach die Kräfte vektoriell
addieren, etwa in einer Zeichnung. Dort erkennt man, dass es mehrere mögliche Lösungen gibt.
b) Überall gleich g
c) in den Kreis hinein
Aufgabe 5 Wie schwer ist die Sahara?
In der Sahara findet man sehr, sehr viel Sand, Sandkörner sind etwa
kugelförmig mit einem durchschnittlichen Radius von 50 µm und bestehen aus SiO2 . Ein SiO2 -Würfel mit einem Volumen von 1 m3 wiegt
etwa 2600 kg.
a) Was ist das Gewicht von 1 m3 Saharasand, wenn die Sandkörner sich
wie in der Zeichnung stapeln (stelle dir bitte die dritte Raumrichtung
vor)?
b) Schätze damit das Gewicht der Sahara ab. Ihre Fläche ist 9.4 × 106 km2 . Nimm eine plausible
Tiefe des Sandes an.
c) Was ist das Gewicht der Menge an Sandkörnern, die die gleiche Oberfläche haben wie der
große Würfel?
Lösungshinweise:
a) Wenn der Sand wie vorgegeben gestapelt wird, kann man mit folgender Formel die Masse
eines Kubikmeters berechnen:
4 3
MSand = ρNSand · πrSand
kor n
3
Dabei ist ρ die SiO2 -Dichte (aus Text) und NSand die Zahl der Sandkörner im Kubikmeter (1012 ,
da bei einem Durchmesser von 100µm eben 100003 Sandkörner in den Kubikmeter passen.
Es ergibt sich dann:
MSand ≈ 1360 kg
b) Wir haben eine Sandtiefe von etwa 100 m angenommen.
VSahar a ≈ 1015 m3
MSahar a = 1.36 × 1018 kg
c) Mit der Oberfläche des großen Würfels OW uer f el = 6m2 und der Oberfläche des Sandkorns
2
OKor n = 4πrSandkor
n kann man die Masse berechnen über:
MSand−2 =
OWuer f el
OKor n
3
· 43 πrSand
·ρ
kor n
= 0.26kg
4
Aufgabe 6 Kreuzungen und Kreuzprodukt
Ein Auto transportiert die elektrische Ladung q. Es fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit v 1 auf einer Straße parallel zur x-Achse. Es kommt an eine Ampel. Da sie rot ist, bremst
das Auto nach der Funktion v 2 = v 1 − a1 t ab. Anschließend biegt es in eine Straße parallel zur
y-Achse ein, dort fährt es wieder mit
 derGeschwindigkeit v 1 weiter. Wie groß ist die Kraft, die
A


~
durch ein fiktives Magnetfeld B =  B  auf Auto und Ladung ausgeübt wird?
C
~ ).
Hinweis: Die Kraft wird beschrieben durch die Lorentzkraft F = q(~
v ×B
Lösungshinweise:
Parallel zur x-Achse, konstante




v1
0

 ~


v~ =  0  F
= qv 1  −C 
B
0
Bremsen vor der roten Ampel:



0
v 1 − a1 t

 ~


0
v~ = 
 F = q(v 1 − a1 t)  −C 
B
0

Parallel zur y-Achse, konstante Geschwindigkeit:




0
C


 ~

v~ =  v 1  F
= qv 1  0 
−A
0
Aufgabe 7 Physiker messen und schätzen
Für viele Probleme sind natürlich genaue Messwerte erforderlich. Manchmal reicht aber auch
nur eine grobe Abschätzung. Schätze die Werte für die nachfolgenden Größen ab. Gib die Größen in den jeweiligen Basiseinheiten (kg, m, s, Hz) an.
Lösungshinweise:
Wir können die Werte für die Größen selbst zum Glück sehr genau abschätzen, daher haben wir
keine Quellen für die einzelnen Zahlen angegeben.
5
Masse
Länge
Sonne
Du
Wal
Mondradius
Atom
Erde-Sonne
Proton
Proton
Übungsgruppenleiter Atomkern
Erde
Galaxie
Bakterie
Bakterie
Zeit
Sekunden im Jahr
Alter des Universums
Alter des Sitznachbarn
Halbwertszeit Neutron
Lebensdauer Stubenfliege
Masse
Beispiel
Sonne
1.988 × 1030 kg
Wal
(Blau)Wal ca. 2 × 105 kg
Atom
10−27 kg bis 10−25 kg
Proton
1.673 × 10−27 kg
Übungsgruppenleiter
Erde
5.97 × 1024 kg
Bakterie
ca. 10−16 kg
Frequenz
sichtbares Licht
WLAN
Radio
Schall
Erdbebenwellen
Länge
Beispiel
Du
Mondradius
1.23 × 106 m
Erde-Sonne
1.5 × 101 1 m
Proton
8.768 × 10−16 m
Atomkern ca. 10−15 m bis 10−14 m
Galaxie
ca. 1021 m
Bakterie
ca. 10−6 m
Masse
Länge
Sekunden im Jahr
3.1536 × 107 s (ca. π · 107 )
Alter des Universums
4.3 × 1017 s
Alter des Sitznachbarn
6 × 108 s
Halbwertszeit Neutron
8.81 × 102 s
Lebensdauer Stubenfliege
1.4 × 106
Zeit
Frequenz
sichtbares Licht 3.8 − 8 × 1014 Hz
WLAN
2.4/5 × 109 Hz
Radio
UKW: 108 Hz
Schall
10 Hzbis 105 Hz
Erdbebenwellen 0,1 Hz bis 30 Hz
Aufgabe 8 Der Einheitenzoo
In der Physik gibt es einen ganzen Einheitenzoo, mit dem du dich bekannt machen musst. Dort gibt es viele illustre
Tierchen wie die Seekuhnde, den molch,
den Newton (eine weitere Molchart),
den Långstrøm, den Kelfin, das Drometer, die Hertzmuschel, den Jougular,
den Amperetiger, das Kuhlomb, den Kilogramt, den Wattwurm und den Volf.
Leider ist der Zoo momentan wegen
Teslaus-Befall in einem der Gehege geschlossen. Ordne die Tiere dem am besten zu ihnen passenden Gehege zu – keine Angst, sie sind alle auf einer strengen
Planckton-Diät und fressen sich nicht gegenseitig auf.
6
Lösungshinweise:
Manche Einheiten tauchen mehrmals auf, sie passen in mehrere ”Gehege”.
Elektrik: Volf (Volt), Amperetiger (Ampere), Kuhlomb (Coulomb), Teslaus (Tesla), Jougular
(Joule), Wattwurm (Watt)
Mechanik: Newton, Hertzmuschel (Hertz), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt), Kilogramt (Kilogramm)
Fundamental: Långstrøm (Ångstrøm), Drometer (Meter), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt),
Kilogramt (Kilogramm), Kelfin (Kelvin), Seekuhnde (Sekunde).
Darf nicht im Zoo sein: Molch (Mol).
Hausaufgabe 1 Gold, Gold, Gold, Gold. Gold, Gold, Gold, Gold.
Ein windiger Flohmarkthändler will dir einen Bilderrahmen mit echtem Goldüberzug für nur
500 Euro verkaufen. Der Rahmen ist rechteckig 2 m × 3 m groß, 2 cm dick und hat eine Rahmenbreite von 10 cm wobei nur die Rückseite nicht vergoldet ist. Schätze mit Hilfe des aktuellen
Goldpreises ab, ob es sich dabei um ein gutes Geschäft handelt.
Hinweis: Die Dichte von Gold und die Dicke von Blattgold kannst du im Internet nachschlagen
Lösungshinweise:
Beschichtete Fläche:
A = [ab − (a − 2c)(b − 2c)] + 2ad + 2bd + 2(a − 2c)d + 2(b − 2c)d = 1.34m2
Goldvolumen (Dicke: 1µm):
Gold-Masse (Dichte: 19.3g/cm3 ):
V = 1.34 × 10−7 m3
m = 2.6g
Gold-Preis pro Feinunze (31g)
Rahmenpreis
ca. 1200 €
101 €
Das ist nicht wirklich ein gutes Geschäft...
7
Hausaufgabe 2 Opa Hinrichsens Getreidesilo
Du hast wild auf Opa Hinrichsens Feld gecampt. Ein schwerer Fehler. Jetzt, am Morgen, kommt
er wutschnaubend mit der Heugabel zum Angriff gesenkt auf dein Zelt zugestürmt.
Zu deinem Glück fällt dir rechtzeitig ein, dass Hinrichsen gerade ein neues Silo bauen will. Um
die Integrität deines edlen Hinterteils zu retten, bietest du ihm an, die günstigste Größe für sein
Silo auszurechnen. Da Opa Hinrichsen selbst nicht gut rechnen kann kommt er ins Grübeln und
entschließt sich, seinen Ansturm abzubrechen und auf dein Angebot einzugehen.
Aus fertigungstechnischen Gründen kann die Silofirma “Stinkaum” nur zylinderförmige Silos
herstellen, deren Preis sich nach der Oberfläche bemisst. Berechne das optimale Verhältnis von
Durchmesser zu Höhe um das günstigste Silo für den Bauer zu finden.
Hinweis: Ableiten um das Minimum zu finden.
Lösungshinweise:
Volumen
Fläche
Fläche abhängig von V
V = πr 2 h
A = 2πrh + 2πr 2
A = 2V
+ 2πr 2
r
Für Minimum:
dA
dr
=0=
r3 =
r=
−2V
r2
+ 4πr
2V
4π
V
2πr 2
=
h
2
Hausaufgabe 3 Vom Experiment zur Theorie und zurück
Physiker versuchen Phänomene und Zusammenhänge durch einfache Grundannahmen zu erklären. Dabei wird oft mit Theorien und Beschreibungen versucht, ein möglichst wirklichkeitsnahes
Bild der Welt zu erstellen. In der Vergangenheit gab es dabei oft verschiedene Wege. Zumeist
wurden zunächst Beobachtungen gemacht, die dann durch Theorien erklärt wurden. Es gab
aber auch Fälle, bei denen mutige Physiker zunächst Theorien aufgestellt haben, die erst anschließend von Experiment bestätigt (oder auch widerlegt) wurden.
Finde je zwei geschichtliche Beispiele für beide Vorgehensweisen und beschreibe sie kurz.
8
Lösungshinweise:
Lösungsbeispiele für Experiment → Theorie
Tycho Brahe hat für die Zeit sehr genau Beobachtungen der Planetenbahnen ermittelt (quasi ein
Experiment). Johannes Kepler konnte daraus ableiten, dass die Planeten in elliptischen Bahnen
um die Sonne kreisen.
Walther Bothe und Herbert Becker entdeckten in einem Experiment beim Beschuss von Beryllium mit Alphateilchen um 1930 eine für sie unbekannte Strahlung. Andere Experimente zeigten
ähnliche Ergebnisse. Erklärt wurden die Ergebnis durch James Chadwick, der die Strahlung als
Neutronen identifizierte.
Lösungsbeispiele für Theorie → Experiment
Ein herausragendes Beispiel ist die Relativitätstheorie von Albert Einstein. So beschreibt beispielsweise die allgemeine Relativitätstheorie eine Ablenkung von Licht in durch Gravitation.
Arthur Stanley Eddington und Frank Dyson beobachteten eine solche Ablenkung 1919 während einer totalen Sonnenfinsternis, und leisteten so einen wichtigen Beitrag der allgemeinen
Relativitätstheorie.
Das Higgs-Boson ist ein von der Theorie des Standardmodells vorhergesagtes Teilchen (benannt
nach Peter Higgs). Bisher konnte es noch nicht durch ein Experiment nachgewiesen, die Experimente am Large Hadron Collider in Cern haben jedoch unter anderem die Entdeckung dieses
Teilchens zum Ziel.
Für beide Fälle sind natürlich viele weitere Beispiele denkbar!
Hausaufgabe 4 Nuklearer Unfall in Fukushima
Am 11.03.2011 haben ein schweres Erdbeben und ein Tsunami zu einem nuklearen Unfall in
den Kernkraftwerken im japanischen Fukushima geführt. Neben anderen radioaktiven Stoffen
wurde bei diesem Unfall auch das Gas 137 Cs freigesetzt. Die Menge des freigesetzten Gases
waren etwa 2 × 1025 Atome. In einem ungünstigen Fall könnte man annehmen, dass Winde und
Strömungen diese Atome gleichmäßig in der Erdatmosphäre verteilen. Versuche abzuschätzen,
wie viele dieser Atome unter dieser Bedingung in 1 m3 Atmosphäre enthalten sind. Bonus: Wie
viele dieser Atome atmet man dann möglicherweise pro Tag ein?
Hinweis: In einem vereinfachten Modell kannst du annehmen, dass die Erdatmosphäre aus einem idealen Gas besteht, und bis zu einer Höhe von 10 km die gleiche Dichte hat. Die Erde hat
einen Radius von ca. 6400 km. In 22.4 L eines idealen Gases sind 6.022 × 1023 Atome enthalten.
Lösungshinweise:
Atmosphären-Volumen berechnen (Volumen der 10 km Kugelschale):
VAt ≈ 5 × 1018 m3
9
Mit der Zahl der freigesetzten Cäsium-Atome NCs ergibt sich die Zahl der Atome pro Kubikmeter:
1
NCs
= 4 × 106 3
VAt
m
Ein Erwachsener atmet rund 8 L pro Minute. Pro Tag wird folgende Zahl Cäsium-Atome eingeatmet:
8 L · 24 h NCs
= 4.6 × 1010
min VAt
Anmerkung: Wenn man Atome zählt, kommen scheinbar sehr große Zahlen zustande. In Relation
zur Gesamtzahl der Atome ist diese Menge jedoch eher gering.
10