Tut Ha 7

Kinematik und Dynamik (Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 2015, KW 23
Gemischte Übungen
Seite 1
Version vom 29. Mai 2015
7. Tutorium
Rechenaufgaben
95. Ein Massepunkt m bewegt sich reibungsfrei auf der skiz- m
zierten Unterlage. Auf dem ebenen Teil der Bahn beträgt
seine Geschwindigkeit v0 .
v0
ϕ
(a) Bei welchem Winkel ϕ1 hebt der Massepunkt von der
Unterlage ab?
g
r
(b) Wie hoch müßte die Geschwindigkeit v0 mindestens
sein, damit der Massepunkt bereits bei ϕ2 = 0 abhebt?
Gegeben: g, m, r, v0 .
Hausaufgaben
64. Zwei Kugeln verschiedener Masse m1 und m2
und den Geschwindigkeiten v1− und v2− stoßen wie in der Skizze angegeben zentral zusammen. Alle Vorgänge verlaufen reibungsfrei
und der Stoß ist außerdem vollelastisch.
(a) Geben Sie die Geschwindigkeiten v 1− m1
und v 2− der Kugeln vor dem Stoß im kartesischen Koordinatensystem an.
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten
und v 2+ der Kugeln nach dem Stoß.
α
v1−
m2
0
m1
v2−
v 1+
m1
(c) Wie muss das Massenverhältnis m
2
gewählt werden, damit sich die Kugel
mit der Masse m2 nach dem Stoß unter dem Winkel α = 45◦ weiterbewegt,
wenn die Geschwindigkeiten vor dem
Stoß betragsmäßig gleich sind (v1− =
v2− )?
Geg.: m1 , m2 , v1− , v2−
y
g
m2
x
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Version vom 29. Mai 2015
Kurzfragen
(a) Geben Sie die Maßeinheiten folgender Größen ausschließlich in den Einheiten 1, kg, m
und s an:
Größe
Maßeinheit
Massenträgheitsmoment ΘS
Federsteifigkeit der Dehnfeder c
kinetische Energie K
Erregerkreisfrequenz Ω
(b) Berechnen Sie die Arbeit WAB , die die Kraft Fw , die immer in Richtung der Bahn (ein
Viertelkreis) gerichtet ist, zwischen den Punkten A und B leistet.
Gegeben: k, m, R, Fw (s) = 4mk
s
π2
B
R
Fw
WAB =
s
A
(c) Ein Lastkahn wird in einem Kanal von einer Lokomotive gezogen.
Das Zugseil bildet einen Winkel von α = 30◦ zu den Schienen. Die
Seilkraft beträgt FS = 8 kN . Wie groß ist die Zugleistung für eine
Geschwindigkeit von v = 3, 6 km/h ?
P =
α
W
(d) Die Geschwindigkeit eines Punktes in einer Richtung sei mit den Konstanten A und B
vorgegeben als v(x). Berechnen Sie a(x), also die Beschleunigung abhängig vom Ort.
v(x) = 2A + Bx2 a(x) =
4m
(e) Zwei Punktmassen sind durch einen starren, masselosen Rahmen verbunden, der im Punkt A gelenkig
~ (A) des Sygelagert ist. Geben Sie den Drehimpuls L
stems bezüglich A an, wenn sich die Masse m mit der
Geschwindigkeit v bewegt:
~ey
A
~ez
~ (A) =
L
v
l
2
~ex
l
m
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Gemischte Übungen
Gegeben: m, l, v
(f) Tragen Sie im dargestellten
Freischnitt alle fehlenden
Kräfte ein.
c
c
g
Freischnitt:
m2
m1
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m1 g
µ2 = 0
µ1 6= 0
m2 g
Gegeben: m1 , m2 , c, g
x
(g) Eine Masse m bewegt sich unter der Einwirkung der
Kraft F (t) = F̂ sin ωt auf einem reibungsfreien Untergrund. Geben Sie ausgehend von den Anfangsbedingungen x(t = 0) = 0 und ẋ(t = 0) = ẋ0 das Bewegungsgesetz x(t) der Masse m an:
m
F (t)
µ=0
Gegeben: m, F (t) = F̂ sin ωt, x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = ẋ0
l(t)
(h) Geben Sie den Ortsvektor ~rP (t) des Punktes P in der
eingezeichneten kartesischen ~ex , ~ey -Basis an:
P
α2
~ey
R
α1
~ex
Gegeben: R, l(t), α1 (t), α2 (t)
(i) Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Der Impulserhaltungssatz p = Σmi v i = const.
gilt:
wenn nur äußere konservative Kräfte wirken
wenn nur innere konservative Kräfte wirken
wenn das System offen ist
wenn nur innere nichtkonservative Kräfte wirken
wenn das System abgeschlossen ist
wenn Summe aller äußeren Kräfte gleich Null ist
(j) Eine elastische Kugel fällt aus der Höhe h1 = 12 m auf
eine starre ebene Fläche. Nach dem Stoß erreicht sie eine
Höhe von h2 = 3 m. Wie groß ist die Stoßzahl e?
h1
g
h2
e=
Zusatzaufgabe 7:
Abb. 1: Zur Berechnung des Drehimpulses für einen Massenpunkt bezüglich eines raumfesten Punktes 1
In Abb. 1 bewegt sich ein Massenpunkt der Masse mA mit dem Geschwindigkeitsbetrag v A .
Die augenblickliche Richtung der Geschwindigkeit kann Abb. 1 entnommen werden.
a) Berechnen Sie den Drehimpulsvektor der Masse mA bezüglich des festen Punktes P.
b) Wie groß ist der Drehimpulsvektor der Masse mA bezüglich des Ursprungs O?
Gegeben: mA  10 kg ; vA  14 ms ; xA  4 m ; y A  5m ; z A  6 m ; xB  8m ; yB  9 m ;
xP  3m ; yP  2 m ; zP  5m
1
Originalaufgabe aus Technische Mechanik III, Dynamik, Russel C. Hibbeler, Pearson Studium, 2006
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Tutorium
Lösungshinweise Seite 1
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Mit Gleichung (2) folgt:
FN (ϕ) = mg cos ϕ − m
Aufgabe 95
(0)
v02
+ 2g(1 − cos ϕ)
r
mv02
+ mg cos ϕ − 2mg(1 − cos ϕ)
r
2
2
v0
.
= −m + 3mg cos ϕ −
r
3
=−
NN
(1)
ϕ
er
eϕ
(a) Durch Vergleich der Energiezustände (0) und (1) entsteht eine ortsimplizite Gleichung für ϕ̇. Ausgangspunkt
ist also der Energiesatz:
T0 + U 0 = T1 + U 1
NN
Letztendlich ergibt sich daraus der gesuchte Winkel, bei
dem die Kugel abhebt:
2
1 v0
+2 .
ϕ1 = arccos
3 gr
(b) In diesem Aufgabenteil ist die Mindestgeschwindigkeit
v0 gesucht, die bereits ein Abheben des Massenpunktes bei
dem Ausgangswinkel ϕ2 = 0 hervorrufen soll. Die entsprechende Bedingung heißt, daß FN (ϕ2 = 0) = 0 sein muß,
sodaß sich aus der Gleichung (4)
r
r cos ϕ
Wenn die Kugel abheben soll, muß gerade die Kontaktkraft verschwinden; die Forderung lautet damit FN (ϕ1 ) =
0:
2 !
v02
=0
−m + 3mg cos ϕ1 −
r
3
mv02
3mg cos ϕ1 − 2mg =
r
1 v02
⇐⇒ cos ϕ1 =
+2
3 gr
(1)
Durch entsprechendes Setzen des Nullniveaus (NN), ist
die potentielle Energie im Ausgangszustand identisch null.
r
−m
ϕ
1
1
mv 2 = m( rϕ̇ )2 − mgr(1 − cos ϕ)
2 0
2 |{z}
v02 = gr
√
v0 = ± gr
ergibt. Die Geschwindigkeit muß also mindestens v0 =
√
gr betragen, damit die Normalkraft verschwindet.
ẋ
v02
+ 2g(1 − cos ϕ).
r
v02
2
=0
+ 3mg cos 0 −
r
3
(2)
Umformen nach der Tangentialbeschleunigung ergibt
rϕ̇2 =
(4)
(3)
Hausaufgaben
Aufgabe 64
FN
ϕ
er
(a) ges.: Geschwindigkeit vor dem Stoß
G
für m1 :
v 1−
eϕ
Nun muß eine Bedingung für das Abheben der Kugel er- für m :
2
stellt werden, für die die Kontaktkraft FN (ϕ) die entscheidende Größe ist. Dazu nutzt man das zweite Newtonsche
Grundgesetz in eϕ −Richtung:
mar = FN − mg cos ϕ
ar = −rϕ̇
2
v 2−
=
−
v1x
−
v1y
=
−
v2x
−
v2y
=
v1−
0
(5)
=
0
v2−
(6)
(b) ges.: Geschwindigkeit nach dem Stoß:
(siehe Aufgabe 1, Kreisbewegung)
für m1 :
2
−mrϕ̇ = FN − mg cos ϕ
2
FN (ϕ, ϕ̇) = mg cos ϕ − mrϕ̇
v 1+
+
v
= 1x
+
v1y
(7)
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Gemischte Übungen
für m2 :
v 2+ =
+
v2x
+
v2y
(8)
Berechnung mit Geschwindigkeitsformeln:
−
+
−
= v1x
v1x
m2 (1 + e) −
−
)
(v − v2x
m1 + m2 1x |{z}
(9)
=0
e = 1, vollelastischer Stoß
+
v1x
=
⇒
−
v1x
(m1 − m2 )
m1 + m2
(10)
m1 (1 + e) −
−
+
−
= v2x +
v2x
)
(v − v2x
|{z} m1 + m2 1x |{z}
=0
(11)
=0
−
2m1 v1x
+
=
v2x
⇒
m1 + m2
(12)
da Stoßnormale senkrecht auf y-Richtung, folgt:
+
−
=0
= v1y
v1y
(13)
−
+
v2y
= v2y
= v2
⇒
v+
1 =
1 −m2
v1 m
m1 +m2
0
(14)
v+
2 =
1
v1 m2m
1 +m2
v2
(15)
(c) ges.: Massenverhältnis
+
v2y
m1
m2
für α = 45◦
!
◦
+ = tan 45 = 1
v2x
m1 + m2
=
2m1
tan α =
⇒
m1
=1
m2
(16)
(17)
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