ComptonEffekt - Herleitung

Der Compton-Effekt
Der Compton-Effekt bezeichnet ein Phänomen, daß sich ergibt, wenn Photonen auf (möglichst wenig gebundene)
Elektronen treffen. Das Auftreffen der Photonen auf die Elektronen ruft elastische und unelastische Stöße hervor.
Durch die unelastischen Stöße, d.h. bei Energieabgabe an das gestoßene Elektron, ergibt sich nach dem Zusammenstoß neben der Strahlung mit der ursprünglichen Wellenlänge noch eine zweite, energieärmere Strahlung. Um diesen
Effekt zu berechnen, braucht man folgende Formeln:
Energie des Elektrons vor dem Stoß:
Energie nach dem Stoß:
E 0 e = m0 e c 2
E e = me c 2
Energie des Photons vor dem Stoß:
Energie nach dem Stoß:
E ′ph = hf ′
E ph = hf
Energieerhaltungssatz:
Impulserhaltungssatz:
v
v
v
p ph = p ′ph + pe
E ph + E 0 e = E ′ph + Ee
hf + m0e c 2 = hf ′ + Ee ⇒ Ee2 = (hf + m0e c 2 − hf ′) 2
Einfallendes
Photon
Gestreutes
Photon
Gestoßenes
Elektron
Die nebenstehende Skizze ist ein
Impulsdiagramm und verdeutlicht
den Vektorcharakter der Impulse, für
die der Impulserhaltungssatz gilt!
Gestoßenes
Elektron
Kosinussatz:
pe2 = p 2ph + p ′ph2 − 2 p ph p ′ph cos ϕ
Impuls-Energie-Beziehung
(Kann hier nicht bewiesen werden; folgt aus der speziellen Relativitätstheorie EINSTEINs!)
Ee2 − (cp e ) 2 = E 02e → E e2 − p e2 c 2 = m02e c 4
Aus dem Energieerhaltungssatz und Kosinussatz in Impuls-Energie-Beziehung:
(hf − hf ′ + m0 e c 2 ) 2 − ( p 2ph + p ′ph2 − 2 p ph p ′ph cos ϕ )c 2 = m02e c 4
Einsetzen für Impulse:
hf ′
hf hf ′
 hf

(hf − hf ′ + m0e c 2 ) 2 − ( ) 2 + ( ) 2 − 2( )( ) cos ϕ  c 2 = m02e c 4
c
c
c
 c

2
2
2
2
2
2
′ 0 e c + hfm0 e c 2 − hf m
′ 0 e c 2 + ( m0 e c 2 ) 2
⇒ (hf ) − h ff ′ + hfmoe c − h ff ′ + (hf ′) − hf m
− (hf ) 2 − (hf ′) 2 + 2h 2 ff ′ cos ϕ = m02e c 4
′ 0e c 2 − 2h 2 ff ′ + 2h 2 ff ′ cos ϕ = 0
⇒ 2hfm0e c 2 − 2hf m
⇔ m0e c 2 ( f − f ′) = hff ′(1 − cos ϕ )
⇔
f − f′
h
1 1
h
(1 − cos ϕ ) ⇔
(1 − cos ϕ )
=
− =
2
ff ′
f ′ f m0 e c 2
m0 e c
λ′ − λ =
h
h
(1 − cos ϕ ) ⇒ ∆λ =
(1 − cos ϕ )
m0 e c
m0 e c
Compton - Wellenlänge
Die Wellenlängenänderung ∆λ, die sich bei
ϕ = 90° ergibt, wird Compton-Wellenlänge genannt:
∆λ = λ c =
h
≈ 2,43 * 10 −12 m = 2,43 pm
m0 e c