gesetz magnetismus
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Magnetismus EM 63 Elektrischer Fluß 64 Elektrischer Fluß, Gauss‘sches Gesetz 65 Magnetischer Fluß 66 Beispiel: magnetischer Fluß 67 Verschiebungsstrom 68 Magnetisches Moment bewegter Ladungen 69 Magnetisches Moment von Elektronen 70 Magnetische Induktion 71 Lenzsche Regel 72 Generator und Motor 73 fh-pw Elektrischer Fluß Φ = E ⋅ A = E ⋅ A ⋅ cosθ Der elektrische Fluß durch eine Fläche A ist gleich dem Skalarprodukt des elektrischen Feldes durch diese Fläche mit der Flächennormale der Fläche A Allgemeine Form : ∆Ai θ Ei Φ = lim ∆Ai → 0 ∑ E ⋅ ∆A i i i = ∫ E ⋅ dA = ∫ E Oberfläche normal Oberfläche ⋅ dA Elektrischer Fluß ist > 0 wenn mehr Feldlinien durch die Oberfläche austreten (d.h. in Richtung der Flächennormale), als in das Volumen eintreten. EM 64 fh-pw Elektrischer Fluß, Gauss‘sches Gesetz Ladung q im Zentrum einer Kugel q r2 Feldlinien zeigen radial nach außen und stehen senkrecht auf die Kugeloberfläche Elektrisches Feld im Abstand r : E = k r r Elektrischer Fluß durch die Kugeloberfläche : Φ = ∫ EdA = ∫ EdA =E ∫ dA r r EdA = EdA da E dA ( Φ = E ∫ dA = k ) q q 2 q = 4 π = 4 π = r kq dA k ε0 r2 ∫ r2 q Gauss' sche Gesetz : Φ = ε0 EM 65 k= 1 , ε 0 = 8.854 ⋅ 10 −12 C 2 N −1m − 2 4πε 0 Der Fluß durch eine geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung dividiert durch ε 0 . fh-pw Magnetischer Fluß ∆Ai Magnetisch er Fluß : θ Bi B = ∫ B ⋅ dA = ∫ B ⋅ dA ⋅ cos θ Der magnetisch e Fluß ist maximal, wenn B parallel zur Flächennor malen (cos θ = 1) Wenn keine magnetisch en Feldlinien durch die Fläche passieren (z.B. : B Oberfläche ), dann ist der magnetisch e Fluß gleich Null. SI - Einheit des magnetisch en Flusses : Weber (Wb), 1 Wb = 1 T m 2 Magnetisch er Fluß durch eine geschlosse ne Oberfläche : B EM 66 = ∫ B ⋅ dA = 0 Gauss’ sches Gesetz des Magnetismu s Magnetisch e Feldlinien sind geschlosse n! fh-pw Beispiel: magnetischer Fluß Rechteckig e Leiterschl eife im Magnetfeld eines stromführe nden Leiters ges. : Magnetisch er Fluß durch Leiterschl eife r b Magnetfeld B (r ) = r0 a µ0I 2π r µ0 I Magnetisch er Fluß Φ B = ∫ BdA = ∫ dA 2π r Integratio n erfolgt in r - Richtung : dA = b ⋅ dr r0 + a µ I r0 + a 1 µ0 I µ0 I µ 0 Ib 0 ΦB = ∫ ⋅ bdr = ln r dA = ∫ b⋅∫ dr = r r 0 0 2π r 2π r 2π 2π r Rechenrege l : ln a − ln b = ln EM 67 r0 + a r0 µ 0 Ib r0 + a = ln 2π r0 a b fh-pw Verschiebungsstrom Magnetisch es Feld des Leiters : ∫ Bds = µ0 I C Ampere' sches Gesetz Ampere' sches Gesetz : Integral von Bd s entlang des Weges C ist gleich µ 0 × Strom I , der durch eine beliebige von C begrenzte Fläche geht. ABER : ∫ B ds = 0 ∫ Bds = µ und C ,F 1 0 I !! C ,F 2 Maxwell : zusätzlicher Term im Ampere'sche Gesetz ist notwendig(Verschiebungsstrom, I d ) ∫ Bds = µ0 (I + I d ) mit I d = ε 0 C dΦ und Φ = ∫ EdA (elektrischer Fluß) dt Beispiel Kondensato r, Fläche A : Φ = ∫ E dA = EA = Id = ε0 dΦ dQ = dt dt Verschiebu ngsstrom = Q ε0 E ⊥A und E = Q für Kondensato r ε0A dQ ≡ Strom durch Fläche F1 dt Magnetisch e Felder werden durch Ströme und wechselnde elektrische Felder verursacht EM 68 fh-pw Magnetisches Moment bewegter Ladungen Bewegte Ladungen verursache n ein Magnetfeld - was ist mit einem Elektron, das sich um einen Atomkern bewegt? L r A Betr. Masse m mit Ladung q auf einer Kreisbahn r q Umlaufzeit der Ladung : T = 2π ω ω : Winkelges chw. Geschwindi gkeit v = 2 rπ T = ω r Strom = bewegte Ladung pro Zeit : I = q T = qω 2π = qv 2π r Magnetisch es Moment µ : µ = I ⋅ A = qv 1 ⋅ r 2π = qvr 2π r 2 q L 2m Das magnetisch e Moment µ einer Ladung, die sich auf einer Kreisbahn bewegt, ist proportion al zum Drehimpuls L der rotierende n Masse Drehmoment L der Masse auf der Kreisbahn : L = mv ⋅ r EM 69 → µ= fh-pw Magnetisches Moment von Elektronen e L L = Bahndrehim puls des Elektrons 2m Quantenthe orie erlaubt nur bestimmte (quantisie rte) Werte für L : L = 0, h , 2h , 3h, ... Elektron auf Kreisbahn um den Atomkern : µ= ⇒ kleinstes erlaubtes magnetisch es Moment ( ≠ 0) : µ = e h 2m Elektron besitzen nicht nur einen Bahndrehim puls, sondern auch einen " Spin" (Eigendreh impuls) µ Spin Klassische Erklärung : Kugel mit der Ladung eines Elektrons dreht sich um eine innere Achse (jedoch nur die Quantenmec hanik liefert korrekte Erklärung für den Spin der Elektronen ) Spin der Elektronen : S = h 1 h = 2 2π 2 h = Planck' sche Konstante, h = 6,626 ⋅10 −34 Js Magnetisch es Moment eines Elektrons : µ B = EM 70 eh = 9,27 ⋅10 −24 JT −1 " Bohr' sches Magneton" 2m fh-pw Magnetische Induktion Faraday und Henry: „Durch Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife wird in dieser Leiterschleife eine Spannung induziert“ Induktions spannung : U = ∫ E ⋅ dl = − C dΦ B dt Faradaysch es Gesetz Minuszeich en aufgrund der Lenzschen Regel Wie kann der magnetische Fluß durch eine Leiterschleife verändert werden? ⇒ Dauermagnet auf die Schleife zu- und wegbewegen ⇒ Strom verändern, der den magnetischen Fluß verursacht ⇒ Schleife im inhomogenen Magnetfeld bewegen ⇒ Orientierung der Schleife im Magnetfeld verändern ⇒ Größe der Leiterschleife verändern EM 71 fh-pw Lenzsche Regel Die durch eine magnetische Flußänderung hervorgerufene induzierte Spannung, sowie der dadurch hervorgerufene Strom, sind stets so gerichtet, daß sie ihrer Ursache entgegenwirken. Magnet bewegt sich in Richtung des leitenden Ringes Im Ring wird ein Strom induziert, der selbst ein Magnetfeld erzeugt Der dadurch entstehend e magnetisch e Fluß wirkt der Flußänderung durch die Annäherun g des Magneten entgegen Erklärung für dieses Verhalten : Energieerh altungssatz EM 72 fh-pw Generator und Motor Rechteckig e Leiterschl eife wird im Magnetfeld mit der Winkelgesc hindigkeit ω gedreht B N ω ⇒ in der Schleife wird eine Spannung induziert S magnetisch er Fluß Φ B = B ⋅ A cos θ = B ⋅ A cos ωt A = Flächennormale d dΦ B = − AB cos ωt = AB ⋅ω sin ωt dt dt bei n Windungen : U = n ⋅ AB ⋅ ω sin ωt Induzierte Spannung : U = − U Maximale Spannung bei : U = n ⋅ AB ⋅ ω bei sin ωt = 1 bzw. θ = 90 °, 270 ° wenn B Leiterschl eife EM 73 t fh-pw
