2 - Verlag Handwerk und Technik

1
Kinematik
Zur vollständigen Kennzeichnung einer Geschwindigkeit sind demnach außer dem Betrag noch Angaben über Richtung und Richtungssinn erforderlich1. Eine solche physikalische Größe bezeichnet man als
Vektor (gerichtete Größe). Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt (▶ Bild 1).
Die Länge des Pfeils ist ein Maß für
den Betrag der Geschwindigkeit. Der
Zusammenhang zwischen Pfeillänge
und Betrag (Größe) der Geschwindigkeit wird durch einen Geschwindigkeitsmaßstab ausgedrückt. Die Pfeilachse gibt die Richtung, die Pfeilspitze
den Richtungssinn der Geschwindigkeit an.
a) allgemeine Darstellung
b) fahrendes Auto
c) fallender
Körper
Bild 1 Beispiele für die Vektordarstellung von Geschwindigkeiten
unterschiedlicher Größe und Richtung
■ Lehrbeispiel 1
Ein Lkw durchfährt eine 700 m lange Steigung mit der konstanten Geschwindigkeit v = 40 km/h. Am Beginn der Steigung überholt ihn ein Pkw, welcher die Steigung in der Zeit t = 40 s gleichförmig durchfährt.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pkw in km/h?
b) Wieviel Minuten benötigt der Lkw zum Durchfahren der Steigung?
c) Wie groß ist der Abstand sa zwischen Lkw und Pkw, wenn der Pkw die Steigung durchfahren hat?
Lösung:
a) Die Geschwindigkeit des Pkw beträgt:
1
_____
km
1 000
s 700 m
m
3 600 km
v = _ = ______ = 17,5 __ = 17,5 __________ = 17,5 _____ ___
t
40 s
s
1 000 h
1
_____
h
3 600
km
km
v = 17,5 · 3,6 ___ = 63 ___
h
h
b) Aus v = s/t folgt für die Fahrzeit des Lkw:
700 m
700 m
700 · 60
s
t = __ = ________ = __________ = ________ min = 1,05 min
v 40 km/h _________
40 000
40 000 m
60 min
c) In der Zeit t = 40 s, die der Pkw zum Durchfahren der 700 m langen Steigung benötigt, legt der Lkw folgenden Weg
zurück:
km
1 000 m
sLkw = vLkw · t = 40 ___ · 40 s = 40 · ________ · 40 s = 444 m
h
3 600 s
Damit beträgt der Abstand zwischen Pkw und Lkw:
sa = sPkw – sLkw = 700 m – 444 m = 256 m
1
Vielfach beinhaltet der Begriff Richtung auch gleich den Richtungssinn, dann müssen von der Geschwindigkeit Größe
und Richtung bekannt sein.
2
2511_buch.indb 2
31.08.2011 07:55:04
2
Statik
2.4
Allgemeines Kräftesystem
Ein allgemeines Kräftesystem liegt vor, wenn die Kräfte – auch wenn sie auf ihrer Wirklinie verschoben
werden – keinen gemeinsamen Schnittpunkt bilden, also keinen gemeinsamen Angriffspunkt haben
(▶ Bild 1 a).
Schon zwei parallele Kräfte (▶ Bild 1 b) bilden ein allgemeines Kräftesystem, weil ihr Schnittpunkt im
Unendlichen liegt. ▶ Bild 1c zeigt, wie ein Träger mit nur einer Belastungskraft und dazu parallelen
Reaktionskräften ein allgemeines Kräftesystem bildet.
a) Welle mit vier verschieden gerichteten Belastungskräften
Bild 1
b) Welle mit zwei parallelen
Belastungskräften
c) Träger mit einer Belastungskraft und dazu parallelen Reaktionskräften
Beispiele für allgemeine Kräftesysteme
2.4.1
Moment und Kräftepaar
Aufgabe:
Eine schwergängige Schraube soll mit einem Gabelschlüssel gelöst werden. Wie kann die Drehwirkung erhöht werden?
Lösung:
Entweder greift man mit beiden Händen an (Vergrößerung
Bild 2 Gabelschlüssel mit aufgestecktem
von F), oder man steckt ein Stück Rohr auf den Griff des
Rohr zur Erzeugung einer großen
Drehwirkung
Schlüssels und greift am Rohrende an (Vergrößerung von k).
Die Drehkraftwirkung auf die Schraube ist also um so größer, je größer die Kraft F und der Abstand k sind.
Den Abstand k bezeichnet man als Wirkabstand. Es ist der senkrecht gemessene, also kürzeste Abstand
zwischen dem Drehpunkt (Schraubenmitte) und der Wirklinie der Kraft F.
Die Drehkraftwirkung auf die Schraube bezeichnet man als Moment M. Die Größe des Moments ist
gleich dem Produkt aus Kraft und Wirkabstand. Damit wird das Moment:
g
5
M=F·k
M Moment in Nm
F Kraft in N
k Wirkabstand in m
Tritt eine Drehung auf, wie z. B. bei einem Kettenrad, einer Kurbel (▶ Bild 4) oder einem Motor, so bezeichnet man das Moment als Drehmoment M.
Tritt keine Drehung auf, wie z. B. bei dem eingespannten Träger in ▶ Bild 3, dann bezeichnet man das
auftretende Moment als Biegemoment Mb (b = Biegung) oder allgemein als statisches Moment M.1
Bild 3
1
Statisches Moment bei einem eingespannten Träger
Bild 4 Drehmoment bei Kettenrad und Kurbel
Vielfach benutzt man den Ausdruck Drehmoment auch für statische Momente. Dies ist möglich, weil zwischen beiden in der Ursache und in der Berechnung kein Unterschied besteht.
42
2511_buch.indb 42
31.08.2011 07:55:18
3
Kinetik
Unter Energie versteht man das Arbeitsvermögen, also den Zustand, unter Arbeit den Vorgang selbst.
Als Energie bezeichnet man die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten (gespeicherte Arbeit).
Energie kann in vielen Arten auftreten. Im Brennstoff ist chemische Energie gespeichert, die durch Verbrennen frei wird, d. h. in Wärmeenergie umgewandelt wird. Die mechanische Energie des Wassers im
oberen Becken des Pumpspeicherwerkes wird durch Turbinen und Generatoren in elektrische Energie
umgewandelt, welche wiederum in Licht, Wärme oder mechanische Energie umgewandelt werden
kann.
Bei Energieumwandlungen geht keine Energie verloren, wird aber auch keine Energie hinzugewonnen (Satz von der Erhaltung der Energie).
Deshalb ist es nicht richtig, von Energieerzeugern zu sprechen. Energie kann nur umgewandelt werden.
Dabei wird ein Teil der Energie in eine für den bestimmten Zweck unbrauchbare Form umgewandelt,
z. B. beim Verbrennungsmotor in Wärme.
Da Energie gespeicherte Arbeit ist, haben alle Energieformen die Einheit der Arbeit. Im Internationalen
Einheitensystem ist die Energieeinheit das Joule (J).
Für Umrechnungen gilt:
1 J = 1 Nm = 1 Ws
In der Elektrotechnik wird meistens ein Vielfaches der Wattsekunde (Ws) als Einheit für die Energie verwendet.
1 kWh = 3 600 kWs = 3 600 kNm = 3 600 kJ
3.2.5.2
Potentielle und kinetische Energie
Beim Hochpumpen des Wassers ins obere Becken eines Pumpspeicherwerks bzw. beim Anheben eines
Fallhammers wird Arbeit verrichtet, die als Energie zur Verfügung steht. Die Fähigkeit eines Körpers,
dank seiner erhöhten Lage Arbeit zu verrichten, wird als Energie der Lage oder potentielle Energie Wp
bezeichnet.
Strömt das Wasser abwärts bzw. fällt der Fallhammer, so kann durch diese Bewegung Arbeit verrichtet
werden. Die Fähigkeit eines bewegten Körpers, Arbeit zu verrichten, wird als Energie der Bewegung
oder kinetische Energie Wk bezeichnet.
Zum gleichförmigen Anheben eines Körpers ist die
Kraft F1 = G längs des Weges h erforderlich. Die
verrichtete Arbeit beträgt nach dem Anheben W =
Wp = G · h. Dies ist auch der Fall, wenn der Körper
auf einer schiefen Ebene nach oben bewegt wird
(▶ Bild 1).
In diesem Fall ist:
h
W = Wp = F · s = G · sin α · _____ = G · h
sin α
Damit gilt für die potentielle Energie:
13
Wp = G · h
Wp potentielle Energie in J
G Gewichtskraft in N
h Höhe in m
Bild 1
Potentielle Energie eines Körpers
134
2511_buch.indb 134
31.08.2011 07:55:52
Beanspruchung auf Biegung
4.5.3
Berechnung der axialen Flächen- und Widerstandsmomente
Um das axiale Widerstandsmoment
W berechnen zu können, muss das
axiale Flächenmoment J bekannt
sein. Das Flächenmoment J ist der
Summenausdruck Σ (ΔA · y2).
Wird der Träger hochkant gebogen
(▶ Bild 1), so ist die x-Achse die
Biegeachse. Das Flächenmoment
muss auf diese Achse bezogen
werden:
Jx = Σ (ΔA · y2)
Je weiter die Teilfläche ΔA von der
Biegeachse entfernt ist, desto größer ist ihr Flächenmoment und damit auch ihr Widerstandsmoment.
Bild 1 Lage der Biegeachse bei einem auf Biegung beanspruchten
Träger
Dieselbe Schlussfolgerung kann auch aus der Verteilung der Biegespannung über den Querschnitt gezogen werden (▶ Bild 2, Seite 183). Die von einem Flächenelement zu übertragende Spannung nimmt
von der neutralen Faser zu den Randfasern hin stetig zu. Das Flächenelement ΔA2 mit dem großen Abstand y2 (▶ Bild 1) überträgt ein größeres Biegemoment als das gleich große Flächenelement ΔA1 mit
dem kleinen Abstand y1; sein Anteil ΔA2 · y22 am gesamten Flächenmoment ist größer als der Anteil
ΔA1 · y12.
Daraus zu schließen, dass bei auf Biegung beanspruchten Bauteilen der Werkstoff um so „wertvoller“
wird, je größer sein Abstand von der Biegeachse ist.
Ein Träger mit rechteckigem Querschnitt kann hochkant ein größeres Biegemoment aufnehmen als
flachkant, ein J-Träger mit gleicher Querschnittsfl äche und aus gleichem Werkstoff ein noch größeres;
eine Hohlwelle kann bei gleicher Querschnittsfl äche und gleichem Werkstoff ein größeres Biegemoment aufnehmen als eine Vollwelle (▶ Bild 2).
a) rechteckige Querschnitte
Bild 2
b) kreisförmige Querschnitte
Größe der Flächen- und Widerstandsmomente bei gleichem Flächeninhalt der Querschnitte, aber verschiedenen Querschnittsformen
Je weiter die einzelnen Flächenteilchen der Querschnittsfläche von der Biegeachse entfernt sind,
desto größer ist das axiale Flächenmoment J.
4.5.3.1
Axiale Flächen- und Widerstandsmomente von geometrisch einfachen Flächen und von
Normprofilen
Für geometrisch einfache Querschnittsfl ächen sind in Tabellen Gleichungen zur Berechnung von Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengestellt. Für genormte Profile sind die Flächen- und
Widerstandsmomente ausgerechnet und in den entsprechenden DIN-Normen enthalten.
187
2511_buch.indb 187
31.08.2011 07:56:11
Beanspruchung auf Knickung
4.7.1
4.7.1.1
Elastische Knickung
Knickkraft FK
Die Druckkraft, bei der das Bauteil ausknickt, nennt man die Knickkraft FK.
Erreicht die Druckkraft F den Wert der Knickkraft FK, so knickt das Bauteil aus.
Ausknicken eines Stabes und Durchbiegen eines
Trägers verursachen eine Krümmung der vorher geraden Stab- bzw. Trägerachse. Stab bzw. Träger erfahren eine Durchbiegung f (▶ Bild 1).
Beim Herleiten einer Gleichung für die Knickkraft
kann man von der Gleichung für die Durchbiegung
eines Trägers ausgehen.
Bei Beanspruchung auf Biegung ist die Durchbiegung:
F · k3
f ~ _____
E·J
Mb · k 2
und mit Mb ~ F · k: f ~ ______
E·J
Bei Knickung gilt für das Moment:
M ~ FK · f
Mb = M ~ FK · f gesetzt, ergibt
FK · f · k 2
f ~ ________
E·J
und für die Knickkraft:
E·J
FK ~ ____
k2
Neben E, J und k ist noch die Art der Lagerung des
Stabes für die Größe der Knickkraft FK maßgebend.
Der Stab nach ▶ Bild 2 a wird schon bei einer geringeren Kraft F ausknicken als der Stab nach
▶ Bild 2 b.
Euler1 hat für verschiedene Lagerungen (Belastungsfälle) des Knickstabes Gleichungen für die Knickkraft
entwickelt. Beim Belastungsfall nach ▶ Bild 2 a, der
Belastungsfall II bzw. Grundfall genannt wird, gilt
für die Knickkraft:
π2 · E · J
FK = ________
k2
π2 · E · J
Beim Belastungsfall III (▶ Bild 2 b) ist FK = 2 ________
,
k2
d. h. der Stab knickt erst bei doppelt so großer Kraft
F aus, wie der Stab nach ▶ Bild 2 a.
Nach Euler unterscheidet man 4 mögliche Belastungsfälle, d. h. Lagerungsmöglichkeiten des Stabes
(▶ Tabelle, Seite 244).
1
a) Durchbiegung
eines Trägers
Bild 1
b) Ausknicken
eines Stabes
Durchbiegung eines Trägers und
Ausknicken eines Stabes
π2 · E · J
a) FK = ________
k2
Belastungsfall II
(Grundfall)
π2 · E · J
b) FK = 2 ________
k2
Belastungsfall III
Bild 2 Knickkraft FK bei zwei verschiedenen
Lagerungen des Knickstabes
Leonhard Euler, Mathematiker (1707–1783)
243
2511_buch.indb 243
31.08.2011 07:56:27