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Quantenmechanik I
WS 04/05
Prof. Dr. I.M. Sokolov
14. Februar 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Das
1.1
1.2
1.3
Ende der klassichen Epoche
Klassische Doktrin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundriss der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . .
Lichtwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Interferenz und Beugung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Wellenpakete. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.
1.4 Effekte außerhalb der Reichweite Klassischer Beschreibung .
1.4.1 Realität der Photonen (Lichtquanten) . . . . . . . . .
1.4.2 Atomspektroskopie, und die Schwierigkeiten des klassisischen Rutherford-Modells. . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Bohr’sche Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 12
. 12
2 Korrespondenzprinzip und die ”ältere” Quantentheorie.
2.1 Klassische Theorie des Wasserstoffatoms (das Kepler-Problem)
2.1.1 Das Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Kanonische Transformation. . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bohr’sche Quantenhypothese. . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Anwendungsbeispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sommerfeld’sche Phasenquantisierung und die adiabatische Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
5
5
7
7
8
10
11
13
13
13
14
17
18
18
20
3 Die Materiewellen
3.1 Das freie Wellenpaket. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Erklärung der Quantisierungspostulate . . . . . . . . .
3.2 ”Wellengleichung” für die Materiewellen:
Die Schrödinger-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
23
4 Die
4.1
4.2
4.3
25
25
25
27
27
28
Schrödinger Gleichung.
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
Der Begriff des Operators . . . . . . . .
Schrödinger-Gleichung: Das Kochrezept.
4.3.1 Beispiel: Elektron im Magnetfeld.
4.3.2 Vorsichtsmaßnamen . . . . . . . .
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24
5 Stationäre Zustände
29
5.1 Beispiel: Das Rechteckpotential. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Gebundene Zustände. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.2 Spezialfall: Das δ-Potential. . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.3 Die Parität der Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Statistische Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . 37
5.2.1 Wahrscheinlichkeitsstrom und Erhalten der Norm . . . 37
5.3 Die Wronski-Determinante (Wronskian) . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Allgemeine Struktur des Spektrums eines Schrödinger-Operators. 43
5.5 Streuzustände (kontinuierliches Spektrum) . . . . . . . . . . . 44
5.5.1 Beispiel 1: Das Tunnel-Effekt . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5.2 Beispiel 2: Asymmetrisches Potentialtopf . . . . . . . . 48
5.5.3 Interpretation der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6 Bewegung in periodischem Potential . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6.1 Bloch-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6.2 Kronig-Penney-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.7 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.7.1 Multidimensionaler harmonischer Oszillator . . . . . . 64
5.7.2 Teilchen im Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Klassischer Limes der Quantenmechanik. Quasiklassische N äherung.
67
6.1 Quasiklassische Näherung (WKB-Näherung) . . . . . . . . . . 69
6.1.1 Beispiel: Potentialtopf. Diskretes Spektrum . . . . . . . 72
6.1.2 Quasiklassische Näherung leichgemacht . . . . . . . . . 74
2
6.1.3
Durchdringen eines Potentialwalls. . . . . . . . . . . . 75
7 Operatoren für physikalische Größen in Ortsdarstellung.
7.1 Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten und Impulse
7.2 Die Fluktuationen. Eigenfunktionen und Eigenwerte von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Beispiel: das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators der Drehimpulsprojektion L̂z . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators L̂2 . . .
78
79
83
84
85
87
8 Allgemeine Eigenschaften der Bewegung in einem kugelsymmetrischen Feld.
90
8.1 Bewegung in einem Coulomb-Feld. Diskretes Spektrum . . . . 92
8.1.1 Die räumliche Struktur der Wellenfunktionen . . . . . 97
9 Formalismus der Quantenmechanik und seine Interpretation 99
9.1 Die Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.1.1 Der Raum der Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . 99
9.1.2 Das Rietz’sche Variationsverfahren: . . . . . . . . . . . 101
9.2 Allgemeine Struktur der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . 104
9.2.1 Der Begriff des Hilbert-Raums . . . . . . . . . . . . . . 104
9.3 Hermite’sche Operatoren. Fall des diskreten Spektrums. . . . . 107
9.3.1 Statistische Verteilung der Messresultate . . . . . . . . 109
9.4 Statistik der Messwerten im allgemeinen Fall. . . . . . . . . . 111
9.4.1 Die Eigenfunktionsentwicklung in allgemeinem Fall. . . 113
9.4.2 Ideale Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.4.3 Kommutierende Operatoren und verträgliche Messbaren116
9.4.4 Die Algebra der Kommutatoren . . . . . . . . . . . . . 120
9.4.5 Zeitliche Änderung der statistischen Verteilungen. Bewegungsintegrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.5 Dualer Raum. Ket- und bra-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . 123
9.5.1 Die Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.5.2 Spezielle Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.6 Zustandsvektoren und Operatoren als Matrizen. . . . . . . . . 126
9.6.1 Unitäre Transformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.7 Darstellungen der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . 130
9.7.1 Einige Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3
9.8
9.7.2 Beispiel: Schrödinger-Gl. in Impulsdarstellung . . . .
9.7.3 Weitere Bemerkungen: . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unitäre Transformationen für die zeitliche Änderung eines Zustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.1 Schrödinger-Bild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.2 Heisenberg-Bild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.3 Wechselwirkungsbild. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Zeitunabhängige Störungstheorie
10.1 Störungstheorie in stationären Zuständen mit diskretem Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Nichtentartetes Spektrum . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Entartung/Quasientartung . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Störungstheoretische Grundformel . . . . . . . . . . . . . . .
. 136
. 138
.
.
.
.
140
140
142
146
147
.
.
.
.
148
148
155
160
11 Vielteilchensysteme I
163
11.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Tensorprodukt zweier Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2.1 Observablen im Produktraum . . . . . . . . . . . . . . 167
11.3 Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.4 Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen . . . . 171
11.4.1 Interessante Anwendungsbeispiel: Das Einstein-PodolskyRosen Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4
1
Das Ende der klassichen Epoche
1.1
Klassische Doktrin:
• Stand 1900: Sauber getrennt Teilchen - Felder - Wellen
• Jedes System wird durch eine gewisse Anzahl der dynamischen Variablen beschrieben (Teilchensysteme: Endlichen Zahl der Variablen,
Felder: Unendliche Anzahl (Kontinuum)). Zu jedem Zeitpunkt besitzen diese Variablen wohldefinierte Werte. Die Evolution des Systems ist
eindeutig definiert wenn die Anfangswerte dieser Variablen zu irgendeinen Zeitpunkt vorgegeben sind. Mathematisch ist das dadurch gewährleistet, dass die Systeme durch Systeme von Differenzialgleichungen 1.
Ordnung (Partielle DGl’en . 1. Ordnung) in der Zeit beschrieben werden.
• Korpuskulare Theorie der Materie:
Klass. M echanik &
T hermodynamik
%
T heore der Gasen → Statistische P hysik.
• Wellentheorie der Strahlung: Interferenz- und Diffraktionsphänomene. Elektromagnetische Theorie (Maxwell). Versuche der Unifikation: Hypothese des Ethers (Obsolet). Entstehung der Relativitätstheorie.
1.2
Grundriss der klassischen Mechanik
• Für ein Teilchen genügen 2 Variablen (Koordinate und Geschwindigkeit
/ Impuls) pro Raumdimension. Insgesamt ist der Zustand des Systems
aus mehreren Teilchen (N Koordinaten) als Punkt in Phasenraum der
(verallgemeinerten) Koordinaten/Impulse gegeben:
π = (q1 , ..., qN ; p1 , ..., pN ).
Lagrange’sche Formulierung und Extremale Wirkung: Die LagrangeFunktion L(q, q̇, t) (typischerweise L(q, q̇, t) = T −U , T -kinetische Energie, U -potenziele Energie) definiert das Integral
Z t2
S=
L(q, q̇, t)dt
t1
5
(Wirkung), das entlang der ”richtigen” Trajektorie q(t) extremal (minimal) ist. Daher folgen die Bewegungsgl:
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇
∂q
Z.B. ein Teilchen in einem Potential U (x):
L=
=⇒
mẋ2
− U (x).
2
(1)
d
dU
mẋ +
=0
dt
dx
oder
ma = f.
Wichtige Bemerkung:
p=
∂L
∂ q̇
ist ein (verallgemeinertes) Impuls. Z.B. für (1) erhälte man p = mv.
• Hamilton’sche Formulierung: (N Koordinaten) startet von einer Hamiltonfunktion
X
H(q, p, t) =
pi q̇i − L
Die Hamilton’sche Bewegungsgleichungen
∂H
∂qi
=
∂t
∂pi
∂pi
∂H
= −
∂t
∂qi
Besonders vorteilhaft für konservative Systeme: in diesem Fall ist H =
const und ist gleich der Gesamtenergie des Systems.
• Für die Felder (z.B. Elektromagnetismus) E(r, t), B(r, t) ist Lagrange’sche Formulierung möglich.
• Theorie der Wechselwirkung der Teilchen (Elektronen, J.J. Thomson,
1897) mit EM Felder (Lorentz)
6
1.3
Lichtwellen
Aus den Maxwell-Gleichungen für die Feldvariablen folgt die Wellengleichung
c2
∂2ϕ
=
∆ϕ
∂t2
n2
wobei n = n(r) die Brechzahl des Mediums und c die Lichtgeschwindigkeit
des Vakuums ist (lineare Medien!). u = c/n ist die Lichtgeschwindigkeit in
Medium, sog. Phasengeschwindigkeit. Für n = const ist die spezielle Lsg.
eine ebene Welle
ϕ(r, t) = ϕ0 ei(kr−ωt)
mit
ω
2π
n
= =
.
c
u
λ
Daraus folgen die Ausdrücke für E und B. Die Welle jeder anderen beliebigen
Form kann als Superposition ebener Wellen dargestellt werden:
Z
0
0
ϕ(r, t) = f (k0 )ei(k r−ω(k )t) dk0 .
k=ω
Die Brechzahl kann von ω (oder k) abhängig sein, was die Dispersion verursacht. Die Abhängigkeit ω(k) wird das Dispersionsgesetz genannt.
Bemerkung: Die komplexe Schreibeweise erleichtet mathematische Handhabung.
Tatsächlich sind
E(r, t) =
alle Potenziale und Felder reel,2 so dass z.B.
2
i(kr−ωt+φ)
. Die Energiedichte I = 0 E + µµ0 B ist in der
Re E0 (r, t)e
komplexen Schreibeweise durch I = 41 (0 E∗ E + µµ0 B∗ B) oder 41 0 |E|2 +
1
µµ0 |B|2 gegeben.
4
1.3.1
Interferenz und Beugung
Die wichtigste Eigenschaften der Wellen sind Interferenz und Beugung.
Das Intensitätsbild am Schirm von 2 kohärenten Wellen (gleiche Frequenz,
konstante Phasenverschiebung am jedem Punkt). Beispiel: Fresnel’sche Spiegelversuch. 2 ebene Wellen, die aus unterschiedlichen Richtungen kommen,
(1)
(1)
i(kx x+ky y−ωt)
Ψ1 = Aei(k1 r−ωt) und Ψ2 = Aei(k2 r−ωt). Z.B.
,
in 2D:
Ψ
1 = Ae (2)
(2)
(1)
2
(1)
2
(2)
2
(2)
2
Ψ2 = Aei(kx x+ky y−ωt) mit kx
+ ky
= kx
+ ky
= k 2 . Die
Amplituden summieren sich. Die Intensität am Schirm (x = 0) als Fkt. von
7
2
(1)
(2)
y ist A2 ei(ky y−ωt) + ei(ky y−ωt) = A [1 + cos [(k − b)y]]. Die Intensität ist da
maximal, wo der Unterschied ky − by = 2πn ist.
Beugung: Fraunhofer-Beugung (flache Wellen am Spalt, Doppelspalt, u.s.w.,
Beugung auf Diffraktionsgitter, Röntgenstrahl-Beugung auf Kristallgitter,
u.s.w.). Erklärung: Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt des Raumes, der
von der Welle erreicht wird, ist der Entstehungsort einer neuen Elementarwelle. Der Wellenzustand zu einem späteren Zeitpunkt ist das Ergebnis der
Interferenz aller Elementarwellen.
1.3.2
Wellenpakete. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.
Die typische Situation entspricht einem Wellenpaket einer endllichen räumlichen / zeitlichen Ausdehnung.
Wir betrachten jetzt eine eindimensionale Situation. Nehmen wir an, die
Fkt. f (k) ist groß im k-Bereich von der Breite ∆k um irgendeinen Wert
k. Die Abschätzung des Integrals mit der Methode der stat. Phase ergibt,
dass der maximale Beitrag von der Welle mit der konstanten Phase φ =
k 0 x − ω 0 t kommt, wenn es nicht mehr als 1 Oszillation in dem Bereich ∆k
gibt (wenn es in diesem Bereich viele Oszillationen der Exponentiafkt. gibt,
kompensieren Sie einender, und der Beitrag solcher Schwingungen ist klein).
D.h. ∆k |dφ/dk| . 1.
Da
dφ
dω
=x−t ,
dk
dk
ist die Welle lokalisiert im räumlichen Bereich mit der Abmessung
∆x ' (∆k)−1
um die Mitte des Wellenpakets, das sich anhand der Gl.
x=t
dω
dk
bewegt. Das definitert die Gruppengeschwindigket
vg =
dω
.
dk
A
exp [−(k 0 − k)2 /2(∆k)2 ]. In diesem
Beispiel: Ein Gausspaket. f (k 0 ) = √2π∆k
Fall ist das entsprechende Integral analytisch zu bestimmen:
8
a) ohne Dispersion (u = const)
Z
0
Ψ(x, t) =
f (k 0 )eik (x−ut) dk 0 =
Z
(k 0 − k)2 ik0 (x−ut) 0
A
exp −
e
dk
= √
2(∆k)2
2π∆k
= Aeik(x−ut) exp −(∆k)2 (x − ut)2 .
Das Quadrat der Amplitude (”Intensität”)
|Ψ(x, t)|2 = A2 exp −2(∆k)2 (x − ut)2
beschreibt eine Umschlagsfunktion des Wellenpakets von räumlichen Ausdehnung ∆x ' 1/∆k, deren Mitte sich mit der geschwindigkeit u bewegt.
b) mit Dispersion: ω = ω(k).
Z
0
0
Ψ(x, t) =
f (k 0 )ei(k x−ω(k )t) dk 0 =
Z
(k 0 − k)2 ik0 (x−ω(k0 )t) 0
A
exp −
= √
e
dk
2(∆k)2
2π∆k
mit ω(k 0 ) = ω(k) + (dω/dk)(k 0 − k) + ... = ω(k) + vg (k 0 − k) + .... Variablenwechsel: κ = k 0 − k. Dann erhalten wir
Z
κ2
A
exp −
eiκx+ikx−iωt−vg κt dκ
Ψ(x, t) = √
2(∆k)2
2π∆k
Z
κ2
Aeikx−iωt
exp −
eiκ(x−vg t) dκ
= √
2
2(∆k)
2π∆k
= Aeik(x−ut) exp −(∆k)2 (x − vg t)2 .
und
|Ψ(x, t)|2 = A2 exp −2(∆k)2 (x − vg t)2 .
Die entsprechnde Amplitude (Umschlagsfunktion) beschreibt einen Wellenzug von räumlicher Ausdehnung ∆x ' 1/∆k, deren Mitte sich mit der Geschwindigkeit vg bewegt (Gruppengeschwindigkeit). Die endliche Kohärenzlänge
bewirkt z.B. die Abschwächung der Nebenmaxima bei einer Beugung am Diffraktionsgitter.
9
2. Woche
1.4
Effekte außerhalb der Reichweite Klassischer Beschreibung
• Unverstanden: Atomspektren, Wärmestrahlung, Wärmekapazität (vor
allem der Festkörrper), Photoeffekt, Radioaktivität (1896).
– Zwei Gruppen von Effekten, die auf 2 Klassen der Phänomene
deuten:
Diskrete Energiespektren
Welle-Teilchen Dualismus
Wichtigste experimentelle Tatsachen:
Experimente zur Wärmestrahlung. Die Resultate unerklärlich in Rahmen
der klassischen Thermodynamik + Elektrodynamik. 1900: Planck: Fit
1
2πc2 h
dR
=
5
hc/λkT
dλ
λ e
−1
- spezifische Ausstrahlung pro Intervall der
(R -spezifische Ausstrahlung, dR
dλ
Wellenlänge).
Einführung des Wirkungsquantums. Hypothese: Der Energieaustausch
zwischen Strahlung und Stoff in Form der Energiequanten. Die Energie des
Quantums ist frequenzabhängig
εv = hν
mit
h = 6.626 · 10−34 Js
In folgendem werden wir for allem die Kombination
~=
h
= 1.054 · 10−34 Js
2π
benutzen.
10
1.4.1
Realität der Photonen (Lichtquanten)
ist durch 2 experimentelle Tatsachen belegt: Photoeffect und Compton-Effect.
Hier werden wir nur den ersten diskutieren (Experimentalvorlesung!). 1905:
Erklärung des Photoeffekts durch Einstein. Postulat: Das Licht ist ein
Strom von Teilchen (Photonen) mit Energie hν und Geschwindigkeit c (c '
3·108 m/s). Das erklärt die Tatsache, dass die Geschwindigkeit der emittierten
Elektronen nicht von der Lichtintensität sondern lediglich von der Frequenz
abhängt:
mv 2
= hν − W
2
(W -Austrittarbeit).
• Licht: Welle oder Teilchenstrom?
– Experiment von Meyer und Gerlach (1914). Belichtung des
zerstäubten Metalls bei sehr niedriger Lichtintensität. Wellentheorie führt zu einer Zeitverzögerung zwischen Belichtungsanfang und
Emission (die Zeit, um Energie hv ”anzusammeln”, die unter den
experimentellen Bedingungen mehrere Sekunden betrug). Im Experiment wurde keine Verzögerung gemessen.
– Anderseits, es sind typische Wellenphänome (Beugung, Interferenz) bekannt.
Teilchen-Welle-Dualismus: z.B. ein Doppelspals-(gedanken)-experiment:
a) Teilchenbild
b) Wellenbild
c) Teilchen-Welle Dualsimus: Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort x
zu finden ist proportional zur Intensität der Welle.
Das gleiche Verhaltensmuster ist bei der Lichtquanten, und bei Elektronen
(”Materieteilchen”) zu beobachten.
11
1.4.2
Atomspektroskopie, und die Schwierigkeiten des klassisischen Rutherford-Modells.
• Nach den Experimenten mit Streuung von Teilchen wurde das Atommodel postuliert: Das Atom besteht aus einem kleinen (≤ 10 −4 Å) massiven Kern, der positiv gelagen ist (Ladung +Ze) und Z Elektronen
(leicht, Ladung −e), die sich auf Bahnen der Abmessung ∼ 1 Å bewegen. Die Bahnkurven (analog zu Kepler-Modell der Sonnensystem)
sind Ellipsen.
• Dieses klassisches Modell erklärt nich die bekannten Linienstrukturen
der Atomspektren. Z.B. für das Wasserstoffatoms sind durch die empirische Balmer-Formel gegeben:
1
1
1
=R
−
λ
n2 m 2
mit n fest und m ≥ n + 1. R ist die Rydberg-Konstante, R = 1.097 ·
107 m−1 .
Probleme des Modells:
• Da die Bahnen von Anfangsbedingungen abhängen, soll das Abstrahlverhalten selbst bei gleichen Atomen unterschiedlich sein. Daher sind
die Linienspektern unerklärlich.
• Da die Bewegung auf einer geschlossenen Bahn eine bechleunigte Bewegung ist, sollen die Elektronen EM-Wellen kontinuierlich abstahlen, bis
sie auf den Kern fallen. Selbst die Erklärung der Stabilität der Atome
ist ein Problem.
1.4.3
Bohr’sche Postulate
• Periodische Bewegungen erfolgen in stationären Zuständen mit diskreten Energien (En , Em , ...) ohne Energieabstrahlung
• Übergänge zwischen stationären Zuständen bewirken eine elektromagnetische Strahlung mit der Frequenz hν = En − Em .
12
2
2.1
Korrespondenzprinzip und die ”ältere” Quantentheorie.
Klassische Theorie des Wasserstoffatoms (das KeplerProblem)
Eine der zwei Situationen der Bewegung in einem Zentralfeld, die geschlossene Bahnen aufweist (zweite ist das harmonische Porenzial).
2.1.1
Das Kepler-Problem
(Hier wird angenommen, dass Mkern >> me ). Am besten zu beschreiben in
Polarkoordinaten. Übergang von
L=
zu
L=
mit
m 2
v − U (r)
2
m 2
ṙ + r2 ϑ̇2 + r2 cos2 ϑ φ̇2 − U (r)
2
U (r) = −
e2 1
4πε0 r
Die Hamiltonfkt. des Problems (in Kugelkoordinaten) ist
1 2
1
1
k
2
2
pr + 2 pϑ + 2 2 pφ −
H=
2m
r
r
r sin ϑ
mit k = e2 /4πε0 . Die Koordinate φ ist zyklisch, d.h.
∂H
=0
∂φ
daher ist der dazugehörige Impuls
pφ = mr2 sin2 ϑφ̇
konstant (erhalten). Dieser Impuls fällt mit der z-Komponente Lz des Drehimpuls zusammen. (Bewegungsintegral). Die Bewegung erfolgt in einer festen Ebene. Die Energie E = H ist auch ein Bewegungsintegral.
13
Eleganteste Lösung für die periodische Bewegung: Übergang zu WirkungWinkel Variablen, die neue verallg. Koordinaten und Impulse q̄ = q̄(q, p, t),
p̄ = p̄(q, p, t) und eine neuen Hamiltofkt. H1 = H1 (p̄, q̄, t).
∂H1
∂ q̄i
=
∂t
∂ p̄i
∂ p̄i
∂H1
= −
∂t
∂ q̄i
Die Winkelvariablen sind zyklisch und definieren entsprechende Frequenzen,
die dazugehörige verallgemeinerte Impulse (Wirkungsvariablen) sind konstant, d.h. die stellen die Bewegungsintegrale dar:
∂H1
=0
∂ q̄i
2.1.2
⇔
H1 = H1 (p̄).
Kanonische Transformation.
Die Transformation von alten zu neuen Variablen erfolgt über eine erzeugende
Funktion W (q, p̄, t) so dass
pj =
∂W
;
∂qj
q̄j =
∂W
;
∂ p̄j
H1 = H +
∂W
= E.
∂t
Da pj = ∂W/∂qj , erfüllt W die Hamilton-Jacobi-Differenzialgleichung
∂W
∂W
, ...,
= E = const.
H q1 , ..., qs ;
∂q1
∂qs
Die Gl. bestimmt die q-abhängigkeit der Erzeugende; die neuen Impulse sind
nicht eindeutig festgelegt (s Integrationskonstanten I 1 , ..., Is , zusammengefasst in Wektor I) und können zweckmässig gewählt werden. In unserem Fall
"
2
2
2 #
1 ∂W
1
∂W
k
∂W
1
+ 2
+ 2 2
− =E
2m
∂r
r
∂ϑ
r
r sin ϑ ∂φ
Variablentrennung: W = Wr (r, I)+Wϑ (ϑ, I)+Wφ (φ, I). Da φ shon zyklisch
ist, ist
∂Wφ (φ)
∂W
=
= Iφ ,
pφ =
∂φ
∂φ
14
identisch mit Lz . Daher:
"
2
2 #
1 ∂W
k
∂W
L2z
1
+ 2
+ − +
= E.
2m
∂r
r
∂ϑ
r 2mr2 sin2 ϑ
potentielle + ”zentrifugale” Energie. Sortieren, ×r 2 multiplizieren:
#
"
2
2
2
I
1
∂W
r2 ∂W
φ
.
− kr − Er2 = −
+
2m ∂r
2m
∂ϑ
sin2 ϑ
Linke Seite hängt nur von r ab; rechte Seite nur von ϑ ⇒ beide müssen
konstant sein.
2
Iφ2
∂W
+
= Iϑ2 .
2
∂ϑ
sin ϑ
Iϑ2 ist mit dem Quadrat des Drehimpulses identisch: Iϑ2 = |L|2 . Letzlich,
2
|L|2
∂W
k
+ 2 = 2m E +
.
∂r
r
r
Die neue verallg. Impulse sind die Funktionen der Integrationskonstanten I.
Zweckmässig ist die Wahl von Wirkungsvariablen Ji als verallg. Impulse:
I
I
∂Wi (qi , I)
dqi = Ji (I)
Ji = pi dqi =
∂qi
(Integral ”hin” und ”zurück” über die Periode der Bewegung). Dieser Wahl
wird klar, wenn wir die Eigenschaften der adiabatischen Invarianten diskutieren (siehe Abschnitt...). Die Winkelvariablen sind ωi = ∂W/∂Ji . In unserem
Fall
I
∂Wφ (φ, I)
dφ = 2πIφ ≡ 2πLz .
(2)
Jφ =
∂φ
ist elementar. Ferner,
s
I
I
Iφ2
∂Wϑ (ϑ, I)
2
Jϑ =
dϑ =
Iϑ −
dϑ.
∂ϑ
sin2 ϑ
Da die Periode der ϑ-Bewegung erfolgt zwischen der Umkehrpunkten, wo
pϑ = 0, d.h. sin ϑ1,2 = |Iφ /Iϑ | ergibt die Integration (Tabellenintegral) dann
Jϑ = 2π (Iϑ − Iφ ) ≡ 2π(|L| − Lz ).
15
(3)
Die letzte Wirkungsvariable ist dann
s
I
(Jφ + Jϑ )2
k
dr =
Jr =
−
2m E +
r
4π 2 r2
I q
=
2m (E − Uef f (r))dr
mit
k (Jφ + Jϑ )2
−
r
4π 2 r2
(Potenzial der Coulomb’schen und ”zentrifugalen” Kräfte). Die Umkehrpunkte sind die Nullstellen von E −Uef f (r). Die Integration (sieh Nolting, Band.2,
§3.5.3) ergibt:
r
2m
Jr = −(Jφ + Jϑ ) + πk
.
(4)
−E
(gebunden sind nur die Zustände mit E < 0, sonnst ist die Bewegung nicht
mehr finit).
Die Gl. (2), (3) und (4) lassen sich nach E auflösen:
Uef f =
H1 = E = −
1
me4
.
2
8πε0 (Jr + Jϑ + Jφ )2
Die Frequenzen sind, offensichtlich, entartet
νj = ω̇j =
=
∂H1
∂Jj
1
me4
.
2
4πε0 (Jr + Jϑ + Jφ )3
Die Entartung ist sehr störend, kann aber durch eine nochmalige kanonische
Transformation
(ω, J) → ω̄, J̄
aufgehoben werden, mir der erzeugenden Funktion
F (ω, J̄) = (ωφ − ωϑ )J¯1 + (ωϑ − ωr )J¯2 + ωr J¯3 .
Neue Variablen sind:
ω̄1 = ωφ − ωϑ
ω̄2 = ωϑ − ωr
ω̄3 = ωr
und
16
J¯1 = Jφ
J¯2 = Jϑ + Jφ
,
J¯3 = Jr + Jϑ + Jφ
die neue(ste) Hamilton-Fkt. ist
H2 = E = −
me4 1
,
8πε20 J¯32
und die Frequenzen sind
ν1 = ν2 = 0;
ν3 =
me4 1
.
4πε20 J¯33
Man nennt J¯3 eine Eigenwirkungsvariable: Die zugehörige Frequenz ist nicht
Null und nicht entartet. Für die entsprechende Frequenz ν = ν3 kann man
auch schreiben
1/2
4πε20
ν=
|E|3/2 .
me4
2.1.3
Bohr’sche Quantenhypothese.
(Bohr’sche) Quantenhypothese: Bei einer Eigenwirkungsvariable J ist
die Systembewegung nur auf solchen Bahnen zugelassen, für die
J = nh
(5)
(n = 1, 2, ...) gilt.
Infolgedessen, für das Wasserstoffatom
E=−
me4 1
.
8πε20 h2 n2
Die Kombination
me4
8πε20 h2
definiert die Rydberg-Energie. ER = 13.6eV. Daher ist die Rydberg-konstante
für das Wasserstoffatom
ER =
R∞ =
me4
ER
=
.
hc
8πε20 h3 c
Dieser Wert gilt für den unendlich schweren Kern. Für Wasserstoff (reduzierte
Masse m → mM/(m + M ), M -Kernmasse) ist
RH '
1836
R∞ .
1837
17
2.2
Das Korrespondenzprinzip
Korrespondenzprinzip (unter diesem Namen im Jahre 1923 publiziert, war
aber von Anfang an der Leitfaden aller Bohr’schen Überlegungen):
Klassische Theorie ist asymptotisch korrekt: Im Limes der großen Quantenzahlen (n → ∞) sollten die Resultate der Quantentheorie und der Klassischen Theorie gleich sein.
Die Korrespondenz besteht auch in dem Sinne, dass die Quantentheorie
im Limes ”h → 0” in die klassische Theorie übergehen muss .
2.2.1
Anwendungsbeispiel:
Wasserstoffatom. Es ist experimentell bekannt, dass
1
1
−
hνnm ∝
n2 m 2
ist, die Proportionalitätskonstante ER ist zunächst unbekannt. Wir wissen
aber, dass ein klassisches Elektron, das mit der Frequenz ν sich bewegt, vor
allem mit der Frequenz ν abstrahlt (Elektrodynamik!). D.h.
νn,n+1 ' νkl
und
νn,n+∆n ' νkl ∆n
(Oberschwingungen). Es gilt also
hνn,n+∆n ' En+∆n − En
(6)
oder hνkl ∆n = En+∆n − En .
• Berechnung der Rydberg-Konstante. Aus der Bahlmer-Gl. in Quantenfall bekommt man
ER
dE
'2 3,
dn
n
3
so dass hνqu ' 2ER /n . Im klassischen Fall
νkl =
4πε20
me4
18
1/2
|E|3/2 .
Für n → ∞ soll νqu → νkl stimmen, also gilt
2ER
'
hn3
4πε20
me4
Daher
En = −
und
ER =
1/2
|En |3/2 .
me4 1
8πε20 h2 n2
me4
.
8πε20 h2
• die Hasenoehrl’sche Quantenbedingung. Aus Gl.(6) folgt:
νkl =
1 dEn
.
h dn
Die Integration der Gleichung ergibt
Z
dE
= h(n + α)
νkl
mit Integrationskonstante α. Diese kann nicht aus der Korrespondenzprinzip bestimmt werden, und muss dem experimentellen Befund angepasst werden.
• Die Sommerfeld’sche Phasenquantisierung. Da νi = ∂H1 /∂Ji bekommt man
Ji = Ji (E) = h(ni + αi ).
(Vgl. Gl.(5): Für die Eigenwirkungsvariables ist α = 0). Für das KeplerProblem
Jr = h(nr + αr )
Jϑ = h(nϑ + αϑ )
Jφ = h(nφ + αφ ).
Die Hauptquantenzahl
n = n r + nϑ + nφ
(n = 1, 2, ...) definiert die Energie (wenn man α = αr + αϑ + αφ =
0 wählt). Die Bewegung ist entartet, da E nur durch n definiert ist
19
(klassisch: nur von der großen Halbachse der Orbits bestimmt). Die
anderen Quantenzahlen sind
l = n ϑ + nφ − 1
(Nebenquantenzahl ), 0 ≤ l ≤ n − 1 und
m = nφ
(die magnetische Quantenzahl ), −l ≤ m ≤ l.
2.2.2
Sommerfeld’sche Phasenquantisierung und die adiabatische
Invarianten
Die Ideen von Bohr und Sommerfeld werden klarer, wenn wir ihren Hintergrund erläutern. Die Eigenzustände eines Quantensystems sind sehr langlebig
auf mikroskopischen Skalen (trotz ihre Wechselwirkung mit der Umgebung
ändern sich ihre Energien und folglich ihre Bewegungsperioden T zwischen
der ”Quantensprüngen” nicht). Diese Tatsache soll anhand des Korrespondenzprinzips eine klassische Entsprechung haben.
Nehmen wir an, dass die Hamilton-Fkt. des Systems von einem Parameter λ abhängt. Dieser Parameter ändert sich langsam (”adiabatisch”) unter
Einfluß äußerer Ursachen, so dass
T
dλ
λ.
dt
In solchen Fällen existiert ein Wert (Kombination aus E und λ) der sich
kaum verändert (praktisch konstant bleibt). Solche Kombinationen nennt
man adiabatische Invarianten. Nur solche ”langsamen” Variablen können
”gequantelt” werden.
Eindimensionale Beispiel: Hamilton-Fkt.: H = H(p, q, λ).
dE
∂H
∂H dλ
=
=
.
dt
∂t
∂λ dt
Mittlung über die Periode:
dλ ∂ hHi
dλ 1
d hEi
=
=
dt
dt ∂λ
dt T
20
Z
T
0
∂H
dt.
∂λ
hHi- über die Periode gemittelte Wert von H bei λ = const. Aus q̇ = ∂H/∂p
ergibt sich
dq
dt =
∂H/∂p
und daher
T =
Es gilt:
Z
T
dt =
0
I
dq
.
∂H/∂p
H ∂H/∂λ
dλ ∂H/∂p dq
d hEi
H dq .
=
dt
dt
∂H/∂p
∂p
Wir sehen jetzt p als die Funktion p = p(q; E, λ) an. Da ∂H/∂λ
= − ∂λ
(Jacobi∂H/∂p
Determinant!) und 1/∂H/∂p = ∂p/∂H ≡ ∂p/∂E, es ergibt sich
I ∂p d hEi ∂p dλ
dq = 0.
+
∂E dt
∂λ dt
Diese Gl. hat die Form
mit
d
hJi = 0
dt
I
J = p(q; E, λ)dq.
(J ist zeitabhängig durch λ und E(λ)). Das ist genau unsere Wirkungsvariable!
3
Die Materiewellen
Louis de Broglie (1923).
Das Licht hat eine duale Natur: es ist gleichzeitig eine Welle und ein
Teilchenstrom. Man nimmt an, dass auch die Materie die gleichen Eigenschaften aufweist: Jedes Materieteilchen wird einer Welle gegenübergestellt.
Die Energie E des Teilchens und die Frequenz ω der Welle werden durch
E = ~ω
miteinender verbunden. Wie bei Photonen nehmen wir an, die Intensität der
Welle ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an diesem Ort zu
21
finden. Die klassische Mechanik ist daher eine Näherung, die der Näherung
der geometrischen Optik analog ist. Diese letzte ist korrekt, wenn die Eigenschaften der Medien sich kaum auf der Längenskalen von der Größenordnung
einer Wellenlänge ändern. Die klassische Theorie der Teilchen soll daher in
der Abwesenheit der äußeren Felder, bzw. in sich sehr langsam ändernden
Feldern gültig sein.
3.1
Das freie Wellenpaket.
Einfachste Welle: Ebene Welle ei(kr−ωt) : eine Schwingung breitet sich aus in
der Richtung von Wellenvektor k mit der (Phasen-)geschwindigkeit
u = ω/k.
Da jede Welle als Superposition von ebenen Wellen aufgefasst werden kann,
genügt die Kenntniss von dem Dispersionsgesetz ω(k) für die Beschreibung
der zeitlichen Entwicklung.
Allg.: das Wellenpaket (Superposition) ist gegeben durch
Z
0
0
ψ(r, t) = f (k0 )ei(k r−ω t) dk0 .
oder (ab hier, einfachheitshalbe, 1D)
Z ∞
0
0
ψ(x, t) =
f (k 0 )ei(k x−ω t) dk 0 .
−∞
Nehmen wir an, die Fkt. f (k) ist groß im k-Bereich von der Breite ∆k um
irgendeinen Wert k. Die Gruppengeschwindigket
dω
dk
ist mit der Teilchengeschw. im klassischen Limes gleichgesetzt. Da diese gleich
vg =
v=
dE
dp
ist, bekommen wir
p = ~k.
In allen Dimensionen
E = ~ω,
p = ~k.
Diese Zusammenhänge gelten auch relativistisch.
Diese Wellen sind reell! Beugungsexperimente:
22
(7)
• Elektronenbeugung:
– Davisson & Germer (1927) - Monokristalle, von Laue-Beugung
– G.P. Thomson (1928) Polykristalline Körper, Debye-Scherer-Bild
• Beugung von monoenergetischen Strahlen von He und H2 , Stern (1932).
• Neutronenbeugung (Neutronen müßen erst entdekt werden!).
In einem nicht-relativistischen Fall in sich langsam änderndem Potential
(1d) ist
1p
p
2m [E − U (r)],
k= =
~
~
oder
h
h
.
λ= = p
p
2m [E − U (r)]
3.1.1
Erklärung der Quantisierungspostulate
Die Gl.(7) gibt die Möglichkeit, k in jedem Punkt der Orbits zu bestimmen.
Bei jeder Umdrehung der Teilchen wächst die Phase um
I
I
Z T
ωdt = kdr − 2π.
∆φ = kdr −
0
Damit das Wellenbild stationär ist, soll gelten
∆φ = 2πn.
Daher
I
pdr =~
I
kdr = nh.
So lassen sich alle Bohr-Sommerfeld’sche Regeln begründen. Die stationären
Zustände gleichen der stehenden Wellen in einem Resonator.
23
3.2
”Wellengleichung” für die Materiewellen:
Die Schrödinger-Gleichung.
Aus den Überlegungen von Einstein und de Broglie folgt
E = ~ω,
daher:
1
ψ(x, t) =
~
Z
p = ~k,
i
f (p)e ~ (px−Et) dp
(vorerst werden alle Integrale als konvergent ”in irgendeinem Sinne” angenommen).
• Nichtrelativistisches freies Teilchen / freie Welle:
E=
Es gilt:
und
1 2
p.
2m
Z
i
∂
i~ ψ(x, t) = Ef (p)e ~ (px−Et) dp,
∂t
Z
i
∂
−i~ ψ(x, t) = pf (p)e ~ (px−Et) dp,
∂x
Z
∂2
−~
ψ(x, t) =
∂x2
2
Daher:
i
p2 f (p)e ~ (px−Et) dp.
∂2
∂
ψ(x, t) = −~2 2 ψ(x, t)
∂t
∂x
(Schrödinger-Gleichung)
i~
• In einem Potential:
E=H=
1 2
p + U (x).
2m
Am Anfang nehmen wir an, dass das Potential U (x) sich kaum auf der
typischen Wellenlängenskala ändert. Dann kann man annehmen
2
∂
2 ∂
ψ(x, t) + U (x)ψ(x, t).
i~ ψ(x, t) = −~
∂t
∂x2
24
Diese Gleichung wird als allgemein gültig angenommen (im nicht-relativistischen
Bereich). I.A.
i~
mit ∆ =
4
∂2
∂x2
+
∂
ψ(r, t) = −~2 ∆ψ(r, t) + U (r) ψ(r, t)
∂t
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
- Laplace-Operator.
Die Schrödinger Gleichung.
4.1
Eigenschaften
2
∂
∂
∂2
∂2
2
i~ ψ(r, t) = −~
+
+
ψ(r, t) + U (r) ψ(r, t)
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
• In der QM wird angenommen, dass die Eigenschaften des Systems vollständig durch seine Wellenfuntion (WF) beschrieben sind ⇒ψ(r, t = 0)
definiert die ganze nachfolgende Evolution. ⇒ Evolutionsgleichung 1.
Ordnung in der Zeitvariable.
• Die Existenz von für lineare Wellen typische Interferenzmuster setzt das
Superpositionsprinzip voraus ⇒ Die Gleichung ist linear und homogen.
• In nichtrelativistischen Systemen ist die Teilchenzahl erhalten (im Gegensatz zu Photonen!). Die ”Intensität” der Wellenfkt. gibt uns die
Wahrscheinlichkeit, die entsprechende Konfiguration des Systems zu
finden
R (Z.B. für 1 Elektron in einem Wasserstoffatom ψ(r, t)). Daher
gilt |ψ(r, t)|2 dr = 1. Für komplexere Systeme bezeichnet r alle räumlichen Koordinaten des Systems.
4.2
Der Begriff des Operators
• Die Funktion ∂ψ
kann als ein Resultat der Einwirkung eines Operators
∂t
∂
(der in einem entsprechenden Funktionsraum definiert ist) auf die
∂t
Fkt. ψ gesehen. Dieser definiert eine eindeutige Korrespondenz ψ 7−→
∂ψ
. i.A.
∂t
φ = Âψ.
25
Der Operator A ist linear falls
 (λ1 ψ1 + λ2 ψ2 ) =  (λ1 ψ1 ) +  (λ2 ψ2 ) .
Andere Eigenschaften der linearen Operatoren:
(cÂ)ψ = c Âψ ,
 + B̂ ψ = Âψ + B̂ψ.
In einer Schrödinger-Gleichung treffen wir auf die Differenzialoperatoren ∂/∂t, ∂ 2 /∂x2 ,..., und die Operatoren, die dem Produkt von Fkt.
ensprechen: φ = Âψ = U (r, t)ψ.
• Das Produkt der Operatoren. Definieren wir den Operator P̂ = ÂB̂ als
P̂ = ÂB̂ψ = Â B̂ψ .
Das Produkt ist i. A. nicht kommutativ:
ÂB̂ψ 6= B̂ Âψ.
Wenn dennoch
ÂB̂ψ = B̂ Âψ
gilt, sagt man, dass  und B̂ kommutieren. Die Differenz ist
h
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â.
z.B. Â = ∂/∂x, B̂ = f (x)·.
ÂB̂ψ =
∂f
∂ψ
∂
(f (x) · ψ) =
ψ+f
.
∂x
∂x
∂x
Anderseits,
B̂ Âψ = f
so dass
∂ψ
∂x
∂
∂f
, f· =
·
∂x
∂x
Alle Differentialoperatoren kommutieren miteinender.
26
4.3
Schrödinger-Gleichung: Das Kochrezept.
Anhand des Korrespondenzprinzips geben wir ein folgendes Rezept der Zubereitung einer Schrödinger-Gleichung. Schritte:
1) Schreibe die klassische Hamiltonfunktion
H = H(q1 , ..., qs ; p1 , ..., pn ; t) = H(q, p, t)
für konjugierte Koordinaten qi und Impulse pi (Kartesische Koordinaten
bevorzugt!).
2) Ordnen wir dem klassischen System ein Quantensystem zu, dessen
Zustand durch ψ(q1 , ..., qs , t) zu beschreiben gilt.
3) Ordnen wir der Hamilton-Fkt. einen Hamilton-Operator (Hamiltonian)
Ĥ zu:
∂
∂
, ..., −i~
; t).
Ĥ = H(q1 , ..., qs ; −i~
∂q1
∂q1
4) Wenn es in der Hamilton-Fkt. die Mischglieder von Typ p i f (q) vorkommen, symmetrisieren wir die Ausdr´’ucke:
∂
∂
1
−i~ f (q) − f (q)i~
.
pi f (q) →
2
∂qi
∂qi
5) Schreiben wir
i~
∂
ψ = Ĥψ.
∂t
Zubereitunszeit 10 Minuten.
4.3.1
Beispiel: Elektron im Magnetfeld.
Klassische Bewegungsgleichungen:
ma = mv̇ = e (E + v × B)
Die Felder E und B sind durch
E = −div ϕ
B = rot A
gegeben. Die Lagrange-Funktion lautet
mv 2
+ e (vA − ϕ) .
L=
2
27
Daher ist die Hamilton-Funktion
1
(p − eA)2 + eϕ
2m
1
=
p2 − 2epA + e2 A2 + eϕ.
2m
H =
Die Korrespondenzregel p = −i~∇ und die Symmetrisierung des Glieds pA
ergibt:
1 2
−~ ∆ + i~e (∇A + 2A∇) + e2 A2 + eϕ.
Ĥ =
2m
4.3.2
Vorsichtsmaßnamen
• In der klassichen Mechanik sind die verallgemeinerten Koordinaten q
(und daher die entsprechenden Impulse) in gewissem Sinne willkürlich.
Z.B. kann man H in kartesischen Koordinaten schreiben als
1
H=
p2x + p2y + p2z + U (x, y, z)
(8)
2m
oder in Kugelkoordinaten
1
1 2
1
2
2
p + U (r, ϑ, φ).
p + p +
H=
2m r r2 ϑ r2 sin2 ϑ φ
(9)
Die Benutzung der Korrespondenzregel im 1. Fall ergibt
−~2
Ĥ =
∆ + U (x, y, z).
2m
Dann können wir (wenn wir wollen) den Laplacian in Kugelkoordinaten
überführen:
1
∂
1 ∂2
1 ∂
−~2 1 ∂ 2 ∂
r
+
sin ϑ
+
+U (r, ϑ, φ).
Ĥ =
2m r2 ∂r ∂r r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ sin2 ϑ ∂φ2
Diese Form ist richtig. Wenn wir dagegen unsere Vorschrift unmittelbar auf die Gl.(9) anwenden, erhalten wir eine andere Gleichung
1 ∂2
1
∂2
−~2 ∂ 2
+ U (r, ϑ, φ).
+
+
Ĥ =
2m ∂r2 r2 ∂ϑ2 r2 sin2 ϑ ∂φ2
Diese Gleichung ist falsch!
28
• Einschübe. Z.B. haben wir in einem eindimensionalen Problem klassisch
die kinetischen Energie
p2
T =
,
2m
die sich nicht ändert, wenn wir, z.B. schreiben
T1 =
1
1
1
p
pf (x)p p
.
2m f (x)
f (x)
Die eintsprechenden Operatoren sind dagegen unterschiedlich:
T̂1 = −
und
~2
T̂1 = −
2m
~2 ∂ 2
2m ∂x2
∂2
f0 ∂
f 00 (f 0 )2
+
−
+
∂x2 2f ∂x 2f
4f 2
vor Symmetrisierung (wegen der Nicht-Kommutativität der Koordinate und des Impulses). Diese Form ist auch nach der Symmetrisierung
falsch!
⇒ Für ”richtige” Teilchen in Euklid’schen Raum ist die einfachste Form
(keine Einschübe!) zu benutzen.
Die Erklärung der beiden Tatsachen hat mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion zu tun.
5
Stationäre Zustände
In einem konservativen System ist Ĥ (und damit seine Energie) zeitunabhängig. Damit hat die Lösung Ψ eine wohldefinierte Frequenz ω, so dass
E = ~ω. Es gilt also:
E
Ψ(r, t) = ψ(r)e−i ~ t .
Wenn wir diesen Ausdruck in der Schrödinger-Gl. einsetzen, bekommen wir
Ĥψ(r) = Eψ(r).
Diese Gl. wird als stationäre Schrödinger-Gl. bezeichnet, und ψ(r) wird als
WF des stationären Zustands bezeichnet (obwohl sie keine richtige WF ist,
da es an der Zeitabhängigkeit fehlt!).
29
Diskutieren wir zunächst die Eigenschaften der SGl für ein Teilchen in
einem skalaren Potential U (r). Es wird angenommen U (r) → 0 für r → ∞.
Das Problem, die (physikalisch vernünftigen) Lösungen von der Gl.
~2
Ĥψ(r) = −
∆ + U (r) ψ(r) = Eψ(r)
2m
zu finden ist das Eigenwertproblem.
Um das Problem vollständig zu definieren, muß man die Randbedingungen und die Regularitätseigenscheften der WF festlegen.
• Die Regularitätsbedingungen: die WF und ihre Ableitung müßen stetig
und begrenzt sein.
• ”Natürliche” Randbedingung: in einem gebundenen Zustand soll die
Funktion im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden, so dass
30
R
|ψ(r)|2 dr = 1. Das ist möglich nur für spezielle Werte von E < 0 (diskretes Spektrum). Solche Spektren stimmen (im nicht-relativistischen
Bereich) sehr gut mit experimentellen Linienspektren überein.
• Für E > 0 und für grosse r strebt das Potential gegen 0 und die
Lösung gegen eine ebene Welle eikr . Solche WF sind nicht normierbar,
das Teilchen ist daher nicht lokalisiert in einem endlichen räumlichen
Gebiet.
5.1
Beispiel: Das Rechteckpotential.
Die stationäre Schrödinger-Gl. ist
~2 ∂ 2
+ U (x) ψ(x) = Eψ(x),
−
2m ∂x2
mit Parametern: Längenskala L, Energieskala U0 . Dimensionslose Länge ξ =
x/L, dimensionslose Energie ε = E/U0 , v = U (x)/U0 .
~2
E
U (ξ)
∂2
−
ψ(ξ) =
+
ψ(ξ),
2
2
2mL U0 ∂ξ
U0
U0
Der dimensionslose Parameter B 2 = (2/π 2 ~2 )mL2 U0 = h22 mL2 U0 (d.h. B =
√
L
2mU ) wird der Born’sche Parameter genannt. Die SGl. lässt sich daher
h
in der folgenden Form schreiben:
ψ 00 + π 2 B 2 [ − v(ξ)] ψ = 0
31
(10)
Der Potentialtopf v(ξ) hat eine Breite 1 und Tiefe 1, d.h. das Potential v
nimmt nur 2 Werte an: entweder ν1 = 0, oder ν2 = 1.
Die Gl.(10) ist eine Sturm-Liouville-Gl. Wir suchen ihre kontinuierlichen,
differenzierbaren Ls’gen in (−∞, ∞). In unserem Fall ist sie eine Gl. mit
stückweise-konstanten Parametern. Allg. Ls’gen:
−ikξ
• > νi :
ψ(x) = Aeikξ
(oder A0 sin kξ + C 0 cos kξ, oszillie√ + Ce
rende Lösung) mit k = − vi
√
• < νi :
ψ(x) = Aekξ + C −kξ mit k = vi − .
Die Gesamtlösung wird aus 3 Teile (links von der, in der Mulde, rechts
von der Mulde) zusammengestellt, mit Hilfe den Kontinuitätsbedingungen
für ψ und ψ 0 .
5.1.1
Gebundene Zustände.
Betrachten wir zunächst die Energie U0 < E < 0 (den Fall 0 < E werden wir
später betrachten; man kann auch zeigen (gleiche Methode wie hier!), dass
es keine Zustände gibt mit E < U0 ). In diesem Fall für ξ < −1/2 (und für
ξ > 1/2) hat man < ν und für −1/2 < ξ < 1/2 hat man > ν.
Teillösungen: Ab hier ε = − > 0.
Für ξ → −∞ hat man ψ(ξ) → 0 (sonnst ist ψ nicht integrabel). Daher
ist die einzige Lsg links von der Mulde
√
ψ(ξ) = a exp(k1 ξ) = a exp(πB εξ)
(ξ < −1/2)
und für ξ → ∞ hat man gleichermaßen
√
ψ(ξ) = d exp(k1 ξ) = d exp(−πB εξ)
In der Mulde gilt

p


p
(x > 1/2).

ψ(ξ) = b sin πB (1 − ε) ξ  + c cos πB (1 − ε) ξ  = b1 sin(k2 ξ + φ).
{z
}
{z
}
|
|
k2
k2
Das ”Zusammennähen”: die Fkt. und ihre Ableitung sind am Orten −1/2
und 1/2 stetig.
32
Die Kontinuitätsbedingungen für die Funktion und für ihre Ableitung.
Trick: da ψ und ψ 0 stetig sind, und da an ξ = ±1/2 ψ 6= 0 ist (kann
man nachträglich nachprüfen), sollen die logarithmische Ableitungen ψ 0 /ψ =
d
ln ψ an beiden Seiten der Potentialsprünge gleich sein. Daher:
dξ
k1 = k2 cot(−k2 /2 + φ)
und −k1 = k2 cot(k2 /2 + φ) oder
k1 = k2 cot(−k2 /2 − φ)
k2
k1
−k2 /2 + φ
= Arctan
=
Arccot
−k2 /2 − φ + 2πn
k2
k1
(n = 0, 1, ...; wir nehmen φ ∈ [−π/2, π/2].) ⇒
k2
πn − k2 = 2Arctan
.
k1
p
√
Jetzt: k2 = πB 1 − ε, kk21 = (1 − ε)/ε so dass
√
πn − πB 1 − ε = 2 tan
(Trigonometrie!). Wenn wir κ =
√
−1
r
√
1−ε
= 2Arcsin 1 − ε
ε
1 − ε nehmen, dann erhalten wir
πn − πBκ = 2Arcsinκ,
(0 < κ < 1). Die rechte Seite der Gl. ändert sich zw. 0 und π, siehe Bild.
Das heißt: π(n − 1) < πBκn < πn
• die Anzahl n der verschiedenen Lösungen ist N = [1 + B].
– Der Born’sche Parameter ist eine wichtige dimensionslose Kombination und hat einen klaren physikalischen Sinn. Die kinetische
Energie TL eines Zustandes, der auf einer Längenskala L lokalisiert
wird (und daher einer de Broglie-Welle mit den Wellenwektor k '
1/L entspricht), ist TL = p2 /2m ' ~2 /(2ml2 ). Daher stellt B einen
Quotienten dieser kinetischen Energie und der Tiefe des Topfes U 0 :
B ∼ TL /U0 dar. Z.B. ist die Energie des Grundzustandes in einem
33
B=1 (2 Loesungen)
8
B=2.5 (3 Loesungen)
6
4
2
0
0.0
0.2
0.4
κ
0.6
0.8
1.0
rechteckigen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden (vom Boden des Topfes gerechnet) E1 = π 2 ~2 /(mL2 ), und die Energie des
n-ten gebundenen Zustandes ist En = n2 π 2 ~2 /(mL2 ) = n2 E1 . Der
Born’sche Parameter B zeigt, wie viele solcher Zustände in den
Topf der Tiefe U0 ”reinpassen”.
– Das ist ein Spezialfall einer allgemeinen Beziehung: in einem anziehenden Potential U (x) < 0, mit einem Minimalwert der 2 asymptotischen Werte U∞ = min (limx→±∞ U (x))
Z p
2m(U∞ − U (x))
1
N 'B=
dx
π
~
wo integriert wird über die Gebiete wo U (x) < U∞ . Wenn dieses Integral divergiert, ist die Anzahl der gebundenen Zustände
unendlich.
• Die entsprechenden Energien = −ε = κ2n − 1 bilden eine endliche
34
wachsende Folge, vom Grungzustand 0 bis zum höchsten gebundenen
Zustand N .
• φ ist noch nicht fixiert. Die Rechnung zeigt, dass für n ungerade (1,3,...,
) φ = π/2 und für n gerade φ = 0. Es ist schon aus Symmetriegründen
klar, dass die Lösungen ψ 2 (x) für φ = 0 und φ = π/2 die Spiegelsymmetrie des anfänglichen Physikalischen Problems haben. D.h. jeder
Zustand in einem symmetrischen Potential hat eine wohldefinierte Parität. Die WF ist gerade für ungeraden n und ungerade für gerade n.
Der Grundzustand hat keine Nulldurchgänge (Knoten) und ist gerade.
• Die Funktion b1 sin(k2 ξ + φ) = b1 sin (πBκn ξ + φ) (und damit die ganze
Wellenfunktion, da die exponentiellen Teile ausserhalb der Mulde nicht
oscillieren) hat genau n − 1 Nulldurchgänge (Knoten). (Speziallfall des
Oszillationstheorems).
5.1.2
Spezialfall: Das δ-Potential.
Betrachten wir jetzt genauer den Spezialfall B → 0, mit nur einem gebundenen Zustand. In diesem Fall existiert nur eine Lösung der Gl. πn −
πBκ =p2Arcsin κ (siehe Bild) mit κ ≈ 1. Da in diesem Fall Arcsin κ ≈
π/2 − 2(1 − κ), bekommen wir || = ε = 1 − κ2 ≈ π 2 B 2 /4. In natürlichen
Einheiten erhalten wir
mL2 U02
E = U0 '
.
2~2
Dieses Resultat stimmt in allen Fällen wenn B → 0, d.h. in einem sehr tiefen
aber schmalen Topf, sovie in einem Topf, der breit, aber flach ist.
Betrachten wir nochmals den Grenzfall U (x) → ∞, L → 0, aber U L =
a = const. In diesem Fall haben wir U (x) → aδ(x). Die Schrödinger-Gl.
lautet:
2ma
2mE
∂2
ψ(x).
− 2 − 2 δ(x) ψ(x) =
∂x
~
~2
Links und rechts von dem δ-Potential haben wir die Lösungen
!
r
2m |E|
x
ψ− (x) = A− exp
~2
und
ψ+ (x) = A+ exp −
35
r
!
2m |E|
x .
~2
Die Wellenfunktion ist stetig, d.h. A+ = A− = A = ψ(0). Die Integration
der beiden Seiten der Gl. zwischen −ε und ε ergibt
−
∂
2ma
2mE
∂
ψ− (−ε) +
ψ− (ε) − 2 ψ(0) ≈ 2ε 2 ψ(0) → 0.
∂x
∂x
~
~
Die Ableitung von ψ erfährt in x = 0 einen endlichen Sprung, d.h.
r
2m |E|
2ma
2A
=A 2 .
2
~
~
Daher ist die Energie des gebundenen Zustands
E=−
5.1.3
ma2
.
2~2
Die Parität der Zustände
Wenn U (x) symmetrisch in bezug auf x = 0 ist, dann U (x) = U (−x). Die
~2 d 2
als
SGl. ändert sich nicht, wenn man von x zu −x wechselt (sowohl 2m
dx2
auch U (x) ändern sich nicht). D.h.wenn
Ĥψ(x) = Eψ(x)
eine Eigenfunktion (EF) ist, dann ist
Ĥψ(−x) = Eψ(−x)
auch eine EF. Wegen der Linearität ist auch die gerade Fkt.
ψG (x) = ψ(x) + ψ(−x)
und die ungerade Fkt.
ψU (x) = ψ(x) − ψ(−x)
(wenn sie nicht verschwinden) die Ls’gen.
• Wenn der Eigenwert E nicht entartet ist (i.e. gibt es nur eine EF, bis
zu einem konstanten Vorfaktor), dann ist entweder ψG (x) = Aψ(x)
(eigentlich A = 2) und ψU (x) = 0, oder ψU (x) = Aψ(x) und dann
ψG = 0. Also sind alle EFs entweder gerade (und haben gerade Anzahl
der Knoten) oder ungerade (mit ungeraden Anzahl der Knoten).
36
• In 1D können EFs maximal 2-fach entartet sein (maximal 2 linear unabhängige Lsgen der Differenzialgl. 2 Ordnung). Dann können alle EFs
als Summe ψ = λψ1 +µψ2 dargestellt werden. Daraus können diesesmal
2 linear unabhängige Lsgen
ψG (x) = ψ(x) + ψ(−x)
und
ψU (x) = ψ(x) − ψ(−x)
gebildet werden. Jede EF für die Energie E kann als Superposition von
einer geraden und einer ungeraden WF ausgedrückt werden.
5.2
Statistische Interpretation der Wellenfunktion
Heuristisch und in Analogie mit Lichtquanten haben wir Ψ(r, t) mit der
Wahrscheinlichkeit P (r, t), ein Teilchen am Ort r zu finden:
P (r, t) = |Ψ(r, t)|2 .
Solche Annahme setzt die Normierung
Z
Z
P (r, t)dr = |Ψ(r, t)|2 dr = 1
voraus. Die Normierung muß in Laufe der zeitlichen Evolution des Systems
erhalten werden.
5.2.1
Wahrscheinlichkeitsstrom und Erhalten der Norm
Die Wellenfkt. Ψ und die komplex-konjugierte Funktion Ψ ∗ genügen der SGl
und der konjugierter Gl.:
∂
i~ Ψ = ĤΨ
∂t
und
∂
i~ Ψ∗ = −ĤΨ∗ .
∂t
Daher
∂
∂
P (r, t) =
|Ψ(r, t)|2
∂t
∂t
∂
∂
= Ψ ∗ Ψ + Ψ Ψ∗
∂t
∂t
∗ i
1 h ∗
=
Ψ ĤΨ − ĤΨ Ψ .
i~
37
Da
gilt
Z
∂
P (r, t)dr
0 =
∂t
Z
Z
∗ 1
∗
=
Ψ ĤΨdr − Ψ ĤΨ dr
i~
Z
∗
Ψ ĤΨdr =
Z
∗
Ψ ĤΨ dr
Die Operatoren Ĥ, die eine solche Eigenschaft haben (für Ψ aus entsprechendem Funktionsraum) nennt man Hermite’sche Operatoren.
In unserem Fall
~2
∆ + U (r).
Ĥ = −
2m
=⇒ anhand von Green’schem Theorem
Z h
Z ∗ i
2
~2
∗
∗
∗ ~
∆Ψ − Ψ
∆Ψ dr
Ψ ĤΨ − ĤΨ Ψ dr = −
Ψ
2m
2m
Z
Z
~2
∗
∗
Ψ ∇Ψdr− Ψ∇Ψ dr
=
2m S
S
→ 0
Führen wir den Wahrscheinlichkeitsstrom J ein:
∗ ~
J(r, t) = Re Ψ
∇Ψ .
im
Dann gilt:
i
divJ =
~
Daher bekommt man:
Z
∗
Ψ ĤΨdr −
Z
Ψ ĤΨ
∗
dr .
∂
P (r, t) + divJ = 0
∂t
(die Kontinuitätsgleichung).
Die Gleichung folgt auch aus der klassischen Gleichung anhand des Kon~
∇ der Operator ist, der dem klassischen Wert von
tinuitätsprinzip: Da im
v = p/m entspricht, haben wir
∂
P + div vP = 0
∂t
38
(klassische Kontinuitätsgleichung).
E
Für die Eigenzustände (stationäre Zustände) Ψ(r, t) = ψ(r)e−i ~ t ;
∂
P (r, t) = |ψ(r)|2 , ∂t
P = 0, so dass div J = 0.
Bemerkung: Bei reellem U (x) (da Ĥ Hermite’sch) ist für jede Lsg. ψ(x)
auch die komplex-konjungierte Fkt ψ ∗ (x) eine Lsg. So kann man, wegen der
Linearität der Gleichung, stets die reelle Kombinationen ψ(x) + ψ ∗ (x) und
−i [ψ(x) − ψ ∗ (x)] als Lösungen nehmen. ⇒ Die Ls’gen der Schrödinger-Gl.
in 1D können immer als reell angesehen werden.
5.3
Die Wronski-Determinante (Wronskian)
erlaubt allgemeine Aussagen über die Lsg. der eindimensionalen SchrödingerGl. Seien φ1 (x) und φ2 (x) zwei reelle Lsgen der stationären Schrödinger-Gl.
zu den Energien E1 und E2 . Multiplizieren wir die entsprechenge Gl’en
φ001 (x) +
2m
[E1 − U (x)] φ1 (x) = 0
~2
und
2m
[E2 − U (x)] φ2 (x) = 0
~2
mal φ2 (φ1 ) und bilden die Differenz:
φ002 (x) +
φ001 (x)φ2 (x) − φ002 (x)φ1 (x) =
2m
(E2 − E1 )φ1 (x)φ2 (x).
~2
Man integriert die Gl. zwichen x1 und x2 (x2 > x1 ), und wendet die partielle
Integration an:
Z x2
x2
0
0
φ01 (x)φ02 (x) − φ02 (x)φ01 (x) dx
φ1 (x)φ2 (x) − φ2 (x)φ1 (x)|x1 −
|
{z
}
x1
=0
Z x2
2m
=
φ1 (x)φ2 (x)dx
(E2 − E1 )
~2
x1
oder
W (φ1 , φ2 )|xx21
mit
2m
= 2 (E2 − E1 )
~
Z
x2
φ1 (x)φ2 (x)dx,
x1
φ1 φ2 W (φ1 , φ2 ) = 0
φ1 φ02 39
(11)
die Wronski-Determinante (Wronskian). Die Gl.(11) hat viele wichtige Folgen.
• Für E1 = E2 = E ist W (φ1 , φ2 ). Haben die Lösungen eine gemeinsame
Nullstelle, φ1 (x0 ) = φ2 (x0 ) = 0, so ist W = 0. Daher
φ1 (x)
φ01 (x)
=
=C
0
φ2 (x)
φ2 (x)
so dass die Ls’gen zueinander proportional sind. Wenn sie als normiert
vorausgesetzt sind, so ist |C| = 1 und C = eiϕ . Der Zustand E ist nicht
entartet.
• Die Lösungen sind dann und nur dann auf dem Interval x1 < x < x2
linear abhängig, wenn das Wronskian dort identisch verschwindet.
• Seien φ1 und φ2 die Ls’gen von SGl mit unterschiedlichen Eigenwerten
E1 und E2 aus diskretem Spektrum (d.h. normierbar). Dann sind die
Ls’gen φ1 und φ2 ortogonal, d.h.
Z ∞
φ1 (x)φ2 (x)dx = 0.
−∞
Bew.: Die normierbaren Ls’gen sind diejenige mit x1,2 → 0 für x →
±∞. Daher gilt
Z ∞
2m
∞
W (φ1 , φ2 )|−∞ = 2 (E2 − E1 )
φ1 (x)φ2 (x)dx = 0.
~
−∞
Bemerkung: Wenn die Ls’gen nicht reell sind, gilt i.A.
Z ∞
Z ∞
∗
φ1 (x)φ2 (x)dx =
φ∗2 (x)φ1 (x)dx = 0.
−∞
−∞
Die Ls’gen der SGl. mit Hermite’schen Ĥ bilden ein orthonormiertes
System. Diese Aussage gilt auch in höheren Dimensionen.
• Seien φ1 und φ2 zwei reelle Eigenfunktionen mit E1 < E2 . Wir zeigen
jetzt, dass zwischen 2 Knoten (Nullstellen) der Funktion φ 1 mindestens
ein Knoten der Funktion φ2 liegt.
40
Seien x1 und x2 zwei aufeinenderfolgende Nullpunkte von φ1 . Betrachten wir die Wronski-Determinante zwischen diesen Punkten. Es gilt:
Z x2
2m
0
x2
φ1 φ2 dx.
φ1 φ2 |x1 = 2 (E2 − E1 )
~
x1
Zwischen den Punkten x1 und x2 ändert die Fkt. φ1 nicht ihre Vorzeichen, z.B. ist φ1 > 0. Daher ist φ01 (x1 ) < 0 und φ01 (x1 ) > 0. Nehmen
wir an, dass die Funktion φ2 auf dem Intervall ihre Vorzeichen nicht
ändert. Damit ist die linke Seite der Gleichung negativ, und ihre rechte
Seite positiv, was zu einem Widerspruch führt. Daher muss φ2 auf dem
Intervall (x1 , x2 ) ihr Vorzeichen ändern.
Man kann die Eigenfunktionen nach Anzahl ihrer Knotenpunkten ordnen und einen folgenden Satz beweisen:
• Das Oszillationstheorem (der Knotensatz). Besitzt der eindimensionale
Hamiltonian ein diskretes Spektrum mit Energien
E0 < E1 < E2 < ...
so hat die Wellefunktion ψn genau n Nullstellen (Knoten).
Die Logarithmische Ableitung der Wellenfunktion Sei y(x; E) eine
Lösung der SGl zur Energie E und
f (x, E) =
y 0 (x; E)
.
y(x, E)
(f (x, E) divergiert in Knotenpunkten der Lösung). Dann gilt:
Z x
∂
1
y 2 (x, E)dx.
f (x, E) = − 2
∂E
y (x, E) a
Beweis: Die Lsg. y(x, E) ist gegeben, wenn die Werte y(a, E) und y 0 (a, E)
in irgendeinem Punkt a gegeben sind. Für den Wert der Energie E + δE
bekommen wir eine andere Lösung, y(x, E)+δy(x). Aus Wronskian-Theorem
folgt:
Z x
2m
x
y(x)[y(x) + δy(x)]dx.
W (y, y + δy)|a = − 2 δE
~
a
41
An der linke Seite der Gl.:
0
y
W (y, y + δy) = yδy − y δy = y δ
= y 2 δf (x, E).
y
0
0
2
D.h. (in 1. Ordnung in δE)
2
y δf (x, E)|x=b
2m
= − 2 δE
~
Z
b
y 2 (x)dx
a
(δf (x, E)|x=a = 0).
∂
Bemerkung 1: ∂E
f (x, E) ist stets negativ, und divergiert an Knotenpunkten von y(x). Daher ist f (x, E) eine monotone Funktion. Das Betrag von f
wächst mit E links von der Nullstelle und wird kleiner mit E rechts von der
Nullstelle.
Bemerkung 2: Man kann a → ±∞ nehmen und die Funktionen betrachten, die samt ihrer Ableitung für x → ±∞ verschwinden.
42
5.4
Allgemeine Struktur des Spektrums eines SchrödingerOperators.
Die entsprechende dimensionslose Schrödingergl. lautet
ψ 00 + (ε − v(x))ψ = 0
mit U (x) = (~2 /2m)v(x) und E = (~2 /2m)ε. Betrachten wir das Potential
v(x) mit v(x) → v± für x → ±∞. Die Werte v+ und v− teilen die Energieskala
in 3 Gebiete (wir nehmen an z.B. dass v+ < v− ):
• ε > v− . Nehmen wir k =
√
ε − v− . Für x → −∞ strebt die SGl. gegen
ψ 00 + k 2 ψ = 0.
Die 2 allg. Ls’gen sind ψ1 ' A1 sin kx und ψ2 ' A2 cos kx, oder die
2 komplexen Exponenten ψ1 ∼ exp(−ikx) und ψ2 ∼ exp(ikx). Jede solche Lsg. bleibt begrenzt auch für x → ∞ (die geht in eine
√
Ã1 sin(k1 x + ϕ1 ) bzw. Ã2 cos(k1 x + ϕ2 ) mit reellen k = ε − v− > 0).
Daher: 2 Ls’gen für jeden Wert von ε. Das Spektrum ist kontinuierlich und 2-fach entartet. Die Zustände sind nicht gebunden (”Streuzustände”). Die Interpretation dieser Zusammenhänge erfolgt in dem
Bild der Wellenpakete, und entspricht der experimentellen Situationen
mit der Streuung der von rechts (aus unendlichen) oder von links (aus
unendlichen) einfallenden Teilchen.
√
• v+ < ε < v− . Nehmen wir k = v− − ε. Für x → −∞ gibt es 2
allg. Ls’gen: ψ1 ' A1 ekx und ψ2 = A2 e−kx . Die 2. Lsg. divergiert für
x → −∞ und ist daher verboten (jegliche Versuch der Wahrscheinlichkeitsinterpretation zeigt, dass das Teilchen sich immer ausserhalb des
43
Systems befindet!). In dem 2. asymptotischen Bereich bleibt die Lsg. ψ 1
begrenzt und oszilliert. Das Spektrum ist kontinuierlich und nicht entartet. Die Zustände sind nicht gebunden. Diese Situation enspricht der
Streuung (eigentlich, Spiegelung) der von rechts anfallenden Teilchen.
• ε < v+ . Sowohl für x → −∞ als auch für x → ∞ sind die Ls’gen reelle Exponentialfunktionen. Die begrenzte Lsg., wenn sie existiert, muss
für |x| → ∞ exponentiell abklingen, und entspricht einem gebundenen
Zustand. Sei y+ eine Lsg, dass für x → ∞ gegen 0 strebt, und y− eine Lsg, dass für x → −∞ gegen 0 strebt. Jede solche Lösung hängt
nut von einer Integrationskonstante ab; die zweite ist durch die entsprechende natürliche Randbedingung festgelegt. Die asymptotischen
Verhalten der Lösungen sind y+ ' Ae−k+ x für x → ∞ und y− ' Bek− x
√
für x → −∞ mit k± = v± − ε mit 2 noch freien Konstanten A und
B. Die müssen aber 2 Nebenbedingungen in einem beliebegen Punkt x
erfüllen:
– Die Funktionen y+ (x) und y− (x), die der gleichen Energie entsprechen, sind gleich. Das legt B als Fkt. von A und E fest. Der Wert
von A wird dann durch die Normirungsbedingung festgelegt.
0
– Die Ableitungen (oder ihre logarithmische Ableitungen) y +
(x) =
0
y− (x) sind gleich. Diese Nebenbedingung legt wiederum B als eine
andere Fkt. von A und E fest, die beiden zusammen sind nur für
einige Werte von E erfüllbar.
Alle Bedingungen zusammen sind erfüllt nur für isolierte, diskrete Werten von E. Das Spektrum ist daher diskret und nicht entartet.
5.5
5.5.1
Streuzustände (kontinuierliches Spektrum)
Beispiel 1: Das Tunnel-Effekt
Betrachten wir ein folgendes Beispiel der Streuzustände im entarteten kontinuierlichen Spektrum: Das Potential U (x) entspricht einem Potentialwall
von der Höhe U0 und der Breite L. Betrachten wir nun ein Teilchen, das mit
einer vorgegebenen
Energie E (und damit Impuls p und Wellenzahl −k < 0,
p
2
|k| = 2mE/~ ) von rechts aus dem Unendlichen kommt. Die spiegelsymmetrische Situation (von links aufkommende Teilchen) ist auch möglich; das
enspricht der zweifachen Entartung der Zustände.
44
Die hier betrachtete Situation entspricht einem Wellenpaket mit den Wellenzahlen, die scharf um −k lokalisiert sind; im Koordinatenraum muss so
ein Paket sehr breit sein. Wesentlich ist, dass diese Breite größer ist als L.
Praktisch haben wir hier mit eine ebene Welle zu tun. Damit wird die physikalische Situation auf die Betrachtung der Eigenzustände der Schrödinger-Gl.
reduziert. Das Bild der Wellenpakete braucht man nur für die Interpretation
der Resultate.
Die entsprechende ebene Welle von der Amplitude A kann das Potential durchdringen und / oder reflektiert werden. Die reflektierte Welle hat
ausserhalb des Walls den Wellenvektor k von dem gleichen Betrag wie die
anfallende Welle, und die Amplitude rA; die durchgegangene Welle auf der
anderen Seite des Walls hat die Amplitude tA. In die Sprache der Wellenpakete übersetzt, sagt das, dass der reflektierte Teil des Pakets (von praktisch
gleicher räumlicher Ausdehnung) hat die Amplitude im Maximum rA, das
durchgegangene Paket auf der anderen Seite des Walls hat die Amplitude im
Maximum tA. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen rechts (links) von dem
Wall zu finden ist proportional zu |r|2 bzw. |t|2 , siehe Bild.
Hier unterscheidet man 2 Fälle:
• E > U0 : Klassisch wird das Teilchen immer den Potenziallwall über45
queren können. Quantenmechnisch:
 −ikx
+ reikx
x>L
 e
−ik1 x
ae
+ beik1 x 0 < x < L
ψ(x) =
 −ikx
te
x<0
(A = 0, t und r sind i.A. komplex,
i.e. beinhalten die Phaseverschiep
bungen der Wellen) mit k1 = 2m(E − U0 )/~2 . In Punkten L und 0
müssen die Wellenfunktion und ihre Ableitung stetig sein. Das heisst:
e−ikL + reikL
−ike−ikL + ikreikL
a+b
−ik1 a + ik1 b
=
=
=
=
aeik1 L + be−ik1 L
−iak1 e−ik1 L + ibk1 eik1 L
t
−ikt
so dass wir ein System linearer Gleichungen für die Koeffizienten a, b, r
und t bekommen:
 ik L
    −ikL

e 1
e−ik1 L
−eikL
0
a
e
 −ik1 eik1 L ik1 e−ik1 L −ikeikL 0
  b   −ike−ikL 

  = 

 −1
 r   0

−1
0
1
ik1
−ik1
0
−ik
t
0
Die Lösung für r und t ergibt z.B.
t = −2kk1
e−i(k−k1 )L
(k − k1 )2 (1 + exp(2ik1 L))
46
mit
4k 2 k12
4k 2 k12 + (k 2 − k12 )2 sin2 k1 L
2
2m 2 2
2
2 2
E(E
−
U
)
und
(k
−
k
)
=
U0 und entspremit k 2 k12 = 2m
0
2
2
1
~
~
chende Lsg. für r. Man überzeugt sich, dass
T = |t|2 =
T +R =1
mit R = |r|2 , so dass die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten bleibt.
Wichtig: Im Quantenfall (abgesehen von die Situationen mit k 1 L = πn
mit n = 0, 1, ...) wird das Teilchen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit reflektiert, was im klassischen Fall bei E > U0 nie der Fall ist. Das
Gesamtverhalten zeigt Resonanzen, siehe Bild.
• Im Falle 0 < E < U0 wird das klassisches Teilchen immer reflektiert.
Für den Quantenfall bekommt man
 −ikx
+ reikx
x>L
 e
−κ1 x
κ1 x
ae
+ be
0<x<L .
ψ(x) =
 −ikx
te
x<0
p
mit κ1 = 2m(U0 − E)/~2 . Aus dem Gleichungssystem für die Koeffizienten a, b, r und t bekommen wir z.B.
T = |t|2 =
4k 2 κ21
4k 2 κ21 + (k 2 + κ21 )2 sin h2 κ1 L
(eigentlich bekommt man diese Gl durch Annehmen des rein imaginären
2
2 2
E(U0 − E) und (k 2 + κ21 )2 = 2m
U0 .
k1 = iκ1 ) mit k 2 κ21 = 2m
~2
~2
Bei der wachsenden Energie (von 0 bis U0 ) wächst der Transmissionskoeffizient von 0 bis ≈ 1/(1 + mU0 L2 /~2 ). Bei kleinen Energien
2
√
√
2
2
E U0 ist sin h2 κ1 L = 41 e 2m(U0 −E)/~ L − e− 2m(U0 −E)/~ L
'
√
1 2 2m(U0 −E)/~2 L
e
sehr groß, und
4
T ' 16
p
E
exp −2 2m(U0 − E)/~2 L .
U0
Das Gesamtverhalten von T (E) für 2mU0 L2 /~2 = 25 siehe Bild.
47
Bemerkung: i.A. für den Potentialwall beliebiger Form U (x) (U (±∞) →
0) und für die Energien E für welche die Gleichung U (x) = E nur 2
Wurzel hat (2 klassische Umkehrpunkte der Bewegung x± ) gilt:
Z
2 x+ p
2m(U (q) − E)dq
T ≈ exp −
~ x−
(bis zum preexponentialen Faktor). Erklärung später (Stichwort: WKB).
Wichtig: Im Quantenfall findet eine klassisch nicht erlaubte Transmission statt. Man sagt, das Teilchen durchtunnele den Potentialwall (Tunneleffekt). Dieser Effekt ist wichtig für die Erklärung des α-Radioaktivität
oder der Feldinduzierte Emission aus Metallen.
5.5.2
Beispiel 2: Asymmetrisches Potentialtopf
• 0 < E < U3
48
Das Verhalten der Wellenfunktion:
 −ikx
+ ei(kx+2φ1 )
x>L
 e
iφ1
ψ(x) =
2Ae sin(k2 x + φ2 ) 0 < x < L

2Beiφ1 eκ3 x
x<0
(Da es für x < 0 keine nach links laufende Welle gibt, sind die Amplituden der nach links und nach rechts laufenden Wellen für x > L gleich. Es
ist vernünftig, die Koeffiziente in 2 bzw. 3 Zeile als 2Aeiφ1 und 2Beiφ1 zu
schreiben, da die Phasen wegkürzen!) mit
p
2mE/~2
k =
p
k2 =
2m(E − U2 )/~2
p
2m(U3 − E)/~2
κ3 =
Für die vorgegebene Amplitude der einfallenden Welle (hier 1) haben die
Gleichungen immer 1 Lösung. Das Spektrum is kontinuierlich und nicht entartet. Die Phasen folgen aus der Bedingung der Kontinuität der logarithmischen Ableitung, die Vorfaktoren A und B aus der Kontinuität von ψ selbst.
Man bekommt:
k2
φ2 = Arc tan
κ3
49
und
k
k2
π
tan k2 L + Arc tan
.
φ1 = −kL − + Arc tan
2
k2
κ3
Wir betrachten hier
U 3 → ∞ (mit B → 0)
p nur den einfachsten Spezialfall
p
2 und η = k/K =
und führen
K
=
−2mU
E/
|U
/~
2
2 | und ξ = k2 /K. Es
p
gilt η = ξ 2 − 1. Dann gilt:
η
π
tan (ξKL)
φ1 = − + Arc tan
2
ξ
und
A2 =
η2
η2
=
.
η 2 + cos2 ξKL
η 2 + cos2 (η 2 + 1) KL
(Bemerkung: η 2 = E/ |U2 | ist dimensionslose Energie!). Die Amplitude zeigt
Resonanzen für ξKL = π(n + 1/2). Dabei ist φ1 = π(n + 1/2). Hier ist das
Bild für KL = 100.
5.5.3
Interpretation der Resultate
Vergleichen wir die Bewegung eines von rechts einfallenden Wellenpakets
(Wellenvektoren um k) mit der Bewegung eines klassischen Teilchen.
50
Das klassische Teilchen
√ bewegt sich für x > L mit einer konstanten
Geschwindigkeit v = − 2mE = −(~K/m)η, erfährt unendlich große Beschleunigung
mit einer konstanten Geschwindigkeit
p in x = L, bewegt sichp
v2 = − 2m(E − U2 ) = −(~K/m) 1 + η 2 bis zum Punkt x = 0, diese
Bewegung kehrt sich um am Punkt x = 0, das Teilchen bewegt sich mit Geschwindigkeit −v2 bis zum Punkt x = L, und dann weiter nach rechts mit der
Geschwindigkeit −v. Die Zeit, die das Teilchen bei 0 < x < L verbringt ist
τkl = 2L/v2 . Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen innerhalb dieses Intervalls
bei einer zufälligen Beobachtung zu finden ist P ˜1/τkl .
Die Bewegung von Quantensystem entspricht weit von der Mulde der
Superposition von 2 Wellenpaketen (∆k klein!): der einfallenden Welle
Z ∞
0
f (k 0 − k)e−ik x−iωt dk 0
Ψ(x, t) =
0
und der reflektierten Welle
Ψr (x, t) = −
Z
∞
0
0
f (k 0 − k)eik x+2iφ(k)−iωt dk 0
mit ω = E/~ (da alle Teilchen, die von rechts kommen am Ende reflektiert
wurden, sind die Beträge der Funktionen f in beiden Ausdrücken gleich, vgl.
Amplituden der 2 Wellen in ψ(x)). In der einfallenden Welle werden nur
Teilchen mit p < 0 berücksichtigt, die sich nach links bewegen. Die Zentren
der Wellenpackete bewegen sich gemäß
dϕ(x, t)
=0
dk
wobei ϕ(x, t) = −ik 0 x − iωt bzw. ϕ(x, t) = ik 0 x + 2iφ1 (k) − iωt sind die
Phasen der Wellen. Die Mitte des einfallenden Wellenpakets vollführt die
Bewegung die dem des klassichen Teilchens ähnlich ist: sein Zentrum hat die
Koordinate X1 = −vt mit v = dω/dk (t = 0 entspricht dem ”Zeitpunkt” der
Streuung). Die Mitte des reflektierten Pakets bewegt sich gemäß
Xr = vt − 2(dφ1 /dk).
Da wir die Situation mit scharf definiertem k betrachten, ist das Paket sehr
breit ( L). Innerhalb der Mulde gilt X = ±vt − 2(dφ1 /dk). Aus den Koordinaten kann man die ”Zeit innerhalb der Mulde ablesen” Diese Zeit ist von
der Größenordnung von t2 − t1 mit X1 (t1 ) = Xr (tr ) = L. Daher
2vτqu = 2(dφ1 /dk)
51
so dass
1
τqu = (dφ1 /dk).
v
Im Resonanzfall hat man dann τqu ' τkl /η; zwischen der Resonanzen τqu '
τkl η.
Bemerkung: Da in der Quantenmechanik die Position des Teilchens,
besonders bei kleinem ∆k, nich scharf definiert ist, kann diese Zeit τ nur
probabilistisch interpretiert werden, in etwa wie P ∼ 1/τ . Die Interpretationen, wie die oben diskutierte, sind sehr grob!
• U3 < E. In diesem Fall ist die Wellenfunktion im Bereich x < 0 gleich
ik3 x
c1 e
+ c2 e−ik3 x : es gibt einen zusätzlichen Parameter. Jeder Energie entsprechen in diesem Fall 2 Lösungen (bis zu Normierung). Siehe Hausaufgabe!
5.6
Bewegung in periodischem Potential
Die Energiespektren der Elektronen in Kristallen, die eine streng periodische
Anordnung der Atome besitzen, bestehen aus Energiebändern (die Energiebereiche mit dicht aneinander liegenden Niveaus des diskreten Spektrum in
Falle endlichen Kristalle, oder mit kontinuierlichen Spektrum im Falle unendlicher Systeme), die durch Energielücken voneinander getrennt sind. Wir
betrachten hier solche Systeme am Beispiel eines eindimensionalen Modells.
Die Periodizität des Potentialls führt zu einer ganz spezifischen Eigenschaft der Wellefunktion, die durch das
5.6.1
Bloch-Theorem
ausgedrückt wird. Wir beschränken uns hier zunächst auf das eindimensionale
Problem. Man hat eine SGl. in einem periodischen Potential U (x) so das
U (x + na) = U (x), −∞ < x < ∞, a ist die Gitterkonstante. Der HamiltonOperator des Systems
~2 d2
Ĥ = −
+ U (x)
2m dx2
ist invariant gegen die Translation um a: x → x + a. Solche Invarianz soll
dementsprechend für alle beobachtbare Größen gelten. Die Wellenfunktion
selbst ist nicht beobachtbar, somit können ψ(x) und ψ(x + a) unterschiedlich
sein; das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist hingegen beobachtbar, so
dass
|ψ(x)|2 = |ψ(x + a)|2 .
52
Damit können ψ(x) und ψ(x + a) sich nur um einen reinen Phasenfaktor e iKa
unterscheiden:
ψ(x + a) = eiKa ψ(x).
Da eiKa periodisch ist, können wir stets −π < Ka ≤ π wählen. Die Lsg. ist
damit durch eine zusätzliche Wellenzahl K gekennzeichnet:
ψK (x + na) = eiKna ψK (x).
Das ist für jedes x nur dann möglich, wenn
ψK (x) = eiKx uK (x)
mit u(x) periodisch, uK (x + a) = uK (x). Wenn U (x) → 0, gilt uK (x), und
die Wellenfunktionen sind die ebene Wellen; andererseits sind sie durch eine
periodische Funktion moduliert. Die Fkt. ψK (x) ist nicht im eigentlichen
Sinne normierbar, und gehört dem kontinuierlichen Spektrum an. In einem
endlichen Kristall der Länge N a kann die Normierung durch periodische
Randbedingung erzwungen werden:
ψK (x + N a) = ψK (x).
5.6.2
Kronig-Penney-Modell
Als Beispiel betrachten wir das Modell mit periodisch angeordnete δ-Potentialen:
U (x) = D
∞
X
n=−∞
δ(x − na)
(periodisches Potential mit einer Gitterkonstante a). Die Eigenschaften des
Modells sind bei D > 0 und bei D < 0 weitgehend gleich; wir betrachten
hier nur den Fall D > 0 (D < 0: siehe Hausaufgabe!).
In der Situation D > 0 gibt es keine nichtverschwindenden Ls’gen
−
∞
X
~2 00
ψ +D
δ(x − na)ψ = Eψ
2m
n=−∞
der SGl mit E < 0. Zwischen der δ-Funktionen ist das Teilchen frei; die
Lösung des SGl ist eine Superposition ebenen Wellen:
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx .
53
Im n-ten Intervall ist es zweckmässig zu schreiben
ψ(x) = an eik(x−na) + bn e−ik(x−na) .
Aus dem Bloch-Theorem
ψ(x + na) = eiKna ψ(x)
folgt, dass nur 2 der Koeffizienten an und bn unabhängig sind: an = a0 eikna ,
bn = b0 eikna . Wir benutzen jetzt unsere Aussage über das Verhalten einer
WF im δ-Potential: Bei Dδ(x) ist die Wellenfunktion stetig
ψ+ (0) = ψ− (0),
und ihre Ableitung erfährt einen endlichen Sprung,
0
0
(0) =
(0) − ψ−
ψ+
2m
Dψ(0).
~2
Solch eine ”Nahtbedingung” soll an jedem δ-Peak erfüllt werden. Daher:
ψ(a− ) = a0 eika + b0 e−ika = a1 + b1 = eiKa (a0 + b0 )
(Kontinuität bei x = a) und
ik(a1 − b1 ) − ik(a0 eika − b0 e−ika ) =
2m iKa
De (a0 + b0 ).
~2
Insgesamt, ausgedrückt durch a0 und b0 bekommt man:
ika
a0
0
− eiKa
e−ika − eiKa
e iKa
.
=
2m
2m
iKa
iKa
−ika
iKa
ika
0
b0
ik(−e
+e
) − ~2 De
ik(e
− e ) − ~2 De
Die Bedingung des Verschwindens der Hauptdeterminanten ergibt
cos Ka = cos ka +
mD
sin ka.
~2 k
Schlußfolgerungen:
• Es sind nur solche Energiewerte E = ~2 k 2 /2m erlaubt, bei denen die
rechte Seite der Gl. oben den Wert 1 nicht übersteigt. Das teilt die
54
5
4
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
ka
Abbildung 1: cos Ka als Funktion von ka für mD/~2 = 5
Energieachse in Energiebänder und Energielücken (erlaubte und verbotene Zonen). Im KP-Modell ist der Beginn einer verbotenen Zone
durch
ka = πn
gegeben (sin ka = 0 und cos ka = (−1)n ). D.h. die obere Bandkanten
liegen unabhängig von der Potentialstärke bei En = ~2 π 2 n2 / (2ma2 ).
Die Energiebänder sind mit dem wachsenden Index n numeriert.
• Die zu einer vorgegebeben Wellenzahl ist explizit durch die Lösung
En (k) gegeben. Die K-Abhängigkeit gibt die Banddispersion; die Gesamtheit von En (k)-Kurven gibt das Bandstruktur an.
55
E
60
40
20
0
-3
-2
-1
0
Ka
1
2
3
Abbildung 2: Banddispersion für mD/~2 = 5; Energieeinheti ist ~2 /2ma2 .
• Abhängigkeiten von der Potenzialstärke:
– Mit wachsendem Da werden die Energielücken breiter; allerdings
ist die jeweilige Breite der Lücke unabhängig von Da. Für Da →
∞ schrumpfen die Bänder zu Niveaus, mit Energien En .
– Bei festem D und a werden die Energiebänder mit wachsendemBandindex n immer breiter
– Bei festem a und D → 0 wir die Wechselwirkung der Elektronen
mit dem Gitter ausgeschaltet. Alle Energien E sind dann erlaubt.
56
5.7
Harmonischer Oszillator
Alles, was schwingt, kann mehr oder weniger durch eine harmonischen Oszillation angenähert werden!
Ĥ =
11 2 1
p̂ + mω 2 x2
2m
2
mit ω 2 = k/m, k-Federkonstante. Bemerkung: da U → ∞ für x → ±∞,
besitzt das Operator nur diskretes Spektrum.
SGl:
2 2
1~ d
1 2 2
− ω mx + E ψ(x) = 0.
2 m dx2 2
Variablenwechsel: Dimensionslose Koordinate ξ und Energie :
r
2E
mω
,
=
.
ξ=x
~
~ω
⇒
2
d
2
− ξ + ε ψ(ξ) = 0.
(12)
dx2
Da für ξ → ±∞ {d2 /dx2 − ξ 2 } ψ(ξ) ' 0, ist für grosse ξ ψ(ξ) ' exp(−ξ 2 /2).
Daher sucht man die Lsg. in der Form:
ψ(ξ) = f (ξ)e−ξ
2 /2
.
Einstellen in Eq.(12) ergibt für f :
f 00 − 2ξf 0 + ( − 1)f = 0.
Damit die Lsg. von (12) überall endlich bleibt, muss f nicht besonders schnell
wachsend sein (z.B. ein Polynom). Solche Ls’gen existieren tatsächlich für
− 1 = 2n
mit n = 0, 1, 2, ...: f (ξ) = Cn Hn (ξ), Hn – ein Hermite-Polynom:
H0 (ξ)
H1 (ξ)
H3 (ξ)
H4 (ξ)
=
=
=
=
1
2ξ
4ξ 2 − 2
8ξ 2 − 12ξ
...
57
Die Hermite-Polynome genügen folgenden Rekursionsbeziehungen:
Hn+1 (ξ) = 2ξHn (ξ) − 2nHn−1 (ξ)
d
Hn (ξ) = 2nHn−1 (ξ).
dξ
Cn ist eine Normierungskonstante:
1/2
1 n
.
2
Cn = √
πn!
Daher:
1
En = ~ω n +
2
(E0 = ~ω/2 – die Nullpunktenergie).
Wie kommt man auf die Lösungen? Suchen wir nach einer Lösung der
Gl.(5.7) in Form einer Potenzreihe:
f (ξ) =
∞
X
αn ξ n
n=0
(da die Lösungen der Ausgangsgleichung eine wohldefinierte Parität haben
müßen, bestehen die Reihen ausschlisslich aus geraden oder aus ungeraden
Potenzen von x). Einstellen in der Gl.(5.7) und sammeln der Koeffizienten
vor den gleichen Potenzen von x ergibt:
X
[αn+2 (n + 2)(n + 1) + αn ( − 1 − 2n)] xn = 0.
n
Da x eine freie Variable ist, soll der Ausdruck [...] für jedes Glied verschwinden. Daraus resultiert eine Rekursionsformel:
αn+2 =
2n + 1 − αn .
(n + 2)(n + 1)
(13)
Die erlaubt das Ausdrucken von allen Koeffizienten durch α 0 für die gerade
und durch α1 für die ungerade Lösungen. Ist ein der Koeffizienten αi = 0 so
verschwinden auch alle folgende Koeffizienten: Die Reihe bricht ab.
Wenn die Reihe nicht abbricht, dann haben wir für große n
αn+2 '
58
2
αn ,
n
d.h. αn+2 /αP
für große n der Reihenentwicklung von
n ' 2/n. Das entspricht
P∞
∞
2
2m
2m
exp(x ) = m=0 βm x = m=0 x /m! mit βm+2 /βm = 1/(m/2 + 1)! '
2/m für die geraden Zustände oder der Reihenentwicklung von x exp(x2 ) für
die ungeraden Zustände (gleichermassen). Das heißt, dass wenn die Reihe
2
nicht abbricht, divergiert die Wellenfunktion ψ(ξ) = f (ξ)e −ξ /2 für ξ → ±∞.
Die Reihe muss also abbrechen. Das ist nur dann möglich, wenn
= 2n + 1,
wohin unsere Energiebedingung folgt. Die Hermite-Polynome folgen aus unserer Rekursionsformel Eq.(13) und der Normierungsbedingung für die gesamte
Wellenfunktion.
59
60
Mathematischer Einschub: Die Orthogonalpolynome
Das System der Polynome
(n)
fn (x) = kn(n) xn + kn−1 xn−1 + ... (∗)
(14)
wird als eine Familie der Ortogonalpolynome auf [a, b] bezeichnet,
wenn sie der (gewichteten) Orthogonalitätsbeziehung
Z b
w(x)fn (x)fm (x)dx = 0
a
für eine Gewichtung w(x) und n 6= m genügen. Der obere Index in Gl.
(*) bezeichnet das Glied der Familie, der untere Index entspricht der
Potenz von x. Die Normierung ist durch eine Zusatzbeziehung gegeben
Z b
w(x)fn2 (x)dx = hn .
a
Solche Polynome genügen einer Rekursionsbeziehung
fn+1 = (an + xbn )fn − cn fn−1
mit
(n+1)
bn =
kn+1
(n)
kn
(n)
(n+1)
,
an = b n
kn
(n+1)
kn+1
−
kn−1
(n)
kn
!
(n+1) (n−1)
,
cn =
kn+1 kn−1
(n)2
kn
hn
.
hn−1
Alle solche Polynome folgen aus der Rodrigues-Formul
fn =
1 1 dn
{w(x) [g(x)]n }
en w(x) dxn
wobei das Polynom g(x) unabhängig von n ist (das gewährleistet die
Orthogonalität, Gl.(*)), und genügt einer Differenzialgleichung
g2 (x)fn00 + g1 (x)fn0 + g0 (x, n)fn = 0,
wobei die Polynome g1 (x) und g2 (x) nicht von n abhängen. Die HermitePolynome sind eine Familie mit g2 (x) = 1, g2 (x) = −2x und g0 (x, n) =
√
2
2n, die Gewichtung w(x) = e−x , und hn = π2n n!. Für solche
Polynome gilt en = (−1)n und g(x) = 1. Alle Eigenschaften der
Orthogonalpolynome finden ihre Entsprechung in Eigenschaften der
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.
61
Aus der Rekursionsbedingungen für die Hermite-Polynome folgt:
r
r
n
n+1
ψn−1 +
ψn+1
ξψn =
2
2
und
∂ψn
=2
∂ξ
und somit
∂ψn
=2
∂ξ
r
r
(15)
n
ψn−1 − ξψn
2
n
ψn−1 −
2
r
n+1
ψn+1 .
2
Aus der (15) und (16) folgen nützliche Beziehungen:
√
1
∂
√ ξ+
ψn =
nψn−1
∂ξ
2
√
∂
1
√ ξ−
ψn =
n + 1ψn+1
∂ξ
2
(16)
(17)
Die entsprechende Operatoren
1
1
∂
= √ (ξ + ip̂ξ )
â = √ ξ +
∂ξ
2
2
und
∂
1
1
= √ (ξ − ip̂ξ )
â = √ ξ −
∂ξ
2
2
werden das Vernichtungs- und Erzeugungsoperator genannt. In Ausgangsvariablen des Problems sind
√
1
i
â = √
mωx̂ + √
p̂
mω
2~
+
und
1
â = √
2~
+
√
i
mωx̂ − √
p̂ .
mω
Aus dem Kommutator [x̂, p̂] = i~ bekommt man
+
â, â = 1
62
(die Operatoren â und â+ sind dimensionslos). Da gilt
r
mω
(â + â+ )
x̂ =
2~
und
p̂ = −i
bekommt unser Hamiltonian
Ĥ =
die Gestalt
r
~mω
(â − â+ )
2
11 2 1
p̂ + mω 2 x2
2m
2
1
Ĥ = ~ω â â +
2
+
.
Die Kombiantion n̂ = â+ â wird als Besetzungszahloperator bezeichet.
Die Wellenfunktion des n-ten Zustandes kan man durch wiederhohlte An2
1
wendung des Operators â+ auf ψ0 (ξ) = π1/4
e−ξ /2 bestimmen:
1
ψn = √ (â+ )n ψ0 .
n!
Durch wiederholte Anwendung von (17) bekommt man die Gleichungen
ââ+ ψn = (n + 1)ψn
â+ âψn = nψn
aus denen ebenfalls [â, â+ ] = 1 folgt. Für die Eigenfunktion ψn gilt dann
1
1
+
Ĥψn = ~ω â â +
ψn = ~ω n +
ψn
2
2
woraus man sofort
ablesen kann.
1
En = ~ω n +
2
63
5.7.1
Multidimensionaler harmonischer Oszillator
Bis jetzt haben wir nur eindimensionale Probleme betrachtet. Betrachten wir
nun als einfaches Beispiel einenP
3-dimensionalen harmonischen Oszillator, mit
allgemeinem Potential U (r) = i,j k̃ij ri rj , mit einer nicht-negativ definierten
n o
Matrix k̃ij . Durch Rotation des Koordinatensystems (damit die x, y und
n o
z mit der Hauptachsen der Matrix k̃ij zusammenfallen) kann man das auf
die einfache Form U (x, y, z) = 21 kx x2 + 12 ky y 2 + 21 kz z 2 bringen. Der HamiltonOperator lautet:
~2
Ĥ = −
2m
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
= Ĥx + Ĥy + Ĥz
1
1
1
+ ωx2 mx2 + ωy2 my 2 + ωz2 mz 2
2
2
2
und ist eine Summe von 3 eindimensionalen Hamilton-Operatoren für die
Schwingungen in entsprechenden Richtungen.
In solchem Fall (und nicht nur in solchem Fall) lohnt es sich nach der
Lösung der Schrödinger-Gl.
Ĥψ = Eψ
in der folgenden Form zu suchen:
ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z).
Die natürlichen Randbedingungen fordern, dass jeder der Funktionen X, Y
und Z verschwinden soll, wenn ihre Argument gegen Unendlich strebt. Einsetzen ergibt:
Y Z Ĥx X + XZ Ĥy Y + XY Ĥz Z = EXY Z.
Daher:
1
1
1
Ĥx X + Ĥy Y + Ĥz Z = E.
X
Z
Z
Jeder der Summanden hängt nur von einer Koordinate ab. Daher muss jeder
davon konstant senn. Die entsprechenden Lösungen können aus den Eigenfunktionen der eindimensionalen Operatoren bestimmt werden: wenn
Ĥx X = Ex X,
Ĥy Y = Ey Y,
Ĥx Z = Ex Z
64
mit Ex = ~ωx nx + 12 , Ey = ~ωy ny + 21 und Ez = ~ωz nz + 12 sehen
wir, dass ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) tatsächlich eine Lösung ist, mit
3
E = Ex + Ey + Ez = ~ωx nx + ~ωy ny + ~ωz nz + .
2
Wenn die Frequenzen ωx , ωy und ωz keine Vielfachen voneinander darstellen,
ist dieses Spektrum nicht entartet. Die andere Situation ergibt sich, wenn die
Frequenzen zueinander proportional sind. Wenn z.B. ωx = ωy = ωz = ω, so
gilt
3
E = ~ω n +
2
mit n = nx +ny +nz . Der Zustand mit der ”Hauptquantenzahl” n ist entartet.
Der Grad der Entartung entspricht der Zahl der Möglichkeiten, die Zahl n
als Summe von 3 nichtnegativen ganzen Zahlen zu erhalten.
Um den Entartungsgrad zu bestimmen betrachten wir zuerst n x und ny .
Wenn m = nx + ny dann gibt es bei fixiertem m genau m + 1 Möglichkeiten
nx auszuwählen, nx ist damit fixiert. Wenn jetzt n fixiert ist, so nimmt m
alle werte von 0 bis n an, dabei ist nz vorgegeben. Insgesamt haben wir dann
N=
n
X
(m + 1) =
m=0
(m + 1)(m + 2)
.
2
Bemerkung: Oft trifft man die Situation an, wenn das Potential als
Funktion von einigen Koordinaten verschwindet (z.B. freie Bewegung in xRichtung (Teilchen, die zu einer Linie durch einen harmonischen Potential
gebunden ist, oder die freie Bewegung in x- und y-Richtungen (Teilchen an
einer Fläche harmonisch angebunden). In diesem Fall ist der gültige Ansatz
ψ(x, y, z) = eikx Y (y)Z(z)
bzw.
ψ(x, y, z) = eikx x eiky y Z(y).
Die Energien werden im Prinzip kontinuierlich:
E = E x + Ey + Ez =
~2 2
k + ~ωy ny + ~ωz nz + 1
2m
E = E x + Ey + Ez =
~2 2
1
~2 2
kx +
ky + ~ωz nz + .
2m
2m
2
bzw.
65
5.7.2
Teilchen im Magnetfeld.
Zeitunabhängiges homogenes Magnetfeld parallel zu z-Achse: B = (0, 0, B).
Das klassische Teilchen im Magnetfeld B vollführt eine Rotationsbewegung
in der zu B normalen Fläche, mit der Frequenz ωc = me B (Zyklotronfrequenz). Die Bewegung in z-Richtung ist frei. Die periodische Kreisbewegung
in (x, y)-Fläche soll quantisiert werden. Für diese Bewegung entstehen die
Energieniveaus En = ~ω(n + α), so dass insgesamt
E=
p2z
+ En .
2m
Für das Teilchen, das nur die Bewegung in (x, y)-Fläche vorführt (2-dimensionales
System, z.B. Elektronen in einem dünnen Schicht) ist das Spektrum diskret.
Wir geben hier die quantenmechanische Betrachtung (Landau,1930). Das
Problem ist sehr reichhaltig; wir betrachten es hier nur als Anwendungsbeispiel zur Variablenseparation und zur Benutzung unsere Resultaten für den
harmonische Oszillator.
Der Hamilton-Operator für ein Teilchen im Magnetfeld:
Ĥ =
1 2
1
(p − eA)2 =
−~ ∆ + i~e (∇A + 2A∇) + e2 A2
2m
2m
Eichinvarianz: Für
A(r) → A(r) + ∇χ(r)
gilt
e ψ → ψ (r) = ψ(r) exp i χ
~
0
???
Bequem: Coulomb-Eichung mit divA = 0. Spezialfall: Landau-Eichung
mit A = (−By, 0, 0):
2
~2
i~
∂
∂2
∂2
∂
e2 B 2 2
Ĥ = −
−
+
+
eBy
+
y
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
m
∂x
2m
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung
Ĥψ = Eψ
ist in Form
ψ(x, y, z) = eikz z eikx x φ(y)
66
zu suchen. Einsetzen in die Gleichung, kleine Umgruppierung:


 ~2
~2 ∂ 2
~2 2 ~kx
e2 B 2 2 


kz2 −
+
k
+
eBy
+
y  eikz z eikx x φ(y) = Eeikz z eikx x φ(y)

2m ∂y 2 |2m x
m {z
2m }
 2m
1 2
ω m(y−y0 )2
2 c
mit ωc =
e
B
m
und y0 = (~/eB)kx . Die Gleichung für φ(y)


 ~2 ∂ 2
~2 2 
1 2


2
+ ω m(y − y0 ) + E −
k  φ(y) = 0
−
2m z 
 2m ∂y 2 2 c
{z
}
|
E−p2z /2m
entspricht der Schrödinger-Gl. für den harmonischen Oszillator. Die Enenrgie
ist von y0 (und somit von kx ) unabhängig. Insgesamt gilt
p2z
1
E=
+ ~ωc n +
.
2m
2
|
{z
}
Landau-Niveaus
6
Klassischer Limes der Quantenmechanik.
Quasiklassische Näherung.
In hinreichend stetigen äußeren Feldern und für grosse Impulse des Teilchens
(kleine de-Broglie-Wellenlänge) unterscheidet sich das Verhalten des Teilchens nur wenig von den klassischen Vorhersagen. Wir untersuchen jetzt den
Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik, der formal
dem Übergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik analog ist. Wir
konzentrieren uns auf die Situation ohne Magnetfeld.
Man kann der Grenzübergang von der Quantenmechanik zur klassischen
Mechanik am einfachsten untersuchen, wenn man der Wellenfunktion in der
form
i
Ψ(r, t) = exp S(r, t)
~
darstellt. Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung
i~
∂
Ψ(r, t) = −~2 ∆ + U (r) Ψ(r, t)
∂t
67
ergibt für S(r, t)
(∇S)2
i~
∂S
=
+ U (r) −
∆S.
∂t
2m
2m
Vergleichen wir das mit der Hamilton-Jakobischen Gleichung der klassischen
Mechanik
∂S0
(∇S0 )2
−
=
+ U (r)
∂t
2m
mit der klassischen Wirkungsfunktion
Z t
S0 (r, t) =
L(r, ṙ, t0 )dt0 ,
−
0
so sehen wir dass die letzte den Grenzfall der ersten mit ~ → 0 darstellt.
(Zur Erinnerung: Die Bahnkurven des klassischen Teilchens sind normal
zu Flächen S = const: Da pi = ∂L/∂ q̇ bekommt man
d
p − ∇L = 0
dt
Rt
(die Bewegungsgl.) und p = 0 dtd p dt0 = ∇S0 . Im einfachsten Fall L =
T − U , ist somit die HJ-Gleichung eine Identität T = p2 /2m).
Wir wollen feststellen, wann eine klassischen Beschreibung möglich ist.
Wir konzentrieren uns auf stationäre Zustände. Daher
Et
Ψ(r, t) = ψ(r) exp −i
.
~
Die Zeitabhängigkeit spaltet sich ab:
S(r, t) = s(r) − Et.
Dabei bekommen wir
(∇s)2
i~
+ U (r) − E −
∆s = 0.
2m
2m
(18)
Der Übergang zur klassischen Mechanik erfolgt durch ~ → 0: s(r) → s 0 (r):
(∇s0 )2
+ U (r) − E = 0.
2m
68
(19)
Die Funktion s0 (r) ist mit dem Impuls des Teilchen durch p(r) = ∇s0 (r)
verbunden. Die Näherung von Gl.(18) durch die Gl.(19) ist dann möglich
wenn das letzte Glied klein ist im Vergleich mit dem ersten:
(∇s)2 ~∆s
i.e. wenn
p2 ~ |divp| .
Im Spezialfall eindimensionaler Bewegung wird aus der Ungleichung
dp ~ dx
.
1
p2
p
Unter Verwendung von p = 2m(E − U ) kann man diese Ungleichung auch
in anderer Form schreiben:
∂U 3
.
p m~ ∂x Daraus folgt, dass wir ein quantenmechanischen System genähert klassisch
behandeln können wenn die Teilchen große Impulse besitzen und sich in einem
Feld mit kleinen Gradienten bewegen.
Wenn wir p durch die de-Broglie-Wellenlänge ausdrucken, bekommen wir
1 ∂λ
1
2π ∂x
Die Änderung der Wellenlänge auf der Strecke λ/2π muß sehr klein gegenüber
der Wellenlänge sein. Ist die Abmessung des Systems l, so gilt ∂λ/∂x ' λ/l:
λ l.
6.1
Quasiklassische Näherung (WKB-Näherung)
Die quasiklassische (WKB: für Wentzel-Kramers-Brillouin) Näherung ist ein
Verfahren zur Lösung der Gl.
i~
(∇s)2
+ U (r) − E −
∆s = 0
2m
2m
69
woraus die WF des stationären Zustandes als
i
ψ(r) = exp s(r)
~
folgt. Die Lösung wird als formale Entwicklung nach Potenzen von ~ gesucht:
2
~
~
s = s 0 + s1 +
s2 + ...
i
i
Ist die Voraussetzung p2 ~ |divp| erfüllt, sind die höheren Glieder der Reihe
bedeutend kleiner als die vorhergehenden. Die Lösung kann durch Iteration
bestimmt werden:
• 0. Ordnung
• 1. Ordnung
• 2. Ordnung
usw.
(∇s0 )2
+ U (r) − E = 0,
2m
1
∇s1 ∇s0 + ∆s0 = 0,
2
(∇s1 )2 + 2∇s2 ∇s0 + ∆s1 = 0
Gewöhnlich beschränkt man sich auf s0 und s1 .
Beispiel: Eindimensionale Bewegung.
[s00 (x)] = p2 (x)
2s01 (x) = −s000 (x)/s00 (x)
h
i
2
0
00
0
2s2 (x) = − s1 (x) + (s1 (x)) /s00 (x)
p
usw, mit s00 (x) = ±p(x) = ± 2m(E − U (x)) (die Funktion p(x) fällt mit
dem Betrag des klassischen Impulses zusammen falls E − U (x) > 0 ist).
Damit
Z xp
s0 = ±
2m(E − U (x0 ))dx0 .
a
Aus der 2. Gleichung folgt dann
s1 = − ln
p
|p| + ln C
70
(C-Integrationskonstante). Daher ist die allgemeine Lösung
Z x
Z
C
C1
i x
i
0
0
0
0
ψ(x) = p
exp
exp −
p(x )dx + p
p(x )dx .
~ a
~ a
|p(x)|
|p(x)|
Der Bereich E > U (x) wird als klassisch erlaubter Bereich bezeichnet. In
diesem Bereich kann man die WF als Funktion schreiben, die von 2 Parameter
abhängig ist
Z x
1
A
0
0
p(x )dx + α .
(20)
ψ(x) = √ sin
p
~ a
√
Die Amplitude der WF ist proportional zu 1/ p. Die Aufenthaltwahrscheinlichkeit in kleinen Volumen ist im Wesentlichen proportional zu |ψ(x)| 2 '
1/p, d.h. umgekehrt proportional zu der Geschwindigkeit des klassischen Teilchens.
Die Werte xi , für die E = U (xi ), entsprechen der Umkehrpunkten. Das
sind die Ruhepunkte des klassischen Teilchen. In diesen Punkten wird die
quasiklassische Näherung unbrauchbar. Nahe an diesen Punkten
dU 2
p = 2m [E − U (x)] ' 2m |x − xi | .
dx
folgt, dass der Gültigkeitsbereich der quaAus der Bedingung p3 m~ ∂U
∂x
siklassischen Näherung den Abständen
1
|x − xi | 2
~2
m |dU/dx|
1/3
(21)
entspricht.
Der Bereich E < U (x) wird als klassisch nicht erlaubter Bereich bezeichnet. In diesem Bereich ist p(x) imaginär: p(x) = iκ(x). Damit ist die Lösung
Z x
Z
C1
C
1 x
1
0
0
0
0
κ(x )dx + p exp −
κ(x )dx . (22)
ψ(x) = p exp
~ a
~ a
|p|
|p|
Die quasiklassische Funktionen (20) und (22) sollen im Umkehrpunkt aneinander angeschlossen werden (vgl. rechteckige Potentialtopf).
71
6.1.1
Beispiel: Potentialtopf. Diskretes Spektrum
Problem: Nahe an Umkehrpunkt sind die Lösungen nicht zu verwenden, sieh
Skizze.
Z
C
1 x1 p
0
2m(U (x0 ) − E)dx ,
ψI (x) ' p exp −
~ x
|p|
Z x
p
1
A
0
0
ψII (x) ' √ sin
2m(E − U (x ))dx + α ,
p
~ x1
Z
1 xp
C1
0
ψIII (x) ' p exp −
2m(U (x0 ) − E)dx ,
~ x2
|p|
x < a1
b 1 < x < b2
x > a2 .
In den Gebieten in unmittelbarer Nähe der Umkehrpunkten sind diese
Näherungen unbrauchbar. Betrachten wir z.B. den Bereich a 1 < x < b1 .
In diesem kleinen Bereich kann man die potentielle Energie in eine Reihe
entwickeln:
dU (x − x1 ) + ...
U (x) ' E − dx x=x1
| {z }
F (x1 )
Somit erhalten wir in der Nähe des Umkehrpunkts eine Schrödinger-Gl.
2 2
~ d
+ F (x − x1 ) ψ(x − x1 ) = 0.
2m dx2
72
Führen wir eine neue, dimensionslose Koordinate
1/3
2mF
ξ=
(x1 − x)
~2
ein, so dass
ψ 00 (ξ) − ξψ(ξ) = 0.
Die (nicht normierten) Ls’gen dieser Differenzialgleichung sind die AiryFunktionen. Wir suchen eine Lsg, die für ξ > 0 oszilliert und fürRξ < 0 mono∞
ton abfällt. Diese Lsg. ist durch eine Spezialfunktion Ai(ξ) = √1π 0 cos (zξ + z 3 /3) dz
gegeben.
Die Grenzen des Bereichs Eq.(21) entsprechen den Werten |ξ| 1. Das
asymptotische Verhalten der Lsg. ist dann gegeben durch
1 −1/4
ξ
exp − 32 ξ 3/2
für ξ 1
2
2 3/2 π .
ψ(ξ) '
−1/4
|ξ|
sin 3 ξ + 4 für ξ −1
Kommen wir zu den Ausgangskoordinaten zurück, so erhalten wir für x > x1
r
Z xr
Z x
2 3/2 2 2mF
2mF
3/2
p(x0 )dx0
ξ =
(x − x) =
(x − x1 )dx =
2
3
3
~2
~
x1
x1
p
−1/2
und ξ −1/4 = 2mF
(x − x1 )
= 1/ p(x).
~2
Für x < x1 bekommt man
r
Z
2 3/2 2 2mF
1 x
3/2
ξ =
(x1 − x) =
π(x0 )dx0 .
3
3
~2
~ x1
Somit kann man die Lösung and der Grenze a1 bzw. b1 folgendermaßen schreiben:
Rx

exp − ~1 x 1 π(x0 )dx0
für x = a1
 2√B
|p(x)|
i
h
R
.
ψ1 (x) '
 √B sin − ~1 xx p(x0 )dx0 + π4 für x = b1
1
p(x)
An der Grenze a1 bzw. b1 ist die Lsg. ψ(x) mit der Teillösung ψI (x) bzw.
ψ2 (x) gleichzusetzen. Damit erhält man für die Koeffizienten A und C und
für die Phase α
A = B
2C1 = B
α = π/4.
73
Die gleich Prozedur muß auf der Grenzen b2 und a2 wiederholt werden (Bemerke: Spiegelverkehrte Situation!):
i
h

R
 √D exp − 1 x π(x0 )dx0 für x = a2
~ x2
2 |p(x)|
R
ψ2 (x) '
.
 √D sin ~1 xx2 p(x0 )dx0 + π4 für x = b2
p(x)
Die Lsg.
Z x
π
1
A
0
0
p(x )dx +
ψII (x) = √ sin
p
~ x1
4
kann folgendermaßen umgeschrieben werden:
Z x2
Z
−A
1
π π 1 x1
0
0
0
0
ψII (x) = √ sin
p(x )dx + − +
p(x )dx
p
~ x
4
2 ~ x2
Diese Funktion muss in a2 der Funktion ψ2 (x) gleich sein, so dass D =
(−1)n A und
Z
π
1 x2
p(x0 )dx0 − = πn.
~ x1
2
Nur dann ist der stetige Übergang in beiden Grenzbereichen gewährleistet.
Wenn wir jetzt das Phasenintegral
I
Z x2
pdx = 2
p(x)dx
x1
entlang des Weges von x1 nach x2 einführen, so erhalten wir
I
1
pdx = 2π~ n +
,
2
(23)
die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsvorschrift.
6.1.2
Quasiklassische Näherung leichgemacht
Die Lösung in der Nähe der klassischen Umkehrpunkte müssen nur einmal
gefunden werden. Dann kan mann die Konsistenzbedingungen zwischen den
Lösungen vom exponentiellen und oszillerenden Typ ein für alle mal formulieren. Die allgemeine Lösung der SGl. in diesen Bereichen ist eine lineare
Kombination aus 2 unabhängigen Lösungen ψ(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x). Die
74
Formen von y1 (x) und y2 (x) in klassisch verbotenen und in klassisch erlaubten Bereichen sind bekannt. Die Konsistenzbedingungen beim Übergang zwischen den Bereichen lassen sich (anhand von der Airy-Lsg.) folgendermassen
formulieren:
• wenn wir aus dem Bereich exponentieller WF (klassisch verbotener
Bereich) x < x1 zum Oszillationsbereich x > x1 übergehen,
Z x
Z
1
1 x1
π
1
c1 1
0
0
0
0
p
exp −
cos
p(x )dx −
→ c1 p
,
π(x )dx
2 π(x)
~ x
~ x1
4
p(x)
Z x1
Z x
π
1
c2 1
1
1
0
0
0
0
p
π(x )dx
p(x )dx −
→ −c2 p
exp
sin
2 π(x)
~ x
~ x1
4
p(x)
mit π(x) =
p
p
2m(U (x) − E) und p(x) = 2m(E − U (x)).
• Beim Verlassen des Bereiches gelten die gleiche Regeln, man muss nur
x und x1 austauschen. Die Richtung der Pfeile bleibt erhalten.
Oft ist es vernünftig statt einer komplexen Form oder statt c1 sin(...) +
c2 cos(...) die Notation c cos(... + φ) zu benutzen. In diesem Fall
Z x2
Z
1
1 x
1
π
1
0
0
0
0
cp
exp −
p(x )dx − + φ → c sin φ p
π(x )dx .
cos
~ x
4
~ x2
π(x)
p(x)
6.1.3
Durchdringen eines Potentialwalls.
Betrachten wir die quasiklassische Näherung für die Zustände aus kontinuierlichem Spektrum. Die einfallende Welle kommt aus dem Bereich I, wobei
das Potential verschwindet ψI (x) = AeikI x + Be−ikI x . Im Gebiet III gibt es
auslaufende Teilchen. Weit von dem Wall verschwindet das Potential, so ist
die WF
ψIII → CeikIII x
Wir interessieren uns für das Durchdringen des Walls und definieren den
Durchlaßkoeffizienten T :
2 C kIII .
T = A
kI 75
Bemerkung: Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der einfallede Welle ist
E
~
t
t
∗ ~
∗ −i E
i
JI = Re ΨI ∇ΨI = Re ψI e ~
∇ψI e ~ =
im
im
~kI
∗ ~
= Re ψI
A2 − B 2 .
∇ψI =
im
m
In dem Gebiet III hat man
J=
(richtige Dimension:
~kIII 2
C .
m
M L2 1 1
[J] =
T LM
Aus der Stromerhaltung folgt
= [v]
C 2 kIII = A2 − B 2 kI .
Zunächst betrachten wir den Fall E = ~2 k 2 /2m < Umax . Zur Berechnung
dieser Größen muß man die Bewegung des Teilchens im Bereich II untersuchen.
Es ist einfacher, vom Bereich III anzufangen (nur 1 Welle), C festsetzen
und A und B als Funktionen von C zu bestimmen. Setzen
√ wir einfachheits√
halber c = (1 + i) (d.h. C = (1 + i) / p = (1 + i) / 2mE). Die Lsg. in
diesem Bereich ist dann:
Z x
1
i
π
ψIII = p
exp
,
p(x)dx − i
~ x2
4
p(x)
oder
ψIII
Z x
Z x
1
1
π
π
cos
p(x)dx −
p(x)dx −
+ i sin
.
=p
~ x2
4
~ x2
4
p(x)
1
Im Bereich II wird diese Lösung zu einer rein exponentiell abfallenden Lösung
Z x2
1
1
exp
ψII = −i p
π(x)dx
~ x
π(x)
Z x2
Z
1 x
1
1
π(x)dx exp −
π(x)dx
exp
= −i p
~ x1
~ x1
π(x)
"
#
Z x
1
1
= −ieτ p
exp −
π(x)dx
~ x1
π(x)
76
Rx
Rx p
mit τ = x12 π(x)dx = x12 ~1 2m (U (x) − E)dx.
Im Bereich I benutzen wir eine Lösung
ψI (x) = A cos [k(x − x1 ) + δ] ,
(mit i.A. komplexen Koeffizient A). Die Konsistenzbedingungen im Punkt x 1
ergeben dann:
Z x1
Z
1 x
1
1
π
1
0
0
0
0
cos
exp −
→ cp
p(x )dx −
π(x )dx
2c p
~ x
4
~ x1
p(x)
π(x)
so dass 2c = −ieτ . Da δ = −π/4 reell ist, ergeben sich die praktisch gleichen
Amplituden für einlaufende und der reflektierte Welle, da cos(kx + δ) =
1 ikx+iδ
e
+ 21 e−ikx−iδ . Daher
2
JI =
1 2 ~k
A
4
m
p
2m(E − U0 ). Der Durchlasskoeffizient ist dann:
p
p
E(E − U0 ) −2τ
E(E − U0 ) −2 Rxx2 ~1 √2m(U (x)−E)dx
1
e
=4
e
T =4
.
U0
U0
mit A = eτ /
77
Für die Anwendbarkeit der WKB-Methode ist es wichtig, dass der Wall eine Breite von ”mehreren Wellenlängen” hat, d.h. τ 2π. Damit ist der
Durchlasskoeffizient T sehr klein, T . 10−5 . Das erklärt auch die praktische
Gleichheit der Amplituden der einlaufenden und der reflektierten Welle. Der
typische Wert des Durchlasskoeffizienten
R √
2m(U (x)−E)dx
− 2 x2
T ' e ~ x1
gilt für den allgemeinen Fall. Der Reflexionskoeffizient, den wir in unserer
einfachen Betrachtung gleich 1 gesetzt haben, kann nachträglich als
R=1−T
bestimmt werden.
Anwendungsbeispiele: kalte Elektronenemission aus einem Metall, α-Zerfall,
u.s.w.
7
Operatoren für physikalische Größen in Ortsdarstellung.
Als wir die Schrödinger-Gl. betrachtet haben, haben wir die Operatoren für
die Koordinaten und die Impulsen definiert: Die Operatoren der Koordinaten
sind einfach q̂x = x·, q̂y = y· und q̂z = z·, die Operatoren der Impulskompo∂
∂
∂
nenten sind p̂x = −i~ ∂x
, p̂y = −i~ ∂x
und p̂z = −i~ ∂z
. Die Operatoren von
Koordinaten und von Impulsen kommutieren untereinander (sind vertauschbar ). Für Kommutatoren einer Koordinate und eines Impulses gilt
[q̂i p̂k ] = i~δik
mit i, k = x, y, z.
Die Operatoren, die eine Differentiation bewirken, wie p̂, nennt man Differentialoperatoren. Enthalten die Operatoren eine Integration, sind sie Integraloperatoren. Es können auch Integrodifferentialoperatoren vorkommen.
Einen Operator, der bei der Anwendung auf eine Fkt. aus einem bestimmten Funktionenraum, auf dem er definiert ist, eine Zahl ergibt, nennt man
ein Funktional. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit ein RTeilchen in einem Interb
vall zwischen a und b zu finden (in 1D) ist P = a ψ ∗ (x)ψ(x)dx. Dies ist
78
ein Integraloperator und ein Funktional von ψ(x). Das Skalarprodukt zweier
Wellenfunktionen
Z ∞
ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx
−∞
ist auch ein Funktional. Für solche Produkte werden wir (zunächst als Kurzehandnotation) die folgende Bezeichung einführen (”Dirac-Notation”)
Z ∞
ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx = hψ1 |ψ2 i .
−∞
Solche Notation wird bald ihr Eigenleben bekommen!
7.1
Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten
und Impulse
Jeder physikalisch messbaren Größe wird in der Quantenmechanik ein Operator gegenübergestellt. Aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion folgt, dass wenn eine Messgröße nur eine Funktion der Koordinaten
ist, so gilt in einem Zustand mit der WF ψ(x)
Z ∞
F (x)ψ ∗ (x)ψ(x)dx.
hF (x)i =
−∞
R∞
Man schreibt normalerweiser hF (x)i = −∞ ψ ∗ (x)F (x)ψ(x)dx und verwendet
dafür die Notation
hF (x)i = hψ|F |ψi .
Bemerkung:
R∞
Oft muß man auch die Integrale −∞ ψ1∗ (x)F (x)ψ2 (x)dx, sie sog. Matrizenelemente, ausrechnen. Die Bezeichnung dafür ist
Z ∞
ψ1∗ (x)F (x)ψ2 (x)dx = hψ1 |F ψ2 i = hψ1 |F |ψ2 i .
−∞
Das Skalarprodukt ist daher hψ1 |ψ2 i = ψ1 |1̂|ψ2 .
I.A. sind die Messgrößen auch die Funktionen der Impulse: wir nehmen
zunächst an, dass die entsprechenden Funktionen in eine Taylor-Reihe entwickelt werden können. Da wir noch nicht mit dem allgemeinen Formalismus
vertraut sind, sollen wir hier zunächst einen Trick anwenden.
79
Das Verhalten des Teilchens in einem Potential kann dirch einem Wellenpaket oder einer stehenden Welle (Zustände des diskreten Spektrums) beschrieben werden. Statt eines unendlichen System können wir ein sehr großes,
aber endliches System betrachten. Die Eigenschaften des physikalischen Systems sollen nicht von der Randbedingungen sehr weit von dem Messbereich
abhängen. Daher können wir diese frei wählen. Wir betrachten nun die periodischen Randbedingungen mit der Periode L (in einem Kasten von Volumen
Ω):
ψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z + L).
z.B. für die freie Bewegung bekommt man die laufenden ebenen Wellen
ψk (r) = L−3/2 exp(ikr).
Anhand der Randbedingungen sind nur die diskreten Werte von k erlaubt
k=
2π
(nx , ny , nz )
L
wobei nx , ny , nz ganzen Zahlen sind: statt des kontinuierlichen Spektrum
haben wir ein diskretes Spektrum bekommen, aber für L → ∞ wird der
Abstand zwischen den Niveaus beliebeg klein. Wir nehmen an, dass der
Grenzübergang L → ∞ zu korrekten Eigenschaften des kontinuierlichen
Spektrum führen wird. Vorteil des Einsperren des Systems in einen Kasten ist dass jetzt alle Wellefunktionen normiert sind! Die normierten ebenen
Wellen ψk (r) bilden einen orthonormiertes System
Z
ψk (r)ψk0 (r)dr = δnx n0x δny n0y δnz n0z .
Ω
Jede in dem L-Kasten Ω definierte Funktion kann als Summe solcher ebenen
Wellen aufgefasst werden (Fourier-Transform!):
X
ψ(r) =
ak ψk (r).
(24)
k
Aus den Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation kennt man dass
Z
(25)
ak =
ψk∗ (r)ψ(r)dr = hψk |ψi
Ω
80
R
(und a∗k = Ω ψ ∗ (r)ψk (r)dr = hψ|ψk i). Durch Einsetzen der Normierungsbedingung für ψ(r) bekommen wir
X
|ak |2
1 = hψ(r)|ψ(r)i =
k
(die ebenen Wellen mit unterschiedlichen k sind zueinender orthogonal!).
Für eine ebene Welle ist der Impuls p = ~k eindeutig definiert. Daher
gilt für einen Wellenpaket
X
hpi = ~
a∗k kak .
k
Unter Benutzung der Gl.(24) erhalten wir
kak = −i∇ψk (r)ak .
Daher:
hpi = −i~
XZ
k
R
∗
0
0
ψ (r )ψk (r )dr
0
Ω
Z
Ω
[∇ψk∗ (r)] ψ(r)dr.
Partielle Integration in Ω [∇ψk∗ (r)] ψ(r)dr und die Annahme von periodischen Randbedingungen (womit das Oberflächenintegral verschwindet) ergibt
Z
Z
∗
[∇ψk (r)] ψ(r)dr = ψk∗ (r)∇ψ(r)dr.
Ω
Ω
Dann:
hpi = −i~
= −i~
XZ
k
Z Z
Ω
∗
0
0
ψ (r )ψk (r )dr
Ω
drdr0 ψ ∗ (r)
Ω
"
X
|
Z Z
0
k
Z
Ω
ψk∗ (r)∇ψ(r)dr
ψk∗ (r)ψk (r0 ) ∇ψ(r)
{z
δ(r−r0 )
= −i~
drdr0 δ(r − r0 )ψ ∗ (r0 )∇ψ(r)
Ω Ω
Z
=
ψ ∗ (r)(−i~∇)ψ(r)dr = hψ|p̂|ψi
Ω
(um zu sehen, dass
X
k
ψk∗ (r)ψk (r0 ) = δ(r − r0 )
81
#
}
ist, genügt es δ(r − r0 ) nach dem vollständigen Funktionssystem von ψk (r)
zu entwickeln:
X
δ(r − r0 ) =
bk (r0 )ψk (r),
k
R
Gl.(24), mit bk (r0 ) = Ω ψk∗ (r)δ(r − r0 )dr = ψk∗ (r), Gl.(25)). In gleicher Weise
kann man eine beliebige Potenz des Impulses bestimmen:
Z
n
hp i =
ψ ∗ (r)(−i~∇)n ψ(r)dr = hψ|p̂n |ψi .
Ω
Z.B. ist die kinetische Energie
2 2 Z
−~ ∆
p
∗
=
ψ (r)
ψ(r)dr.
T =
2m
2m
Ω
• Die Operatoren der messbaren Größen sind in der QM (anhand des
Superpositionsprinzip) die linearen Operatoren. Wenn eine Funktion
F (q, p) eine reelle physikalische Größe darstellt, ist sie eine reelle Funktion von p und q, ihr Mittelwert muß auch reell sein, d.h. hF i = hF i ∗ ,
d.h. F̂
E∗
D
E D
Ψ|F̂ Ψ = F̂ Ψ|Ψ ,
für alle möglichen Wellenfunktionen Ψ, worauf der Operator F̂ definiert
ist. Solche Operatoren nennt man die selbstadjüngierten oder Hermite’schen Operatoren. Die Operatoren x̂ und p̂ sind jeweils selbstadjungiert. Der korrekte Hamilton-Operator Ĥ (dessen Mittelwert die Energie des Systems E ist) muß auch selbsadjungiert sein. Dafür mußman
der aus dem Korrespondenzprinzip bestimmte Ausdruck symmetrisieren.
• Wenn ein Operator F̂ hermitesch ist, muss der Mittelwert von F̂ auch
für die lineare Kombination von 2 Wellefunktionen aus dem Definitionsbereich von F̂ reell sein: nehmen wir an, Ψ = Φ1 + λΦ2 .
D
E
Φ1 + λΦ2 |F̂ (Φ1 + λΦ2 )
E
D
E
D
E
E
D
D
2
∗
= Φ1 |F̂ Φ1 + λ Φ1 |F̂ Φ2 + λ Φ2 |F̂ Φ1 + |λ| Φ2 |F̂ Φ2 .
Der erste und der vierte Summand sind immer reell; die Summe vom
zweiten und dritten muss auch rell sein. Das ist nur dann möglich wenn
82
D
E D
E
Φ2 |F̂ Φ1 = Φ1 |F̂ Φ2 . Diese Beziehung wird oft als Definition eines
hermiteschen Operators benutzt.
Wenn der Operator F̂ nicht selbstadjungiert ist, ist es möglich einen hermitesch konjungierten Operator F̂ ∗ zu definieren:
E
E D
D
∗
Φ2 |F̂ Φ1 = Φ1 |F̂ Φ2 .
E
E D
D
∗
(es gilt gleichermassen F̂ Φ2 |Φ1 = F̂ Φ1 |Φ2 ). Die hermiteschen Opera-
toren sind solche, dass F̂ = F̂ ∗ .
• Ein zu dem Produkt zweier Operatoren F̂ = ÂB̂ konjugierter Operator
ist F̂ ∗ = B̂ ∗ Â∗ . Um das zu sehen definieren wir Φ3 = B̂Φ1 , so dass
D
E
D
E D
E
Φ2 |ÂB̂Φ1 = Φ2 |ÂΦ3 = Φ3 |Â∗ Φ2 =
D
E D
E
∗ ∗
∗
= B̂Φ1 |Â Φ2 = Φ1 |B̂ Â Φ2
• Das Produkt selbstadjungierter Operatoren  and B̂ ist selbstadjuni
h
giert, wenn diese Operatoren miteinander vertauschbar sind, Â, B̂ =
0, da für jedes Φ gelten muß:
E
E D D
E D
Φ|ÂB̂Φ = Φ|B̂ ∗ Â∗ Φ = Φ| ÂB̂ − B̂ ∗ Â∗ Φ .
7.2
Die Fluktuationen. Eigenfunktionen und Eigenwerte von Operatoren
Man kann die mittlere quadratische Abweichung der Messbaren (Messgrößen)
F von ihrem Mittelwert hF i in einem durch eine Wellenfunktion Ψ definierten
Zustand bestimmen. Die Abweichung ist ∆F = F − hF i, der zugehörige
hermiteschen Operator ist
Der Operator ∆Fb
2
∆Fb
∆Fb = F̂ − hF i .
ist auch hermitesch, und
2 =
Ψ| ∆Fb
2 D
E
b
b
Ψ = ∆F Ψ|∆F Ψ
83
und wird durch das Integral
2 Z b 2
b
∆F
= ∆F Ψ dω.
(26)
Wir interessieren uns für die
Situationen, wenn der Wert von F scharf de
2 finiert wird, d.h.
= 0. Da der Integrand in Gl.(26) eine nicht∆Fb
negativ definierte Größe ist, kann dieser nur dann verschwinden, wenn ∆FbΨ =
0, d.h.
F̂ Ψ = F Ψ.
Die besonderen Werte der Parameter F = hF i sind die Eigenwerte des Operators F̂ , die entsprechenden Funktionen Ψ sind seine Eigenfunktionen. Z.B.
die Energien der diskreten Atomzustände sind die Eigenwerte des Hamiltonians. Die Gesamtheit der Eigenwerte stellt das Spektrum des Operators
dar. Man unterscheidet zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen
Spektrum.
7.3
Beispiel: das Drehmoment
Klassisch gilt
L
Lx
Ly
Lz
=
=
=
=
r×p
ypz − zpy
zpx − xpz
xpy − ypx .
Anhand des Korrespondenzprinzips
L̂ = −i~ r× ∇
∂
∂
−z
L̂x = −i~ y
∂z
∂y
∂
∂
L̂y = −i~ z
−x
∂x
∂z
∂
∂
.
−y
L̂z = −i~ x
∂y
∂x
84
Aus den Vertauschbarkeitsregeln [q̂i , q̂k ] = 0, [p̂i , p̂k ] = 0, [q̂i , p̂k ] = i~δik für
die Koordinaten und Impulse folgt:
i
h
L̂x , L̂y = i~L̂z
und die weitere zyklische Umstellungen y, z, x und z, y, y. Ferner kann man
zeigen, dass
i
h
L̂2 , L̂i = 0
i
h
L̂i , q̂i = 0
i
h
L̂i , p̂i = 0
und
h
i
L̂x , q̂y = −i~q̂z
und zyklische Permutationen, sowie
i
h
L̂x , p̂y = −i~p̂z
und zyklische Permutationen.
7.3.1
Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators der Drehimpulsprojektion L̂z
Übergang zu Kugelkoordinaten ergibt
L̂z = −i~
∂
.
∂φ
Die Gleichung für die Eigenwerte
∂
−i~ ψ(φ) = Lz ψ(φ),
∂φ
die Variable φ ändert sich in Grenzen 0 ≤ φ < 2π. Die Lösungen sind
Lz
ψ(φ) = A exp i φ .
~
Damit die Funktionen ψ(φ) eindeutig sind, muß die periodische Randbedingung ψ(φ + 2π) = ψ(φ) erfüllt werden. Daher ist Lz = m~, mit m =
0, ±1, ±2, .... Die normierten WF haben die Gestalt
1
ψm (φ) = √ eimφ .
2π
85
Bemerkung: Übergang zur Kugelkoordinaten: Zu den Transformationen
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ
gehören die inversen Transformationen
p
z
r = x2 + y 2 + z 2 , cos θ = ,
r
tan φ =
y
x
Daher
∂r
= sin θ cos φ
∂x
∂θ
= −r−1 cos θ cos φ
∂x
∂φ
= − sin φ/(r sin θ)
∂x
∂r
= sin θ sin φ
∂y
∂θ
= −r−1 cos θ sin φ
∂y
∂φ
= cos φ/(r sin θ)
∂y
∂r
= cos θ
∂z
∂θ
= −r−1 sin θ .
∂z
∂φ
=0
∂z
Dann gilt:
L̂z
∂
∂
= −i~ x
−y
∂y
∂x
∂θ ∂
∂φ ∂
∂r ∂
+
+
+
= −i~r sin θ cos φ
∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
+i~ sin θ sin φ
+
+
∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ
∂
= .... = −i~ .
∂φ
Die zwei anderen Komponenten lauten:
cos φ ∂
∂
L̂x = i~ sin φ +
∂θ tan θ ∂φ
und
∂
sin φ ∂
L̂y = −i~ cos φ −
∂θ tan θ ∂φ
.
Der Operator L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z hat eine Darstellung
∂
1 ∂2
1 ∂
2
2
sin θ
+
.
L̂ = −~
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
86
7.3.2
Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators L̂2
L̂2 ψ = L2 ψ.
Damit
1 ∂
sin θ ∂θ
∂
sin θ
∂θ
1 ∂2
L2
+
+ 2 ψ(θ, φ) = 0.
~
sin2 θ ∂φ2
Der Definitionsbereich der WF: 0 ≤ φ < π und Randbedingungen sind: zyklisch in φ: ψ(θ, φ) = ψ(θ, φ + 2π) (Eindeutigkeit), natürlich in θ.
Variablentrennung: ψ(θ, φ) = Ψ(θ)Φ(φ).
1 ∂
∂
Ψ(θ) ∂ 2
L2
Φ(φ)
sin θ Ψ(θ) +
Φ(φ)
+
Ψ(θ)Φ(φ) = 0
sin θ ∂θ
∂θ
~2
sin2 θ ∂φ2
oder
1 ∂
1
Ψ(θ) sin θ ∂θ
∂
1
L2
1 ∂2
sin θ Ψ(θ) +
Φ(φ) + 2 = 0.
∂θ
~
sin2 θ Φ(φ) ∂φ2
Man kann × sin2 θ mutiplizieren. Die Gl. zerfällt dann in nur von φ und nur
von θ abhängige Teile. Lsg. für Φ entspricht dem vorherigen: Φ(φ) sind die
Eigenfunktionen von Lz :
1
Φm (φ) = √ eimφ ,
2π
mit m = 0, ±1, ...- Azimuthalquantenzahl (oder magnetische Quantenzahl).
Die Gl. für Ψ
2
1 d
d
m2
L
sin θ Ψ(θ) + 2 −
Ψ(θ) = 0.
sin θ dθ
dθ
~
sin2 θ
Das ist die assoziierte Legendresche Gl.
Bemerkung: nimmt man x = cos θ so erhält man nach einer einfachen
Transformation
2
2
d
L
m2
2 d
(1 − x ) 2 Ψ(x) − 2x Ψ(x) + 2 −
Ψ(x) = 0,
(27)
dx
dx
~
1 − x2
87
−1 < x < 1. Die integrablen Ls’gen existieren nur für L2 /~2 = n(n + 1), das
sind die assoziierten Legendre-Polynome Pnm . Für m = 0 bekommen wir die
eigentliche Legendre-Gl.
(1 − x2 )
d
d2
P
(x)
−
2x
Pn (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0.
n
dx2
dx
Die Situation ist ”wie immer”: wenn man die Lsg. als allgemeine Potenzreihe
hinschreibt, kann man die Koeffizienten anhand von Rekurrenzbedingungen
bestimmen, siehe z.B. G.B. Arfken, H.J. Weber, Mathematical methods for
Physicists, Harcourt, San Diego, 2001). Die Analyse der Konvergenz der Reihe zeigt, dass wenn diese nicht abbricht, so konvergiert die Reihe für alle x,
−1 < x < 1, divergiert aber für x → ±1 und hat solch starke Divergenz,
dass die Funktionen nicht mehr integrabel sind. Bricht die Reihe ab (für
L2 /~ = n(n + 1)), so ist diese ein Polynom in x. In diesem Fall divergiert Sie
nicht, und es gilt Pn (1) = 1, Pn (−1) = (−1)n .
Die Legendre-Polynome bekommt man als
Pn (x) =
1 dn 2
(x − 1)n .
2n n! dxn
Die Legendre-Polynome erfüllen mehrere Rekurrenzbedingungen (siehe G.B.
Arfken, H.J. Weber), deren Existenz weist auf die Möglichkeit der Einführung
der Stufenoperatoren (analog zu Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren)
hin. Die können aber auch auf einem physikalischen Wege eingeführt werden
(später!). Man kann zeigen, dass die Ls’gen Pmn (x) für m > 0 aus den Ls’gen
mit m = 0 durch
dm
Pnm (x) = (1 − x2 )m/2 m Pn (x)
dx
bestimmt werden können (um das zu zeigen schreibe man die Gl. für Pnm (x)
anhand der Gl. für Pn (x) hin und überzeuge sich, das diese Gl. mit der Gl.(27)
identisch ist). Die nichtverschwindenden Ls’gen gibt es nur für |m| ≤ n. Die
Ls’gen mit negativem m könen anhand der Ls’gen mit positiven m bestimmt
werden
(n − m)! m
P (x).
Pn−m (x) = (−1)m
(n + m)! n
Orthogonalität: Es gilt:
Z 1
Pkm (x)Pnm (x)dx =
−1
88
2 (n + m)!
δn,k .
2n + 1 (n − m)!
Schlussfolgerungen:
• Insgesamt sind die Eigenfunktionen von L̂2 die sog. Kugelfunktionen
(Engl. Spherical harmonics) Ylm (θ, φ) mit
s
(2l + 1)(l − m)! m
Ylm (θ, φ) = (−1)m
Pn (cos θ)eimφ
4π(l + m)!
Die Kugelfunktionen bilden ein orthonormiertes System der Funktionen, so dass
Z 2π Z π
∗
dφ
(θ, φ)Yl0 m0 (θ, φ) = δl,l0 δm,m0 .
dθ sin θYlm
0
0
• Die Eigenwerte des Operators L̂2 sind
L2 = ~2 l(l + 1).
• Die Eigenfunktionen von Operator L̂2 sind gleichzeitig die Eigenfunktionen des Operators L̂z (da Ylm (θ, φ) ∝ eimφ ). Dies hat tieferen Grund,
da L̂2 und L̂z kommutieren! Der Wert der Projektion des Drehimpulses
auf die z-Achse ist
Lz = ~m.
• Wenn der Wert von l vorgegeben ist, so sind die 2l + 1 Werte von m,
−l ≤ m ≤ l erlaubt. Jeder Eigenwert von L̂2 ist (2l + 1)-fach entartet.
Die ersten Ylm (θ, φ) sind in der folgenden Tabelle angegeben:
1
Y0,0 (θ, φ) = √
4π
3
Y1,1 (θ, φ) = − √ sin θeiφ
8π
3
Y1,0 (θ, φ) = √ cos θ
4π
3
Y1,−1 (θ, φ) = √ sin θe−iφ
8π
5
Y2,2 (θ, φ) = √
3 sin2 θe2iφ
96π
89
5
3 sin θ cos θeiφ
24π
1
5
3
2
cos θ −
Y2,0 (θ, φ) = √
2
4π 2
5
Y2,−1 (θ, φ) = − √
3 sin θ cos θe−iφ
24π
5
Y2,−2 (θ, φ) = √
3 sin2 θe−2iφ .
96π
Y2,1 (θ, φ) = − √
8
Allgemeine Eigenschaften der Bewegung in
einem kugelsymmetrischen Feld.
Wir betrachten die SGl mit einem Hamilton-Operator
Ĥ = −
mit r =
dinaten
~2
∆ + U (r)
2m
p
x2 + y 2 + z 2 . Vergleichen wir den Laplace-Operator in Kugelkoor-
−~2 1 ∂ 2 ∂
1
1 ∂
∂
1 ∂2
Ĥ =
+ U (r)
r
+
sin θ
+
2m r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂φ2
mit einem aus unserer vorherigen Vorlesung
∂
1 ∂2
1 ∂
2
2
L̂ = −~
sin θ
+
,
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
so merken wir, dass
Ĥ =
−~2 1 ∂ 2 ∂
1
L̂2 .
r
+ U (r) +
2
2m r ∂r ∂r
2mr2
Der Hamilton-Operator ist eine Summe aus dem radialen Anteil, der winkelunabhängig ist, und 1/ [2J(r)] L̂2 mit J(r) = mr 2 -Trägheitsmoment. Der
Operator L̂2 wirkt nur auf die Funktionen von θ und φ, und hängt nicht von
r ab. Die SGl.
Ĥψ = Eψ
90
erlaubt dann die Variablentrennung: Wenn man annimmt, dass ψ(r, θ, φ) =
F (r)W (θ, φ) so erhält man
2
−~ 1 ∂ 2 ∂
1
W (θ, φ)
r
+
U
(r)
F
(r)+F
(r)
L̂2 W (θ, φ) = EF (r)W (θ, φ),
2m r2 ∂r ∂r
2mr2
oder
1
2mr2 ~2 1 ∂ 2 ∂
F (r) + 2mr2 [U (r) − E] = −
r
L̂2 W (θ, φ).
−
2
F (r) 2m r ∂r ∂r
W (θ, φ)
Die Lösung bei beliebigen r, θ and φ existiert nur dann, wenn beide Teile
der Gl. konstant sind. Diese Lösung muss der natürlichen Randbedingungen
genügen, d.h.
Z ∞ Z 2π Z π
dr
dφ
dθr2 sin θ |ψ(r, θ, φ)|2 < ∞.
0
0
0
Die Lösungen für den Winkelanteil sind daher
Ylm (θ, φ);
die Abhängigkeit der WF von θ and φ wird durch die Werte
L2 = ~2 l(l + 1),
l = 0, 1, 2, ...
und
Lz = ~m,
m = 0, ±1, ±2, ..., ±l.
Der radiale Anteil der WF genügt dann der Gl.
2mr2 ~2 1 ∂ 2 ∂
−
F (r) + 2mr2 [U (r) − E] − ~2 l(l + 1) = 0.
r
2
F (r) 2m r ∂r ∂r
Führen wir R(r) = rF (r) ein, so erhalten wir
~2 l(l + 1)
~2 d2
R + U (r) +
= ER
−
2m dr2
2mr2
(die radiale SGl). Bei der qualitativen Untersuchung der Bewegung enspricht
der Term ~2 l(l + 1)/2mr 2 der ”effektiven potentiellen Energie”.
91
8.1
Bewegung in einem Coulomb-Feld. Diskretes Spektrum
Für das Wasserstoffatom und (mehrfach) ionisierte Atome He+ , Li++ u.s.w.
hat die radiale SGl. die Gestalt
2
~2 d2
~ l(l + 1) Ze2
−
R = ER.
R+
−
2m dr2
2mr2
r
(Z- Kernladung. Der Kern wird als festgehalten vorausgesetzt, sonst m →
m∗ = mM/(M + m), mit M -Masse des Atomkerns).
Es ist bequemer, charakteristische Größen einzuführen und die Gl. in einer
dimensionslosen Form zu schreiben:
• atomere Längeneinheit: der Bohr’sche Radius a = ~2 /me2 ≈ 5.29 ·
10−11 m
• atomere Energieeinheit Ea = e2 /a = me4 /~2 = 2Ry ≈ 27.07eV.
Unter Verwendung der dimensionslosen Größen ρ = r/a und ε = E/Ea
erhält man
2
d
2Z l(l + 1)
R(ρ) = 0.
(28)
+ 2ε +
−
dρ2
ρ
ρ2
Die Fkt. R(ρ) muß
R 2für 0 ≤ ρ < ∞ definiert sein und genügt der natürlichen
Randbedingung ρ R(ρ)dρ < ∞. Da die potentielle Energie im Unendlichen
verschwindet, gehören die gebundenen Zustände zu negativen Werten von ε.
Daher ist es zweckmäßig eine positive Größe einzuführen
α2 = −2ε > 0.
Die Ls’gen mit endlicher Energie existieren nur, wenn R(ρ) für ρ → 0 hinreichend schnell veschwindet, also R(0) = 0. Die asymptotische Lsg. für ρ → ∞
R(ρ) ' Ae−αρ + Beαρ .
Aus der Randbedingung folgt B = 0.
Die Lösung wird in Form R(ρ) = e−αρ G(ρ) geschrieben, wobei ρ in Form
einer Potenzreihe gesucht wird. Da die Reihe nicht mit dem Glied ρ 0 anfängt,
schreiben wir
∞
X
ν0
G(ρ) = ρ
β ν ρν .
ν=0
92
Setzen wir die Reihe in der Gl.(28) ein und betrachten nur die kleinsten
Potenzen von ρ, so gilt es (aus der 2. Abl. und der 1/ρ2 -Glieder) ν0 (ν0 − 1) =
l(l + 1), d.h.
l+1
.
ν0 =
−l
Die Lsg. ν0 = −l ist durch die Randbedingung R(0) = 0 verboten. Die Lsg.
ist also
∞
X
−αρ l+1
G(ρ) = e ρ
β ν ρν .
ν=0
Diese Ausdruck wird in die radiale Gl. eingesetzt. Aus dem Koeffizientenvergleich erhalten wir dann
βν+1 =
2 [α(ν + l + 1) − Z]
βν .
(ν + l + 2)(ν + l + 1) − l(l + 1)
Bricht die Reihe ab, so erhalten wir ein Polynom in ρ (proportional zu dem
sog. zugeordneten Laguerre’schen Polynom). Sonst bekommt man für ν
groß
(2α)ν+1
(2α)ν+1
2α
βν ≈
β0 =
β0 ,
βν+1 ≈
ν+l+2
(ν + l + 2)!
(ν + l + 2)!
≈ die Entwicklungskoeffizienten der Funktion
n
o
β0 (2α)−l−1 exp(2αρ) − [erste (l + 1) Glieder] .
Die Funktion wächst schneller als e−αρ abklingt, die ganze WF wird daher
nicht normierbar.
Die Reihe bricht ab, wenn bei irgendeinem ν = nr α(ν + l + 1) − Z = 0
ist. Daher ist
α2
Z2
ε=−
=−
.
2
2(nr + l + 1)2
eine ganze Zahl. Die Kombination n = nr + l + 1 ist die Hauptquantenzahl,
so dass die Energie der stationären Zustände
ε=−
Z2
.
2n2
n nimmt alle positiven ganzen Zahlen von 1 ab an.
93
Die Energie hängt nur von n ab; die Quantenzahl nr = n − l − 1 gibt die
Anzahl der Knoten der WF in ρ (die Null bei ρ = 0 wird nicht als Knoten
gezählt). Die Zustände, die zu unterschiedlichen Werten von l gehören, werden als s, p, d u.s.w. für l = 0, 1, 2, ... bezeichtet. Jeder Zustand mit einem
bestimmten l ist 2l + 1-fach nach der Werten von m entartet. I.A. gehören
zu jedem Energieniveau mit der Hauptquantenzahl n genau n Zuständen
(mit l = 0, 1, ..., n − 1). Diese Entartung ist nur im Coulomb-Feld vorhanden (”zufälligePEntartung). 1 Der Gesamtentartungsgrad eines stationären
2
Zustandes ist n−1
l=0 (2l + 1) = n . Die radialen Wellenfunktionen der niedrigsten Zustände sind in der folgenden Tabelle angegeben:
1
Diese Entartung hängt mit der Existenz von einem zusätzlichen Operator zusammen,
der (zusammen mit L̂ und L̂z ) mit Ĥ kommutiert. Dieses ist der sog.Lenz-vektor (oder
Laplace-Runge-Lenz Vektor) Â = (1/m)p̂ × L̂ − (Ze2 )ê mit e - Einheitsvektor in rRichtung. Dieser Operator entspricht einem zusätzlichen klassischen Bewegungsintegral
im Coulombfeld, siehe C.E. Burkhardt, J.J. Leventhal, Am. J. Phys. 72, 1013 (2004)
94
Zustand
1s
n
1
l
0
2s
2
0
2p
2
1
3s
3
0
3p
3
1
3d
3
2
F (ρ)
2e−ρ
1
√ (1 − ρ/2)e−ρ/2
2
1
√ ρe−ρ/2
2 6
2
2
2 2 −ρ/3
√ 1− ρ+ ρ e
27
3 3√ 3
1 2 −ρ/3
8 6
ρ− ρ e
27
6
4
√ ρ3 e−ρ/3
81 30
Mathematischer Einschub: Die zugeordneten Laguerre-Polynome:
• Zusammenhang mit Lauerre-Polynomen (wohlbekannten Speziallfall mit
k = 0)
dk
Lkn (x) = (−1)k k Ln+k (x).
dx
• Koeffizienten:
Lkn
=
n
X
(−1)j
j=0
(n + k)!
xj ,
(n − j)!(k + j)!j!
so dass
Lk0 (x) = 1
Lk1 (x) = −x + k + 1
x2
(k + 2)(k + 1)
Lk2 (x) =
− (k + 2)x +
2
2
...
• Erzeugende Funktion:
∞
X
e−xz/(1−z)
=
Lkn (x)z n ,
(1 − z)k+1
n=0
95
|z| < 1.
• Rodrieges Formula
Lkn (x) =
ex x−k dn −x n+k
(e x ).
n! dxn
• Rekurrenzbeziehungen:
(n + 1)Lkn+1 (x) = (2n + k + 1)Lkn (x) − (n + k)Lkn−1 (x)
d
x Lkn (x) = nLkn (x) − (n + k)Lkn−1 (x).
dx
• Gewichtung und Normierung:
Z ∞
(n + k)!
e−x xk Lkn (x)Lkm (x)dx =
δm,n .
n!
0
Da die Winkelanteile Yl,m (θ, φ) der Wellenfunktionen ein orthonormiertes
System der Funktionen bilden,
Z 2π Z π
∗
dφ
(θ, φ)Yl0 m0 (θ, φ) = δl,l0 δm,m0
dθ sin θYlm
0
0
sind die Mittelwerte von r nur durch die radiale Wellenfunktion bestimmt:
Z ∞
k
dρ ρ2+k [F (ρ)]2 .
ρ n,l =
0
Für die Potenzen ρk n,l gilt eine nützliche Kramers-Relation:
k−2 k + 1 k
k 2k + 1 k−1 2
2
ρ
ρ
(2l
+
1)
−
k
ρ
+
−
=0
n,l
n,l
n,l
n2
Z
4Z 2
für k + 2l + 1 > 0 (siehe z.B. Nolting, Vol 5/2, §6.2 und Aufgabe 6.2.5). Dann
genügt es hρ0 i = 1 und hρ−1 i = nZ2 separat auszurechnen, um die anderen
Momenten von ρ zu bestimmen.
• Aus hρ−1 i = nZ2 folgt, dass der Mittelwert der potenziellen Energie des
Elektrons im Coulomb-Feld in einem Zustand mit der Hauptquantenzahl n (in Atomeinheiten) ist
Z
Z2
hU i = −
= − 2 = 2εn ;
ρ
n
d.h. die potentielle Energie ist die doppelte Gesamtenergie (und die
kinetische Energie ist -1/2 der Gesamtenergie)
96
• Einige der Mittelwerte von Potenzen von ρ = r/a in stationären Zuständen
n, l sind:
1 2
3n − l(l + 1)
2Z
2
n2 2
ρ
=
5n + 1 − 3l(l + 1)
2
2Z
Z
1
=
ρ
n2
1
Z2
=
.
ρ2
n3 (l + 1/2)
hρi =
(29)
(30)
(31)
(32)
• Der maximale Wert von l ist l = n − 1. Fur diesen Fall folgt aus den
1
(2n2 + n), so dass hri = n(n + 1/2) Za
Gl’en (29) und (30) hρi = 2Z
2
1
a2
n
2
2
2
und hρ2 i = 2Z
2 (2n + 3n − 1) (d.h. hr i = n (n + 2 )(n + 1) Z 2 so dass
q
hri
∆r = hr2 i − hri2 = √2n+1
. Für n groß ist die Dispersion ∆r klein.
2
Der mittlere Radius hri ≈ n a/Z entspricht dem Radius der klassischen
E0
Kreisbahn, worauf die Bewegung mit der Energie En = 2n
2 stattfindet
(Korrespondenzprinzip): Die Zustände mit maximalen l = n − 1 entsprechen den klassische Kreisbahnen: Das kann man mit dem Resultat
der Bohr-Sommerfeld’schen
Theorie vergleichen, anhand deren die Exp
zentrizität des Orbits 1 − l2 /n2 ist, welche gleich 0 ist wenn l seinen
maximalen Wert (hier: n) annimt.
8.1.1
Die räumliche Struktur der Wellenfunktionen
Die Wahrscheinlichkeitsdichte pn,l,m (r, θ) = |ψn,l,m (r, θ, φ)|2 hängt nicht von
φ ab (da φ nur in Form von eimφ vorkommt), die Abhängigkeit von m (durch
die θ-Abhängigkeit von Yl,m ) ist aber vorhanden. Durch die Rotationssymmetrie von pn,l,m (r, θ) kann man diese in der (x, z)-Ebene in Koordinaten
(r, θ) darstellen. Die entsprechenden Dichten für K, L, und M- Schalen sind
in dem folgenden Bild angegeben.
97
98
9
Formalismus der Quantenmechanik und seine Interpretation
9.1
Die Wellenmechanik
• Zustand eines Quantensystems wird durch dessen Wellenfunktion charakterisiert,
ψa1 ,a2 ,...an (r, t).
Hier ist {a1 , a2 , ...an } ein Satz der physikalischen Größen (Quantenzahlen), die den Zustand vollständig charakterisieren. Diese werden oft als
das Zustandsvektor |ψi = |a1 , a2 , ...an i bezeichnet.
– Für ein Teilchen ist |ψ 2 (r, t)| die Wahrscheinlichkeitsdichte, das
Teilchen am Ort r zu finden.
– Besteht das System aus N Teilchen, so charakterisiert r (r ∈ < N )
die Gesamtkonfiguration des Systems. |ψ 2 (r, t)| gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, das System in der Konfiguration r zu finden.
• Jeder physikalischen Observablen A wird ein Hermitescher Operator Â
gegenübergestellt.
– Der Mittelwert jedes physikalischen Messbaren A ist
D E D E Z
A = Â = ψ Â ψ = ψ ∗ (r, t)Âψ(r, t)dr.
(33)
Eigentlich beschreibt der entsprechende Operator die Meßaparatur für die entsprechende Größe.
Bevor wir die Axiomatik der Quantenmechanik genauer diskutieren, formalisieren wir zuerst die Eigenschaften der zulässigen Wellenfunktionen und
Operatoren.
9.1.1
Der Raum der Wellenfunktionen
Die WF in Koordinatendarstellung gehören einem Funktionalen Raum der
Funktionen, die normierbar sind (wenigstens, wenn es um die gebundenen
99
Zustände geht):
Z
|ψ(q1 , ..., qN )|2 dN q < ∞.
(34)
(die genaue Normierung auf 1 kann dann nachträglich erfolgen). Solch eine Annahme beschränkt unsere Betrachtung zunächst auf die Zustände des
kontinuierlichen Spektrums. In kurvelinearen Koordinaten soll man in Gl.
(33) und (34) für A und P den Gewichtsfaktor für das Volumenelement
w(q1 , ..., qn ) nicht vergessen. Im Folgenden betrachten wir alles in 1D-Notation.
• Aus unseren Beispielen wissen wir, dass die Eigenfunktionen des diskreten Spektrums, die den Zustaänden mit unterschiedlichen Quantenzahlen entsprechen, stets zueinander orthogonal sind. Noch mehr: Sie
bilden ein vollständiges System der Funktionen, über welchen eine beliebige Funktion, die die gleichen Randbedingungen erfüllt, entwickelt
werden kann. Z.B. für Rechteckmulde mit unendlich höhen Wänden
bei x = 0 und x = L sind es die Funktionen ψ(x), die bei x = 0
und x = L verschwinden.
P Diese können in eine Fourier-Reihe entwickelt werden: ψ(x) =
n ãn sin(πnx/L). Da sin(πnx/L) proportional zu Eigenfunktionen des Hamilton-Operators für das System sind
ψn ≡ |ni = (2/L) sin(πnx/L), gilt für jedes ψ:
X
ψ=
an |ni .
n
Das Gleiche gilt für alle anderen Hamilton-Operatoren, die Hermite’sche
Differentialoperatoren 2. Ordnung sind. Anhand der Sturm-Liouville Theorie für die Ls’gen der ODE 2. Ordnung (d.h. zeitunabhängigen SchrödingerGl.) besitzen solche Operatoren folgenden drei Eigenschaften
• Ihre Eigenwerte sind reell
• Ihre Eigenfunktionen ψn sind auf dem Definitionsinterval [a, b] orthogonal
• Ihre Eigenfunktionen bilden einen vollständigen Satz, d.h. jede ”nichtpathologische” (d.h. wenigstens stückweise stetige) Funktion ψ(x) kann
durch eine Reihe
∞
X
ψ(x) =
an ψn (x)
n=0
100
approximiert werden. Bemerkung: Wenn die Gesamtzahl der Eigenfkt.
endlich ist, so ist die Summe über die Gesamtzahl der linear unabhängigen Eigenfkt. zu nehmen.
Technisch ist der Satz vollständig, wenn der Grenzwert des mittleren quadratischen Fehlers
#2
Z b"
m
X
lim
ψ(x) −
an ψn (x) w(x)dx = 0
m→0
a
n=0
(w(x) ist die Gewichtsfunktion, z.B. wenn wir die Kugelkoordinaten benutzen). Technisch gesehen soll das Integral als Lesbegue-Integral verstanden
werden. Beweis ist technisch, siehe R. Courant und D. Hilbert, Methods of
Mathematical Physics (viele Ausgaben in Deutsch und Englisch!) Kap. 6.
Die Koeffizienten am sind durch
Z b
am =
ψ(x)ψm (x)w(x)dx
a
gegeben (folgt aus der Orthogonalität und Normierung).
Aus der Normierung von ψ(x) folgt
Z b
∞
X
2
|ψ(x)| w(x)dx =
1=
|an |2 ,
a
n=0
die Parceval-Identität.
Die Tatsache, dass die Eigenfunktionen ein vollständiges orthonormales
System (VONS) der Fkt. bilden hat vielerlei Bedeutung, z.B. für das
9.1.2
Das Rietz’sche Variationsverfahren:
Energie des Grundzustandes Zur Berechnung der Energie E 0 des Grundzustandes benutzt man die Ungleichung:
D E
E0 ≤ ψ Ĥ ψ
für beliebige,
P∞ die Randbedingungen erfüllende ψ(x). Beweis ist einfach: Da
ψ(x) = n=0 an ψn (x), gilt anhand der Orthonormalitätseigenschaft
∞
∞
D E
D E X
X
2
ψ Ĥ ψ =
|an |2 En
|an | ψn Ĥ ψn =
n=0
n=0
101
≥ E0
Daher gilt
(z.B.
∞
X
n=0
D E
E0 = min ψ Ĥ ψ
E0 =
mit
|an |2 = E0 .
Z
Z
ψ ∗ (r)Ĥψ(r)dr
ψ ∗ (r)ψ(r)dr = 1.
Zur praktischen Berechnung der Energie
R ∗ des Grundzustandes wählt man eine Testfunktion ψ(r; α, β, ...), mit ψ (r; α, β, ...)ψ(r; α, β, ...)dr = 1, die von
Parametern α, β, ... abhängig ist und die Randbedingungen erfüllt, und berechnet das Integral
Z
I(α, β, ...) = ψ ∗ (r; α, β, ...)Ĥψ(r; α, β, ...)dr.
Dann berechnet man die Parameter α0 , β0 , ..., die I(α, β, ...) minimieren,
∂I ∂I =
= ... = 0
∂α α=α0
∂β β=β0
und E = I(α0 , β0 , ...) als die Näherung für die Energie des Grundzustandes
benutzt. Hat man Glück, bekommt man eine hervorragende Näherung schon
mit einem Parameter.
Beispiel: Grundzustand des harmonischen Oszillators: in dimensionslosen Koordinaten
1 d2
1
Ĥ =
+ ξ2.
2
2 dξ
2
Die natürlichen Randbedingungen entsprechen ψ(ξ) → 0 für ξ → ±∞. Die
WF des Grundzustands ist, bekannterweise, eine Gaußglocke
ψ0 (ξ) =
1
π 1/4
e−ξ
2 /2
.
Die entsprechende Energie E0 ist genau 1/2 (in Einheiten von ~ω).
102
Wählen wir unsere Testfunktion in Form
α 1/4
αx2
ψ(ξ) =
exp −
,
π
2
die die Randbedingungen erfüllt und die Tatsache berücksichtigt, dass die
entsprechende WF gerade sein muss. Dann
Z ∞
1
1 2
1
1 d2
α+
.
ψ(ξ) + ξ ψ(ξ) dξ =
ψ(ξ) −
I(α) =
2 dξ 2
2
4
α
−∞
Das Minimieren ergibt den genauen Wert von α = 1 und E = 1/2. In diesem
Fall stimmt die Testfunktion (und die Energie) mit exakten Werten überein.
Nehmen wir z.B. eine Testfunktion
√ 1/4
2a
ψ(ξ) = √
π(1 + ax2 )
R∞
(auch eine symmetrische Glocke, auf 1 normiert: −∞ ψ 2 (ξ)dξ = 1, sonst
ähnelt sie nicht besonders der richtigen WF). Die Energie ist dann
Z ∞
1 2
2 + a2
1 d2
ψ(ξ)
+
ξ
ψ(ξ)
dξ
=
.
I(a) =
ψ(ξ) −
2 dξ 2
2
4a
−∞
√
√
Die ist minimiert für a = 2, und entspricht E = 2/2, 41% höher als die
genaue Energie. Die Wahl der Testfunktion war nicht besonders günstig, da
sie für ξ → ±∞ zu langsam abfällt.
Angeregte Zustände Bezeichnen wir die Wellenfunktion des Grundzustands durch ψ0 . Es gilt dann
D E
E1 = min ψ1 Ĥ ψ1
mit
hψ1 |ψ1 i = 1,
hψ1 |ψ0 i = 0.
(Beweis genau wie bei dem Grundzustand, unter Berücksichtigung der Orthogonalität). Gleichermassen kann man die Variationsprinzipien für die höheren
Zustände formulieren, indem man die WFen annimmt, die zu den WFen aller
darunterliegenden Zustände orthogonal sind. Das ist bedeutend komplizierter
103
als das Variationsverfahren für den Grundzustand. In einigen Fällen sind die
Orthogonalitätsbedingungen bei geeigneter Wahl der Testfunktionen anhand
der Symmetrieeigenschaften erfüllt.
Beispiel: 1. angeregte Zustand für den harmonische Oscillator. Anhand
der Symmetrie des Potentials ist die WF des Grundzustandes eine gerade
Funktion von ξ. Die Funktion des 1 angeregten Zustandes ist dann ungerade,
und deswegen der WF des Grundzustandes automatisch orthogonal. Anhand
des Knotensatzes hat diese Funktion einen Knoten. Einfachste Form:
βξ 2
2β 3/2
.
ψ1 (ξ, β) = √ ξ exp −
2
π
Man bekommt
Z ∞
1 d2
1
1 2
3
I1 (β) =
ψ1 (ξ, β) −
β+
.
ψ1 (ξ, β) + ξ ψ1 (ξ, β) dξ =
2 dξ 2
2
4
β
−∞
Das Minimieren ergibt E1 = 3/2 (in Einheiten von ~ω).
9.2
Allgemeine Struktur der Quantenmechanik
Man kann die Wellenfunktion des Systems auch als Fkt. einer anderen Variablen v als Koordinaten vorstellen (Impuls, Drehimpuls, Energie, u.s.w.).
Dann wird |ψ 2 (v, t)| die Wahrscheinlichkeitsdichte, den Wert v zu finden. In
diesem Bezug spricht man über verschiedene Darstellungen der Quantenmechanik. In vielen Fällen, die ausserhalb der Reichweite der Schrödingergl.
liegen (spin, relativistische QM, u.s.w.), muss man in umgekehrter Richtung
vorgehen: die entsprechenden Eigenschaften der WF und der darauf wirkenden Operatoren zu postulieren. Das 1. Postulat lautet, dass der Raum der
Wellenfunktionen ein Hilbert-Raum ist.
9.2.1
Der Begriff des Hilbert-Raums
Axiomen:
1. H ist ein komplexer, linearer Vektorraum.
• Er ist bezüglich zwei Verknüpfungen, der Addition und Multiplikation
mit einer Zahl, abgeschlossen:
– Wenn |ai ∈ H und |bi ∈ H, dann |ai + |bi = |a + bi ∈ H.
104
– Für c ∈ C, c |ai = |ai c = |cai ∈ H.
• Diese Operationen besitzen die üblichen Eigenschaften der
– Assoziativität und Kommutativität bzgl. Addition
– Existenz des Nullelements |0i (bzgl. der Addition)
– Existenz des inversen Elements bzgl. Addition
– Distributivität bzgl. Multiplikation.
Die Elemente |ψ1 i , |ψ2 i , ..., |ψn i heißen linear unabhängig falls die Reaktion
n
X
i=1
ci |ψi i = |0i
nur durch c1 = c2 = ... = cn = 0 erfüllbar ist. Als Dimension von H bezeichnet man die Maximalzahl linear-unabhängiger Elemente in H. Wenn es
unendlich viele linear-unabhängige Elementen gibt ist der Raum unendlichdimensional.
Bemerkung: Vorläufig setzen wir die Wellenfunktion ψn und den Zustandsvektor |ψn i gleich.
2. H ist ein unitärer Raum, d.h.
• Es wird ein Skalarprodukt zw. zwei Vektoren |αi und |βi definiert als
eine komplexen Zahl
hα|βi .
In Koordinatendarstellung
Z
hψ1 |ψ2 i = ψ1∗ (q1 , ..., q2 )ψ2 (q1 , ..., q2 )dN q.
– Eigenschaften:
∗
∗
∗
∗
”Antilinearität” hα|βi = hα|βi∗
hα|β1 + β2 i = hα|β1 i + hα|β2 i
hα|cβi = c hα|βi = hc∗ α|βi , c ∈ C.
hα|αi ≥ 0 und hα|αi = 0 nur wenn |αi = 0.
• |αi und |βi heißen orthogonal falls hα|βi = 0.
105
• Norm von Vektor |αi: kαk =
p
hα|αi.
• Schwarz’sche Ungleichung |hα|βi| ≤ kαk kβk
• Dreiecksungleichung |kαk − kβk| ≤ kα + βk ≤ kαk + kβk .
Diese Eigenschaften definieren einen komplexen linearen Vektorraum. Der
Hilbert-Raum besitzt zusätzliche Eigenschaften.
Folgen in H.
Die Folge {|αn i} konvergiert stark gegen |αi falls limn→∞ kαn − αk = 0.
Eine Folge {|αn i} heißt Cauchy-Folge, falls es zu jedem ε > 0 eine ganze
Zahl N (ε) gibt, so dass kαn − αm k < ε für n, m > N (ε). Jede stark konvergierende Folge ist auch eine Cauchy-Folge.
3. H ist separabel: Jede |αi ∈ H ist ein Limes einer Cauchy-Folge in H.
4. H ist vollständig: Jede Cauchy-Folge |αn i ∈ H konvergiert gegen |αi ∈
H.
Aus 3 und 4 folgt die Existenz des vollständigen Orthonormalsystems
(VONS) der Basisvektoren |φn i aus H: eine Menge M der Vektoren, für die
es kein Element aus H gibt, das nicht zu M gehört, jedoch orthogonal zu
allen Elementen aus M ist. Die Vektoren von M sind linear unabhängig.
Unendlich- (abzählbar-) dimensionaler Hilbert Raum L2 (L steht für Lesbegue, 2 - für die quadratische Norm) ist der gültige WF-Raum der Quantenmechanik, sieh J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin, 1968.
• Das wichtigste, was daraus folgt, ist die Tatsache, dass für jede beliebige
Funktion aus L2 eine Entwicklung nach einem VONS der Basisfunktionen φn existiert:
∞
X
ψ=
an φn
n=0
mit
an = hφn |ψi = hψ|φn i∗ .
Die Wahl von verschiedenen Basisvektoren entspricht den verschiedenen Darstellungen. Die Tatsache, dass die Funktionen aus L 2 stets eine
endliche Norm besitzen, begrenzt zunächst unsere Ausführungen auf
die Zuständen des diskteten Spektrums.
106
• an genügen den Parceval-Identität
∞
X
n=0
|an |2 = hψ|ψi .
• Wenn
ψ=
∞
X
an φn
n=0
und
φ=
∞
X
bn φ n ,
n=0
so
hφ|ψi =
∞
X
b∗n cn .
n=0
P
2
• Wenn eine Reihe ∞
n=0 |cn | gegen einem Zahl C konvergiert, so konvergiert die Funktionsreihe
∞
X
cn φ n = ψ
n=0
gegen eine Funktion ψ ∈ L2 mit einer Norm C.
9.3
Hermite’sche Operatoren. Fall des diskreten Spektrums.
Wir betrachten einen Hermite’schen Operator Â, der auf die Funktionen aus
dem Hilbert-Raum wirkt:
D
E D
E D
E∗
ψ|Âφ = Âψ|φ = Âφ|ψ .
Betrachten wir die Eigenfkt.
Âψa = aψa
mit hψa |ψa i = 1. Daher gilt:
D
E
a = ψa |Âψa .
Dieser Wert ist reell nach der Definition des Hermite’schen Operators.
107
• Die Eigenfunktionen, die zu der unterschiedlichen Eigenwerten gehöhren,
sind orthogonal:
Âψa = aψa
Âψb = bψb
Bilden wir die Skalarprodukte
E
D
ψb |Âψa = a hψb |ψa i
und
E
D
Âψb |ψa = b hψb |ψa i
E
E D
D
so dass 0 = ψb |Âψa − Âψb |ψa = (a − b) hψb |ψa i. Daraus folgt, dass
für a 6= b gilt hψb |ψa i = 0. ⇒ Eigenfunktionen, die zu verschiedenenen
Eigenwerten gehören, sind linear unabhängig.
• Die Eigenwerte bilden eine diskrete Folge (endlich oder abzählbar).
• Wenn der Eigenwert a n-fach entartet ist, kann jede Eigenfunktion
als eine lineare Kombination aus n linear-unabhängigen Funktionen
ψ1 , ..., ψn dargestellt werden. Aus diesen Funktionen kann man immer
durch Schmidt-Orthogonalisierung ein orthonormales System φ 1 , ..., φn
bilden: Man nehme
c1 φ 1 = ψ 1
mit
|c1 |2 = hψ1 |ψ1 i .
Die Fkt. φ2 wird gegeben durch
c2 φ2 = ψ2 − φ1 hφ1 |ψ2 i .
Da ψ1 (und somit φ1 ) und ψ2 linear unabhängig sind, ist c2 φ2 6= 0.
Normierung: c2 ist, bis auf eine Phase, durch hφ2 |φ2 i = 1 gegeben.
Weiterhin,
c3 φ3 = ψ3 − φ1 hφ1 |ψ3 i − φ2 hφ2 |ψ3 i .
φ3 6= 0 (anhand der linearen Unabhängigkeit) und kann normiert werden, u.s.w. bis φn . Es gilt: hφn |φm i = δn,m .
108
• Auch wenn Entartungsgrad unendlich ist, ist es möglich eine unendliche
Folge der orthonormierten Funktionen φn zu bilden. Jede Funktion, die
zum Eigenwert a gehört, kann durch eine Reihe über diese Funktionen
dargestellt werden.
9.3.1
Statistische Verteilung der Messresultate
Nehmen wir an, dass der Operator  ein VONS der Eigenfunktionen |φn i
(Eigenwerte an ) besitzt (Beispiele sind alle unsere Hamilton-Operatoren).
Betrachten wir Âψ:
Âψ = Â
=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
cn |φn i =
∞
X
n=0
cn  |φn i
cn an |φn i .
P
P∞
2 2
2 2
Diese Reihe konvergiert falls ∞
n=0 |cn | an konvergiert.
n=0 |cn | an gleicht
dann der Norm von  |ψi. Das ist also ein Kriterium, dass  |ψi dem HilbertRaum angehört.
Diese Eigenschaft erlaubt, die Funktionen von Operatoren  zu definieren: Der Operator F (Â) ist definiert durch seine Einwirkung auf die Fkt. ψ
so dass
∞
X
F (Â)ψ =
cn F (an ) |φn i .
n=0
Der Operator F (Â) ist eindeutig definiert, falls die Reihe
∞
X
n=0
|cn |2 |F (an )|2
konvergiert.
Bemerkungen:
1. Die Fkt. F (Â)ψ hängt nicht von einer konkreter Wahl von dem Basis
|φn i.
2. Das Gleiche gilt, wenn die Basisfunktionen durch mehreren Zahlen
|φn,m,l i numeriert werden.
109
Betrachten wir nun einen Operator eiξ definiert für alle ψ:
e
iξ Â
ψ=
∞
X
n=0
eiξan cn |φn i ,
P
2
die Reihe konvergiert für alle ψ ∈ L2 da ∞
n=0 |cn | für solche Funktionen
konvergiert. Wir nehmen jetzt ψ als normiert an, d.h. hψ|ψi = 1.
Jetzt können wir die Verteilung der Werte einer physikalischen Messgröße
A für jeden Zustand ψ definieren: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist
f (ξ) = eiξA
die charakteristische Funktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichte
p(A). Im klassischen Fall gilt dann (in 1d)
Z
f (ξ) = eiξA p(A)dA.
(Bemerkung: Korrektere Betrachtung benutzt die Notation eines StiltjesIntegrals: Wenn F (x) die Wahrscheinlichkeit davon ist, dass x < X, so
Z
f (ξ) = eiξA dF (A).
Falls die Dichte p(A) existiert, so ist dF (A) = p(A)dA.)
Die Verteilungsdichte p(A) folgt durch inverse Fourier-Transform
Z ∞
1
e−iξA p(A)dA.
p(A) =
2π −∞
E
D
iξ Â
die charakterisWir postulieren nun, dass auch in Quantenmechanik e
tische Funktion die entsprechende Verteilung der Messwerte von A darstellt.
Es gilt
X
f (ξ) =
wn eiξan
n
mit
wn = |cn |2 .
Die Rücktransformation von f (ξ) ergibt dann
X
p(A) =
wn δ(A − an ).
n
110
Der Wert von A kann nur die Werte von an annehmen, d.h. nur der Eigenwerten des entsprechenden Operators Â. Aus der Parceval-Identität folgt
dass
X
wn = 1,
n
d.h. die Wahrscheinlichkeiten sind richtig normiert.
I.A. ist ein Mittelwert von einer Funktion F (A)
X
hF (A)i =
wn F (an ).
n
Damit A einen scharfen, festen Wert annimmt, ist es notwendig und hinreichend, dass ψ eine Eigenfunktion von  ist.
Bemerkung: Charakterisiert man eine WF durch mehreren Indices, z.B.
ψn,l,m , (wie für das Wasserstoffatom) wovon l die Eigenfkt. von A (sagen wir
L̂2 ) numerieren, so ist
X
wl =
|cn,l,m |2 .
n,m
Man kann auch unabhängig von der charakteristischen Funktion postulieren,
dass
• Die möglichen Messergebnisse ai entsprechen den Eigenwerten des Operators Â. Die Messwahrscheinlichkeiten entsprechen wi = |hφi |ψi|2 .
9.4
Statistik der Messwerten im allgemeinen Fall.
Alle vorherigen Resultate basieren auf der Annahme, dass das Funktionensystem φn ein vollständiges System ist. Wir können diese Resultaten nicht
sofort auf den Fall des kontinuierlichen Spektrums ausweiten: Die WF des
kontinuierlichen Spektrums sind nicht normierbar. Solche Normierung kann
aber durch einen mathematischen Trick ”erzwungen” werden. Die weitere Betrachtung ist mathematisch nicht rigoros, die exaktere folgt durch genauere
Definition der verallgemeinerten Funktionen (Distributionen).
Beispiel: der Impulsoperator. Betrachten wir die Eigenfunktion φ p (x)
∂
des Impulsoperators p̂ = −i~ ∂x
mit dem Eigenwert p:
−i~
∂
φ(x, p) = pφ(x, p).
∂x
111
i
(die Eigenfunktion ist eigentlich, bis zur Normierung, e − ~ px , p nimmt alle
reellen Werte an). Jede beliebige WF ψ(x) kann dann als
Z ∞
ψ(x) =
c(p)φ(x, p)dp
(35)
−∞
präsentiert werden. |c(p)|2 dp soll man als Wahrscheinlichkeit sehen, einen
Wert von p im Intervall (p, p + dp) zu finden. Der Koeffizient c(p) soll als
Skalarprodukt
c(p) = hφ(x, p)|ψ(x)i
interprätiert werden. Wenn wir jetzt die Gl.(35) in diesen Ausdruck einsetzen,
bekommen wir
Z ∞
c(p) =
c(p0 ) hφ(x, p0 )|φ(x, p00 )i dp00 .
−∞
Diese Eigenschaft soll für jede quadrat integrable Fkt. im Impulsraum gelten.
Es existiert keine ”reguläre” Fkt. f (p0 , p00 ), die solche Eigenschaft besitzt.
Man kann aber eine verallgemeinerte Fkt. δ(x) einführen, so dass
Z b
f (x0 ), x0 ∈ (a, b)
.
g(x)δ(x − x0 )dx =
0, sonst.
a
Unter Benutzung der δ-Fkt. erfolgt die Normierung
φ(x, p) = √
1
eipx/~ .
2π~
Uneigentliche Zustandsvektoren sind auf δ-Funktion normiert
Z ∞
0
φ∗ (x, p)φ(x, p0 )dx = δ(p − p0 )
hφ(x, p)|φ(x, p )i =
−∞
(i.e. das Skalarprodukt ist 0 falls p 6= p0 und divergiert sonst.) Die Eigenschaften der entsprechenden Entwicklungen über die EF vom Impulsoperator sind
durch die Theorie der Fourier-Integrale bekannt.
Bemerkung: Wie bei der Betrachtung des Impulsoperators früher (Woche...), können wir das System als endlich, mit zyklischen Randbedingungen betrachten; solche Systeme haben stets nur ein diskretes Spektrum, das
in einigen Teilen für wachsende Systemgröße L immer dichter wird. Dabei
112
müßen wir nicht aus der Rahmen des Hilbert-Raums der WF hinausgehen.
Für Impulsoperator entspricht das der Näherung der Fourier-Integral für eine nicht-periodiche Funktion durch eine Fourier-Reihe auf immer größeren
Intervallen. In Anwendungen ist dieser Vorgang oft sogar von Vorteil. I.A.
kann man den Vorgang aber auch anders formalisieren.
9.4.1
Die Eigenfunktionsentwicklung in allgemeinem Fall.
Betrachten wir das Eigenwertproblem
Aφ = aφ.
I.A. die Menge der Eigenwerten {a} besteht aus:
dem diskreten Spektrum an mit entweder endlichen oder abzählbaren
Menge von Werten
Kontinuierlichem Spektrum a(ν), das durch einen kontinuierlichen Index
ν numeriert ist.
Den disktereten Fall haben wir schon diskutiert.
Im kontinuierlichen Fall ist ψ(x; ν) eine Eigenfkt. zum Eigenwert a(ν).
Die Norm von dieser Fkt. ist unendlich. Wir nehmen aber an dass das Eigendifferential
Z ν+∆ν/2
1
φ(x; ν 0 )dν 0
Φ∆ν (x; ν) = √
∆ν ν−∆ν/2
(mit hinreichend kleine ∆ν) eine Funktion mir einer begrenzten Norm ist.
So sind z.B. die Eigenfunktionen der Impulsoperators. Alle für den HilbertRaum kennzeichnenden Eigenschaften gelten dann nicht für die WF’nen
selbst, sondern für die Eigendifferentiale. Das skalare Produkt von der Funktion selbst ist auf eine δ-Funktion normiert:
hφ(x; ν 0 )φ(x; ν 00 )i = δ(ν 0 − ν 00 ).
Die Normierung der Eigendifferenziale ist:
1
hΦ∆ν (x; ν)|Φ∆ν (x; ν )i =
∆ν
0
1
=
∆ν
Z
Z
ν+∆ν/2
ν−∆ν/2
ν+∆ν/2
ν−∆ν/2
113
Z
Z
ν 0 +∆ν/2
ν 0 −∆ν/2
ν 0 +∆ν/2
ν 0 −∆ν/2
hφ(x; η 0 )φ(x; η 00 )i dη 0 dη 00
δ(η 0 − η 00 )dη 0 dη 00 .
Das entsprechende Integral ist 1 für ν 0 = ν (richtige Normierung) und 0 falls
|ν 0 − ν| > ∆ν.
Bemerkung: Wenn ν Impuls wäre, so entspräche das Eigendifferential
einem Wellenpaket mit endlicher Breite ∆ν im Impulsraum, und ist deswegen von einer endlichen Ausdehnung ∆x ∼ 1/∆ν in Ortsraum. Solches
Paket ist normierbar (1 Teilchen). ∆x (und entspr. ∆ν) muss viel größer sein
als alle andere typische Abmessumgen der Problems. Daher entspricht die
Betrachtung der Eigendifferentiale der Formalisierung von unserer früheren
Wellenpaketvorstellung.
Die EFs des diskreten und kontinuierlichen Spektrums zusammen bilden
einen erweiterten Hilbert-Raum, so dass insgesamt, für jede ψ
Z
X
ψ(x) =
cn φn (x) + dv 0 c(ν 0 )φ(x; ν 0 )
n
mit
und
cn = hφn (x)|ψ(x)i
c(ν) = hφ(x; ν)|ψ(x)i .
Es gilt die Parceval-Identität:
hψ|ψi =
X
n
2
|cn | +
Z
2
dv 0 |c(ν 0 )| .
Wenn so eine Darstellung für jede WF (i.e. jede Funktion aus L2 ) möglich
ist, so sagt man, dass das System von Fkt. {φ} ein VONS ist. Das VONS ist
nicht eindeutig definiert: Es gibt immer die Freiheit
• die Phase jeder Eigenfkt. frei zu wählen
• die Menge der Fkt. zu entarteten Eigenwerten auf verschiedene Art zu
orthogonalisieren.
• für das kontinuierliche Spektrum statt Index ν einen index µ(ν) zu
wählen (µ(ν)− differenzierbare, monotone Fkt. von ν). Dann φ(x; µ) =
(dµ/dν)−1/2 φ(x; ν).
Bemerkung: Nicht alle Hermiteschen Operatoren besitzen ein VONSystem der Eigenfunktionen. Alle Operatoren, die die physikalische Messbaren darstellen, besitzen solche.
114
9.4.2
Ideale Messungen
Die Verteilung der Messwerte von A wird als Verteilung der Messresultate
an einer großen Gesamtheit von N 1 identischen, unabhängigen Systeme.
• Vor der Messung ist das System durch die Wellenfunktion Ψ(q, t) beschrieben.
• Wärend der Messung wechselwirkt das System mit dem Messgerät; das
System alleine besitzt keine Wellenfunktion.
• Nach der Messung ist das System wieder von dem Gerät unabhängig,
und besitzt wieder eine WF. Diese WF ist i.A. von der WF vor der
Messung unterschiedlich, abgesehen von dem Fall, wenn Ψ die Eigenfunktion von dem Operator A ist.
Diese unkontrollierte Änderung der WF durch WW mit einem Messapparat wird als Wellenpaketreduktion bezeichnet. Der ideale Messaparat wirkt
wie ein Filter (oder ”Trenner”):
• Der Messprozess entspricht der Anwendung des entsprechenden Operators A auf die WF (Zustandsvektor) Ψ, das i.A. eine lineare Kombination der Eigenfkt. von  ist:
X
Ψvor =
cn,r ψn,r
(36)
n,r
(hier n numeriert alle unterschiedlichen Eigenwerte an (EW) von Â, r
entspricht der Entartung des entsprechenden EW).
Bemerkung:
Hier und bis auf Weiteres benutzen wir das SummazeiP
chen
für die Summe über die Zustände des diskreten Spektrums und
Integral über die Quantenzahlen des kontinuierlichen Spektrums.
• Der Messvorgang entspricht
eines der Werte an , mit der
P dem Auffinden
2
Warscheinlichkeit wn = r |cn,r | . Wenn das Messresultat dem Wert
an entspricht, so ist die WF nach der Messung
X
Ψnach =
cn,r ψn,r
(37)
r
Der Filter lässt nur einen Teil der Entwicklung Eq.(36) durch, das dem
Wert n entspricht: es findet die Wellenpaketreduktion statt. Bei der
115
Idealmessung werden die WFs ψn,r (Eigenfunktionen) die gleiche bleiben, wie vor der Messung, sonst ist die messung nicht ideal.
– Der Messprozess kann zur Präparation des Systems benutzt werden. Z.B. in Stern-Gerlach-Versuch trennt die Apparatur (im Idealfall) die Teilchen mit verschiedenen Werten des Magnetmoments
µ in verschiedene Kanäle (die Zustände, die gleiche µ haben, aber
unterschiedliche andere Quantenzahlen werden nicht getrennt).
Wenn wir ein Teilchen des ausgehenden Teilchenstrahls ableiten,
haben wir nur Teilchen mit vorgegebenem Wert von µ. Daher wirkt
eine Messapparatur wie ein Filter, der die Menge der Quantensysteme (Teilchen) nach dem Wert von µ trennt. Gleiche Idee kann
zur Präparation des Zustandes mit vorgegebenen Werten von anderen Variablen durch Idealmessung benutzt werden.
9.4.3
Kommutierende Operatoren und verträgliche Messbaren
Nicht alle Messgrößen können gleichzeitig gemessen werden (z.B. Impuls und
Koordinate, lt. der Unschärferelation). Diejenige Messbaren, die gleichzeitig
scharfe Werte besitzen werden als verträglich bezeichnet. Wie wir schon am
Beispielen gesehen haben, entsprechen solche Messbaren den kommutierenden Operatoren.
Betrachten wir 2 Observablen, A und B. Nehmen wir an, dass die Operatoren  und B̂ die gleiche Eigenfunktion ψ0 haben, d.h.
Âψ0 = aψ0
und
B̂ψ0 = bψ0 .
Wenn ein physikalisches System zur Zeit der Messung in dem Zustand |ψ 0 i
sich befindet, so wird die Messung von A und B die Werte a und b liefern.
Eine notwendige Bedingung dafür ist
h
i
0 = abψ0 − baψ0 = B̂ Âψ0 − ÂB̂ψ0 = Â, B̂ ψ0 .
Diese Gleichung ist automatisch erfüllt, wenn
h
i
Â, B̂ = 0,
i.e. wenn die Operatoren  und B̂ kommutieren.
116
• Wenn 2 Operatoren  und B̂ kommutieren, so haben sie das gleiche
VONS von Eigenfunktionen, und umgekehrt, wenn 2 Operatoren das
gleiche VONS von Eigenfunktionen besitzen, so kommutieren sie.
– Die Messbaren, die den kommutierenden Operatoren  und B̂ entsprechen, sind verträglich, d.h. das Resultat der Messungen hängt
nicht davon ab, welcher Wert, A und B, zuerst gemessen wird.
Nach solcher Messung wird die WF des Systemes einer gemeinsamen WF der Eigenwerte am und bn entsprechen.
h
i
Beweis: Nehmen wir an, dass Â, B̂ = 0. Sei ψa eine EF von  zur EW a.
Diese Fkt. kann über das VONS von Operator B̂ entwickelt werden:
X
ψa =
φ(a, bm )
m
wobei φ(a, bm ) eine EF von B̂ zur EW bm ist (nicht unbedingt auf 1 normiert).
Es kann stets so gemacht werden, dass alle EF φ(a, bm ) zu unterschiedlichen
EW bm angehören (wenn es nicht so ist, und den Wert bm entartet ist, wählen
wir einfach die entsprechende Linearkombination von φ r (a, bm ) als die EF).
Führen wir eine Funktion
φ̃m = (Â − a)φ(a, bm ).
ein. Da  und B̂ kommutieren, gilt
B̂ φ̃m = B̂(Â − a)φ(a, bm ) = (Â − a)B̂φ(a, bm ) = (Â − a)bm φ(a, bm ) = bm φ̃m .
Da alle EW bm unterschiedlich sind, sind die WF linear unabhängig. Gleichzeitig gilt aber
X
X
φ̃m =
(Â − a)φ(a, bm ) = 0.
m
m
Das ist aber nur dann möglich, wenn jede φ̃m verschwindet. ⇒ φ(a, bm ) sind
gleichzeitig die EF von Â.
Betrachten wir nun das VONS von EF von Â,
Âψn,r = an ψn,r .
117
Diese Fkt’en können dann als
ψn,r =
X
φr (an , bm )
m,r
dargestellt werden, wobei φr (an , bm ) die EF sowohl von  als auch von B̂
sind. Die Fkt. φr (an , bm ) brauchen nicht zueinander orthogonal sein, können
aber dann orthogonalisiert werden. Nach Orthogonalisierung erhalten wir ein
VONS χs (an , bm ) so dass
X
φr (an , bm ) =
crs χs (an , bm ).
s
Die Funktionen χs bilden das gemeinsames VONS der EF von  und B̂.
Umgekehrt, bilden χs das gemeinsame VONS der EF von  und B̂, so
gilt
ÂB̂χs = an bm χs = bm an χs = B̂ Âχs ,
i
h
so dass Â, B̂ χs = 0. Da jede WF ψ über entsprechende VONS entwickelt
h
i
werden kann, so Â, B̂ ψ = 0 und
h
i
Â, B̂ = 0.
• Die hintereinender geschalteten Filter für verschiedene verträgliche Variablen schaffen die Zustände mit mehreren vorgegebenen Eigenschaften (die Messung der nicht-verträglichen Variablen, z.B. die Koordinatenmessung nach dem Impulsmessung, stört die Genauigkeit der vorherigen Vorgabe).
Bemerkung: Aus der kommutierenden Observablen A und B kann man
neue Observable bilden, f (A, B). Die Funktion der 2 Operatoren f ( Â, B̂),
auf χs angewandt, ergibt
f (Â, B̂)χ(a, b) = f (a, b)χ(a, b).
Das maximalen Satz der verträglichen Messbaren Das VONS vom
Operator des Messbaren  werden wir als Basissystem von  betrachten.
Wenn alle EW von  nicht entartet sind, ist dieses System eindeutig definiert
118
(bis auf Phasen). Wenn Entartung vorliegt, so können die entsprechenden EF
unterschiedlicherweise orthogonalisiert werden.
Wenn es noch eine Messbare B gibt, die mit A verträglich ist, kann es
sein, dass  und B̂ zusammen ein eindeutiges VONS der EF besitzen. Wenn
das gemeinsame VONS von  und B̂ trotzden nicht eindeutig definiert ist,
so gibt es eine dritte, mit dieser zweier verträgliche Messbare C, u.s.w. Man
sagt, dass die Messbaren A, B, .., L ein vollständigen Satz der verträglichen
Messbaren bilden, wenn die Operatoren Â, B̂, .., L̂ ein eindeutig definiertes
VONS von Eigenfunktionen besitzen. Daher existiert nur eine WF, die dem
Eigenwerten a, b, ..., l angehört. Die gleichzeitige Messung von A, B, .., L definiert dann eindeutig die Wellenfunktion ψa,b,...,l nach der Messung.
• Gleichzeitige Messung eines maximalen Satzes {a, b, ...l} von verträglichen Meßbaren, präpariert einen reinen Zustand |ψi = |a, b, ...li.
• Wenn die Messung nicht alle verträglichen Messbaren auflöst, so präpariert die Messung das System in einem gemischten Zustand.
Ein gemischter Zustand zur Zeit t0 der Präparation wird durch die Menge der Wellenfunktionen Ψ1 (t0 ), ..., Ψn (t0 ) (der Index entspricht allen durch
der Messung nicht aufgelösten Quantenzahlen),
mit statistischen GewichP
ten (Wahrscheinlichkeiten) p1 , ...., pn , k pk = 1 (d.h., der Zustand des Systems ist nicht als reiner Zustand eindeutig definiert, das System befindet
sich mit gewisser Wahrscheinlichkeit in einem mit Messergebnissen verträglichen reinen Zustand). Seien Ψ1 (t), ..., Ψn (t) die Ls’gen der Schrödingergl.
(oder der anderen Gl., die die dynamische Evolution der WF beschreibt),
mit Anfangsbedingungen Ψ1 (t0 ), ..., Ψn (t0 ). Das System zur Zeit t wird durch
Ψ1 (t), ...,DΨn (t) beschrieben,
mit gleichen Wahrscheinlichkeiten p1 , ...., pn . Sei
E
hAik = Ψk (t)|Â|Ψk (t) der Mittelwert der Messbaren A zur Zeit t im Zustand k. Dann ist der Mittelwert von A in einem gemischten Zustand
X
hAi =
pk hAik .
k
Diese doppelte Mittelung entspricht der doppelten Unkenntniss über den
Ausgang der Messung: Die quantenmechanische Unkenntnis (Indeterminismus der Messwerten wegen der WW zwischen dem System und dem Messgerät) und die Unkenntnis über die genaue Anfangsbedingungen. Analog,
(i)
wenn wk die Wahrscheinlichkeit ist, ein Resultat ai bei der Messung von A
119
in dem Zustand Ψk zu bekommen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit ai bei der
Messung von A einen gemischten Zustand zu bekommen
X
(i)
w(i) =
p k wk .
k
Das wichtigste Beispiel eines gemischen Quantentenzustandes ist ein Zustand
eines statistischen Systems bei der Temperatur T . Die möglichen Ψn (t) sind
hier die Eigenfunktionen von Ĥ, und pi = Z −1 exp (−Ei /kB T ), mit kB –
Boltzmannkonstante. Der Normierungsfaktor
X
exp (−Ei /kB T )
Z=
i
wird als die kanonische Zustandssumme des Systems bezeichnet, und definiert sein ganzes termodynamisches Verhalten.
9.4.4
Die Algebra der Kommutatoren
4 Grundregeln:
h
i
h
i
Â, B̂ = − B̂, Â ;
(38)
h
i
h
i h
i
Â, B̂ + Ĉ = Â, B̂ + Â, Ĉ ;
(39)
i
h
i
i
h
h
Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ ;(40)
h h
ii h h
ii h h
ii
Â, B̂, Ĉ + B̂, Ĉ, Â + Ĉ, B̂, Â
= 0.
(41)
Durch die wiederhohlte Anwendung von (40) bekommt man
n
h
h
i
i X
s
n
B̂ Â, B̂ B̂ n−s−1 .
Â, B̂ =
s=0
i
h
Anhand dieser Regel kann man auch den Kommutator Â, f (B̂) ausrechnen,
falls f (x) eine konvergierende Taylor-Reihe besitzt.
Beispiele: Kommutationseigenschaften für Drehimpuls:
i
h
ˆlx , ˆly = i~ˆlz
i
h
ˆly , ˆlz = i~ˆlx
h
i
ˆlz , ˆlx = i~ˆly
120
Die Komponenten des Drehimpulses kommutieren nicht miteinander. Die
Komponenten des Drehimpulses besitzen keine gemeinsamen VONS. I.A.
können die 2 Komponenten des Drehimpulses gleichzeitig gemessen werden
(abgesehen von der Situation für lx = ly = ly = 0). Aus (40) folgt
i
h
ˆlz , ˆl2 = i~(ˆly ˆlx + ˆlx ˆly )
x
i
h
ˆlz , ˆl2 = −i~(ˆly ˆlx + ˆlx ˆly )
y
i
h
ˆlz , ˆl2 = 0
z
Zusammenaddiert
i
h
ˆlz , l̂2 = 0
mit l̂2 = ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2 . Die Operatoren l̂2 und ˆlz kommutieren, d.h. sie können
gleichzeitig gemessen werden. Die Paare l̂2 und ˆlx und l̂2 und ˆly besitzen die
gleiche Eigenschaft.
9.4.5
Zeitliche Änderung der statistischen Verteilungen. Bewegungsintegrale.
Wir interessieren uns für die zeitliche Änderung einer Messbaren A,
D
E Z
hAi = Ψ|ÂΨ = Ψ∗ ÂΨdr
Die Zeitliche Entwicklung der WF ist durch die SGl. gegeben:
i~
∂
Ψ = ĤΨ
∂t
und
∂ ∗
Ψ = ĤΨ∗ .
∂t
Daher
∂
∂
∂
d D E
 =
Ψ|ÂΨ + Ψ| ÂΨ + Ψ|Â Ψ .
dt
∂t
∂t
∂t
Das mittlere Glied ist 0 wenn A nicht explizit von der Zeit abhängig ist.
Unter Benutzung der SGl und der Hermite’schen Natur von Â
*
+
E
E 1 D
d D E
1 D
∂ Â
Ψ|ÂĤΨ +
 = −
ĤΨ|ÂΨ +
dt
i~
i~
∂t
−i~
121
i E
1 D h
Ψ| Â, Ĥ Ψ +
=
i~
*
∂ Â
∂t
+
.
• Für jede Messbare, deren Operator  nicht
von der Zeit abhängt
i
h explizit
und mit dem Hamiltonian kommutiert Â, Ĥ = 0 gilt
d D E
 = 0,
dt
D E
d.h.  = const. Man sagt, dass  ein Bewegungsintegral ist.
i
h
i
h
• Wenn Â, Ĥ = 0 so gilt auch eiξ , Ĥ = 0. Daher
d D iξ E
e
= 0.
dt
E
D
Da eiξ die charakteristische Fkt. der Verteilung der Messergebnisse
darstellt, bleibt diese Verteilung auch zeitunabhängig.
• Wenn die WF des Systems bei t = 0 eine EF von  zur EW a war, so
wird diese Funktion im Laufe der Zeit, bis auf den Phasenmultiplikator
eiϕ(t) erhalten. Die Energie E und der Wert von a bleiben erhalten.
Man sagt dass a eine gute Quantenzahl ist.
Beispiel: Die Parität. Die Parität ist eine Observable deren Operator (in
1d) durch
P̂ ψ(x) = ψ(−x).
gegeben ist. P̂ ist Hermite’sch, und P̂ 2 = 1. Daher sind die EW von P̂
p1,2 = ±1. p = 1 entspricht der geraden WF und p = −1 den ungeraden WF.
Wenn Ĥ invariant gegen den Wechsel x → −x ist, so kommutiert Ĥ mit P̂ .
Ĥ ist eine Fkt.
d
d
Ĥ −i~ , x = Ĥ i~ , −x
dx
dx
so gilt es für jede ψ(x)
d
d
P̂ Ĥψ(x) = Ĥ i~ , −x ψ(x) = Ĥ −i~ , x ψ(−x) = Ĥ P̂ ψ(x).
dx
dx
Wenn die WF bei t = 0 eine definierte Parität hat, so bleibt dieser Wert
erhalten. Die gleiche Eigenschaft gilt in höheren Dimensionen und für die
Vielteilchensysteme. Der Operator P̂ entspricht dann dem Wechsel ri → −ri .
122
9.5
Dualer Raum. Ket- und bra-Vektoren
Der Zustand des Quantensystems wird durch den Zustandsvektor |ψi beschrieben. Die Skalarprodukte zweier Vektoren hφ|ψi sind (wenigstens
D
E in
Ortsdarstellung) definiert. Genau so sind auch die Mittelwerte ψ|Â|ψ und
D
E
die allg. Matrizenelemente φ|Â|ψ . Manchmal erweist es sich als zweckmäßig,
dem Symbol hφ| eine eigenständige Bedeutung zu geben.
Der eigentliche Zustandsvektor |ψi wird als ket-Vektor (Ket) bezeichnet. Der Vektor hψ| (ein bra-Vektor, oder Bra) ist ein Element eines dualen
Raumes. Die Notation geht auf Dirac zurück; ein Skalarprodukt aus Bra
und Ket ist einfach ein Bracket (Klammer).
In linearer Algebra kann man jedem linearen Vektorraum einen dualen
Raum gegenüberstellen. In einem linearen Raum gehört jede lineare Kombination (z.B. |vi = λ1 |1i + λ2 |2i, wobei |1i und |2i dem Raum angehören)
wieder dem Raum an. Jede lineare Funktion χ(|ψi), auf dem Raum der ketVektoren definiert, ist ein Vektor des dualen Raums, und wird als entsprechende Bra hχ| bezeichnet. Der Wert dieser Funktion, den sie bei irgendeinem
Vektor |ψi annimmt ist eine komplexe Zahl. Diese Zahl wird als hχ|ψi bezeichnet.
Ein Bra ist gleich 0, hχ| = 0 wenn für jede |ψi, hχ|ψi = 0.
Zwei Bra hχ1 | und hχ2 | sind gleich wenn für jede |ψi, hχ1 |ψi = hχ2 |ψi.
Wenn der Raum von |ψi eine endliche Dimension hat, dann hat der Raum
der Bra-Vektoren die gleiche Dimension. Wenn der Raum von |ψi unendlichdimensional ist, so ist es auch der Raum von hχ|.
Es wird nngenommen, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen
den Vektoren der beiden Räume gibt: jedem Ket |ψi wird ein Bra hψ| gegenübergestellt, und umgekehrt. Diese Entsprechung ist antilinear, d.h. dem
ket-Vektor |ψi = λ1 |1i+λ2 |2i entspricht ein bra-Vektor hψ| = λ1 h1|+λ2 h2|.
9.5.1
Die Lineare Operatoren
Die Operatoren der Quantenmechanik können nun auch i.A. ohne Bezug auf
die Ortsdarstellung der Wellenfunktionen eingeführet werden. Ein Operator
 ordnet jedem Ket |αi aus seinem Definitionsbereich DA einen Ket |βi aus
seinem Werteberiech zu:
|βi = Â |αi .
123
Zwei Operatoren Â1 und Â2 sind identisch, falls die beiden den gleichen
Definitionsbereich haben, und für jeden |αi aus der Definitionsbereich gilt
Â1 |αi = Â2 |αi .
Der Identitätsoperator wir definiert durch
Iˆ |αi = |αi
und der Null-Operator durch
0̂ |αi = |0i .
Der Operator ist linear falls für jede |αi ∈ DA und |βi ∈ DA gilt:
 (λ1 |αi + λ2 |βi) = λ1  |αi + λ2  |βi .
Die linearen Operatoren sind assoziativ und kommutativ gegenüber der Addition, allerdings nicht kommutativ gegenüber der Multiplikation (nacheinenderwirken).
• Der zu  adjungierter Operator Â+
– Definitionsbereich: DA+ : die Menge aller |γiD∈ H, für
E die ein |γ̄i ∈
H existiert, so dass für jede |αi ∈ DA gilt: γ|Â|α = hγ̄|γi.
– Abbildungsvorschrift: Â+ |γi = |γ̄i.
Eigenschaften:
D
E D
E∗
• Seien |αi ∈ DA und |γi ∈ DA+ , so gilt: γ|Â|α = α|Â+ |γ .
+
• Bei passendem Definitionsbereich Â+
= Â.
• Â+ wirkt im dualen Raum H ∗ so wie  in H:
E
D +
|βi = Â |αi = Âα ⇔ hβ| = hα| Â = Âα .
+
• Für das Produkt zweier Operatoren gilt: ÂB̂
= B̂ + Â+ .
• Ein hermite’scher Operator: DA = DA+ = H, Â+ = Â.
124
9.5.2
Spezielle Operatoren
Hier führen wir die wichtigen Typen der Operatoren ein für weiteren Gebrauch.
• Der inverse (oder reziproke) Operator: Für einen Operator  mit umkehrbar eindeutiger Abbildungsvorschrift
|βi = Â |αi
deren Definitions- und Wertebereiche zusammenfallen, kann ein inverser Operator Â−1 definiert werden, so dass
|αi = Â−1 |βi .
Es gilt:
ˆ
ÂÂ−1 = Â−1 Â = I.
Für die adjungierten Operatoren gilt:
+
−1 −1
+
.
= Â
Â
ˆ d.h. Û −1 = Û + . Die unitäre
• Der unitärer Operator: Û + Û = Û Û + = I,
Operatoren ändern nicht das Skalarprodukt der Zustandsvektoren, und
entsprechen der Rotationen im Hilbertraum der Zustände: wenn |ψ 0 i =
Û |ψi und |φ0 i = Û |φi so gilt
D
E
hψ 0 |φ0 i = ψ|Û + Û |φ = hψ|φi .
Die Änderung der Operatoren bei solcher Rotation ist wie folgt:
Â0 = Û ÂÛ +
E D
E
D
so dass ψ 0 |Â0 |φ0 = ψ|Â|φ .
• Das dyadische Produkt: für |αi , |βi ∈ DA ist Dαβ = |βi hα| so definiert
dass
Dαβ |γi = |βi (hα|γi) = hα|γi |βi .
Der dazu adjungierte Operator (|βi hα|)+ = |αi hβ|. Der Operator |αi hβ|
besitzt keine Inverse.
125
• Das diagonale dyadische Produkt Pα = |αi hα| ist ein Projektionsoperator auf die Richtung |αi:
Pα |γi = hα|γi |αi .
Eigenschaften:
– Pα2 |γi = Pα Pα |γi = Pα |γi (idempotenz).
– Wenn die Zustände |αi und |βi orthogonal sind, gilt: Pα Pβ |γi = 0.
9.6
Zustandsvektoren und Operatoren als Matrizen.
Die Zustandsvektoren (oder Ket-Vektoren |ψi) spannen einen Hilbertraum
H auf. Wir betrachten zunächst die Operatoren nur mit diskretem Spektrum;
die Funktionen |φn i bilden ein VONS der Funktionen. Jede |ψi kann dann
folgendermassen dargestellt werden
X
|ψi =
|φn i hφn |ψi
n
(das ist genau unsere
P
n cn
|φn i mit cn = hφn |ψi). Eigentlich ist ein Operator
X
Iˆ =
|φn i hφn |
n
ein Einheitsoperator in H: |ψi = Iˆ |ψi.
Der Funktion |ψi kann dann ein Spaltenvektor gegenübergestellt werden:

ψ1
ψ2
..
.



|ψi → ψ = 

 ψm
..
.




.


(42)
(mit ψn = cn , das sind jetzt Zahlen, keine Funktionen). Diese Spaltenvektoren
erfüllen die Axiome eines Hilbert-Raums, und können als Elementen veines
Hilbert-Raums angesehen werden.
126
Betrachten wir nun einen auf die Funktion |ψi wirkenden Operator Â:
|χi =  |ψi. Für  gilt:
X
X
 = IˆÂIˆ =
|φn i hφn | Â |φm i hφm | =
|φn i Anm hφm |
m,n
m,n
mit Anm = hφn | Â |φm i. Die Anm heissen die Matrizenelementen von Â, die
Werte von diesen sind durch die Festlegung der Basis {|φn i} eindeutig festgelegt. Den ganzen Operator kann man dann als Matrix schreiben:


A11 A12 ... A1m ...
 A21 A22 ... A2m ... 

 .
..
..


.
.
A = (Anm ) =  ..
.


Anm ... 
 An1 An2
..
..
..
.
.
.
Wenn die Funktion |ψi durch einen Vektor (42) dargestellt wird, so wird die
Funktion
X
|χi =
|φn i Anm hφm |ψi
m,n
durch den Vektor mit Elementen χn =
P
n
Anm cn dargestellt:
χ = Aψ.
• Die Eigenwertgleichung für den Operator  entspricht dann der Eigenwertgleichung für die Matrix A:
Aψ =aψ,
was gewissermassen der algebraischen Gleichung
det (A − aI) = 0
entspricht.
• Das zu dem Ket |ψi zugehörige Bra hψ| entspricht dem Zeilenvektor
mit Elementen
∗
(ψ1∗ , ψ2∗ , ..., ψm
, ...)
127
P
P
(dadurch dass hψ| = hψ| Iˆ = n hψ|φn i hφn | = n hφn |ψi∗ hφn |). Das
Skalarprodunkt aus Bra und Ket folgt dann der Regel der Matrizenmultiplikation:


ψ1
 ψ2 
 .  X


χ∗n ψn .
hχ|ψi = (χ∗1 , χ∗2 , ..., χ∗m , ...)  ..  =


n
 ψm 
..
.
• Die Matrix des zu  adjungierten Operators Â+ hat die Elemente
(A+ )nm = A∗mn (die ist komplex konjungiert zu der Transponierten
von A).
• Das Produkt zweier Operatoren  und B̂ entspricht dem Matrixprodukt AB.
• Wählt man als Basis von H ein VONS der Eigenvektoren
E |an i von
D
Operator Â, so ist die Matrix A diagonal: Anm = an |Â|am = an δnm .
9.6.1
Unitäre Transformationen.
Betrachten wir nun einen unitären Operator Û , Û + = Û −1 . Für diesen gilt
∗
U −1 nm = Umn
.
Die Zeilen und Spalten einer unitären Matrix sind orthonormiert: Û + Û = Iˆ
⇒
X X Ûmj = δij ⇒
Ûmj = δij .
Û +
Û ∗
m
im
m
mi
Betrachten wir jetzt irgendeinen Operator Â. Seien |an i die Eigenfunktionen dieses Operators. In Basis |φn i sind sie als Vektoren an mit Elementen
(an1 , ...anm , ...) dargestellt, ani = han |φi i. Definieren wir nun eine Matrix


a11 a12 ... a1m ...
 a21 a22 ... a2m ... 
 .

..
..


.
.
U =  ..
.


 am1 am2 ... amm ... 
..
..
..
.
.
.
128
∗
Die dazu adjungierte Matrix U+ hat die Elemente (U + )mj = Ujm
= haj |φm i∗ =
hφm |aj i. Daher überzeugt man sich, dass U unitär ist: U+ U = I. Betrachten
wir nun eine Matrix A0 = UAU+ , mit Elementen
D
E
XX
XX
+
a0ij =
Uin Anm Umj
=
hai |φn i φn |Â|φm hφm |aj i
Dm n E
= ai |Â|aj = aj δij .
m
n
Die Matrix A0 ist diagonal! Die unitäre Transformation, die von der Matrix
U (Operator Û ) gegeben ist, diagonalisiert A. Diese Transformation, auf die
Basisvektoren wirkend, transformiert die Basis |φn i in der Basis der Eigenvektoren von A. I.A. transformiert eine unitäre Transformation ein VONS
der Basisvektoren in das andere VONS von Basisvektoren.
Bemerkung: Besteht die Basis auch aus uneigentlichen Hilbert-Vektoren
(kontinuierliches Spektrum) sollen die Summen durch die Integrale ersetzt
werden. Obwohl die Matrixdefinition inm eigentlichen Sinne nicht mehr gilt,
redet man trotzdem von Matrizenelementen u.s.w. Die wichtigsten Eigenschaften der Matrizen bleiben dabei bestehen. Die Elemente P (q, q 0 ) einer
”kontinuierlichen” Matrix P = AB sind:
Z
0
P (q, q ) = A(q, q 00 )B(q 00 , q 0 )dq 00 .
Es wird angenommen, dass die entsprechenden Integrale konvergieren. Die
Matrix ist diagonal falls
D(q, q 0 ) = D(q)δ(q − q 0 ).
Nicht alle unendlichdimensionalen hermite’sche ”Matrizen” können durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden, i.e. besitzen einen Spektrum. Wir nehmen aber an, dass alle Operatoren der Observablen können
diagonalisiert werden.
Für unendlichdimensionale Matrizen sind die linke und rechte Inverse
nicht unbedingt gleich: aus AB = I folgt nicht unbedingt BA = I. Für die
zueinander inversen Matrizen A und B sollen die beiden Gleichungen gleichzeitig gelten.
Im Falle des sowohl kontinuierlichen als auch diskreten Spektrums sind
die ”Matrizen” durch ein Gemisch aus kontinuierlichen und diskreten Indizes
numeriert.
129
9.7
Darstellungen der Quantenmechanik
Betrachten wir den Hilbert-Raum H, und darin ein VONS der Basisvektoren
|ni. Wenn |ni Eigenvektoren irgendeiner Observablen Q sind, Q̂ |ni = qn |ni,
sagen wir, dass |ni die Basisvektoren in Q-Darstellung sind. Es gilt:
hm|ni = δmn ,
X
P̂Q ≡
|ni hn| = Iˆ
n
Die Basisvektoren einer Darstellung können über die Basisvektoren einer
anderen Darstellung |νi (VONS der Eigenfunktionen einer Observablen W )
entwickelt werden:
X
|ni =
|νi hν|ni
ν
X
|νi =
n
|ni hn|νi .
Die Skalarprodukte, die von den beiden Darstellungen abhängen, können als
Elemente einer Matrix aufgefasst werden:
(S)νn = hν|ni
(T )nν = hn|νi ,
es gilt
S = T+
(Die Matrizen S und T sind nicht unbedingt quadratisch, da im Prinzip die
Anzahl der Basisvektoren in verschiedenen Darstellungen unterschiedlich sein
kann, oder einer der Operatoren kann ein kontinuierliches Spektrum haben,
wobei der andere ein diskretes Spektrum besitzt). Es gilt:
SS+ = I,
TT+ = S+ S = I.
Wenn ein Operator  in Q-Darstellung durch eine Matrix AQ dargestellt
wird, so wird er in W -Darstellung durch eine Matrix AW dargestellt, mit
Matrizenelementen
X
hν|A|ν 0 i =
hν|ki hk|A|li hl|ν 0 i ,
(43)
k,l
130
d.h.
AW = SAQ S+ .
Analog, für die rechten Vektoren uQ und uW die in beiden Darstellungen das
gleichen Ket |ui repräsentieren gilt
uW = SuQ ,
P
da hν|ui = n hν|ni hn|ui, für die linke Vektoren vQ und vW , die dem Bra
|vi entsprechen, gilt
vW = vQ S+ .
Die Lösung des Eigenwertproblems für Operator Ŵ in Q-Darstellung ist äquivalent zu der Suche nach der Transformation S, die W diagonalisiert. Umgekehrt, die Lösung der Eigenwertproblem für Operator Q̂ in W -Darstellung
ist äquivalent zu der Suche nach der Transformation S+ , die Q diagonalisiert.
9.7.1
Einige Darstellungen
Wir wollen einige mögliche Darstellungen an Beispielen erläutern. Der einfachheithalber behandeln wir Zustände der Einteilchensysteme. Als Ausgangspunkt dient uns die Ortsdarstellung, in der die Evolution des Systems durch die Schrödingergleichung bestimmt wird. Die Ortsdarstellung entspricht dem (verallgemeinerten) Hilbertraum der Eigenfunktionen des Operators der Koordinaten, in 1 Dimension ist es x̂. Das Spektrum der Koordinate
ist kontinuierlich: Die Gl.
x̂ |xi = q |xi
hat die Eigenfunktionen |xi = δ(q−x) für jedes q aus dem Definitionsbereich.
Die Energiedarstellung. Zur Darstellung des Zustandsvektors |Ei wählen
wir als Basisfunktionen nun die Eigenfunktionen eines Hamiltonoperators
(wir betrachten den Fall des diskreten Spektrums). In Ortsdarstellung bezeichnen wir diese Funktionen mit
ψEn (x) = hx|En i .
Für die konjungierten benutzen wir
ψE∗ n (x) = hEn |xi .
131
Die Orthonormiertheit der EF kann man in der Form
Z
dxψE∗ m (x)ψEn (x) = δmn
oder
Z
dx hEm |xi hx|En i = hEm |En i = δmn
schreiben. Entwickeln wir die Funktionen der Ortsdarstellung des Zustandsvektors |ai, d.h. φa (x) = hx|ai, so bekommen wir
X
hx|En i hEn |ai .
hx|ai =
En
Der 1. Multiplikator ist nichts anderes als ψEn (x), und der Zweite nichtd
anders als der Entwicklungskoeffizient von Zustand |ai in der VONS von
Eigenfunktionen von Ĥ (in gewöhnlicher Schreibweise sollte man statt |En i
eigentlich |ni schreiben, und über n summieren; die jetzige Schreibweise unterstreicht dass n eigentlich die mögliche Energien der Eigenzuständen numeriert). Diese ist nichts anders als unsere vorherige Entwicklung
X
φa (x) =
cn ψn (x).
n
Das Skalarprodukt ψa (En ) = hEn |ai fassen wir als die Wellenfunktion des
Zustandes |ai in der Energiedarstellung auf. Die unabhängige Veränderliche
der Wellenfunktion in Energiedarstellung En ist diskret, es ist die Energie
des Systems, und das Betragsquadrat der WF in der Energiedarstellung
W (En ) = |ψa (En )|2 = |hEn |ai|2
ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung der Energie in dem Zustand |ai
den Wert En zu bekommen. Waren die Funktionen in Ortsdarstellung normiert, so sind siePes in der Energiedarstellung auch:
P Stellt man die Definitionen hx|ai =
En ha|En i hEn |xi in der
En hx|En i hEn |ai und ha|xi =
Normierungsbedingung für Koordinatendarstellung
Z
Z
2
1 = dx |φa (x)| = dx ha|xi hx|ai
ein, so erhält man
Z
XXZ
1 =
dx ha|xi hx|ai =
dx ha|En i hEn |xi hx|Em i hEm |ai
=
D
E
En Em
ˆ
a|IˆIˆI|a
= ha|ai .
132
Die Impulsdarstellung Impuls, wie Koordinate auch, entspricht einem
Operator mit kontinuierlichen Spektrum. In der Impulsdarstellung (p-Darstellung)
sind die Basisfunktionen die Eigenfkt. von Impulsoperator φ p (x) = hx|pi. Sie
sind orthonormiert
Z
Z
∗
dxφp0 (x)φp (x) = dx hp0 |xi hx|pi = hp0 |pi = δ(p0 − p).
Wir entwickeln die Wellenfunktion ψa (x) = hx|ai des Zustandes |ai nach
VONS der EF von p̂:
Z
ψa (x) = dpφp (x)ψa (p),
(44)
oder
hx|ai =
Z
dp hx|pi hp|ai .
(45)
Die Funktionen ψa (p) = hp|ai bestimmen den Zustandsvektor in p-Darstellung.
Das Betragsquadrat dieser Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum:
w(p) = |hp|ai|2 = |ψa (p)|2 .
Die inverse Transformation lautet
Z
hp|ai = dx hp|xi hx|ai .
Die EF des Impulsoperators in Ortsdarstellung sind explizit bekannt:
ipx
1
exp
hx|pi = √
.
~
2π~
Die Fkt. der inversen Transformation lautet dann
ipx
1
,
exp −
hp|xi = √
~
2π~
das ist die EF des Ortes in Impulsdarstellung.
133
Darstellungen der Operatoren In der Ortsdarstellung sind die Operatoren Funktionen der Koordinaten und der Ableitungen nach den Koordinaten. Wendet man diese auf Funktionen in Ortsdarstellung an, so ergeben sich
andere Funktionen in Ortsdarstellung:
ψb (x) = F̂ ψb (x),
oder
(46)
D
E
hx|bi = x|F̂ |a .
Anhand von Gl.(43) wird F̂ in Energiedarstellung durch eine Matrix F
gegeben:
E
D
(F)n,m = En |F̂ |Em .
Betrachten wir den Hamiltonoperator Ĥ in der Energiedarstellung, so entspricht dieser einer diagonalen Matrix:
E
D
(H)n,m = En |Ĥ|Em = En δnm .
Betrachten wir nun die Gestalt von F̂ in Impulsdarstellung. Dafür benutzen wir die Entwicklungen der Eigenfunktionen des Ortes in Impulsdarstellung, Gl’en (44,45). Die Gl.(43) ergibt dann
D
E Z Z
D
E
0
p |F̂ |p =
dx0 dx hp0 |x0 i x0 |F̂ |x hx|pi .
Die Operatoren in Ortsdarstellung sind normalerweise lokal, d.h. die Werte
des unabhängigen Variablen auf beiden Seiten der Gl.(46 sind gleich: diese
Operatoren sind daher diagonal in der Koordinatendarstellung, so dass wir
eigentlich nur 1 Integral benötigen:
D
E Z
D
E
0
p |F̂ |p = dx hp0 |xi x|F̂ |x hx|pi .
Betrachten wir nun diese Situation explizit. In Ortsdarstellung ist der Impulsoperator
∂
p̂ = −i~ .
∂x
134
Im Impulsdarstellung daher gilt:
Z
∂
1
ipx
ip0 x
1
0
i~ √
exp
exp −
hp |p̂|pi = − dx √
~
∂x 2π~
~
2π~
Z
0
p
i (p − p ) x
=
dx exp
= pδ(p0 − p).
2π~
~
Die Gestalt des Ortsoperator in der Impilsdarstellung ergibt sich aus
Z
0
hp |xi = dp hp0 |x̂|pi hp|xi
mit hp|xi =
√1
2π~
exp − ipx
. Daher
~
hp0 |x̂|pi = −i~
∂
δ(p0 − p).
∂p0
(Nachprüfen durch partielle Integration!). Demnach entspricht die Koordinate in Impulsdarstellung einem Differentialoperator
x̂ = i~
∂
.
∂p
Man überzeige sich direkt, dass obwohl die Gestalt der Operatoren von der
Darstellung abhängt, die Kommutationseigenschaft
[x̂, p̂] = i~
sowohl in Orts- als auch in Impulsdarstellung gilt. Für den dreidimensionalen
Fall gilt:
D
E
b
p~ = p~·
oder
p~0 |b
p~|~p = p~δ(~p0 − p~)
D
E
0 b
b
~
~ p δ(~p0 − p~)
~r = i~∇p
oder
p~ |~r|~p = −i~∇
~ p = ∂ , ∂ , ∂ definiert). Mittels
(der Gradient im Impulsraum wird als ∇
∂px ∂py ∂pz
dieser Gl. kann man in p-Darstellung die explizite Gestalt der Operatoren
der Physikalischen Größen aufschreiben, die in der klassischen Physik der
Funktionen der Koordinaten und Impulse entsprechen.
135
9.7.2
Beispiel: Schrödinger-Gl. in Impulsdarstellung
Der Hamiltonian in Ortsdarstellung
Ĥ = −
~2
∆r + U (~r),
2m
geht in Impulsdarstellung in
p2
~ p)
+ U (i~∇
Ĥ =
2m
über. In Matrixschreibweise bekommen wir
D
E
p2
~ p )δ(~p0 − p~)
p~0 |Ĥ|~p =
δ(~p0 − p~) + U (−i~∇
2m
oder
D
E
p2
~ p )δ(~p − p~0 )
δ(~p0 − p~) + U (i~∇
p~0 |Ĥ|~p =
2m
~ p )δ(~p − p~0 ) ist eigentlich ein Integraloperator:
Der Operator U (i~∇
Z Z
D
E
D
E
0
p~ |Û |~p =
d~rd~r0 h~p0 |~r0 i ~r0 |Û |~r h~r|~pi
Z Z
=
d~rd~r0 h~p0 |~r0 i U (r)δ(~r0 − ~r) h~r|~pi
Z Z
i
1
~0 ~
r0
0
p
~~
r
0 − ~i p
~
U
(r)δ(~
r
−
~
r
)e
d~
r
d~
r
e
=
3
(2π~)
Z
1
0
− ~i (~
p0 −~
p)~
r0
=
d~
r
U
(r)e
.
(2π~)3
R
i
0
Führen wir die Fouriertransformierte Ũ (~p) = d~r0 U (r)e− ~ p~~r ein, so erhalten
wir
D
E
0
p~ |Û |~p = Ũ (~p0 − p~).
Die Schrödingergleichung
i~
∂
pˆ~
|ai =
|ai + Û |ai
∂t
2m
in Impulsdarstellung nimmt demnach die Form der integro-differentialen Gl.
Z D
E
∂
pˆ~
i~ h~p|ai =
p~|Û |~p0 h~p0 |ai d~p0 ,
h~p|ai +
∂t
2m
136
oder
Z
p~2
∂
Ψ(~p, t) + d~p0 Ũ (~p − p~0 )Ψ(~p0 , t)
i~ Ψ(~p, t) =
∂t
2m
an. Das ist eigentlich nichts anders als die Fouriertransformierte der Schrödinger Gl. der Ortsdarstellung.
Beispiel: U (x) = F x. Dieses lineare Potential haben wir bei der Herleitung der WKB-Näherung ( 6.1) benutzt. Wie sieht die entsprechende Eigenfunktion (eigenwert 0!) aus? In Ortsdarstellung
~2 d2
+ F x ψ(x) = 0.
−
2m dx2
In Impulsdarstellung:
p2
d
ψ(p) = 0,
+F
2m
dp
diese Gl. ist definitiv einfacher. Die Lösung kann man sofort aufschreiben:
ip3
ψ(p) = const · exp −
.
6~mF
Daher
ψ(x) = const ·
1/3
Z
ip3
exp −ipx −
6~mF
.
Setzen wir ξ = (2mF/~2 ) x, so sehen wir dass
Z
√
z3
ψ(ξ) ∝ exp −i ξz −
dz = 2 πAi(ξ),
3
mit
1
Ai(ξ) = √
π
Z
∞
0
z3
cos ξz +
3
dz
die Airy-Funktion ist (das ist ihre Definition!).
Bemerkungen:
• Bei praktischen Anwendungen benutzt man meistens die Ortsdarstellung, da normalerweise U als Funktion der Koordinaten bekannt ist.
Die kinetische Energe ist sowieso einfach.
137
• Bei Untersuchungen der Systeme schwach wechselwirkender Teilchen
benutzt man Impulsdarstellung (in dem die freie Bewegung am Einfachsten aussieht)
• Bei Näherungslösungen (Störungstheorien) benutzt man oft die Energiedarstellung.
9.7.3
Weitere Bemerkungen:
Die Matrix S aus der Sek.(9.7) stellt i.A. keinen Operator dar: Jeder Operator
ist definiert in einer Darstellung, und S hängt von 2 Darstellungen ab. Es gibt
aber die Situationen wenn S ein Operator ist. Es ist der Fall wenn zwischen
den Basisvektoren in beiden Darstellungen eine eins-zu-eins Korrespondänz
besteht (dann muss auch die Natur der Spektren gleich sein, i.e. beide diskret,
mit gleichen Anzahl der Zuständen, oder beiden kontinuierlich u.s.w.). Die
korrespondenz zwischen |ni und |νi ist durch einen Operator Û gegeben:
|ni = Û |νi .
Dann ist
Û =
X
n
und
Û + =
X
n
|ni hν|
|νi hn| .
Da beide Vektorensysteme |ni und |νi orthonormiert sind, so gilt:
ˆ
Û Û + = Û + Û = I.
Û ist ein unitärer Operator. Die Matrix S mit Elementen hν|ni, ist die Matrix
U in W -Darstellung.Die Änderung der Darstellung entspricht in gewissem
Sinne der ”Rotation” des Koordinatensystems der Basisvektoren. Statt das
Basissystem anhand |νi = Û + |ni zu transformieren, kann man die Basis
gleich lassen und die Vektoren und Operatoren transformieren (”rotieren”):
|ui → |u0 i = Û |ui
 → Â0 = Û ÂÛ + .
Die Skalarpodukte und die Adjunktionsbeziehungen zwischen Vektoren
und
E
D
Operatoren bleiben bei solchen Transformationen erhalten, da u0 |Â0 |v 0 =
138
D
E
u|Â|v . Wenn A eine Messbare ist, so ist A0 auch eine Messbare mit dem
gleichen Eigenwertspektrum. Die Eigenvektoren |a0 i von Â0 sind die transformierten Eigenvektoren |ai von Â. Die Matrix A0 in Q-Darstellung hat die
gleiche Gestalt wie die Matrix A in W -Darstellung. Der Vektor |a 0 i hat in QDarstellung die gleichen Komponenten, wie der Vektor |a0 i in W -Darstellung.
• Zwei aufeinenderfolgende unitäre Transformationen U und V definieren
eine unitäre Transformation W = V U .
• Eine infinitesimale Transformation ist durch einen Operator Ûε = Iˆ +
iεF̂ bestimmt, mit infinitesimal kleinen, reellen ε, so dass die Terme,
die in ε quadratisch sind, vernachlässigt werden können. Die Forderung,
dass dieser Operator unitär ist ergibt:
(Iˆ − iεF̂ + )(Iˆ + iεF̂ ) = (Iˆ + iεF̂ )(Iˆ − iεF̂ + ) = Iˆ
ergibt in 1. Ordnung in ε F̂ = F̂ + , i.e. jeder Hermitesche Operator F̂
definiert eine infinitesimale unitäre Transformation Ûε = Iˆ + iεF̂ . Es
gilt:
|u0 i = |ui + δ |ui = (Iˆ + iεF̂ ) |ui
und
h
i
+
ˆ
ˆ
 =  + δ  = (I + iεF̂ )Â(I − iεF̂ ) =  + iε F̂ ,  ,
0
so dass
δ |ui = iεF̂ |ui ,
i
h
δA = iε F̂ , Â .
• Man kann diese Entwicklung bis zu höheren Glieder fortsetzen und
statt infinitesimalen ε irgendeine Zahl x nehmen:
1
Ûx = Iˆ + ixF̂ − x2 F̂ 2 + ... .
2
Die Einwirkung eines solches Operators auf |ui ergibt
1
|u0 i = Ûx |ui = |ui + ixF̂ |ui − x2 F̂ 2 |ui + ... .
2
139
Die Transformation eines Operators wird dann durch
h
i 1 h h
ii
Â0 = Â + ix F̂ , Â − x2 F̂ , F̂ , Â + ...
2
gegeben.
Die gleichzeitige Änderung der Zustandsvektoren und der Operatoren
führt zur verschiedenen Schreibweisen für einen Zustand zum gegebenen Zeitpunkt. Diese gleichzeitige unitäre Transformation der Wellenfunktion und
der Operatoren ändert die Gestalt der Wellenfunktionen, verändert aber den
Zustand des Systems nicht.
9.8
Unitäre Transformationen für die zeitliche Änderung eines Zustandes
Man kann auch die zeitliche Änderung des Zustandsvektors durch unitäre
Transformationen beschreiben. Diese Beschreibung ist in verschiedenerweise
möglich. Die verschiedene Arten der Beschreibung heissen Darstellugen der
Zustandsänderung (”Bilder”).
9.8.1
Schrödinger-Bild.
Falls sich das Spektrum des Operators zeitlich nicht ändert, kann man die
Operatoren verwenden, deren Form zeitunabhängig ist. Die zeitliche Änderung des Zustandes wird in diesem Fall durch die Änderung (Drehung) des
Zustandsvektors bestimmt. Im Schrödinger-Bild wird die zeitliche Änderung
der Wellenfunktion durch die Schrödinger-Gl. festgelegt.
Die Zeitabhängigkeit der WF in Schrödinger-Bild kann symbolisch mit
Hilfe der unitären Transformation
ψ(x, t) = Ŝ(t)ψ(x, 0)
dargestellt werden. Die Unitärität Ŝ + (t)Ŝ(t) = Iˆ ist notwendig, damit die
Normierung der WF erhalten bleibt. Stellen wir den Ausdruck für ψ(x, t) in
der Schrödinger-Gl. ein, so erhalten wir
∂
i~ Ŝ(t) − Ĥ Ŝ(t) ψ(x, 0) = 0.
∂t
140
Das entspricht einer Operatorbeziehung
i~
∂
Ŝ(t) − Ĥ Ŝ(t) = 0.
∂t
Falls Ĥ nicht explizit von t abhängt, ergibt sich die formale Lösung
i
Ŝ(t) = exp − Ĥt
~
ˆ Die zeitliche Änderung des Zustandes wird
(Anfangsbedingung Ŝ(0) = I).
also durch
i
ψ(x, t) = exp − Ĥt ψ(x, 0)
~
gegeben.
Um die Situation klarer zu machen, entwickeln wir die WF nach Eigenfunktionen von Ĥ:
X 1 i k X
− Ĥt
cn ψn (x)
ψ(x, t) =
k!
~
n
k
X X 1 i k
=
cn
− Ĥt ψn (x)
k!
~
n
k
k
X X 1
i
=
cn
− En t ψn (x)
k!
~
n
k
X
i
=
cn exp − En t ψn (x).
~
n
Man könnte auch sofort in der Energiedarstellung (in der Ĥ diagonal ist)
schreiben
i
i
exp − Ĥt ψ(En ) = exp − En t ψ(En )
~
~
(das ist die Definition einer Funktion eines Operators!) und dann zur Ortsdarstellung zurückkehren.
Die Wellemechanik, womit wir den ersten Teil dieses Kurses uns beschäftigt
hatten, entspricht der Benutzung des Schrödinger-Bildes und der Ortsdarstellung.
141
9.8.2
Heisenberg-Bild.
In diesem Falle bleibt die Wellenfunktion zeitlich unverändert (d.h. sie ist
nur Anfangsbedingung),
ψH (x) = S −1 (t)ψSch (x, t) = S + (t)ψSch (x, t) = ψSch (x, 0).
Dann muss man gleichzeitig die Operatoren transformieren, anhand der allg.
Regel
F̂H (t) = S(t)+ F̂Sch S(t),
damit alle Messbaren (Skalarprodukte, Matrizenelemente) unverändert bleiben. Ist F̂ im Schrödinger-Bild zeitunabängig, so hängt F̂H (t) explizit von
der Zeit ab; F̂H (0) = F̂Sch . Die Änderung des Operators F̂ nach der endlichen
Zeit τ wird durch die Formel
i
i
Ĥt F̂H (t) exp − Ĥt
F̂H (t + τ ) = exp
~
~
gegeben. Fangen wir bei t = t0 an. Wählen wir ∆t klein, so gilt
F̂H (t0 + ∆t) = S(∆t)F̂Sch (t0 )S + (∆t).
Nehmen wir
∂
i
i
i
S(t + ∆t) ' Iˆ + ∆t S(t) = Iˆ + Ĥ∆t exp
Ĥt = Iˆ + Ĥ∆t.
∂t
~
~
~
t=0
t=0
Daher bekommen wir
F̂H (t0 + ∆t) = F̂H (t0 ) +
so dass
i
ih
Ĥ, F̂ (t0 ) ∆t + ...
~
i
i
1 h
ih
dF̂H
Ĥ, F̂ =
F̂ , Ĥ .
=
dt
~
i~
Wenn der Operator F̂ explizit von der Zeit abhängt, so gilt
i ∂ F̂
dF̂H
1 h
F̂ , Ĥ +
=
.
dt
i~
∂t
142
(47)
Bewegungsintegrale Wenn eine Messbare F nicht explizit von der Zeit
abhängt und mit dem Hamiltonian des Systems kommutiert, so
i
ih
dF̂H
=
Ĥ, F̂ = 0,
dt
~
der entsprechende Operator ist in der Heisenbergdarstellung zeitunabhängig:
F̂H (t) = F̂H (0) = F̂H . Sein System von Eigenvektoren ist daher auch zeitunabhängig, und die möglichen Messergebnisse auch. Wenn die Anfangsbedingung |f i ein Eigenwektor von F̂H gewesen war,
F̂H |f i = f |f i ,
so blebt f konstant. Im Schrödingerbild wäre f zwar konstant, die Wellenfunktion hx|f i aber zeitabhängig (Phasenmultiplikator!).
Heisenberg-Bild und Korrespondenzprinzip Obwohl das SchrödingerBild zu der Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunkzion führt, die einfacher
zu lösen ist, als die Heisenberg-Gl. für die Operatoren, finden einige Eingeschaften der Bewegung der Quantensysteme im Heisenbeg-Bild ihre einfachere Darstellung.
Betrachten wir ein Quantensystem, das ein klassisches Analog besitzt
(kein Spin!), und vergleichen wir die Eigenschaften der beiden Beschreibungen. Es gilt:
i
dx̂
1 h
x̂, Ĥ
=
dt
i~
und
i
1 h
dp̂
p̂, Ĥ .
=
dt
i~
Der Hamiltonian Ĥ lässt sich schreiben als Ĥ = p̂2 /2m + U (x̂) (in dem
Fall des Magnetfeldes gibt es noch Mischglieder). Wir betrachten nun U (x)
als eine analytische Funktion von x (Taylor-Entwicklung) und benutzen die
Eigenschaften
d
[x̂, p̂n ] = ni~p̂n−1 ≡ i~ p̂n
dp̂
und
[p̂, x̂n ] = −ni~x̂n−1 ≡ −i~
143
d n
x̂
dx̂
(wobei wir die Differenzierung nach einem Operator rein formal betrachten 2 )
so bekommen wir
∂ Ĥ
dx̂
=
dt
∂ p̂
und
∂ Ĥ
dp̂
=−
,
dt
∂ p̂
was als vollständiges quantenmechanisches Analogon zu den klassischen HamiltonGl’en
∂H
dx
=
dt
∂p
dp
∂H
= −
dt
∂p
betrachtet werden kann.
Die allgemeine Bewegungsgleichung für eine Messbaren A in der Quantenmechanik, Gl.(47), hat ihre klassische Entsprechung in der Bewegungsgleichung
∂F
dF
= {F, H} +
(48)
dt
∂t
(F —eine klassisch Messbare, eine Fkt. von p und x), wobei {F, H} eine
Poissonklammer ist,
∂F ∂H
∂F ∂H
{F, H} =
−
.
∂x ∂p
∂p ∂x
Das gleiche gilt in höheren Dimensionen, mit
X ∂F ∂H
∂F ∂H
.
−
{F, H} =
∂qi ∂pi
∂pi ∂xj
i
Die klassische Gl.(48) ist identisch in Form mit der quantenmechanischen
Gl.(47), wenn man den Kommutator als quantenmechanisches Pendant zur
Poissonklammer betrachtet:
klassische Mechanik
Quantenmechanik
h
i
P ∂F ∂H
.
∂F ∂H
→ i~1 F̂ , Ĥ = i~1 F̂ Ĥ − Ĥ F̂
{F, H} = i ∂qi ∂pi − ∂pi ∂xj
2
Die Ableitung einer Operatorfunktion
nach einem
h i Operator kann mathematisch als
ˆ − f ( definirt werden. Für eine so definierGrenzwert dd f (Â) = limε→0 1ε f ( + εI)
te Ableitung gelten die üblichen Regel (Linearität, Kettenregel, u.s.w; man beachte aber
die Reihenfolge der Operatoren!
144
Evolution der Mittelwerte Aus der Heisenberg-Darstellung ausgehend,
ist es besonders einfach, die Gleichungen für die Mittelwerte einer Observablen zu bestimmen: da die Wellenfunktionen konstant bleiben, so gilt
E d
d D
d
hAi =
ψH |Â|ψH = ψH | Â|ψH
dt
dt
dt
+
*
iE
∂ Â
1 Dh
.
Â, Ĥ +
=
i~
∂t
Wenn wir z.B. die Mittelwerte der Koordinaten und des Impulses betrachten,
so ehalten wir die folgenden Gleichungen für ihre Mittelwerte
*
+
d
∂ Ĥ
hqi i =
dt
∂pi
+
*
∂ Ĥ
d
,
hpi i = −
dt
∂qi
(die sog. Ehrenfest-Gleichungen) die in eine Analogie zur klassichen HamiltonGleichungen stehen.
Unschärferelation Energie-Zeit Im Heisenberg-Bild ist die WF |ψi zeitunabhängig.
wirirgendeinen
Betrachten
D E Operator
 und
führen wir die
Vektoren  − hAi |ψi und Ĥ − Ĥ |ψi ≡ Ĥ − E |ψi ein. Für diese
zweie Vektoren wenden wir die Schwarz-Ungleichung an (sieh Hausaufgabe
...). Man erhält
iE
1 Dh
∆A∆E ≥ Â, Ĥ .
2
i
h
Da Â, Ĥ = i~ dtd hAi, bekommen wir
∆A∆E ≥
oder
Der Wert
~
2
~
∆A
d
∆E ≥ .
hAi
2
dt
∆A
τA = d
hAi
dt
145
definirt die charakteristische Zeit der Evolution des Systems. Das ist die Zeit
während dessen sich der Mittelwert von A verschiebt um die Verteilungsbreite
(Varianz) von A. Es gilt
~
τA ∆E ≥ .
2
Nehmen wir jetzt das minimale τ für alle mögliche Eigenschften des Systems
und assoziieren diese Zeit mit der charakteristischen Evolutionszeit τ des
Systems als solches. Für diese gilt auch
τ ∆E ≥
~
= 0.
2
Wenn das System sich in einem stationären Zustand befindet, so ist für jedes
A
d
hAi = 0,
dt
τ ist unendlich, und daher ∆E = 0.
9.8.3
Wechselwirkungsbild.
In der Quantenmechnik hat man häufig Systeme zu untersuchen, die aus mehreren, miteinander wechselwirkenden Teile bestehen. In diesen (und manchen
anderen) Fällen kann man den Hamiltonian als Summe zweier Terme darstellen
Ĥ = Ĥ0 + V̂
(z.B. Ĥ0 : nichtwechselwirkende Teile, V̂ : Wechselvirkung). Zur Beschreibung
der zeitlichen Änderungen in solchen Systemen verwendet man häufig das
Wechselwirkungsbild :
i
Ŝ(t) = exp
Ĥ0 t .
~
Folglich ist
ψW (x, t) = Ŝ(t)ψSch (x, t).
Setzen wir die Funktion
ψSch (x, t) = Ŝ + (t)ψW (x, t)
in die Schrödinger-Gl.
∂
i~ ψSch (x, t) = Ĥ0 + V̂ ψSch (x, t)
∂t
146
ein, so erhalten wir
∂
ψW (x, t) = V̂W ψW (x, t)
∂t
i
i
Ĥ0 t V̂ exp − Ĥ0 t .
= exp
~
~
i~
mit
V̂W
Alle Operatoren im WW-Bild ändern sich im Laufe der Zeit. Wenn F̂ ein
Operator im Schrödinger-Bild ist, dann ist der entsprechende Operator im
WW-Bild
i
i
F̂W = exp
Ĥ0 t F̂ exp − Ĥ0 t
~
~
(das Heisenberg-Bild ist ein Spezialfall davon). I.A.
i
ih
d
F̂W =
Ĥ, F̂W .
dt
~
10
Zeitunabhängige Störungstheorie
Oft ist der Hamiltonian eines Systems als eine Summe
Ĥ = Ĥ0 + Ŵ
darstellbar, wobei der Hamiltonian Ĥ0 in gewissem Sinne ”einfach” ist, so
dass sein Spektrum und seine Eigenfunktionen bekannt sind. In vielen solchen Fällen kan mann das Spektrum und die EF des Gesamthamiltonians Ĥ
näherungsweise mit Hilfe der Störungstheorie bestimmen. Hierbei bezeichnen wir das System, das durch den Hamiltonian Ĥ0 beschrieben wird, als
”ungestörtes System”, und Ŵ als ”Störung”.
Die Störung wird mit Hilfe eines formalen reelen Parameters λ (Koppelkonstante) eingeschaltet:
Ŵ → λĤ1 ,
0 ≤ λ ≤ 1. Es wird angenommen dass für λ → 0 die Eigenwerte En und die
(0)
Eigenfunktionen |E
n i des
E System in die entsprechenden Eigenwerte En und
(0)
des ungestörten Problems übergehen. Der formale
Eigenfunktionen En
Trick besteht darin, die Entwicklungen nach Potenzen von λ zu betrachten,
und dann λ = 1 zu setzen.
147
10.1
Störungstheorie in stationären Zuständen mit diskretem Spektrum
10.1.1
Nichtentartetes Spektrum
Wir nehmen zunächst an, dass in dem Spektrum des ungestörten Problems
Ĥ0 En(0) = En(0) En(0) .
keine Entartung auftritt. Das Spektrum und die EF des gestörten Problems
werden in der folgenden Form gesucht:
En = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + ... ,
|En i = En(0) + λ En(1) + λ2 En(2) + ...
(49)
(Störungsreihen). Es gibt viele verschiedene Zugänge zur Bestimmung solcher
Störungsreihen. Jeder davon ist richtig.
Direkte Zugang Der direkte Weg hier ist die Zustände in der Energiedarstellung des ungestörten Systems zu beschreiben:
X
(0) |En i =
anm Em
.
(50)
m
Betrachten wir die Gleichung
Ĥ0 + λĤ1 |En i = En |En i ,
und setzen wir die Entwicklung, Gl.(50), ein:
E
X
X
(0)
(0)
ank Ek .
anm Ĥ0 + λĤ1 Em = En
m
E
E
(0)
(0) (0)
Da Ĥ0 Em = Em Em bekommen wir
X
m
(0)
anm Em
k
E
X
(0) X
(0) (0)
E m +
anm λĤ1 Em = En
.
ank E
m
k
k
Um das entsprechende Gleichungssystem
explizit zu bekommen bilden wir
E
(0)
ein Skalarprodukt mit El :
D
E X
D
D
E
X
X
(0) (0)
(0) (0)
(0)
(0)
(0)
anm Em El |Em +
anm λ El Ĥ1 Em = En
ank El |Ek ,
m
m
k
148
oder
(0)
anl El
+
X
m
D
(0) (0) = En anl .
anm λ El Ĥ1 Em
Das ergibt ein Gleichungssystem für die Entwicklungskoeffizienten:
X
(0)
En − E l
anl = λ
anm Wnm
m
D
E
(0)
(0) wobei Wnm = En Ĥ1 Em die Matrizenelementen der Störung sind.
Die Entwicklung, Gl.(49) entspricht dann
2 (2)
anm = δnm + λa(1)
nm + λ anm + ...
E
D
(k)
(0)
(k)
(mit anm = Em |En ). Setzen wir das in unser Gleichungssystem ein, so
erhalten wir für l = n
2 (2)
En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + ... − En(0) 1 + λa(1)
nn + λ ann + ...
X
2 (2)
= λ
Wnm δnm + λa(1)
nm + λ anm + ... .
m
Der Vergleich der Glieder mit gleichen Potenzen von λ ergibt:
En(1) = Wnn ,
X
En(2) + En(1) a(1)
Wnm a(1)
nn =
nm
m
... = ...
(
Da En 1) = Wnn , bekommen wir aus der 2. Gleichung
X
Wnm a(1)
En(2) =
nm ,
m6=n
(1)
die Werte von ann bleiben unbestimmt. Betrachten wir nun l 6= n so erhalten
wir
(0)
(1)
= Wnl ,
anl En(0) − El
X
(2)
(0)
(1)
Wlm a(1)
anl =
En(1) anl + En(0) − El
nm
m
... = ...
149
Aus 1. Gleichung des 2. System bekommen wir in der 1. Näherung
a(1)
nm =
Wnm
(0)
En
(0)
− Em
,
so dass die Wellenfunktion in der 1. Näherung ist
X
(0) +λ
|En i ' En(0) + λa(1)
nn En
m6=n
Wnm
(0)
(0)
En − E m
(0) E m .
Wir setzen voraus, das die Wellenfunktionen in jeder Näherung normiert
(1)
werden müssen. Der Wert ann ist dann aus der Normierungsbedingung zu
finden:
(0) (0) (1)∗
1 = hEn |En i ' En(0) |En(0) + λ2 a(1)
En |En .
nn + ann
(1)
(1)∗
(1)
Daher gilt ann +ann = 0: ann ist rein imaginär. Da die Wellenfunktion nur bis
(1)
zu einem Phasenfaktor bestimmt wird, können wir ann als reell voraussetzen
und gleich 0 annehmen. Daher
X
|En i ' En(0) + λ En(1) = En(0) + λ
Wnm
(0)
m6=n En
−
(0)
Em
(0) Em .
Bemerkung 1: Daraus folgt, dass in der 1. Ordnung für die WF
(1)
En
(0)
En .
D
(0)
En |En
E
=
1, d.h.
ist orthogonal zu
(1)
Unter Benutzung der Werte von alm erhalten wir aus dem 1. Gleichungssystem
X Wmn Wnm
X |Wnm |2
(2)
En =
≡
.
(0)
(0)
(0)
(0)
m6=n En − Em
m6=n En − Em
(0)
Wichtig: Die Korrektur 2. Ordnung zur Energie des Grundzustandes E 0 <
(0)
Em ∀m ist stets negativ.
Insgesamt lautet die Energie in der 2. Ordnung der Störungstheorie (jetzt
in jeder beliebigen Darstellung, da die Matrizenelementen darstellungsunabhängig sind) unter Voraussetzung λ = 1
D
E2
D
E X n|Ŵ |m + ... .
(51)
En = En(0) + n|Ŵ |n +
(0)
(0)
E
−
E
n
m
m6=n
150
Gleichermassen bekommt man auch die höheren Näherungen. Wir werden
später ein ”automatisiertes” Schema dafür entwickeln. Damit die Resultate
der Störungstheorie möglichst gut sind, soll die Störung Ĥ1 möglichst ”klein”
sein (im Sinne seiner Matrizenelementen). Es ist sehr vorteilhaft, wenn die
Energieabstände im ungestörten System möglicht groß sind. Am besten soll
D
E
(0)
n|Ŵ |n En(0) − Em
gelten.
Bemerkung 2: Da
gilt
Ĥ0 + λĤ1 |En i = En |En i ,
E
D
En(0) | Ĥ0 + λĤ1 |En = En En(0) |En .
Aus der Normierung (Bemerkung 1) folgt dass in der 2. Ordnung in Energie
(1. Ordnung in WF)
E
D
(0)
(52)
En ' En | Ĥ0 + λĤ1 |En .
Etwas andere Schreibeweise Für die Berechnung der Korrektur zur
(0)
Energie des n-ten stationären Zuständes muß man die Energieniveaus En
und die Wellenfunktionen φn des ungestörten Systems (für die Matrizenelementen) möglichst genau kennen. Es ist aber oft so, dass nur die ersten
angeregten Zustände eines ungestörten System hinreichend gut bekannt sind
(durch numerische Rechnung der Schrödingergl. oder durch Variationsverfahren). Man kann die Formel der Störungstheorie so umformen, das bei den
Berechnungen für die niedrigen Niveaus die Rolle der höher liegenden Niveaus
vermindert wird. Führen wir die identische Umformung
1
(0)
(0)
En − E m
=
1
(0)
En
(0)
+
(0)
En
Em
(0)
En
−
(0)
Em
.
Verwenden wir die Gl. der 1. Ordnung für die Wellenfunktion
X
(0) En + λ En(1) ' En(0) + λ
m6=n
151
Wlm
(0)
(0)
En − E m
(0) E m ,
so dass
X
(1) E n
=
m6=n
=
X
m6=n
Wlm
(0)
(0)
En − E m
(0) (0) X 1
Em
E m
W
+
nm
(0)
(0)
(0)
E
En − E m
m6=n n
(0)
(0)
En
(0) E m
Em
Benutzen wir die Tatsache, dass
X
(0) λĤ1 En(0) = λEn(1) En(0) + λ
Wmn Em
m6=n
E
(0)
(1)
(0) (da En Ĥ1 En = En ). Daher
D
X
m6=n
(0) = Ĥ1 En(0) − En(1) En(0) .
Wnm Em
In der 1. Ordnung der Störungstheorie erhalten wir dann für die Wellenfunktion
(0)
X
(0) (1) (0) Ĥ1 − En(1) (0) (0) Em
En +λ En = En +λ
En +λ
Wmn Em
.
(0)
(0)
(0)
(0)
En
E
−
E
E
n
m
m6=n n
Unter Benutzung der Gl.(52) bekommen wir in der 2. Ordnung
E
D
En = En(0) | Ĥ0 + λĤ1 |En(0) + λEn(1)
E
λ2 D (0) 2 (0) E
λ (1)
λ D (0)
(0)
(0)
En |Ĥ1 |En − (0) En + (0) En |Ĥ1 |En
= En +
E0
En
En
(0)
E
D
X
Em
2
(0)
(0)
Wmn En |Ĥ1 |Em .
+λ
(0)
(0)
(0)
En − E m
m6=n En
D
E
D
E
(0)
(0)
(1)
(0)
(0)
Da En |Ĥ1 |Em = Wnm und En = En |Ĥ1 |En
bekommen wir (λ =
1)
D
E2
D
E
(0) E
n|
Ŵ
|m
n|Ŵ 2 |n
X m (0)
.
+
(53)
En = En +
(0)
(0)
(0)
(0)
En
En − E m
m6=n En
152
D
E
Das Matrizenelement n|Ŵ 2 |n können wir auch als eine Summe ausschreiben:Iˆ
D
E2
D
E X D
ˆ
n|Ŵ |n = n|Ŵ I Ŵ |n =
n|Ŵ |m .
2
E
m
Bei der üblichen Abzählungsweise der Niveaus des diskreten Spektrums (die
Energie des Grundzustands ist negativ und groß, die Beträge der Energien
(0)
(0)
der angeregten Zustände kleiner, ist |Em /En | < 1, was die Konvergenz der
Reihe beschleunigen kann.
Es sind auch viele andere Umformungen möglich, die möglicherweise die
Konvergenz der Reihen beschleunigen. Die folgen aus einer allgemeinen Grundformel für die Störungstheorie (später).
Noch ein Zugang Betrachten wir unsere Situation etwas allgemeiner. Die
Schrödingergleichung
Ĥ0 + λĤ1 |ψi = E |ψi
in der Energiedarstellung des ungestörten Systems
X
(0) |ψi =
am Em
m
reduziert sich zu einem System homogener algebraischer Gleichungen für die
Koeffizienten am :
X
(Hmn − Eδmn ) an = 0
(54)
n
mit
D
E
Hmn = m|Ĥ0 + λĤ1 |n =
(0)
En + λWnn für m = n
.
λWmn
Das Gleichungssystem Gl.(54) hat eine Lösung falls
det (Hmn − Eδmn ) = 0
(die Säkulardeterminante). Die Wurzeln dieser Gleichung
E (0) + λW − E λW
λW13
11
12
1
(0)
λW21
E2 + λW22 − E λW23
(0)
λW31
λW32
E3 + λW3 − E
...
...
...
153
...
...
...
...
=0
ergeben das exakte Spektrum des Hamiltonians Ĥ.
Die Determinante einer Matrix {aij } ist eine Summe über alle möglichen
Produkten der Elementen aus verschiedenen Spalten
X
D=
εijk... a1j a2j a3k ...
i,j,k,...
wobei εijk... = 1 für gerade Permutationen (i, j, k, ...) von (1, 2, 3, ...), ε ijk... =
−1 für ungerade Permutationen und 0 falls die Indices sich wiederhohlen.
Das Suchen der Energie des Zustandes n bedeutet, unsere Energie E ist
(0)
nahe an En . Da alle nichtdiagonalen Elementen unserer Determinanten λ
enthalten, ist die Ordnung der Störungstheorie gleich der Anzahl der in jedem
Produkt enthaltenen nichtdiagonale Terme. Die 1. Ordnung entspricht den
diagonalen Gliedern: in dieser Ordnung
(0)
(0)
D = (E1 + λW11 − E)(E2 + λW22 − E)...(En(0) + λWnn − E)... = 0
so dass
En = En(0) + λWnn .
In der 2. Ordnung sollen wir jetzt die nichtdiagonalen Elementen mitnehmen.
Rechnen wir z.B. die Korrektur 2. Ordnung zu E1 aus. Dafür ist es genug nur
die nichtdiagonalen Elementen in der 1. Zeile und 1 Spalte zu berücksichtigen:
E (0) + λW − E λW
λW
...
11
1
12
13
1
(0)
λW21
E2 + λW22 − E1 0
0 = 0.
(0)
λW31
0
E
+
λW
−
E
0
3
1
3
...
0
0
... Die Minorenentwichlung dieses Determinanten über der 1. Spalte ergibt (mit
(0)
(0)
D2 = (E2 + λW22 − E1 )...(En + λWnn − E1 ))
(0)
D = (E1 + λW11 − E1 )D2 −
X
λWn1 λW1n
n6=1
D2
(0)
En
+ λWnn − E1
.
Aus der Bedingung D = 0 bekommen wir (unter der Voraussetzung D 2 6= 0,
keine Entartung)
(0)
E1 = E1 + λW11 − λ2
X
n6=1
154
(0)
|W1n |2
En + λWnn − E1
.
Das ist die Gleichung für E1 (Brillouin & Wigner) die z.B. durch der Methode der sukzessiven Approximation gelöst werden kann. In der niedersten
(0)
Ordnung (vernachlässigen λWnn im Nenner, Einsetzen E1 ≈ E1 im Nenner)
bekommen wir unsere Gl.(51).
10.1.2
Entartung/Quasientartung
Betrachten wir zunächst eine einfache Situation mit zwei behachbarnten
Niveaus. Die Beiträge aller anderen Niveaus in der Störungsrechnung sind
klein, und können auf den bekannten Wegen bestimmt oder vollständig vernachlässigt werden. Wir bekommen dann die Situation für ein effektives Zweiniveausystem (2-dimensionaler Hilbertraum in der Energiedarstellung mit
Zuständen |E1 i und |E2 i). In diesem Fall
|ψi = a |E1 i + b |E2 i .
Die Säkulardeterminante lautet dann
H11 − E H12
=0
det
H21
H22 − E
und ergibt die Energiewerte
q
1
2
2
H11 + H22 ± (H11 − H22 ) + 4 |H12 | .
E± =
2
Die gleiche Formel gilt auch für entartete Zustände: H11 = E0 + λW11 ,
H12 = E0 + λW22 . Da die Matrixelementen der Störung normalerweise nicht
verschwinden, wird die Entartung durch die Störung aufgehoben.
Betrachten wir den Grenzfall |H11 − H22 | |H12 |. Entwicklung der Wurzel ergibt z.B. für E+
!
1
2 |H12 |2
1
(H11 + H22 ) + (H11 − H22 ) 1 +
E+ =
2
2
(H11 − H22 )2
= H11 +
|H12 |2
.
H11 − H22
(1)
Vernachlässigen wir in Hnn (mit n = 1, 2) λWnn in Vergleich mit E0 so
erhalten wir unsere übliche Formel für die Störungsrechnung 2 Ordnung,
wobei die Beiträge entfernter Niveaus vernachlässigt sind.
155
Nachdem E± bekannt sind, kann man aus dem Gleichungssystem
a
H11 − E H12
=0
b
H21
H22 − E
auch die Entwicklungskoeffizienten a und b finden (beachte Normierung!).
Die gleichen Überlegungen gelten i.A. auch für die höheren Entartungsgrade.
Man erhält die Säkularmatrizen höherer Ordnung.
Beispiel: eine zweifach einartetes Niveau. Betrachten wir ein zweifach
entartetes Energieniveau, dessen Entartung in der 1. Ordnung der Störungstheorie nicht aufgehoben wird: E1 = H11 = H22 und 2 dazugehörige Wellenfunktionen |1i und |2i. Alle anderen Zustände des Spektrums liegen energetisch weit entfernt. Die Wellenfunktionen der 2 ”gestörten” Zustände |ψ+ i =
|+i und |ψ− i = |−i sind dann
|ψ1,2 i = a± |1i + b± |2i .
Die Säkulargleichung für solche Systeme lautet
a
E1 − E W
=0
b
W
E1 − E
mit W = H12 (als reell angenommen). Aus der Bedingung
E1 − E W
0 = det
W
E1 − E
= (E1 − E)2 − W 2 = E 2 − 2EE1 + E 2 − W 2
erhalten wir
E± = E1 ± W.
Die Koeffizienten a, b sind dann durch die Ls’gen des folgenden Gleichungssystems gegeben:
a
∓W W
a
E1 − E 1 ∓ W W
= 0.
=
b
W
∓W
b
W
E1 − E1 ∓ W
Für die entsprechenden Werte bekommen wir entweder
−a + b = 0
156
oder
a + b = 0,
d.h.
a+ = b+
und
a− = −b− .
Die Wellenfunktionen müssen normiert sein, so dass
|a± |2 + |b± |2 = 1.
Da diese Koeffizienten stets reell gewählt werden können, bekommen wir
1
1
1
|+i = √ |1i + √ |2i = √ (|1i + |2i)
2
2
2
und
1
|−i = √ (|1i − |2i) .
2
Die erste WF ist symmetrisch gegenüber des Austauschens der Teilchen,
die zweite ist antisymmetrisch.
Rechenbeispiel 1: 2 δ-Funktionen. Im experimentellen Teil der Vorlesung hat man normalerweise die Störung als Einflüß des schwachen äußeren
Feldes betrachtet. Wir können aber die theoretische Möglichkeit der ”Einschaltung” der Wechselwirkung ausnutzen um Störungstheorie auch in der
Situationen anzuwenden, bei denen es am Anfang nicht klar ist was diese
”Störung” eigentlich bedeutet.
Dies ist sehr einfach zu verstehen, wenn man die WF’nen z.B. für das
Potential aus 2 δ-funktionen
U (x) = −qδ(x + X) − qδ(x − X)
betrachtet; q ist die Potentialstärke. Wenn die 2 δ-Mulden weit voneinender
entfernt sind, können wir die 2 gleichwertigen Zustände unterscheiden: ”Elektron in der linke Mulde” (|Li) und ”Elektron in der rechte Mulde” (|Ri). Da
die Mulden weit voneinender entfernt sind, mischen sich die Zustände nicht.
157
Das Elektron bleibt da, wo es von Anfang an (nach der Präparation des
Systems) war. Die Zustände |Li und |Ri mit WF
|x + X|
1
ψL (x) = √ exp −
a0
a0
und
(mit a0 =
q
|x − X|
1
ψR (x) = √ exp −
a0
a0
2m|E|
~2
der Lokalizationslänge des Zustands; die Energie beider
2
Zuständen
E0 = − mq
) sind zueinender orthogonal weil für X → ∞ gilt
2~2
R
ψL (x)ψR (x)dx → 0. Die Wechselwirkung zwischen der Zuständen wird
eingeschaltet, wenn wir jetzt X verkleinern. Die nichtdiagonalen Elemente
der Säkulardeterminante sind jetzt
D E D E
H11 = H22 = L Ĥ L = R Ĥ R
Z
= E0 − q ψL (x)2 δ(x − X)dx
Z
= E0 − q ψR (x)2 δ(x + X)dx
= E0 −
q
exp (−2a0 x)
a0
(die Entartung wird in der 1. Ordnung nicht aufgehoben) und
Z
D E
H12 = L Ĥ R = −q ψL (x)ψR (x)δ(x − X)dx
= −
q
exp (−a0 x)
a0
(man hat auch |H12 | = |H21 | = W ). Man sieht dass bei größeren Abständen
X die diagonale ”Störung” H11 − E0 im Vergleich mit dem nichtdiagonalen
Element vernachlässigt werden kann (das ist die speziale Eigenschaft der
stark lokalisierten δ-Potential). Die Energien der gestörten Zustände sind
dann
q
q
exp (−a0 x)
E+ = E0 − exp (−2a0 x) −
a0
a0
und
q
q
exp (−a0 x)
E− = E0 − exp (−2a0 x) +
a0
a0
158
(vergleichen Sie das Resultat mit ihrer exakten Lösung aus einer Hausaufgabe!).
Rechenbeispiel 2: Abschätzung der Bindungsenergie der negativen
molekularen Wasserstoffions H−
2 . Nachdem wir dieses einfache Beispiel
betrachtet haben, können wir es auf eine physikalisch relevante Situation
anwenden. Betrachten wir das System aus 2 Protonen (sie sind so schwer, dass
wir sie als praktisch unbewegliche klassische Teilchen betrachten können) und
einem Elektron (der zuerst in einem Grundzustand des Wasserstoffatoms auf
einem davon lokalisiert war). Das Potential (Atomeinheiten!) lautet
U (r) = −
1
1
−
r1 r2
wobei r1,2 die Abstände des Elektrons von 1. bzw. 2. Kern sind. Wir wählen
die x-Achse so, dass sie durch die Kerne geht (einer davon in Koordinatenanfang, der andere bei x = R). Die WF’nen der ungestörten Zustände |Li
und |Ri (alle andere Zustände sind in der Energie weit genug entfernt):
1
ψL (r) = √ e−r ,
π
1
ψR (r) = √ e−|r−R| .
π
(beide sind 1s-Zustände; es sind die vollständigen WF angegeben, nicht nur
die radiale Teile, wie in der VL5)
Die Matrizenelemente sind:
Z
1
H11 = H22 = E0 − |ψL (r)|2 dr
r2
und
H12 = −
In Polarkoordinaten
H11 = −2
und
H12 = −2
Z
Z
e−r e−
Z
ψL (r)ψR (r)
1
dr
r2
1
r2 drdξ
e−2r p
2
R − 2rRξ + r2
√
R2 −2rRξ+r 2
159
1
p
r2 drdξ
2
2
R − 2rRξ + r
(mit ξ = cos θ). Der Grunszustand entspricht der Energie E− .
Die Erniedrigung der Energie des elektronischen Zuständen bei kleineren
R entspricht dem Wachstum der Energie der Coulomb-Abstoßung zwischen
den Kernen, so dass der Gleichgewichtsabstand zwischen den Kernen in etwa
dem Minimum der E(R) = E− (R)+1/R entspricht. Die entsprechende Kurve
sieht wie folgt aus:
10.2
Störungstheoretische Grundformel
Das Problem der Störungstheorien lässt sich allgemeiner formulieren. Wir
gehen aus von den Eigenschaften
Ĥ |En i = En |En i ,
Ĥ0 En(0) = En(0) En(0)
und benutzen die spezielle Normierungsvorschrift
(0)
En |En = 1
160
(in 1. Ordnung ist das automatisch erfüllt; die WF höherer Ordnungen müssen
nachnormiert werden!). Aus solcher Normierung folgt
E
D
(0)
En = En |Ĥ|En
und
D
En |Ĥ0 |En(0)
E
= En(0) En |En(0) = En(0) .
Daher ist die exakte Niveauverschiebung
D
E D
E
(0)
(0)
(0)
En − En = En |Ŵ |En = En |Ŵ |En .
Wir definieren den Projektionsoperator
P̂n = En(0) En(0) und
Q̂n = Iˆ − P̂n =
X
(0) (0)
E m
Em .
m6=n
i
E
h
(0)
Es gilt P̂n |En i = En . P̂n und Q̂n kommutieren mit Ĥ0 : P̂n , Ĥ0 =
i
h
Q̂n , Ĥ0 = 0.
Schreiben wir die Eigenwertsgleichung wie folgt um:
h
i
DIˆ − Ĥ0 |En i = DIˆ − Ĥ + Ŵ |En i = (D − En ) Iˆ + Ŵ |En i
(D - eine reelle Zahl). Der Operator D Iˆ − Ĥ0 besitzt eine Inverse3 , falls Ĥ0
keinen Eigenwert besitzt, dass D gleich ist. Daher:
−1 h
i
ˆ
ˆ
(D − En ) I + Ŵ |En i .
|En i = DI − Ĥ0
Benutzen wir jetzt die Projektionsoperatoren:
3
|En i = P̂n |En i + Q̂n |En i
−1 h
i
(0) ˆ
ˆ
(D − En ) I + Ŵ |En i .
= En + Q̂n DI − Ĥ0
Wie wir es sehen werden, kann man oft trotzdem so verfahren, als ob dieser Operator
immer eine Inversen besitzt. Wenn man sicher gehen will, kann man einen Trick benutzen,
und dem noch nicht festgelegten D einen kleinen imaginären Teil geben: D → D+iε. Dieser
garantiert die Invertierbarkeit, da die Eigenwerte von Ĥ0 allesamt reell sind. Am Ende soll
man den Grenzwert bei ε → 0 nehmen. Falls dieser existiert, ist unsere Störungsreihe OK.
161
Die Gleichung lässt sich iterieren. Der Operator Q̂n kommutiert mit
−1
1
= D−1 1 + D−1 Ĥ0 + D−2 Ĥ0 + ...
= D−1
DIˆ − Ĥ0
Iˆ − D−1 Ĥ0
und ist idempotent, Q̂n Q̂n = Q̂n . Daher
∞ h
i m (0) X
1
ˆ
En(0)
|En i = En +
Q̂n
Q̂n (D − En ) I + Ŵ
DIˆ − Ĥ0
m=0
Die Niveauverschiebung ist dann
∞ h
i m (0) X
1
(0)
ˆ
En(0) .
Q̂n
En − En = En Ŵ
Q̂n (D − En ) I + Ŵ
DIˆ − Ĥ0
m=0
1
Da Q̂n DI−
ˆ Ĥ Q̂n das Niveau n aus der Summierung ausschliesst, ist es eigent0
(0)
lich möglich D = En anzunehmen. Daher bis zum m = 1
h
i
(0) (0) (0) 1
(0)
ˆ
En −En = En Ŵ En + En Ŵ Q̂n (0)
Q̂n (D − En ) I + Ŵ En(0) .
En Iˆ − Ĥ0
Formen wir das 2. Glied um durch explizite Ausschreibung von dem ersten
Q̂n
i
X
(0) h (0)
1
(0)
ˆ
E m
En(0)
E
E
−
E
I
+
Ŵ
n
m
n
(0)
En Iˆ − Ĥ0 m6=n
i
X
(0) (0) h (0)
1
(0) ˆ
En − En I + Ŵ En(0)
Em Em
=
En Ŵ Q̂n (0)
En Iˆ − Ĥ0
m6=n
En(0) Ŵ Q̂n
Schreiben wir den zweiten Q̂n explizit aus:
X X
(0) E D (0) En(0) Ŵ Ek
Ek (0) 1
E m ×
(0) ˆ
En I − Ĥ0
m6=n k6=n
h
(0) (0) i
(0)
(0)
(0) ˆ
.
× Em En − En I En + Em Ŵ En
Der Operator (0) 1ˆ
ist in der Energiedarstellung des ungestörten Problem
En I−Ĥ0
diagonal, so dass
D
(0) 1
1
(0) E m =
δ
Ek (0)
(0)
(0) km
En Iˆ − Ĥ0
En − E m
162
E (0)
(0)
und die Summe über k entfällt.
− En Iˆ En = En − En δmn ,
und gibt keinen Beitrag für m 6= n. Man erhällt also
D
E
(0) (0) 2
E
Ŵ
E
m
n
X
,
En − En(0) = En(0) Ŵ En(0) +
(0)
(0)
E
−
E
n
m
m6=n
D
(0) Em (0)
En
unsere gewohnte Gleichung für die Störungstheorie 2. Ordnung.
Die Wahl D = En , noch unbekannter Energie, ergibt gleichermassen in 2.
Ordnung
D
E
(0) (0) 2
E
Ŵ
E
X m n ,
En − En(0) = En(0) Ŵ En(0) +
(0)
En − E m
m6=n
das Brillouin-Wigner’sches Resultat.
11
11.1
Vielteilchensysteme I
Einführende Bemerkungen
Seriös genommen, sind die meisten Quantensysteme Vielteilchensysteme; sogar das Wasserstoffatom besteht aus einem Elektron und einem Kern (Proton), dass wir in unseren früheren Ausführungen als unbewegliches Zentrum
angenommen haben. Solche Sysrteme sind durch die Wellenfunktionen beschrieben, die von den Koordinaten aller Teilchen abhängig sind:
Ψ(r1 , r2 , r3 , ..., t).
Das Betragsquadrat der Wellenfunktion
|Ψ(r1 , r2 , r3 , ..., t)|2 = P (r1 , r2 , r3 , ..., t)
gibt uns die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen 1 im Volumenelement
um r1 , das Teilchen 2 im Volumenelement um r2 u.s.w. zu finden. Der 3Ndimensionale Raum der Koordinaten aller Teilchen ist der Konfigurationsraum des Systems. Im Weiteren betrachten wir als Beispiel die Zweiteilchensysteme. Die Normierung der WF erfolgt durch
Z
|Ψ(r1 , r2 , r3 , ..., t)|2 dr1 dr2 dr3 ... = 1.
163
Die Normierung der WF bleibt in der Zeit erhalten (falls der Hamiltonian
Hermite’sch ist). Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Position von Teilchen 1,
wenn die Position von Teilchen 2 nicht fixiert ist, ist
Z
P (r1 ) = P (r1 , r2 )dr2
das gibt uns die Verteilung der Messresultaten bei der Messung der Position
von Teilchen 1, wenn keine Messung am Teilchen 2 vorgenommen wird.
Das gleiche gilt für die WF in der Impulsdarstellung:
!
Z
N
X
Y
i
Ψ(p1 , p2 , p3 , ..., t) = (2π~)3N/2 Ψ(r1 , r2 , r3 , ..., t) exp −
rj pj
dri .
~ j=1
i
In einigen Situationen kann die Wellenfunktion als Produkt Ψ(r 1 , r2 ) =
Ψ(r1 )Ψ(r2 ) dargestellt werden (die ist faktorisiert). Die WF in Impulsdarstellung ist in diesem Fall ebenso faktorisiert. Für eine faktorisierte WF, wenn
man sich für die Einteilchenmittelwerte (hr1 i, hr21 i, hp1 i u.s.w.) interessiert,
kann man die über die Einteilchenwellenfunktion Ψ(r1 ) ausrechnen, und die
Existenz von Teilchen 2 einfach ingnorieren.
Wenn die Teilchen nicht wechselwirken, d.h. wenn der Hamiltonian des
Systems als Summe Ĥ = Ĥ1 + Ĥ2 geschrieben werden kann, wobei Ĥ1 nur
auf die Funktionen von r1 und Ĥ2 nur auf die Funktionen von r2 einwirkt,
und wenn zur Zeit t = 0 die WF des System faktorisiert war Ψ(r 1 , r2 , 0) =
Ψ(r1 , 0)Ψ(r2 , 0), so bleibt sie immer faktorisiert. Betrachten wir die Ls’gen
i~
∂
Ψ(r1 , t) = Ĥ1 Ψ(r1 , t)
∂t
und
∂
Ψ(r2 , t) = Ĥ2 Ψ(r2 , t)
∂t
mit der entsprechenden Anfangsbedingungen. Es gilt:
i~
i~
∂
∂
Ψ(r1 , r2 , t) = i~ [Ψ(r1 , t)Ψ(r2 , t)]
∂t
∂t
∂
∂
= i~ Ψ(r2 , t) Ψ(r1 , t) + Ψ(r1 , t) Ψ(r2 , t)
∂t
∂t
= Ψ(r2 , t)Ĥ1 Ψ(r1 , t) + Ψ(r1 , t)Ĥ2 Ψ(r2 , t)
= Ĥ1 + Ĥ2 Ψ(r1 , t)Ψ(r2 , t) = ĤΨ(r1 , r2 , 0).
164
Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen stört die Faktorisierung im Laufe
der Zeit.
Solche Zusammenhänge kann man auch in anderen Darstellungen feststellen.
11.2
Tensorprodukt zweier Vektorräume
Hier erläutern wir eine oft benutzte Operation der Erzeugung der Hilberträume der Zuständen der Systeme mehrere Teilchen.
Betrachten wir als Beispiel zunächst ein System aus 2 Teilchen. Ein Produkt der WF zweier Teilchen ψ(r1 )ψ(r2 ) stellt einen speziellen Zustand dieses
Systems dar. I.A. faktorisieren nicht die Wellenfunktionen, die faktorisierte
WF’nen bilden aber eine VONS der Funktionen in einem Hilbertraum alle
Zuständen: Die allgemeine WF ψ(r1 , r2 ) kann als lineare Kombination solcher
Produkte dargestellt werden: Die WF kann (als Fkt. von r 1 , bei festgehaltenen r2 ) über VONS der Funktionen von r1 entwickelt werden:
X
(1)
ai (r2 )φi (r1 )
Ψ(r1 , r2 ) =
i
(beachte: Summation über diskretes Spektrum, Integration über kontinuierlichen Spektrum). Jeder Koeffizient ai (r2 ) kann über die VONS von der
Fkt’nen von r2 entwickelt werden:
X
(2)
ai (r2 ) =
bij φj (r2 )
j
so dass insgesamt
Ψ(r1 , r2 ) =
X
(1)
(2)
bij φi (r1 )φj (r2 ).
i,j
(1)
Seien φi (r1 ) die Funktionen aus dem Hilbertraum
H1 (Ket
Notation:
E
E
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
φi ) und φj (r2 ) die Fkt. aus der Hilbertraum H2 (Ket φj ). φi (r1 )φj (r2 )
einspricht dann dem direkten Produkt der entsprechenden Kets:
E
E
E E
E (2) (1)
(1) (2)
(1) (2)
= φ j φ i .
= φ i φ j
φ i φ j
E
(1) (2)
sind die Elemente weder von H1 noch von H2 sondern
Die Zustände φi φj
von dem Produktraum
H = H1 ⊗ H2 .
165
Dieses Raum
der Räume H1 und H2 . Er besteht aus der
heisst
E Tensorprodukt
E
(1) (2)
Produkten φi φj
und aus allen möglichen ihrer Linearkombiantionen,
d.h. aus der Funktionen
X (1) E (2) E
bij φi φj .
i,j
Die entsprechenden Elemente des dualen Raumes (Bras) sind
X D (1) D (2) b∗ij φi φj .
i,j
Das Skalarprodukt der reinen Produktzustände |u1 v1 i und |u2 v2 i (|ui i ∈
H1 , |vi i ∈ H2 ) ist folgendermassen definiert:
hu1 v1 |u2 v2 i = huq |u2 i hv1 |v2 i .
Das Skalarprodukt der allgemeinen Zustände
X (1) E (2) E
|ψ1 i =
aij φi φj
i,j
und
|ψ2 i =
ist dann gegeben durch
hψ1 |ψ2 i =
X
XX
i,j
k,l
E
E
(1) (2)
bkl φk φl
a∗ij bkl
k,l
E
ED
D
(2) (2)
(1) (1)
.
φj |φl
φi |φk
E
E
(2)
(1)
die VONS den Funktionen in H1
und φj
Bilden die Funktionen φi
E
(1) (2)
und H2 so bilden φi φj
ein VONS in H = H1 ⊗ H2 : für die Basisvektoren
E
(1) (2)
gilt:
φi φj
E
D
(1) (2) (1) (2)
= δik δjl .
φi φj |φk φl
Für die Entwicklung über dieser Basis gilt:
X
XX
hψ1 |ψ2 i =
a∗ij bkl δik δjl =
a∗ij bij .
i,j
i,j
k,l
166
Diese Basis ist vollständig, so dass
X (1) (2) E D (1) (2) φi φj = Iˆ
φi φj
i,j
wobei Iˆ der Identitätsoperator in Hilbertraum H ist.
11.2.1
Observablen im Produktraum
Betrachten wir zunächst die Situation mit unterschiedlichen Teilchen.
Seien A(1) und B (2) die Observablen in den Räumen H1 und H2 , Â(1) und
(2)
B̂ sind die entsprechende Hermite’schen Operatoren die nur auf die Funktionen von entsprechenden Variablen (z.B. von r1 bzw. r2 in Ortsdarstellun)
wirken. Als Observablen in H betrachtet man i.A. die Operatorfunktionen
von Â(1) und B̂ (2) :
D̂ = F Â(1) , B̂ (2)
(typischerweise allg. Potenzreihen). In der Basis der Produktzustände |ui i ∈
H1 , |vi i ∈ H2 gilt:
XX
|un vm i hun vm | D̂ |uk vl i huk vl | .
D̂ = IˆD̂Iˆ =
n,m k,l
Dnm,kl = hun vm | D̂ |uk vl i ist das Matrixelement von D2 bezüglich der Basis
|un vm i. Das Indexpaar n, m numeriert die Zeilen, das Indexpaar k, l numeriert die Spalten (Beispiel später). Die Einwirkung des Operators D̂ auf den
Zustand
X
|ψi =
an,m |un vm i
n,m
wird durch den Zustand |φi = D̂ |ψi
X
|φi =
bn,m |un vm i
n,m
gegeben, mit den Entwicklungskoeffizienten
X
bn,m =
Dnm,kl |uk vl i .
k,l
167
Die Operatoren Â(1) und B̂ (2) wirken nur in einem der beiden Teilräume H1
oder H2 . Die sind also die Produkte D̂ = Â(1) Iˆ(2) oder D̂ = Iˆ(1) B̂ (2) . Die
entsprechenden Wirkungen sind:
X
Â(1) |un vm i =
|up i hup | Â(1) |un i |vm i
p
und
B̂ (2) |un vm i =
Daher folgt:
X
q
|vq i hvq | B̂ (2) |vm i |un i .
B̂ (2) Â(1) |un vm i = Â(1) B̂ (2) |un vm i
und somit
h
i
Â(1) , B̂ (2) = 0.
Die Operatoren, die auf verschiedene (unterscheidbare) Teilchen wirken, kommutieren.
Der Hilbertraum H ist ein passender Hilbertraum auch in dem Fall, wenn
die Teilchen wechselwirken. In diesem Fall kann man schreiben
Ĥ = Ĥ1 + Ĥ2 + Ĥ12
mit Ĥ1 und Ĥ2 - Einteilchen-Hamiltonoperatoren, und Ĥ12 - Wechselwirkung.
Die EF von Ĥ können dann über die Basis der Produktfunktionen entwickelt
werden.
Falls man mehr als 2 unterscheidbare Teilchen hat, bildet man einen Hilbertraum
H = H1 ⊗ H2 ⊗ H3 ⊗ ...
und benutzt das Basis der entsprechenden Produktzustände.
11.3
Identische Teilchen
Aus den Versuchen zur Erklärung der Atomstrukturen in Rahmen von ”älteren” Quantentheorien hat man gelernt, dass die stationären Niveaus nicht
durch beliebeg vielen Hüllenelektronen besetzt werden können. In Rahmen
der ”neueren” Theorie ist diese Beobachtung eine Folge des Pauli-Prinzips,
dass 2 Elektronen nie gleichzeitig ein und denselben Zustand besetzen können.
D.h. dass auch 2 nicht wechselwirkende (oder sehr schwach wechselwirkende)
168
Elektronen nicht ganz voneinander unabhängig sein können. Hier handelt es
sich um eine Folge der prinzipiellen Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen.
Da Teilchen ununterscheidbar sind, kann man nicht zwischen den Situationen unterscheiden ”Teilchen 1 am Ort r1 , Teilchen 2 am Ort r2 ” und
”Teilchen 2 am Ort r1 , Teilchen 1 am Ort r2 ”: da die Teilchen keine Individualität besitzen, entsprechen diese einer experimentellen Situation: Ein
Teilchen am Ort r1 , ein Teilchen am Ort r2 .
Der N -Teilchenzustand ist daher ein ”Pauschalzustand”: Jede Fragestellung, die auf Beobachtung eines Einzehlteilchens abzieht ist sinnlos. Es kommen nur solche Observablen in Betracht, die explizit von den Koordinaten
aller Teilchen in ”symmetrischer” Weise abhängen. Da die Produkte der Eintelichenzustände einen Hilbertraum bilden, kann man annehmen,
dass
die N -
Teilchen-Zustände |ψN i die spezielle Linearkombinationen von φ(1) φ(2) ... φ(N )
sind (der obere Index numeriert die Teilchen).
Sind alle Teilchen des Systems gleichartig, dann bleibt der HamiltonOperator dieses Systems Ĥ bei Vertauschung eines beliebigen Teilchenpaares
unverändert. Bezeichnen wir den Operator solcher Vertauschung der Teilchen
k und l P̂kl (das Transpositionsoperator ):
(l)
(k)
(l)
P̂kl ..., φ(k)
n , ..., φm , ... = ..., φn , ..., φm , ... .
Wegen der Ununterscheidbarkeit soll der Operator P̂kl nicht die Norm der
WF verändern. P̂kl ist deswegen unitär:
P̂kl+ = P̂kl−1 .
Dieser Operator soll mit dem Hamiltonian kommutieren
i
h
P̂kl , Ĥ = 0
und die Eigenwerte von P̂kl sind die Bewegungsintegrale. Die Eigenvektoren
von Ĥ sind demnach auch solche von P̂kl . Die verschiedene Transpositionoperatoren P̂kl und P̂mn sind i.A. nicht vertauschbar.
Zweimalige Anwendung von P̂kl führt zu dem Ausgangszustand zurück:
ˆ
P̂kl2 = I,
d.h.
P̂kl = P̂kl−1 .
169
Daher gilt
P̂kl+ = P̂kl−1 = P̂kl ,
d.h. der Operator P̂kl ist Hermitesch.
Betrachten wir zuerst das System aus nur 2 Teilchen, und betrachten wir
die Eigenfunktionen von P̂12 :
P̂12 |ψ12 i = λ |ψ12 i .
Es gilt
und andererseits
Daher
2
P̂12
|ψ12 i = λ2 |ψ12 i ,
2
|ψ12 i = Iˆ |ψ12 i = |ψ12 i .
P̂12
λ2 = 1
und da λ reell (P̂12 Hermitesch!) gibt es nur 2 Möglichkeiten:
λ = 1 oder λ = −1.
Die Eigenfunktionen zum Eigenwert λ = 1 heißen symmetrische Funktionen,
+ +
P̂12 ψ12
= ψ12 ,
die EF zu λ = −1 heißen antisymmetrische Funktionen
−
−
P̂12 ψ12
= − ψ12
.
Da der Eigenwert von P̂12 ein Bewegungsintegral ist bleibt die Symmetrieeigenschaft der WF zeitlich unverändert.
• In Mehrteilchensystemen (N > 2) sind nur die WF erlaubt die entweder
symmetrisch oder antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung jedes
Teilchenpaars sind.
• Jeder Operator der ”vernünftigen” Observablen soll mit P̂kl kommutieren (experimentelle Ununterscheidbarkeit). Alle Matrizenelemente sollen nach der durch P̂kl definierten unitären Transformation erhalten
bleiben:
E
E D
E D
D
+
ÂP̂12 |ψ12 .
ψ12 |Â|ψ12 = P̂12 ψ12 |Â|P̂12 ψ12 = ψ12 |P̂12
170
• Symmetrische und antisymmetrische Zustände sind zueinender orthogonal:
E
E D
+ −
+ − D +
+
−
+
−
ˆ 12
|ψ12 = 0
= − ψ12
|P̂12
P̂12 |ψ12
= ψ12
ψ12 |ψ12 = ψ12 |I|ψ
−
−
+ + +
P̂12 = ψ12 ).
(da P̂12 ψ12
und ψ12
= − ψ12
• Es gibt keine Observablen, die einen symmetrischen Zustand auf einen
antisymmetrischen Zustand (und umgekehrt) abbilden können:
E
E
D
D
+
−
+
−
+
|P̂12
ÂP̂12 |ψ12
= ψ12
|Â|ψ12
ψ12
E
D
−
+
= 0.
|Â|ψ12
= − ψ12
• Die Zustände eines bestimmten Systems identischer Teilchen gehören
sämtlich zu dem Hilbert-(Unter)raum der Symmetrischen Zustände
H (+) oder zum Hilbert-(Unter)raum der antisymmetrische Zustände
H (−) : könnte das System sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Zustände haben, sollten auch ihre Linearkombinationen als zulässige Zustände erlaubt sein. Die sind aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch.
• Die symmetrischen WF bestimmen die Systeme aus Bosonen (Photonen, Helium-Atome, u.s.w.; i.A. die Teichen mit Gesamtspin 0, ~, 2~,
u.s.w.). Die antisymmetrische FWF entsprechen den Fermionen (Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos, ..., mit Spin 21 ~, 23 ~,...).
11.4
Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen
Die allg. Ls’gen der Schrödinger-Gl. können bestimmte Symmetrie haben,
oder auch nicht. Von allen Ls’gen darf man für die Bosonensysteme nur die
Lösungen verwenden, die zu symmetrischen Funktionen (über alle Variablen,
inklusive Spin) gehören, für die Fermionensysteme nur den antisymmetrische
Funktionen angehören. Bis zu einem Normierungsfaktor ist die symmetrische
Funktion für 2 Teilchen
ψs = A [ψ(1, 2) + ψ(2, 1)]
171
und die antisymmetrische Funktion
ψa = B [ψ(1, 2) − ψ(2, 1)] .
(1 und 2 entsprechen allen Koordinaten der Teilchen 1 und 2. Wie findet man
die entsprechenden Zustände für mehrere Teilchen?
In einem System aus N Teilchen sind N ! verschiedene Vertauschungen
der Teilchen möglich. Die Funktion zu einer bestimmten Permutation der
Teilchen kann man aus der ursprunglichen Funktion ψ(1, 2, ..., N ) durch fortgesetzte Vertauschung von Teilchenpaaren bekommen. P̂ν ψ(1, 2, ..., N ) entspricht dem Operator der dem Vertauschen von ν Paare entspricht (dem
kann man explizit durch die Summe über der Paarvertauschungsoperatoren
ausdrucken). Die Symmetrische WF ist dann
X
P̂ν ψ(1, 2, ..., N )
ψs = A
ν
und
ψa = B
X
(−1)ν P̂ν ψ(1, 2, ..., N ).
ν
Als Basis in den entsprechenden Hilberträumen kann man die Produktbasis der Einteilchenzuständen benutzen: Aus der von nichtwechselwirkenden
E
(i)
Teilchen anfangend, kann man die Basis der Einteilchenzuständen ψn benutzen, so dass, z.B.
Hi ψn(i) = En ψn(i)
(alle Hi sind die Operatoren, die von den Koordinaten der Teilchen i für
alle i in gleicherweise abhängen, da die Teilchen identisch sind und nicht
wechselwirken!).
(2) (N ) ψn ... ψn .
|ψn1 ,n2 , ...i = ψn(1)
1
2
N
Für Bosonen entsprechen die Basisfunktionen dann den symmetrisierten Produkten
1 X (1) (2) (N ) P̂ν ψn1 ψn2 ... ψnN .
|ψn1 ,n2 , ...is = √
N! ν
Das antisymmetrisierte Produkt für die Fermionen
(2) (N ) 1 X
ψn ... ψn
|ψn1 ,n2 , ...ia = √
(−1)ν P̂ν ψn(1)
1
2
N
N! ν
172
lasst sich in Form einer Determinante schreiben:
E
(1) E (2) E
(N )
ψn1
... ψn1
ψ n 1
E
(1) E (2) E
(N )
ψ
ψ
...
ψ
n2
n2
n2
1
|ψn1 ,n2 ,...nN ia = √ .
.
.
.
..
N ! ..
E .
E
E
(2)
(N )
ψ (1)
... ψnN
ψ n N
nN
(55)
(die Slater-Determinante). Die Vorzeichenänderung der WF bei der Vertauschung eines beliebeigen Teilchenpaares folgt aus dem Vorzeichenwechsel
der Determinante bei der Vertauschung zweier Spalten.
Aus der Form der Gl.(55) folgt das Pauli-Prinzip: Ein System aus gleichartigen Fermionen kann sich nicht in einem Zustand befinden, der durch eine
WF Gl.(55) mit zwei oder mehreren gleichen Einteilchenzuständen beschrieben wird: Wenn unter Einteilchenzuständen n1 , n2 , ..., nN auch nur zwei gleich
sind, dann verschwindet die Determinante identisch.
11.4.1
Interessante Anwendungsbeispiel: Das Einstein-PodolskyRosen Paradox
Betrachten wir z.B. einen Zustand eines 2-Elektronensystems, das in einem
Singulettzustand präpariert ist.
Konzentrieren wir uns auf den Spinanteil so ist der Hilbertraum das Tensorprodukt zweier zweidimensionalen Hilberträumen für die entsprechende
Spins: H = H1 ⊗ H1 (H1 -Hilbertraum der Einteilchenzustände). Als Basis in
H1 können wir die Eigenfunktionen von
~ 1 0
Ŝz =
2 0 −1
benutzen: Die Basisvektoren sind
|+z i =
|−z i =
1
0
0
1
.
Jeden Vektor in dem Hilbertraum kann man als lineare Kombination der
Basisvektoren darstellen. So z.B. die Eigenvektoren von
~ 0 1
Ŝx =
2 1 0
173
sind
und
1
|+x i = √
2
1
1
1
= √ (|+z i + |−z i)
2
1
1
1
= √ (|+z i − |−z i) .
|+x i = √
2 −1
2
Der Spinanteil an der Gesamtwellenfunktion in einem Singulett ist
(2) (1) (2) 1 −z − −z +z
|ψi = √ +(1)
.
z
2
Diese Funktion lässt sich gleichfalls auch als
(2) (2) (1) 1 −x − −x +x
|ψi = √ +(1)
.
x
2
schreiben. Die Spinzustände der Elektronen im Singulett sind verschränkt
(entangled): Die Messung von Sz am Elektron 1 (einem am Orte x1 , das
dem Beobachter A, Alice zu Verfügung steht; i.A. numerieren die Indizes
nicht die Elektronen, sondern die Beobachtungsorte!) ergibt mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit die Werte 1 und −1. Das Zustand nach dem Messung
kann dann so definiert werden: Ergibt die Messung 1, was mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/2 da
(1) (1) 1 +z
+z |ψ = √ −(2)
z
2
ist das Zustand
E von Teilchen 2 (von Beobachter B, Bob) ist auch fixiert, und
(2)
der ist −z . Ergibt die Messung −1, so wird das Zustand der Teilchen 2
E
(1)
−z .
Nehmen wir an, dass Alice nicht Sz sondern Sx misst.
InEdiesem Fall,
(2)
wenn sie 1 bekommt, so ist der Zustand von Teilchen 2 −x
sonst ist es
E
(2)
+x . Da das Elektron 2 nicht gleichzeitig einen scharfen Wert von S z und
Sx haben kann (Vertauschungsbedingung ⇒ Unschärferelation) muss man
annehmen, das sein Spinzustand vor der Messung nicht definiert ist:
Ein Paar
6=
zwei Stück.
174
Experimentell wird dieses Verhalten für ein anderes System nachgewiesen:
für einen Biphoton (zwei Photonen in einem Singulettztstand, mit entsprechendem antisymmetrisiertem räumlichen Anteil der Wellenfunktion die 2 in
entgegengesetzten Richtungen laufenden Wellen entspricht).
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