Lösungen

Georg Nöldeke
Herbstsemester 2012
Intermediate Microeconomics
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 3
1. (a) Die Grenzprodukte der Produktionsfaktoren sind:
M P1 (x1 , x2 )
=
M P2 (x1 , x2 )
=
∂ f (x1 , x2 )
= α x1α−1 xβ2 und
∂ x1
∂ f (x1 , x2 )
β−1
= β xα
.
1 x2
∂ x2
Die Grenzrate der technischen Substitution ist:
GRT (x1 , x2 )
=
−
=
−
=
M P1 (x1 , x2 )
M P2 (x1 , x2 )
α xα−1
xβ2
1
β−1
β xα
1 x2
α x2
− · .
β x1
(b) Die Grenzprodukte sind abnehmend, wenn die Ungleichung
M Pii (x1 , x2 ) =
∂ M Pi (x1 ,x2 )
∂ xi
=
∂ 2 f (x1 , x2 )
< 0 für i = 1, 2
∂ x2i
gilt. Da
∂ M P1 (x1 , x2 )
∂ x1
∂ M P2 (x1 , x2 )
∂ x2
=
α (α − 1) x1α−2 xβ2 < 0
falls α < 1,
=
β−2
β (β − 1) xα
<0
1 x2
falls β < 1
gilt, sind die Grenzprodukte genau dann abnehmend, wenn α < 1 und β < 1 ist.
Die Inputs sind streng komplementär, wenn
M Pij (x1 , x2 ) =
∂ M Pi (x1 ,x2 )
∂ xj
=
∂ 2 f (x1 , x2 )
> 0, für i 6= j
∂ xi ∂xj
gilt. Die zu bestimmenden Ableitungen berechnen sich als:
∂ M P1 (x1 , x2 )
∂ x2
=
∂ M P2 (x1 , x2 )
= α βx1α−1 xβ−1
> 0.
2
∂ x1
Also sind die Inputs bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion für alle zulässigen
Parameterwerte streng komplementär.
(c) Die Durchschnittsprodukte sind durch
f (x1 , x2 )
= xα−1
xβ2
1
x1
f (x1 , x2 )
β−1
AP2 (x1 , x2 ) =
= xα
1 x2
x2
AP1 (x1 , x2 ) =
1
gegeben.
Die Produktionselastizitäten sind
M P1 (x1 , x2 )
=α
AP1 (x1 , x2 )
M P2 (x1 , x2 )
2 (x1 , x2 ) =
=β
AP2 (x1 , x2 )
1 (x1 , x2 ) =
und hängen für eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion daher nicht von den
Faktoreinsatzmengen ab.
(d) Die Skalenelastizität der Produktionsfunktion ist
S (x1 , x2 ) = 1 (x1 , x2 ) + 2 (x1 , x2 ) = α + β.
Hieraus folgt, dass die Skalenerträge für

 > 1 global steigend
= 1 global konstant
α+β

< 1 global fallend
sind.
Bemerke: Man kann das Ergebnis auch über die Charakterisierung der globalen
Skalenerträge erhalten. Es gilt:
f (t x1 , t x2 )
=
β β
α+β
(t x1 )α (t x2 )β = tα xα
f (x1 , x2 ).
1 t x2 = t
Hieraus folgt das gleiche Ergebnis wie oben, da z.B. tα+β > t für alle t > 1 genau
dann gilt, wenn α + β > 1 ist.
(e) Ja, wie oben gezeigt muss dafür α + β > 1 und zugleich α < 1 und β < 1 gelten.
Dies ist z.B. dann der Fall, wenn 0.5 < α = β < 1 gilt. Siehe auch Abbildung 1.
Abbildung 1: Parameterwerte (α, β), bei denen eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion abnehmende Grenzprodukte bzw. fallende Skalenerträge aufweist.
2
2. (a) Die Grenzprodukte sind
M P1 (x1 , x2 ) = ρx1ρ−1 > 0 und M P2 (x1 , x2 ) = ρxρ−1
> 0.
2
Die Grenzrate der technischen Substitution ist
GRT (x1 , x2 ) = −
ρxρ−1
M P1 (x1 , x2 )
1
= − ρ−1
=−
M P2 (x1 , x2 )
ρx2
x1
x2
ρ−1
.
Bei einer Bewegung entlang einer Indifferenzkurve steigt mit steigendem x1 der
Bruch x1 /x2 , da zugleich x2 fällt. Wenn ρ > 1 ist, resultiert dieses in einem
Anstieg des Absolutwertes der Grenzrate der technischen Substitution. Für ρ < 1
fällt hingegen der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution. Für
ρ = 1 ist diese konstant gleich −1. Also ist der Absolutwert der Grenzrate der
technischen Substitution nur im Fall 0 < ρ < 1 fallend.
(b) Die Grenzprodukte sind für ρ < 1 abnehmend, da genau in diesem Fall
∂M P1 (x1 , x2 )
= (ρ − 1)ρxρ−2
< 0,
1
∂x1
∂M P2 (x1 , x2 )
M P22 (x1 , x2 ) =
= (ρ − 1)ρxρ−2
<0
2
∂x2
M P11 (x1 , x2 ) =
für alle (x1 , x2 ) > (0, 0) gilt. Für ρ > 1 sind hingegen beide Grenzprodukte
steigend; für ρ = 1 sind sie konstant.
Da
M P12 (x1 , x2 ) = M P21 (x1 , x2 ) = 0
gilt, sind die Inputs stets (schwach) komplementär.
(c) Die Durchschnittsprodukte der Inputs sind:
f (x1 , x2 )
xρ + xρ2
= 1
,
x1
x1
xρ + xρ2
f (x1 , x2 )
AP1 (x1 , x2 ) =
= 1
.
x2
x2
AP1 (x1 , x2 ) =
Die Produktionselastizitäten sind:
M P1 (x1 , x2 )
xρ
= ρ · ρ 1 ρ,
AP1 (x1 , x2 )
x1 + x2
M P2 (x1 , x2 )
xρ
2 (x1 , x2 ) =
= ρ ρ 2 ρ.
AP2 (x1 , x2 )
x1 + x2
1 (x1 , x2 ) =
(d) Die Skalenelastizität ist
S (x1 , x2 ) = 1 (x1 , x2 ) + 2 (x1 , x2 ) = ρ.
Hieraus folgt, dass die Skalenerträge

 >1
=1
ρ

<1
3
für
global steigend
global konstant
global fallend
sind.
Bemerke: Man kann das Ergebnis auch über die Charakterisierung der globalen
Skalenerträge erhalten. Es gilt:
f (t x1 , t x2 ) = (t x1 )ρ + (t x2 )ρ = tρ f (x1 , x2 ).
Hieraus folgt das gleiche Ergebnis wie oben, da z.B. tρ > t für alle t > 1 genau
dann gilt, wenn ρ > 1 ist.
(e) Nein, solche Parameterwerte gibt es nicht: Für global steigende Skalenerträge
muss ρ > 1 gelten, während für abnehmende Grenzprodukte ρ < 1 gelten muss.
3. Aus der Aufgabenstellung lassen sich die Durchschnittsprodukte der Faktoren als
AP1 (3, 6) =
12
12
= 4 und AP2 (3, 6) =
=2
3
6
entnehmen. Die Produktionselastizitäten betragen also
1 (3, 6) =
3
M P2 (3, 6)
1
M P1 (3, 6)
= und 2 (3, 6) =
= .
AP1 (3, 6)
4
AP2 (3, 6)
2
Die Skalenelastizität beträgt also S (3, 6) = 3/4+1/2 = 5/4 > 1, so dass lokal steigende
Skalenerträge vorliegen.
4. Dieser Produktionsfunktion kann man nicht unmittelbar ansehen, wie sich die Skalenerträge verhalten, so dass die Skalenelastizität zu bestimmen ist. Die Grenzprodukte
der Inputs sind:
1
x2
>0
(1 + x1 )2 1 + x2
x1
1
M P2 (x1 , x2 ) =
> 0.
1 + x1 (1 + x2 )2
M P1 (x1 , x2 ) =
Die Durchschnittsprodukte sind:
1
x2
>0
1 + x1 1 + x2
1
x1
> 0.
AP2 (x1 , x2 ) =
1 + x1 1 + x2
AP1 (x1 , x2 ) =
Die Produktionselastizitäten sind damit:
M P1 (x1 , x2 )
1
=
>0
AP1 (x1 , x2 )
1 + x1
M P2 (x1 , x2 )
1
2 (x1 , x2 ) =
=
> 0.
AP2 (x1 , x2 )
1 + x2
1 (x1 , x2 ) =
Also ist die Skalenelastizität:
S (x1 , x2 ) = 1 (x1 , x2 ) + 2 (x1 , x2 ) =
1
1
+
.
1 + x1
1 + x2
Damit gilt S (1, 1) = 1, so dass die Skalenerträge bei (x1 , x2 ) = (1, 1) lokal konstant
sind. Da die Skalenelastizität je nach Wert von (x1 , x2 ) auch grösser oder kleiner
als 1 ist, liegen weder global fallende, noch global konstante oder global steigende
Skalenerträge vor.
4
5. Siehe Abbildung 2 für eine grafische Darstellung.
(a) Die Durchschnittskosten sind
AC(y) = y 2 − 20y + 220
mit Ableitung
AC 0 (y) = 2y − 20.
Da die Ableitung der Durchschnittskosten für y < 10 negativ und für y > 10
positiv ist, verlaufen die Durchschnittskosten zunächst fallend und dann steigend
– sie sind also u-förmig. Das eindeutige Minimum der Durchschnittskosten liegt
bei ŷ = 10.
Die Grenzkosten sind
M C(y) = 3y 2 − 40y + 220
mit Ableitung
M C 0 (y) = 6y − 40.
Da die Ableitung der Grenzkosten für y < 40/6 negativ und für y > 40/6 positiv
ist, verlaufen die Grenzkosten zunächst fallend und dann steigend – sie sind also
u-förmig.
(b) Grenzkosten und Durchschnittskosten stimmen bei y = 0 und im Minimum der
Durchschnittskosten, also bei y = 10, überein:
AC(0) = M C(0) = 220, AC(10) = M C(10) = 120.
Abbildung 2: Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion der Kostenfunktion C(y) =
y 3 − 20y 2 + 220y.
5
6. Die hier zu betrachtende kurzfristige Produktionsfunktion ist
√ √
f (x1 , x̄2 ) = x1 x̄2 .
Um die dazugehörige Kostenfunktion zu bestimmen, benötigt man die minimale Einsatzmenge x1 (y, x̄2 ) von Input 1, die erforderlich ist, um eine gegebene Ouputmenge
y zu produzieren. Diese ergibt sich daraus, dass man die Gleichung y = f (x1 , x̄2 ) nach
x1 auflöst:
√ √
y2
y = x1 x̄2 ⇒ x1 =
.
x̄2
Die kurzfristige Kostenfunktion erhält man, indem man (i) die zur Produktion von
y verwendeten Inputmengen mit dem jeweiligen Faktorpreis multipliziert (um so die
Ausgaben für den jeweiligen Input zu ermitteln), und dann (ii) addiert. Also:
c(w1 , w2 , y, x̄2 ) =
w1 2
y + w2 x̄2 .
x̄2
7. Die hier zu betrachtenden kurzfristige Kostenfunktion, die mit C(y) bezeichnet sei,
erhält man, indem man die angegebenen Parameterwerte in die Kostenfunktion aus
der vorhergehenden Aufgabe einsetzt:
C(y) = c(200, 50, y, 4) = 50y 2 + 200.
(a) Die Fixkosten betragen
F = C(0) = 200.
(b) Die variablen Kosten sind
V C(y) = 50y 2 .
(c) Die Grenzkosten sind
M C(y) = 100y.
(d) Die Durchschnittskosten sind
AC(y) = 50y +
200
.
y
(e) Die durchschnittliche Fixkosten sind
AF C(y) =
200
.
y
(f) Die durchschnittlichen variablen Kosten sind
AV C(y) = 50y.
6
Abbildung 3: Kostenverläufe zur Kostenfunktion C(y) = 200 + 50y 2 .
8. (a) Die Produktionsfunktion ist der Spezialfall der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
aus Aufgabe 1 mit α = β = 1/2.
Für y > 0 lösen die Faktoreinsatzmengen (x∗1 , x∗2 ) genau dann das Kostenminimierungsproblem, wenn
x∗2
w1
=
∗
x1
w2
und
p p
x∗1 x∗2 = y
gilt. (Die erste Gleichung ist die Bedingung, dass die Grenzrate der technischen
Substitution gleich der Steigung der Isokostenlinie sein muss. Die zweite Gleichung besagt, dass die Faktoreinsatzmengen so gewählt sind, dass tatsächlich der
Output y produziert wird).
Aus der ersten dieser Gleichungen folgt x∗2 = w1 x∗1 /w2 . Setzt man dieses in die
zweite Gleichung ein und löst nach x∗1 auf, erhält man die bedingte Faktornachfragefunktion des ersten Inputs,
r
w2
∗
x1 (w1 , w2 , y) =
y.
w1
Setzt man diese Lösung in die Gleichung x∗2 = w1 x∗1 /w2 ein, erhält man die
bedingte Faktornachfragefunktion des zweiten Inputs:
r
w1
∗
x2 (w1 , w2 , y) =
y.
w2
7
Die langfristige Kostenfunktion ist allgemein durch
c(w1 , w2 , y) = w1 x∗1 (w1 , w2 , y) + w2 x∗2 (w1 , w2 , y)
gegeben. Im vorliegenden Fall gilt also:
√
c(w1 , w2 , y) = 2 w1 w2 y
Hinweis: Da die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge aufweist
(Vgl. Aufgabe 1), ist die Kostenfunktion linear in der Outputmenge. Die konstanten Durchschnitts- und Grenzkosten entsprechen den minimalen Kosten eine
√
Einheit zu produzieren, nämlich 2 w1 w2 .
(b) Es handelt sich um den Spezialfall der Produktionsfunktion aus Aufgabe 2 mit
ρ = 1/2.
Eine innere Lösung des Kostenminimierungsproblems muss die Bedingungen
√
x2
w1
(1)
√ =
x1
w2
und
√
erfüllen. Löst man (1) nach
√
x1 +
√
x2 = y
(2)
x2 auf, erhält man
√
x2 =
w1 √
x1 .
w2
√
Setzt man diesen Ausdruck für x2 in (2) ein, erhält man
w1 √
1+
x1 = y.
w2
(3)
(4)
Hieraus folgt,1 dass die bedingten Faktornachfragefunktionen durch
2
w2
x∗1 (w1 , w2 , y) =
y2 ,
w1 + w2
2
w1
∗
y2
x2 (w1 , w2 , y) =
w1 + w2
gegeben sind. Die langfristige Kostenfunktion bestimmt sich damit als
c(w1 , w2 , y)
= w1 x∗1 (w1 , w2 , y) + w2 x∗2 (w1 , w2 , y)
" 2
2 #
w2
w1
=
w1
+ w2
y2
w1 + w2
w1 + w2
w1 w2 2
=
y .
w1 + w2
1 Da
1 + w1 /w2 = (w1 + w2 )/w2 ist, erhält man aus (4) die Gleichung
√
w2
x1 =
y.
w1 + w2
√
Setzt man diesen Wert von x1 in (3) ein, erhält man
√
w1
x2 =
y.
w1 + w2
Quadriert man nun beide Seiten dieser Gleichungen, erhält man die Inputmengen (x1 , x2 ) welche das Kostenmimierungsproblem für die gegebenen Faktorpreise und Outputmenge lösen. Dieses sind die bedingten
Faktornachfragefunktionen.
8
Hinweis: Die Produktionsfunktion weist global fallende Skalenerträge auf (Vgl.
Aufgabe 2), so dass die Durchschnittskosten streng steigend verlaufen und unterhalb der (ebenfalls streng steigenden) Grenzkosten liegen.
9. (a) Für die Kostenfunktion C(y) = 100 + 2y 2 sind die Grenzkosten durch
M C(y) = 4y
gegeben und daher streng steigend. Da zudem M C(0) = 0 gilt, ist die eindeutige
Lösung des Gewinnmaximierungsproblems für alle p > 0 durch die Bedingung
erster Ordnung p = M C(y ∗ ) = 4y ∗ gegeben. Löst man diese Bedingung nach y ∗
auf, erhält man die gewinnmaximierende Outputmenge y ∗ = p/4 und damit die
Angebotsfunktion:
p
s(p) = .
4
(b) Für die Kostenfunktion C(y) = 67 + y + 0.1y 2 sind die Grenzkosten durch
M C(y) = 1 + 0.2y
gegeben und verlaufen streng steigend mit M C(0) = 1. Für p ≤ 1 wird das Gewinnmaximierungsproblem also durch y ∗ = 0 gelöst. Für p > 1 ist die Lösung des
Gewinnmaximierungsproblems durch die Lösung der Gleichung p = M C(y ∗ ) =
1 + 0.2y ∗ gegeben. Für solche p gilt also y ∗ = 5 · (p − 1). Die Angebotsfunktion
ist also
s(p) = max{0, 5(p − 1)}.
(c) Wie bereits in Aufgabe 5 gezeigt, verlaufen die Durchschnittskosten und Grenzkosten der Kostenfunktion C(y) = y 3 −20y 2 +220y u-förmig, wobei das Minimum
der Durchschnittskosten bei ŷ = 10 angenommen wird und 120 beträgt. Da es hier
keine Fixkosten gibt, entsprechen die Durchschnittskosten den durchschnittlichen
variablen Kosten.
Also ist für p < 120 die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems
durch y ∗ = 0 gegeben. Für p = 120 sind sowohl y ∗ = 0 als auch y ∗ = 10 Lösungen
des Gewinnmaximierungsproblems. Für p > 120 ist die eindeutige Lösung des
Gewinnmaximierungsproblems durch die Bedingung
p = M C(y ∗ ) und y ∗ > 10
gegeben, d.h. die inverse Angebotsfunktion ist für y > 10 durch p(y) =
M C(y) = 3y 2 − 40y + 220 gegeben. Um die eigentliche Angebotsfunktion für
p > 120 zu bestimmen, ist die quadratische Gleichung
p = 3y 2 − 40y + 220
(5)
nach y aufzulösen. Dieses ergibt2
y=
2 (5)
i
p
1h
20 + 3p − 260 .
3
kann als
400
3p − 260
40
y+
=
3
9
9
geschrieben werden. Der Ausdruck auf der linken Seite ist gleich (binomische Formel) (y − 20/3)2 . Nimmt
man nun auf beiden Seiten die Wurzel erhält man,
r
i
p
20
1h
3p − 260
y=
±
=
20 ± 3p − 260 .
3
9
3
Die kleinere dieser Wurzeln kommt als Angebotsmenge nicht in Frage, da die Angebotsmenge grösser als ŷ
sein muss.
y2 −
9
(Zur Kontrolle der Rechnung kann man überprüfen, dass man für p = 120 das Ergebnis y = 10 erhält und y für p > 120 streng steigend in p ist.) Zusammenfassend
ist die Angebotsfunktion also durch
0
für p ≤ 120
√
s(p) =
1
3p
−
260
für p ≥ 120
20
+
3
gegeben.
10. Die langfristige Kostenfunktion und die Faktornachfragefunktionen wurden bereits in
Aufgabe 8 (b) als
w1 w2 2
c(w1 , w2 , y) =
y
(6)
w1 + w2
und
2
w2
∗
y2 ,
(7)
x1 (w1 , w2 , y) =
w1 + w2
2
w1
y2
(8)
x∗2 (w1 , w2 , y) =
w1 + w2
bestimmt.
(a) Setzt man (w1 , w2 ) = (1, 1) in die obige Kostenfunktion (6) ein, erhält man die
langfristige Kostenfunktion
Cl (y) = y 2 /2
mit Grenzkostenfunktion M Cl0 (y) = y. Diese Grenzkosten sind streng steigend
und es gilt M Cl0 (0) = 0. Also ist die langfristige Angebotsfunktion durch die
Lösung der Gleichung p = y bestimmt. Somit gilt:
sl (p) = p.
(b) Bei p∗ = 4 produziert das Unternehmen, wie soeben bestimmt, y = sl (4) = 4
Einheiten Output. Hierfür wird es die kostenminimierenden Faktoreinsatzmengen
verwenden, die bei den Preisen (w1 , w2 ) = (1, 1) durch (siehe (7) und (8))
x∗1 = x∗2 = 4
gegeben sind.
(c) Die hier zu betrachtende kurzfristige Produktionsfunktion ist
√
f (x1 , 4) = 2 + x1 .
Um y ≤ 2 Einheiten zu produzieren, benötigt das Unternehmen also keine Einheiten des ersten Inputs. Für y > 2 benötigt es (y − 2)2 Einheiten des ersten
Inputs. Damit ist die kurzfristige Kostenfunktion
4
für y ≤ 2
Ck (y) =
4 + (y − 2)2 für y > 2.
Für die kurzfristigen Grenzkosten gilt somit
0
für y ≤ 2
M Ck (y) =
2y − 4 für y > 2.
10
Da für die Produktion von bis zu zwei Outputeinheiten keine variablen Kosten
anfallen und die Grenzkostenfunktion anschliessend streng steigend verläuft, wird
das Unternehmen für p > 0 diejenige Menge anbieten, bei der Preis gleich Grenzkosten gilt. Also ist die kurzfristige Angebotsfunktion durch
sk (p) =
p+4
2
gegeben.
Abbildung 4: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion zu Aufgabe 10. Beachten Sie,
dass hier (wie es üblich ist) der Preis auf der vertikalen Achse dargestellt ist, so dass die
kurzfristige Angebotsfunktion steiler verläuft – obgleich die Reaktion auf eine Preisänderung
in der kurzen Frist weniger stark als in der langen Frist ist.
(d) Die beiden Angebotsfunktionen schneiden sich bei dem Preis p∗ = 4. Für p < 4
ist das kurzfristige Angebot streng grösser als das langfristige Angebot; während
für p > 4 das kurzfristige Angebot streng kleiner als das langfristige Angebot ist.
Siehe auch Abbildung 4.
11. (a) Die Grenzkosten sind hier streng steigend mit
M C(y) = 4 + 2y.
Aus der Bedingung erster Ordnung 8 = 4 + 2y folgt, dass das Unternehmen
bei p = 8 die Menge y ∗ = 2 anbieten wird. Der resultierende Erlös ist 16. Die
variablen Kosten sind 12.3 Die Produzentenrente (als Differenz zwischen Erlös
und variablen Kosten bestimmt) beträgt also 16 − 12 = 4.
3 Da die Kostenfunktion C(y) = 12 + 4y + y 2 ist, sind die variablen Kosten V C(y) = 4y + y 2 . Also:
V C(2) = 8 + 4 = 12.
11
Abbildung 5: Produzentenernte zu Aufgabe 11(b): Bei einer linearen Angebotsfunktion ist
die Produzentenrente eine Dreiecksfläche. Die Länge des Dreiecks ist die angebotene Menge,
die Höhe des Dreiecks ist der Preis.
Beachte, dass die Rente streng positiv ist, während der Gewinn (als Differenz
zwischen Rente und den Fixkosten F = 12 bestimmt) π(8) = 4 − 12 = −8 streng
negativ ist.
(b) Bei dem Preis p = 12 verkauft das Unternehmen die Menge s(12) = 48. Die
Produzentenrente ist daher durch die Fläche eines rechtwinkligen Dreieck mit
der Länge 48 und der Höhe 12 gegeben. Die Fläche eines solchen Dreiecks ist
48 · 12/2 = 48 · 6 = 288. Also gilt pr(12) = 288. Siehe Abbildung 5
Hinweis: Allgemein gilt, dass für eine Angebotsfunktion der Form s(p) = bp mit
b > 0 die Produzentenrente bei Preis p durch pr(p) = s(p) · p/2 = bp2 /2 gegeben
ist.
12