Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern

Über elektromagnetische Längskräfte in
stromdurchflossenen Leitern
26.10.2015
Tilmann Schneider
Rüdesheimer Str. 58, D-53175 Bonn
E-mail: [email protected]
Abstract. In this paper a special case in magnetostatics is presented to show a
contradiction in Maxwell’s equations. This necessarily leads to their generalisation
and consequently results in quantitative predictions of a longitudinal force. This force
additionally appears to already known forces (electrostatic force and Lorentz force)
and depends on magnetic vector potential. It can lead to mechanical deformations
of current-carrying conductors which can be tested in experiments. If this proof
is successful it will be an evidence for the fact that the vector potential is a real
measurable physical variable in classical electrodynamics.
Zusammenfassung. In dieser Arbeit wird an einem besonderen Beispiel der Magnetostatik ein Widerspruch in den Maxwellgleichungen aufgezeigt. Dies führt notwendigerweise zu deren Verallgemeinerung. Als Konsequenz ergeben sich quantitative
Vorhersagen zu einer Längskraft, die zusätzlich zu den bereits bekannten Kräften (der
elektrostatischen Kraft und der Lorentzkraft) auftritt und vom Vektorpotential abhängt. Sie kann zu mechanischen Verformungen an stromdurchflossenen Leitern führen,
die sich experimentell überprüfen lassen. Sollte dieser Nachweis gelingen, wäre dies ein
Beweis dafür, dass das Vektorpotential eine reale, messbare physikalische Größe in der
klassischen Elektrodynamik ist.
PACS numbers: 41.20.-q
urn:nbn:de:101:1-201510264698
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
2
1. Die Kraft im radial durchströmten, dickwandigen Hohlzylinder
1.1. Das Magnetfeld im Leiterinneren
Betrachtet wird ein elektrischer Leiter in Form eines dickwandigen Hohlzylinders, der
in radialer Richtung von einem Strom durchflossen wird. Die Mantelflächen bei r = r1
und r = r2 seien ideal leitend und bilden somit Äquipotentialflächen. Angelegt werde
⃗ bestimmt werden.
eine Gleichspannung U . Es soll das Magnetfeld B
Ausgehend von der Laplace-Gleichung
∆V = 0
erhält man das elektrische Potential
ln rr1
V (r) = −U r2 .
ln r1
Mit der elektrischen Leitfähigkeit κ ergibt sich dann für die Stromdichte
∂V
κU 1
ir (r) = κEr = −κ
= r2 .
∂r
ln r1 r
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Sie erfüllt die Kontinuitätsgleichung
div⃗i = 0.
(1.4)
Zur Berechnung des Magnetfeldes werden die Poisson-Gleichungen des Vektorpotentials
benutzt:
⃗ = −µ0⃗i.
∆A
(1.5)
An diesen Gleichungen ist zu sehen, dass das Vektorpotential parallel zur Stromdichte
liegt. Da hier die Stromdichte nur eine radiale Komponente hat, kann das Vektorpotential ebenfalls nur eine radiale Komponente haben. Aufgrund der Rotationssymmetrie einerseits und der axialen Translationssymmetrie andererseits kann diese
Radialkomponente nur vom Radius abhängen. Daher muss die Lösung für das Vektorpotential die Form
⃗ = Ar (r)⃗er
A
(1.6)
haben. Dieses Feld ist wirbelfrei und für das Magnetfeld gilt daher
⃗ = rotA
⃗ = 0.
B
(1.7)
Obwohl der Leiter von einem Strom durchflossen wird, entsteht in ihm kein Magnetfeld.
Das steht im Widerspruch zum Durchflutungsgesetz
⃗ = µ0⃗i,
rotB
(1.8)
welches bei der Herleitung von (1.5) verwendet wird. Die Gültigkeit des Durchflutungsgesetzes ist durch viele andere experimentelle Erfahrungen belegt. Es stellt sich daher
die Frage, ob die Poisson-Gleichungen auf eine Weise hergeleitet werden können, die das
Vorhandensein eines Magnetfeldes nicht zwingend voraussetzt.
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
3
1.2. Erweiterung der Maxwellgleichungen
In einer anderen Arbeit [3] hat der Verfasser Verallgemeinerungen der Maxwellgleichungen vorgeschlagen, die von der Bewegungsgleichung
m⃗v˙ = −q gradV
(1.9)
ausgehen. Sie lauten
Sαβ = ∂α Aβ ,
∂α S
αβ
(1.10a)
β
= µ0 j .
(1.10b)
In diesen Gleichungen sind die Maxwellgleichungen
Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα ,
∂α F
αβ
=
(1.11a)
µ0 jFβ
(1.11b)
als Spezialfälle enthalten. Fαβ ist das elektromagnetische Feld


Ey
Ez
Ex
0
)
(
c
c
c
⃗
 Ex

E
0
−Bz By 
0
 − c
c
(Fαβ ) =  Ey
.
=
⃗
 −c
Bz
0
−Bx 
− Ec −B
− Ecz −By Bx
0
(1.12)
Die Gleichungen können dazu wie folgt umgeformt werden:
Sαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα + ∂β Aα = Fαβ + ∂β Aα ,
∂α S
αβ
= ∂α F
αβ
β
α
+ ∂α ∂ A = ∂α F
αβ
β
(1.13a)
α
β
+ ∂ ∂α A = µ0 j .
(1.13b)
Die Summe ∂α Aα des zweiten Terms in der zweiten Gleichung muss dabei nicht
unbedingt verschwinden (wie bei der Lorenz-Eichung). Das Tensorfeld Sαβ lässt sich
in Matrizenform wie folgt darstellen:
(
)
⃗
1 ∂ V
1 ∂A
( ) − c ∂t
c ∂t c
(Sαβ ) =
,
(1.14)
⃗
∇( Vc ) −∇ ⊗ A
wobei das Zeichen ⊗ das dyadische Produkt zweier Vektoren bezeichnet. Gleichung
(1.10b) lautet dann
(
)
⃗
(
)
(
)
1 ∂ V
1 ∂A
(
)
1 ∂
c
∂t
c
c
∂t
⃗
= µ0 ρ0 c i .
(1.15)
∇
c ∂t
⃗
−∇( Vc ) −∇ ⊗ A
Für den hier betrachteten magnetostatischen Fall mit zeitlich konstanten Potentialen
und nicht vorhandener Raumladung ρ0 ergibt sich
V
V
∇(−∇( )) = −∆( ) = 0
(1.16a)
c
c
⃗ = −∆A
⃗ = µ0⃗i.
∇(−∇ ⊗ A)
(1.16b)
Zwischen dem Magnetfeld B und dem Feld
⃗
S=∇⊗A
(1.17)
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
4
besteht der Zusammenhang
B = S − ST .
(1.18)
Das Feld S enthält im Unterschied zum Magnetfeld B i. a. nicht verschwindende
Hauptdiagonal-Komponenten. Während im vorliegenden Fall alle Komponenten des
Magnetfeldes verschwinden, sind beim Feld S noch Hauptdiagonal-Komponenten vorhanden. In Zylinderkoordinaten hat das Feld mit (1.6) die Gestalt

 

∂Aφ
∂Ar
∂Az
∂Ar
0
0
∂r
 r ∂r Aφ ∂Aφ ∂r Ar ∂A
 ∂r Ar

z 
−
+
S =  ∂A
=
(1.19)
0 .

 0
r∂φ
r
r∂φ
r
r∂φ
r
∂Aφ
∂Ar
∂Az
0
0 0
∂z
∂z
∂z
Die Laplace-Gleichung (1.1) und die Poisson-Gleichungen (1.5) sind auch bei verschwindendem Magnetfeld gültig.
1.3. Berechnung des Vektorpotentials
Zur Berechnung des Vektorpotentials werden die Poisson-Gleichungen (1.5) in Zylinderkoordinaten angegeben [2]:
2 ∂Aφ Ar
∆Ar − 2
− 2 = −µ0 ir ,
(1.20a)
r ∂φ
r
2 ∂Ar Aφ
∆Aφ + 2
(1.20b)
− 2 = −µ0 iφ ,
r ∂φ
r
∆Az
= −µ0 iz .
(1.20c)
∆ ist der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten:
1 ∂ ∂
1 ∂2
∂2
∆=
r + 2 2 + 2.
(1.21)
r ∂r ∂r r ∂φ
∂z
Da wegen (1.6) die φ- und z-Komponente entfallen, bleibt nur der Radialteil übrig:
Ar
∆Ar − 2 = −µ0 ir .
(1.22)
r
Für Ar (r) in der Wand des Hohlzylinders (r1 ≤ r ≤ r2 ) folgt daraus die Differentialgleichung:
κU 1
∂ 2 Ar 1 ∂Ar Ar
+
−
=
−µ
.
(1.23)
0
∂r2
r ∂r
r2
ln rr21 r
Für die Gebiete innerhalb und außerhalb des Hohlzylinders gilt:
∂ 2 Ar 1 ∂Ar Ar
+
− 2 = 0.
∂r2
r ∂r
r
Zur Abkürzung wird gesetzt:
κU
B0 = µ0 r2 ,
ln r1
r
x
= ,
r1
Ar (r)
y(x) =
.
B0 r1
(1.24)
(1.25a)
(1.25b)
(1.25c)
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
Das führt zur folgenden Differentialgleichung:


0
0 < x < 1 (Gebiet I),



1
1
1
y ′′ + y ′ − 2 y = −
1 ≤ x ≤ x2 (Gebiet II),
 x
x
x


0
x > x2 (Gebiet III).
5
(1.26)
Die Lösung dieser Gleichung ist im Anhang gezeigt. Für das Vektorpotential erhält man

c1I r1 2


B0
+ c2I B0 r
0 < r < r1 ,
−



2
r


c
r2
B
r
Ar (r) = − 1II B0 1 + c2II B0 r − 0 rln
(1.27)
r1 ≤ r ≤ r2 ,

2
r
2
r1



2


 − c1III B0 r1 + c2III B0 r
r > r2 .
2
r
Um Singularitäten im Ursprung und im Unendlichen zu vermeiden, werden die Integrationskonstanten c1I und c2III zu Null gesetzt. Für die Bestimmung der übrigen vier
Integrationskonstanten werden vier Grenzbedingungen benötigt. Diese ergeben sich aus
der Forderung, dass die Komponenten des Feldes S bei r1 und r2 stetig sein sollen, d.h.
AIr (r1 ) = AIIr (r1 ),
(1.28a)
A′Ir (r1 ) = A′IIr (r1 ),
(1.28b)
AIIr (r2 ) = AIIIr (r2 ),
(1.28c)
A′IIr (r2 )
(1.28d)
=
A′IIIr (r2 ).
Die Ableitung des Vektorpotentials lautet


0 ≤ r < r1 ,

 c2I B0


 c1II r1 2
B0
r
′
B0 2 + c2II B0 −
(1 + ln )
r1 ≤ r ≤ r2 ,
Ar (r) =
(1.29)
2
r
2
r1



2

c
r

 1III B0 1
r > r2 .
2
r2
Nach Einsetzen der übrigen Integrationskonstanten ergibt sich schließlich für das Vektorpotential

B0 r2


ln r
0 ≤ r < r1 ,


2 r1



r
r1
B 0 r2
B0
Ar (r) =
(1.30)
r1 ( − ) +
ln r
r1 ≤ r ≤ r2 ,

4
r1
r
2
r



2
2


 B0 r2 − r1
r > r2 .
4
r
Wie zu sehen ist, erzeugt die Stromdichte hier kein Magnetfeld, sondern entsprechend
(1.13b) nur ein Vektorpotential mit nicht verschwindender Divergenz.
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
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1.4. Berechnung der Kräfte
Mit (1.10a) und (1.13a) gilt für die Kraft auf eine bewegliche Probeladung
Kα = q∂α Aβ uβ = qSαβ uβ = qFαβ uβ + quβ ∂β Aα .
(1.31)
Für ein Ladungselement dq in einem Leiter gilt entsprechend
dKα = dqFαβ uβ + dquβ ∂β Aα = ρdV Fαβ uβ + ρdV uβ ∂β Aα .
Mit der Kraftdichte
dKα
kα =
dV
gilt dann
kα = ρFαβ uβ + ρuβ ∂β Aα = Fαβ iβ + iβ ∂β Aα .
(1.32)
(1.33)
(1.34)
Für den räumlichen Anteil gilt dann in Vektorschreibweise
⃗k = ρE
⃗ + ⃗i × B
⃗ + (⃗i ∇)A
⃗ = ρE
⃗ + ⃗kq + ⃗kl .
(1.35)
Der erste Anteil ist Ursache für die elektrische Verlustleistungsdichte, die zur
Erwärmung des Leiters führt.
⃗kq ist die Lorentzkraftdichte, die quer zur Stromflussrichtung wirkt. Sie kann auf
eine Divergenz des Maxwellschen Spannungstensors zurückgeführt werden. Mit Hilfe der
Beziehung
∇(⃗a⃗b) = ⃗a × (∇ × ⃗b) + ⃗b × (∇ × ⃗a) + (⃗b∇)⃗a + (⃗a∇)⃗b
bildet man aus dem Gradienten der magnetischen Feldenergiedichte
⃗2
B
1
⃗ B)
⃗ = 1 [B
⃗ × (∇ × B)
⃗ + (B∇)
⃗ B].
⃗
∇(
)=
∇(B
2µ0
2µ0
µ0
(1.36)
(1.37)
Im ersten Term kann das Durchflutungsgesetz (1.8) eingesetzt werden. Der zweite wird
mit der Beziehung
∇(⃗a ⊗ ⃗b) = (⃗a ∇)⃗b + ⃗b(∇⃗a)
(1.38)
weiter umgeformt. Dann ergibt sich
⃗2
B
⃗ × ⃗i + 1 [∇(B
⃗ ⊗ B)
⃗ − B(∇
⃗ B)].
⃗
∇(
)=B
(1.39)
2µ0
µ0
Der letzte Term verschwindet wegen der Quellenfreiheit des Magnetfeldes. Die Gleichung
wird nun umgestellt:
⃗2
⃗kq = 1 ∇(B
⃗ ⊗ B)
⃗ − ∇( B ).
(1.40)
µ0
2µ0
Am zweiten Term rechts ändert sich nichts, wenn man ihn mit der Einheitsmatrix I
multipliziert:
⃗2
⃗2
⃗kq = 1 ∇(B
⃗ ⊗ B)
⃗ − ∇( B )I = 1 ∇(B
⃗ ⊗B
⃗ − B I).
(1.41)
µ0
2µ0
µ0
2
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
Mit dem Maxwellschen Spannungstensor des magnetisches Feldes
⃗2
1 ⃗
⃗ − B I)
TB = (B
⊗B
µ0
2
ergibt sich
⃗kq = ∇T .
B
7
(1.42)
(1.43)
Die Lorentzkraftdichte verschwindet im hier vorliegenden Fall.
Für die in Stromflussrichtung wirkende Kraftdichte ⃗kl kann mit (1.38) ein entsprechender Ausdruck hergeleitet werden:
⃗kl = (⃗i ∇)A
⃗ = ∇(⃗i ⊗ A)
⃗ − A(∇
⃗ ⃗i).
(1.44)
Wegen der Kontinuitätsgleichung (1.4) verschwindet der letzte Term und es wird
⃗kl = ∇T
A
(1.45)
mit dem Spannungstensor
⃗
TA = ⃗i ⊗ A.
(1.46)
Da Stromdichte und Vektorpotential parallel zueinander liegen, kann die Stromdichte
mit einer geeignet gewählten, skalaren Funktion λ geschrieben werden als
⃗
⃗i = λA.
(1.47)
Der Tensor
⃗⊗A
⃗
TA = λA
(1.48)
ist also symmetrisch.
Neben den bekannten elektromagnetischen Kräften tritt zusätzlich eine Kraft in
Stromflussrichtung in Erscheinung, die nur vom Vektorpotential abhängt. Das Vektorpotential muss daher in der klassischen Feldtheorie als reale, messbare physikalische
Größe angesehen werden.
Der Tensor TA für den hier vorliegenden Fall lautet


σr 0 0


TA =  0 0 0  ,
(1.49)
0 0 0
mit der radialen mechanischen Hauptspannung
dKr
σr =
= ir Ar .
(1.50)
dF
Für die Kraftdichte folgt mit der Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten (siehe
Anhang):
kr =
1 ∂
σφ
(rσr ) − .
r ∂r
r
(1.51)
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
8
Daraus ergibt sich mit σφ = 0 für die Kraftdichte am Innen- und Außenrand des Hohlzylinders

B0 2 r2


ln
r = r1 ,

2µ0 r1 r1
kr =
(1.52)

B0 2
r1 2

−
(1 − 2 )
r = r2 .
4µ0 r2
r2
Das bedeutet, dass die Wand des Hohlzylinders zusammengepresst wird. Die Polarität
der Gleichspannung spielt dabei keine Rolle, da sie quadratisch in die Kraftdichte
eingeht.
2. Die Kräfte in einem Draht mit Kreisquerschnitt
Ein Draht mit Kreisquerschnitt werde von einem Gleichstrom I durchflossen. Dann gilt
für die Stromdichte
I
iz =
.
(2.1)
πR2
Die Poisson-Gleichung lautet dann
1 ∂ ∂Az
(2.2)
r
= −µ0 iz ,
r ∂r ∂r
da Az wegen der Rotationssymmetrie nur vom Radius abhängt. Für das Leiterinnere
erhält man
r2
Az = −µ0 iz .
(2.3)
4
Daraus ergibt sich für die magnetische Feldstärke
∂Az
µ0 Ir
Bφ = −
=
.
(2.4)
∂r
2πR2
Die Lorentzkraftdichte ist dann
µ0 I
kr = − ( 2 )2 r,
(2.5)
2 πR
d. h. der Draht wird radialer Richtung zusammen gequetscht (Pinch-Effekt).
Zusätzlich tritt aber auch eine Kraft entlang des Drahtes auf, die aus zwei Anteilen
besteht. Der Tensor


−1
0
0
Bφ 2 

TB =
(2.6)
 0 1 0 
2µ0
0 0 −1
liefert die axiale Hauptspannung
µ0 I 2 r 2
σBz = − (
)( ).
2 2πR R
Nach Integration über den Kreisquerschnitt ergibt sich der Kraftanteil
KBz = −
µ0 I 2
.
16π
(2.7)
(2.8)
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
9
Der zweite Anteil wird durch das Vektorpotential selbst erzeugt. Mit dem Tensor


0 0
0


TA =  0 0
(2.9)
0 
0 0 iz Az
ergibt sich die Hauptspannung
I 2 r 2
σAz = −µ0 (
)( )
2πR R
und die Kraft
µ0 I 2
KAz = −
.
8π
Die gesamte axiale Kraft ist dann
(2.10)
(2.11)
3µ0 I 2
.
(2.12)
16π
Diese Kraft drückt den Draht in Längsrichtung zusammen. Für einen Strom I = 10 kA
ergibt sich eine Druckkraft Kz = 7, 5 N. Kräfte dieser Art können zur Verformung
von Stromschienen führen. Solche Erscheinungen wurden bei der Erforschung und
Entwicklung sogenannter Railguns beobachtet [1].
Kz = −
3. Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurden zwei besondere magnetostatische Fälle behandelt, die folgende
Ergebnisse gebracht haben:
• Am Beispiel eines radial durchströmten Hohlzylinders wurde ein Widerspruch in
den Maxwellgleichungen aufgezeigt.
• Dieser Widerspruch gibt Anlass zu einer Verallgemeinerung der Maxwellgleichungen.
• Diese Erweiterung führt zu der Erkenntnis, dass das Vektorpotential der klassischen
Elektrodynamik eine reale, messbare Größe ist.
• Das berechnete Vektorpotential und die daraus resultierenden Kräfte führen zu
der experimentell überprüfbaren Vorhersage, dass die Wand des Hohlzylinders
zusammengedrückt werden sollte.
• Am Beispiel eines stromdurchflossenen Drahtes wurde unter Berücksichtigung der
verallgemeinerten Maxwellgleichungen eine Druckkraft in Längsrichtung auf den
Draht berechnet.
• Diese Längskraft entsteht zu einem Drittel unter dem Einfluss des Magnetfeldes
und zu zwei Dritteln unter dem Einfluss des Vektorpotentials.
• Längskräfte dieser Art wurden bereits in der Vergangenheit beobachtet.
Was zu tun bleibt ist, diese vorhergesagten Kräfte in Experimenten quantitativ genau
nachzuprüfen.
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
10
4. Anhang
4.1. Eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Gegeben ist die folgende inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:
1
1
y ′′ + y ′ − 2 y = −f (x), x > 0.
(4.1)
x
x
Durch die Wahl der Substitution
y(x) = xg(x)
(4.2)
geht diese Differentialgleichung in die einfachere Form
3
f (x)
g ′′ + g ′ = −
x
x
über. Durch eine weitere Substitution
g ′ (x) = z(x)
(4.3)
(4.4)
erhält man eine inhomogene, lineare Differentialgleichung erster Ordnung
3
f (x)
z′ + z = −
,
x
x
die sich durch Variation der Konstanten lösen lässt. Der Ansatz ist
∫ 3
c(x)
z = c(x)e− x dx = 3 .
x
Für c(x) ergibt sich nach Einsetzen das Integral
∫
c(x) = − x2 f (x)dx + c1 .
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Nun werden zwei Sonderfälle für f (x) gewählt. Im Fall der homogenen Differentialgleichung (f (x) = 0) ergibt sich als endgültige Lösung:
c1
y = − + c2 x.
(4.8)
2x
Für den inhomogenen Fall
1
f (x) =
(4.9)
x
erhält man entsprechend
c1
x
y = − + c2 x − lnx.
(4.10)
2x
2
Über elektromagnetische Längskräfte in stromdurchflossenen Leitern
11
4.2. Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten
Der Spannungstensor lautet in

σr τrφ

T =  τrφ σφ
τrz τφz
Zylinderkoordinaten

τrz

τφz  .
σz
Dann lautet die Divergenz dieses Tensors:
∂σr 1 ∂τrφ σr − σφ ∂τrz
divT = (
+
+
+
)⃗er
∂r
r ∂φ
r
∂z
∂τrφ 1 ∂σφ 2τrφ ∂τφz
+(
+
+
+
)⃗eφ
∂r
r ∂φ
r
∂z
∂τrz 1 ∂τφz τrz ∂σz
+(
+
+
+
)⃗ez .
∂r
r ∂φ
r
∂z
(4.11)
(4.12)
5. Literaturhinweise
[1] Graneau, Peter: Amperian recoil and the efficiency of railguns. Journal of Applied Physics, Vol.
62, 1987, p. 3006.
[2] Lehner, Günther: Elektromagnetische Feldtheorie. Berlin : Springer, 1990, S. 261.
[3] Schneider, Tilmann: Die Unipolarmaschine zweiter Art. Bonn : urn:nbn:de:101:1-2015020917870,
2015.