Physik I — Mechanik

Physik I — Mechanik
1
Einführung
2
Grundbegriffe der Bewegung
2.1
Ort und Bahn eines Massepunktes
Kartesisches Koordinatensystem
~r = (x, y, z)
(1)
~r = (r, φ, z)
(2)
x = r cos φ
y = r sin φ
z = z
(3)
(4)
(5)
~r = (r, ϑ, φ)
(6)
x = r sin ϑ cos φ
y = r sin ϑ sin φ
z = r cos ϑ
(7)
(8)
(9)
Zylindrisches Koordinatensystem
mit
Sphärisches Koordinatensystem
mit
2.2
Geschwindigkeit
∆~r
d~r
=
∆t
dt
~v = (vx , vy , vz )
q
|~v | =
vx2 + vy2 + vz2
(11)
~r = ~r0 + ~u · t
~v = ~v 0 + ~u
t = t0
(13)
(14)
(15)
~v =
lim
∆t→0
(10)
(12)
Galilei–Transformation
1
2.3
Beschleunigung
µ ¶
∆~v
d~v
d d~r
d2~r
~a = lim
=
=
= 2
∆t→0 ∆t
dt
dt dt
dt
¶
µ
¶ µ 2
dvx dvy dvz
d rx d2 ry d2 rz
~a = (ax , ay , az ) =
,
,
=
,
,
dt dt dt
dt2 dt2 dt2
2.3.1
(17)
Beispiel a: Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
~a = ~a0
~v = ~a0 t + ~v0
1
~r = ~a0 t2 + ~v0 t + ~r0
2
2.3.2
(16)
(18)
(19)
(20)
Beispiel b: Gleichförmige Kreisbewegung.
Winkelgeschwindigkeit
dφ
dt
(21)
v =r·ω
(22)
~v = ω
~ × ~r
(23)
ω=
Geschwindigkeit
Vektorschreibweise:
Zusammenhang zwischen Frequenz, Periode und Winkelgeschwindigkeit:
1
ω
f= =
T
2π
Beschleunigung bei gleichförmiger Kreisbewegung:
~ ω2
~a = −R
3
3.1
(24)
(25)
Newtonsche Axiome
Kraft
F~ = (Fx , Fy , Fz )
Superposition
F~ =
X
F~i
(26)
(27)
i
Hooksches Gesetz
Fx = −C · ∆x
2
(28)
3.2
Newtonsche Axiome
Impuls
p~ = m · ~v
(29)
1. Trägheitsprinzip
2. Aktionsprinzip
d~p
F~ =
dt
(30)
3. Reaktionsprinzip (actio = reactio)
F~12 = −F~21
(31)
2. N.A. für konstante Masse:
d
d~v
F~ =
(m · ~v ) = m = m · ~a
dt
dt
3.3
(32)
Reibung
1. Haftreibung
Fh,max = µh FN
(33)
Fg = µg FN
(34)
FR = µR FN
(35)
FS = bv n
(36)
2. Gleitreibung
3. Rollreibung
4. Strömungswiderstand
3.4
Gravitationsgesetz
m1 m2
F~12 = γ 2 r̂12
r
−11 Nm1
Gravitationskonstante ≈ 6.7 · 10
kg2
N
Fallbeschleunigung ≈ 9.81 kg
Äquivalenzprinzip
Bewegungsgleichung
3.5
Keplersche Gesetze
Eins, zwei, drei.
3
(37)
4
Energie– und Impulserhaltung
4.1
Arbeit und kinetische Energie
Arbeit
∆W = F~ · ∆~x
(38)
Arbeit entlang einer Bahnkurve
Z
~
r(t)
F~ · d~r
(39)
dW
= F~ · ~v
dt
(40)
W =
~
r(t0 )
Leistung
P =
Kinetische Energie
4.2
dEkin + dEpot − dW = 0
(42)
d
(Ekin + Epot ) = 0
dt
(43)
Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz
Für Bezugspunkt → ∞
Epot = −γ
4.4
(41)
Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Abgeschlossenes System
4.3
1
p~2
Ekin = m~v 2 =
2
2m
m1 mE
r
(44)
Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen
Epot = −γm0
X mi
i
(45)
r0i
Potential einer Kugelschale und einer Vollkugel.
4.5
Äquipotentialflächen der potentiellen Energie
µ
F~ = −gradEpot = −∇Epot = −
4
dEpot dEpot dEpot
,
,
dx
dy
dz
¶
(46)
4.6
Konservative Kräfte
4.7
Impulserhaltung
Keine äußeren Kräfte
4.8
d X
d
p~i = P~ = 0
dt i
dt
(47)
Stoßprozesse
4.8.1
Vollkommen inelastischer zentraler Stoß
4.8.2
Vollkommen elastischer zentraler Stoß
Umkehr der Relativgeschwindigkeit
v20 − v10 = − (v2 − v1 )
4.9
Kraftstoß
Impulsübertrag
Z
Z
p
~f
J~ = ∆~p =
tf
d~p =
p
~i
4.10
(48)
F~ (t)dt
(49)
ti
Masseschwerpunkt
P
mi~ri
1 X
=
~rs = Pi
mi~ri
M i
i mi
(50)
Schwerpunktsgeschwindigkeit
~vs =
d~rs
1 X
=
mi~vi
dt
M i
Gesamtimpuls
P~ =
X
p~i = M~vs
(51)
(52)
i
Transformation zwischen Laborsystem und Schwerpunktsystem
~ri = ~ri,s + ~rs
~vi = ~vi,s + ~vs
Summe der Impulse im Schwerpunktsystem
X
p~i = 0
i
5
(53)
(54)
(55)
4.11
Reduzierte Masse
µ=
4.12
5
5.1
m1 m2
m1 + m2
(56)
Stoßprozesse, Teil II
Rotation
Drehimpulserhaltun für einen Massepunkt
Drehmoment
Drehimpuls
~ = ~r × F~
M
(57)
~ = m · ~r × ~v = ~r × p~
L
(58)
Änderung des Drehimpulses
~
~ = dL
(59)
M
dt
Drehimpuls bleibt beim Wirken einer Zentralkraft erhalten (⇒ Keplerscher Flächensatz).
Gleichung für den radialen Teil der Bahnbewegung (z.B. Planetenbahnen):
p2r
p2
L2
C
+ V 0 (r) = r +
− =E
2m
2m 2m
r
5.2
(60)
Erhaltung des Drehimpulses bei Systemen von Massepunkten
Drehmoment
X
~ =
M
~ri × F~i,ext
(61)
i
Gesamtdrehimpuls
~ =
L
X
mi~ri × ~vi =
o
Änderung des Drehimpulses
X
~ri × p~i
(62)
i
~
~ = dL
M
dt
~ = const.
Abgeschlossenes System: L
6
(63)
5.3
Der Drehimpuls starrer Körper
Rotationssymmetrische Körper, Rotation um Symmetrieachse
!
Ã
µZ
¶
X
2
2
~ =
L
mi Ri ω
~ =
R dm ω
~ = I~ω
(64)
V
i
mit Trägheitsmoment
I=
X
Z
mi Ri2
R2 dm
=
(65)
V
i
Hohlzylinder
Vollzylinder
Kugel
I = r02 M
(66)
1
I = r02 M
2
(67)
2
I = r02 M
5
(68)
Steinerscher Satz
IA = IS + M a2
5.4
Rotationsenergie
1
L2
Erot = Iω 2 =
2
2I
Bewegungsgleichung für Rotation.
5.5
Rotation eines beliebigen Körpers
~ und Windkelgeschwindigkeit ω
Drehimpuls L
~ durch Trägheitstensor verknüpft
und generell nicht mehr parallel:
~ = I~
˜ω
L
(69)
Rotationsenergie
1 T
ω
~
2
Trägheitsmoment im Hauptachsensystem

Ia 0
˜

0 Ib
I=
0 0
Erot =
I˜ ω
~
(70)

0
0 
Ic
(71)
mit Ia ≤ Ib ≤ Ic (Konvention).
Asymmetrischer Kreisel; oblater und prolater symmetrischer Kreisel.
7
5.6
Der symmetrische Kreisel
Drehimpuls und kinetische Energie im Hauptachsensystem:
~ = Ia ωa â + Ib ωb b̂ + Ic ωc ĉ
L
¢
1¡ 2
Erot =
Ia ωa + Ib ωb2 + Ic ωc2
2
(72)
(73)
Kräftefreier und schwerer Kreisel. Nutation und Präzession. Präzessionsfrequenz:
ωP =
dφ
M
=
dt
L
8
(74)