Physik V Einführung: Kern und Teilchenphysik

Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Physik V
Einführung:
Kern und Teilchenphysik
Georg Steinbrück, Dieter Horns
Universität Hamburg
Winter-Semester 2007/2008
Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Inhalt
Symmetrien und Erhaltungssätze
WS 2007/08
Steinbrück, Horns: Physik V
2
Symmetrien, Quantenzahlen,
Erhaltungssätze (Siehe auch VL 1)
Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Symmetrieüberlegungen erlauben uns oft viel über ein System zu verstehen, ohne die
Lösung des Problems zu kennen
Symmetrie: (z.B.) Bewegungsgleichungen ändern sich nicht bei (sind invariant unter)
gewissen Transformationen. Bsp: Verschiebungen, Rotationen
Andere Formulierung: Physik eines Systems (Observablen) soll sich unter einer
Symmetrie-Transformation nicht ändern.
E.Noether (1917): Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems
gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt
man unterscheidet kontinuierliche und diskrete Transformationen, sowie erhaltene und
verletzte (gebrochene) Symmetrien
Anmerkung:
- Konzept der Symmetrie: so alt wie die Menschen
- Aber Glaube in Symmetrie hat oft zu falschen Schlüssen geführt:
Symmetrie des Raumes ⇏ Kreisbahnen von Planeten
i.e. aus V(r) folgt nicht, dass Lösungen symmetrisch in r
Beispiele: Knicken eines Stabes, Ferromagnet, Higgs-Teilchen, …
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3
Übersicht: Transformationen
Symmetrien/
Quantenzahlen
Transformation
Erhaltungsgröße/Quantenzahl
räumliche Translation
zeitliche Translation
räumliche Drehung
Impuls
Energie
Drehimpuls
räumliche Spiegelung
zeitliche Spiegelung
Ladungsspiegelung
Isospin-Drehung
Eichtransformation(en)
Parität P
T
C-Parität
Isospin I
Ladungen (elektrisch, schwache,
Farbladung, Baryonen-, Lepton-Zahlen
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Leptonzahl L: Unterscheidet Leptonen von Antileptonen, Quarks
L=+1 für e-,ν
νe,µ-,ν
νµ, τ-, ντ L=-1 für die entsprechenden Antiteilchen
L=0 für alle anderen Teilchen (Quarks, Gluonen, Photonen, W, Z,H)
Erhalten in allen WW:
e+e-ttquer erlaubt,
e-e-W-W- verboten
Lepton-Flavor-Zahlen: Leptonenzahlen separat für jede Lepton-Generation: Le, Lµ, Lτ
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Symmetrien, Quantenzahlen,
Erhaltungssätze
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Baryonenzahl: Unterscheidet Quarks von Antgiquarks, Leptonen
B=1 für n,p, alle 3-Quark Sytsteme
B=1/3 für alle Quarks u,d,s,c,t,b, B=-1/3 für alle Antiquarks
Beispiel: ∆++=(uuu) B=1
Baryon
π+ (u dquer)
B=-1/3+1/3=0 Meson
Quark-Flavor Zahlen: Starker Isospin (siehe letzte Vorlesung)
I=1/2 für u,d, sonst 0 I3=1/2 für u, -1/2 für d
Analog Spin:  u 
 
d 
Strangeness: S=1 für s, sonst 0
Charm:
C=1 für c, sonst 0
~B=1 für b, sonst 0
Beauty:
Top:
T=1 für t, sonst 0
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Zusammenfassung Erhaltungssätze
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Erhaltungssätze
Erhaltung der Quantenzahlen gültig für:
Leptonen und Quarks können nicht einzeln erzeugt oder vernichtet werden,
sondern nur paarweise als Teilchen+Antiteilchen
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Erhaltungsgrößen in der Quantenmechanik
Wann ist eine Physikalische Größe erhalten?
Siehe Frauenfelder & Henley, Kapitel 7.1
Betrachte ein System, was durch einen zeitunabhängigen Hamilton-Operator H
beschrienen werden kann. Die Wellenfunktion dieses Systems erfüllt dann die
Schrödinger-Gleichung
ih
∂Ψ
= HΨ
∂t
Betrachte nun einen Operator F. F sei eine Observable: Erwartungswert von F
korrespondiert zu einer Messung. Der Erwartungswert von F, <F> im Zustand Ψ ( t ) ist
F
=
∫d
3
xΨ *F Ψ
Nehme an, dass F unabhängig von der Zeit ist. Dann
d
dt
d
=
dt
F
∫
3
*
d xΨ F Ψ =
∫
dΨ
d x
dt
*
3
FΨ +
∫
d 3 xΨ *F
dΨ
dt
für den 1.Term wird die komplex-konjugierte Schrödinger-Gleichung benötigt:
∂Ψ *
− ih
=
∂t
d
dt
F
=
i
h
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(H Ψ )*
∫
d 3 xΨ
= Ψ *H
*
(HF
− FH
H
)Ψ
reell!
d
dt
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F
= 0 ↔
[H
,F
]=
0
7
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Erhaltungsgrößen in der Quantenmechanik
Wenn F und H vertauschen, können die Eigenfunktionen von H so gewählt werden,
dass die auch Eigenfunktionen zu F sind:
Hψ = Eψ
F ψ = fψ
Wie kann man Erhaltungsgrößen finden?
Falls H explizit bekannt (was meistens nicht der Fall ist!), kann man einfach F einsetzen.
Beispiel: freies Teilchen
p2
h2
E =
⇒ H = −
∆
2m
2m
(mit
r
h2 r
p̂ =
∇) ⇒
i
[H , p̂r ] = 0
Impulserhaltung!
Wenn H nicht explizit bekannt ist, kann eine erhaltene Observable gefunden werden, indem
die Invarianz von H unter einer Symmetrie-Operation etabliert werden kann.
Eine Symmetrieoperation kann geschrieben werden als:
mit Transformations-Operator U
ψ '(x,t) = U ψ (x,t)
Die Normierung der Wellenfunktion muss bei einer solchen Transformation erhalten bleiben:
∫
d 3 xΨ *Ψ =
∫
d 3 x (U Ψ
)* U Ψ
=
∫
d 3 x Ψ *U + U Ψ
mit
U
+
(
= U
*
)
T
hermitesch-konjugiert
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Erhaltungsgrößen in der Quantenmechanik
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Das heißt für eine Symmetrie-Operation muss U unitär sein:
U + U = UU
+
= 1
( oder : U
+
= U
−1
)
U ist eine Symmetrieoperation, wennU
ψ auch Lösung der Schrödinger-Gleichung ist:
ih
− 1 HU
d (U ψ )
dψ
= HU ψ ⇒ i h
=U
dt
dt
⇒ H = U − 1 HU = U + HU
⇒ HU − UH = [ H , U ] = 0
ψ
hier angenommen: U zeitunabhängig
Also: U ist eine Symmetrieoperation, wenn es mit dem Hamilton-Operator vertauscht.
Falls U hermitesch ist, also U+=U, ist U eine Observable. (u.A.: Eigenwerte reell!)
Falls U nicht hermitesch, lässt sich ein mit U verwandter hermitescher Operator finden, der
mit H kommutiert, also eine Erhaltungsgröße darstellt.
Eigenschaften von Transformationen:
• Repräsentiert durch unitären Operator U, nicht notwendigerweise hermitesch!
• kontinuierliche: Bsp.: normale Rotation im Raum
Additive Erhaltungssätze
• diskrete:
Bsp.: Raum-Spiegelung
Multiplikative Erhaltungssätze
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Beispiel:
Translationsinvarianz Impulserhaltung
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Erhaltungssätze
Betrachte die Wellenfunktion ψ(x) für ein Teilchen am Ort x0, ψ∆(x) für ein Teilchen, was um
∆ in x verschoben wurde. ψ und ψ∆ am gleichen Ort sind verbunden durch folgende
Transformation:
ψ
∆
(x) = U ψ (x)
Invarianz unter Translation:
∆
ψ (x) = ψ
(x + ∆)
Betrachte kleine Verschiebung ∆: Dann
ψ (x) ≈ ψ
∆
(x) +
dψ
∆
(x)
dx
Multiplikation mit 1 − ∆ d / dx
ψ
∆
d 

∆ = 1 + ∆
ψ
dx 

r

i ∆ rˆ 

U (∆ ) =  1 −
p 
h


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(x)
und vernachlässigen von Termen ~ ∆2
d 

( x) ≈ 1 − ∆
ψ ( x ) ⇒ U (∆
dx


In 3-Dim:
∆
)=
d 
i∆



pˆ x 
1 − ∆
 = 1 −
dx 
h



mit pˆ x = − i h ∂
Aus Translationsinvarianz folgt Impulserhaltung!
formale Begründung: U kommutiert mit H p auch.
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x
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Erhaltungssätze
Bemerkung
Der Operator U für eine kontinuierliche Transformation kann geschrieben werden als:
U = exp( i ε F )
mit reellem
Parameter
ε
F ist der Generator von U.


(iε F ) 2


ψ
ε
ψ
ε
U
i
F
i
F
=
exp(
)
=
1
+
+
+
...
also

2!


oft ist einfacher infinitesimale Transformationen zu betrachten:
U = exp( i ε F ) ⇒ 1 + i ε F
wenn
ε F << 1
wenn [U,H]=0 gilt:
[H
,U
]=
HU
⇒
[H
,F
]=
− UH
= H (1 + i ε F
) − (1 + i ε F )H
= 0
0
Wenn U eine Erhaltungsgröße darstellt, ist der hermitesche Generator F auch eine
Erhaltungsgröße.
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Beispiel:
Rotationsinvarianz Drehimpulserhaltung
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Erhaltungssätze
Betrachte: Räumliche Drehung um den Winkel α um die z-Achse. Diese Drehung
transformiert zunächst einen Punkt x in xR gemäß:
x R = R z (α ) x
Die Rotation verändert gleichzeitig auch die Wellenfunktion am gleichen Ort x:
ψ
R
( x ) = U z ( α )ψ ( x )
Falls das System invariant unter Rotation ist, muss gelten:
ψ (x) = ψ
R
(x
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R
)
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Vorlesung 7:
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Erhaltungssätze
Beispiel:
Rotationsinvarianz Drehimpulserhaltung
Es reicht wieder, eine infinitesimal kleine Drehung um den Winkel α um die z-Achse zu
betrachten.
ψ
R
R
(x ) = ψ
R
(x) +
R
∂ψ
(x)
∂ϕ
δα = (1 + δα ( ∂ / ∂ ϕ )) ψ
R
(x)
δα ( ∂ / ∂ ϕ )) ψ ( x )] liefert
( x ) = (1 − δα ( ∂ / ∂ ϕ )) ψ ( x )
Multiplikation mit [1 −
ψ
R
Der hermitesche Operator F zur Rotation Uz ist also (siehe S. 11)
F = i(∂ / ∂ϕ ) = − L z / h
Allgemein ist der Operator U zu einer allgemeinen Rotation um eine beliebige Achse n,
wobei jetzt der Gesamtdrehimpuls J (=Spin+Bahn) betrachtet wird:
U
n ( δ ) = exp(
− i δ nˆ ⋅ J
)
h
Wenn das System invariant ist unter Rotation gilt:
[ H ,U
n
] = 0 ⇒ [ H , nˆ ⋅ J ] = 0
Da die Ausrichtung der Achse beliebig ist Alle Komponenten von J erhalten. J ist eine
Konstante der Bewegung.
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Weiter zu Drehimpulsen
Aus der Quantenmechanik ist bekannt:
[ L x , L y ] = ih L z
r2 r
[L , L] = 0
r
v
h r
L =
r ×∇
i
(
)
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Lx und Lx nicht gleichzeitig messbar!
r
L
und L i
gleichzeitig meßbar!
Eigenwerte:
aus obigen Operatorrelationen: Werte nurr 0, ½, 1, 3/2,…
2
Basisfunktionen: Eigenfunktionen zu L und L z : l , m
r2
L l, m
r2
L l, m
= h 2 l ( l + 1) l , m
= hm l, m
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mit m = -l…+l (2l+1 Werte)
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Symmetriebrechung durch Magnetfeld
Ein Teilchen mit Spin J und magnetischem Moment µ kann beschrieben werden durch den
Hamilton Operator H = Hint + Hmag. mit
H
mag
gµ
= −µ ⋅B = −
h
0
J ⋅B
wähle z-Achse entlang B-Feld, so dass
mit
J zψ
jm
= m hψ
jm
µ 0 : Kernmagnet
on
eh
2m pc
J ⋅B = J zBz ≡ J zB
E = E 0 − gµ 0 mB
Zeeman-Aufspaltung in Äquidistante Energie-Niveaus
∆ E = gµ
0 B =
µ
B
j
Beispiel:
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
Addition von Drehimpulsen
Zusammenhang:
j 1 j 2 JM
⇔
j1 m 1 , j 2 m
hier : h = 1 oder
2
Isospin
J = j1 + j 2
j1 m 1 ⊗
j2 m
∑
=
2
J = j1 − j 2
j1 j 2 m 1 m
2
JM
⋅ j 1 j 2 JM
j j m 1 m 2 JM
1 1424 2
4 43
Klebsch
- Gordon
Koeffizien
ten
Wahrscheinlichkeit, bei Kopplung von
System, mit Gesamtdrehimpuls j 2 m
2
j1 m 1
2
und
zu finden.
m 1 = + j1
∑
=
j 1 j 2 JM
j 1 j 2 m 1 m 2 JM
⋅ j1 m 1 ⊗
j2 m 2
m 1 = − j1
m 2 = M − m1
j 1 j 2 m 1 m 2 JM
2
Jetzt: Wahrscheinlichkeit, einzelne Drehimpulse
und
zu finden.
j2 m 2
j1 m 1
Ausserdem gilt folgende Vertauschungsrelation:
j1 j 2 m 1 m
2
JM
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= (− 1 )
j1 + j 2 − J
j1 j 2 m 1 m
2
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JM
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http://pdg.lbl.gov/2007/reviews/clebrpp.pdf
WS 2007/08
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Symmetrien und
Erhaltungssätze
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Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Wie man sie lesen muss…
J = j1 + j 2
j1 m 1 ⊗
j2 m
2
=
∑
J = j1 − j 2
1 1
2 2
⊗
1 1
2 2
=
1 1
1
1
,
⊗
,−
2 2
2
2
=
1
1 1
⋅ , 10
2 2 2
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=
+
⋅ j 1 j 2 JM
j j m 1 m 2 JM
1 1424 2
4 43
Klebsch
- Gordon
1 1 1 1
1 1
11 ⋅
11
2 2 2 2
2 2
Koeffizien
= 1⋅
1 1 1
1
1 1
, , , − 10 ⋅ , 10
2 2 2
2
2 2
+
ten
1 1
11
2 2
1 1 1
1
1 1
, , , − 00 ⋅ , 00
2 2 2
2
2 2
1
1 1
⋅ , 00
2 2 2
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Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Elektrische Ladung
Betrachte den Ladungs-Operator Q mit Q ψ = q ψ
Die Ladung <Q> ist erhalten, wenn H und Q kommutieren. Was aber ist die
zugrundeliegende Symmetrie, die garantiert, dass H und Q vertauschen?
Weyl: Betrachte Transformation ψ ' = exp( − ε Q )ψ mit beliebigem, reellem Parameter ε.
Eichinvarianz: ψ ' erfüllt die gleiche Schrödinger-Gleichung wie
ih
dψ '
= Hψ ' ⇒ ih d (exp( iεQ )ψ ) = H exp( iεQ )ψ
dt
dt
ψ
⋅ exp(- iεQ ) von links
benutzt wurde, dass Q zeit-unabhängig und
hermitesch ist + Schrödienger-Gl.
⇒ exp( −iεQ ) H exp( iεQ ) = H
ε ist kann beliebig klein gewählt werden
⇒ (1 − iεQ ) H (1 + iεQ ) = H oder [Q, H] = 0
Invarianz unter Eichtransformation
WS 2007/08
ψ ' = exp( − ε Q )ψ garantiert Ladungserhaltung!
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Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Elektrische Ladung
Bisher „globale Eichtransformation“ mit ε unabhängig von x,t.
Betrachte jetzt lokale Eichtransformation: ε=ε(x,t).
ε=ε(
Jetzt q: elektrische Ladung im elektrischen Feld E, was definiert ist durch Skalarpotential A0
E = −∇ A 0 ⇒ H = H
0
+ qA
0
mit H
0
p2
− h 2∇
=
=
2m
2m
2
Aus der klassischen elektrodynamik ist bekannt, dass E und B unverändert sind unter einer
Eichtransformation
A 0' = A 0 −
1 ∂Λ (x,t)
,
c
∂t
A' = A + ∇ Λ ( x , t )
mit beliebiger Funktion Λ ( x , t )
Jetzt:
ψ ' = exp( − ε ( x , t ) Q )ψ
betrachte zunächst ε und Λ nur als Funktion von t, nicht x (vereinfacht die Rechnung).
Schrödinger-Gleichung:
∂ψ '
ih
= H 0 + qA 0' ψ '
∂t
(
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)
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Vorlesung 7:
Symmetrien und
Erhaltungssätze
Elektrische Ladung
ih
∂ψ '
= H 0 + qA 0' ψ '
∂t
(
)
Unter gleichzeitiger Eichtranformation von
ψ und A 0
folgt
 − h 2∇ 2
q ∂Λ 
∂
 exp (iε (t )Q )ψ
ih exp (iε (t )Q )ψ = 
+ qA0 −
∂t
c ∂t 
 2m
 − h 2∇ 2
∂ε 
q ∂Λ 
 ∂ψ

ψ
(
)
exp (iε (t )Q ) ih
− hQψ
=
exp
i
ε
(
t
)
Q
+
qA
−

0

∂t 
c ∂t 
 ∂t
 2m
∂ ε ( t ) q ∂ Λ (t )
mit H = H 0 + qA 0
ergibt sich hQ
=
∂t
c ∂t
da ε und Λ beliebig, kann man Λ (t ) = hcε (t ) wählen, so dass Q ψ = q ψ !
globale Eichtransformation erhaltene Quantenzahl
lokale Eichtransformation zusammen mit Eichtransformation des em Feldes elektrische
Ladung!
Die Phase der Wellenfunktion variiert in Raum und Zeit (e(x,t), ausgeglichen durch
entsprechende Änderung im em Potential: Λ (t ) = hcε (t )
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