Übungsaufgaben E2 Mechanik: Kreisbewegung und Reibung

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Übungsaufgaben E2 Mechanik: Kreisbewegung und Reibung
1. Größen bei Kreisbewegungen
a) Berechnen Sie die Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten an der Spitze des Sekunden-, Minuten- und
Stundenzeigers einer Uhr. Der Sekunden- und Minutenzeiger sind jeweils r = 20 cm lang, der Stundenzeiger ist nur r = 12 cm lang.
b) Wie groß sind die folgenden Radialbeschleunigungen? Geben Sie die Resultate als Vielfache der
mittleren Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s² an.
- Wäschetrommel mit r = 30 cm bei 3000 U/min.
- Erde am Äquator und bei 50° nördlicher Breite.
- Radkranz eines ICE (d = 875 mm) bei 300 km/h Reisegeschwindigkeit.
c) Im Bohrschen Atommodell kreist ein Elektron (m = 9,1 ∙ 10-31 kg) auf der innersten Bahn des
Wasserstoffatoms um den Atomkern mit einem Radius r = 5 ∙ 10-11 m und einer Geschwindigkeit
v = 2,2 ∙ 106 m/s. Wie groß muss die Kraft zwischen Atomkern und Elektron sein, damit eine stabile
Kreisbewegung zu Stande kommt? Was ist die Ursache dieser Kraft?
2. Rotationsenergie
Von einer schiefen Ebene mit der Länge l = 1,2 m und einem Neigungswinkel von 30° rollen eine Kugel,
ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder der gleichen Masse (m = 300 g) und des gleichen Durchmessers
(d = 5 cm) hinunter. Reibungskräfte seien vernachlässigt.
a) Welches Trägheitsmoment hat der Hohlzylinder, wenn Sie von einer sehr dünnen Wand ausgehen?
Die übrigen Trägkeitsmomente sind J(Vollzylinder) = 1/2 mr2 und J(Kugel) = 2/5 mr2.
b) Wie groß sind die kinetischen Gesamtenergien, also die Summen aus Rotations- und Translationsenergien, für diese Körper und welche Geschwindigkeiten erreichen sie am unteren Ende der Bahn?
Leiten Sie zunächst allgemeine Ausdrücke her und bestimmen Sie dann die Zahlenwerte.
c) Wie verteilt sich die kinetische Gesamtenergie jeweils auf Translations- und Rotationsenergie? Geben
Sie für alle drei Körper die Zahlenwerte an. Erläutern Sie die Unterschiede in den Anteilen beider
Energieformen.
3. Reibung
a) Welche maximalen Sinkgeschwindigkeiten v erreichen
- eine Kugel aus Stahl (Dichte ρ = 7900 kg/m3) und
- eine Kugel aus Aluminium (Dichte ρ = 2700 kg/m3)
mit Durchmessern d = 1 cm in Wasser bei einer Temperatur T = 10°C und Viskosität η = 1,3 ∙ 10-3 Pa s?
Gehen Sie von laminaren Strömungsverhältnissen und der Gültigkeit des Stokesschen Gesetzes aus.
b) Nun fallen die Kugeln aus Teil (a) in Luft. Welche maximalen Fallgeschwindigkeiten erreichen sie dort,
wenn Sie annehmen, dass die allgemeine Beziehung für den Strömungswiderstand mit cW = 0,45 gilt?
Leiten Sie zunächst aus einer Betrachtung der Kräfte eine allgemeine Formel für die maximale
Fallgeschwindigkeit her; die Auftriebskraft in Luft können Sie dabei vernachlässigen.
c) Erläutern Sie, wieso bei höheren Geschwindigkeiten, z.B. bei Hochgeschwindigkeitszügen, der Luftwiderstand bzw. der cW-Wert des Fahrzeugs einen bedeutenden Einfluss auf die Leistung hat, die man
zum Antrieb benötigt.
Lösungen zu Übungsaufgaben E2 Mechanik: Kreisbewegung und Reibung
1. Größen bei Kreisbewegungen
a) Berechnen Sie die Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten an der Spitze des Sekunden-, Minuten- und
Stundenzeigers einer Uhr. Der Sekunden- und Minutenzeiger sind jeweils r = 20 cm lang, der Stundenzeiger ist nur r = 12 cm lang.
b) Wie groß sind die folgenden Radialbeschleunigungen? Geben Sie die Resultate als Vielfache der
mittleren Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s² an.
- Wäschetrommel mit r = 30 cm bei 3000 U/min.
- Erde am Äquator und bei 50° nördlicher Breite.
- Radkranz eines ICE (d = 875 mm) bei 300 km/h Reisegeschwindigkeit.
c) Im Bohrschen Atommodell kreist ein Elektron (m = 9,1 ∙ 10-31 kg) auf der innersten Bahn des
Wasserstoffatoms um den Atomkern mit einem Radius r = 5 ∙ 10-11 m und einer Geschwindigkeit
v = 2,2 ∙ 106 m/s. Wie groß muss die Kraft zwischen Atomkern und Elektron sein, damit eine stabile
Kreisbewegung zu Stande kommt? Was ist die Ursache dieser Kraft?
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2. Rotationsenergie
Von einer schiefen Ebene mit der Länge l = 1,2 m und einem Neigungswinkel von 30° rollen eine Kugel,
ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder der gleichen Masse (m = 300 g) und des gleichen Durchmessers
(d = 5 cm) hinunter. Reibungskräfte seien vernachlässigt.
a) Welches Trägheitsmoment hat der Hohlzylinder, wenn Sie von einer sehr dünnen Wand ausgehen?
Die übrigen Trägkeitsmomente sind J(Vollzylinder) = 1/2 mr2 und J(Kugel) = 2/5 mr2.
b) Wie groß sind die kinetischen Gesamtenergien, also die Summen aus Rotations- und Translationsenergien, für diese Körper und welche Geschwindigkeiten erreichen sie am unteren Ende der Bahn?
Leiten Sie zunächst allgemeine Ausdrücke her und bestimmen Sie dann die Zahlenwerte.
c) Wie verteilt sich die kinetische Gesamtenergie jeweils auf Translations- und Rotationsenergie? Geben
Sie für alle drei Körper die Zahlenwerte an. Erläutern Sie die Unterschiede in den Anteilen beider
Energieformen.
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3. Reibung
a) Welche maximalen Sinkgeschwindigkeiten v erreichen
- eine Kugel aus Stahl (Dichte ρ = 7900 kg/m3) und
- eine Kugel aus Aluminium (Dichte ρ = 2700 kg/m3)
mit Durchmessern d = 10 cm in Wasser bei einer Temperatur T = 10°C und Viskosität η = 1,3 ∙ 10-3 Pa s?
Gehen Sie von laminaren Strömungsverhältnissen und der Gültigkeit des Stokesschen Gesetzes aus.
b) Nun fallen die Kugeln aus Teil (a) in Luft. Welche maximalen Fallgeschwindigkeiten erreichen sie dort,
wenn Sie annehmen, dass die allgemeine Beziehung für den Strömungswiderstand mit cW = 0,45 gilt?
Leiten Sie zunächst aus einer Betrachtung der Kräfte eine allgemeine Formel für die maximale
Fallgeschwindigkeit her; die Auftriebskraft in Luft können Sie dabei vernachlässigen.
3
43,8
25,6
c) Erläutern Sie, wieso bei höheren Geschwindigkeiten, z.B. bei Hochgeschwindigkeitszügen, der
Luftwiderstand bzw. der cW-Wert des Fahrzeugs einen bedeutenden Einfluss auf die Leistung hat, die
man zum Antrieb benötigt.
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