Magnetische Linsen - Informatik @ Uni Frankfurt

Physikalisches Praktikum
Jens Friedrich, Sven Förster
16. Januar 2004
1
Versuch Magnetische Linsen
1
Aufgabenstellung
1. Messen Sie:
(a) Die Homogenität (Konstanz) des Magnetfeldes in der Mittelebene
zwischen den beiden Ringen Bz (r, z = 0)
(b) Die Homogenität (Konstanz) des Magnetfeldes auf der Zylinderachse Bz (z, r = 0).
(c) Die Abweichung von der Homogenität, wenn Sie den Abstand d
jeweils etwas kleiner und etwas größer wählen (etwa 25%).
2. Beweisen Sie die Homogenität des Helmhotzfeldes theoretisch und zeigen Sie dabei, daß sich die Formel für das Helmholtzfeld (2) mit Hilfe
des Biot-Savart‘schen Gesetzes herleiten läßt.
3. Nehmen Sie den axialen Verlauf Bz (z, r = 0) der Elektronenlinse mit
der Hallsonde (Längssonde) auf.
4. Nehmen Sie den radialen Verlauf Bz (r, z = 0) mit der Quersonde auf.
Vergleichen Sie beide Messungen an der Stelle r = 0 und z = 0 (Eichung!).
5. Berechnen Sie die Brennweite der Linse mit der Formel für die Brennweite (15) auf Grund deiner Planimetrierung der Kurve Bz2 (z, r = 0)
bei dem Erregungsstrom 1A und der Elekronenenergie 50keV .
6. Muß man hier relativistisch rechnen?
7. Ist das Resultat von 5. mit der Formel für die Brennweite (15) verträglich?
2
2.1
Physikalischer Hintergrund
Helmholtzspulen
Jeder vom Strom I durchflossene Leiter ist von einem magnetischen Feld
gemäß der ”Rechte-Hand-Regel” umgeben. Dabei läßt sich die magnetische
~ im Abstand ~r von einem beliebig geformten drahtähnlichen
Feldstärke H
Leiterstück d~s mittels des Biot-Savart‘schen Gesetztes berechnen:
~ =I
dH
d~s × ~r
4π~r3
(1)
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2
Eine von einem Strom I durchflossene ringförmige Leiterschleife erzeugt nun
~ gemäß obiger Regel gleich
ein magnetisches Feld, dessen Magnetfeldvektor B
einer Rechtsschraube parallel zur Mittelachse der Leiterschleife gerichtet ist.
Faßt man nun mehrere Leiterschleifen dicht beieinander gewickelt zusammen, so erhält man eine Spule. Das Feld einer Spule ist aber im allgemeinen
nicht homogen.
Mittels eines Tricks lassen sich jedoch auch mit Spulen mit annähernd homogenen Innenfeldern konstruieren. Dazu werden zwei gleiche Spulen mit
demselben Radius R und der Windungszahl N koaxial im Abstand d zueinander aufgestellt. Die Einzelfelder der beiden Spulen überlagern sich und
erzeugen ein Magnetfeld, das sich Helmholtzfeld nennt. Dementsprechend
heißt die Spulenanordnung Helmholtzspule.
Zur Berechnung der magnetischen Feldstärke im Spezialfall d = R war folgende Formel gegeben:
R2 N I
hz (z = 0, r = 0) = 2
5 2 3
R
4
A
m
(2)
Diese läßt sich auf folgendem Weg herleiten (Aufgabe 2): Da in unserer Anordnung d~s stets senkrecht auf ~r steht, kann das Biot-Savart‘schen Gesetzt
(Gleichung (1)) betragsmäßig verwendet werden. Anschließend kann über
alle Teilstücke d~s integriert werden:
dH = I
ds · r
4πr3
(3)
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⇒H = I
I
ds · r
4πr3
I
4πr2
=
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3
(4)
I
ds
(5)
Die in z-Richtung gerichtete Komponente von H – also Hz – läßt sich mit
dem Satz von Pythagoras und dem Cosinus des Winkels zwischen H und
Hz berechnen:
p
R
|~r| = R2 + z 2 ⇒ Hz = H √
(6)
2
R + z2
√
Durch Einsetzen in Gleichung (5), dortiges Einsetzen von |~r| = R2 + z 2
und weitere Umformungen ergibt sich:
I
R
ds · √
2
4πr2
R + z2
I
R
√
(2πR − 0)
2
2
2
R + z 4π (R + z 2 )
R2 I
I
Hz =
=
=
(7)
(8)
(9)
3
2 (R2 + z 2 ) 2
Betrachtet man nun zwei Stromringe im Abstand d auf der Achse (r =
0) und legt den Ursprung des Koordinatensystems genau in die Mitte der
beiden Spulen, so erhält man durch Überlagerung der beiden Felder:


1

Hz (z, r = 0) = R2 I  
2

1
R2
+
d
2
+z
+
2 32
1
R2
+
d
2
−z


3 
2 2 
(10)
Die beste Homogenität erziehlt man, wenn Gleichung (10) bei bei z = 0 einen
Flachpunkt hat. Dies ist der Fall für d = R, da für z = R/2 die beiden ersten
Ableitungen von Gleichung (10) Null werden. Überlagert man nun noch die
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Felder der Einzelringe der N Windungen der Einzelspulen miteinander, so
erhält man:


Hz (z = 0, r = 0) =

1 2

R NI 

2

1
R2 +
R
2

1

(11)
+

3
2 2 2 
R
2
R + 2 −0
+0
3
2



1

= 
3 

2
5 2
4R
(12)
Die im Versuch verwendete Helmholtzspule hat einen Radius von R = 15 cm,
N = 100 Wicklungen und soll mit I = 1 A betrieben werden, wobei beide
Einzelspulen in Reihe geschaltet sind.
2.2
Hallsonden
Mit einer Geschwindigkeit ~v bewegte elektrische Ladungen Q erfahren in
~ eine dazu senkrecht wirkende Kraft – die Loreinem magnetischen Feld B
entzkraft:
~
F~L = Q(~v × B)
(13)
Dies macht man sich beim Hall-Effekt zunutze. Eine Hallsonde besteht
aus einem (meist) Halbleiterblättchen, an dessen einen gegenüberliegenden
Flächen eine Betriebsspannung angelegt ist, wodurch ein Strom fließen kann.
Wird nun die Hallsonde in ein magnetisches Feld gebracht, so werden die fließenden Elektronen gemäß der ”Rechten-Hand-Regel” durch die Lorentzkraft
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~
in Richtung der zum B-Feld
und der Stromrichtung orthogonalen Seitenfläche des Plättchens abgedrängt. Hierdurch entsteht ein Elektrisches Feld
an diesen beiden gegenüberliegenden Flächen, welches die Lorentzkraft kompensiert. Über die dadurch anliegende Spannung ist ein direktes Messen des
magnetischen Feldes möglich.
Die im Versuch zu verwendenden Hallsonden liegen als Quer- und Längssonde vor. Sie unterscheiden sich nur in der um 90◦ gedrehten Ausrichtung
des Plättchens, welches sich am Ende eines ein Meter langen, dünnen Metallrohres befinden, auf das ein Zentimetermaß graviert ist. Die Quersonde
eignet sich zum Messen entlang des Radius, die Längssonde entlang der zAchse. Es kann immer nur eine Sonde an den Meßverstärker angeschlossen
werden, der die Feldstärke H in Oersted (Oe) anzeigt. Zur Umrechnung in
das SI-System ist die Formel
1Oe = 0, 796A/cm
(14)
gegeben.
2.3
Elektronenlinsen
Mittels zylindersymmetrischer magnetischer oder elektrischer Felder könnnen mit Elektronenstrahlen optische Abbildungen erzeugt werden, ähnlich
der Linsen in der Lichtoptik. Dabei unterscheidet man elektrische und magnetische Linsen. Bei elektrischen Linsen wird der Elektronenstrom durch
ein elektrisches Feld beeinflußt und somit evtl. beschleunigt oder abgebremst. Ihr Bild ist immer ein reeles, umgedrehtes – wie in der Lichtoptik.
Bei magnetischen Linsen liegt keine Geschwindigkeitsänderung des Elektronenstroms vor. Hierbei tritt allerdings ein anderer Effekt auf: In langen Spulen, die nicht als Linsen bezeichnet werden können, wird das Bild ledigtlich
gedreht und 1:1 abgebildet, weil achsparallele Strahlen aufgrund der weitgehenden Homogenität (bzw. Längsrichtung) des Feldes im Inneren der Spule
achsparallel bleiben. Erst bei Verkürzung der Spule kann man von einer Linse sprechen, weil die Elektronen an den Rändern der Spule im inhomogenen
Feld eine Lorentzkraft erfahren, die ihnen eine azimutale Geschwindigkeitskommmponente aufzwingt. Diese wiederumerzeugt eine Lorentzkraft, die sie
radial zur Achse hin ablenkt.
Als ”kurze Linsen” bezeichnet man solche Linsen, bei denen die Brennweite
groß gegenüber der Linsenlänge ist. Mit Hilfe der Busch‘schen Brennweitenformel kann näherungsweise die Brennweite berechnet werden:
1
1
=
f
4
e
mv
2 Z
·
Bz2 (z) dz
(15)
Die Elementarladung ist mit e bezeichnet, m ist die Masse eines Elektrons
und v seine Geschwindigkeit.
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Elektronenlinsen werden z.B. im Elektronenmikroskop eingesetzt. Sie haben gegenüber optischen Linsen den Vorteil, daß man ihre Eigenschaften
wie die Brennweite leicht durch verändern des Magnetfelds steuern kann.
Ein verschieben der Apparatur ist zu diesem Zweck nicht nötig. Sehr kurze Brennweiten erreicht man durch große magnetische Felder, die man in
eisengekapselten Linsen mit einem schmalen Schlitz erzeugt.
3
3.1
Versuchsdurchführung
Helmholtzfeld
Die beiden Einzelspulen der Helmholtzspule befinden sich einzeln in z-Richtung
verschiebbar auf einer Kunststoffhalterung. Im Abstand von 40 cm parallel
davon befindet sich der Halter für die Hallsondenstäbe. Dieser kann auch
auf den anderen Halter auf der z-Achse montiert werden. Die Hallsonden
können in ihrem Halter befindlich entlang der zu messenden Achse verschoben werden, wobei die relative Verschiebung zentimetergenau abgelesen
werden kann. Außerdem sind sie drehbar gelagert, was die Ermittlung einer
optimalen Lage der Quersonde ermöglicht, indem man diese solange (auf
demselben Punkt im Feld) dreht, bis sich am Meßverstärker ein Maximum
des Feldes ergibt. Die Längssonde braucht so nicht ausgerichtet zu werden,
da das Feld rotationssymmetrisch ist.
Zunächst müssen die beiden Sonden mittels eines Kalibriermagneten eingestellt werden. Dieser ist aber leider defekt, so daß wir die Kalibrierung auf
Anweisung am ”Hintergrundmagnetfeld” im Raum vornahmen. Dazu wurde
die Längssonde (ohne Spulenstrom) in ihre Position bei z = 0 gebracht und
am Meßverstärker abgenullt. Danach wurde die Quersonde an dieselbe Stelle
gebracht und eine Abweichung vom Nullwert von etwa +0, 9 Oe gemessen.
Wir hätten vor jedem Wechsel der Sonden einen Nullabgleich durchführen
sollen, was wir aber leider nicht gemacht haben. Demnach sind alle Messungen der Aufgabe 1 um obigen Betrag verschoben – die Sonden arbeiten
linear mit dem Strom bzw. dem B-Feld.
Eine genauere Kalibrierung wurde erst vor Aufgabe 3 durchgeführt: Man
berechnet mit der Gleichung (2) zunächst Hz (z = 0, r = 0) in [A/cm] und
skaliert dann mit (14) nach [Oe] (siehe Meßprotokoll: Hz (z = 0, r = 0) ≈
5, 99 Oe. Danach nullt man nacheinander jeweils wie oben beschrieben bei
ausgeschaltetem Strom jede Sonde ab und mißt dann die Feldstärke bei
eingeschaltetem Strom. Hieraus ergibt sich, daß beide Sonden etwa 10 %
unterhalb des errechneten Werts messen. Bei dieser Kalibrierungsmethode
wären unsere Meßwerte bei beiden Sonden bei z = 0 gleich groß gewesen.
Wie schon gesagt ist hierbei jedoch eine Verschiebung zu erkennen:
Für Aufgabe 1a wird nun der Abstand auf d = 15 cm eingestellt und die
Quersonde so positioniert, daß ein Messen genau auf der Mittelebene zwischen den beiden Spulen möglich ist. Zu Beginn der Messung befand sich
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die Sonde bei r = 0. Dann wurde sie schrittweise entlang r in eine Richtung
geschoben und der jeweilige Wert am Meßgerät abgelesen. Danach wurde die
Messung von der Mitte der Spule aus in die andere Richung von r wiederholt.
Zu erkennen sind die jeweiligen Messungen an den Symbolen ⊕ und im
Meßprotokoll. Dieses Verfahren haben wir bei allen Messung durchgeführt,
da so ein zeitliches Wandern des Feldes oder der Meßwerte bei erneutem
Ansetzen im Nullpunkt erkannt worden wäre; uns ist jedoch nichts derartiges aufgefallen. Man erkennt deutlich, daß das Feld innerhalb der ersten 2/3
von r recht homogen ist, jedoch im Bereich der Spulen (r = R) oder gar im
Außenbereich stark abfällt.
In Aufgabe 1b wird bei unverändertem Abstand mit der Längssonde entlang der z-Achse gemessen. Die Messung erfolgte wie bei Aufgabe 1a in
beide Richtungen. Hierbei ist eine große Konstanz innerhalb der gesamten
Zylinderachse feststellbar.
Für Aufgabe 1c muß der Abstand zunächst auf d = 18, 75 cm, dann auf
d = 11, 25 cm gebracht werden und jeweils die Messungen der Aufgaben 1a
und 1b durchgeführt werden. Zu erkennen ist, daß bei großem Abstand der
Einfluß der Felder der Einzelspulen sichtbar wird, da die Meßwerte weiter
außen höher sind als bei z = 0. Bei Kleinem Abstand ist zu sehen, daß die
beiden Spulenfelder zusammenschmelzen und sich überlagern. Die Werte
nehmen nach außen hin stark ab.
3.2
Elektronenlinse
Die magnetische Elekronenlinse besteht aus einem Helmholtzspulenpaar mit
einem Radius von R = 14 cm; der Abstand ist ebenso groß. Drumherum befindet sich ein Eisenkern, der jedoch schon so stark magnetisiert ist, daß
auch ohne anlegen eines Spulenstroms das Metalllineal mit großer Kraft
angezogen wurde; wir legten dennoch eine Spannung von I = 1 A an. Welchen Einfluß die Polung auf die Messung hatte, wissen wir nicht. Entlang
des Radius und der z-Achse sind Einschubhalterungen für die Hallsonden
montiert.
In den Aufgaben 3 und 4 wurden die Messungen wie bekannt entlang der
beiden Achsen durchgeführt, jedoch mit vorheriger Kalibrierung. Die beiden
Messungen an den Stellen r = 0 und d = 0 sind beide gleich groß bei 1100 Oe,
was aber im Rahmen der Meßungenauigkeit keine große Präzision darstellt,
da der größte Meßbereich gewählt werden mußte. Nach außen hin nimmt
das Feld bei Achsialer Messung rapide ab. Radial wird es nach außen hin
zunächst größer als in der Mitte, fällt jedoch auch hier dann stark ab.
Aufgabe 5 ist auf den beigefügten Blättern mit Maple berechnet. Zunächst
wurden die ermittelten Meßwerte von Oe nach T umgerechnet:
1
A
m
= 4π · 10−3 Oe
(16)
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Hµ0 = B wobei [H] = 1
−4
⇒ 10
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A
und [B] = 1 T
m
8
(17)
µ0 = 4π · 10−7
(18)
Oe = 1 T
(19)
Danach wurde auf den Meßwerten im Bereich von −3 bis 3 mit Maple eine Splineinterpolation durchgeführt, über das Quadrat der approximierten
Funktion integriert und anschließend in die Formel (15) zur Brennweitenberechnung eingesetzt. Es ergibt sich eine Brennweite von f ≈ 1, 3 cm.
Die Geschwindigkeit der Elektronen läßt sich aus dem Energieerhaltungssatz
berechnen:
eU
=
⇔v =
1
mv 2
2
s
(20)
2
(21)
eU
m
s
50 · 103 V · 1, 6021 · 10−19 C
9, 1091 · 10−31 kg
m
≈ 1, 326 · 108
s
=
2
(22)
(23)
Dies entspricht etwa 44 % der Lichtgeschwindigkeit. Da man aber erst ab
etwa 2/3 der Lichtgeschwindigkeit relativistisch rechnen sollte, ist dies in
diesem Versuch nicht nötig.
Zu Aufgabe 7: Das Resultat von Aufgabe 6 ist natürlich nicht mit der Formel (15) verträglich, da die Brennweite absolut nicht groß gegenüber den
Linsendimensionen ist.