Wahrscheinlichkeitsrechnung (W2) - Arbeitsgruppe Prof. Dr. Ludger

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Prof. Dr. L. Santen
Saarbrücken, den 29.09.2015
Übungen zum mathematischen Vorkurs für Studienanfänger
Blatt 2 zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe 1 (Kombinatorik)
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem Pferderennen mit 12 Teilnehmern für den Zieleinlauf der
ersten 3 Pferde, wenn deren Reihenfolge
i) eine Rolle spielt,
ii) keine Rolle spielt?
b) Wie viele Ortskennzeichen auf Autoschildern können mit 1,2 oder 3 Buchstaben vergeben werden,
wenn jeweils 24 Buchstaben zur Verfügung stehen?
c) Beim Zahlenlotto 6 aus 49 werden 6 Gewinnzahlen aus einer Trommel mit 49 Kugeln gezogen, anschließend aus den verbleibenden Kugeln noch 1 Zusatzzahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein
Spieler
i) 6 richtige Gewinnzahlen,
ii) 5 richtige Gewinnzahlen,
iii) 4 richtige Gewinnzahlen mit Zusatzzahl?
iv) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres im Lotto 6 Richtige aus 49 Möglichkeiten zu gewinnen, wenn jede Woche zwei mal getippt wird?
Aufgabe 2 (Binomialverteilung)
Aus einem Skatkartenspiel mit den Farben Pik, Kreuz, Herz und Karo wird 8-mal eine Karte gezogen und
wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
a) 5-mal Karo,
b) höchstens 6-mal Herz,
c) nur Pik oder Kreuz,
d) entweder nur Pik oder nur Kreuz,
e) 2-mal Herz und 6-mal Karo zu ziehen?
Aufgabe 3 (Autofahrt)
Während der Fahrt eines Autos ändert sich dessen Geschwindigkeit kontinuierlich. Mit einem empfindlichen
Messgerät wurden die Geschwindigkeiten eines Autos über eine Strecke in sehr kleinen Zeitintervallen (in
ms−1 ) gemessen. Aus diesen Messungen wurden dann die relativen Häufigkeiten für die Geschwindigkeiten
bestimmt. Durch die Approximation dieser relativen Häufigkeiten ergab sich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der stetigen Zufallsvariable der Geschwindigkeiten folgende Verteilungsfunktion:


für v < 0
0,
1
1
3
f (v) = 1024 4v − 256 v , für 0 ≤ v ≤ 32


0,
für v > 32 .
a) Zeigen und begründen Sie, dass die Funktion f (v) eine Verteilungsfunktion ist.
b) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos.
c) Berechnen Sie die Standardabweichung der Geschwindigkeitsverteilung.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto Geschwindigkeiten zwischen v = 15 und v = 20
besitzt?
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto Geschwindigkeiten größer als v = 12, 6
besitzt.
Aufgabe 4 (Gezinkter Würfel)
Bei einem gezinkten Würfel fällt die Zahl 6 3-mal so häufig wie die 1 und die 5 doppelt so häufig wie die 2.
Zwei gegenüberliegende Zahlen haben zusammen stets die Wahrscheinlichkeit von 13 .
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die gewürfelten Augenzahlen an und berechnen Sie
den Erwartungswert.
b) Bei einem Spiel wird vereinbart, dass Spieler A von Spieler B 1,30 Euro erhält, wenn eine 4,5 oder 6
gewürfelt wird. Bei den Zahlen 1,2 und 3 soll A an B zahlen. Wie groß muss dieser Betrag sein, damit
das Spiel fair ist?