Beweisen mit Vektoren - Schulbuchzentrum Online
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330 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen Beweisen mithilfe von Vektoren In den vorherigen Abschnitten sind Vektoren dazu benutzt worden, Geraden und Ebenen im Raum zu be­ schreiben und ihre Lage zueinander zu untersuchen. Aber auch bei Untersuchungen von Eigenschaften geometrischer Figuren erweisen sich Vektoren als nütz­ liche Hilfsmittel. Mithilfe einer vektoriellen Beschreibung eines Problems werden geometrische Überle­ gungen in algebraische übersetzt. Damit stehen neue Methoden zur Lösung des Problems zur Verfügung. 1. Beweisen mithilfe von Linearkombinationen Einführung Schwerpunkt eines Dreiecks Eine Skulptur hat die Form eines Dreiecks und soll bei einer Kunst­ ausstellung so unter die Decke gehängt werden, dass die Dreiecksflä­ che möglichst parallel zum Fußboden hängt, damit man das Dreieck von unten betrachten kann. Um den Punkt S der Aufhängung zu bestimmen, zerlegt man gedanklich das Dreieck in schmale Strei­ fen, die parallel zu einer Seite des Dreiecks verlaufen. Jeder dieser Streifen hängt im Gleichgewicht, wenn er in seinem Mittelpunkt aufgehängt wird. Die gleiche Überlegung gilt für Streifen, die parallel zu einer anderen Dreieckseite ver­ laufen. Der gesuchte Punkt S ist also der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck, der sogenannte Schwerpunkt. Aufgabe 1 Gegeben ist ein Dreieck ABC. Bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks. LösungAus der Einführung ergibt sich, dass der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck bestimmt werden muss. Dazu gehen wir in vier Schritten vor. (1) Planskizze (2) Einführen von Vektoren Ein Dreieck wird durch zwei Vektoren festgelegt, #####$ AC und AB . z. B. durch Vektoren #####$ (3) Beschreiben der Seitenhalbierenden sa durch A und sb durch B mithilfe der Vektoren sa = AMa Dabei gilt: Gerade durch A und Ma sb = BMb #####$ #####$ ######$ b, s ∈ R sb: OX = OB + s· BM ######$ b = #####$ BM BA + 1} · #####$ AC 2 #####$ 1} ·AC #####$ = – AB + ######$ ########$a a = #####$ AM AB + BM #####$ 1} · _ AC – #####$ + #####$ AB = AB + 2 · _ #####$ AB + #####$ AC + = 1} 2 Also: #####$ #####$ ######$ a, r ∈ R sa: OX = OA + r· AM 2 #####$ · #####$ AB AC – = 1} 2 1· #####$ #####$ #####$ +, r ∈ R #####$ sa: OX = OA + r· AC } _ AB + 2 #####$ #####$ #####$ #####$ sb: OX = OB + s· 2· AC – AB +, s ∈ R _ 1} 331 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren (4) Schnitt der Geraden sa und sb Um den Schnittpunkt zu bestimmen, werden die beiden rechten Seiten der Parameterdarstellungen gleich­ gesetzt: 1 ·_ #####$ #####$ #####$ +. OA + r· #####$ AC + = #####$ OB + s· ·#####$ AB AC – } AB + _ 1} 2 2 Daraus ergibt sich: 1· #####$ OB – #####$ OA = r· #####$ AB + AC + – s·_ 1} · #####$ #####$ AC – AB + } _ #####$ 2 2 1 ·_ AB + #####$ + – s·_ 1} #####$ #####$ #####$ + AB = r· AC 2· AC – AB } #####$ 2 s #####$ r – s ·AB = _ } 2r – } ·AC Also: _ 1 – } + #####$ 2 2+ #####$ #####$ Da die Vektoren AB und AC das Dreieck aufspannen, haben sie nicht dieselbe Richtung und können deshalb keine Vielfachen voneinander sein. Die Vektorgleichung ist also nur dann erfüllt, wenn beide Faktoren r – s und r – s gleich null sind. } _ } _ 1 – } + 2 2 2+ | r – s = 0 1 – } | 2r s mit der Lösung _ s = 2} , r = 2} . Dies führt auf das lineare Gleichungssystem 3 3+ } – } = 0 2 2 Der Schnittpunkt S der Geraden sa und sb teilt die Strecke AMa im Verhältnis 2 : 1. (5) Ergebnis Ebenso kann man zeigen, dass der Schnittpunkt T der Geraden sa = AMa und sc = CMc die Strecke } AMa im Verhältnis 2 : 1 teilt. Es gilt also: S = T, was bedeutet, dass sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt S, dem Schwerpunkt der Dreiecksfläche, schneiden. Weiterführende 2 Methode des geschlossenen Vektorzuges Aufgaben Max hat die Aufgabe 1 gelöst, indem er den geschlossenen Vektorzug #####$ SM #######$b + ########$ $ durch die Vektoren #####$ M #o AC AB ausdrückt (siehe Bild auf und #####$ AS + bA = S. 328). Erläutern Sie sein Vorgehen. Führen Sie die Rechnung mit dieser Idee durch. 3 Formel zur Bestimmung des Schwer­punkts eines Dreiecks aus den ­Koordinaten der Eckpunkte Zeigen Sie, dass für den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks #####$ OA + #####$ OB + #####$ OC ). ABC gilt: OS = 1} ·(#####$ 3 Information(1) Linear unabhängige Vektoren im Raum Wenn zwei Vektoren nicht parallel zueinander sind, dann ist keiner der beiden ein Vielfaches (eine Linearkombination) des anderen. Zwei nicht zueinander $ spannen ein Dreieck auf; aus ihnen lässt sich keine #$ und #b parallele Vektoren a geschlossene Vektorkette bilden. #b = $ o # $ ist also nur für r = s = 0 erfüllt. Die Gleichung r·#$a + s· Diese Überlegungen lassen sich auf einen Vektorzug aus drei Vektoren im Raum $ und #c $ im Raum, von denen keiner eine Linear­ übertragen: Drei Vektoren #$a, #b kombination der beiden anderen ist, spannen einen Tetraeder auf. Aus diesen drei Vektoren lässt sich keine geschlossenen Vektorkette bilden. #b + t· $ #c $ = #o $ ist also nur für r = s = t = 0 erfüllt. Die Gleichung r·#$a + s· Man sagt, die Vektoren sind linear unabhängig voneinander. Geschlossener Vektorzug: geschlossene Kette von Pfeilen 332 Information 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen (2)Strategie beim Beweisen mit Vektoren Nach den Lösungen der Aufgaben 1 bis 3 kann man folgende Strategie zur Bestimmung von Längenverhält­ nissen in geometrischen Situationen festhalten: (1)Festlegen des geometrischen Sachverhaltes durch Ortsvektoren und voneinander linear unabhängige Vektoren #$a , #b $, #c $ … (2)Aufstellen einer Schnittgleichung bzw. Suchen eines geeigneten geschlossenen Vektorzuges (3)Die in der Schnittgleichung bzw. im geschlossenen Vektorzug vorkommenden Vektoren als Linearkom­ $ … darstellen binationen der Vektoren #$a , #b $, #c (4)Linearkombinationen in die Schnittgleichung bzw. den Vektorzug einsetzen und umformen in # $ #$ #o $ Term1·a + Term 2·b + … = $, … voneinander linear unabhängig sind, muss gelten: Da die Vektoren #$a, #b $, #c Term1 = 0, Term2 = 0, … (5)Lösen des linearen Gleichungssystems | | Term 1 = 0 Term 2 = 0 … Übungsaufgaben 3 Beweisen Sie mithilfe von Vektoren: Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich die Diagonalen halbieren. 4 Gegeben ist ein Viereck ABCD. Mit U, V, W, X werden die Mittel­ punkte der Viereckseiten a, b, c, d bezeichnet. a) Dann gilt: Das Viereck UVWX ist ein Parallelogramm. Pierre Varignon (1654 – 1722) französischer Mathe­ matiker b) Satz von Varignon: Die Geraden UW und VX schneiden sich in einem Punkt S. #####$ #####$ OA + OB + #####$ OC + #####$ OD +. Es gilt: OS = 1} ·_ #####$ 4 5 Ist S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, so gilt: #####$ #####$ ####$ SA + SC = #o$. SB + 6 Bei einem Parallelogramm wird ein Eckpunkt mit den Seitenmitten zweier nicht anliegender Seiten verbunden. a) Zeigen Sie: Durch die zwei Verbindungsstrecken wird eine Diagonale des Parallelogramms in drei gleich lange Teilstrecken zerlegt. b) Vergleichen Sie den vektoriellen mit dem elementargeometrischen Beweis. Spat: Körper mit sechs Seitenflächen, wobei gegenüberliegende Sei­ tenflächen zueinander kongruente Parallelo­ gramme sind. 7 Gegeben ist ein Spat. a) Zeigen Sie, dass sich die Raumdiagonalen in einem Spat in einem Punkt schneiden. b) Beweisen Sie: Die Ebene durch die Mittelpunkte benachbarter Kanten wird von einer Raumdiagonalen im Verhältnis 6 : 1 geteilt. 8 Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF. BD ? In welchem Verhältnis teilt S die Strecken } AC und } 9 Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD. Spiegelt man seinen Mittelpunkt an den Seiten a, b, c und d, so erhält man ein Viereck EFGH. Zeigen Sie: Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm. 333 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren 10 Satz von G. Thomsen BC . Zeichnet man die Parallele zu } AC durch P1, so Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein Punkt P1 auf } } schneidet diese AB im Punkt P2. Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man die Punkte P2, …, P7. Zeigen Sie: P1, P2, …, P7 bilden einen geschlossenen Streckenzug. Gerhard Thomsen (1899 – 1934) studierte Mathematik in Heidelberg und Hamburg, von 1929 bis 1934 war er Professor in Rostock. Thomsen forschte in der Geometrie und der Gruppentheorie. Nach der Machtübernahme Hitlers hielt Thomsen einen Vortrag über die Gefahr der Zurückdrängung der exakten Naturwissenschaften an Schulen und Hochschulen, dessen Text der Generalstaatsanwalt anforderte. Bald darauf wurde Thomsen vom Zug überfahren. Die Gerichtsakten über die Hintergründe sind nicht auffindbar. 11 Die drei voneinander linear unabhängigen Vektoren #$a , #b $, #c $ spannen eine Pyramide auf. Die Grundfläche dieser Pyramide ist das Parallelogramm OADB mit dem Schnittpunkt M der Diagonalen. E ist der Mittelpunkt von } OB und S der Schwerpunkt des Dreiecks ADC. a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden ES und MC in einem Punkt T schneiden. ####$ und MT #####$ ET = v·####$ TC . b) Berechnen Sie u, v mit ####$ = u·TS 12 Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken Q1, Q2, Q3 und Q4. Si ist der Schwerpunkt der Seitenfläche, die dem Eckpunkt Qi gegen­ überliegt, i = 1, 2, 3, 4. a) Zeigen Sie, dass alle Geraden QiSi sich in einem Punkt S schnei­ den. #######$ iSi = r· S#####$ b) Bestimmen Sie Zahlen ri mit Q iS. 1 #####$ #######$ #######$ #######$ 1 + OQ2 + OQ3 + #######$ OQ4 +. c)Zeigen Sie: OS = } ·_ OQ 4 Menalaos von Alexan­dria lebte um 100 n. Chr. in Rom. 13 Satz von Menelaos Gegeben ist ein Dreieck ABC. Die Gerade s schneidet die Geraden BC, CA und AB in den Punkten A9, B9 bzw. C9, die von den Punkten A, B, C verschieden sind. Dann gibt es Zahlen x, y, z mit #######$ #######$ #######$ #######$ #######$ AC9 = x· C9B , BA9 = y· A9C und #######$ CB9 = z· B9A . Zeigen Sie: x·y·z = – 1. Giovanni Ceva (1647 – 1734) italieni­ scher Mathematiker 14 Satz von Ceva Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein Punkt Z im Inneren des Drei­ ecks. Die Verbindungsgeraden von Z mit den Eckpunkten des Dreiecks AC , } AB in den Punkten U, V, W. schneiden die Dreieckseiten } BC , } Es gibt Zahlen u, v, w mit: #####$ und ####$ ######$ ######$, BU = u· ####$. #####$ AW = w· WB UC CV = v· VA Zeigen Sie: u·v·w = 1. 334 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen 2. Beweisen mithilfe von Skalarprodukten Wir haben gesehen, dass das Skalarprodukt ein geeignetes Instrument zum Berechnen von Winkeln sowie von Längen, Abständen und Flächeninhalten ist. Das Skalarprodukt bietet sich daher immer dann als Hilfs­ mittel in einem Beweis an, wenn entweder eine Aussage über eine Orthogonalitätsbeziehung oder über Längen- bzw. Flächenmaße zu beweisen ist. Aufgabe 1 Beweis einer Orthogonalitätsbeziehung Gegeben ist ein ebenes Viereck ABCD mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten. Das heißt: Das Viereck ist ein Drachenviereck. Dann gilt: Die Diagonalen sind orthogonal zueinander. Lösung (1)Zunächst fertigen wir eine Planskizze an. AC BD = 0. (2)Es muss gezeigt werden: AC ' BD, also #####$ · #####$ Um das Skalarprodukt verwenden zu können, müssen wir Vektoren einführen. Dabei sind die Vektoren so zu wählen, dass man mit ihrer Hilfe sämtliche benötigten Größen beschreiben kann und zugleich die Voraussetzung leicht verwendet werden kann. $ #####$ AB, #b = $ #####$ BC , #f = BD ein. #####$ Wir führen die Vektoren #$a = $, DC = $ #f $ und e = #####$ #####$ #$a + #####$ #$ AC = #b – #f #b$. Damit gilt AD = #$a + (3)Wir formulieren die Aussage der Aufgabe nun mittels der Vektoren um: $ #f $ | = | a + #$ #f $ |. | = | #####$ DC |, also | #b – AD Voraussetzung: | a #$ | = | #b $ | und | #####$ $ $ also _ #$a + #b $ +·# f = 0. Zu zeigen: e#$ · # f = 0, | | _ #v $ = √ #v $· #v $ $ #f $ | = | #$a + #$ #f $ +. $ #f $ +·_ #b – $ #f $ + = _ #$a + #f $ | folgt: _ #b – #f $ +·_ a + (4)Aus | #b – $ #f $· # f = $ a#$· #$a + 2 $ #f $· # f $. $ #b$· # f + a#$· #f + Durch Ausmultiplizieren erhält man: #b$· #b – 2 #$ #b$· #b $ und damit folgt: Nach Voraussetzung gilt: #$a · a = $, also _ #$a + $ was zu zeigen war. #b $ +·# f = 0, 0 = 2 a#$· #f $ + 2 #b$· # f Weiterführende 2 Beweis bei anderer Wahl der Vektoren $ #####$ #####$ verwen­ #$ #####$ $ = CD BC und #c AufgabeFühren Sie den Beweis von Aufgabe 1 durch, indem Sie die Vektoren a = AB, #b = den. Aufgabe 3 Beweis einer Flächenbeziehung In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächeninhaltsgleich zum Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypotenusenabschnitt (Satz von Euklid). Lösung (1) Planskizze $ #####$ #####$ #$ #####$ $ = AB CB, #b = CA , #c (2)Wir führen die folgenden Vektoren ein: a = # $ # $ # $ #####$ ######$ #$ #$ # $ HC . Dabei gilt: a· b = 0 und c · h = 0, AH sowie h = und q = da die Vektoren orthogonal zueinander sind. (3)Die Flächeninhalte des Rechtecks über der Hypotenuse und des Quadrats über der Kathete erhalten wir als folgende Skalarpro­ dukte: $ ein positives Vielfaches von q#$ ist. Da #c #$ , AQuadrat = | #b $ |· | b #$ | = b# $· b# $. ARechteck = | #c $ |· | q #$ | = #c $· q # $ #c $· q#$. Es ist also zu zeigen: b$· #b = 335 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren $ und q = – $ #b$. $ = #$a – #$ #h – #b (4)Es gilt #c $ #b $ +. #$ #b $ +·_ – #h – #$ _ a – Man erhält dann: #c $· q = Multipliziert man die Klammern teilweise aus, so ergibt sich: # $ #b $ + #c $· q #$ = _ a – #$ #b $ +·_ – h – #$ #$a +·_ h + #$ #b $ + = _ b – # $ # $ $ a#$· #b b· #b – $ = – #c $· h + # $ # $ #$ #b$· b# $. und #c $· h = 0 folgt also: #c $· q = Wegen #$a · b = 0 Information Strategie beim Beweisen mit dem Skalarprodukt Wir fassen unser Vorgehen nochmals zusammen. Beim Beweisen mittels des Skalarprodukts kann man wie folgt vorgehen: (1)Anfertigen einer Planskizze, in der alle notwendigen Punkte und Hilfslinien eingezeichnet sind. (2)Beschreiben des geometrischen Sachverhaltes durch Vektoren. Dabei ist die Wahl der Vektoren belie­ big. Sie ist möglichst so zu treffen, dass alle benötigten Größen durch diese Vektoren ausgedrückt werden können. Durch eine geschickte Wahl der verwendeten Vektoren kann sich die Rechnung verein­ fachen. (3)Gegebenenfalls Umformulieren der Voraussetzung und der Behauptung mittels der eingeführten Vek­ toren und deren Eigenschaften. (4)Versuchen, durch algebraische Umformungen der Beziehungen zwischen den Vektoren die Aussage zu beweisen. Dabei muss man algebraische Gleichungen geometrisch deuten bzw. geometrische Sachver­ halte in algebraische Beziehungen zwischen den Vektoren umformulieren. Weiterführende 4 Beweis einer Längenbeziehung AufgabeGegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC sowie ein Punkt P im Inneren des Dreiecks. Dann ist die Summe der Abstände von P zu den Dreieckseiten unabhängig von der Wahl des Punktes P. Übungsaufgaben 5 Beweisen Sie die folgenden Aussage über Parallelogramme zunächst geometrisch und dann mit Vek­ toren: Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen gleich lang sind. 6 Beweisen Sie mit Vektoren: In einem Parallelogramm ABCD gilt: | AC |2 + | BD |2 = | AB |2 + | BC |2 + | CD |2 + | DA |2 7 Beweisen Sie: In einem Spat ist die Summe der Quadrate über den vier Raumdiagonalen gleich der Summe der Quadrate über den zwölf Kanten. 8 Zeigen Sie: Die Summe aus den Quadraten der Längen der vier Raumdiagonalen eines Spats ist von den Winkeln, welche die Kanten miteinander bilden, unabhängig. 9 Beweisen Sie den Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächen­ inhaltsgleich zum Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten. 10 Beweisen Sie vektoriell den Satz des Thales: Ein Dreieck ABC ist genau dann rechtwinklig mit AB liegt. AC ' BC, wenn C auf einem Kreis mit dem Durchmesser } 336 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen 11 Beweisen Sie die folgenden Aussagen über Dreiecke. In einem Dreieck schneiden sich a) die Höhen; 12 b) die Mittelsenkrechten in einem Punkt. Beweisen Sie: In jedem Dreieck ist der Abstand des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten von einer Seite gleich dem halben Abstand des Höhenschnittpunkts von der Gegenecke der Seite. 13 In einem Dreieck teilt eine Ecktransversale die gegenüberliegende Seite genau dann im Verhältnis der anliegenden Seiten, wenn sie eine Winkelhalbierende ist. 14 AB a) Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C. Über den Seiten } BC und } wird jeweils das Quadrat mit den Mitten E bzw. F errichtet. Verbindet man E und F mit dem Mittelpunkt AC , so erhält man ein Dreieck EFM . M der Seite } b b Zeigen Sie, dass das Dreieck EFMb gleichschenklig und rechtwinklig mit rechtem Winkel bei Mb ist. b)Gilt die Aussage auch, wenn das Dreieck ABC beliebig ist? 15 Zeigen Sie: Spiegelt man den Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks an einer Dreieckseite, so liegt der Bildpunkt auf dem Umkreis des Dreiecks. 16 Beweisen Sie, dass in einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide die Summe der Abstände eines inneren Punkts zu den Seitenflächen konstant ist. 17 a)Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E1, E2 und ein beliebiger Punkt P. Spiegelt man P an E1 und das Bild an E2, so ist der Abstand von P zum Endpunkt doppelt so groß wie der Abstand der Ebenen zueinander. b)Welche Aussage kann man bei sich schneidenden Ebenen machen? 18 Wenn in einem Quader eine Raumdiagonale die Ebene orthogonal schneidet, die durch die drei Eckpunkte des roten Dreiecks wie in der Abbildung links gegeben ist, dann ist der Quader ein Würfel. Beweisen Sie diese Aussage. 19 Wie sind die Kantenlängen eines Quaders zu wählen, damit zwei Raumdiagonalen orthogonal zu­ einander sind? 20 Zeigen Sie: Wenn eine dreiseitige Pyramide zwei Paare zueinander orthogonaler Gegenkanten hat, dann sind auch die beiden restlichen Kanten zueinander orthogonal. 21 Zeigen Sie: Die Höhen in einer dreiseitigen Pyramide schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn es zwei Paare zueinander orthogonaler Gegenkanten gibt. 22 Beweisen Sie: a)In einem Tetraeder gibt es einen Punkt, der von den vier Ecken gleich weit entfernt ist. b)In einem Tetraeder gibt es einen Punkt, der von den vier Seitenflächen den gleichen Abstand hat.
