Vektoralgebra - HTWK Leipzig

Anhänge zur Kinematik
Anhang A1 Vektoralgebra
 
A1.1 Skalarprodukt zweier Vektoren a , b
Es ist definiert durch
 
a b  a b cos ,
(A1/1a)
 ist der Winkel zwischen beiden Vektoren, a, b sind die Beträge beider Vektoren.
Es gelten die Rechengesetze
- kommutatives Gesetz
- distributives Gesetz
- assoziatives Gesetz
 
 
a b  b a,
  
   
a (b  c)  a b  a c,
gilt nicht.
(A1/1b)
(A1/1c)
Das Skalarprodukt hat die folgenden Eigenschaften
 
a b  0 , wenn die Vektoren aufeinander senkrecht stehen (orthogonale Vektoren) oder,
wenn einer von beiden der Nullvektor ist,
- für die Skalarprodukte der Basisvektoren und zweier beliebiger Vektoren gilt
-
 
ei e j  ij ,
 
ab 
 ij 1 für i  j und  ij  0 für i  j,
(A1/1d)
3
a b ,
j1
j
(A1/1e)
j
 

wenn beide in Komponentendarstellung nach der Basis e j gegeben sind.


- multipliziert man einen beliebigen
Vektor a skalar mit einem Einheitsvektor e , so erhält

man die Projektion von a auf die durch e gegebene Richtung (s. Skizze),

  
ap  (a e) e
(A1/1f)


ist die zum Vektor e parallele Komponente von a .
14
 
A1.2 Vektorprodukt zweier Vektoren a , b
  
Es wird geschrieben a  b  c und liefert im Gegensatz zum Skalarprodukt einen Vektor.
Richtung und Betrag des Produktvektors sind definiert durch
    
die Richtung: a, b, c  a  b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
der Betrag:
 
a  b  a b sin ,
(A1/2a)
 ist der Winkel zw. beiden Vektoren
Es gelten die Rechengesetze
kommutatives Gesetz
distributives Gesetz
gilt nicht
 

   
a  (b  c)  a  b  a  c
assoziatives Gesetz
(A1/2b)
gilt nicht
Andie Stelle des hier nicht
geltenden
kommutativen Gesetzes tritt das sogenannte antikom



mutative Gesetz a  b   b  a .
An die Stelle des
nicht geltenden
assoziativen Gesetzes tritt der sogenannte Entwick hier


  
  
lungssatz a  ( b  c )  ( a c ) b  ( a b ) c.
Das Vektorprodukt hat die folgenden Eigenschaften:
 
- a  b  0 , wenn die beiden Vektoren parallel    oder antiparallel    sind oder einer
der Vektoren der Nullvektor ist,
- für die Kreuzprodukte der Basisvektoren gilt



ex  ey  ez (und zyklische Vertauschung),
(A1/2c)
und in der Folge
 



a  b  e x (a y b z  a zb y )  e y (a zb x  a xb z )  e z (a xb y  a y b x ) ,
(A1/2d)
wenn beide Vektoren in Komponenten-Darstellung gegeben gedacht sind.
Andere Darstellungen sind
  
ex ey ez
 
a  b  ax ay az ,
bx by bz


ei  e j 
3

k 1
ijk

 
ek  a  b 
15
3

k 1
ijk

a ib j ek
(A1/2e)
 xyz  1,  zyx   1 und zyklische Vertauschungen; sonst Null,
(A1/2f)
wenn 2 Indizes gleich


 
- an  e  (a  e)
(A1/2g)





ist die zu e senkrechte Komponente von a , also ist a  a p  a n .


 
- an  e  (a  e)
(A1/2g)





ist die zu e senkrechte Komponente von a , also ist a  a p  a n .
16
A1.3 Mehrfach-Produkte von Vektoren
a) das Spatprodukt dreier Vektoren
Man versteht darunter das Skalarprodukt
eines Vektors mit dem Kreuzprodukt zweier ande  
rer Vektoren, also zum Beispiel a (b  c) . Dafür kann man auch schreiben
 

a (b  c) 
ax ay az
bx by bz ,

 
 

 

mit a ( b  c )  c ( a  b )  b ( c  a ) .
(A1/3a)
cx cy cz
Die Vertauschbarkeit von Punkt und Kreuz ist eine für Umformungen sehr nützliche Eigenschaft des Spatprodukts .
b) das doppelte Vektorprodukt, der Entwicklungssatz



  
  
a  (b  c )  ( a c ) b  ( a b) c
(A1/3b)
c) das Skalarprodukt zweier Vektorprodukte
 
 

ac

( a  b ) (c  d )   
bc
 
ad
   
   
   (a c)( b d )  ( a d ) ( b c )
bd
(A1/3c)

  
Mit Hilfe der Komponenten-Darstellungen der Vektoren a, b, c und d lassen sich diese Beziehungen alle leicht beweisen, wenn auch die Rechnungen zum Teil langwierig und kaum
anregend sind.
A1.4 Differentiation und Integration von Vektoren nach einem Parameter
a) die Ableitung eines Vektors nach einem Parameter
3 

r (t)   e j x j (t) sei ein beliebiger Vektor in Komponenten-Darstellung mit festen Basisvekj 1


toren e j und vom Parameter t abhängigen Koordinaten x j ( t ) . Dabei kann r ( t) der Ortsvek
tor zur Zeit t sein, aber r und t können auch eine andere physikalische Bedeutung haben.

Dann versteht man unter der Ableitung des Vektors r ( t ) nach dem Parameter t den Vektor

dr ( t)
dt
3

 d x j ( t)
e
j1
j
dt
,
(A1/4a)
vorausgesetzt, die Ableitungen existieren.



Statt dr / dt schreibt man auch kürzer r , wenn der Parameter t die Zeit bedeutet und r '
17
für alle anderen Bedeutungen des Parameters t (meistens verwendet man dann auch nicht
das Symbol t).
Mit Hilfe der Differentiationsregel (A1/4a) und der Komponenendarstellung der Vektoren
zeigt man, daß die Produktregel der Differentialrechnung auch für die Produkte von Vektoren gilt
d  
a( t) b( t)
dt
 
 
 a ( t) b( t)  a( t) b( t) ,
(A1/4b)





d 
a( t)  b( t)  a ( t)  b( t)  a( t)  b( t) .
dt
(A1/4c)
b) die Integration eines Vektors bezüglich eines Parameters

Unter dem unbestimmten Integral des Vektors r ( t ) versteht man das koordinatenweise
genommene Integral


r ( t) dt 
3

j1

ej

  
3
x j ( t) dt  C j

j1

ej

x j ( t) dt  C,

C
3

e
j1
j
Cj ,
(A1/4d)
bei festen Basisvektoren.
Ist das bestimmte Integral zu berechnen, so hat man nur an alle obigen Integrale die entsprechenden Grenzen für den Parameter t anzufügen.
t2

t1

r ( t) dt 
3

ej
t2
  x ( t) dt
j1
j
t1
3


 e { X (t
j1
j
j
2)
 X j ( t 1 ) },
x j ( t) 
Die Funktionen X j ( t) sind die Stammfunktionen zu den x j ( t ) .
18
d
dt
X j ( t) ,
(A1/4e)
19