1.Übung Mathematik I - FB2

1.Übung Mathematik I
1.) Ist folgende Aussage eine Implikation? ( Begründung!)
(( A ∧ B) -> (¬A ∨ ¬C) ) = > (C ∨ A)
2.
Onkel Dagobert wurde Geld aus seinem Geldspeicher gestohlen. Er hat drei Tatverdächtige: Die
Panzerknacker, Klaas Klever und Gundel Gaukeley. Er überlegt:
a)
Wenn Klaas Klever oder Gundel Gaukeley schuldig ist, so sind die Panzerkacker
unschuldig.
b)
Sind die Panzerknacker unschuldig oder ist Gundel Gaukeley unschuldig, so ist
Klaas Klever schuldig.
c)
Ist Gundel Gaukeley schuldig, so sind auch die Panzerknacker schuldig.
Frage:
3.
Wer war´s?
a) Geben Sie die explizite Darstellung folgender Menge:
A = {y | y=3x2-4 ∧ y<60 ∧ x∈N }
b) Geben Sie die implizite Darstellung folgender Menge:
B = { -6, -2, 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 }
Hinweis: Probieren Sie zuerst die positiven Zahlen.
5.
Es sei R folgende Relation:
R = { (x,y) | y = Gerade ∧ x=Gerade ∧ x steht auf y senkrecht}.
Ist R (i) refelxiv, (ii) symmetrisch, (iii) transitiv, (iv) Äquivalenzrelation?
6.
Von einer Menge Aufsichtsratsmitgliedern gehören 17 der Gesellschaft A, 14 der Gesellschaft B und
13 der Gesellschaft C an. Nur Gesellschaft B gehört 1 Mitglied an, zu A und B, aber nicht C gehören
7, zu A und C aber nicht B 4 Mitglieder. Zu A und B gehören insgesamt 8.
Wieviele Mitglieder gehören nur zu A, nur zu C und wieviele sind es insgesamt?
7.
Es sei N={1,2,3,...} die Menge der natürlichen Zahlen und R eine Relation in N×N:=N2, die wie folgt
definiert ist:
R = {(p,q) | p∈N2 ∧ q∈N2 ∧ mit p=(a,b) und q=(c,d) gilt ad=bc } ⊆ N2 ×N2.
Ist R eine Äquivalenzrelation? (Begründung!)
2. Übungen Mathematik I
1.
Zeigen Sie: Jede Äquivalenzrelation R auf eine Menge S legt genau eine Partition von S fest und
umgekehrt.
2.
Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:
3.
a)
Für jede nichtleere Menge M gilt: |M|=n => |P(M)|=2n
( P(M)=Potenzmenge von M ).
b)
Summe der ersten n Quadratzahlen = 1/6 n (n+1) (2n+1)
c)
Summe der ersten n Kubikzahlen = 1/4 n2 (n+1)2
Gegeben seien die komplexen Zahlen
z1 = 2 - 2i
z2 = 6 ( cos 3,5 + i sin 3,5)
z3 = 4 ei 5/6 π
a) Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der Zahlen
b) Stellen Sie die Zahlen als Zeiger im Koordinatensystem dar
c) Bestimmen Sie die konjugiert komplexen Zahlen jeweils in der Darstellung der
Vorgabe
d) Geben Sie für jede Zahl die jeweils anderen Darstellungsformen an.
4.
5.
Gegeben sei die komplexe Zahl z = a + ib. Brechnen Sie jeweils
_
_
_
_
_
z + z,
z - z,
z z,
z:z und z:z
Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen
z1 = 3 - 4i
z2 = 4 + 2i
z3 = 4(cos5 + i sin5)
z4 = 2(cos7 + i sin7)
die Werte von z1 z2, z2/z1, z3 + 4 z4/z3, z1z4 - 3 (z3/z2 + z4)
6.
Berechnen Sie
a) ii
7.
.
b) (-3)(-7)
c)
12i
d) ln(2 - 3i)
Bestimmen Sie alle primitiven 16-ten und 24-ten Einheitswurzeln
3. Übungen Mathematik I
1.
Zeigen Sie: Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V über der Menge der reelen Zahlen ist
genau dann ein Unterraum von V, falls für alle u,v∈U und für alle rellen Zahlen k gilt: u+v∈U und
ku∈U.
2.
Geben Sie n+1 Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraumes an, die jeweils zu n Vektoren linear
unabhängig sind.
3.
Seien a1,...,ak, b1,...,bk Vektoren eines Vektoraumes V über R. Weiter sei Σ siai = 0 genau dann, wenn
Σ sibi = 0. Zeigen Sie, daß dann die Dimension der von {a1,...,ak} und {b1,...,bk} aufgespannten
Unterräume von V gleich ist.
4.
Es sei V=R3 der dreidimensionale Vektorraum über R. Bestimmen Sie die Dimension der von den
Vektoren a1,a2,a3∈V aufgespannten Unterräume, wenn:
a)
3
a1 = 2
1
4
a2 = 3
2
5
a3 = 4
3
b)
0
a1 = a 
b
a 
a2 = 0
c 
b
a3 = c
e
c)
0
a1 = a 
b
-a
a2 =  0 
c
-b
a3 = -c
0
a)
 a 
a1 = a+1
a+2
a+3
a2 = a+4
a+5
a+6
a3 = a+7
a+8
4. Übungen Mathematik I
(a×
× b)×
× c = (ac)b - (bc)a
1.
Zeigen Sie:
2.
Bestiimen Sie das Volumen des Paralleloids, der von den Vektoren
3
a1 =  6 
-2
3.
6
a3 = -3 gebildet wird.
8
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden, die von den Punkten
g1: P(1,2), Q(3,4)
4.
5
a2 = -1
7
("Entwicklungssatz")
g2:R(2,5), S(-2,2)
gebildet werden.
Berechnen Sie die Schnittgerade, die durch die beiden Ebenen E1 und E2 gebildet wird, wobei E1
durch die drei Punkte A(1,0,2), B(1,-1,5) und C(2,0,1) aufgespannt wird und
0
3
1




E2= 1 + r 2 + s 2 .
1
1
0
5.
Wo schneiden sich die beiden Ebenen im R4, die gegeben sind durch:
10 11
E1=   + r  
0
0
0 0
00
+s 
1
0
und
01 10
E2=   + u  
1
0
1 1
10
+v 
1
0
.
5. Übungen Mathematik I
1.
Berechnen Sie die Produkte AX und XTA, wobei gilt:
1 2 3
A = 4 5 6 ,
7 8 9
2.
Bestätigen Sie die Formel (AB)T = BTAT für
3 2 0
A = 5 3 1 ,
2 0 4
3
1 0 4
B = 2 3 0 ,
5 4 1
Bestätigen Sie die Formel (AB)-1 =B-1 A-1 für
1 2
A = 3 4 ,


4.
x
X = y .
z
5 6
B = 7 8 ,


Berechnen Sie die Inverse A-1 (von Hand!) zu
3 1 0
A = 0 0 1
2 2 0
5.
Unter welchen Bedingungen für den Parameter p∈R ist das folgende Gleichungssystem
 1 0 1  x 0
A = -1 1 p y = 1
1 -p 1 z 2
a) nicht lösbar?
6.
b) mehrdeutig lösbar?
c) eindeutig lösbar?
Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungssysteme mit dem Gauß´schen Algorithmus:
6. Übungen Mathematik I
1.
Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen:
1 3
A = 4 9 ,


2.
g)
5.
(ai)i∈N = 0,4,18,48,100,180,...
(ai)i∈N = 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, ...
(ai)i∈N = 2, 4/3, 1/6, 4/15, 2/15, ...
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte ( n→ ∞ )
2
3n − 2
n + n -2
a) lim
a) lim
3
n →∞ 9 n + 7
n →∞
4n - 1
c)
lim 2n3/(n2+1)
Stellen Sie fest, ob folgende Reihen konvergent sind:
a)
b)
c)
d)
6.
Matrizen sind regulär, wenn sie invertierbar sind.
Jede invertierbare Matrix ist quadratisch.
Quadratische Matrizen haben stets vollen Rang.
Invertierbare Matrizen haben linear unabhängige Spaltenvektoren.
Sind die Zeilen einer Matrix linear abhängig, so ist die Determinate Null.
Ist bei einem homogenen linearen Gleichungssystem (d.h. rechte Seiten alle
gleich Null) die triviale Lösung die einzigste, so ist bei jedem inhomogen
System mit derselben Koeffizientenmatrix die Lösung immer eindeutig.
Singuläre Matrizen haben die Determinate Null.
Bestimmen Sie die allg. Kosntruktionsformel der Folgen:
a)
b)
c)
4.
1 2 3
C= 4 5 6 .
7 8 9
Welche Aussagen sind richtig?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
11 13 21 03 21
B = 0 0 1 0 1  ,
1 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 
1/3 + 2/9 + 3/27 + 4/81 + ...
1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/17 + ...
Σ nn/n!
Σ n3/(ln3)n
Stellen Sie fest, ob folgende alternierende Reihen absolut bzw. bedingt konvergent sind:
a)
b)
c)
1 - 2/3 + 3/9 - 4/27 + - ...
1 - 1/√2 + 1/√3 - 1/√4 + - ...
1/2 - 2/(23+1) + 3/(33+1) - 4/(43+1) + - ...
7. Übungen Mathematik I
1.
2.
3.
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a)
lim x1/(x-1)
x → 1
a)
Zeigen Sie mit der genauen Definition (ε,δ...), daß die Funktion f(x) = x / (x-1)
für x nach unendlich den Grenzwert "1" besitzt.
b)
Zeigen Sie analog zu 2.a), daß die Funktion y = x2 - 4 für x geht gegen 2 den
Grenzwert "0" besitzt.
b)
lim lnx/x
x → ∞
c)
lim xsinx
x → 0 +
Wo besitzen folgende Funktionen Unstetigkeitsstellen? Welche davon sind ggf. hebbare Lücken?
a)
f(x) = (x3-27)/(x2-9)
b)
f(x) = (4-x2)/(3-√x2+5)
4.
Führen Sie für die Kurve y2(x-1)-x2 = 0 eine vollständige Kurvendiskussion durch. Machen Sie
anschließend eine Skizze!
5.
Um 9.00 Uhr vormittags war ein Schiff B genau 65 km östlich von einem anderen Schiff A. Schiff B
fuhr nun westlich mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h, A fuhr südlich mit 15 km/h. Wann ist die
Entfernung zwischen ihnen am kürzesten bzw. wie groß ist diese dann, wenn beide ihren jeweiligen
Kurs beibehalten?