Übungen zu MAPLE (W. Büttner) 25) Gegeben sind die Vektoren 1,2 a 3,5 , 2,7 5,5 b 4,9 , 1,8 1,7 c 0,2 . 2,1 a) Berechnen Sie a b c , a ( b c ) und a ( b c ) ( a b ) c . Geben Sie die Lösungen mit 4 signifikanten Stellen aus. Ergebnisse: 4,147; - 37,02; 58,27. b) Berechnen Sie die Vektoren v1 a x ( b x c ) und v 2 ( a x b ) x c . (Hier bedeutet u x v Vektorprodukt der Vektoren u und v ) Berechnen Sie die Beträge der Vektoren v 1 und v 2 und geben Sie die Ergebnisse mit 4 signifikanten Stellen aus. Ergebnisse: v1 57,31; v2 38,13. Berechnen Sie den Winkel (in Grad), den beide Vektoren einschließen und geben Sie ihn mit 3 signifikanten Stellen aus aus. Ergebnis: 72,2. c) Der Vektor v1 lässt sich als ‚Linearkombination‘ der Vektoren b und c schreiben: a x ( b x c ) k1 b k 2 c (*) Damit Gleichung (*) gilt, müssen k1 und k 2 drei Gleichungen erfüllen. Stellen Sie diese drei Gleichungen mit Hilfe von seq auf und lassen Sie daraus von MAPLE die Werte von k1 und k 2 berechnen ! Ergebnis: k1 8,41; k 2 28,61. Machen Sie die Probe mit MAPLE ! 26) Gegeben sind die Matrizen 2 4 1 A 0 1 2 und 1 2 B 3 4 . 5 2 Berechnen Sie a) die Matrizen A B und B A b) die Matrix X ( B A 2 E )T c) die Determinante det(X ) d) die Inverse X 1 . Probe: Ist X X 1 E ? T Hinweise: E bedeutet ‚Einheitsmatrix‘ ; C bedeutet ‚C transponiert‘. Lösung zu b): 4 6 10 X 2 10 22 . 3 5 7 27) Gegeben ist die Matrix 1 1 1 A 1 1 1 . 1 2 0 a) Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren von A ! b) Überprüfen Sie mit Maple, ob für jeden Eigenvektor a zum Eigenwert die Gleichung A a a gilt (evtl. mit Verwendung des Befehls op). c) Berechnen Sie für jeden Eigenwert die Determinante det( A E ), wobei hier E die (3x3)-Einheitsmatrix bedeutet. Zusatzaufgabe für die besonders schnellen Studenten/innen: Z6) Gegeben sind die Vektoren 1 0 1 1 1 2 2 2 a1 0 , a2 1 , a3 4 , a4 3 . 2 1 3 2 0 4 2 2 a) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums V, den diese Vektoren aufspannen, indem Sie diese zu einer Matrix A zusammenfassen und dann deren Rang berechnen. Lösung: Rang(A) = 3. b) Berechnen Sie mit Maple eine maximale Liste linear unabhängiger Basisvektoren b1 , b2 , ..... von V. c) Stellen Sie a4 als Linearkombination der Basisvektoren aus (b) dar, d.h. a4 1 b1 2 b2 .... und berechnen Sie 1 , 2 , ..... Ergebnis: 1 2, 2 1, 3 1. Z7) Gegeben sind die beiden Vektoren 3 1 v1 0 , v2 1 1 1 und die Matrix C, welche den Parameter x enthält: C 2 2 2 4 6 4 2 2 2 4 6 4 0 x 1 2 Für welche reellen Werte von x gelten alle drei folgenden Gleichungen: a) v1 v2 (C v1 ) (C v2 ) b) v1 C v1 c) v2 C v2 Lösung: x 1 3. 2 ? (Skalarprodukte !)