Tutorium Mathematik WI1(B)

Prof. Dr. Peter Plappert
Fachbereich Grundlagen
Tutorium Mathematik WI1(B)
Aufgabenblatt V1 – Aufgaben zum Kapitel „Vektorrechnung“
⎛ −1⎞
r
r
r ⎜ ⎟ r r
Aufgabe 1: Gegeben sind die Vektoren a = ⎜ 2 ⎟, b = 3i + 5 j − 2k .
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
r
r r r r r r r r
r
a) Berechnen Sie a + b , b + a , a − b , b − a sowie − 2a + 3b .
r
r
b) Bestimmen Sie ear und ebr .
Aufgabe 2: Gegeben sind die vier Punkte A(0 | 1 | 2) , B (1 | 3 | 2) , C (4 | 5 | 6) und D(−1 | −2 | −3) .
r
Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors v = AB + CD .
⎛ x − 1⎞
⎜
⎟
Aufgabe 3: Berechnen Sie den Betrag des Vektors ⎜ x ⎟ .
⎜ x + 1⎟
⎝
⎠
⎛ 20 ⎞
⎟
r ⎜
Aufgabe 4: Welche Winkel bildet der Vektor a = ⎜ − 30 ⎟
⎜ 40 ⎟
⎝
⎠
a) mit der positiven x-Achse; b) mit der positiven y-Achse;
c) mit der positiven z-Achse?
Aufgabe 5: Gegeben sind die drei Punkte A(−1 | 0 | 1) , B (1 | 0 | −1) und C (−1 | 2 | −1) .
a) Berechnen Sie die Längen der drei Seiten des Dreiecks ABC. Um was für ein Dreieck handelt es
sich?
b) Wie groß sind die drei Innenwinkel des Dreiecks?
Aufgabe 6: Der Ortsvektor eines Punktes P
•
•
•
•
bildet mit der positiven x-Achse einen Winkel von 60°;
bildet mit der positiven z-Achse einen Winkel von 135°;
hat eine negative y-Koordinate.
Außerdem beträgt die Entfernung von P zum Ursprung 5 Längeneinheiten.
Welche Koordinaten hat P?
Aufgabe 7:
Drei Eckpunkte eines Parallelogramms lauten A(−1 | −2 | −1) , B (2 | 0 | 0) und C (3 | 2 | 3) .
a) Welche Koordinaten hat der vierte Punkt D ?
b) Berechnen Sie die Längen der beiden Diagonalen.
c) Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt der beiden Diagonalen?
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Aufgabenblatt V1 Seite 1/3
⎛1⎞
⎛ − 4⎞
r ⎜ ⎟
r ⎜ ⎟
Aufgabe 8: Berechnen Sie für die beiden Vektoren a = ⎜ 2 ⎟ und b = ⎜ 5 ⎟ :
⎜ 3⎟
⎜ − 6⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
r
r
r
r
r
r
a) a • b ;
b) a × b ;
c) den Winkel ϕ zwischen a und b ; d) die skalare Projektion abr .
⎛ 3⎞
r
r
r r
r ⎜ ⎟
Aufgabe 9: Für welchen Wert von y stehen die a = ⎜ 5 ⎟ und b = 2i + yj + 7k senkrecht?
⎜7⎟
⎝ ⎠
r
r
r
r
r
r r
Aufgabe 10: Berechnen Sie (2a + 3b ) • (2a − b ) für zwei orthogonale Vektoren a , b mit a = 3
r
und b = 7 .
Aufgabe 11: Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(4 | 5 | 3) , B(6 | 3 | 3) , und
C (4 | 3 | 5) .
⎛1⎞
⎛ 2 ⎞
r ⎜ ⎟
r ⎜ ⎟
Aufgabe 12: Welche Vektoren stehen sowohl auf a = ⎜ − 1⎟ als auch auf b = ⎜ − 2 ⎟ senkrecht?
⎜1⎟
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Fertigen Sie eine Skizze an.
r r
r r
r r
Aufgabe 13: Gegeben sind zwei Vektoren a , b mit a = b = 3 und ∠(a , b ) = 30° .
r r
r r
Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms, das von 2a + b und a − b aufgespannt wird?
r r r
r
r
r r
r r r
Aufgabe 14: Für drei Einsvektoren a , b , c sei u = 2a − c und v = a − b + 2c .
r r
r r
b) u × v .
Bestimmen Sie
a) u • v ;
r
r
r
r r
r
r
r
Aufgabe 15: Gegeben sind die Vektoren a = 2i + j + 3k und b = 2i + 3 j + − k . Berechnen Sie
r
r
r
a) den Winkel ϕ zwischen a und b ; b) die skalare Projektion bar ; c) den Vektor bar .
(Aufgaben 16 – 18 sind gestrichen.)
r
r
v
r
r
r r
r r r
r r r
Aufgabe 19: Sei a = i − 2 j + 3k und b = 2 j + 4k . Berechnen Sie a × (a × b ) und (a × a ) × b .
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Aufgabenblatt V1 Seite 2/3
Ergebnisse zum Aufgabenblatt V1
Dieser Abschnitt enthält nur Endergebnisse und nicht alle eventuell notwendigen Zwischenschritte
oder Überlegungen.
Bitte machen Sie mich darauf aufmerksam, wenn Sie hierin Fehler finden.
⎛ 2⎞
⎛ − 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 11⎞
r ⎜ ⎟
r
r r r r ⎜ ⎟ r r ⎜ ⎟ r r ⎜ ⎟
Aufgabe 1: a) a + b = b + a = ⎜ 7 ⎟ , a − b = ⎜ − 3⎟ , b − a = ⎜ 3⎟ , − 2a + 3b = ⎜ 11⎟
⎜ − 5⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 1⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ −1⎞
⎛ 3 ⎞
⎛ − 4⎞
⎜ ⎟
rr
1 ⎜ ⎟
1 ⎜ ⎟ rr
Aufgabe 2: AB + CD = ⎜ − 5 ⎟
b) ea =
⎜ 2 ⎟ , eb =
⎜ 5 ⎟
38 ⎜ ⎟
14 ⎜ ⎟
⎜ − 9⎟
⎝ − 3⎠
⎝ − 2⎠
⎝ ⎠
⎛ x − 1⎞
⎜
⎟
Aufgabe 3: ⎜ x ⎟ = 3x 2 + 2
Aufgabe 4: a) α ≈ 68, 20° ; b) β ≈ 123,85° ; c) γ ≈ 42, 03°
⎜ x + 1⎟
⎝
⎠
Aufgabe 5: a) Alle drei Seitenlängen betragen
8 . Also handelt es sich um ein gleichseitiges
5
5
5
Aufgabe 6: P( | − | −
2)
Dreieck, und deshalb müssen b) alle Winkel 60° betragen.
2
2
2
Aufgabe 7: a) D( 0|0|2)
b) AC = 4 3 ,
BD = 2 2
c) S(1|0|1)
⎛ − 27⎞
⎟
− 12
r r
r r ⎜
Aufgabe 8: a) a • b = −12 ; b) a × b = ⎜ − 6 ⎟ ; c) ϕ ≈ 111, 44°
d) abr =
≈ −1,37 .
77
⎜ 13 ⎟
⎝
⎠
r
r
r r
1
Aufgabe 9: y = −11 Aufgabe 10: (2a + 3b ) • (2a − b ) = −111
Aufgabe 11: AB × AC = 2 3
2
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
r r
r r
27
Aufgabe 12: Alle Vektoren der Form λ ⎜ 1⎟ , λ ∈ R .
Aufgabe 13: (2a + b ) × (a − b ) =
.
2
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
r r
r r
r r r r
r r
r r
r r r r
Aufgabe 14: a) u • v = −2a • b + 3a • c + b • c ; b) u × v = −2a × b + 5a × c − b × c .
Aufgabe 15: a) ϕ ≈ 73, 40° ;
4
b) bar =
≈ 1,07
14
⎛ 2⎞
r
⎜ ⎟
2
c) bar = ⎜ 1 ⎟
7⎜ ⎟
⎝ 3⎠
(Aufgaben 16 – 18 sind gestrichen.)
⎛ 8 ⎞
r r
⎟
r r ⎜
v r
v
Aufgabe 19: a × ( a × b ) = ⎜ − 44⎟ , ( a × a ) × b = 0 .
⎜ − 32⎟
⎝
⎠
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Aufgabenblatt V1 Seite 3/3